Resistencia de MaterialesResistencia de Materiales

Tema 8 - Estados de Esfuerzos y Deformaciones

Tema 8

Esfuerzos normales por flexion

Esfuerzo normal debido a momento flector:

: Esfuerzo normal en un punto de la sección transversalM: Momento flector sobre la sección transversaly: Distancia desde el centroide hasta el punto de interés sobre la sección transversalI: Momento de inercia de la sección transversal

I

yM

ESFUERZOS DEBIDO A FLEXIÓN EN VIGAS

La flexión induce esfuerzos de tensión en las vigas, los cuales son muy importantes en Ingeniería.

Consideremos que una viga tiene el siguiente sistema de coordenadas:

Los ejes Y y Z son los ejes principales de Inercia

ESFUERZOS DEBIDO A FLEXIÓN EN VIGAS

ESFUERZOS DEBIDO A FLEXIÓN EN VIGAS

ESFUERZOS DEBIDO A FLEXIÓN EN VIGAS

Convención de signos para Corte:

Convención de signos para Momento en Z:

ESFUERZOS DEBIDO A FLEXIÓN EN VIGAS

Convención de signos para Momento en Y:

En la práctica, sólo se trabaja con el caso en que n > 0

ESFUERZOS DEBIDO A FLEXIÓN EN VIGAS

Convención de signos

(caso Mz):

ESFUERZOS DEBIDO A FLEXIÓN EN VIGAS

Convención de signos

(caso My):

ESFUERZOS DEBIDO A FLEXIÓN EN VIGAS

SUPERFICIE NEUTRA:

Al flexionar una viga, las secciones transversales giran y hacen que las fibras longitudinales, inicialmente rectas, se curven, alargándose o acortándose según su posición en la viga.

Existen fibras que no se alargan ni se acortan, éstas son las fibras neutras.

La superficie que forman las líneas neutras se denomina superficie neutra.

ESFUERZOS DEBIDO A FLEXIÓN EN VIGAS

SUPERFICIE NEUTRA:

La superficie que forman las líneas neutras se denomina superficie neutra.

El eje neutro pasa por el centro de gravedad de la sección de la viga.

ESFUERZOS DEBIDO A FLEXIÓN EN VIGAS

TENSIONES NORMALES:

Los ejes Y y Z son los ejes principales de Inercia. Si existe momento en ambos ejes, tendemos que la tensión longitudinal será:

En el caso en que My = 0:

ESFUERZOS DEBIDO A FLEXIÓN EN VIGAS

En el caso en que Mz = 0:

Y la distribución de tensiones normales para este caso será:

MÓDULO DE RESISTENCIA (W)

Habíamos visto que en el caso en que My = 0:

También tenemos que para las fibra extremas de la sección se alcanzan las tensiones máximas de tracción y compresión:

Otra forma de expresar la ecuación anterior es la siguiente:

MÓDULO DE RESISTENCIA (W)

Al denominador de la ecuación anterior le llamamos “Módulo de Resistencia” (W). Conocido tambien como modulo de la seccion(S)

Con lo cual la expresión de la tensión máxima en Z queda así:

Análogamente, la tensión máxima en Y queda expresada de la siguiente manera:

En que:

MÓDULO DE SECCION (W)o (S)

En el caso de una sección rectangular:

Y por tanto:

MÓDULO DE RESISTENCIA (W) o (S)

En el caso de una sección circular:

Y por tanto:

TENSIONES ADMISIBLES

En numerosos materiales los esfuerzos límites de tracción y de compresión son diferentes y, en consecuencia, serán diferentes sus esfuerzos admisibles a tracción σadm,t y a compresión σadm,c.

Para dimensionar una sección transversal solicitada a flexión pura utilizando este tipo de materiales, se ha de verificar:

TENSIONES ADMISIBLES

• Cuando se utilizan materiales que tienen el mismo esfuerzo límite de tracción y de compresión y, por tanto, el mismo esfuerzo admisible, el anterior criterio de dimensionamiento se reduce a:

σmáx = σadm

siendo σmáx el máximo esfuerzo normal, ya sea de tracción o de compresión.

Al dimensionar una sección solicitada por el momento flector Mz utilizando un material que tenga el mismo esfuerzo límite de tracción que de compresión, el módulo resistente necesario será:

TENSIONES ADMISIBLES

De ella se deduce inmediatamente que las secciones más económicas en flexión serán aquellas que tengan el mayor módulo resistente Wz con el menor gasto de material, lo que se consigue situando la superficie de la sección lo más alejada posible del eje neutro.

Esta es la razón de que en flexión tengan utilización preferente los perfiles delgados esquematizados en la siguiente figura:

FLEXIÓN PURA: LEY DE NAVIER

Sean DE y CF las trazas de los planos que contienen a dos secciones rectas indefinidamente próximas de un prisma mecánico, sometido a flexión pura.

FLEXIÓN PURA: LEY DE NAVIER

Si unas fibras se alargan y otras se acortan, por la continuidad de las deformaciones existirá una fibra neutra que no experimente variación de longitud alguna.

FLEXIÓN PURA: LEY DE NAVIER

Sea AB la traza de la superficie neutra, cuyo radio de curvatura es rz.

Es fácil demostrar que los triángulos MNB y ABO son semejantes, por lo que se podrá escribir:

FLEXIÓN PURA: LEY DE NAVIER

Como

se tiene:

AO

yMB

dxAB

dxMN

FLEXIÓN PURA: LEY DE NAVIER

En virtud de la ley de Hooke:

Δdx/dx = ε = σ/E

por lo que:

o lo que es lo mismo:

FLEXIÓN PURA: LEY DE NAVIER

• Como el cociente E/r es constante en cada sección, podemos enunciar la Ley de Navier:Ley de Navier:

• «En una sección sometida a flexión pura, los módulos de las tensiones que se ejercen sobre las distintas fibras son directamente proporcionales a sus distancias a la fibra neutra».

• La representación gráfica de dichas tensiones será lineal y, como era de esperar, las máximas tensiones de compresión y de tracción corresponden a las fibras extremas.

RIGIDEZ A FLEXIÓN

Por otra parte, puesto que:

se obtiene que:

Según esta expresión, la curvatura de la elástica es directamente proporcional al momento flector Mz e inversamente proporcional a la magnitud EIz , llamada “Rigidez a Flexión”.

Rigidez a Flexión: Oposición que pone el prisma mecánico a deformarse.

Esfuerzo Cortante por fuerzas cortantes:

: Esfuerzo normal en un punto de la sección transversalV:Fuerza cortante paralela a la seccion transversalQ:Momentoestatico I: Momento de inercia de la sección transversalT: ancho de la fibra en analisis

tIQV.

Graficar los diagramas V, M y determinar el esfuerzo normal en el punto B de la sección más peligrosa de la viga mostrada en la figura

Posteriormente, aplicamos la fórmula , para ello, debemos de considerar el valor del momento flector máximo, debido a que nos piden en la sección más peligrosa de la viga y ese es el empotramiento. Asimismo, la distancia del eje central hasta el punto B es de 5,5cm

Solución: Calculamos las reacciones en los apoyos A, B y graficamos los diagramas de fuerza cortante y momento flector, tal como se muestra en la figura Luego, aplicamos la condición de resistencia, para los tres casos de tipos de sección transversal de la viga, considerando sus características geométricas y como momento flector el de mayor valor absoluto.