Probabilidad Condicional e Independiente

Estévez Torres ArnoldGuerrero Gómez Juana

Martínez Pérez José MiguelRodríguez Ramírez RicardoRangel Ramos Jesús Ismael

Silva González Valentín

Contenido

• PROBABILIDAD CONDICIONAL• PROBABILIDAD INDEPENDIENTE• TEOREMA DE BAYES• LEY MULTIPLICATIVA

Probabilidad Condicional

Es la probabilidad de que ocurra un evento A, sabiendo que también sucede otro evento B. La probabilidad condicional se escribe

y se lee: «la probabilidad de A dado B».

Probabilidad Condicional

Definición

P

• No tiene por qué haber una relación causal o temporal entre A y B.

• A puede preceder en el tiempo a B, sucederlo o pueden ocurrir simultáneamente.

• A puede causar B, viceversa o pueden no tener relación causal.

Probabilidad Condicional

Definición

Donde: = Probabilidad de que ocurra A dado B.

= Probabilidad de que ocurra A y B a un mismo tiempo

= Probabilidad de que ocurra B

Probabilidad Condicional

Definición

𝐏 (𝐀∨𝐁)=𝐏(𝐀∩𝐁)𝐏 (𝐁)

𝐏 (𝐀∨𝐁)

𝐏 (𝐀∩𝐁)

𝐏 (𝐁)

Probabilidad Condicional

Definición

A B

S

𝑷 (𝑨∩𝑩)

Probabilidad Condicional

Se seleccionan dos semillas aleatoriamente, una por una, de una bolsa que contiene 10 semillas de flores rojas y 5 de flores blancas. ¿Cuál es la probabilidad de que:

a) La primera semilla sea roja?b) La segunda semilla sea blanca dado que

la primera fue roja?

Ejemplo Teórico

Probabilidad Condicional

La probabilidad de que la segunda semilla sea blanca se ve influida por lo que salió primero, es decir esta probabilidad está sujeta a una condición, la de que la primera semilla sea roja.

Este tipo de probabilidad se le llama probabilidad condicional y se denota por

Ejemplo Teórico

𝑷 (𝑨∨𝑩)

Probabilidad Condicional

En una empresa hay 75 empleados, de los cuales, 40 son encargados de sección, y 35 son administrativos. Algunos de ellos utilizan ordenador para sus tareas, y otros no.

Resumimos la información en el siguiente cuadro de doble entrada:

Ejemplo Practico

Probabilidad Condicional

• Calcular la probabilidad de que al elegir una persona de la empresa sea un encargado, sabiendo que no tiene ordenador.

Ejemplo Practico

Sin Ordenador Con Ordenador Total

Encargados 8 32 40

Administrativos 20 15 35

Total 28 47 75

Probabilidad Condicional

Lo primero que debemos hacer es indicar cual es la probabilidad pedida, y cual es la condición.

a) La persona sea un encargado (suceso pedido)b) No tiene ordenador (suceso que condiciona)

Solución

𝑷 (𝑨∨𝑩)=𝟖𝟕𝟓

𝑷 (𝑨∨𝑩)=𝟐𝟖𝟕𝟓

𝑷 (𝑨∨𝑩)=𝑷 (𝑨∩𝑩)𝑷 (𝑩)

=

𝟖𝟕𝟓𝟐𝟖𝟕𝟓

=𝟎 .𝟐𝟖𝟔

Probabilidad Independiente

En teoría la probabilidad independiente, se dice que 2 sucesos aleatorios son independientes entre si cuando la probabilidad de cada uno de ellos no esta influida porque el otro suceso ocurra o no, es decir, cuando ambos sucesos no estas correlacionados.

Probabilidad Independiente

Definición

P(Salga 2 soles) = P(S,S)=0.25

P(Salga 1 sol y 1 Águila) = P(A,S)=0.50

P(Salga 2 Águilas)= P(A,A) = 0.25

Probabilidad Independiente

Ejemplo Teórico

Evento

Sol

Águila

Águila

Sol

Águila

Sol 1/4

1/4

1/4

1/4

Probabilidad Independiente

Ejemplo Practico

P( ) = 3/10

Probabilidad Independiente

Ejemplo Practico

P( ) = 3/10

P( ) = 2/9

Probabilidad Independiente

Ejemplo Practico

P( y ) = (3/10)(2/9) = 1/15

Probabilidad Independiente

Ejemplo Practico

P( ) = 3/10

P( ) = 2/9

Probabilidad Independiente

Ejemplo Practico

P(D)3/1

0

P(N)7/10

.3

.7

P(D)3/1

0

P(N)7/10

.3

.7

P(D)2/9

P(N)7/9

.22

.77

P(D)3/9

P(N)6/9

.33

.66

Probabilidad Independiente

Ejemplo Practico

P(D)3/1

0

P(N)7/10

.3

.7

P(D)2/9

P(N)7/9

.22

.77

P(D)3/9

P(N)6/9

.33

.66

= 0.066

Probabilidad Independiente

Ejemplo Practico

P(D)3/1

0

P(N)7/10

.3

.7

P(D)2/9

P(N)7/9

.22

.77

P(D)3/9

P(N)6/9

.33

.66

= 0.231

Probabilidad Independiente

Ejemplo Practico

P(D)3/1

0

P(N)7/10

.3

.7

P(D)2/9

P(N)7/9

.22

.77

P(D)3/9

P(N)6/9

.33

.66

= 0.231

Probabilidad Independiente

Ejemplo Practico

P(D)3/1

0

P(N)7/10

.3

.7

P(D)2/9

P(N)7/9

.22

.77

P(D)3/9

P(N)6/9

.33

.66 = 0.462

Probabilidad Independiente

Ejemplo Practico

P(D)3/1

0

P(N)7/10

.3

.7

P(D)2/9

P(N)7/9

.22

.77

P(D)3/9

P(N)6/9

.33

.66 = 0.462

= 0.231

= 0.231

= 0.066

Probabilidad Independiente

Ejemplo Practico

Teorema de Bayes

El teorema de Bayes se utiliza para revisar probabilidades previamente calculadas cuando se posee nueva información.

Expresa la probabilidad condicional de un evento aleatorio A dado B en términos de la distribución de probabilidad condicional del evento B dado A y la distribución de probabilidad marginal de sólo A.

Teorema de Bayes

Definición

Es decir que sabiendo la probabilidad de tener un dolor de cabeza dado que se tiene gripe, se podría saber -si se tiene algún dato más-, la probabilidad de tener gripe si se tiene un dolor de cabeza

Teorema de Bayes

Definición

Sea A1, A2, ...,An un sistema completo de sucesos, tales que la probabilidad de cada uno de ellos es distinta de cero, y sea B un suceso cualquier del que se conocen las probabilidades condicionales P(B/Aἰ). entonces la probabilidad P(Aἰ /B) viene dada por la expresión:

P son las probabilidades a priori.Pes la probabilidad de B en la hipótesis A.P Aἰ/B son las probabilidades a posterior

Teorema de Bayes

Ejemplo Teórico

P Aἰ|B

En la sala de pediatría de un hospital, el 60% de los pacientes son niñas. De los niños el 35% son menores de 24 meses. El 20% de las niñas tienen menos de 24 meses. Un pediatra que ingresa a la sala selecciona un infante al azar.

a) Determine el valor de la probabilidad de que sea menor de 24 meses.

b) Si el infante resulta ser menor de 24 meses. Determine la probabilidad que sea una niña.

Teorema de Bayes

Ejemplo Practico

Se definen los sucesos:

• Suceso H: seleccionar una niña.• Suceso V: seleccionar un niño.• Suceso M: infante menor de 24 meses.

Teorema de Bayes

Ejemplo Practico

En los ejercicios de probabilidad total y Teorema de Bayes, es importante identificar los sucesos que forman la población y cuál es la característica que tienen en común dichos sucesos. Estos serán los sucesos condicionados.

a) En este caso, la población es de los infantes. Y la característica en común es que sean menores de 24 meses. Por lo tanto, la probabilidad de seleccionar un infante menor de 24 meses es un ejemplo de probabilidad total. Su probabilidad será:

Teorema de Bayes

Ejemplo Practico

P +P P 0.6*0.2+0.4*0.35

b) Para identificar cuando en un ejercicio se hace referencia al teorema de Bayes, hay que partir de reconocer esta es una probabilidad condicionada y que la característica común de los sucesos condicionantes ya ha ocurrido. Entonces, la probabilidad de que sea niña una infante menor de 24 meses será:

Teorema de Bayes

Ejemplo Practico

P

El 20% de los empleados de una empresa son ingenieros y otro 20% son economistas. El 75% de los ingenieros ocupan un puesto directivo y el 50% de los economistas también, mientras que los no ingenieros y los no economistas solamente el 20% ocupa un puesto directivo.

¿Cuál es la probabilidad de que un empleado directivo elegido al azar sea ingeniero?

Teorema de Bayes

Ejemplo Practico

Teorema de Bayes

Ejemplo Practico

P

0.2 Ingenieros

0.2 Economistas

0.6 Otros

0.75 Directivo

0.5 Directivo

0.2 Directivo

Ley Multiplicativa

Si un experimento pueden ocurrir los eventos A y B, entonces Así la probabilidad de que ocurran A y B es igual a la probabilidad de que ocurra A multiplicada por la probabilidad de que ocurra B, dado que ocurre A.

Ley Multiplicativa

Definición

El propósito de la multiplicación consiste en determinar la probabilidad del evento conjunto

Es decir que para encontrar la probabilidad de A y B, simplemente se multiplican sus respectivas probabilidades.

El procedimiento exacto depende de si A y B son dependientes o independientes. Los eventos A y B son independientes si

Es decir la probabilidad de A es la misma bien se considere o no el evento B. De igual forma, si A y B son independientes, si

Ley Multiplicativa

Definición

Eventos Independientes

Eventos Dependientes

Ley Multiplicativa

Definición

Supongamos que en el departamento de circulación de un diario se sabe que 84%de las familias de una determinada colonia tiene una suscripción para recibirel periódico de lunes a sábado.

Si hacemos que D represente el evento de una familia que tiene tal tipo de suscripción

Se sabe que la probabilidad de que una familia cuya suscripción, además de ser de lunes a sábado, también se suscriba a la edición dominical (evento S) es de 0.75; esto es cual es la probabilidad de que una suscripción de una familia incluya tanto a la edición dominical como a la del lunes a sábado? se calcula de la siguiente manera P(S n D como sigue:

Sabemos que ahora el 635% de las familias tiene una suscripción de las edicionesdominical y entre semana

Ley Multiplicativa

Ejemplo

Se selecciona una muestra aleatoria n = 2 de un lote de 100 unidades, se sabe que 98 de los 100 artículos están en buen estado. La muestra se selecciona de manera tal que el primer artículo se observa y se regresa antes de seleccionar el segundo artículo (con reemplazo)

1. Calcule la probabilidad de que ambos artículos estén en buen estado

2. Si la muestra se toma sin reemplazo, calcule la probabilidad de que ambos artículos estén en buen estado

a) El primer artículo está en buen estadob) El segundo artículo está en buen estado

Ley Multiplicativa

Ejemplo

Ley Multiplicativa

Ejemplo

𝑃 ( 𝐴)=.98 𝑃 (𝐵 )=.98

𝑃 (A∩𝐵 )=𝑃 ( 𝐴 )∗𝑃 (𝐵 )=( 98100 )( 98100 )=0.9604Independiente

Ley Multiplicativa

Ejemplo

Si la muestra se toma «sin reemplazo» de modo que el primer artículo no se regresa antes de seleccionar el segundo entonces:

𝑃 (A∩𝐵 )=𝑃 ( 𝐴 )∗𝑃 (𝐵 )=( 98100 )( 97100 )=0.9602

¿Dudas?

Gracias