1.5 CONDICIONAL PROBABILIDADprofesores.dcb.unam.mx/users/gustavorb/Probabilidad/PE15.pdfPROBABILIDAD...

En gran número de problemas prácticos, los eventos de mayor interés son aquellos cuya ocurrencia está condicionada a la ocurrencia de otro even-

to. De aquí que interese introducir el concepto de probabilidad condicional, esto es, la probabilidad condicionada a que haya ocurrido o pudiese ocurrir cierto evento.

Invocando el criterio de Laplace y apoyándose en el diagrama anterior,

puede verse que si el evento B se da por hecho, entonces el espacio muestral condicional es el evento B, constituido por N(B) puntos muestrales, que repre-sentan el número de casos posibles; para la ocurrencia del evento A es necesa-ria la ocurrencia conjunta A B , Un evento constituido por N A B puntos muestrales, que representan el número de casos favorables a A.

La probabilidad de ocurrencia del evento A, dado que el evento B ocurre, lo cual se expresa con la notación P A | B está dada por:

N A BP A | B

N B

número de casos favorables a A

número de casos posibles dado B ___ (1.38)

Así fue utilizado el concepto de probabilidad condicional por los prime-ros estudiosos de la probabilidad. El gran mérito de Thomas Bayes consistió en haber expresado la probabilidad condicional en función de la probabilidad

conjunta: P A B

P A | B , P B 0P B

____ (1.38’)

Esto es, la probabilidad de A, dado B, defi nida como la razón de la probabi-

lidad conjunta a la probabilidad del evento B.Nótese que, en general: P A | B P B | A , ya que

P A B

P B | AP A

Las probabilidades condicionales también cumplen con los tres axiomas de probabilidad y con los teoremas derivados de éstos. Se deja al lector la tarea de demostrarlos.

1.5.1PROBABILIDADCONDICIONAL

PROBABILIDAD CONDICIONAL1.5

1. No negatividad: iP A | B 0 2. Normatividad: P S | B 1

3. Aditividad: P A B | C P A | C P B | C , A B

4. Probabilidad del complemento: P A | B 1 P A | B

5. Probabilidad del evento imposible: P | B 0 6. Ley de adición de probabilidades: P A B | C P A | C P B | C P A B | C

Se denomina probabilidad marginal a la probabilidad de cualquier evento, para distinguir que es incondicional, que no importa la ocurrencia de ningún otro evento.

Ejemplo 1.54. SERVICIOS DE TELECOMUNICACIONES. Suponga que es de interés conocer la probabilidad de que un usuario de Telex, que tiene se-ñal de televisión satelital, tenga servicio ilimitado de larga distancia de cober-tura nacional. El espacio muestral se reduce automáticamente, se condiciona a la ocurrencia de un evento, se restringe a los usuarios que tienen televisión satelital. Ahora bien, 1 de cada 5 usuarios tiene señal de televisión y 3 de cada 25 tiene tanto señal de televisión como larga distancia nacional, por lo que, por cada 25 usuarios, habrá 5 que tengan señal de televisión y 3 de ellos también tendrán servicio de larga distancia nacional; es decir, por cada 5 usuarios con televisión satelital, habrá 3 con servicio de larga distancia nacional. Entonces, la probabilidad de que un usuario tenga servicio de larga distancia nacional, dado que tiene señal de televisión satelital, es 3/5.

Calcule las siguientes probabilidades de que un usuario de Telex:a) Tenga señal de televisión satelital, dado que tiene Internet de banda ancha:

P I T 0.10 1P T | I 0.333

P I 0.30 3

b) Tenga Internet de banda ancha, dado que tiene señal de televisión satelital:

P I T 0.10 1P I |T 0.5

P T 0.20 2

c) No tenga Internet, dado que tiene señal de televisión satelital:

P I T 0.10 1P I |T 0.5

P T 0.20 2

d) Tenga señal de televisión satelital, dado que no tiene servicio de larga dis-

tancia:

P T L 0P T | L 00.30P L

e) Tenga servicio de larga distancia, dado que tiene señal de televisión:

P L T 0.20P L |T 1

P T 0.20

f) Tenga larga distancia o señal de televisión, dado que tiene Internet: P L T | I P L | I P T | I P L T | I

P L I P T I P L T I 0.23 0.10 0.10 0.23 0.766P I P I P I 0.30 0.30 0.30 0.30

PROBABILIDAD CONDICIONAL

144

Ejemplo 1.55. RÍOS CONTAMINADOS. Los desechos sólidos de la com-pañía papelera de Tuxtepec, Oax., contaminan eventualmente los ríos Tonto y Papaloapan, con probabilidades de 2/5 y 3/4, respectivamente; además, se ha observado que sólo en el 20% de los casos, ninguno de los dos ríos se conta-mina. El gerente quiere que se observe sistemáticamente sólo uno de los ríos y a partir del comportamiento de éste, inferir el comportamiento del otro río. ¿Cuál de los dos ríos deberá observarse?

Sean los eventos: T = {Tonto contaminado} P T 0.40 P = {Papaloapan contaminado} P P 0.75 Ninguno contaminado: P T P 0.20

Para decidir cuál de los dos ríos conviene observar, es necesario calcular las probabilidades condicionales del comportamiento de cada río, suponiendo determinado comportamiento del otro río.

P T P 1 P T P 1 P T P 1 0.20 0.80

P T P P T P P P T P , 0.80 0.40 0.75 P T P

P T P 0.35 7P T P 0.35, P T | P 0.466P P 0.75 15

7 8P T | P 1 P T | P 1 0.53315 15

Si se observa primero el Papaloapan y resulta contaminado, el comporta-

miento del Tonto es muy dudoso.

P T P P T P 0.20 0.20 4P T | P 0.801 P P 1 0.75 0.25 5P P

4 1P T | P 1 P T | P 1 0.205 5

Si se observa el Papaloapan y no está contaminado, es muy probable que el Tonto tampoco lo esté.

P P T 0.35 7P P |T 0.875P T 0.40 8

7 1P P |T 1 P P |T 1 0.1258 8

Si se observa primero el Tonto y resulta contaminado, es muy probable que el Papaloapan también lo esté.

P P T P P T 0.20 0.20 1P P |T 0.3331 P T 1 0.40 0.60 3P T

1 2P P |T 1 P P |T 1 0.6663 3

Si se observa el Tonto y no está contaminado, es más probable que el Papa-loapan esté contaminado a que no lo esté.

Podría concluirse entonces que sería más útil observar el río Papaloapan; sin embargo, se están soslayando las consecuencias de cometer un error de apreciación y que puede ser de dos tipos: suponer un río contaminado, cuando no lo está, o suponer un río no contaminado cuando sí lo está.


14

Ley de multiplicación de probabilidadesEn muchas ocasiones, las probabilidades condicionales están disponibles,

mientras que las incógnitas son las probabilidades conjuntas. Tal circunstancia no implica difi cultad alguna, porque la ecuación 1.57 se puede expresar como un producto, dando por resultado la ley de multiplicación de probabilidades:

P A B P B P A | B ____ (1.39) P A B P A P B | A ____ (1.39’)

Este resultado fue utilizado intuitivamente por todos los estudiosos de la probabilidad en el siglo XVII, pero fue Abraham De Moivre quien habiendo distinguido los sucesos dependientes y los independientes, luego formalizó el teorema: “la probabilidad de que ocurran dos eventos dependientes es igual al producto de la probabilidad de que ocurra el primero por la probabilidad de que el otro ocurra cuando el primero ya ha ocurrido”

Ejemplo 1.56. ENTRONQUE VIADUCTO-PERIFÉRICO. Considere el entronque Viaducto y Periférico, en el sentido sur-norte, conformado por los tramos x, y, z, tal como se muestra en la fi gura

Se ha observado que los tramos x e y se congestionan con probabilidades 0.1 y 0.2, respectivamente, y que cuando el tramo y se congestiona, el tramo x se congestiona con probabilidad 0.5. Considerando que los tres tramos tienen la misma capacidad, con tres carriles, a una velocidad permisible de 80 km/h, Sean los eventos: x = {tramo x saturado} P x 0.1

y = {tramo y saturado} P y 0.2

P x | y 0.5

Calcule la probabilidad de que:a) se saturen los tramos x e y:

P x y P y P x | y 0.2 0.5 0.1

b) se sature al menos uno de los tramos x o y: P x y P x P y P x y 0.1 0.2 0.1 0.2

c) no se sature ni el tramo x ni el tramo y: P x y P x y 1 P x y 1 0.2 0.8

Nótese que: x y y; x y x x y


146

La regla de multiplicación de probabilidades puede generalizarse por induc-ción matemática a varios eventos y la expansión correspondiente es muy útil.

Sean los eventos A1, A2,…, An; su probabilidad de ocurrencia conjunta está determinada por la denominada ley de multiplicación de probabilidades:

n i 1n

i i ji 1i 1 j 1

P A P A A

Para i = 1: 1 01

i i j 1 1i 1i 1 j 1

P A P A A , P A P A

Para i = 2:

2 12

i i j 1 2 1 2 1i 1i 1 j 1

P A P A A , P A A P A P A | A

Para i = k: suponiendo cierto que: k i 1k

i i ji 1i 1 j 1

P A P A A

Para i = k + 1: k 1 k 0 kk

i i k 1 i j k 1 ii 1i 1 i 1 j 1 i 1

P A P A A P A A P A A

k

i 1 2 i 1 k 1 1 2 ki 1

P A | A A ... A P A | A A ... A

i 1k 1 k 1

i 1 2 i 1 i ji 1 i 1 j 1

P A | A A ... A P A A

La generalización de la ley de probabilidades para varios sucesos, De Moi-vre la explicó así: “Se necesita elegir uno de ellos como el primero, otro como el segundo, y así. Luego, la ocurrencia del primero debe considerarse inde-pendiente de todas las demás; el segundo debe considerarse, con la condición de que el primero ha ocurrido; el tercero con la condición de que tanto el primero como el segundo han ocurrido, y así. De aquí, la probabilidad de ocurrencia conjunta de todos los sucesos es igual al producto de todas las probabilidades”

Existen n! fórmulas para obtener n

ii 1

P A

por ejemplo, si n = 3, cualquie-

ra de las siguientes 6 fórmulas nos permite obtener la probabilidad conjunta: P A B C P A P B | A P C | A B P A B C P A P C | A P B | A C

P A B C P B P A | B P C | A B

P A B C P B P C | B P A | B C

P A B C P C P A | C P B | A C

P A B C P C P A | C P B | A C


14

Ejemplo 1.57. ENTRONQUE VIADUCTO-PERIFÉRICO. Considere el entronque Viaducto y Periférico, en el sentido sur-norte. Sabiendo que, cuando los tramos x e y trabajan debajo de sus capacidades, la probabilidad de que el tramo z se sature es de 0.20.

La información adicional es: P z | x y 0.20 ; z = {tamo z saturado}

Previamente obtuvimos: P x y 0.1, P x y 0.2, P x y 0.8 Puesto que los tres tramos tienen las mismas capacidades, basta con que se

sature el tamo x o el tramo y, para que se sature el tramo z; por lo tanto: P z | x y P z | x y P z | x y 1

Calcule la probabilidad de que:a) se saturen los tres tramos:

P x y z P y P x | y P z | x y 0.2 0.5 1 0.1 b) se sature solamente el tramo z:

P x y z P x P y | x P z | x y

P y x 0.80 8P x 1 P x 1 0.1 0.9; P y | x 0.8880.90 9P x

8 4P x y z 0.9 0.2 0.169 25

c) se sature solamente el tramo: P x y z P x P y | x P z | x y

8 1P y | x 1 P y | x 1 0.1119 9

P z | x y 1 P z | x y 1 1 0

1P x y z 0.9 0 09

d) no se sature ningún tramo: P x y z P x P y | x P z | x y

4P z | x y 1 P z | x y 1 0.2 0.85

8 4 16P x y z 0.9 0.649 5 25

Ejemplo 1.58. DADO. Considere el experimento consistente en lanzar un dado y observar la cara que queda hacia arriba. Sean los eventos: A = {cae par}, B = {cae 2 o 4} y C = {cae 1 o 2}; las probabilidades correspondientes son: P(A) = 1/2, P(B) = 1/3 y P(C) = 1/3.

Calcularemos las siguientes probabilidades condicionales, utilizando la in-terpretación clásica o a priori:

N A B NP A | B 1

N B N

cae 2 o 4cae 2 o 4

N A B N 2P B | AN A N 3

cae 2 o 4cae par

N A C N 1P A | CN C N 2

cae 2cae 1 o 2

N A C N 1P C | AN A N 3

cae 2cae par


148

La ocurrencia de B afecta la probabilidad de ocurrencia de A: P A | B P A y viceversa, la ocurrencia de A afecta la probabilidad de ocurrencia de B: P B | A P B ; se dice entonces que los eventos A y B son estadísticamente

dependientes.En contraparte, la ocurrencia de C no afecta la probabilidad de ocurrencia

de A: üüüü , y viceversa, la ocurrencia de A no afecta la pro-babilidad de ocurrencia de C: üüüü ; se dice entonces que los eventos A y C son estadísticamente independientes.

De Moivre discutió el concepto de independencia de sucesos aleatorios: “Diremos que dos sucesos son independientes, si uno de ellos no tiene ninguna relación con el otro”, e hizo lo propio para defi nir dependencia de sucesos: “Dos sucesos son dependientes si están ligados el uno al otro y la probabili-dad de ocurrencia de uno de ellos infl uye en la probabilidad de ocurrencia del otro”

Cabe señalar, que la dependencia estadística entre eventos siempre tiene una explicación física, siempre se pueden establecer relaciones causa efecto; en el ejemplo anterior, los eventos A y B son físicamente dependientes, porque la ocurrencia de uno de ellos hace más fácil la ocurrencia del otro. En cambio, a la independencia estadística no siempre puede dársele un signifi cado físico.

Considere las proposiciones lógicas siguientes:p: A y B estadísticamente dependientes ~p: A y B estadísticamente independientesq: A y B físicamente dependientes ~q: A y B físicamente independientesDependencia estadística implica dependencia física: p q ; en tanto que

dependencia física no implica dependencia estadística: q p Independencia física implica independencia estadística: q p , en tan-

to que independencia estadística no implica independencia física: p q

Eventos estadísticamente independientesDos eventos son estadísticamente independientes, si y sólo si, la ocurrencia de uno no afecta la probabilidad de ocurrencia del otro:

P A | B P A ____ (1.40)

P B | A P B ____ (1.40’)Vemos que la independencia estadística es una relación simétrica: si el

evento A es independiente del evento B, entonces el B es independiente del A y viceversa.

En efecto: P A B P A P B | A ; P A B P B P A | B Igualando los segundos miembros: P A P B | A P B P A | B Si P A | B P A P A P B | A P B P A , P B | A P B Si P B | A P B P A P B P B P A | B , P A | B P A Por lo tanto: P A | B P A P B | A P B

INDEPENDENCIA EN PROBABILIDAD

1.5.2INDEPENDENCIAEN PROBABILIDAD

14

Si P A B P A P B | A y P B | A P B P A B P A P B

Si P A B P B P A | B y P A | B P A P A B P B P A Estos resultados corroboran la otra forma de defi nir formalmente indepen-

dencia estadística: Dos eventos A y B son independientes si, y solo si, su pro-babilidad de ocurrencia conjunta es el producto de las probabilidades indivi-duales P(A) y P(B) de ocurrencia: üüüü ____ (1.34)

Esta expresión ya había sido obtenida en el apartado 1.4.3 para defi nir pro-babilidad conjunta de eventos independientes.

La difi cultad en la aplicación de la ley de multiplicación de probabilidades está en saber identifi car cuándo dos eventos son o no independientes estadísti-camente, y entonces usar la regla 1.34 o la regla 1.39, respectivamente.

Ejemplo 1.59 URNA. Considere una urna que contiene 6 bolas rojas, 4 blan-cas y 5 azules, de la que se extraen sucesivamente de la urna tres bolas, con reemplazo.

Sean los eventos: A = {sale bola azul} P A 5 / 15 1 / 3 B = {sale bola blanca} P B 4 / 15

R = {sale bola roja} P R 6 / 15 2 / 5 Calcule las siguientes probabilidades:

a) Que salgan en el orden roja, azul, blanca: 6 5 4 120 8P R A B P R P A | R P B | R A

15 15 15 3375 225

Después de haber salido una bola roja, ésta es devuelta a la urna, por lo que sigue habiendo 15 bolas, 5 de las cuales son azules: P A | R 5 / 15 P A

Después de haber salido una bola azul, ésta es devuelta a la urna, por lo que si-gue habiendo 15 bolas, 4 de las cuales son blancas: P B | R A 4 / 15 P B b) Que salgan en el orden azul, roja azul:

5 6 5 150 2P A R A P A P R | A P A | A R15 15 15 3375 45

c) Que salgan tres bolas blancas: 4 4 4 64P B B B P B P B | B P B | B B

15 15 15 3375

d) Que salgan una roja, una azul y una blanca, sin importar el orden:

8 16P 6 P R A B 6225 75

1 roja, 1 azul y 1 blanca

e) Que salgan dos azules y una roja:

2 2P 345 15

2 azules y una roja

Vemos que cuando la extracción se hace con reemplazo, las probabilidades de ocurrencia de eventos sucesivos no dependen, no están condicionadas a la ocurrencia de eventos previos. La razón por la que las probabilidades se man-tienen constantes, de extracción a extracción, es que físicamente las extraccio-nes son independientes; en tal caso, los eventos son física y estadísticamente independientes.


150

Ejemplo 1.60 URNA. Considere nuevamente la urna con 6 bolas rojas, 4 blancas y 5 azules, de la que se extraen sucesivamente tres bolas, sin reempla-zo. Calcule las mismas probabilidades que las solicitadas en el ejemplo 1.59.a) Que salgan en el orden roja, azul, blanca:

6 5 4 120 4P R A B P R P A | R P B | R A15 14 13 2730 91

Después de haber salido en primer lugar la bola roja, en la urna quedan 14 bolas, 5 de las cuales son azules: P A | R 5 / 14

Después de haber salido bola roja y bola azul, en la urna quedan 13 bolas, 4 de las cuales son blancas: üüüü b) Que salgan en el orden azul, roja azul:

5 6 4 120 4P A R A P A P R | A P A | A R15 14 13 2730 91

c) Que salgan tres bolas blancas: 4 3 2 24 4P B B B P B P B | B P B | B B

15 14 13 2730 455

d) Que salgan una roja, una azul y una blanca, sin importar el orden: P 1 roja, 1 azul y 1 blanca

P R A B R B A A R B A B R B R A B A R P R A B P R B A P A R B P A B R P B R A P B A R

4 246 P R A B 691 91

e) Que salgan dos azules y una roja: 4 12P 3 P A R A 3

91 91

2 azules y una roja

Se aprecia que, cuando la extracción se hace sin reemplazo, las probabili-dades de ocurrencia de eventos sucesivos se ven afectadas por la ocurrencia de eventos previos, es decir, están condicionadas a esa ocurrencia. Después de cada extracción, en la urna hay una bola menos, siendo ésta la causa principal de que las probabilidades se alteren, en extracciones subsecuentes; en tal caso, los eventos son física y estadísticamente dependientes.

Ejemplo 1.61. CIRCUITO ELÉCTRICO. Considere el circuito eléctrico esquematizado en el diagrama siguiente. La probabilidad de que un interruptor esté cerrado es p = 0.7 y se considera que los tres interruptores funcionan inde-pendientemente. Se trata de determinar la probabilidad de que fl uya corriente de la terminal 1 a la terminal 2.

La corriente fl uye de la terminal 1 a la terminal 2, siempre que el interruptor X esté cerrado, o que los interruptores Y y Z, ambos estén cerrados.


1

Lo resolveremos por tres procedimientos diferentes:a) Considerando eventos mutuamente exclusivos: Defi nimos el evento C = {corriente entre 1 y 2}, con dos posibles resultados para cada interruptor: 1, cerrado, y 0, abierto.

P P 1 1 1 1 1 0 1 0 1 0 1 1 1 0 0 C P 1 1 1 P 1 1 0 P 1 0 1 P 0 1 1 P 1 0 0

3 2 2 3 2P 1 3 P 1 P 0 P 1 P 0 p 3p 1 p p 1 p

3 2 3 2 3 2 3 2 3p 3p 3p p 1 2p p p 3p 3p p 2p p

3 2p p p 0.343 0.49 0.7 0.847

b) Considerando la ley de adición de probabilidades:Defi nimos los eventos {x}, {y}, {z} como indicativos de que están cerrados

sendos interruptores. P C P x y z P x P y z P x y z

2 3P x P y P z P x P y P z p p p

0.7 0.49 0.343 0.847 c) Considerando la regla del complemento:

P C P 0 1 0 0 0 1 0 0 0

P 0 1 0 P 0 0 1 P 0 0 0

2 3 2 32P 1 P 0 P 0 2p 1 p 1 p

2 2 32p 1 2p p 1 3p 3p p

2 3 2 3 3 22p 4p 2p 1 3p 3p p 1 p p p

3 2 3 2P C 1 P C 1 1 p p p p p p 0.847

Nótese la diferencia entre los circuitos de los ejemplos 1.53 y 1.61; en el

primero hay tres interruptores en paralelo y en este último son dos interrupto-res es serie con uno en paralelo. Ambos se analizan de manera similar, consi-derando independencia en el funcionamiento de los interruptores.

Ejemplo 1.62. FAMILIAS DE TRES HIJOS. Considere solo familias con tres hijos y el experimento consistente en registrar el sexo de los hijos; si H = {hombre}, M = {mujer}, con las probabilidades aceptadas: P(H) = 18/35 y P(M) = 17/35.

El espacio muestral del experimento es: S HHH , HHM , HMH , MHH , HMM , MHM , MMH , MMM

Las probabilidades de los cuatro diferentes puntos muestrales son:Tres varones:

318P HHH P H P H P H 0.13635

Dos varones: 218 17P HHM P H P H P M 0.128

35 35

Un varón: 218 17P HMM P H P M P M 0.121

35 35


152

Ningún varón: 317P MMM P M P M P M 0.115

35

Calcule las probabilidades de los siguientes eventos:a) A = {familias con hijos de uno y otro sexo}

P A P HHM HMH MHH HMM MHM MMH

3P HHM 3P HMM 3 0.128 3 0.121 0.749

b) B = {familias con un máximo de un hijo varón} P B P HMM MHM MMH MMM

3P HMM P MMM 3 0.121 0.115 0.479

c) La probabilidad conjunta de A y B P A B P HMM MHM MMH 3 0.121 0.364

d) Determine si los eventos A y B son estadísticamente independientes.Para establecer si los eventos A y B son estadísticamente independientes,

multiplicamos las probabilidades individuales y comparamos el resultado con la probabilidad conjunta: P A P B 0.749 0.479 0.359 0.364 P A B

En virtud de que no hay coincidencia, concluimos que los eventos A y B son estadísticamente dependientes, lo cual implica que debe existir una depen-dencia física entre ellos. Y efectivamente, la ocurrencia de uno favorece ligera-mente la ocurrencia del otro, y eso ocurre porque la probabilidad de hijo varón y de hija mujer no son simétricos. Si hubiéramos considerado equiprobabilidad con P(H) = P(M) = 0.5, los resultados serían los siguientes:

3P HHH P HHM P HMM P MMM 0.5 0.125

P A 6P HHM 6 0.125 0.75

P B 4P HMM 4 0.125 0.5

P A B 3P HMM 3 0.125 0.375

P A P B 0.75 0.5 0.375

y entonces, los eventos A y B serían independientes. Ahora sabemos que la falta de simetría es la que provocó la dependencia, en este caso. Ejemplo 1.63. CIRCUITO ELÉCTRICO. Sea el circuito mostrado en la siguiente fi gura; los cuatro interruptores operan eléctricamente, cada uno tiene un mecanismo de operación independiente y todos se controlan simultánea-mente en el mismo impulso, esto es, se intenta que todos los interruptores cierren o abran simultáneamente. Cada interruptor tiene, sin embargo, una pro-babilidad p de falla.


1

Sean los eventos: F = {falla el interruptor i} N = {no falla el interruptor i}

C = {Hay corriente entre A y B}El espacio muestral del experimento es:

NNNN , NNNF , NNFN , NFNN , FNNN , NNFF , NFNF , NFFN ,

FNNF , FNFN , NFNN , NFFF , FNFF , FFNF , FFFN , FFFF

Las probabilidades de los cinco diferentes puntos muestrales son:Ninguna falla: 4P NNNN P N P N P N P N 1 p Una falla: 3P NNNF P N P N P N P F 1 p p Dos fallas: 2 2P NNFF P N P N P F P F 1 p p Tres fallas: 3P NFFF P N P F P F P F 1 p p Cuatro fallas: 4P FFFF P F P F P F P F p

a) ¿Cuál es la probabilidad de que haya corriente entre las terminales A y B? P C P NNNN NNNF NNFN NFNN FNNN NNFF FFNN

4 3 2 2P NNNN 4P NNNF 2P NNFF 1 p 4 1 p p 2 1 p p

2 3 4 2 3 4 2 3 41 4p 6p 4p p 4p 12p 12p 4p 2p 4p 2p

2 3 41 4p 4p p

b) ¿Cuál es la probabilidad de falla del sistema? 2 3 4 2 3 4P C 1 P C 1 1 4p 4p p 4p 4p p

c) ¿Mejoraría la operación del sistema la adición del conector 5?Es obvio suponer que la adición del conector 5 mejoraría la operación del

sistema, es decir, la probabilidad de que haya corriente entre las terminales A y B sería mayor si existe el conector 5, que si no existe.

Sea el evento K = {Hay corriente entre A y B, con conector 5}

NNNN NNNF NNFN NFNN FNNNP K P

NNFF FFNN NFFN FNNF

4 3 2 2P K P NNNN 4P NNNF 4P NNFF 1 p 4 1 p p 4 1 p p

2 3 4 2 3 4 2 3 41 4p 6p 4p p 4p 12p 12p 4p 4p 8p 4p

2 41 2p p

Debemos probar entonces que: 2 4 2 32p p 1 4p 4p p 2 4 2 3 41 2p p 1 4p 4p p 0

2 3 4 2 3 42p 4p 2p 0, p 2p p 0

22 2 2p 1 2p p 0, p 1 p 0 22p 0, p 0, 1 p 0, 1 p 0

Efectivamente, el sistema es más efi ciente con el conector 5 que sin él.d) El espacio muestral cambia a:


154

NNNNN , NNNNF , NNNFN , NFNNN , FNNNN , NNNFF , NFNNF , NFNFN ,

FNNNF , FNNFN , NFNNN , NFNFF , FNNFF , FFNNF , FFNFN , FFNFF ,S'

NNFNN , NNFNF , NNFFN , NFFNN , FNFNN , NNFFF , NFFNF , NFFFN ,

FNFNF , FNFFN , NFFNN , NFFFF , FNFFF , FFFNF , FFFFN , FFFFF

Sea el evento G = {Hay corriente entre A y B, con interruptor 5}

NNNNN NNNNF NNNFN NNFNN NFNNN FNNNN

P G NNNFF NNFNF NNFFN NFNFN FNNNF

FFNNN FNFNN NFFNN NNFFF FFFNN

P NNNNN 5P NNNNF 8P NNNFF 2P NNFFF

5 4 3 22 31 p 5 1 p p 8 1 p p 2 1 p p

2 3 4 5 2 3 4 51 5p 10p 10p 5p p 5p 20p 30p 20p 5p

2 3 4 5 3 4 58p 24p 24p 8p 2p 4p 2p

2 3 4 51 2p 2p 5p 2p

Se debe cumplir que: 2 4 2 3 4 51 2p p 1 2p 2p 5p 2p 2 4 2 3 4 5 3 4 51 2p p 1 2p 2p 5p 2p 0, 2p 4p 2p 0

2 23 2 3 32p 1 2p p 0, p 1 p 0, p 0, p 0, 1 p 0, 1 p 0

También se debe cumplir: 2 3 4 5 2 3 41 2p 2p 5p 2p 1 4p 4p p 2 3 4 5 2 3 4 2 3 4 51 2p 2p 5p 2p 1 4p 4p p 0, 2p 6p 6p 2p 0

3 32 2 3 2 22p 1 3p 3p p 0, p 1 p 0, p 0, p 0, 1 p 0, 1 p 0

e) Sea el evento D = {fallan exactamente 2 interruptores} P D P NNFF NFNF NFFN FNNF FNFN FFNN

2 26P NNFF 6 1 p p

2 2P C D P NFNF FNFN 2P NNFF 2 1 p p

2 2P C D P NFNF FNFN 2P NNFF 2 1 p p

Nótese que a través de una función polinomial se establece el modelo pro-

babilístico indicativo del comportamiento del sistema, bajo determinadas cir-cunstancias: con 4 o 5 interruptores, con un conector adicional, etc. Mediante el trazo de las curvas polinomiales es posible hacer un análisis de sensibilidad del circuito para distintos valores de p.

1


Aunque generalmente la independencia mutua parece prácticamente asegu-rada si los eventos son independientes por pares: i j i jP A A P A P A , i j , i 1,n en algunos casos, esta independen-

cia no es sufi ciente para garantizar la independencia mutua. Ejemplo 1.64. TETRAEDRO. Si en lugar de lanzar un dado, se lanza un te-traedro, cuyas caras están numeradas del 1 al 4, defi nimos los eventos:A = {1, 2}, B = {1, 3}, C = {1, 4}, las probabilidades correspondientes son: P(A) = 1/2, P(B) = 1/2, P(C) = 1/2. Ahora, utilizando el criterio de Laplace, calculamos las siguientes probabilidades conjuntas:

N A B 1P A BN 4

N A C 1P A CN 4

N B C 1P B CN 4

N A B C 1P A B CN 4

Vemos que los eventos A, B y C son independientes por pares, pues:

1 1 1P A B P A P B2 2 4

1 1 1P A C P A P C2 2 4

1 1 1P B C P B P C2 2 4

Sin embargo, A, B y C no son mutuamente independientes, ya que:

1 1 1 1 1P A B C P A P B P C2 2 2 8 4

La probabilidad condicional se defi ne como un cociente y, como tal, no tiene problema alguno desde la perspectiva matemática; sin embargo, si

presenta serias difi cultades conceptuales en su aplicación, las cuales conviene identifi car, distinguir qué circunstancias las provocan y solventarlas totalmen-te, a efecto de que el aprendizaje del tema sea signifi cativo.

Cuando las personas empiezan a tratar con el concepto de condicionali-dad, comúnmente lo confunden con el de causalidad, porque les cuesta mucho trabajo aceptar que la ocurrencia de un evento posterior pueda condicionar la ocurrencia de un evento previo. En el numerador del cociente que defi ne la probabilidad condicional P(A|B), aparece la probabilidad de la ocurrencia conjunta P( A B ), que no expresa ocurrencia simultánea; el evento A puede ocurrir 10 millones de años después que el evento B, 15 segundos antes, o al mismo tiempo; ahí empieza la difi cultad, y la mejor manera de solventarla es desligando la variable tiempo de la ocurrencia de los eventos. Así, cuando se hable de la probabilidad condicional de un evento A, dada la ocurrencia del evento B, no se debe entender que el evento A habrá de ocurrir necesariamente posterior al evento B. Más aún, en muchas ocasiones, aunque los dos eventos hayan ocurrido, sin importar el orden temporal de ocurrencia, se pueden medir ambas probabilidades condicionales, P(A|B) y P(B|A).

La segunda difi cultad es de naturaleza práctica y se refi ere a la complejidad en la distinción de los eventos condicionados y condicionantes, con proble-máticas inmersas en contextos muy diversos. La propuesta para resolver esto es recurrir a la retroalimentación, que permita aclarar dudas, contextualizar el problema y así poder plantearlo sin equívocos.


1.5.3CONDICIONALIDAD

EN IMÁGENES

156

Finalmente, la tercera difi cultad proviene de lo variada que resulta la infor-mación de que se dispone para enfrentar problemas de probabilidad condicio-nal, pues es en función de ella, que se tiene que proceder. No se trata de esta-blecer un algoritmo para cada caso, que conduzca a la búsqueda de la fórmula correcta, sino de conocer la gama de posibilidades y reconocer los diferentes caminos para resolverlos, sin soslayar información relevante.

Considerando únicamente dos eventos A y B correspondientes a un cierto espacio de probabilidad, al tomar en cuenta los eventos complementarios Ac y Bc, se pueden establecer ocho relaciones de probabilidad condicional, conside-rando todos los denominadores diferentes de cero.

P A B P B AP A | B ; P B | A

P B P A

c cc c


P B P A

c cc c

c c


P B P A

c c c cc c c c

c c


P B P A

Todo el conocimiento posible involucrado en esas 8 relaciones se resume en 16 elementos: 8 probabilidades condicionales, 4 probabilidades conjuntas y 4 probabilidades marginales, y signifi ca que un problema de probabilidad condicional ha quedado totalmente resuelto sólo cuando se han evaluados los 16 elementos.

Para resolver totalmente un problema de probabilidad condicional sólo se requieren tres elementos no complementarios, siendo las 9 posibilidades las siguientes:

• 1 marginal y 2 conjuntas• 1 marginal y 2 condicionales• 1 conjunta y 2 marginales• 1 conjunta y 2 condicionales• 1 marginal, 1 conjunta y 1 condicional• 2 marginales y 1 conjunta• 2 marginales y 1 condicional• 2 conjuntas y 1 condicional• 3 condicionalesHasta aquí, los problemas de probabilidad condicional los hemos resuelto

de la manera usual, utilizando el álgebra para considerar de manera simultánea tres reglas básicas: la probabilidad del complemento y las leyes de adición y de multiplicación de probabilidades. Existen otros recursos visuales, que vale la pena explorar; ellos son las tablas de doble entrada, los árboles de probabilidad condicional y los diagramas de cuadrado unitario, todos ellos de fácil manejo, muy útiles para entender claramente los conceptos y para visualizar todos los resultados simultáneamente, aunque ninguno de ellos es autosufi ciente para enfrentar cualquier tipo de problema de probabilidad condicional.

CONDICIONALIDAD EN IMÁGENES

1

Tablas de doble entradaEn primera instancia consideramos problemas de probabilidad condicional

que involucran únicamente dos eventos y sus respectivos complementos; para éllos, el elemento base es una tabla de doble entrada o matriz de 2 x 2, que contiene o debe contener la información de las 4 probabilidades conjuntas:

Esta tabla se complementa adicionándole una columna, en la que se obtie-nen las dos probabilidades marginales correspondiente a A y Ac, sumando las probabilidades conjuntas de cada uno de los renglones; y adicionándole un renglón, en el que se obtienen las dos probabilidades marginales correspon-dientes a B y Bc.

La tabla ampliada incorpora las ocho probabilidades condicionales, cuatro en dos columnas adicionales y las otras cuatro en do renglones adicionales.

Ejemplo 1.65. RÍOS CONTAMINADOS. Con referencia al ejemplo 1.55, los datos del problema son: P(T) = 2/5, P(P) = 3/4, c cP T P = 0.20


158

Las tablas de doble entrada son fáciles de manipular y facilitan los cálculos, pero no son la panacea, pues cuando los datos disponibles son 3 condicionales o bien 2 condicionales y 1 marginal, no se relacionadas, es necesario salirse de la tabla y recurrir al álgebra para obtener al menos 1 probabilidad conjunta, para luego continuar en la tabla y concluir el ejercicio. Como tarea para el lector quedan los dos casos siguientes, con otros datos del problema:

a) P(P) = 0.75, P(P|T) = 0.875, P(Pc|Tc) = 0.333b) P(Tc|Pc) = 1/4, P(T|P) = 7/15, P(P|Tc) = 2/3

Árboles de probabilidades condicionalesOtra manera de visualizar las probabilidades condicionales en contexto, es

a través de diagramas de árbol, que por la información que contienen, son de-nominados árboles de probabilidad condicional.

Se construyen dos árboles de probabilidades, uno para cada evento básico. El árbol correspondiente al evento A es un arreglo como el siguiente:

La herramienta es fácil de construir, bajo las siguientes reglas:a) Las ramas que parten de un mismo nodo corresponden a eventos com-

plementariosb) En las dos ramas que parten del nodo inicial se anotan las probabilidades

marginales P(A) y P(Ac)c) En las ramas que parten de los segundos nodos se anotan las probabilida-

des condicionales P(A|B), P(Ac|B), P(A|Bc) y P(Ac|Bc), siguiendo la secuen-cia de la rama previa.

El árbol ampliado con toda la información complementaria es el siguiente:

d) Al fi nal de cada rama terminal se anota la probabilidad conjunta corres-pondiente al producto de la marginal y la condicional, anotadas sobre ramas consecutivas, conforme a la ley de multiplicación de probabilidades: y c c c cP B A , P B A , P B A P B A .


1

e) Al margen derecho del diagrama se anotan las probabilidades marginales del otro evento básico y su complemento: P(B) y P(Bc), sumando las proba-bilidades conjuntas asociadas; la suma de estas dos marginales debe sumar 1 y es la manera de corroborar operaciones aritméticas.

El árbol correspondiente al evento B se construye de manera idéntica, inter-cambiando A por B y la B por A.

Ejemplo 1.66. ENTRONQUE. Con referencia al ejemplo 1.56, los datos del problema son: P(x) = 0.1, P(y) = 0.2, P x | y 0.5

Como ocurre con las tablas de doble entrada, los árboles de probabilidad condicional son recursos muy visuales, fáciles de manejar, pero no son infa-libles; si los datos del problema son 3 condicionales, 2 de ellas se ubican en un árbol y la tercera en el otro, o si son 2 condicionales con 1 marginal o una conjunta que no están en línea de secuencia, hay que abandonar los diagramas y recurrir al álgebra, para obtener al menos otra probabilidad conjunta u otra marginal, para luego retornar a los diagramas y concluir el ejercicio. Al lector le quedan estos dos ejercicios, con diferentes datos del problema:

a) P(xc|y) = 1/2, P(y|x) = 1, P(yc|xc) = 8/9 b) c cP x y 0.8 , P(x|y) = 0.5 , P(yc|x) =0


160

Diagramas de cuadrado unitarioLa dependencia o independencia de eventos no se puede identifi car median-

te de un diagrama de Venn tradicional; los eventos A y B pueden ser depen-diente en cualquiera de los tres siguientes diagramas, y pueden ser indepen-dientes sólo en el segundo, pero no necesariamente.

De hecho, los dos diagramas de los extremos representan los dos casos lí-mite del caso general, simbolizado por el segundo diagrama: cuando no hay ocurrencia conjunta y cuando hay ocurrencia implicada, en esos dos casos, la dependencia entre los eventos es total.

En el primer diagrama, donde A y B son eventos mutuamente exclusivos, si B ocurre, entonces la probabilidad de A es nula; y si A ocurre, entonces la probabilidad de B es nula; por eso son dependientes.

En el tercer diagrama, donde la ocurrencia de A implica la ocurrencia de B, si B ocurre, entonces la probabilidad de A es la probabilidad conjunta de A y B; y si A ocurre, entonces la probabilidad de B es uno; por eso son dependientes.

Entonces, cuando hay incompatibilidad o continencia, se puede asegurar que los eventos no son independientes. De hecho se trata del mismo tipo de relación entre eventos, como se puede apreciar en los siguientes diagramas:

El caso general es donde cuesta trabajo dilucidar si los eventos son indepen-

dientes o no, y un diagrama de Venn no ayuda en nada. Para visualizar probabi-lidades condicionales, proponemos el uso de diagramas de cuadrado unitario, que son aplicables en todos los casos y se construyen como sigue:

a) El segmento unitario horizontal se particiona en dos subintervalos que representan los dos eventos que se pueden dar por ocurridos, asignando a cada longitud de subintervalo, la probabilidad del evento correspondiente: P(B) y P(Bc).

b) Sobre cada uno de los dos subintervalos defi nidos hay un rectángulo de altura unitaria, el cual se particiona en dos regiones; la inferior con una altura igual a la probabilidad condicional P(A|•) y cuya área corresponde a la pro-babilidad conjunta P( A ), y la superior con altura igual a la probabilidad condicional P(Ac|•), delimitada automáticamente por el valor uno y cuya área corresponde a la probabilidad conjunta P( cA ).

c) Se puede construir un diagrama cuadrado unitario equivalente, en el que verticalmente se representan las probabilidades condicionales P(B|•) y P(Bc|•) como alturas de dos regiones de los rectángulos formados sobre los subinter-valos horizontales en los que se representan las probabilidades P(A) y P(Ac).


1

Ejemplo 1.67. DIAGRAMAS DE CUADRADO UNITARIO. Sean los eventos A y B, cuyas probabilidades fi jaremos en P(A) = 0.4 y P(B) = 0.5. Para ilustrar el procedimiento de construcción de un diagrama de cuadrado unitario consideraremos cinco casos representativos:a) Los eventos A y B son mutuamente exclusivos:

A B P A B 0

c c c c

c

P A 0.4P A | B 0, P A | B 1, P A | B 0.8, P A | B 0.20.5P B

c c c c

c

P B 0.5P B | A 1, P B | A 0, P B | A 0.833, P B | A 0.1660.6P A

b) El evento A está contenido en el evento B.

cP A 0.4A B A B A P A | B 0.8, P A | B 0.2

P B 0.5

c c c

c

P A P B0 0.5P A | B 0, P A | B 1, P B | A 10.5 P B 0.5P B

cc c c c

c

P B A 0.1P B | A 0, P B | A 0.166, P B | A 0.8330.6P A

c) P A B 0.1

eventos dependientesP A P B 0.4 0.5 0.2 0.1

c

c cc

P A BP A B 0.1 0.3P A | B 0.2, P A | B 0.8, P A | B 0.6P B 0.5 0.5P B


162

c c c0.1P A | B 0.4, P B | A 0.25, P B | A 0.750.4

cc c c

c

P B A 0.4P B | A 0.666, P B | A 0.3330.6P A

d) P A B 0.2

eventos independientesP A P B 0.4 0.5 0.2 P A B

c

c cc


c c c0.2P A | B 0.6, P B | A 0.5, P B | A 0.50.4

cc c c

c

P B A 0.3P B | A 0.5, P B | A 0.50.6P A

e) P A B 0.3

eventos dependientesP A P B 0.4 0.5 0.2 0.3

c

c cc


c c c0.3P A | B 0.8, P B | A 0.75, P B | A 0.250.4

cc c c

c

P B A 0.2P B | A 0.333, P B | A 0.6660.6P A


1

La serie de diagramas de cuadrado unitario obtenidos en el ejercicio da pié

para distinguir no sólo los casos de dependencia o independencia de eventos, sino también para identifi car el tipo de relación que guardan los eventos entre sí, cuando hay dependencia.

Considerando que los datos de partida fueron: P(A) = 0.4 y P(B) = 0.5, que conllevan el producto P(A)P(B) = 0.2, en el siguiente cuadro resumen se observan las conclusiones para diferentes valores de la probabilidad conjunta:P(AB) P(A|B) P(B|A) Relación

0 0 0 la ocurrencia de uno inhibe la ocurrencia del otro

0.1 0.2 0.25 la ocurrencia de uno desfavorece la ocurrencia del otro

0.2 0.4 0.5 eventos estadísticamente independientes

0.3 0.6 0.75 la ocurrencia de uno favorece la ocurrencia del otro

0.4 0.8 1 la ocurrencia de uno obliga la ocurrencia del otro

De manera general: 0 P A B P A ; 0 P A B P B

Si P A B 0 A B

Si P A B P A A B, P B | A 1

Si P A B P B B A P A | B 1

Si P A B P A P B A B

Si P A B P A P B existe correlación positiva entre A y BSi P A B P A P B existe correlación negativa entre A y BLa construcción de diagramas de cuadrado unitario se puede generalizar

muy fácilmente a cualquier número de eventos mutuamente exclusivos a in-cluir en el segmento unitario horizontal, con dos eventos complementarios a considerar en el sentido vertical.


164

Considere una partición del espacio muestral , constituida por los even-tos B1, B2,..., Bn que son mutuamente exclusivos y colectivamente ex-

haustivos. Un evento A cualquiera siempre se puede descomponer en los eventos ( 1A B ), ( 2A B ),…, ( nA B ), que son mutuamente exclusivos:

n

ii 1

A A B

La probabilidad del evento A siempre puede expresarse como la suma de las

probabilidades de los eventos iA B , i=1,2,…, n

n

ii 1

P A P A B

____ (1.41)

Cada término puede expandirse conforme a la ley de multiplicación de pro-babilidades dada en (1.39), de manera que la ecuación (1.41) también puede escribirse como:

n

i ii 1

P A P A | B P B

____ (1.42)

Este resultado se conoce como teorema de probabilidad total y representa la expansión de la probabilidad de un evento en términos de sus probabilidades condicionales, condicionadas sobre un conjunto de eventos mutuamente ex-clusivos y colectivamente exhaustivos.

En efecto:

n

1 2 n ii 1

P A P A B A B ... A B P A B

Pero i jB B , i j por lo que: i jA B A B , i j

Entonces: n

ii 1

P A P A B

La probabilidad total obtenida a través de (1.41) o (1.42) es la probabilidad marginal de A, es decir, es la probabilidad de ocurrencia de A, sin importar la ocurrencia de cualquier otro evento.

PROBABILIDAD TOTAL

1.5.4TEOREMA DEPROBABILIDADTOTAL

1

Hagamos ahora una pequeña transformación, renombrando las ocurrencias conjuntas en la forma: i iC A B , de manera el evento A es la unión de n

eventos Ci mutuamente exclusivos:n

i i ji 1

A C , C C , i j

, constitu-

yendo una descomposición del evento A.

Por lo tanto, la probabilidad total del evento A es la suma de las probabili-dades de los eventos Ci, lo cual replica el tercer axioma de probabilidad:

n n

i i i ji 1i 1

P A P C P C C C , i j

Aunque no lo parecía, aquel que denominamos teorema de probabilidad

total en el capítulo 1.2 y que durante más de doscientos años fuera considerado uno de los tres teoremas fundamentales de la probabilidad, es exactamente el mismo que el tratado en este apartado, sólo que estaba presentado de otra manera; con la adecuación realizada, se pudo ver claramente que se trata del mismo concepto.

Ejemplo 1.68. URNAS. Se tienen tres urnas que contienen 24 bolas cada una. La urna 1 tiene 16 bolas rojas y 8 blancas, la urna 2 tiene 20 bolas rojas y 4 blancas, y la urna 3 tiene 6 bolas rojas y 18 blancas. Se ha extraído una bola de alguna de las urnas, ¿cuál es la probabilidad de que la bola sea blanca?

Cabe suponer cuatro soluciones: Si la bola salió de la urna 1, la probabili-

dad de que sea blanca es 1/3, porque hay 8 de 24 bolas, que son blancas. Si la bola salió de la urna 2, la probabilidad de que sea blanca es 1/6, porque hay 4 de 24 bolas, que son blancas. Y si la bola salió de la urna 3, la probabilidad de que sea blanca es 3/4, porque hay 18 de 24 bolas, que son blancas. Finalmen-te, si no sabemos de cuál de las tres urnas salió, entonces la probabilidad de que sea blanca es 5/12, porque, en total, hay 30 de 72 bolas, que son blancas.


166

¿Sería posible que las cuatro respuestas fueran correctas? Pues si supone-mos que la bola salió de la urna 1, la respuesta correcta es la primera; es una probabilidad condicional, condicionada a que la urna elegida haya sido la 1. Se puede decir exactamente lo mismo, si suponemos la extracción de la urna

2, o de la 3: 8 1 4 1 18 3P B |1 , P B | 2 , P B | 324 3 24 6 24 4

La cuarta respuesta corresponde a una probabilidad no condicional, pues

aquí no hay necesidad de suponer nada; considerando que la urna elegida pudo ser cualquiera de las tres, con igual probabilidad de 1/3, la probabilidad total de que la bola sea blanca es: P B P B |1 P 1 P B | 2 P 2 P B | 3 P 3

1 1 1 1 3 1 1 1 1 4 2 9 15 53 3 6 3 4 3 9 18 4 36 36 12

Cuando se obtiene probabilidad total, el diagrama de cuadrado unitario se puede simplifi car omitiendo las probabilidades correspondientes a los comple-metos, quedando únicamente una distribución de probabilidad:

Ejemplo 1.69. DEFECTUOSOS. Tres máquinas A, B y C producen, respec-tivamente, 50%, 30% y 20% del número total de artículos de una fábrica; los porcentajes de desperfectos de producción de estas máquinas son, respectiva-mente, 4%, 2% y 3%. Existe interés en determinar cuál es el porcentaje de artículos defectuosos en toda la fábrica.

Intuitivamente, tal porcentaje se puede obtener sumando los productos de

los porcentajes de producción de cada máquina por sus correspondientes por-centajes de desperfectos:

0.50 0.04 0.30 0.02 0.20 0.03 0.02 0.006 0.006 0.032

PROBABILIDAD TOTAL

1

El porcentaje total de artículos defectuosos es de 3.2%Formalmente: Sean los eventos: A = {artículo producido por la máquina A} B = {artículo producido por la máquina B} C = {artículo producido por la máquina C} D = {artículo defectuoso}Con las siguientes probabilidades: P A 0.50, P D | A 0.04 P B 0.30, P D | B 0.02 P C 0.20, P D | C 0.03

P D P A P D | A P B P D | B P C P D | C

0.50 0.04 0.30 0.02 0.20 0.03 0.02 0.006 0.006 0.032

Nos damos cuenta que la manera en que resolvimos los problemas de pro-babilidad condicional fue aplicando intuitivamente el teorema de probabilidad total, porque estuvimos tratando con eventos complementarios, y éstos son mutuamente exclusivos y colectivamente exhaustivos:

c cA A B A B A

c cA A B A B A B

c c cP B P B A P B A P B | A P A P B | A P A

Ejemplo 1.70. ENTRONQUE. En el ejercicio del entronque Viaducto – Peri-férico, se desea obtener la probabilidad de que se sature el tramo z, usando el teorema de probabilidad total.

Tomando los eventos: x y , x y , x y , x y , que son mutua-mente exclusivos y colectivamente exhaustivos, calculamos la probabilidad total: P z P z | x y P x y P z | x y P x y

P z | x y P x y P z | x y P x y

Y sustituyendo: P x y P x | y P y , P x y P x | y P y

P x y P x | y P y , P x y P x | y P y


168

Bajo los mismos supuestos establecidos para el teorema de probabilidad to-tal, por defi nición de probabilidad condicional, la probabilidad de ocurren-

cia del evento B, dada la ocurrencia del evento Aj es: j

jj

P A BP B | A

P A

Y puesto que j j j j jP B A P A P B | A P A B P B P A | B

, entonces: j

j

P A BP A | B

P B

El numerador jP A B representa un término de la ecuación 1.41, y pue-de ser reemplazado, como en la ecuación 1.42 por el producto j jP B | A P A y en forma similar, el denominador puede ser reemplazado por la suma de tales

términos:

j jj jn

i ii 1

P B | A P AP A | B , A

P B | A P A

____ (1.43)

Este resultado es conocido como teorema de Bayes, el cual provee una regla cuya validez es indiscutible para obtener, a partir de un conjunto de probabi-lidades a priori, asignadas objetiva o subjetivamente, un conjunto de proba-bilidades a posteriori, que permiten corroborar aquellas, si su asignación fue objetiva, o permiten modifi carlas y corregirlas, si su asignación fue subjetiva, con fundamento en la evidencia de que un determinado evento ha ocurrido.

Cuando decimos: “dada la ocurrencia del evento B”, esto no se debe inter-pretar como que B es el resultado de un experimento determinístico, al suponer que si ha ocurrido, entonces P(B) =1. La riqueza del español facilita expresar la idea de una mejor manera, con la frase: “si el evento B ocurriera”.

Si bien la regla de Bayes parece una expresión complicada, sigue siendo en esencia el mismo cociente que defi ne probabilidad condicional, excepto que el denominador, que corresponde a una probabilidad marginal, ahora está expan-dido conforme al teorema de probabilidad total. En esencia, el teorema invoca únicamente dos leyes: adición y multiplicación de probabilidades.


1.5.5TEOREMADE BAYES

170

Revisemos con detenimiento el signifi cado de los términos contenidos en la denominada regla de Bayes: • P(Ai) = Probabilidad a priori de ocurrencia del evento Ai • P(B|Ai) = Probabilidad condicional de ocurrencia del evento B, dado que

el evento Ai ocurre. El evento Ai visto como la causa de ocurrencia del evento B

• P(Ai|B) = Probabilidad condicional de ocurrencia del evento Ai, si es que el evento B ocurriera. El evento B visto como el efecto de la ocurrencia del evento Ai.

Tanto el teorema como la probabilidad subjetiva asociada a éste, siempre han suscitado polémica. Las llamadas probabilidades a priori P(Ai) pueden provenir de cualquiera de las interpretaciones de probabilidad: clásica, fre-cuentista o subjetiva; la objetividad en la asignación está condicionada, pues sólo en los juegos de azar se puede invocar simetría y sólo disponiendo de abundante información estadística es posible usar frecuencias relativas; en la mayoría de los problemas reales, las llamadas probabilidades a priori han de ser evaluadas subjetivamente, en el mejor de los casos con un criterio lógico.

En general, en el ámbito profesional, las probabilidades subjetivas no son ocurrencias irresponsables de alguien; aunque no se basen en ningún cálculo preciso, en general corresponden a evaluaciones razonables que realizan per-sonas bien informadas y comprometidas, traduciéndolas en creencias; en el teorema de Bayes, el término matemático para creencia se llama probabilidad a priori, aquella que estaría cambiando permanentemente en función de nuevos datos, siempre en el rango entre 0 y 1.

El conocimiento previo que tenemos de muchas cosas se basa en nuestras creencias y suposiciones, infl uyendo en nuestra percepción; y nuestra percep-ción es más o menos sensible a la información en la medida en que ésta mo-difi ca nuestras creencias sobre el mundo. El teorema de Bayes permite fundir las probabilidades subjetivas, a priori, con información experimental nueva, para obtener unas segundas probabilidades revisadas o a posteriori. La regla se puede aplicar iterativamente como un proceso de naturaleza secuencial y adaptativa, que permite ir afi nando las probabilidades a priori, a medida que se va generando nueva evidencia.

El enfoque bayesiano ha sido útil en algunas estimaciones basadas en co-nocimiento subjetivo, pues el hecho de poder revisar tales estimaciones, en congruencia con evidencia empírica adicional, abre nuevas formas de crear conocimiento. La perspectiva bayesiana ha sido revolucionaria hasta el punto de convertirse en el punto de vista mayoritario; la regla de Bayes es la fórmula matemática de las creencias, la que mide qué tanto la nueva evidencia es capaz de alterar las probabilidades a priori. Hoy en día es posible medir las creencias de las personas y también medir los cambios de percepción producidos, luego de recibir determinada información.

El teorema de Bayes se utiliza actualmente en una amplia variedad de pro-blemas, que van desde la exploración petrolera fuera de costa, hasta la discri-minación del “spam” en sistemas de correo electrónico.

TEOREMA DE BAYES

17

El nombre del teorema honra la memoria de Thomas Bayes; sin embargo, ahora se sabe que él sólo participó marginalmente en su expresión, pues hay evidencia que nunca estuvo en condiciones de hacer formulaciones a partir de probabilidades totales. El primero que lo enunció fue Abraham De Moivre, pero quien realmente lo desarrolló fue Laplace, quien en 1812 expresó: “Sea A un suceso que ocurre en conjunción con uno y sólo uno de los n sucesos dis-juntos B1, B2,…, Bn. Si se sabe que el suceso A ha ocurrido, ¿cuál es la proba-bilidad de que el suceso Bj también? La probabilidad de existencia de una de esas causas es igual a una fracción con un numerador igual a la probabilidad del suceso que se sigue de esta causa y un denominador que es la suma de las probabilidades similares relativas a todas las posibles causas”.

Ejemplo 1.72. URNAS. Como continuación del ejemplo 1.68, considere que de alguna de las tres urnas se extrajo una bola que resultó ser blanca, ahora in-teresa calcular la probabilidad de que la urna elegida haya sido la 1, la 2 o la 3.

Probabilidades a priori, clásicas: P 1 1 / 3, P 2 1 / 3, P 3 1 / 3

P B |1 1 / 3, P B | 2 1 / 6, P B | 3 3 / 4

Ya se había calculado: P B 5 / 12, P R 7 / 12

a) Que haya sido la 1:

P B |1 P 1 1 / 3 1 / 3 4P 1 | B 0.266P B 5 / 12 15

b) Que haya sido la 2:

P B | 2 P 2 1 / 6 1 / 3 2P 2 | B 0.133P B 5 / 12 15

c) Que haya sido la 3:

P B | 3 P 3 3 / 4 1 / 3 3P 3 | B 0.6P B 5 / 12 5

Ejemplo 1.73. DEFECTUOSOS. De los artículos producidos por tres dife-rentes máquinas, suponga que se ha elegido aleatoriamente un artículo y éste ha resultado defectuoso; calcule la probabilidad de que provenga de la máqui-na A, de la B o de la C.

Probabilidades frecuentistas: P A 0.50, P B 0.30, P C 0.20

P D | A 0.04, P D | B 0.02, P D | C 0.03 Ya se había calculado: cP D 0.032, P D 0.968

a) Que provenga de la A:

P D | A P A 0.04 0.50 0.02 5P A | D 0.625P D 0.032 0.032 8

b) Que provenga de la B:

P D | B P B 0.02 0.30 0.006 3P B | D 0.1875P D 0.032 0.032 16

c) Que provenga de la C:

P D | C P C 0.03 0.20 0.006 3P C | D 0.1875P D 0.032 0.032 16


172

d) De que estén cerrados los cuatro interruptores:

P FFFF | C P FFFFP NNNN | C

P C

4 2 3 4

2 3 4 2 3 4

1 1 p 1 4p 6p 4p p1 4p 4p p 1 4p 4p p

Árboles de probabilidades a priori y a posterioriUna manera gráfi ca de visualizar la aplicación de los teoremas de probabi-

lidad total y de Bayes, es a través de los árboles de probabilidad condicional, ahora en forma generalizada.

Las reglas para su construcción son prácticamente las mismas que las que se vieron previamente y aquí se puntualizan. A partir de probabilidades mar-ginales a priori, P(Ai) de los eventos A1, A2,…, An, mutuamente exclusivos y colectivamente exhaustivos, y de las probabilidades condicionales asociadas con ellos: P(B|Ai), se puede construir un diagrama que se denomina árbol de probabilidades a priori:

De acuerdo con las siguientes reglas:a) La suma de las probabilidades de los eventos correspondientes a ramas

que parten de un mismo nodo debe ser 1, lo cual implica que tales eventos de-ben ser mutuamente exclusivos y colectivamente exhaustivos.

b) Hay n ramas que parten del nodo inicial, en las que se anotan sendas probabilidades marginales a priori conocidas de los n eventos A1, A2,…, An, mutuamente exclusivos y colectivamente exhaustivos.

c) Hay dos ramas que parten de los n segundos nodos, en los que se anotan, respectivamente, las probabilidades condicionales: P(B|Ai), que es conocida, y P(Bc|Ai), que es calculada por complemento; estas dos probabilidades co-rrespondientes al nodo i, i=1,2,…, n, deben sumar 1, pues se trata de eventos complementarios en el espacio muestral condicional Ai; dentro de este espacio, tales eventos son mutuamente exclusivos y colectivamente exhaustivos.

d) Las probabilidades conjuntas y ci iP B A P B A se anotan como

valores terminales de las ramas del árbol, y se obtiene respectivamente de los productos P(B|Ai)P(Ai) y P(Bc|Ai)P(Ai), cuyos valores aparecen sobre ramas consecuentes en el árbol. Esta es la ley de multiplicación de probabilidades.

TEOREMA DE BAYES

17

e) Las probabilidades marginales P(B) y P(Bc), se obtienen respectivamen-te de las sumas P(B|Ai)P(Ai) y P(Bc|Ai)P(Ai), cuyos términos aparecen al-ternadamente como valores terminales del árbol. Este es el teorema de proba-bilidad total.

f) Las probabilidades marginales P(B) y P(Bc) obviamente deben sumar 1; esta es la mejor manera de corroborar operaciones aritméticas.

Luego, partiendo del árbol de probabilidades a priori, se construye el res-pectivo árbol de probabilidades a posteriori:

De acuerdo a las siguientes reglas:g) La suma de las probabilidades de los eventos correspondientes a ramas

que parten de un mismo nodo debe ser 1, lo cual implica que tales eventos de-ben ser mutuamente exclusivos y colectivamente exhaustivos.

h) Hay dos ramas que parten del nodo inicial, en las que se anotan, respec-tivamente, las probabilidades marginales P(B) y P(Bc) calculadas a través del teorema de probabilidad total; los eventos B y Bc son complementarios y, por consiguiente, mutuamente exclusivos y colectivamente exhaustivos.

i) Hay n ramas que parten de los 2 segundos nodos, en los que deben apa-recer sendas probabilidades condicionales a posteriori: P(Ai|B), para el nodo correspondiente a B, y P(Ai|Bc), para el nodo correspondiente a Bc; no ha sido calculado todavía el valor de estas probabilidades, solo se sabe que la suma correspondiente a cada uno de los nodos debe ser 1, pues se trata de eventos mutuamente exclusivos y colectivamente exhaustivos en los espacios condi-cionales B y Bc, respectivamente.

j) Las probabilidades conjuntas y ci iP A B P A B , que ya se habían

calculado a través de la ley de multiplicación de probabilidades, se anotan como valores terminales de las ramas de este segundo árbol, sabiendo que co-rresponden a los productos P(Ai|B)P(B) y P(Ai|B

c)P(Bc), cuyos valores apare-cen sobre ramas consecuentes en este segundo árbol.

k) Las probabilidades condicionales a posteriori desconocidas P(Ai|B) y P(Ai|B

c), se obtienen, respectivamente, dividiendo el valor terminal iP A Bentre la probabilidad marginal P(B), y dividiendo el valor terminal c

iP A Bentre la probabilidad marginal P(Bc). Esto es el teorema de Bayes.


176

l) Las probabilidades marginales P(Ai), i = 1, 2,…, n, se obtienen respec-tivamente de las sumas + c

i iP A B P A B , cuyos términos aparecen sal-teados, como valores terminales del árbol.

m) La suma de las probabilidades marginales P(Ai) obviamente debe sumar 1; esta es la mejor manera de corroborar operaciones aritméticas.

Arreglos matriciales1. Las dos ecuaciones que relacionan las probabilidades de eventos comple-

mentarios: c cP A P A 1, P B P B 1 , se pueden expresar mediante el producto de la matriz de probabilidades individuales por un vector unitario y

da por resultado un vector unitario:

c

c

P A P A 1 11 1P B P B

2. Las ecuaciones que relacionan las probabilidades conjuntas con pro-babilidades marginales corresponden al teorema de probabilidad total: c c c c cP A B P A B P A , P A B P A B P A

c c c c cP B A P B A P B , P B A P B A P B y se pueden expresar a través del producto de una matriz de probabilidades conjuntas por un vector unitario y da por resultado un vector de probabilidades marginales complementarias:

c

cc c c

P A B P A B P A11 P AP A B P A B

c

cc c c

P B A P B A P B11 P BP B A P B A

Nótese que en el segundo sistema de ecuaciones la matriz de probabilidades

conjuntas es la traspuesta de la matriz de probabilidades conjuntas del primero. 3. Las ecuaciones que relacionan las probabilidades condicionales con las

probabilidades marginales de dos eventos, también corresponden al teorema de probabilidad total, pero con cada término expandido como producto: c cP A | B P B P A | B P B P A

c c c c cP A | B P B P A | B P B P A

c cP B | A P A P B | A P A P B

c c c c cP B | A P A P B | A P A P B

y se puede expresar mediante el producto de una matriz cuyos elementos son productos de condicionales por marginales, por un vector de probabilidades marginales y da por resultado el otro vector de probabilidades marginales:

c

c cc c c

P A | B P A | B P B P A

P B P AP A | B P A | B

c

c cc c c

P B | A P B | A P A P B

P A P BP B | A P B | A

TEOREMA DE BAYES

17

Nótese que el primer sistema de ecuaciones está asociado al árbol de proba-bilidades a priori y el segundo sistema de ecuaciones está asociado al árbol de probabilidades a posteriori.

Ejemplo 1.76. DEFECTUOSOS. Los datos estadísticos indican que las má-quinas A, B y C producen, respectivamente, 50%, 30% y 20% del número total de artículos de una fábrica; los porcentajes de desperfectos de producción de estas máquinas son, respectivamente, 4%, 2% y 3%. Construya árboles de probabilidad a priori y a posteriori, para visualizar la aplicación de los teore-mas de probabilidad total y de Bayes, a la solución de este problema.

Árbol a priori:

Árbol a posteriori:

Y matricialmente:

0.50.04 0.02 0.03 0.032

0.30.96 0.96 0.97 0.968

0.2

0.6250 0.4959 0.50.032

0.1875 0.3037 0.30.968

0.1875 0.2004 0.2


178

La construcción de árboles de probabilidades se puede generalizar para cuando se tienen k conjuntos de eventos mutuamente exclusivos y colectiva-mente exhaustivos.

Ejemplo 1.77. ENTRONQUE. En el entronque Viaducto y Periférico se ha observado que los tramos x e y se congestionan con probabilidades 0.1 y 0.2, respectivamente, que cuando el tramo y se congestiona, el tramo x se conges-tiona con probabilidad 0.5, y que cuando los tramos x e y trabajan debajo de sus capacidades, la probabilidad de que el tramo z se sature es de 0.2. Constru-ya árboles de probabilidad a priori y a posteriori, para visualizar la aplicación de los teoremas de probabilidad total y de Bayes, al resolver este problema.

Toda la información requerida ya ha sido calculada previamente y resumida en el ejemplo 1.74, misma que ahora se vacía en los árboles de probabilidades.

Árbol a priori:

Árbol a posteriori:

TEOREMA DE BAYES

17

Independencia condicionalSi A, B y C son tres eventos que pueden ocurrir conjuntamente, entonces se

dice que los eventos A y B son condicionalmente independientes dada la ocu-rrencia del evento C, con P(C) > 0, si al ocurrir C, la ocurrencia o no ocurren-cia de A no aporta ninguna información sobre la probabilidad de ocurrencia de B y la ocurrencia o no ocurrencia de B no aporta ninguna información sobre la probabilidad de ocurrencia de A:

P A | B C P A | C , P B C 0

P B | A C P B | C , P A C 0

Cuando A y B son condicionalmente independientes dado C, se escribe:

A B | C , y otra defi nición alternativa equivalente es: P A B | C P A | C P B | C En otro caso, se dice que A y B son condicionalmente dependientes dado C

y se escribe: A B | CLa independencia estadística no implica independencia condicional y la inde-

pendencia condicional no implica independencia estadística. De hecho, cuando la independencia es condicional, si el evento C ocurre, los eventos A y B son independientes y si C no ocurre, entonces A y B son dependientes.

En los problemas de diagnóstico lo que interesa es identifi car la hipótesis más probable de acuerdo a la evidencia disponible, y la regla de Bayes es la fórmula de recurrencia que formaliza el hecho de que los grados de creencia se pueden renovar, abriendo un camino inductivo al método científi co para crear nuevo conocimiento.

Así es que el teorema de Bayes se ha convertido en el procedimiento gené-rico que combina iterativamente diferentes fuentes de información y hace diag-nósticos basados en relaciones causales. Las probabilidades directas del tipo P(efecto|causa), denominadas probabilidades causales, suelen ser más fáciles de obtener que las probabilidades inversas del tipo P(causa|efecto), llamadas probabilidades de diagnosis. En general, el teorema permite pasar de unas a otras fácilmente, pero a medida que se va incorporando información relativa a más y más efectos, el problema puede hacerse inmanejable, incluso en com-putadoras muy poderosas. Y es que el número n de efectos considerados, hace que el número de probabilidades causales a evaluar, crezca exponencialmente a 2n+1, presentándolas en una sola tabla de doble entrada, con dos renglones y 2n columnas; con la difi cultad adicional de tener que asignar probabilidades a eventos que involucran n efectos simultáneamente.


180

Las evidentes limitaciones prácticas en la aplicación de la regla de Bayes, por cuanto al crecimiento en el número de efectos, provocaron que la mayo-ría de los investigadores de todo el mundo descartaran por mucho tiempo los métodos basados en el enfoque bayesiano. Sólo hasta que se introdujo como hipótesis la independencia condicional, fue que el teorema de Bayes recobró vigencia; la propuesta supone que la probabilidad de ocurrencia de un efecto es independiente de los demás efectos que no dependen directamente de él. El su-puesto se justifi ca plenamente, porque en los fenómenos reales, cada efecto se relaciona solamente con algunos otros efectos, y no se relaciona directamente con todos los demás. Por eso es necesario que en cada diagnóstico, se dis-criminen los efectos que son o pueden ser considerados independientes entre sí, en presencia de una causa, de aquellos otros que manifi estan dependencia estadística.

Con esa información se construyen las llamadas redes probabilísticas baye-sianas, que representan gráfi camente el conjunto de relaciones entre causas y efectos de cada problema; asociada a cada aspecto consignado en esa red, se dispone de una pequeña tabla que contiene las probabilidades de ese aspecto, dados las aspectos directamente relacionados con él; así, en vez de una gran tabla de números que relacione todos los aspectos, se requiere un conjunto de pequeñas tablas con unas cuantas probabilidades en cada una.

En la representación de una red bayesiana, la presencia de un enlace indica dependencia causal, y la ausencia de un enlace indica, de manera implícita, su independencia mutua; por ello, estas redes poseen un cierto grado de modula-ridad, que facilita el cálculo de probabilidades elementales conjuntas de n+1 dimensiones. Si una causa C tuviese n efectos Ei, todos ellos independientes entre sí, el número de probabilidades a evaluar se reduciría a n+1 en vez de ser

2n+1: n

1 2 n ii 1

P C E E ... E P C P E | C

Para hacer la inferencia probabilística lo único que se requiere es conocer las probabilidades causales de cada evento por separado y multiplicarlas entre sí; por eso el problema se hace mucho más manejable. Si los n efectos fuesen estadísticamente independientes, sería muy simple calcular las 2n+1 probabi-lidades condicionales combinadas, a través del producto de n probabilidades condicionales simples; pero no es común que esto suceda.

Actualmente se desarrollan infi nidad de sistemas de inteligencia artifi cial capaces de enfrentar y resolver problemas grandes y complejos; ellos están soportados por redes bayesianas de las que se extraen soluciones probabilísti-cas inductivas racionales. Con ellos se puede predecir el precio del petróleo, predecir las fl uctuaciones de la bolsa de valores, se pueden hacer diagnósticos médicos a control remoto, diagnosticar las fallas en el funcionamiento de todo tipo de red, se puede hacer la selección del mejor cultivo en una determinada región o la determinación del mejor prospecto de localización para un pozo petrolero exploratorio.

Curiosamente, se considera que nuestro cerebro asigna constantemente pro-babilidades subjetivas y utiliza el enfoque bayesiano para aprender y reapren-der cada día.

TEOREMA DE BAYES

1

Ejemplo 1.78. Diagnóstico médico. Supuestamente un médico conoce de ma-nera subjetiva la frecuencia con la que se presenta cada enfermedad, P(Ai), así las como la frecuencia con la que aparecen los síntomas asociados a ella P(Bj|Ai), aunque sabe que determinado síntoma también podría deberse a otro padecimiento. El diagnóstico del médico consiste en evaluar la probabilidad P(Ai|Bj) de cada enfermedad Ai, a partir de la presencia de síntomas Bj. No se le puede exigir objetividad en su asignación de probabilidades a priori, porque no es factible su comprobación empírica. No obstante que sus estimaciones son subjetivas, como asignaciones de probabilidad se consideran buenas.

En cada diagnóstico médico el cuestionamiento es el mismo: dado que el paciente presenta estos síntomas, ¿cuál de las posibles enfermedades es la que tiene el paciente? La incertidumbre del médico proviene del desconocimiento detallado de los hechos, pues el paciente aporta datos subjetivos, imprecisos, incompletos o erróneos; además, las relaciones entre las enfermedades y los síntomas no son deterministas, puesto que un mismo conjunto de síntomas puede estar asociado a diferentes enfermedades.

Cuando un paciente tiene dolor de muelas, el médico puede suponer inme-diatamente que se trata de un problema de caries; pero al dejar fuera otras po-sibilidades, como muela del juicio o sinusitis, puede no acertar en su diagnós-tico. Claro que ser exhaustivo implica más trabajo y un mejor conocimiento teórico y práctico sobre todas las reglas de inferencia que relacionas síntomas con enfermedades.

Basado en su percepción y experiencia, el médico posee un esquema mental de evaluación que le dice que un paciente con dolor de muelas, tiene caries con probabilidad del 80% y lo denota matemáticamente en la forma P C | D 0.8;esa es una forma de expresar el conocimiento subjetivo, con la probabilidad como grado de creencia, que no de certeza; esa probabilidad subjetiva puede estar cambiando y afi nándose permanentemente, a medida que se tienen nue-vas evidencias.

La probabilidad incondicional asociada a un evento, es el grado de creencia sobre la ocurrencia de ese evento, en ausencia de cualquier otra información o evidencia; por ejemplo: oP C 0.2 P C D 0.16

La probabilidad condicional asociada a un evento, dada la ocurrencia de otro, es el grado de creencia sobre la ocurrencia del primer evento, dado que todo lo que sabemos es que ocurre otro evento; por ejemplo: P C | D 0.8 signifi ca que una vez sabido que un paciente tiene dolor de muelas, y el médico sólo sabe eso, su creencia es que el paciente tendrá caries con probabilidad 0.8.

La probabilidad condicional no es lo mismo que una implicación lógica con incertidumbre, es decir, P C | D 0.8 no signifi ca que cada vez que haya dolor la probabilidad de caries es del 80%, sino indica que ante la presencia de dolor, como única evidencia conocida, 8 de cada 10 veces, el paciente tendrá caries.

En este caso podemos distinguir que P C | D es una probabilidad condicio-nal a priori, que mide la posibilidad de ocurrencia de la causa llamada caries, ante la presencia del efecto llamado dolor; en cambio, P D | C es una probabi-lidad condicional a posteriori, que mide la posibilidad de ocurrencia del efecto llamado dolor, ante la presencia de la causa llamada caries.


182

Si además de considerar el dolor como síntoma, se toma en cuenta la presen-cia o no, de una oquedad en una pieza dental, entonces los eventos elementales son ocho, y la forma de presentar las probabilidades conjuntas es en una tabla de doble entrada, con dos renglones para los datos asociados a la enfermedad y cuatro columnas para los datos asociados a los síntomas:

P C 0.128 0.032 0.032 0.008 0.20

P D 0.128 0.006 0.032 0.034 0.20

P O 0.128 0.006 0.032 0.174 0.34

P C D 0.128 0.032 0.16P C | D 0.80P D 0.2 0.2

cc

P C D 0.006 0.034 0.04P C | D 0.20P D 0.2 0.2

La pareja de probabilidades condicionales complementarias cP C | D ,P C | D 0.8,0.2 suma uno, porque la probabilidad margi-

nal P D funciona como una constante que normaliza las probabilidades de ocurrencia condicional.

c c 1 1P C | D P C D , P C | D P C D , 5

P D 0.2

c cP C | D ,P C | D P C D ,P C D 5 0.16,0.04 0.8,0.2

En este caso la información de la que se dispone es la de probabilidades causales síntoma enfermedadP | y lo que calcula la regla de Bayes son pro-babilidades de diagnóstico enfermedad síntomaP | .

P C D O 0.128 0.128P C | D O 0.9552P D O 0.128 0.006 0.134

P C | D O 0.0448

Para este ejemplo en el que los síntomas son dos: dolor y oquedad, hubo que calcular 8 probabilidades condicionales; si en vez de dos hubieran sido cinco síntomas, las probabilidades que tendrían que ser evaluadas serían 64.

Supongamos ahora que estos dos síntomas son estadísticamente indepen-dientes; para ello requerimos de dos tablas con cuatro datos cada una:

Dolor y oquedad son eventos que dependen de que el paciente tenga caries

o algún otro padecimiento. Sin embargo, una vez que sabemos que el paciente tiene caries, podemos suponer que oquedad y dolor son eventos independien-tes; es decir, si la caries es causa tanto del dolor como de la oquedad, podemos asumir que sentir dolor no afecta la probabilidad de que haya oquedad y vice-versa, lo cual equivale a considerar que oquedad y dolor son eventos condicio-nalmente independientes: P O D | C P O | C P D | C

TEOREMA DE BAYES

1

P C D O P D O | C P C P D | C P O | C P CP C | D O

P D O P D O P D O

P C | D O ,P C | D O P D | C P O | C P C ,P D | C P O | C P C

0.8 0.8 0.2,0.2 0.5294 0.8 0.128,0.0847 0.6018,0.3982

P C | D O 0.60, P C | D O 0.40, P D O 0.2127

P D O C P D O | C P C P D | C P O | C P C 0.8 0.8 0.2 0.128

La probabilidad conjunta P O D , aunque ahora es desconocida y no re-quiere ser evaluada, debe funcionar como una constante que normaliza las probabilidades de ocurrencia condicional:

1P O D

P C | D O ,P C | D O P D | C P O | C P C ,P D | C P O | C P C

0.8 0.8 0.2,0.2 0.5294 0.8 0.128,0.0847 0.6018,0.3982

P C | D O 0.60, P C | D O 0.40

Vemos que estos resultados basados en la hipótesis de independencia condi-cional difi eren mucho de los calculados previamente a partir de probabilidades elementales conjuntas. Y una de dos, o la asignación de estas últimas deja mucho que desear, o la consideración de eventos condicionalmente indepen-dientes simplemente no es válida.

La hipótesis de independencia condicional entre eventos facilita la asigna-ción de las 8 probabilidades elementales conjuntas, con las que se describe el comportamiento probabilístico de la caries y sus síntomas: P C D O P D O | C P C P D | C P O | C P C 0.8 0.8 0.2 0.128

En lugar de tener una tabla con 8 números independientes, sólo requerimos 4 números independientes, localizados en dos tablas.

Las cuatro esquinasLas 28 fi chas de dominó son colocadas sobre la mesa, boca abajo, de modo

que no puedan ser vistos los puntos grabados en ellas; se revuelven muy bien para garantizar que se ha alterado el orden; luego se acomodan en un rectángu-lo de 4x7; fi nalmente se voltean exclusivamente las cuatro fi chas que quedaron en las esquinas del rectángulo. Calcule la probabilidad de que al menos una de las cuatro fi chas volteadas sea una mula.


1.5.6PROBLEMAS

CLÁSICOS

184

P M M M M P M P M P M P M

P M M P M M P M M P M M P M M P M M

P M M M P M M M P M M M P M M M

P M M M M

P M M M M 4P M 6P M M 4P M M M P M M M M

2 3 41 1 1 14 6 4

4 4 4 4

1 0.375 0.0625 0.00390625 0.6836 Aproximadamente 7 de cada 10 veces saldrá al menos una mula y puedes

apostar a que así ocurrirá.

Seguro de vida de parejaDesde muy pequeños los seres humanos nos enteramos que vamos a morir,

sin saber cuándo. Si tomamos un grupo grande de personas nacidas en el mis-mo año y le damos seguimiento mediante un estudio retrospectivo que com-prende desde su nacimiento hasta cien años después, observaremos que con el transcurrir del tiempo, el número de muertes se va incrementando cada año, hasta que el grupo generacional se extingue. Si calculamos el cociente del nú-mero de personas fallecidas por año entre el total de personas del grupo inicial, obtenemos cien frecuencias relativas que miden la posibilidad de ocurrencia de muerte para cada edad, es decir, las probabilidades de fallecimiento según edad, las cuales de denotan formalmente por qx, y son las probabilidades de que alguien que tiene la edad x muera antes de alcanzar la edad x+1. Salvo los primeros 4 años de vida, en los que hay todavía alta mortalidad, las probabili-dades de fallecimiento son crecientes con respecto a la edad.

Para efecto de visualizar estos cien valores como números enteros, tradi-cionalmente éstos se presentan, no como probabilidades, sino como tasas de mortalidad por edad, defi nidas como el número de muertes por edad, por cada 100,000 personas del grupo generacional. El registro tabular de estos valores se conoce como tabla longitudinal de mortalidad para las personas de esa ge-neración.

Otra manera de presentar datos de mortalidad consiste en registrar el núme-ro de defunciones acaecidas en cualquier año, separando las edades; a este tipo de registros se les denomina tablas transversales de mortalidad, en las que cada una de las cien edades corresponde a una generación diferente.

Si bien el objetivo primordial de una tabla de mortalidad es medir mortali-dad, de ella se pueden deducir algunas estadísticas que interesan a científi cos y humanistas, para muy diversos propósitos, y son útiles en estudios de creci-miento poblacional, composición poblacional, longevidad, migración, orfan-dad, viudez, fertilidad, etc.

Además de las probabilidades de fallecimiento qx, hay algunas otras esta-dísticas importantes; por el momento, destacaremos cuatro de ellas:

1. Las probabilidades de supervivencia por edad, que se denota formalmen-te por px y es la probabilidad de que alguien que tiene la edad x sobreviva la edad x+1: px = 1 - qx

PROBLEMAS CLÁSICOS

1

2. La esperanza de vida al nacer es una estimación del promedio de años que viviría un grupo de personas de la misma generación, si los movimientos en la tasa de mortalidad de la región evaluada, se mantuvieran constantes. Y en forma transversal, la esperanza de vida es el número promedio de años que vive una determinada población en un cierto periodo de tiempo.

3. La esperanza de vida remanente a cualquier edad: el número de personas que sobreviven a la edad x: lx+1 = lx(1-qx) = lxpx; lx+1/lx = px

En la actualidad se acostumbra presentar las estadísticas de hombres y mu-jeres en forma separada, porque son signifi cativamente diferentes. La espe-ranza de vida de las mujeres es superior a la de los hombres y eso es cierto a cualquier edad y la diferencia no es nada despreciable; los datos de 2009 mues-tran que mientras la esperanza de vida al nacer para los hombres era de 76.6 años, la de las mujeres era de 82.4 años, una diferencia de casi seis años. Ese diferencial de mortalidad entre sexos, observable en todas las edades, implica que el riesgo de fallecimiento es menor para las mujeres que para los hombres, en un cierto periodo de tiempo. La diferencia en favor de la mujer, se tiene que traducir en una menor prima de seguro, porque implica menor riesgo para la compañía aseguradora; es decir, un seguro de vida más barato para una mujer que para un hombre.

Las aseguradoras establecen las tarifas para las primas de seguro de una persona, según su edad y su sexo, con base en una sola tabla de supervivencia. Pero la compañía recibe ocasionalmente la solicitud de cotización de seguro para un matrimonio, y el problema consiste en establecer la prima que debe pagar la pareja para obtener la obligación de que el asegurador pague una renta al marido y luego a su viuda, si él fallece.

Para establecer un seguro para dos personas, se requiere conocer la proba-bilidad de supervivencia o de extinción de la pareja. Conforme a la defi nición de probabilidad frecuentista, habría que dar seguimiento a la supervivencia de numerosos grupos de dos personas y deducir estadísticamente un valor aproximado de la probabilidad buscada. Sería necesario establecer las tasas de supervivencia para dos personas, en vez de una, y en lugar de presentar la distribución de probabilidades en un cuadro con dos columnas, que contiene dos tasas de supervivencia para cada edad, para hombre y para mujer, sería necesario construir tantas tablas como valores posibles de las diferencias de edades existan. Y eso sería un enorme trabajo.

Sin embargo, si nos percatamos que las muertes de los integrantes de una pareja matrimonial son eventos estadísticamente independientes, entonces, la probabilidad conjunta de supervivencia es el producto de las probabilidades individuales de supervivencia de cada uno, establecidas en función de su edad y su sexo; entones no tiene sentido establecer una nueva estadística relativa a los grupos de dos personas, el empleo de la tablas de supervivencia individual ofrece las probabilidades que habrá que multiplicar para obtener la probabili-dad buscada. Supongamos que él tiene 52 años y ella tiene 44; sus probabili-dades de supervivencia son ph52 = 0.0 y pm44 = 0.0; por lo tanto, su probabi-lidad de supervivencia conjunta es: 0.0. Con eso, la compañía aseguradora ya puede establecer la prima.


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Para distinguir diferentes riesgos, en las tablas de mortalidad se pueden incluir otras características, tal como ocupación, clase socio-económica, en-fermedades, status de fumador, etc., de donde se puede calcular, por ejemplo, la esperanza de salud, la esperanza de vida sin discapacidad y la esperanza de vida saludable.

El rosal marchitoUna de las cosas que más apreciaba el padre Juan era un pequeño rosal que

daba unas rosas preciosas de color muy extraño; pero se trataba de una planta muy delicada, pues si se le regaba a diario, su probabilidad de prosperar era de 1/2, pero si no se le regaba, la probabilidad quedaba reducida a 1/4. En cierta ocasión el padre Juan se ausentó durante treinta días, encargándole al jardinero de la parroquia, que lo regara diariamente; sólo que el jardinero tenía mala memoria, ya que se olvidaba cumplir dos encargos de cada tres que recibía. Cuando el padre Juan estuvo de regreso, su rosal se había marchito. ¿Cuál es la probabilidad de que el jardinero no lo hubiera regado?

Sean los eventos: R = {el jardinero riega el rosal} P(R) = 1/3 P(Rc) = 2/3 C = {el rosal sigue creciendo} P(C|R) = 1/2

S = {el rosal se seca} P(S|R) = 1/2Primero resolveremos el ejercicio sin emplear la regla de Bayes, sino única-

mente razonando. Partiendo del hecho de que el rosal se ha marchitado en un lapso de 30 días, calculamos que el jardinero lo debe haber regado la tercera parte de las veces, es decir 10 días si y 20 días no; de los 10 días en que si lo regó, la mitad de las veces el rosal se secaría, es decir en 5 días; y de los 20 días en que no lo regó, las tres cuartas partes de las veces el rosal se secaría, es decir en 15 días. En total hubo 20 días en los que el rosal se marchitó, 15 de los cuales fue por no haberlo regado; por lo tanto la proporción 15/20 se simplifi ca a 3/4, equivalente al 75%.

Ahora obtendremos la solución mediante la construcción de los árboles de probabilidad a priori y a posteriori:

PROBLEMAS CLÁSICOS

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La respuesta con la regla Bayes arroja el mismo resultado: P(Rc|S) = 3/4

Cáncer de mamaLos médicos no saben a ciencia cierta si una mastografía sirve de algo para

detectar el cáncer de mama; el problema parece estar en la interpretación ra-diológica, porque mucho de lo que puede verse en ella es un área grisácea, que para unos es algo ambiguo, considerado normal y para otros esa ambigüedad es sospechosa. La verdad es que las mastografías no son tan útiles como cabría suponer, aunque por intereses económicos se afi rme lo contrario.

Se tiene la creencia de que alrededor del 1% de las mujeres de más de 40 años padecen cáncer de mama: P(C) = 0.01. Se dispone de una prueba explo-ratoria que es la mastografía, que aporta nueva información: el 80 % de las mujeres con cáncer de mama tendrán mastografías positivas: P(+|C) = 0.80, mientras que sólo el 9.6 % de las mujeres sin cáncer presentarán mastografías positivas: P(+|Cc). En resumen, tenemos 80% de positivos verdaderos y 20% de positivos falsos; y tenemos 9.6% de negativos falsos y 90.4% de negativos verdaderos. ¿Cuál es la probabilidad de que una mujer cuya mastografía dio positivo, realmente tenga cáncer?

La regla de Bayes resuelve de inmediato la pregunta, pero antes de aplicarla resolvamos el ejercicio a base de razonamiento. Considerando un grupo de 10,000 mujeres; si P(C) = 0.01, hay un grupo de 100 mujeres con cáncer de mama y otro grupo de 9,900 mujeres sin cáncer de mama. Tras la exploración radiológica, se conforman cuatro grupos; el grupo A formado por 80 mujeres con cáncer de mama y mastografía positiva, el grupo B formado por 20 muje-res con cáncer de mama y mastografía negativa, el grupo C formado por 950 mujeres sin cáncer de mama y mastografía positiva y el grupo D formado por 8,950 mujeres sin cáncer de mama y mastografía negativa.

El método exploratorio es falible: señala a 20 de las 100 mujeres enfermas de cáncer como sanas, y a 950 de las 9,900 mujeres sanas, como enfermas. Si dividimos el número de mujeres del grupo A entre el total de mujeres que dieron positivo en la prueba, resulta 7.8 %, lo cual signifi ca que el 92,2% de las mujeres que dan positivo en la prueba no padecen cáncer. Mientras que si dividimos el número de mujeres del grupo D entre el total de mujeres que dieron negativo en la prueba, el resultado es 99.8%, lo cual signifi ca que la mastografía es bastante confi able cuando su resultado es negativo.


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El teorema de Bayes muestra que sería mucho más efi caz realizar la prueba solo al grupo de mujeres con alto riesgo, por antecedentes familiares y hábitos de higiene, y no a todas las mujeres de más de 40 años, sin excepción. La mas-tografía no es un tratamiento, sino un método de exploración médica dirigida a excluir a las personas sanas, para dedicarse a las enfermas; pero si la explora-ción no aporta, entonces deja de ser útil.

Ahora respondamos esta segunda pregunta: ¿cuál es la probabilidad de tener cáncer si tras dos mastografías consecutivas, en ambas se diagnostica cáncer?

Si M1 = {1a. mastografía positiva}, M2 = {2a. mastografía positiva}. Obviamente, no podemos asumir independencia incondicional entre M1 y

M2; pero si es válido suponer independencia condicional de M1 y M2 dado que hay cáncer.

Por tanto: 1 2 1 2 1 2P C | M M P C M M P M | C P M | C P C ,donde es una constante de proporcionalidad que se determina automática-mente.

1 2 1 2P M | C P M | C P C ,P M | C P M | C P C

0.8 0.8 0.01 , 0.096 0.096 0.99

0.0064,0.009123840.0064 0.00912384 0.0155238, 1 / 0.0155238 64.42 1 2P C | M M 64.42 0.0064 0.4122

Luego aproximadamente el 41% de las mujeres doblemente diagnosticadas positivamente con mastografía tendrán realmente cáncer de mama.

PROBLEMAS CLÁSICOS

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