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Resumen Probabilidad condicional 4 Probabilidad condicional Profra. Blanca Lucía Moreno Ley March 18, 2014

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Resumen Probabilidad condicional

4

Probabilidad condicional

Profra. Blanca Lucía Moreno Ley

March 18, 2014

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Resumen Probabilidad condicional

Sumario

1 Resumen

2 Probabilidad condicional

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Resumen Probabilidad condicional

Probabilidad

Supongamos que un experimento E tiene un espacio muestral U y un eventoA está definido en dicho espacio muestral, entonces P (A) es un número realllamado la probabilidad del evento A. Esta probabilidad tiene las siguientespropiedades:

1 0 ≤ P (A) ≤ 1

2 P (U) = 1

3 Para cualquier número finito de k eventos mutuamente excluyentesdefinidos en U se cumple que:

P

(k⋃

i=1

Ai

)=

k∑i=1

P (Ai) (1)

4 Si A1, A2, . . . es una secuencia numerable de eventos mutuamenteexcluyentes en U , entonces

P

(∞⋃i=1

)=

∞∑i=1

P (Ai) (2)

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La probabilidad de un evento satisface los siguientes teoremas:

Si φ es el conjunto vacío, entonces P (φ) = 0

P (Ac) = 1− P (A) donde P (Ac) es la probabilidad delcomplemento de A

P (A ∪B) = P (A) + P (B)− P (A ∩B)

P (Ac ∩Bc) = P (A ∪B)c

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Resumen Probabilidad condicional

Ejemplo

Se sabe que en un lote de producción de 100 piezas, el 5% es defectuoso. Se tomauna muestra aleatoria de 10 artículos y se seleccionan sin reemplazo.Para determinar la probabilidad de que no habrá artículos defectuosos en la muestra,primero contaremos el número de muestras posibles que contengan defecto y tambiénel número de muestras que no contengan defecto, al cual nombraremos como nuestroevento A.El número de muestras posibles es:(

10010

)=

100!

10!90!(3)

Luego,(50

), el 5% es defectuoso, es decir, 5 piezas de 100, luego deseamos NO

elegir ninguna de estas piezas, es decir elegir 0 de 5 piezas.(9510

), tenemos 95 piezas que NO tendrán defecto, luego, hay que calcular

de cuantas formas podemos elegir 10 de 95.Así, la probabilidad que obtengamos el evento A, es decir que nuestras muestras notengan defecto es:

P (A) =

(50

)(9510

)(

10010

) = 0.58375 (4)

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Resumen Probabilidad condicional

Para generalizar el problema anterior, consideremos el caso en el que lapoblación tiene N artículos de los cuales D pertenecen a alguna clase deinterés. Se selecciona sin reemplazo una muestra aleatoria de tamaño n . SiA denota el evento de obtener exactamente r artículos de la clase de interés,entonces la probabilidad del evento A es:

P (A) =

(Dr

)(N −Dn− r

)(Nn

) (5)

con r = 0, 1, 2, . . . ,min(n,D).

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Resumen Probabilidad condicional

Introducción

Ahora consideraremos la probabilidad de eventos que están condicionados en algúnsubconjunto del espacio muestral. Denotaremos a la probabilidad condicional delevento A dado el evento B como P (A|B) y está dada por:

P (A|B) =P (A ∩B)

P (B)(6)

Ejemplo

Se lanzan dos dados y supongamos que ninguno de los dos está alterado. Primerocalcular el número de resultados posibles. Si consideramos dos eventos:

A = (d1, d2)|d1 + d2 = 4 (7)

B = (d1, d2)|d1 ≥ d2 (8)

donde d1 es el valor mostrado por el primer dado y d2 el valor del segundo dado.¿Cuál es la probabilidad de que ocurra B dado que A ocurra? y viceversa

Tenemos que el número de resultados posibles será:

n1n2 = 6 · 6 = 36 (9)

ya que cada dado tiene 6 formas de caer y por el principio de elección se obtiene el

número total n = 36.

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Ahora calculemos las siguientes probabilidades, para poder calcular la prob-abilidad condicionada:

P (A) = 336

(10)P (B) = 21

36(11)

P (A ∩B) = 236

(12)P (A|B) = 2

21(13)

P (B|A) = 23

(14)(15)

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En base a la probabilidad condicional podemos definir lo que se le conocecomo la regla de multiplicación:

P (A ∩B) = P (B) · P (A|B) si P (B) > 0 (16)

y

P (A ∩B) = P (A) · P (B|A) si P (A) > 0 (17)

Notemos que si A y B son mutuamente excluyentes entonces A ∩B = φ porlo que P (A|B) = 0 = P (B|A)Con esto diremos que A y B son independientes si y sólo sí:

P (A ∩B) = P (A) · P (B) (18)

y por lo tanto se cumple que

P (A|B) = P (A) y P (B|A) = P (B) (19)

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Ejemplo 1

Suponga que se selecciona una muestra aleatoria de 2 objetos de un lote de100, y se sabe que 98 de los 100 artículos están en buen estado. La muestrase toma de manera tal que el prmer artículo se observa y se regresa antes deseleccionar el segundo artículo. Si aceptamos que:

A : El primer artículo observado está en buen estado

B : El segundo artículo observado está en buen estado

y se desea determinar la probabilidad de que ambos artículos estén en buenestado, entonces:

P (A ∩B) = P (A)P (B) =98

100

98

100= 0.9604 (20)

si la muestra se toma sin reemplazo de modo que el primer artículo no seregresa antes de seleccionar el segundo, entonces,

P (A ∩B) = P (A)P (B|A) = 98

100

97

99= 0.9602 (21)

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Ejemplo 2

Un comité de 5 personas es seleccionada al azar de un grupo de 5 hombres y10 mujeres.

1 Encuentre la probabilidad de que el comité consista de 2 hombres y 3mujeres

2 Encuentre la probabilidad de que el comité sea de puras mujeres

Solución.

El número total de elegir 5 personas de las 15 que son en total es:

n(S) =

(155

)(22)

Si suponemos que la selección es aleatoria, significa que cada personatiene la misma probabilidad de ser elegida. Sea A el evento de que elcomité consista de 2 hombres y 3 mujeres. Entonces el número deposibles elecciones de A está dada por:

n(A) =

(52

)(103

)(23)

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Entonces, la probabilidad del evento A es:

P (A) =n(A)

n(S)=

(52

)(103

)(155

) =400

1001≈ 0.4 (24)

Sea B el evento de que el comité consista de sólo mujeres. Entonces elnúmero de elegir a B es:

n(B) =

(50

)(105

)(25)

Entonces la probabilidad es:

P (B) =n(B)

n(S)=

36

429≈ 0.084 (26)

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Teorema de Bayes

Un resultado importante de la probabilidad condicional es el teorema de Bayes, ypara enunciarlo necesitamos el concepto de partición de un conjunto.Definición. Sea Ω un conjunto arbitrario. Una partición de Ω es una colección desubconjuntos B1, B2, . . . Bn de Ω que satisface las tres condiciones siguientes:

1 Bi 6= φ para i = 1, 2, . . . , n.2 Bi ∩Bj = φ si i 6= j.3⋃n

i=1Bi = Ω

Ahora enunciaremos el teorema de la probabilidad total:Sea Ω un espacio muestral y B1,B2,. . .,Bn una partición de Ω tal que P (Bi) > 0.Entonces para cualquier evento A

P (A) =n∑

i=1

P (A|Bi)P (Bi) (27)

Con esto podemos enunciar el Teorema de Bayes.Sea Ω un espacio muestral y B1, B2, . . . , Bn una partición de Ω tal que P (Bi) > 0 .Entonces para cualquier evento A con P (A) > 0 y cualquier j = 1, 2, . . . , n tenemosque

P (Bj |A) =P (A|Bj)P (Bj)∑ni=1 P (A|Bi)P (Bi)

(28)

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Ejemplo de aplicación del teorema de Bayes

Suponga que en cierta población el 70% son hombres y 30% son mujeres.Suponga también que el 50% de las mujeres fuman y el 40% de los hombresfuman. Se escoge a una persona al azar. ¿Cuál es la probabilidad de queesta persona que sabemos que fuma sea hombre?Consideremos los siguientes eventos:

F = La persona fuma

H = La persona es hombre

Entonces, el problema se reduce a calcular la probabilidad P (H|F ), entoncespor el teorema de Bayes:

P (H|F ) = P (F |H)P (H)P (F |H)P (H)+P (F |Hc)P (Hc)

(29)

= (0.4)(0.7)(0.4)(0.7)+(0.5)(0.3)

= 0.65 (30)

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Ejemplo 2

Un número es seleccionado aleatoriamente del 1 al 100. Si sabemos que elnúmero elegido es divisible por 2, encuentre la probabilidad de que tambiénsea divisible por 3 o 5.Solución.Sean:

A2 el evento de que el número sea divisible por 2

A3 el evento de que el número sea divisible por 3

A5 el evento de que el número sea divisible por 5

La probabilidad pedida es:

P(A3 ∪A5|A2

)=

P[(A3 ∪A5

)∩A2

]P (A2)

(31)

=P[(A3 ∩A2) ∪ (A5 ∩A2)

]P (A2)

(32)

=P (A3 ∩A2) + P (A5 ∩A2)− P (A3 ∩A5 ∩A2)

P (A2)(33)

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Donde se han utilizado las siguientes identidades:

A ∩ (B ∪ C) = A ∩B ∪A ∩ C (34)P (A ∩B) = P (A) + P (B)− P (A ∩B) (35)

Ahora para el cálculo de las intersecciones pedidas de aplicar el teorema deBayes tomaremos en cuenta los siguientes criterios de divisibilidad:

Un número es divisible entre 2 si termina en un número par

Un número es divisible entre 3 si la suma de sus cifras es múltiplo de 3

Un número es divisible entre 5 si termina en 0 ó 5

Un número es divisible entre 6 si es divisible por 2 y 3

Un número es divisible entre 10 si termina en 0.

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Luego, las intersecciones a buscar son las siguientes:

A3 ∩A2 son los eventos cuyos números son divisibles por 6

A5 ∩A2 son los eventos cuyos números son divisibles por 5 y 2 , perode los criterios anteriores de divisibilidad, solo debemos tomar encuenta los números que terminan en 0, es decir los que son divisiblespor 10.

A3 ∩A5 ∩A2 son los eventos tales que los números son divisibles por3, 5 y 2, esto es, los que sean divisibles por 30.

Así:

P(A3 ∩A2

)=

16

100(36)

P(A5 ∩A2

)=

10

100(37)

P(A3 ∩A5 ∩A2

)=

3

100(38)

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Resumen Probabilidad condicional

Luego,

P(A3 ∪A5|A2

)=

16100

+ 10100− 3

10050100

=23

50= 0.46 (39)