Probabilidad CondicionalEjemplo:

Se tiene que dos bolas son seleccionadas aleatoriamente (sin reemplazo) de un caja que contiene r bolas rojas y b bolas azules.

¿Cuál es la probabilidad de que la primera bola sea roja y la segunda azul?

Probabilidad Condicional

Ejemplo:Supongamos ahora que tenemos 4 bolas que serán seleccionadas una a una (sin reemplazamiento) de una caja que contiene r bolas rojas, b bolas azules ( )

¿Cuál es la probabilidad de obtener la serie: roja, azul, roja, azul?

Probabilidad CondicionalEjemploSe tienen dos cajas que contienen tornillos largos y cortos. Una de ellas tiene 60 tornillos largos y 40 cortos. La segunda caja contiene 10 tornillos largos y 20 cortos.Suponga que una caja se selecciona al azar y se saca aleatoriamente un tornillo de la misma caja.¿Cuál es la probabilidad de que el tornillo seleccionado sea un tornillo largo?

Probabilidad condicionalEjemplo:

Se tienen 2 máquinas (1 y 2) en una fábrica que funcionan independientemente una de otra. Sea A el evento de que la máquina 1 se estropee durante 8 hrs y sea B el evento de que la máquina 2 se estropee durante 8 hrs.

Suponga que Pr(A)=1/3 y Pr(B)=1/4

¿Cuál es la probabilidad de que al menos una de las máquinas se estropee durante el mismo período?

Probabilidad Condicional

Ejemplo:

Suponga que una moneda se lanza dos veces de modo que se tiene el siguiente espacio muestral: S={FF, FC, CF, CC}.

Sean los siguientes eventos:

-F en el 1er lanzamiento: A={FF, FC}

-F en el 2do lanzamiento: B={FF, CF}

-ambos resultados iguales: C={FF, CC}

Teorema de Bayes

Si se conoce Pr(A|Bi ) para cada i, el teorema

de Bayes proporciona una fórmula útil para calcular las probabilidades condicionales de los B

i eventos dado A .

Teorema de BayesSea B

i,...,B

k los eventos que forman una

partición del espacio S tal que Pr(Bi )>0 para

j=1,2,...,k y sea A un evento tal que Pr(A) >0. Entonces para i=1,...,k,

Teorema de BayesSuponga que el ministerio de sanidad está ofreciendo hacer un test gratis para una cierta enfermedad. El test tiene una fiabilidad del 90%.

Por otro lado, una colección de datos indican que la posibilidad de tener esa enfermedad es de 1 entre 10000, pero como el test es gratis, no duele y es rápido, decidimos fácilmente hacer el test.

¿Cuál es la probabilidad de tener la enfermedad después de saber que el resultado del test fue positivo?

Teorema de BayesSe tienen 3 diferentes máquinas M

1´ M

2´ M

3

con las que se fabrica cierto producto. Supongamos que los productos se guardan en un almacén y se sabe que el 20% de esos productos fueron hechos con la maquina M

1,

30% con la M2 y 50% con M

3. También se

sabe que el 1% de los productos hechos con la máquina M

1 son defectuosos, mientras que

con M2, 2% son defectuosos y con M

3 , 3% de

los productos son defectuosos.

Teorema de Bayes

Pregunta:

Si se selecciona aleatoriamente un producto del almacén y resulta que éste es defectuoso, ¿cuál es la probabilidad de que dicho producto fuese producido por

M

2 ?

Variables aleatorias

Definición:

Sea S el espacio muestral de un experimento. Una función real definida sobre el espacio S es una variable aleatoria.

Las variables aleatorias puede ser:

- Discretas

- Continuas

Variables aleatorias

Ejemplo:Una moneda se lanza 5 veces. El tamaño del espacio muestral es entonces 25. Sea R la función real que cuenta el número de caras de un posible resultado. Por ejemplo, para la serie s=cara, cara, cruz, cara, cruz,

R(s)=3

Variables aleatoriasLa colección de todas lasprobabilidades de X es la distribución de X.

Función de probabilidad y soporte: Si una variable aleatoria X tiene una distribución discreta, la función de probabilidad de X se define como la función f tal que para cada número real x,

f(x)=Pr(X=x)La cerradura del conjunto {x:f(x) > 0} se le llama soporte de la distribución.

Variables aleatoriasFunción de probabilidad:

Si X es una variable aleatoria discreta que toma los valores x

1,x

2,... con probabilidades

p1,p

2,..., respectivamente, la función de

probabilidad (pf) asigna probabilidades a todos los posibles valores de X tal que

f(x)=Pr(X=x)=pi

si x=xi

f(x)=0

de otra forma

Además

Variables aleatoriasFunción de probabilidad cumulativa:

Se define la función de probabilidad cumulativa (cpf) de X, F(x), cuyo valor da la probabilidad que :

Además con la función de probabilidad cumulativa podemos calcular la probabilidad de que X se encuentre entre los valores

Variables aleatorias

3 ejemplos de distribuciones discretas:

Distribución de Bernoulli

Distribución uniforme

Distribución binomial

Variables aleatorias

Distribuciones continuas.

Se dice que una variable aleatoria X tiene una distribución continua, o que X es una variable continua, si existe una función no negativa f, definida sobre los números reales, tal que para cada intervalo en los reales, la probabilidad de que X tome un valor en el intervalo es igual a la integral sobre ese mismo intervalo

Variables aleatoriasComentario:

Una variable aleatoria discreta puede tratarse como una variable aleatoria continua y asignarse la correspondiente densidad de probabilidad.

Si X es una variable discreta que toma los valores x

1,...,x

n con probabilidades p

1,...,p

n ,

entonces la densidad de probabilidad continua puede escribirse como

Varias variables aleatorias

Es común encontrar problemas que dependen de más de una variable aleatoria. Los resultados que hemos visto pueden extenderse a dos o más variables aleatorias.

Veamos el caso de dos variables.

Sean X y Y dos variables aleatorias. La distribución conjunta de X y Y es la colección de todas las probabilidades de la forma Pr[(X,Y) C], donde C es un conjunto de pares de números reales

Varias variables aleatoriasDistribucion conjunta discreta.

Sean X y Y dos variables aleatorias y consideremos el par ordenado (X,Y). Si existe un número contable de diferentes valores (x

i,y

i) para el par (X,Y), entonces X, Y tienen

una distribución discreta.

Definición: La función de probabilidad conjunta de X,Y se define como la función f tal que para cada punto (x

i,y

i) en el plano xy,

Varias variables aleatoriasComo en el caso de una variable, si (x

i,y

i) NO

es uno de los valores posibles del par (X,Y) entonces f(x

i,y

i) = 0. Además,

-Similarmente para el caso continuo tenemos:

con y

Varias variables aleatorias

Varias variables aleatoriasCaso especial: variables independientes.

Es frecuente encontrar casos donde las variables aleatorias X, Y no dependen una de otra. En este caso la densidad de probabilidad puede escribirse como

Pr(X=xi ,Y=y

i )=g(x

i )h(y

i ) ,

donde g(xi) y h(y

i) son las densidades de

probabilidad de X y Y.

Similarmente para el caso continuo:

Varias variables aleatoriasAprovechando que estamos hablando de variables aleatorias independientes, supongamos que nos interesa saber la densidad de probabilidad de la suma de variables independientes.

Sea Y = X1 + X

2, donde X

1 , X

2 son variables

aleatorias independientes con densidades de probabilidad f

1 y f

2 . La densidad de

probabilidad de Y está dada por

Varias variables aleatorias

Distribución cumulativa conjunta

La distribución cumulativa conjunta para dos variables aleatorias X y Y está definida como la función F tal que para todos los valores de x e y

F(x,y) = Pr(X)

Varias variables aleatoriasDistribución marginal

Frecuentemente en un problema de varias variables, digamos 2 variables, estamos interesados en la distribución de una sóla de las variables. Dicha distribución se obtiene a través de la distribución conjunta y se le llama distribución marginal.

Por ejemplo, para el caso discreto, si X y Y son variables aleatorias con distribución conjunta f(x,y), entonces la distribución marginal f

1 está dada por

Varias variables aleatoriasPor ejemplo, para el caso discreto, si X y Y son variables aleatorias con distribución conjunta f(x,y), entonces la distribución marginal f

1 está dada por

Similarmente para el caso continuo:

Varias variables aleatoriasDistribución condicional

Así como en el cálculo de probabilidades era de interés conocer la probabilidad de un evento dado que otro había sucedido, ahora nos preguntamos por la distribución de una variable X dado que otra, Y, ha tomado un valor Y=y

0. La distribución de la probabilidad

condicional viene dada por:

Varias variables aleatorias

Distribución condicional

Para n variables:

donde f2 es la distribución marginal de

X1,... X

k

Varias variables aleatorias

Ley de la probabilidad total y teorema de Bayes

Para n variables:

donde y

Y el teorema de Bayes para variables aleatorias es:

Variables aleatorias

Funciones de variables aleatorias

Frecuentemente se requiere la distribución de una función de las variables aleatorias. Por ejemplo, si X es una variable aleatoria, quisieramos saber la distribución de 1/X, o bien para dos variables X

1,X

2, ¿cuál es la

probabilididad de exp(X1+X

2)?