Probabilidad Condicional y Bayes Ing. Raúl Alvarez Guale, MPC.

Probabilidad Condicional y Bayes

Ing. Raúl Alvarez Guale, MPC

Población

Sean A y B dos eventos y P(B)Entonces

Donde la se denota como la probabilidad condicional de A, dado B.

Ejemplo 1: Probabilidad Condicional

Si la probabilidad de que un sistema de comunicación tendrá alta fidelidad es 0.81, así como la probabilidad de que tendrá alta fidelidad y alta selectividad es 0.18. ¿cuál es la probabilidad de que un sistema con alta fidelidad también tendrá alta selectividad?

Ejemplo 1: Probabilidad Condicional

SoluciónA=El sistema tiene alta fidelidadB= El sistema tiene alta selectividadP(A)=0.81P(=0.18=?

TEOREMA

Dos eventos son independientes, si y sólo si

Ejemplo: Eventos Independientes

¿Cuál es la probabilidad de obtener dos caras en dos lanzamientos de una moneda equilibrada?

Ejemplo: Eventos Independientes

SoluciónA=cara en el primer lanzamientoB=cara en el segundo lanzamiento

TEOREMA

Si B1, B2,…Bn son eventos mutuamente excluyentes, de los cuales uno debe ocurrir, entonces

TEOREMA DE BAYES

Si B1, B2,…Bn son eventos mutuamente excluyentes, de los cuales uno debe ocurrir, entonces

Ejemplo1 : Probabilidades condicionales

Una empresa produce por medio de sus maquinas A, B, C, en porcentaje de producción correspondiente a 50%, 40% y 10% respectivamente. Los productos en mal estado de las máquinas A, b y C, son 3%, 2% y 1% respectivamente.


1) Realice el respectivo diagrama de árbol

A = 0.50

B=0.40

C =0.10

0.97 EN BUEN ESTADO

0.98 EN BUEN ESTADO

0.99 EN BUEN ESTADO

0. 03 EN MAL ESTADO

0.02 EN MAL ESTADO

0.01 EN MAL ESTADO

PRODUCCIÓN

Empresa

PRODUCTOS


2)¿Cuál es la probabilidad de que al escoger un producto al azar, este se encuentre en mal estado?Solución1 :Se separan los eventos condicionales de las hojas y se multiplican por sus ramificaciones considerando los espacios muestrales


P(M)=(0.50)(0.03)+ (0.40)(0.02)+ (0.10)(0.01)P(M)=0.024

A = 0.50

B=0.40

C =0.10

0.97 EN BUEN ESTADO

0.98 EN BUEN ESTADO

0.99 EN BUEN ESTADO

0. 03 EN MAL ESTADO

0.02 EN MAL ESTADO

0.01 EN MAL ESTADO

PRODUCCIÓN

Emp

PRODUCTOS


Solución 2:Utilizando el teorema

Donde M= Producto en mal estado


=(0.50)(0.03)+ (0.40)(0.02)+ (0.10)(0.01)=0.024


2)¿Cuál es la probabilidad de que al escoger un producto al azar, este se encuentre en buen estado?Solución1 :Se separan los eventos condicionales de las hojas y se multiplican por sus ramificaciones considerando los espacios muestrales


P(B)=(0.50)(0.97)+(0.40)(0.98)+ (0.10)(0.99)P(B)=0.976

A = 0.50

B=0.40

C =0.10

0.97 EN BUEN ESTADO

0.98 EN BUEN ESTADO

0.99 EN BUEN ESTADO

0. 03 EN MAL ESTADO

0.02 EN MAL ESTADO

0.01 EN MAL ESTADO

PRODUCCIÓN

Emp

PRODUCTOS


Solución 2:Utilizando el teorema

Donde B= Producto en buen estado


=(0.50)(0.97)+(0.40)(0.98)+(0.10)(0.99)=0.976


3) Se escoge un producto al azar, y se nota que se encuentra en buen estado. ¿Cuál es la probabilidad de que es producto haya sido producido por la máquina A?


3) Se escoge un producto al azar, y se nota que se encuentra en buen estado. ¿Cuál es la probabilidad de que es producto haya sido producido por la máquina A?Solución 1: Se separan los eventos condicionales de las hojas y se multiplican por sus ramificaciones considerando los espacios muestrales


P(A/B)=(0.50)(0.97)/P(B)P(A/B)=0.485

A = 0.50

B=0.40

C =0.10

0.97 EN BUEN ESTADO

0.98 EN BUEN ESTADO

0.99 EN BUEN ESTADO

0. 03 EN MAL ESTADO

0.02 EN MAL ESTADO

0.01 EN MAL ESTADO

PRODUCCIÓN

Emp

PRODUCTO


Solución 2:Utilizando el teorema De BAYES


)=(0.50)(0.97)/P(B))=0.485


4) Se escoge un producto al azar, y se nota que se encuentra en mal estado. ¿Cuál es la probabilidad de que es producto haya sido producido por la máquina B?Solución 1: Se separan los eventos condicionales de las hojas y se multiplican por sus ramificaciones considerando los espacios muestrales


P(B/M)= (0.40)(0.02)/P(M)P(B/M)= 0.33A = 0.50

B=0.40

C =0.10

0.97 EN BUEN ESTADO

0.98 EN BUEN ESTADO

0.99 EN BUEN ESTADO

0. 03 EN MAL ESTADO

0.02 EN MAL ESTADO

0.01 EN MAL ESTADO

PRODUCCIÓN

Emp

PRODUCTO


Solución 2:Utilizando el teorema De BAYES


)=(0.40)(0.02)/P(B))=0.33


5) Se escoge un producto al azar, y se nota que se encuentra en buen estado. ¿Cuál es la probabilidad de que es producto haya sido producido por la máquina A?Solución 1: Se separan los eventos condicionales de las hojas y se multiplican por sus ramificaciones considerando los espacios muestrales


P(A/B)=(0.50)(0.97)/P(B)P(A/B)=0.485

A = 0.50

B=0.40

C =0.10

0.97 EN BUEN ESTADO

0.98 EN BUEN ESTADO

0.99 EN BUEN ESTADO

0. 03 EN MAL ESTADO

0.02 EN MAL ESTADO

0.01 EN MAL ESTADO

PRODUCCIÓN

Emp

PRODUCTOS


6) ¿Qué máquina produce con mayor eficiencia?

A = 0.50

B=0.40

C =0.10

0.97 EN BUEN ESTADO

0.98 EN BUEN ESTADO

0.99 EN BUEN ESTADO

0. 03 EN MAL ESTADO

0.02 EN MAL ESTADO

0.01 EN MAL ESTADO

PRODUCCIÓN

Emp

PRODUCTOS P(A/B)=(0.50)(0.97)/P(B)P(A/B)=0.485P(B/B)=(0.40)(0.98)/P(B)P(B/B)=0.392P(C/B)=(0.10)(0.99)/P(B)P(C/B)=0.099


Una firma de consultoría renta automóviles de tres agencias, 20% de la agencia D, 20% de la agencia E y 60% de agencia F. Si 105 de los autos de D, 12% de los autos de E y 4% de los autos de F tienen neumáticos en mal estado, 1) ¿cuál es la probabilidad de que la firma tendrá un vehículo con neumáticos en mal estado?


P(D)=(0.20)(0.10)+(0.20)(0.12)+(0.60)(0.04)

P(D)=0.068

D = 0.20

E=0.20

F =0.60

0.90 EN BUEN ESTADO

0.88 EN BUEN ESTADO

0.96 EN BUEN ESTADO

0. 10 EN MAL ESTADO

0.12 EN MAL ESTADO

0.04 EN MAL ESTADO

Renta Autos

Emp

Llantas


Método 2Br = Las agencias

A= llantas en mal estado


Si se alquila un vehículo con neumáticos en mal estado, ¿cuál es la probabilidad de que haya sido alquilado de E?


P(E/D)=(0.20)(0.12)/0.068

P(E/D)=( 0.35

B1= D = 0.20

B2= E=0.20

B3= F =0.60

0.90 EN BUEN ESTADO

0.88 EN BUEN ESTADO

0.96 EN BUEN ESTADO

0. 10 EN MAL ESTADO

0.12 EN MAL ESTADO

0.04 EN MAL ESTADO

Renta Autos

Emp

Llantas


Método 2

Probabilidad Condicional y Bayes Ing. Raúl Alvarez Guale, MPC.

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