PROBABILIDAD CONDICIONAL

Es la probabilidad de que ocurra un evento con la condición de que

otro evento ya ha ocurrido antes.

Sean dos eventos A y B de un espacio muestral , entonces la

probabilidad de que ocurra el evento A “dado” que el evento B ya

ha ocurrido antes se define de la siguiente manera:

P(A/B) = P(A B)

P(B)

P(B/A) =

P(B A)

P(A)

O la probabilidad de que ocurra el evento B “dado” que el evento A

ya ha ocurrido antes:

Ejemplo: un empresario vende 2 tipos de gasolinas

84 y 95 octanos. La probabilidad de que la gasolina de 95 octanos aumente su valor es 0.89 y la probabilidad de que los dos tipos de gasolina aumenten su valor es de 0.65. Si la gasolina de 95 octanos ya había aumentado su valor. ¿Cuál es la probabilidad de que la gasolina de 84 Octanos aumente su valor?

Solución: sean los eventos: A:la gasolina de 84 octanos aumente su valor B:la gasolina de 95 octanos aumente su valor Luego: P(B)=0.89 P(AB)=0.65 entonces si la gasolina de 95 octanos aumentó quiere decir que el evento B ya ha ocurrido antes,luego:

P(A/B) =

P(AB) P(B)

= 0.65

0.89 = 0.73

PROPIEDADES DE LA PROBABILIDAD

CONDICIONAL

Se verifica que:

a) P(A/B) = 1- P(AC/B) ó P(AC/B) = 1- P(A/B)

b) Si A1 y A2 son eventos cualesquiera entonces usando

el teorema de la adición tenemos:

P[(A1U A2)/B] = P(A1/B) + P(A2/B) – P[(A1 A2)/B]

Tabla de doble entrada de Probabilidades

Comúnmente cuando se realizan ejercicios con probabilidad

condicional también es de utilidad una tabla de doble entrada de

de probabilidades.

En la disposición de una tabla de doble entrada vamos a tener

tanto en las filas como en las columnas a los eventos que se

definan,generalmente cuando definamos 2 o más eventos.

Ejemplo1: Un club consiste de 150 miembros. Del total, 3/5 son

Hombres y 2/3 son profesionales. Además, 1/3 de las mujeres son no

profesionales.Si se elige al azar un socio del club:

a) Calcular la probabilidad de que sea hombre y profesional.

b) Calcular la probabilidad de que sea hombre dado que es profesional.

c) Calcular la probabilidad de que sea no profesional dado que es

mujer.

Solución: sean los siguientes eventos

Hombre: H , Mujer: M , Profesional: F , No profesional: NF

Profesional(F) No profesional (NF) Total

Hombre (H)

Mujer (M)

60

40

30

20

90

60

Total 100 50 150

a) P( H F ) = 60

150

= 0.4

b) P( H / F) = P ( H F )

P( F) =

60/150

100/150 = 0.6

c) P( NF / M ) = P ( NF M )

P(M) =

20/150

60/150 = 0.33

n(HF)

n() =

Ejemplo2:

Se tienen los resultados de una encuesta efectuada

a los huéspedes de un hotel, evaluando si les gustaba la

comida o no , y también se les pregunto de donde

provenian. Los resultados de la encuesta se encuentran

en la siguiente tabla de doble entrada:

Lés agrado

mucho (M)

Lés agrado

(A)

Lés desagradó

(D)

Total

Franceses

(F)

30 30 40

Norteamericanos

(N) 50 25 35 110

Total 80 55 75 210

100

Calcular lo siguiente:

a) La probabilidad de que el huésped sea francés. P(F)=100/210

b) La probabilidad de que les agradó la comida. P(A)= 55/210

c) La probabilidad de que el huésped sea norteamericano y le

desagrade la comida. P(ND)=35/210

d) La probabilidad de que el huésped sea francés si le desagradó

la comida.

P(F /D) =

e) La probabilidad de que el huésped sea norteamericano si le agradó

la comida.

P(N/A) =

40P(F D) 40210= =

75P(D) 75

210

25P(N A) 25210= =

55P(A) 55

210

El Teorema o regla de la Multiplicación

La consecuencia más importante de la probabilidad condicional es el teorema de la multiplicación donde:

P(A B) = P(B) P(A/B)

P(A B) = P(A) P(B/A)

ó

Este teorema se puede generalizar para “n” eventos: P(A1A2 …. An) = P(A1)P(A2 /A1) P(A3 /A1 A2)…..P(An/A1A2 …. An-1)

Ejemplo:

Calcular la probabilidad de extraer una bola verde

en la primera extracción y una bola roja en la segunda

extracción sin reposición de una urna que contiene 3

bolas verdes y 4 rojas.

EVENTOS INDEPENDIENTES

En la definición de la probabilidad condicional deciamos que la

probabilidad del evento A ocurre dado que el evento B ya ha

ocurrido antes, es decir la ocurrencia de A depende si ocurre o no

el evento B, esto es:

P(A/B) =

P(A B)

P(B)

Ahora se dira que los eventos A y B son “independientes” si la

probabilidad que el evento A ocurra, no depende si ocurre

o no el evento B. Luego se tendrá que:

P(A/B) = P(A)

algunos ejemplos de eventos independientes:

1) En el lanzamiento de dos monedas, el que salga cara en una

de ellas no depende que salga cara en la otra.

2) En los tiros al blanco, el que dé al blanco en el tercer tiro

no depende de los tiros en el segundo ni en el primero.

3) Encestar canastas en el juego del baloncesto.

4) Los tiros penales en el futbol, etc..

DEFINICION GENERAL

Dos eventos A y B son independientes si se cumple que:

P(A B) = P(A).P(B)

PROPIEDADES:

Si dos eventos A y B son independientes entonces:

i) Ac y Bc también son independientes.

ii) Ac y B también son independientes.

iii) A y Bc también son independientes.

Luego:

i) quiere decir que si Ac y Bc son independientes entonces

por definición P(Ac Bc ) = P(Ac).P(Bc)

ii) quiere decir que si Ac y B son independientes entonces

por definición P(Ac B) = P(Ac).P(B)

iii) quiere decir que si A y Bc son independientes entonces

por definición P(A Bc ) = P(A).P(Bc)

Ejercicio: Carlos y José juegan tiro al blanco.Las probabilidades de dar en el

blanco son 0.3 y 0.4 respectivamente. Hallar la probabilidad de que

por lo menos uno de ellos dé en el blanco.

Solución:

Sean C: Carlos dá al blanco P(C) = 0.3

J: José dá al blanco P(J) = 0.4

*Por ser tiros al blanco los eventos C y J son independientes, es decir:

P(CJ) = P(C) P(J)

Entonces:

P(por lo menos uno dá al blanco) = P(CJ) =P(C)+P(J)-P(CJ) …….Teor.Adición

=P(C)+P(J)-P(C)P(J)

= 0.3+0.4 – 0.3x0.4

= 0.58

Primer

Nivel Segundo

Nivel

DIAGRAMA DE ARBOL DE PROBABILIDADES

Donde se cumple que:

P(A1)+P(A2) = 1

P(B/A1)+P(BC/A1) = 1

P(B/A2)+P(BC/A2) = 1

(Primer Nivel)

(Segundo

Nivel)

……….. Tercer

Nivel

ramas del árbol

Ejemplo: construir el diagrama de árbol para el siguiente

enunciado:

La probabilidad que Luis estudie es 0.20. Si estudia la

probabilidad que apruebe es de 0.80 y si no estudia la

probabilidad que apruebe es de sólo 0.50.

Solución: Sean los eventos A1: Luis estudia

A2: Luis no estudia

B : aprueba BC: no aprueba

TEOREMA DE LA PROBABILIDAD TOTAL Y TEOREMA DE BAYES

PARTICION DEL ESPACIO MUESTRAL

Se denomina partición del espacio muestral , a una colección de

“k” eventos A1,A2,……,Ak que sean mutuamente excluyentes y

colectivamente exhaustivos, tales que verifican lo siguiente:

1) P(Ai)>0 , para cada i=1,2,….,k

2) Ai Aj = Ø ij (mutuamente excluyentes)

k

1i iA

3) = (colectivamente exhaustivos)

………….

A1 A2 A3 Ak

TEOREMA DE LA PROBABILIDAD TOTAL

Si “k”eventos A1,A2,……..,Ak constituyen una partición del

Espacio Muestral(),entonces para cualquier evento B en se cumple lo siguiente:

P(B)=

k

1i)

iA/B(P)

iA(P

A1 A2 A3

……….

Ak

B

entonces la probabilidad que

ocurra el evento B esta dado:

Ejemplo1:La probabilidad que Luis estudie es 0,20. Si

estudia la probabilidad que apruebe es de 0,80 y si no

estudia la probabilidad que apruebe es de sólo 0,50.

¿Cuál es la probabilidad que Luis apruebe su examen?

Solución: Sean A1: Luis estudia A2: Luis no estudia

B : aprueba BC: no aprueba

Ejemplo2: 3 máquinas producen la misma pieza; las

máquinas A1, A2 y A3 fabrican el 35%, el 25% y el 40%

de la producción total respectivamente. De lo que producen

el 5%, 4% y 2% son defectuosos respectivamente.

Si se escoge un artículo al azar, de cuál tipo de máquina es

más probable que provenga la pieza defectuosa.

EL TEOREMA DE BAYES

Si los k eventos A1,A2,……..Ak constituyen una partición del

espacio muestral , entonces para cualquier evento B incluído

en tal que P(B)>0 se cumple:

P(Ai/B) = P(Ai) P(B/Ai)

P(B)

Donde:

k

1i)

iA/B(P)

iA(PP(B)=

Probabilidad

Total

Solución:

Ejemplo3: 3 máquinas producen un mismo artículo; las

máquinas A1, A2 y A3 fabrican el 35%, el 25% y el 40%

de la producción total respectivamente. De lo que producen

el 5%, 4% y 2% son defectuosos respectivamente.

Si se escoge un artículo al azar y esta resulto defectuoso, ¿cuál

la probabilidad de que el artículo provenga de la maquina 2?