Probabilidad Condicional: Probabilidad Total y Teorema de Bayes

Teoría de Probabilidades

Teoría de Probabilidades - Ing. Ricardo Fernando Otero - Pregrado Ingeniería Industrial – Pontificia Universidad Javeriana Sede Bogotá

Probabilidad Condicional Condiciona la probabilidad de ocurrencia de

un evento según los resultados de otro. Permite tener en cuenta las interacciones

entre variables aleatorias. Relación a tener en cuenta:

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Ejemplo En cierto país los porcentajes de ocupación de las

personas mayores de edad son los siguientes:

Si se elige a una persona cualquiera, ¿cuál es la probabilidad de que esté laborando?

Si se elige a una persona que se conoce que es mujer ¿cuál es la probabilidad de que esté laborando?

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Hombres Mujeres

Población activa

laboralmente.

18.000.000 15.000.000

Población total de estudio

25.000.000 21.000.000

Ejercicio Cuál es la probabilidad de ganar el Baloto dado que se

acertaron más de 3 números?

Consideremos una población en la que cada individuo es clasificado según dos criterios: es o no portador de VIH y pertenece o no a cierto grupo de riesgo que denominaremos R. La correspondiente tabla de probabilidades es:

¿Cuál es la probabilidad de que una persona sea portadora de VIH dado que no pertenece al grupo de riesgo R?

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Portador No Portador

Pertenece a R 0.003 0.017

No pertenece a R

0.003 0.977

Ejercicios Un sistema eléctrico consiste de cuatro componentes como

se indica en la figura El sistema funciona si los componentes A y B funcionan, y cuando al menos uno de los componentes C ó D funcionen. La probabilidad de que un componente funcione se indica en la figura. a) ¿Cuál es la probabilidad de que el sistema funcione?, b) ¿Cuál es la probabilidad de que el componente C no funcione, dado que el sistema completo funciona? Asuma que los cuatro componentes funcionan de manera independiente.

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Principio de Multiplicación Permite calcular las interacciones entre

eventos a través del cálculo de probabilidades condicionales.

Para una cantidad consecutiva de eventos dependientes.

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Ejercicios Generales Una caja contiene 25 tornillos, de los cuales 4 son

defectuosos. Si se extraen 3 tornillos al azar: Encontrar la probabilidad de que 2 tornillos sean defectuosos. Encontrar la probabilidad de que sólo los 2 primeros tornillos sean

defectuosos

Si lanzo dos monedas, y al menos una dio cara, ¿cuál es la probabilidad de que ambas fueran cara?

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Probabilidad Total Permite calcular la probabilidad de ocurrencia de

un evento que a su vez depende del resultado de una colección de particiones de otro evento

Sea B1, B2… Br un sistema completo de sucesos. Entonces:

p(A) = p (A E) = p [A (B1 U B2 U… Br)] pr. distributiva

= p [(A B1) U (A B2) U… (A Br)] eve. excluyentes

= p(A B1) + p(A B2) + … + p(A Br) =

= p(B1) . p(A / B1) + p(B2) . p(A / B2) +… + p(Br) .

p(A / Br)

E

B1

B2

B3

...

Br

A

A B1

A B2

A B3

A Br

...

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Ejercicio Suponga que tiene una urna con 3 monedas. La

moneda i tiene probabilidad i / 3 de caer cara, para i = 1,2,3. Suponga que usted va a seleccionar una moneda y esta va a ser lanzada. La probabilidad de sacar la moneda 3 es igual a sacar la moneda 2 y 1. ¿Cuál es la probabilidad de Obtener Sello?

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Ejercicio En una empresa de manufactura hay cuatro máquinas A, B,

C, D; las cuales producen el 30%, 20%, 40% Y 10% de la totalidad de artículos respectivamente. Luego de desarrollar un procedo de control de calidad se encontraron las proporciones de artículos defectuosos producidos por cada máquina así: 5%, 2%, 3% y 7%, respectivamente. ¿Cuál es la probabilidad de obtener un artículo defectuoso si se obtiene al azar?

Hay 15 pelotas de tenis en una caja, de las cuales 9 nunca han sido usadas. Un primer jugador saca 3 pelotas al azar y practica con ellas varias horas y luego las devuelve a la caja. Después, un segundo jugador llega al mismo campo a practicar y saca 3 pelotas de la misma caja. Calcular la probabilidad de que estas 3 pelotas no hayan sido usadas.

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Teorema de Bayes Permite calcular probabilidades posteriores a

la ocurrencia de un evento. Permiten modificar probabilidades subjetivas

cuando se consigue información adicional del experimento.

P(Bi / A ) =P(B1) · P(A / B1) + P(B2) · P(A / B2) +… + P(Br) · P(A / Br)

P(Bi) · P(A / Bi)

P(Bi / A ) = P(A Bi )

P(A)

Sean B1, B2, ... , Br un sistema completo de sucesos. Se llama probabilidades a posteriori a:

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Ejercicios En una empresa de manufactura hay cuatro máquinas A, B, C,

D; las cuales producen el 30%, 20%, 40% Y 10% de la totalidad de artículos respectivamente. Luego de desarrollar un procedo de control de calidad se encontraron las proporciones de artículos defectuosos producidos por cada máquina así: 5%, 2%, 3% y 7%, respectivamente. Si se elige un artículo al azar y este resulta defectuoso, ¿Cuál es la probabilidad de que haya sido fabricado por la máquina A?

Suponga que en la urna A tiene bolas numeradas del 1 al 8 y en la urna B tiene bolas numeradas del 1 al 10. Una de las 2 urnas es seleccionada, y de la urna se sacan aleatoriamente 4 bolas. La probabilidad de escoger la urna A es el doble de la probabilidad de escoger la urna B. Si el valor máximo de la muestra es 8, ¿Cuál es la probabilidad que la urna seleccionada haya sido la A?

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Ejercicios El gobierno de cierto país aprobó una ley para hacer

obligatorio que los cerca de 200.000 empleados públicos se sometan a una prueba para detectar si son usuarios de drogas. Se estima que el 1% de los empleados públicos del país son usuarios de drogas. La prueba que se ofrece muestra un resultado positivo en el 98% de los casos en que se le administra a una persona que usa drogas, es decir, detecta el 98% de los usuarios de drogas. De manera similar, si la persona no usa droga alguna, la prueba arroja un resultado negativo en el 99% de los casos. Se selecciona un empleado al azar, se le administra la prueba y se obtiene un resultado positivo. ¿Cuál es la probabilidad que la persona sea usuario de drogas?

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Solución

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