Probabilidades y Teoría de Juegos

Probabilidadesy

Teorıa de Juegos

Juan Pablo Pinasco

Departamento de MatematicasFCEyN - UBA

2007

Juan Pablo Pinasco Probabilidades y Teorıa de Juegos

Los juegos de azar.La teorıa de juegos.Aplicaciones polıticas y economicas.


Parte I

Juegos


Primeros juegos

∼ 1200 aC: Palamedes (?)

Dados y Ajedrez

(aunque se cree que los juegos de tablero existıan en India en el3000 aC)


Tipos de juegos

Habilidad (Balero, yo-yo..., salto en largo / alto, natacion,maraton...)

Azar (Ruleta, perinola, pase ingles...)

Logica (Ta-te-tı, damas, ajedrez, go...)

Estrategia (Truco sin cartas, piedra papel y tijera...)


Juegos mixtos

Combinaciones de los anteriores

Boxeo: habilidad, estrategia

Truco/Tute: estrategia, logica, azar

Backgammon: logica, azar


En la realidad

En parte, todo juego involucra un poco de cada una

Aun el ajedrez es una mezcla de todas


Y las matematicas?


Y las matematicas?

Bien, gracias

Hablando en serio, hubo y hay mucha matematica detras de esto

(salvo, tal vez, en los de habilidad: escucho posibilidades - aunqueesta el problema de programar una maquina para que lo haga,robotica, y todo eso)


Ejemplos:

Azar: cuales son las chances de ganar?

Logica: como determinar la mejor movida entre todas lasposibles?

Estrategia: como valorar las movidas? con que criterioselegirlas?


Algunas ramas matematicas:

probabilidad

combinatoria

estadıstica

teorıa de juegos


Parte II

El Ajedrez


∼ 500 dC, Ajedrez

Pasa de India a Persia

Chaturanga en Punjab

Version con dados en China


∼ 600-800 dC, Ajedrez

Se esparce en el mundo arabe

Alternativamente, los califas lo juegan y lo prohiben:

685 Abdal-Malik ibn Marwan, ajedrecista710 Walid I ibn Abdal-Malik condena a muerte a los jugadoresque juegan mal contra el712 lo introducen en Espana725 muere Sulaiman ibn Yashar, que desaprueba el ajedrez742 muere Hisham ibn Abdal-Malik, califa y ajedrecista


∼ 800-1100 dC, Europa

800 se juega en Francia e Italia

801 Carlomagno aprende a jugar

820 se juega en Rusia

900 en toda Europa

980 Rabbi Abu Yachia describe el ajedrez en hebreo

1060 Guillermo el Conquistador le parte un tablero en lacabeza al Prıncipe de Francia

El Cardinal Damiani prohibe el juego de ajedrez entre losclerigos

1093 La iglesia ortodoxa prohibe el ajedrez

1100 El ajedrez es habitual en la nobleza


∼ 1100-1200 dC, Ajedrez

1110-1125 La iglesia Ortodoxa excomulga ajedrecistas...

1115 ...pero el emperador de Bizancio es un adicto al ajedrez

1128 San Bernardo le prohibe jugar a los Templarios

1140 Abraham Ben Ibn-Ezra escribe textos de ajedrez enhebreo

1195 Maimonides prohibe el ajedrez

1190 Alexander Neckam condena el ajedrez por frıvolo,mientras...

...Ricardo I lo aprende en las Cruzadas

1208 El Obispo de Parıs lo prohibe entre los clerigos, 1240 enInglaterra


Prohibiciones

1195 Maimonides prohibe el ajedrez

1291 El Arzobispo de Cantebury prohibe el ajedrez

1310 Concilio de Trier: lo prohibe en Alemania para losclerigos

1322 Rabino Kalonymos Ben Kalonymos lo condena

1328 ibn Taymiya: se puede jugar al ajedrez, pero no por plata

1375 Carlos V (1337-1380) de Francia lo prohibe

1380 William of Wykeham (fundador de Oxford) lo prohibe

1392 Carlos VI (1368-1422) lo prohibe


Permiso

1370 el Papa Gregorio XI (1329-1378) es un gran jugador

1416 Los judıos tienen prohibidos todos los juegos, excepto elajedrez, en Forli

1420 En Alemania se levanta la prohibicion

1430 Carlos VII (1403-1461), Rey de Francia: adicto al ajedrez

1437 El rey James I de Escocia estaba jugando cuando loasesinan

1465 muere Carlos D’Orleans, ajedrecista (padre de Luis XII)

1500 El ajedrez se acepta, aun durante el Sabbath


Ajedrez y literatura

1130 Omar Khayyam escribe el ’Rubaiyat’, menciona elajedrez.

1250 Mabinogion, saga epica galesa, menciona el ajedrez (elmismo ano, el rey de Dinamarca era capturado durante unpartido de ajedrez)

1250 De Vetula, romance de Richard de Fournival, mencionael ajedrez y todos los casos de tirar tres dados

1283 Manuscrito de Alfonso X de Castilla, Libro del Acedrex,con instrucciones para su juego con dados


Teorıa del ajedrez

1300 Jacobo de Cessole: Liber de moribus, sermonario, quetrata de la moral basada en el ajedrez, luego a cargo de laInquisicion - Reimpreso muchas veces en distintos lugares -Hay ediciones de Valladolid, 1549 (Dechado de la vidahumana, moralmente sacado del juego del ajedrez) y Louvain,1551 - Aparece en el prologo al libro I de Grau, y tiene ungrabado

1497 Juan Ramırez Lucena de Salamanca, Repeticion deamores e arte de axedrez, primer libro de ajedrez

1526 Girolamo Cardano (1501-1576) Liber de Ludo Alea

1560 Ruy Lopez de Segura (sacerdote), visita Roma y vence atodos. Al ano siguiente publica su Libro de la invencion liberaly arte del juego del Axedrez


Lucena

Antes de la partida, que tu rival beba y coma opıparamente;

Si es un desconocido hablale de tus hazanas en otros lugares;

Mientras el piensa su jugada, silba una tonada o conversa conalgun espectador;

Si estas inferior, mueve con decision, golpeando las piezas enel tablero; o juega muy despacio, para que el se impaciente yquiza tambien se equivoque;

Si cometes un grueso error, sonrıe disimuladamente sin mirarloa los ojos;

Si triunfas de casualidad, deja la revancha para otro dıa.


Ruy Lopez

(Cessolis ha) representado por este tablero una republica, oreyno: y por las piecas y peones, las diferencias de gentes, yestados, y officios, que en ella, o en el dicho reyno tenian (...).Pero siempre auemos impugnado la tal opinion, y doctrina: ydemonstrado aquı no se representar ciudad, sino un campocon dos reyes, y sus gentes de guerra, aparejados para darsebatalla.

Felipe II estudio el ”Libro...” y planeaba sus batallas como sifueran partidas de ajedrez


Ruy Lopez

”quando se porna a jugar si fuere de dia claro, y al sol,procure que el enemigo tenga el sol de cara, porque lo ciegue:y si fuese obscuro, y se jugare con lumbre, hazer que la tengaa la mano derecha: porque le perturbe la vista, y la manoderecha que trae por el tablero, le haga sombra: de modo queno vea bien donde juega las piezas.”

”Si a ti no te haze al caso jugar mas con unos trebejos que conotros, y vieres que tu enemigo tiene costumbre de jugar conunos senaladamente, aquellos armes a tu parte, y finjas tenertu uso de jugar con aquellos: porque es parte de perturballo.”


Ruy Lopez

Las siguientes reglas piden que ”pretenda vencer al contrariopor fuerza y no por error”, y que ”no juegue lancesinfructuosos.”

que ”ninguno de ventaja a otro”, y que, en caso deconcedersela, que sea mınima.

”Que siempre el jugador procure de traer a su enemigo lo masfatigado y affligido que ser pueda. Porque trayendolo assiapretado, le cansara la fuerza de la imaginacion, y le haracometer errores.”


Cardano

Introduce el concepto de justicia:

”Principio fundamental de las apuestas: igualdad decondiciones, es decir, de los oponentes, de espectadores, dedinero, de situacion, de los dados. Si te apartas de la igualdaden favor de tu oponente, estas loco.”

Analiza tambien ventajas ajenas al juego:

”si el tablero recibe la luz del lado opuesto a tı eso es malo,porque distraera tu mente; por otro lado, es ventajoso tener eltablero contra un fondo oscuro. Tambien, es beneficioso estarde cara a una luna rapidamente ascendente.”


Cardano

Su intencion es ayudarlo a uno a reducir las perdidas y demostrarque no ocurren por (mala) suerte, sino que estan determinadas porla logica rigurosa e impredecible de las matematicas, sumada a lalogica inexorable de las trampas

Analiza las probabilidades de obtener distintos tiros de dados omanos de cartas, y explica como obtiene esos numeros. Describemuchos juegos y observa:

” Es beneficioso para el hombre sagaz jugar a las cartas y no alos dados, y al triumphus [antepasado del whist, espadas ycorazones, y del tute] porque tiene una especie de mediojuego, similar al ajedrez”


Cardano

Tipos de trampas:

dados falsos

mesa de juego inclinada

cartas marcadas

robar cartas del mazo

kibitzers

Da consejos para evitarlas (o para hacerlas)Explico un truco con cartas, adivinar la carta elegida,identificandola con tres metodos.


Inexplicable:

Pasarıan unos quinientos anos antes de que este tipo de analisis serepitiera, se generalizaran sus aplicaciones, y se escucharan nuevosconsejos

El principal responsable serıa von Neumann, si bien antes huboalgunos casos aislados


Parte III

Teorıa de Juegos


Historia

∼ 1715 Waldegrave: estrategias mixtas

∼ 1850 E.A.Poe: El misterio de Marie Roget

1913 Zermelo: estrategias ”puras”, ajedrez, induccionretrograda

1921/24/27 Borel: Est. mixtas, economıa, guerra - Piedra,papel o tijera - Conjetura el Teorema minimax

1924 Steinhaus: ”Jugar maximizando el premio mınimo”

1924 Steinhaus: carreras de barcos (trad. 195?)

1928 Von Neumann: Teorema Minimax

∼ 1934 Morgestern: Predicciones economicas

1940-1945: Aplicaciones militares

∼ 1950 Nash: su equilibrio

∼ 1970 Shubik: remate de un dolar


Premio Nobel de Economıa

(1969 - 2006)


Kenneth Arrow

(Wassily Leontief)

(Leonid Kantorovich)

Gerard Debreu

John Harsanyi

John Forbes Nash

Reinhard Selten

(Robert C. Merton)

(Myron Scholes)

William Vickrey

Thomas Schelling

Robert Aumann


(Wassily Leontief)

(Leonid Kantorovich)

(Robert C. Merton)

(Myron Scholes)


Kenneth Arrow

Gerard Debreu

John Harsanyi

John Forbes Nash

Reinhard Selten

William Vickrey

Thomas Schelling

Robert Aumann


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