Teoría de Bernoulli en las probabilidades.

En la teoría y probabilidad de estadística la distribución de Bernoulli (O distribución dicotómica), nombrada así por el matemático y científico suizo Jakob Bernoulli, es una distribución de probabilidad discreta, que toma valor 1 para la

probabilidad de éxito ( ) y valor 0 para la probabilidad de fracaso ( ).Si X es una variable aleatoria que mide "número de éxitos", y se realiza un único experimento con dos posibles resultados (éxito o fracaso), se dice que la variable aleatoria X se distribuye como una Bernoulli de parámetro P.

Su fórmula es:

 

EL PROCESO DE BERNOULLI

Consiste en hacer ‘n’ veces un experimento de Bernoulli teniendo en cuenta:

Que las condiciones no varían por ejemplo en el dado que se arroja ‘n’ veces según siendo el mismo y no sufre cambios. Es decir que la probabilidad p de tener un éxito en la quinta vez es la misma que la de tener un éxito en la octava vez.

Que cada uno de los experimentos es independiente, por ejemplo que haya salido un 2 en la quita vez que se arrojó el dado no afecta lo que salga en la octava vez.

Se denomina las siguientes variables:N la cantidad de veces que se hace el experimentoP la probabilidad de que un experimento arroje éxitoK la cantidad de veces que se obtiene éxito en las ‘n’ veces que se hace el experimento.NOTA: si repetimos el experimento ‘n’ veces podemos obtener resultados para la construcción de la distribución binomial.

Ejemplos aplicativos:Primero.

La probabilidad de sacar 2 es 17%.

La probabilidad de no sacar 2 es 83%.

Segundo:

Lancemos una moneda legal y observemos la figura que aparece en la cara superior. Los resultados posibles son dos: cara o sello, que representan con las letras “c” y “s”, entonces el espacio maestral consiste en los dos resultados posibles.

S= {c, s} = 2

Una persona arroja una moneda legal apostando con una persona que salga cara.

La probabilidad que salga cara.

½= 0.5

La probabilidad que no salga cara.

½= 0.5

Ecuación de Bernoulli

La probabilidad que salga cara.

X= número de veces que sale cara.

X=1

P(X=1)= F(1)=(1/2)1*(1/2)0=1/2=0.5

La probabilidad que no salga cara.

X= número de veces que no sale cara.

X=0

P(X=0)= F(0)=(1/2)0*(1/2)1=1/2=0.5

tercero "Lanzar un dado y salir un 6".

Cuando lanzamos un dado tenemos 6 posibles resultados:

Ω={1,2,3,4,5,6}

Estamos realizando un único experimento (lanzar el dado una sola vez).

Se considera éxito sacar un 6, por tanto, la probabilidad según el principio de indiferencia será 1/6.

p=1/6

Se considera fracaso no sacar un 6, por tanto, se considera fracaso sacar cualquier otro resultado.

q =1-p =1-1/6=5/6

La variable aleatoria X medirá "número de veces que sale un 6", y solo existen dos valores posibles, 0 (que no salga 6) y 1 (que salga un 6).

Por tanto, la variable aleatoria X se distribuye como una Bernoulli de parámetro p=1/6

X ~ Be (1/6) La probabilidad de que obtengamos un 6 viene definida como la probabilidad de que X sea igual a 1.

P(X=1)=f(1)=(1/6)1*(5/6)0=1/6=0.1667