DEMOSTRACION DEL TEOREMA DE BERNOULLI ING. CIVIL ING. CIVIL

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INTRODUCCION

La ecuación de Bernoulli es una relación aproximada entre la presión, la

velocidad y la elevación, y es válida en regiones de flujo estacionario e

incompresible en donde las fuerzas netas de fricción son despreciables. Pese a

su simplicidad la ecuación de Bernoulli demostró que es un instrumento muy

potente en mecánica de fluidos.

La aproximación clave en la deducción de la ecuación de Bernoulli es que los

efectos viscosos son despreciablemente pequeños en comparación con los

efectos de inercia, gravitacionales y de la presión.

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OBJETIVOS

Aplicar en práctica (laboratorio), la teoría desarrollada en clase.

Demostrar del Teorema de Bernoulli partiendo de las lecturas de presiones y hallando la energía cinética, obteniendo así la energía total que en teoría tendrá que ser igual en cada punto tomado.

Aprender el manejo de un equipo nuevo de laboratorio FME 03 (equipo para la demostración del teorema de Bernoulli)

Conocer la interacción de los tipos de energía dentro de un sistema físico.

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MARCO TEORICO

TEOREMA DE BERNOULLI

El principio de Bernoulli, también denominado ecuación de Bernoulli o Trinomio

de Bernoulli, describe el comportamiento de un fluido moviéndose a lo largo de una línea

de corriente. Fue expuesto por Daniel Bernoulli en su obra Hidrodinámica (1738) y

expresa que en un fluido ideal (sin viscosidad ni rozamiento) en régimen de circulación

por un conducto cerrado, la energía que posee el fluido permanece constante a lo largo

de su recorrido. La energía de un fluido en cualquier momento consta de tres

componentes:

1. Cinético: Es la energía debida a la velocidad que posea el fluido.

2.-Potencial gravitacional: es la energía debido a la altitud que un fluido posea.

3.- Energía de flujo: es la energía que un fluido contiene debido a la presión que

posee.

DEMOSTRACION:

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La ecuación de Bernoulli es válida para una línea de corriente de un flujo

permanente, de un fluido ideal incompresible.

Considerando el movimiento del fluido en dos secciones del conducto, la

ecuación de Bernoulli expresa que:

𝐸1 = 𝐸2

𝑍1 +𝑃1

𝛾+

𝑣12

2𝑔= 𝑍2 +

𝑃2

𝛾+

𝑣22

2𝑔= 𝑐𝑡𝑒.

La ecuación conocida como "Ecuación de Bernoulli" (Trinomio de Bernoulli)

consta de estos mismos términos.

𝑉2

2𝑔+

𝑃

𝜌𝑔+ 𝑧 = 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡𝑎𝑛𝑡𝑒

Estado 1 Estado 2

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Donde:

V = velocidad del fluido en la sección considerada.

g = aceleración gravitatoria

z = altura geométrica en la dirección de la gravedad

P = presión a lo largo de la línea de corriente

ρ = densidad del fluido

Para aplicar la ecuación se deben realizar los siguientes supuestos:

Viscosidad (fricción interna) = 0 Es decir, se considera que la línea de corriente sobre la cual se aplica se encuentra en una zona 'no viscosa' del fluido.

Caudal constante.

Fluido incompresible - ρ es constante.

La ecuación se aplica a lo largo de una línea de corriente.

Esquema del efecto Venturi.

O escrita de otra manera más sencilla:

𝒒 + 𝒑 = 𝒑𝟎

Donde:

𝑞 =𝜌𝑉2

2

𝑝 = 𝑝 + 𝛾𝑧p

𝑝0, 𝑒𝑠 𝑢𝑛𝑎 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡𝑎𝑛𝑡𝑒.

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MATERIALES Y EQUIPOS

EQUIPOS.

BANCO HIDRÁULICO

EQUIPO PARA LA DEMOSTRACIÓN DEL TEOREMA DE BERNOULLI

El módulo para Demostración del Teorema de Bernoulli está formado

principalmente por un conducto de sección circular con la forma de un cono truncado,

transparente y con siete llaves de presión, que permiten medir, simultáneamente, los

valores de la presión estática correspondientes a cada sección.

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MATERIALES

AGUA

Fluido del cual determinaremos la presión experimentalmente y teóricamente

empleando los equipos señalados.

CRONOMETRO

Se empleó para determinas tiempos y así calcular caudales.

PROBETA

Usado para medir volumen de fluido (agua) en el cálculo de caudales.

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PROCEDIMIENTO DEL ENSAYO

Colocar el equipo sobre el banco hidráulico, asimismo nivelar este mediante los pies de sustentación.

Se tomara nota de las lecturas de escala correspondiente a los niveles

alcanzados en los tubos piezométricos

Haciendo de la probeta y cronometro se calculara el caudal. Se realizó 02

mediciones

Después de realizar el cálculo del caudal, desplazaremos la sonda (Tubo de

Pitot), esto se hará sucesivamente en cada sección a analizar, además se

anotara las lecturas de escala correspondiente, que indican la altura de carga

total en las mismas.

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El proceso anterior se repite, variando la abertura de válvulas, con el fin de

obtener otros valores de caudal y presión.

Cerrar la alimentación de entrada y parar la bomba.

Desaguar el aparato.

Retirar la sonda del interior del conducto (únicamente la longitud estrictamente

necesaria).

Aflojar las piezas extremas de acoplamiento del tubo de pruebas.

Extraer el tubo y volver a montar en sentido contrario.

Realizar de nuevo todo el proceso.

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CÁLCULOS Y RESULTADOS

1- CÁLCULO DEL CAUDAL Y LA ALTURA CINÉTICA (CARGA DE VELOCIDAD) Formulas:

𝑸 =𝑽

𝒕 𝒗 =

𝑸

𝑨

𝑨𝒍𝒕𝒖𝒓𝒂 𝒄𝒊𝒏𝒆𝒕𝒊𝒄𝒂 =𝒗𝟐

𝟐𝒈

PRIMERA LECTURA

Tiempo (s) Volumen (ml) CAUDAL (m3/s)

12.32 1000 0.000081169

12.38 1000 0.000080775

Caudal

Promedio

0.000080972

El área correspondiente para esta lectura es:

A1 = 78.54 mm2 = 0.00007854 m2

𝑣 =0.000080972 m3/s

0.00007854 m2= 1.030966867

m

s

Altura cinética =(1.030966867

m

s)

2

2 ∗ 9.81 𝑚/𝑠2

Altura cinética = 0.054173939m

𝐀𝐥𝐭𝐮𝐫𝐚 𝐜𝐢𝐧é𝐭𝐢𝐜𝐚 = 𝟓𝟒. 𝟏𝟕𝟑𝟗𝟑𝟖𝟖𝟔 𝐦𝐦

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SEGUNDA LECTURA

Tiempo (s) Volumen (ml) CAUDAL (m3/s)

11.91 1000 0.000083963

12.06 1000 0.000082919

Caudal

Promedio

0.000083441

El área correspondiente para esta lectura es:

A1 = 88.47 mm2 = 0.00008847 m2

𝑣 =0.000083441 m3/s

0.00008847 m2= 0.943154718

m

s

Altura cinética =(0.943154718

m

s)

2

2 ∗ 9.81 𝑚/𝑠2

Altura cinética = 0.04533847m

𝐀𝐥𝐭𝐮𝐫𝐚 𝐜𝐢𝐧é𝐭𝐢𝐜𝐚 = 𝟒𝟓. 𝟑𝟑𝟖𝟒𝟕𝟐𝟏𝐦𝐦

TERCERA LECTURA

Tiempo (s) Volumen (ml) CAUDAL (m3/s)

6.38 1000 0.000156740

6.41 1000 0.000156006

Caudal

Promedio

0.000156373

El área correspondiente para esta lectura es:

A1 = 98.87 mm2 = 0.00009887 m2

𝑣 =0.000156373 m3/s

0.00009887 m2= 1.581602368

m

s

Altura cinética =(1.581602368

m

s)

2

2 ∗ 9.81 𝑚/𝑠2

Altura cinética = 0.12749572m

𝐀𝐥𝐭𝐮𝐫𝐚 𝐜𝐢𝐧é𝐭𝐢𝐜𝐚 = 𝟏𝟐𝟕. 𝟒𝟗𝟓𝟕𝟐𝟏 𝐦𝐦

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CUARTA LECTURA

Tiempo (s) Volumen (ml) CAUDAL (m3/s)

6.17 1000 0.000162075

6.05 1000 0.000165289

Caudal

Promedio

0.000163682

El área correspondiente para esta lectura es:

A1 = 121.73 mm2 = 0.00012173 m2

𝑣 =0.000163682 m3/s

0.00012173 m2= 1.344630783

m

s

Altura cinética =(1.344630783

m

s)

2

2 ∗ 9.81 𝑚/𝑠2

Altura cinética = 0.092152495m

𝐀𝐥𝐭𝐮𝐫𝐚 𝐜𝐢𝐧é𝐭𝐢𝐜𝐚 = 𝟗𝟐. 𝟏𝟓𝟐𝟒𝟗𝟒𝟓𝟔 𝐦𝐦

QUINTA LECTURA

Tiempo (s) Volumen (ml) CAUDAL (m3/s)

11.32 1000 0.000088339

11.14 1000 0.000089767

Caudal

Promedio

0.000089053

El área correspondiente para esta lectura es:

A1 =174.35 mm2 = 0.00017435 m2

𝑣 =0.000089053 m3/s

0.00017435m2= 0.510770948

m

s

Altura cinética =(0.510770948

m

s)

2

2 ∗ 9.81 𝑚/𝑠2

Altura cinética = 0.013296991

𝐀𝐥𝐭𝐮𝐫𝐚 𝐜𝐢𝐧é𝐭𝐢𝐜𝐚 = 𝟏𝟑. 𝟐𝟗𝟔𝟗𝟗𝟎𝟖𝟕 𝐦𝐦

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2- APLICANDO EL TEOREMA DE BERNOULLI Y COMPARANDO CON LA LECTURA EN EL TUBO DE PITOT

1 2 3 4 5 6 7

N°

lectu

ra

Caudal

promedio

Área de la

sección

Velocidad

media

Altura

cinética

Altura

piezometrica

(4) + (5) Lectura

en el

tubo de

Pitot

m3/s m2 (10^-6) m/s mm mm mm mm

1 0.00008097

2

78.54 1.03096686

7

54.1739388

6

65 119.173938

9

120

2 0.00008344

1

88.47 0.94315471

8

45.3384721

2

45 90.3384721

2

91

3 0.00015637

3

98.87 1.58160236

8

127.495721

2

30 157.495721

2

157

4 0.00016368

2

121.73 1.34463078

3

92.1524945

6

76 168.152494

6

185

5 0.00008905

3

174.35 0.51077094

8

13.2969908

7

85 98.2969908

7

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CONCLUSIONES

Durante el recorrido del fluido existe una pérdida o disipación de energía, a esto

se le conoce como perdidas de cargas.

La energía en todo los puntos difieren ligeramente este error se puede producir

por malas lecturas (error de paralaje) o por falla del equipo.

Para el desarrollo del ensayo hemos tomado como nivel de referencia al eje del

tubo, es por eso que no hemos considerado energía potencial ya que será la

misma para todos los puntos.