Ejerc Bayes

Las respuestas y/o soluciones de estos problemas estn al final.

Copyright 2001. Gabriel Velasco Sotomayor.

133 problemas originales acerca de la regla de Bayes 617. En la competencia olmpica de marcha o caminata, se supone que el atleta no debe flotar; es decir, debe mantener siempre contacto con el piso. Sin embargo, los vdeos muestran de manera inequvoca que aproximadamente el 80% de los marchistas flotan en algn momento de la competencia. Por otra parte, los jueces que tienen la funcin de amonestar a aquellos marchistas que flotan suelen equivocarse a veces, de tal manera que el 10% de las veces amonestan a los que no flotan, mientras que el 30% de las veces pasan desapercibidas las flotaciones de los marchistas. Si el ganador de una competencia no recibi ninguna amonestacin, cul es la probabilidad de que realmente no haya flotado? 618. Se tienen dos tarjetas, una de ellas es negra por ambas caras y la otra tiene una cara negra y la otra blanca. Se meten en una bolsa y se extrae una de las dos tarjetas al azar, la cual se coloca sobre la mesa. Si la cara que muestra hacia arriba es negra, cul es la probabilidad de que tambin la cara de abajo sea negra? 619. Se tienen dos cajas: la caja I contiene 4 esferas blancas y 3 negras; la caja II contiene 3 esferas blancas y 5 negras. Se elige una de las dos cajas al azar, de la cual se extrae una esfera que resulta ser blanca. Calcular la probabilidad de que provenga precisamente de la caja I. 620. Un ratn de laboratorio se introduce en un laberinto en forma de T. Del lado izquierdo hay un pedazo de comida protegido para que el ratn no pueda olerlo de lejos; y del lado derecho hay una pequea descarga elctrica que sera desagradable para el ratn, mas no mortal. Supngase que la primera vez que se introduce el ratn hay una probabilidad de 0.5 de que vire a cualquiera de los dos lados. Si en el primer intento vir a la izquierda, entonces hay una probabilidad de 0.6 de que vuelva a virar a la izquierda en el segundo intento; sin embargo, si en el primer intento vir a la derecha y recibi la pequea descarga elctrica, entonces hay una probabilidad de 0.75 de que virar a la izquierda en el segundo intento. Si se observa que el ratn efectivamente vir a la izquierda en el segundo intento, cul es la probabilidad de que haya virado tambin a la izquierda en el primer intento? 621. Durante la poca de exmenes en cierto colegio, slo el 25% de los profesores advierten por escrito a sus alumnos que no se est permitido levantarse a hacer preguntas durante la prueba. No obstante, se ha observado que a pesar de esa advertencia, el 20% de los alumnos se levantan a hacer preguntas durante la prueba. Para los profesores que no establecen dicha advertencia, la cifra correspondiente es de 70%. Si durante un examen a cargo del Prof. X, de pronto irrumpe un inspector al saln y observa que hay alumnos que se levantan a preguntar, cul es la probabilidad de que ese profesor no les haya advertido por escrito a sus alumnos que se prohibe hacer preguntas en los exmenes? 622. Una compaa fabrica empaques de hule para tuberas en tres sitios distintos de una ciudad, llammoslos S1, S2 y S3; los cuales producen respectivamente, el 45%, 30% y 25 % del total de la produccin de esa compaa. Se estima que el 8% de los empaques fabricados en S1 son defectuosos, mientras que para S2 y S3 las cifras correspondientes son 6% y 3%. Los empaques fabricados por los tres sitios se concentran luego en una bodega en la ciudad. Si un inspector de



control de calidad toma un empaque al azar de la bodega y lo encuentra defectuoso, qu probabilidad hay de que provenga del sitio S1? 623. El siguiente cuadro muestra la proporcin de pacientes que ingresan a la clnica de especialidades Aranda de la Parra de Len, Gto., y las probabilidades aproximadas de curacin completa:

especialidad mdica:

% del total que ingresan

probabilidad de curacin completa

A1 traumatologa y ortopedia 19% 0.55 A2 enfermedades cardiacas y circulatorias 12% 0.40 A3 enfermedades gastro-intestinales 28% 0.80 A4 ginecologa y obstetricia 14% 0.96 A5 oftalmologa y otorrinolaringologa 5% 0.50 A6 cancerologa 6% 0.10 A7 dermatologa 6% 0.85 A8 neumologa 7% 0.80 A9 SIDA 3% 0

Si un enfermo de esta clnica fue dado de alta sano, calcular la probabilidad de que: a) haya sufrido algn padecimiento cardiaco o circulatorio; b) que haya sufrido algn golpe o lesin fsica. 624. En cierto pas subdesarrollado aquejado por una fuerte inflacin, los economistas esbozan tres teoras, a saber: teora I: que la inflacin desaparecer antes del cambio de gobierno; teora II: que ocurrir una depresin; y teora III que ocurrir una recesin. Ellos estiman que las probabilidades de que se lleguen a materializar las teoras I, II y II son respectivamente 0.40, 0.35 y 0.25. Por otra parte, los expertos consideran que las probabilidades de que ese pas salga del subdesarrollo, si ocurren realmente los eventos I, II y III, son de 0.90, 0.60 y 0.20, respectivamente. Supongamos que el pas de todos modos no logra salir del subdesarrollo. Cul es la probabilidad de que la inflacin haya desaparecido antes del cambio de gobie rno? 625. El nmero de camiones que pasan por una carretera donde hay una estacin surtidora de gasolina, con respecto al nmero de otros automviles, guarda una relacin de 3 a 2. La probabilidad de que se abastezca un camin es igual a 0.1 y para el automvil esta probabilidad es igual a 0.2. El surtidor est casi dormido y por las luces alcanza a ver que se acerca a lo lejos un vehculo para abastecerse de gasolina. Hallar la probabilidad de que sea un camin. 626. El Hotel Royale de Pars tiene 4 trabajadoras A, B, C y D, encargadas de lavar y secar unas vajillas y copas muy finas que se usan en las convenciones y banquetes. La carga de trabajo (en porcentaje) de estas personas es de 20%, 60%, 15% y 5%, respectivamente. Las probabilidades de que estas empleadas rompan una pieza de la vajilla o una copa al lavarlos son de 0.05, 0.10, 0.10 y 0.05, respectivamente. Si el supervisor encuentra que una taza muy fina fue rota al ser lavada, calcular la probabilidad de que la culpable haya sido la empleada A. 627. La probabilidad de que una madre que da a luz por primera vez tenga un beb que nace con algn sndrome o defecto congnito depende de muchos factores, entre otros de la edad de la madre



misma. La revista Medical Newsletter (julio de 1999) public el siguiente cuadro con estadsticas de madres que daban a luz por primera vez:

edad de la madre

porcentaje de madres

probabilidad de que el beb nazca con algn defecto congnito

A1 15 o menos 3% 0.05 A2 16 a 22 23% 0.007 A3 23 a 29 55% 0.001 A4 30 a 36 12% 0.04 A5 37 a 43 6% 0.17 A6 ms de 43 1% 0.23

De acuerdo con estos datos, si el primer beb de una mujer naci con algn defecto congnito, cul es la probabilidad de que la edad de la seora oscile entre los 37 y los 43 aos? 628. El ingeniero Alfonso Ferrz fabrica piezas de ajedrez de plstico. Las piezas acabadas se van metiendo en tres grandes y pesadas cajas antes de sacarlas para pegarles fieltro en la base. En la caja 1 hay 100% de piezas de color blanco; en la caja 2 hay 50% de cada color; y en la caja 3 hay 100% de color negro. El Ing. Ferrz encarga a su empleado que baje la caja de piezas blancas para pegarles fieltro en la base, pero como las tres cajas le quedan muy altas, el empleado no alcanza a ver su contenido, as que saca una pieza de una caja al azar, y resulta ser de color blanco. Cul es la probabilidad de que esa sea la caja que busca? 629. En el saln I hay 7 alumnos, de los cuales 4 estudian ingeniera y 3 actuara; en el saln II hay 8 alumnos, de los cuales 3 estudian ingeniera y 5 actuara. Un alumno al azar del saln II se pasa al saln I y luego se elige un alumno al azar del saln I. Determinar la probabilidad de que sea estudiante de ingeniera. 630. La caja I contiene 4 canicas blancas y 3 negras; la caja II contiene 3 canicas blancas y 5 negras; y la caja III contiene 6 canicas blancas y 3 negras. De la caja I se extrae al azar una canica y se deposita en la caja II. Luego, de la caja II se extrae al azar una canica y se traspasa a la caja III. Finalmente se saca una canica al azar de la caja III. Determinar la probabilidad de que sea blanca. 631. La urna I contiene 2 esferas blancas y 2 negras; la urna II contiene 2 blancas y 3 negras. Se selecciona una urna al azar y se extraen dos esferas juntas de manera aleatoria. Cul es la probabilidad de que sean del mismo color? 632. Un nio usa calcetines de slo dos colores: azul y negro. Sin embargo, no los tiene ordenados por parejas, sino los tiene sueltos en dos cajones de su ropero. En el cajn de arriba tiene 6 calcetines negros y 2 azules; y en el cajn de abajo tiene 3 calcetines negros y 5 azules. No puede prender la luz para ver, porque despertara a su hermano menor; as que toma un calcetn de cada cajn, se los pone en la oscuridad, se viste y se va a la escuela. Cul es la probabilidad de que se haya puesto calcetines del mismo color? 633. En una academia de tiro se encuentran 10 fusiles de prctica para tiro al blanco, 4 de los cuales estn equipados con mira telescpica. Un tirador experto sabe por experiencia que tiene una



probabilidad de 0.95 de darle al blanco si usa fusil con mira telescpica, pero slo 0.8 si usa fusil normal. Supngase que un observador distante nota que el tirador lleg, cogi un fusil, dispar e hizo blanco. Qu es ms probable, que haya escogido uno con mira telescpica o uno normal? 634. Un seor tiene 2 autos: uno de 4 cilindros y uno de 8 cilindros. l utiliza el vehculo de 4 cilindros para trasladarse a su oficina el 75 % del tiempo y el 25% usa el de 8 cilindros. Cuando usa el de 4 cilindros llega a su casa a las 6:00 P.M. el 80% de las veces, y si usa el de 8 llega a la misma hora el 50% de las veces. Si lleg a su casa despus de las 6:00 P.M., cul es la probabilidad de que haya usado el carro de 4 cilindros? 635. La compaa Lear Co. usa 4 empresas de transporte A, B, C, D, se sabe que el 20% de los embarques se asignan a la empresa A, el 25% a la B, el 40% a la C y el 15% a la D. En los embarques llegan retrasados a nuestros clientes en un 7% si los entrega A, 8% si es B, 5% si es C y 9% si es D. Si sabemos que el embarque de hoy fue entregado despus de su hora, cul es la probabilidad de que haya sido de la empresa A? 636. En un equipo de ftbol se va a tirar un penal, hay 2 jugadores (Juan / Pedro ) que desean tirar el penal y el entrenador debe elegir. La probabilidad de que elijan a Juan es 0.7 y la probabilidad de que elijan a Pedro es 0.3. Si tira Pedro, la probabilidad de fallar el tiro es 0.6 y Juan ha fallado 2 de los ltimos 7 penales. Suponga que se tir el penal y fue fallado, Cul es la probabilidad de que lo haya tirado Juan? 637. Don Gato tiene tres candidatos (Demstenes, Cucho y Benito Bodoque) para una misin que consiste en vender boletos de una rifa inexistente a unos turistas ingenuos. Slo uno de los tres tiene que hacerlo. Estima que Demstenes tiene un 35% de oportunidades de ser el elegido, Cucho un 45% y Benito 20%. Existe una probabilidad de 0.09 que los atrape el sargento Matute si va Demstenes; de 0.11 si va Cucho; y de 0.07 si va Benito. Si resulta que Matute los atrap, cul es la probabilidad de que haya sido elegido Benito Bodoque el encargado de vender los boletos? 638. Julin tiene 2 telfonos celulares: un telcel y otro de iusacel. Normalmente el 65% de las veces usa el telcel y el 35% el de iusacel. El telfono telcel falla un 15% de las veces y el iusacel un 20%. Supngase que a Julin le fall el telfono al hacer una llamada, cul es la probabilidad de haber usado el de telcel? 639. La bella y joven Silvia tiene dos pretendientes: Ernesto y Luis. Silvia est decidida a ser novia de alguno de los dos. Ernesto tiene una probabilidad de 0.7 de ser el elegido y Luis de 0.3. Si Ernesto es novio de Silvia, hay una probabilidad de 0.40 de terminen en matrimonio; y si es Luis de 0.30. Si Silvia finalmente se cas con alguno de ellos, cul es la probabilidad de que haya sido con Luis? 640. Una persona de la Ciudad de Mxico desea comprar un auto y las probabilidades de que escoja un automvil de fabricacin japonesa, americ ana, alemana u otra son de 0.40, 0.35, 0.20 y 0.05, respectivamente. Por otra parte, las estadsticas muestran la probabilidad de que un auto de fabricacin japonesa sea robado en la Ciudad de Mxico es 0.24; y para los autos americanos, alemanes y de otra procedencia, las cifras respectivas son 0.38, 0.36 y 0.02. Si esta persona se compr el auto y al poco tiempo se lo robaron, cul es la probabilidad de que se haya comprado un auto de fabricacin japonesa?



641. El Banco Mundial (BM) y el Fondo Monetario Internacional (FMI) planean una reunin. Pueden escoger la sede entre cuatro ciudades con idnticas oportunidades. Si realizan la reunin en Ginebra, no hay probabilidad de que ocurra una manifestacin. Si la hacen en Praga hay una probabilidad de 0.95 de que se realice una manifestacin; en Mxico de un 0.35 y en Nueva York del 0.80. Cul es la probabilidad de que la hayan hecho en Praga, si tuvo lugar una manifestacin? 642. El departamento de contabilidad de una empresa est compuesto por 70% de personas tituladas y 30% pasantes. Si se sabe que el 40% de las personas tituladas elaboran plizas de nminas y el 60% de los pasantes hacen plizas de nminas, cul es la probabilidad de que un empleado del departamento de contabilidad que realiza plizas de nminas sea titulado? 643. El examen de reclutamiento que debe contestar un candidato ofrece cuatro soluciones posibles en el esquema de opcin mltiple. Suponga que la probabilidad de que el candidato sepa la respuesta a una pregunta cualquiera es de 0.8. Para las preguntas cuya respuesta no conoce, l seala al azar una de las cuatro opciones, esperando atinar a la respuesta correcta en algunas preguntas. Si el candidato contesta correctamente una pregunta, cul es la probabilidad de que realmente haya sabido la respuesta? 644. En la larga experiencia de un head hunter (reclutador de personal), l afirma que del total de personas que lo visitan, 70% son licenciados en administracin; 20% son contadores, y 10% son de alguna otra profesin. De los licenciados en administracin, el 40% hablan ingls ms o menos bien; de los contadores el 15%; y de los otros profesionistas el 85% . a) Si un cliente que lo visita habla ingls, cul es la probabilidad de que se trate de un contador? b) Si un cliente no habla ingls, cul es la probabilidad de que sea un licenciado en administracin? 645. En una empresa trabajan 75 hombres y 25 mujeres. La probabilidad de que una mujer trabaje en el almacn es 0.20; y la probabilidad de que un hombre trabaje en el almacn es 0.12. Si se elige al azar un nombre de la lista de empleados del almacn, cul es la probabilidad de que sea hombre? 646. Un profesor de estadstica de una universidad imparte clases a un grupo de 36 alumnos que consiste de 10 estudiantes de contabilidad; 14 de administracin; 9 de tecnologa de alimentos y 3 de mercadotecnia. Por experiencia sabe que la probabilidad de que un estudiante de contabilidad copie las soluciones de la tarea a un compaero en lugar de resolverla l mismo es 0.9; y para los estudiantes de administracin, tecnologa de alimentos y mercadotecnia, las cifras correspondientes son 0.7, 0.4 y 0.8, respectivamente. Si al calificar una tarea de uno de sus alumnos descubre que las soluciones han sido evidentemente copiadas de otra tarea, cul es la probabilidad de que se trate de un alumno de contabilidad? 647. Un adulto mayor de 50 aos se selecciona al azar de una comunidad en la cual el 9% de las personas mayores de 50 aos sufren de diabetes y se le somete a una prueba simple de nivel de glucosa para detectar la posible presencia del padecimiento. Sin embargo, la prueba no es totalmente confiable, pues al 3% de las personas que no tienen diabetes les seala como "positivo", mientras que al 15% de las personas que s tienen diabetes la prueba sale "negativa". a)Cul es la probabilidad de que esa persona tenga realmente diabetes, dado que el resultado de su prueba marca "positivo"? b) Cul es la probabilidad de que no tenga diabetes si la prueba marca "negativo"?



648. Las estadsticas muestran que los viernes despus de las 7 de la noche, aproximadamente 30% de los automovilistas de la Ciudad de Mxico conducen en estado de ebriedad. Suponga, adems, que en la Ciudad de Mxico el 85% de los conductores ebrios hacen caso omiso de los sealamientos de trnsito, mientras que slo el 60% de los conductores sobrios respetan los sealamientos de trnsito. a) Si alguien observa un viernes por la noche que un automovilista hace caso omiso de los sealamientos, cul es la probabilidad de que est borracho? b) Si se observa que un conductor respeta los sealamientos de trnsito, cul es la probabilidad de que est sobrio? 649. En cierto lugar, 30% de las personas son fumadores y 70% no fumadores. Adems, se estima que el 60% de los fumadores adquieren hipertensin; mientras que slo el 20% de los no fumadores adquieren hipertensin. De los fumadores hipertensos, el 90% llegan a tener problemas cardacos; y de los fumadores no hipertensos, slo el 15% llegan a manifestar problemas cardacos. En cambio, de los no fumadores hipertensos, el 65% llega a sufrir malestares cardacos. Por ltimo, de los no fumadores no hipertensos, slo el 5% llegan a padecer malestares cardacos. Si a un individuo se le diagnostica un malestar cardaco, cu l es la probabilidad de que sea no fumador hipertenso? 650. Un diplomado en econometra se realiz en julio y agosto de 2000 en el ITESM Campus Len, el cual estaba formado por 9 licenciados en administracin, 11 ingenieros y 5 contadores. Al final del curso hubo 7 notas sobresalientes, de las cuales 2 correspondieron a licenciados en administracin, 4 a ingenieros y 1 a un contador. Si se escoge al azar un estudiante del diplomado y se observa que obtuvo nota sobresaliente, cul es la probabilidad que sea licenciado en administracin? 651. En un despacho de consultora, el 60% del trabajo lo realiza el grupo de administracin y el restante 40% lo realiza el equipo de software. El equipo administrativo tiene un 3% de errores y el equipo de software un 5% de errores. Si se detecta un error en un trabajo, cul es la probabilidad de que provenga del equipo de software? 652. Las ventas de vasos con caf caliente de la sucursal El Cafecito se reparten en las siguientes proporciones: caf americano 45%, caf capuchino 35%, caf express 20%. La probabilidad de que una persona solicite azcar para cada uno de ellos es de 0.2 para americano, 0.4 para capuchino y 0.1 para express. Alguien ha solicitado un sobre de azcar, cul es la probabilidad de que vaya a dar a un caf capuchino? 653. La cartera de clientes de una empresa que desean pasar vacaciones en Europa se divide en 4 agencias de viaje, en las siguientes proporciones: agencia I: 25%; agencia II: 15%; agencia III: 10%, y agencia IV: 50%. Cada agencia vende en diferentes proporciones viajes a todo el mundo; en particular, los paquetes a Europa son vendidos por la agencia I en un 30%, por la II en un 15%, por la III en un 8%, y por la IV en un 35%. Si un empleado acaba de comprar su paquete a Europa, cul es la probabilidad de que lo haya comprado en la Agencia No. II? 654. Se preparan dos equipos para un partido de ftbol, como se ha hecho tarde para comenzar el juego, nicamente se seleccionar un alumno para verificar que cumpla con el peso. La probabilidad de que un miembro del equipo I no cumpla con el peso es de 0.03 y del equipo dos es 0.025. Si el alumno seleccionado cumpli con el peso, cul es la probabilidad de que pertenezca al equipo nmero II?



655. En una fbrica se tienen 2 mquinas de helado que producen 50% y 50% de la produccin total, respectivamente. La mquina A produce 5% de helado de baja calidad y la mquina B produce 6%. Encontrar la probabilidad de un helado de baja calidad provenga de la mquina A. 656. Se realiza una auditor a con dos auditores A y B, que hacen el 30% y 70% de la revisin total. De la revisin, el auditor A comete el 5% de errores y el B comete el 2% de errores. Encontrar la probabilidad de que dado un error, provenga del auditor B.

657. De los cursos impart idos diariamente por el rea de capacitacin, 30% de los participantes provienen del rea de sistemas y el 70% restante de contabilidad. El porcentaje de inasistencias del rea de sistemas es de 5% y del rea de contabilidad es de 8%. Si se elige un partic ipante al azar de los cursos impartidos diariamente, calcular la probabilidad de que no sea un participante que haya faltado a los cursos.

658. Un editor enva propaganda de un libro de contabilidad al 80% de aquellos profesores que estn a cargo de un curso de dicha materia. El 30% de aquellos que recibieron la propaganda decidieron emplear dicho libro, como as lo hicieron el 10% de los profesores que no la recibieron. Cul es la probabilidad de que un profesor que utiliza el libro haya recibido dicha propaganda? 659. En un concurso de perros existen 75 del criadero Wlatar, y 25 del Romber. Del criadero Wlatar el 12% de los perros no tiene pedigree, y del Romber, el 20%. Si el perro que gana no tiene pedigree, cul es la probabilidad de que sea del criadero Romber? 660. La urna I contiene seis bolas blancas y cinco negras. La urna II contiene cuatro bolas blancas y cinco negras. Se elige una urna aleatoriamente y se extrae una bola de ella. Cul es la probabilidad de que la bola extrada sea negra? 661. La urna I contiene tres bolas blancas y cuatro negras. La urna II contiene cuatro bolas blancas y cinco negras. Se elige una urna aleatoriamente y se extraen dos bolas de ella. Cul es la probabilidad de que las bolas son de colores diferentes? 662. La urna I contiene cuatro bolas blancas y tres negras. La urna II contiene tres bolas blancas y cinco negras. Se lanza un dado. Si sale 1 entonces sacamos dos bolas de la urna I, en caso contrario de la urna II. Calcular la probabilidad de obtener : a) las bolas de colores diferentes; b) un 1 en el tiro de dado, si se sabe que se obtuvo las bolas de colores diferentes. 663. En un saln, hay cuatro mquinas tragamonedas. La probabilidad de ganar en una mquina es de 3

2 y en las tres restantes es de 73 . Si se escoge la mquina al azar, calcular la probabilidad de

ganar. 664. El 70% de las mujeres con uas largas se ponen esmalte en las uas. Se ha observado que el esmalte protege las uas, de tal manera que una mujer con uas largas tiene una probabilidad de 0.30 de quebrrselas si usa esmalte, mientras que para las mujeres con uas largas que no acostumbran usar esmalte, la probabilidad de quebrarse las uas es 0.75. Si a una mujer se le quebraron las uas largas que tena, cul es la probabilidad de que no usara esmalte?



665. Una empresa purifica y filtra agua para luego embotellarla en garrafones de 20 litros. La empresa tiene tres plantas en una ciudad: P1, P2 y P3, las cuales purifican respectivamente el 45%, 30% y 25% del agua que embotella la empresa. Una vez purificada el agua, sta se transporta a una planta central, desde donde se distribuye a toda la ciudad. Un estudio demostr que el 8% de los garrafones de agua purificada en P1 no cumplen con las normas ptimas en lo que se refiere a pureza y contenido de sales minerales, mientras que para P2 y P3 las cifras correspondientes son 6% y 3%. Si se analiza el contenido de un garrafn de agua de la planta central y se comprueba que no cumple con las normas ptimas, hallar la probabilidad de que haya sido embotellado en la planta P1. 666. Tres compaas publicitarias A, B y C quieren obtener una cuenta lucrativa de un fabricante de aparatos electrodomsticos. En la compaa A estiman que sus posibilidades de obtener la cuenta son iguales las de la compaa B y dos veces mejores que las de la compaa C. Hallar la probabilidad de que A, B o C obtengan la cuenta. 667. En el departamento de matemticas de una prestigiosa universidad se ofrece una atractiva plaza de investigador de tiempo completo para matemticos con doctorado. El director estima que el 80% de los aspirantes a la plaza son realmente competentes para el trabajo de investigador y 20% tal vez no lo son. Se establece un concurso de oposicin consistente en un trabajo escrito y una exposicin ante varios sinodales, con objeto de facilitar a la seleccin. La probabilidad de que un aspirante competente para la investigacin pase esta prueba es de 0.90, mientras que para uno que no sea realmente competente la probabilidad es de 0.25. Encontrar la probabilidad de que un aspirante sea realmente competente para la investigacin dado que a) pas la prueba; b) no pas la prueba. 668. En un programa familiar de televisin, el anfitrin le da al concursante la opcin a escoger entre dos cajas C1 y C2 de idntica apariencia que supuestamente contienen dinero en billetes de banco. El concursante tiene que seleccionar una caja, meter la mano y extraer al azar un billete. Slo el anfitrin sabe que en la caja C1 hay 6 billetes de 200 pesos y 2 billetes de 500 pesos, mientras que en la caja C2 hay 5 billetes de 200 pesos y 3 de 500 pesos. En el momento en que el concursante saca el billete de una de las cajas el maestro de ceremonias estaba distrado saludando a alguien del pblico; y en ese momento el concursante le muestra el billete, el cual es de 500 pesos. Cul es la probabilidad de que lo haya sacado de la caja C2? 669. Los distribuidores de calzado Tres Hermanos de Len, Guanajuato se surten de zapatos fabricados por tres firmas: 50% proceden de la firma A , 30% de la firma B y el resto de la firma C. El gerente de la empresa distribuidora sabe por experiencia que 2% de los pares enviados por A estn defectuosos, y las cifras correspondientes para B y C son 3% y 1% respectivamente. Si se toma un par de zapatos al azar de la empresa referida, encontrar la probabilidad de que: a) est defectuoso; b) no est defectuoso; c) haya sido enviado por la firma A si es defectuoso; d) provenga de B si es defectuoso. 670. Una empresa importante de televisin tiene propuestas para patrocinar uno de los siguientes programas: V: una serie de vaqueros al estilo del viejo oeste con Clint Eastwood; M: una serie de programas musicales; y C: una telenovela colombiana. Se estima que las probabilidades de que el presidente de la empresa televisiva se decida por V , M o C son 0.40, 0.35 y 0.25, respectivamente. Por otra parte, el gerente de produccin considera que las probabilidades de que el rating (o popularidad) de la empresa se incremente de manera importante si escogen V, M o C son 0.50, 0.40



y 0.30, respectivamente. Determine: a) la probabilidad de que la popularidad de la empresa no se incremente con ninguno de los tres programas; b) la probabilidad de que se haya transmitido la serie musical, si la popularidad de la empresa no aument para nada; c) la probabilidad de que se haya transmitido la telenovela colombiana, dado que se registr un incremento en el rating de la empresa. 671. El equipo de ftbol Necaxa contempla una millonaria inversin para contratar a un delantero sudamericano estrella. Tienen en la mira al consagrado astro brasileo Rivaldo, al goleador chileno Ivn Zamorano y al prometedor joven argentino Luciano Galleti. Se estima que las probabilidades son de 0.40, 0.35 y 0.25, respectivamente, de que la directiva del club llegue a un arreglo para contratar a uno de ellos (dependiendo de factores econmicos). Por otra parte, el director tcnico considera que su equipo tiene probabilidades (respectivamente) 0.90, 0.60 y 0.20 de ganar el campeonato si se logra la contratacin. Si al final, el equipo Necaxa gana el campeonato de ftbol. Cul es la probabilidad de que Rivaldo haya sido contratado? 672. Un pescador tiene tres lugares para pescar y visita estos lugares con la misma frecuencia. Las probabilidades de pesca en cada uno de estos lugares son 3

243

21 ,, . Cul es la probabilidad de que

el pescador pesque, si escogi el lugar para pescar al azar? 673. Supongamos que el 5% de los hombres y dos mujeres en una poblacin de 1000 individuos son daltnicos. Una persona elegida al azar en esa poblacin resulta ser daltnica. Cul es la probabilidad de que esta persona sea un hombre si se sabe que la proporcin de mujeres a hombres en esa poblacin es 3:7? 674. La primera urna contiene dos bolas blancas y ocho negras, la segunda ocho blancas y tres negras. Se escoge una urna al azar y de sta se saca una bola. a) Cul es la probabilidad de que se saque una bola blanca? b) Si se obtuvo una bola blanca, cul es la probabilidad de que la bola provenga de la primera urna? 675. Una nueva prueba fue desarrollada para la deteccin de la enfermedad gamma, que se cree afecta al 5% de la poblacin. Resultados de pruebas extensivas indican que el 98% de las personas que tienen esta enfermedad tendrn una reaccin positiva a la prueba, mientras que el 6% de quienes no la padecen tambin tendrn una reaccin positiva. a) Cul es la probabilidad de que una persona seleccionada aleatoriamente y haya tenido una reaccin positiva realmente tenga la enfermedad gamma? b) Cul es la probabilidad de que una persona seleccionada al azar con una reaccin negativa , realmente tenga la enfermedad gamma? 676. Una representante de ventas pasa la noche en un hotel y tiene una cita el da siguiente a la hora del desayuno con un cliente importante. Ella pide al servicio de habitaciones que le hagan una llamada a la 7:00 AM., para despertarla a fin de estar lista a tiempo para la cita. La probabilidad de que el servicio de habitaciones haga la llamada es de 0.9. Si la llamada es hecha, la probabilidad de que ella est a tiempo es de 0.9, pero si la llamada no es hecha, la probabilidad de que llegue a tiempo es de 0.8. Si ella est puntual a la cita, cul es la probabilidad de que la llamada haya sido hecha? 677. Cierta semana a los empleados de una gran compaa se les pidi que hicieran ejercicio un mnimo de tres veces en esa semana durante al menos 20 minutos por sesin. El propsito fue



generar "millas de ejercicio". Todos los participantes que completaron el requerimiento recibieron un certificado de reconocimiento por su contribucin. Las actividades reportadas fueron caminata, ciclismo y carrera. De todos los que participaron, 2

1 report caminata, 41 ciclismo y 4

1 carrera.

Suponga que la probabilidad de que un participante que camina completara el requerimiento es 109 ,

y para ciclismo y carrera es 32

54 , respectivamente. Qu porcentaje de personas que completaron el

requerimiento esperara que reportaran caminata? (Suponga que cada participante realiz su ejercicio en una sola actividad). 678. En una encuesta de satisfaccin del cliente, 5

3 de los suje tos sometidos a la encuesta tenan un

automvil japons, 101 un carro europeo y 10

3 un automvil americano. Del primer grupo, el 85% dijo que comprara la misma marca de automvil otra vez, y para los otros dos grupos los porcentajes correspondientes son 50% y 40%. Cul es la probabilidad de que una persona que dijo comprara de la misma marca otra vez, tuviera un automvil japons? 679. En un examen de matemticas slo el 75% de una clase respondi todas las preguntas. De aquellos que lo hicieron, el 80% aprob, pero de los que no respondieron todo, slo aprobaron el 50%. Si un estudiante aprob el examen, cul es la probabilidad de que haya respondido todas las preguntas? 680. Una conocida pareja, muy influyente de crticos de pelculas, tiene un popular programa de televisin en el cual se revisan las pelculas de estreno y los vdeos recin presentados. En los ltimos 10 aos, dieron "excelente" al 80% de las pelculas que fueron xito en taquilla, "malo" al 90% de las pelculas que no fueron exitosas. Una pelcula nueva, cuyo estreno es inminente, es considerada favorablemente por otros en la industria que han visto la presentacin a los crticos, ellos le dan una probabilidad a priori para ser xito de 10

7 . Encontrar la probabilidad de que sea un xito dado que la pareja de crticos en televisin le dio "excelente" despus de verla. 681. En el departamento de prstamos del banco BITAL, la experiencia indica que el 15% de los prstamos solicitados son considerados por los examinadores del banco y caen en la clase "subestndar" , por lo que no deben ser aprobados. Sin embargo, el revisor de prstamos, Sr. Prez, en ocasiones es descuidado y concluye que una peticin no es de clase subestndar cuando lo es, y viceversa. Suponga que el 20% de los solicitudes que realmente son subestndar no son consideradas por Sr. Prez, y que el 10% de las solicitudes que no son subestndar son consideradas como tales por el Sr. Prez, y no son aprobadas. a) Encontrar la probabilidad de que una solicitud sea considerada como subestndar por el Sr. Prez. b) Encuentre la probabilidad de que una solicitud sea subestndar, dado que es considerada as por el Sr. Prez. c) Encuentre la probabilidad de que el Sr. Prez cometa un error en una solicitud. (Un error ocurre cuando la solicitud no es subestndar pero es considerada as, o cuando siendo subestndar es considerada no subestndar). 682. Un fabricante produce artculos en dos turnos. En el primer turno produce 300 unidades por da y el segundo turno produce 200. Por experiencia, se cree que de la produccin de los dos turnos, el 1% y 2% , respectivamente, est defectuosa. Al final del da, de la produccin total fue seleccionada al azar una unidad.



a) Encuentre la probabilidad de que est defectuosa. b) Si la unidad est defectuosa, encuentre la probabilidad de que provenga del segundo turno. 683. En el pasado una compaa contrataba slo personal con experiencia para su departamento de procesamiento de textos. A causa de un dficit en este campo, ha decidido contratar personas sin experiencia y proporcionarles un entrenamiento en el trabajo. Ha facilitado a una agencia de empleos una prueba de aptitud que ha sido diseada para los aspirantes al entrenamiento. De aquellos que recientemente hicieron la prueba, el 35% pas. Para medir la efectividad de la prueba, todos los que la hicieron fueron puestos en el programa de entrenamiento. De quienes pasaron, el 80% se desempe satisfactoriamente, mientras que de los que fallaron, slo el 30% se desempe satisfactoriamente. Si es seleccionado al azar uno de los aprendices y se encuentra que su desempeo es satisfactorio, cul es la probabilidad de que haya pasado el examen? 684. Se realiz un estudio en el rea metropolitana para determinar los ingresos anuales de las parejas casadas en que slo los maridos provean de dinero y aquellos en que ambos cnyuges estaban empleados. La tabla proporciona los resultados de este estudio.

28436368

7365

11302421

104

15000249991500034999250004999935000

749995000075000

%%($)

demenos

msytrabajandocnyugesambos

coningresodegrupodecasadas

parejasdeanual

familiarIngresos

---

-

a) Cul es la probabilidad de que una pareja elegida al azar en esta rea tenga dos ingresos? b) Si una pareja elegida al azar tiene dos ingresos, cul es la probabilidad de que el ingreso anual de esta pareja sea mayor de $75000? c) Si una pareja elegida al azar tiene dos ingresos, cul es la probabilidad de que su ingreso anual sea mayor de $24999? 685. Los datos recopilados por el departamento de justicia acerca del nmero de personas arrestadas por diversos crmenes en 1998 revelaron que el 89% eran hombres y 11% mujeres. De los hombres, 30% tenan menos de 18 aos, mientras que el 27% de las mujeres arrestadas tenan menos de 18 aos. a) Cul es la probabilidad de que una persona arrestada por un crimen tuviera menos de 18 aos? b) Si una persona arrestada por un crimen tena menos de 18 aos, cul es la probabilidad de que sea una mujer? 686. El departamento de ventas de la compaa farmacutica public los siguientes datos relativos a las ventas de cierto analgsico fabricado por la compaa.



3138

4357

TabletasCpsulas

fuertedosisenvendidogrupodel%

ventasde%sicolgAna

Si un cliente adquiri la dosis fuerte de este medicamento, cul es la probabilidad de que lo comprara en forma de cpsulas? 687. Con base en los datos obtenidos por el Instituto Nacional de Investigacin Dental, se ha determinado que el 42% de los jvenes de 12 aos nunca han tenido caries, 34% de los jvenes de 13 aos tampoco ni el 28% de los jvenes de 14 aos. Si se elige un joven al azar de un grupo de 24 estudiantes de primaria y secundaria, entre los cuales estn 6 de 12 aos, 8 de 13 y 10 de 14, y este joven no ha tenido caries, cul es la probabilidad de que tenga 14 aos? 688. Una compaa de seguros ha recopilado los siguientes datos relativos a la edad de los conductores y la tasa de accidentes para los conductores dentro de cada grupo.

04.002.0025.0055.0

14.030.040.016.0

6564454425

25

%

mso

demenosaccidentes

deTasaasegurados

sconductoredeedadde

Grupo

--

a) Cul es la probabilidad de que un conductor asegurado est involucrado en un accidente? b) Cul es la probabilidad de que un conductor asegurado que est involucrado en un accidente tenga menos de 25 aos? 689. Se realiz un estudio entre cierto grupo de trabajadores sindicalizados cuyas plizas de seguro requieren una segunda opcin antes de pasar a ciruga. Entre los trabajadores cuyos mdicos recomendaron la intervencin, un segundo doctor dijo a 20% que no era necesaria la operacin. De stos, 70% aceptaron la segunda opcin y no entraron al quirfano. De los trabajadores cuyos dos doctores recomendaron la ciruga, 95% se sometieron a la operacin. Cul es la probabilidad de que un trabajador sindicalizado que entr a ciruga haya recibido tal indicacin por parte de un segundo doctor? 690. Una empresa de consultora se ha presentado a un concurso para un gran proyecto de investigacin. Inicialmente, la direccin de la empresa pens que tena una oportunidad de 50% de obtener el contrato. Sin embargo, la dependencia a la que fue presentada la propuesta ha solicitado ms informacin. Por la experiencia se sabe que la dependencia solicit informacin adicional en el 75% de las propuestas aceptadas y en el 40% de las propuestas rechazadas. a) Cul es la probabilidad previa de tener xito (esto es, antes de solicitar informacin adicional)? b) Cul es la probabilidad condicional de tener una solicitud de informas adicionales, dado que al final la oferta ser seleccionada?



c) Calcular la probabilidad de que la oferta tenga xito, dado que se ha recibido informacin adicional. 691. La urna I contiene tarjetas en las que estn escritas, respectivamente, los nmeros :

35

5cos,1log,4log

21

p ; y la urna II : 67

32

91

332 tan,,log,log

94

ppsen . Se lanza un dado y si sale

un nmero divisible entre 3 se saca una tarjeta de la urna I, en caso contrario de la urna II. Cul es la probabilidad de que saquemos una tarjeta con nmero positivo?

692. La urna I contiene tarjetas con nmeros : xx

x

sen203

2

946

73 lm ,log ,sen ,27log

p y la urna II :

2

2

2169

12lm ,22log ,tanlog

nn

nn -

-

p . Se lanza un dado y si sale un nmero menor o igual a 4

se saca una tarjeta de la urna I, en caso contrario, de la urna II. Cul es la probabilidad de que saquemos una tarjeta con un nmero que cumpla desigualdad 12 x ? 693. En la Cmara de Diputados de Mxico, el 45% de los legisladores son del PRI, el 30% son del PAN y el 25% restante son del PRD. Se ha observado que aproximadamente el 20% de los diputados del PRI se duermen durante una sesin ordinaria. Para los diputados del PAN y del PRD, las cifras correspondientes son 15% y 30%. Adems, se ha comprobado que aproximadamente el 60% de los diputados del PRI que se quedan dormidos empiezan a roncar. Para los diputados del PAN y del PRD que se quedan dormidos, los porcentajes respectivos son 40% y 50%. Determine la probabilidad de que durante una sesin ordinaria en la Cmara de Diputados un legislador pertenezca al PRI, dado que a) est dormido; b) est roncando; c) est dormido, pero no est roncando. d) Determine el porcentaje de diputados que se encuentran despiertos durante una sesin ordinaria de trabajo. 694. El Club de ftbol Amrica de Mxico contrat a un nuevo director tcnico uruguayo y se enfrenta en un partido clave contra las chivas rayadas del Guadalajara, partido que en caso de terminar empatado se ira a la decisin en tiros de penal. Los expertos y crticos estiman que hay un 30% de probabilidades de que el nuevo tcnico no funcione, y de ser as, habra un 90 % de probabilidades de que el Amrica perdiera ese partido clave. En cambio, si llegara a darse que el tcnico funciona y es eficaz, habra un 80% de probabilidades de que el Amrica ganara ese partido. Supongamos que lleg el da del partido y result que perdi el Amrica. Qu porcentaje de la responsabilidad de esa derrota debe atribuirse al nuevo director tcnico? 695. En la caja A hay nueve canicas rojas y una blanca; en la caja B hay diez canicas rojas. Se toman 9 canicas al azar de la caja A y se traspasan a la caja B. Luego se toman 9 canicas al azar de la caja B y se regresan a la caja A. Hallar la probabilidad de que la nica canica blanca siga estando todava en la caja A. 696. Un nio tiene dos roperos en su recmara, en los cuales guarda sus camisetas limpias. El primer ropero tiene tres cajones, cada uno de los cuales contiene 5 camisetas blancas y 2 de color; mientras que el segundo ropero tiene slo dos cajones, cada uno de los cuales contiene una camiseta blanca y 4 de color. La sirvienta entr a esa recmara y sac una camiseta de color para el nio. Encontrar la probabilidad de que provenga del primer ropero.



697.? Un profesor de probabilidad y estadstica imparte sus clases usando marcadores de tinta para pizarrn blanco. Tiene un pequeo estuche con 4 de esos marcadores, todos de color negro, pero no recuerda si algunos estn en buen estado o son inservibles. Al empezar su ctedra, saca dos marcadores del estuche para anotar unas frmulas en el pizarrn, pero ninguno de los dos escribe. Entonces el profesor dice alguna broma mientras distradamente los vuelve a meter en el mismo estuche junto con los otros dos, y mejor pasa lista de asistencia. a) Si vuelve a tomar un marcador al azar de su estuche, hallar la probabilidad de que esta vez s escriba bien; b) Si vuelve a tomar un marcador del estuche y resulta que esta vez s escribe bien, hallar la probabilidad de que sea el nico de los cuatro marcadores que sirve; c) Si vuelve a tomar uno de los marcadores del estuche y resulta que otra vez no sirvi, hallar la probabilidad de que ninguno de los 4 sirva y por tanto se suspenda la clase. 698.? Con referencia al problema anterior, suponga que adems se tiene la informacin de que los 4 marcadores del estuche provienen de una caja que el profesor tena en su casa, en la cual haba en total 4 marcadores inservibles y 6 en buen estado. Cmo modifica este dato las soluciones de los tres incisos? 699. Tres de los empleados de una mansin campestre son el mayordomo M, la sirvienta S y el cocinero C. Supngase que las probabilidades de que ellos digan la verdad cuando se les hace una pregunta son p1, p2 y p3, respectivamente. Cierto da ocurri un crimen en esa mansin y los tres empleados fueron testigos independientes. Al ser interrogados (de manera independiente), los tres concuerdan en una cierta aseveracin. Determinar la probabilidad de que esa aseveracin sea verdadera. 700.? Una seora abri una gran bolsa con numerosos dulces de muchos sabores; meti cuatro de ellos al azar en una taza y la coloc arriba de la alacena para que su pequeo hijo no se los comiera antes de la merienda. Sin embargo, el pequeo logr subirse en una silla y despus de mucho trabajo pudo meter la mano y sacar un dulce de la taza, pero vio que era de menta y l odia la menta. a) Calcular la probabilidad de que los cuatro dulces de la taza hayan sido de menta; b) Supongamos, adems, que la hermana del nio le ha informado previamente que esos dulces provenan de una gran bolsa de 200 dulces, de los cuales slo el 40% eran de menta. Calcular la probabilidad de que los 4 dulces de la taza hayan sido de menta, dado que el nio meti la mano y sac un dulce que era de menta. 701. En el cajn de un ropero hay seis camisetas de colores desconocidos. Un joven saca 3 camisetas al azar y observa que las tres son negras. Hallar la probabilidad de que no haya quedado ninguna camiseta negra en el cajn. 702. Un acaudalado empresario fue hallado muerto en forma misteriosa, y en sus ropas se encontr el sobre de una carta annima que presuntamente haba sido enviada a l por el culpable. La indagatoria sac a relucir que 50% de la correspondencia del interfecto provena de Zacatecas, 30% de Toluca y 20% de Cuernavaca, as que esas fueron las probabilidades a priori que se formaron los detectives Dupin y Holmes acerca de la ubicacin del remitente. Ms tarde, el examen minucioso del sobre mostr que se alcanzaban a percibir tenuemente las letras CA en el matasellos. El detective Dupin dijo que esta nueva evidencia de nada serva para ubicar al remitente, ya que efectivamente las tres ciudades contienen las letras consecutivas CA. Sin embargo, el detective Holmes consider que esa nueva evidencia s ayudaba bastante a modificar las sospechas previas. Quin de los dos tena razn? [Ayuda para la solucin: Si la carta viene de Zacatecas, entonces



hay 8 pares de letras consecutivas, dos de las cuales son CA. Si viene desde Toluca, hay 5 pares de letras consecutivas, de los cuales slo uno es CA; si viene de Cuernavaca hay 9 pares de letras consecutivas, uno de las cuales es CA. Sea E: {la palabra dice CA en dos letras seguidas}; F:{la palabra no dice CA en dos letras seguidas}. Dentese por Z, T y C, respectivamente, al suceso que la carta provenga de Zacatecas, Toluca o Cuernavaca. Por tanto, P(EZ) = 28 = , etc. Dibuje un diagrama de rbol si es necesario y por ltimo, aplique el teorema de Bayes]. 703.? Se prepara un torneo triangular de ajedrez entre los tres mejores ajedrecistas del orbe: los grandes maestros Kasprov, Anand y Krmnik, todos contra todos a cudruple vuelta. Los expertos de la revista Chess Life estiman que las probabilidades que ellos tienen de ganar el primer lugar son proporcionales a 5, 3 y 2, respectivamente. Sin embargo, durante la competencia sali a relucir que Kasprov estaba enfermo y fuera de forma, lo que redujo su probabilidad a un tercio. Cules son ahora las probabilidades respectivas para Anand y Krmnik? 704. Una caja tiene n esferas de colores desconocidos. Se saca una esfera al azar y resulta ser de color blanco. Cul es la probabilidad de que sta sea la nica esfera de color blanco en la caja? 705. Una lista de 2n equipos de baloncesto se divide aleatoriamente en dos listas con igual nmero de equipos. Cada equipo de la lista I se eliminar con algn equipo de la lista II (escogido al azar) y los perdedores quedan fuera. Con los equipos ganadores se forma otra lista y se repite el procedimiento, eliminando as cada vez a la mitad de los equipos, hasta que slo permanezcan dos equipos, los cuales jugarn la final para determinar al equipo triunfador. En la lista original de los 2n equipos hay, sin embargo, dos equipos fortsimos (el equipo del sueo y el de la pesadilla), los cuales con toda certeza derrotarn a cualquier otro equipo que tengan enfrente. Determinar la probabilidad de que justamente estos dos equipos jueguen la final. 706. Una caja tiene cinco esferas de color desconocido. Dos veces se repite el experimento de sacar una esfera al azar y regresarla a la caja, y en cada caso result ser una esfera azul. Si ahora se sacan dos esferas simultneamente, calcular la probabilidad de que ambas sean azules. 707. Un dado ordinario se lanza tres veces consecutivas y la suma de los tres nmeros obtenidos fue 15. Encontrar la probabilidad de que en el primer lanzamiento haya salido el 4. 708. Una seora tiene dos nios pequeos: Luis y Too. La seora sabe que cuando hacen una travesura y son reprendidos, Luis dice la verdad 3 de cada 4 veces, y Too 5 de cada 6 veces. Cul es la probabilidad de que los dos nios se contradigan entre s al establecer el mismo hecho? 709. De una caja que contiene n esferas, cada una de las cuales es blanca o negra y se desconoce en qu proporcin, se extrae al azar una esfera y resulta ser blanca. Dicha esfera se regresa a la caja y luego se saca otra esfera, la cual tambin resulta ser blanca. Si esta segunda esfera tambin se regresa a la caja, calcular la probabilidad de que en la siguiente extraccin por fin salga una esfera negra. 710. Un maestro de matemticas se mud de casa y guard sus libros al azar en m grandes cajas, que sell luego con cinta canela. Dentro de cada una de las cajas haba n libros distintos. Al llegar a su nuevo departamento se percat que necesitaba dos libros especficos para preparar sus clases del da siguiente. a) Hallar la probabilidad de que los dos libros que necesita se encuentren en la misma



caja; b) Determinar la probabilidad de que ambos libros estn en la misma caja, dado que ya ha examinado r cajas (r < m) y comprob que no contienen los libros que busca. 711. Juan dice la verdad dos de cada tres veces, y Pedro dice la verdad 4 de cada 5 veces. Ambos estn de acuerdo en asegurar que de una caja que contena 6 canicas de distintos colores se sac una canica roja. Determinar la probabilidad de que esa aseveracin sea verdadera. 712. Unos amigos iban a jugar a los naipes, pero al contar las cartas se percataron de que haba 51 cartas solamente. Entonces se sacan al azar dos cartas y se comprueba que ambas son espadas (). Calcular la probabilidad de que la carta perdida tambin sea una espada. 713.? Supngase que en cierto lugar llueve aproximadamente el 40% de los das y hay cielo despejado el 60% de los das. Supngase adems que la gente de ese lugar puede ms o menos predecir si llover o no, consultando el barmetro; aunque ese instrumento no es del todo confiable ya que en das lluviosos errneamente pronostica claro 10% de las veces, y en das claros en forma incorrecta predice lluvia el 20% de las veces. Supngase que en un da cualquiera se consulta el barmetro y se comprueba que este instrumento pronostica que llover. Dada esa evidencia, cul es la probabilidad de que llueva? 714. Dado el siguiente rbol de probabilidades a priori, hallar el rbol correspondiente de probabilidades a posteriori:

715. En una fbrica de piezas de poliuretano, hay dos mquinas automticas (M1 y M2) que producen piezas idnticas de ese material, las cuales son tiradas a un transportador comn y empacadas manualmente por los obreros. La mquina M1 tiene un rendimiento dos veces mayor que M2; sin embargo, M1 es una mquina ms antigua y produce slo 60% de piezas de calidad excelente, mientras que M2 produce 84% de piezas excelentes. Una pieza tomada al azar del transportador result ser de calidad excelente. Calcular la probabilidad de que haya sido producida por la mquina M1. 716. Cierto acontecimiento A puede ocurrir como consecuencia de tres posibles causas mutuamente excluyentes: B1, B2 y B3, las cuales forman un conjunto completo de eventos (es decir, la suma de sus probabilidades es igual a 1). Despus de que efectivamente ocurri el acontecimiento A , se estimaron las probabilidades posteriores de las causas, hallndose que P(B1A) = 0.6 y que P(B2A) = 0.3. Calcular la probabilidad condicional P(B3A).



717. Tres deportistas practican tiro al blanco con fusil. Los 3 hicieron sus disparos simultneamente y hallaron que dos balas haban dado en el blanco. Si las probabilidades de acertar al blanco para los tres tiradores son, respectivamente, 0.6, 0.2 y 0.4, calcular la probabilidad de que el tercer tirador haya dado en el blanco. 718.? Un motor V8 de automvil tiene tres soportes independientes, cuyas probabilidades de romperse en un lapso de 8 aos son, respectivamente 0.2, 0.4 y 0.3. Si el conductor del auto percibe el ruido caracterstico de dos soportes rotos, hallar la probabilidad de que se hayan roto los soportes primero y segundo. 719. Un dispositivo de un submarino tiene cuatro vlvulas que funcionan de manera independiente, y cuyas probabilidades de fallar son, respectivamente, iguales a 0.1, 0.2, 0.3 y 0.4. Si se determina que exactamente dos de las cuatro vlvulas del aparato han fallado, calcular la probabilidad de que hayan sido las vlvulas primera y segunda. 720. Suponga que A y B son dos eventos tales que P(AB) = P(AcBc) = 0.95. Si adems se sabe que P(B) = 0.005, usar la regla de Bayes para evaluar la probabilidad condicional P(BA). 721. En un grupo de 100 personas hay 40 hombres. Se sabe que el 50% de hombres fuman y 30% de las mujeres lo hacen. De este grupo de escoge al azar una persona. Calcular la probabilidad de que esta persona a) sea mujer, b) fume, c) sea mujer, dado que fuma, d) fume, dado que es mujer. 722. Una joven estudiante de una universidad toma clase de probabilidad y estadstica a las 7 de la maana, y necesita despertarse a las 6:00 A.M. para llegar justo a tiempo. Su despertador ya no funciona del todo bien, y slo suena a la hora programada el 70% de las veces. Si el despertador suena, entonces la despertar con probabilidad de 0.8; pero si no suena, hay una probabilidad de 0.3 de que ella despierte sola para llegar apenas a tiempo a su primera clase. Se requiere a) hallar la probabilidad de que la joven tome su primera clase. b) Si ella se queda dormida hasta tarde, hallar la probabilidad de que el despertador no haya sonado. 723. La caja I contiene a1 canicas azules y b1 canicas blancas; la caja II contiene a2 canicas azules y b2 canicas blancas. Se escoge al azar una canica de la caja I y se traspasa, sin verla, a la caja II. Despus se toma al azar una canica de la caja II. Hallar la probabilidad de que sea azul. 724. Con relacin a las cajas del problema 723, suponga que de la caja I se saca una canica al azar y se traspasa a la caja II, luego se extrae una canica al azar de la caja II y se regresa, igualmente sin verla, a la caja I. Por ltimo se saca al azar una canica de la caja I. Calcular la probabilidad de que sea una canica azul. 725. Un bilogo fue a una zona de Veracruz a tratar de atrapar una iguana viva para estudiarla. Al llegar a la zona ha averiguado que la probabilidad de que hallar una iguana en un radio menor a r1 kilmetros es de 0.1; de hallar uno de estos animales en un radio que oscile entre r1 y r2 (con r2 > r1) es de 0.3, y en un radio mayor a r2 es de 0.2. Si aparece una iguana en un radio menor a r1, el cientfico y sus ayudantes sern capaces de atraparla con una probabilidad de 0.7; si aparece en un radio que oscile entre r1 y r2, podrn atraparla con una probabilidad de 0.5, y si aparece en un radio mayor a r2, podrn atraparla con probabilidad de 0.2. a) Cul es la probabilidad de que el bilogo y sus ayudantes logren atrapar una iguana? b) Si finalmente el cientfico y sus ayudantes lograron



atrapar una iguana, determine la probabilidad de que este animal haya sido capturado en un radio mayor a r2. 726. Un seor y su familia planeaban pasar las vacaciones haciendo un recorrido en su auto, ya sea por el la costa del Golfo de Mxico, por la zona del Bajo o por Baja California. Segn el reporte meteorolgico, la probabilidad de lluvia en la zona del Golfo era de 2, en el Bajo era de 3 y en Baja California de 5. Finalmente, la decisin la dejaron al azar. Cuando regresaron, su auto traa mucho lodo en las llantas y en otras partes, seal inequvoca de que les haba tocado lluvia. Determinar la probabilidad de que hayan paseado por Baja California. 727. Un mueble tiene tres cajones y dentro de cada uno de ellos hay dos cajas cerradas. En un cajn, cada una de las dos cajas contiene una moneda de oro; en otro cajn, cada caja contiene una moneda de plata, y en el restante cajn, una caja contiene una moneda de oro y la otra una moneda de plata. Se escoge un cajn del mueble al azar, se abre una de las cajas al azar y se encuentra una moneda de oro. Cul es la probabilidad de que la moneda de la otra caja en ese mismo cajn sea de plata? [Joseph Bertrand1: Calcul des Probabilits. Pars, 1899] 728. Un seor miope le cuenta a su pequeo nieto que l era buen jugador de baloncesto en sus aos mozos y, para demostrrselo, lo lleva a un gimnasio en donde hay aros para practicar ese deporte. Aunque sus facultades se han mermado algo con los aos, el seor an es capaz de anotar aproximadamente seis de cada diez tiros libres que lanza a la canasta, pero su miopa le impide ver si anot canasta o no, por lo que el nieto tiene que decirle en cada caso si anot. Sin embargo, el nio est distrado con un juguete y slo el 80% de las veces que el seor anota le dice que ha encestado; en cambio, 20% de las veces que el seor no encest, reporta el tiro como anotacin. Suponga que el nio reporta un tiro encestado, cul es la probabilidad de que el abuelo haya anotado? 729. Se estima que aproximadamente 75% de los conductores de automvil de la Ciudad de Mxico poseen licencia (permiso) para conducir. Adems, el 40% de los conductores que tienen licencia estn familiarizados con el reglamento de trnsito, mientras que slo el 10% de los conductores que no tienen licencia lo estn. a) Qu porcentaje de los conductores de auto de la Ciudad de Mxico desconocen el reglamento de trnsito?; b) Si alguien encuentra un conductor de automvil que desconoce el reglamento de trnsito, calcular la probabilidad de que posea permiso para conducir. 730. Aproximadamente el 10% de los levantadores de pesas de un equipo olmpico se dopan con sustancias prohibidas por la Federacin Internacional de Halterofilia. Cuando se sospecha que un levantador de pesas podra haberse dopado, se le somete a dos pruebas independientes. Cada prueba resulta en un diagnstico correcto el 90% de las veces. Se requiere hallar la probabilidad de que un levantador de pesas se haya dopado, si a) result positivo en ambas pruebas; b) result positivo slo en una de las dos pruebas. 731. Suponga que 6 jugadores A1, A2, . . ., A6 se sientan alrededor de una mesa a lanzar un dado normal, por turnos y en ese orden. El primero que saque el 6 gana una botella de Bordeaux genuino,

1 Joseph Louis Franois Bertrand (1822-1900) fue uno de los grandes exponentes e impulsores de la teora de las probabilidades en el siglo XIX. Su extensa monografa sobre la materia, publicada un ao antes de su muerte, contiene varias paradojas sorprendentes.



y ah acaba el juego. En teora, el juego puede durar indefinidamente, pero ello es inverosmil. Se requiere determinar la probabilidad de que la botella a) sea ganada por el jugador A1, b) acabe finalmente en el conjunto {A5, A6}. 732. En un laboratorio se ha fabricado una moneda de diez pesos falsa, de apariencia idntica a una normal, pero en ella se han alterado la distribucin de su masa y el centro de gravedad. Ello provoca que al ser lanzada caiga guila con cierta probabilidad desconocida, pero constante, p 1. Suponga que n jugadores A1, A2, . . ., An se sientan alrededor de una mesa a lanzar la moneda por turnos y en ese orden, con la condicin de que el primero que obtenga guila gana y el juego se termina. Encuentre la probabilidad de que el juego sea ganado por el jugador Ak (k = 1, 2, . . . , n). [T. Cacoullos: Exercises in Probability . Springer Verlag, N.Y./Berln, 1989]. 733.? Suponga que los dos mejores ajedrecistas del mundo: Vishy Anand y Garry Kasprov son igualmente fuertes para el ajedrez, de tal forma que en una partida entre ambos hay una probabilidad de 0.2 de que la partida tenga vencedor, y de 0.8 de que hagan tablas (empate). Si juegan una serie de partidas (o match), a) averiguar si para cualquiera de ellos es ms probable ganar 3 de 6 partidas decisivas (es decir, sin tomar en cuenta las tablas) o bien 4 de 8 partidas decisivas; b) Cambiara la respuesta si estos grandes maestros no fuesen igualmente fuertes? 734.? Una moneda se llama legal (o tambin honrada), si la probabilidad de que caiga guila en un lanzamiento es . Suponga que una moneda legal (llammosla m5) se deposita en una caja junto con otras 8 monedas de apariencia idntica, pero que han sido alteradas (llammoslas m1, . . . , m4, y m6, . . . , m9). Suponga que para cada moneda mi (i = 1, . . . , 9), la probabilidad de que caiga guila en un lanzamiento es precisamente 10

i . Se saca una moneda al azar de la caja, misma que se lanza 100 veces al aire, con el resultado de 55 guilas y 45 soles. Hallar la probabilidad de que esa moneda sea a) la moneda m5 (la nica moneda legal); b) la moneda m6 (la moneda cuya probabilidad de guila es 0.6). Indicacin: Para evitarle al lector operaciones muy engorrosas, le proporcionamos los siguientes valores numricos que hemos calculado con ayuda del Excel: sea C =

55100 , entonces con ayuda de los siguientes datos numricos y una calculadora de bolsillo, resulta

fcil llegar a la solucin de los dos incisos, aplicando el teorema de Bayes:

i pi qi 4555 ii qpC i pi qi 4555 ii qpC

1 0.1 0.9 5.36320018 10-29 6 0.6 0.4 4.78111801 10-2 2 0.2 0.8 9.64295763 10-15 7 0.7 0.3 5.48731316 10-4 3 0.3 0.7 1.14707521 10-7 8 0.8 0.2 1.01113739 10-8 4 0.4 0.6 8.29119010 10-4 9 0.9 0.1 1.87003227 10-19 5 0.5 0.5 4.84742966 10-2 suma total: 9.76634519 10-2

A decir verdad, ni siquiera haca falta multiplicar los productos 4555 ii qp por C (por qu?). 735.? (Anlogo al 734, pero con un interesante cambio). Suponga que en una caja hay 55 monedas de apariencia idntica, pero en realidad son las siguientes: 10 monedas del tipo m1, 9 monedas de tipo m2, 8 monedas del tipo m3, etc . . . , 2 monedas del tipo m9 y adicionalmente una moneda que



tiene guila en ambas caras (llammosla moneda del tipo m10). Son 10 + 9 + + 1 = 55 monedas en total. Se saca una moneda al azar y se lanza 2 veces al aire, con el resultado de 2 guilas. Determinar la probabilidad de que a) se trate de una de las seis monedas legales que hay en la caja (del tipo m5); b) se trate de una de las 5 monedas del tipo m6 que hay en la caja (caen guila con probabilidad 0.6); c) se trate de la nica moneda que tiene guila en ambas caras (la moneda tipo m10). 736. Cada mes, la compaa editorial Patria manda empastar sus libros impresos a tres talleres: T1, T2 y T3, ubicados en distintas partes de una ciudad. De 1000 ejemplares empastados mensualmente en T1, el 20% no son cosidos del lomo, sino pegados con cola, lo que provoca que pronto se deshojen con el uso. En el taller T2, de 2000 libros empastados cada mes, el 10% no son cosidos, y en el taller T3, de 3000 empastados cada mes, el 5% no son cosidos. Se requiere determinar la probabilidad de que un libro editado por dicha compaa: a) haya sido empastado en el taller T1, dado que no fue empastado en el taller T3; b) no est cosido del lomo, dado que no fue empastado en el taller T2; c) no est cosido del lomo; d) haya sido empastado en el taller T1, dado que un lector reporta que se deshoj a los pocos das de haberlo comprado. 737.? (Eventos atrayentes y repelentes) Se dice que un evento no vaco E es atrado por otro evento no vaco F, si ocurre que P(EF) > P(E). Por otra parte, un evento E es repelido por otro evento F (ambos eventos ), si ocurre que P(EF) < P(E). En el caso de que P(EF) = P(E), es decir, cuando E y F son eventos independientes, se dice que el evento E es indiferente al evento F. a) Demuestre que las relaciones as definidas (atraccin, repulsin e indiferencia) son recprocas o simtricas; en otras palabras, si E es atrado por F , entonces F es atrado por E; si E es repelido por F, entonces F es repelido por E; y finalmente, si E es indiferente a F, entonces F es indiferente a E. Podemos usar las notaciones A B , A B, y A B para simbolizar, respectivamente, eventos que se atraen, que se repelen, y que son indiferentes (o independientes). b) Demuestre que si E y F se atraen, entonces Ec y F se repelen. 738.? A una seora se le cay un botn original de su abrigo y lo guard en uno de los n cajones llenos de baratijas y cachivaches que hay en los muchos muebles de su hogar, pero no recuerda en cul de todos. Etiquetemos todos los cajones con los nmeros del 1 al n. Sea Ej el evento {el botn buscado est en el cajn j}, y sea Fk el evento {en una bsqueda superficial del cajn k no se hall el botn referido}. a) Demuestre que Ej y Fk son eventos mutuamente repelentes si j = k , pero son mutuamente atrayentes si j k ; b) Qu interpretacin til y prctica se puede dar al resultado del inciso a)? 739. Suponga que la torre de control del aeropuerto internacional perdi contacto con el vuelo 713 con destino a las Bermudas y se teme lo peor. Los expertos estudian un mapa de la zona donde se tuvo por ltima vez contacto con la aeronave, y deciden enviar helicpteros y un barco a cada una de tres regiones especficas, denotmoslas por R1 , R2 y R3. Tras analizar las situacin, ellos estiman que cualquiera de las 3 regiones es igualmente probable y existe la certeza de que el avin cay en alguna de ellas. Empero, y debido a las condiciones climticas y geogrficas, la probabilidad de poder localizar el avin en R1 dado que efectivamente est ah, es de 0.7. Para R2 y R3, las probabilidades respectivas son 0.6 y 0.5. Si los helicpteros que escudrian la regin R1 reportan no haber visto nada, hallar la probabilidad de que el avin sea finalmente localizado a) en la regin R2, b) en la regin R3, y c) en la regin R1.



740.? Para evitar que individuos potencialmente peligrosos puedan ser policas en Mxico, se ha establecido un examen psicolgico que los aspirantes deben aprobar como requisito sine qua non para ser contratados. El defecto de esa prueba, sin embargo, es que el 8% de los individuos aptos para desempear esa labor quedan errneamente descalificados por haber reprobado ese examen, mientras que el 12% de los aspirantes que no son aptos para tal labor aprueban el examen y son contratados por equivocacin. Suponga que todos los aspirantes a polica que aprueban el examen son automticamente contratados. Si la experiencia muestra que slo el 85% de los policas son aptos para su trabajo, determine el porcentaje de aspirantes que son aptos. 741. Dos terceras partes de los conductores de automvil que salen a carretera revisan su auto antes de emprender el viaje. De los que revisan su auto, el 97% llegan a su destino sin contratiempos. Si se sabe que la probabilidad (a posteriori) de que un conductor no haya revisado su automvil, dado que tuvo un contratiempo es de K, hallar la probabilidad condicional de que un automovilista que sale a carretera tenga un contratiempo, dado que no revis su automvil antes de salir. 742. La compaa de seguros Acme clasifica a sus clientes en dos tipos: los que incurren en riesgos innecesarios de manera voluntaria y cotidiana (clientes tipo A), y por otra parte, los que no incurren en riesgos de ningn tipo en forma voluntaria (clientes tipo B). Las estadsticas que ellos mismos manejan muestran que los asegurados del tipo A tienen una probabilidad de 0.4 de enfermarse o tener algn accidente durante un perodo de dos aos, mientras que para los clientes tipo B, dicha probabilidad es de slo 0.2. Debido a la coyuntura actual de inseguridad y falta de previsin, los especialistas estiman que el 30% de la poblacin es proclive a enfermarse o tener algn accidente en un perodo de 2 aos. Si el seor Juan Jos Gmez Gutirrez adquiri una pliza de seguros afirmando que l era cliente tipo B y al poco tiempo tuvo un accidente, cul es la probabilidad de que haya mentido a los de la compaa aseguradora? 743. Para ingresar a la Universidad Nacional Autnoma de Mxico, los aspirantes deben presentar un examen de opcin mltiple. Sea p la probabilidad de que un estudiante sepa la respuesta correcta a una pregunta cualquiera de dicho examen, y sea 1-p la probabilidad de que no la sepa y responda al azar, tratando de adivinar la respuesta. Cada pregunta tiene n alternativas (u opciones), de las cuales slo una es la correcta. Se requiere determinar la probabilidad condicional de que un estudiante en verdad haya sabido la respuesta correcta a una pregunta, dado que la respondi de manera correcta. 744. En el handicap de las Amricas, cierto caballo tiene una determinada probabilidad a priori de saltar limpiamente un obstculo especfico. Cul es la probabilidad condicional de que el caballo salte el mismo obstculo limpiamente en el primer intento de una nueva competencia, dado que en los siete intentos anteriores lo logr hacer en cuatro ocasiones? 745. Un seor lanza tres dados ordinarios. Cul es la probabilidad condicional de que haya salido al menos un seis, dado que en los tres dados salieron nmeros distintos? 746. En un pueblo lejano llueve la mitad de los das del ao y el pronstico del tiempo que anuncian resulta correcto con probabilidad B . Un caballero de ese pueblo siempre sale con su paraguas cuando se pronostica lluvia, y cuando no se pronostica lluvia sale con su paraguas con probabilidad 2. Se requiere hallar la probabilidad de que a) lo sorprenda la lluvia sin su paraguas; b) salga con su paraguas y no llueva ese da.



747. Considere una calle amplia y despejada, de un solo sentido y con 4 carriles: A , B, C y D, como se indica en la figura. Los carriles A y D son exteriores, y los carriles B y C son interiores.

Suponga que cierto automvil se cambia aleatoriamente a cualquiera de los carriles contiguos cada 15 segundos exactamente. Si ese auto se acaba de pasar al carril A, determine la probabilidad de que a) se encuentre otra vez en ese mismo carril despus de un minuto y medio, pero antes de un minuto con 45 segundos; b) se encuentre en alguno de los carriles B o D, justo despus de dos horas, pero antes de cumplirse dos horas con 15 segundos. c) Si el automvil inici su recorrido en los carriles A o C, siendo este ltimo tres veces ms probable que aqul, hallar la probabilidad exacta de que se encuentre en el carril A justo cuando se acaban de cumplir dos horas desde su inicio; d) Si el automvil inici su recorrido en los carriles A o C , siendo este ltimo dos veces ms probable que aqul, cul es la probabilidad de que se encuentre en el carril C a los 25 minutos exactos despus de haber iniciado?, a las 25 horas? [Sugerencia: Dibuje un rbol de eventos, con sus respectivas probabilidades indicadas y descubra la forma como se van relacionando los nmeros].

748. Las seales de un telegrama ( ) y ( 0) se enviaron en la proporcin 3:4. Sin embargo, y debido a fallas en la transmisin, la seal ( ) se configur como ( 0) con probabilidad 2 . Si el receptor acaba de recibir una seal ( ), determine la probabilidad de que haya sido transmitida correctamente. 749. En un juego de lotera hay 90 esferas numeradas en una urna y se extraen cinco sin reposicin, que son las que ganan el premio. Si ese mismo juego se realiza durante 85 das consecutivos, cul es la probabilidad de que todas las 90 esferas hayan salido por lo menos una vez? [Laplace2: Thorie analytique des probabilits, Pars, 1812].

2 Pierre Simon Laplace (1749-1827) se considera el padre de la teora moderna de las probabilidades. Su Thorie analytique marc un estndar de rigor a seguir en esta ciencia. Laplace rescat el teorema de Bayes de la oscuridad y adems a l le debemos casi todo lo que se sabe acerca de la distribucin normal. Tambin introdujo el concepto de funcin generatriz. En 1814 public un trabajo menos tcnico bajo el ttulo de Essai philosophique sur les probabilits.



Respuestas correctas a los 133 problemas y ejercicios sobre la regla de Bayes. 617. 3/7 0.4286. 618. 2/3 0.6667. 619. 32/53 0.6038. 620. 0.4444 621. 0.9130 622. 0.5853. 623. a) 0.07397; b) 0.16104. 624. 2/19 0.1053. 625. 3/7 0.4286. 626. 0.11428 627. 0.48664 628. 2/3 0.6667. 629. 35/64 0.54687 630. 403/693 0.5815 631. 11/30 0.3667 632. 7/16 = 0.4375 633. Es ms probable que haya elegido un fusil normal (probabilidad = 24/43 0.5581) 634. 0.827 635. 0.296 636. 0.52 637. 14/95 0.1474 638. 0.528 639. 9/37 0.2432 640. 48/151 0.3179 641. 0.45238 642. 14/23 0.6087 643. 16/17 0.94118 644. a) 0.07595; b) 0.69421

645. 9/14 0.6429 646. 45/124 0.3629 647. a) 255/346 0.7370; b) 0.9849. 648. a) 51/107 0.4766; b) 28/31 0.9032 649. 91/299 0.3043 650. 18/67 0.26866 651. 0.0526 652. 14/25 = 0.5600 653. 0.0802 654. 0.5012 655. 0.455 656. 0.482 657. 0.929



658. 0.923 659. 0.3571

660. 9950 .

661. 12671

662. a) 16891 , b)

9116 .

663. 8441 .

664. 0.51724 665. 0.58537 666. P(A) = 0.40; P(B) = 0.40; P(C) = 0.20. 667. a) 72/77 0.9351; b) 8/23 0.3478 668. 3/5 = 0.6000 669. a) 1/50; b) 49/50; c) 2/5; d) 2/20. 670. a) 117/200 = 0.5850; b) 14/39 0.359; c) 15/83 0.1807 671. 18/31 0.5806

672. 3623

673. 8275

674. a) 11051 , b)

5111

675. a) 10649 , b)

8941

676. 8981

677. 4927

678. 6851

679. 2924

680. 5956

681. a) 20041 , b)

4124 , c)

20023

682. a) 0.014, b) 0.57 683. 0.5894 684. a) 0.5528, b) 0.047, c) 0.711 685. a) 0.30, b) 0.10 686. 0.62 687. 0.35 688. a) 0.03, b) 0.29 689. 0.93 691. 1118. 692. 49.



693. a) 0.42857; b) 0.49315; c) 0.35821; d) 79%. 694. 65.85% 695. 10/19 0.5263. 696. 15/43 0.3488. 697. De acuerdo con esa informacin, hay tres hiptesis posibles, a saber: H1: {los 4 marcadores son inservibles}; H2: {exactamente 3 marcadores son inservibles}; y H3:{exactamente 2 marcadores son inservibles}. Podemos suponer a priori que esas tres hiptesis son igualmente probables, ya que no sabemos nada acerca del origen ni del estado de esos marcadores. Denotemos por S al evento {un marcador sacado al azar del estuche s sirve}, y por N al evento {un marcador sacado al azar del estuche no sirve}. Entonces podemos dibujar un rbol de sucesos ms o menos de la siguiente manera:

Es claro que el inciso a) queda resuelto si se calcula la probabilidad total del suceso S, es decir, la probabilidad de que un marcador cualquiera del estuche s sirva. Por tanto:

P(S) = 41

123

21

31

41

31

031

==++ .

Los incisos b) y c) se calculan por la regla de Bayes, ya que se trata de probabilidades posteriores.

Tenemos: b): P(H2S) = 31

41

41

31

=

; c) P(H1N) = 94

21

31

43

31

31

31

1

1=

++

.

698. A la luz de esta nueva informacin, las probabilidades a priori de las tres hiptesis: H1 (los 4 son inservibles), H2 (slo uno de los 4 sirve) y H3 (2 sirven y 2 no), se ven modificadas. Los 6 marcadores que quedaron en la casa del profesor, ms los 2 marcadores del estuche que an no han sido probados forman un total de 8 marcadores, de los cuales 6 sirven y 2 no (excluimos del espacio muestral a los dos marcadores que ya se sabe que no sirven). Los dos marcadores del estuche que



no han sido probados son un subconjunto de este conjunto de 8 marcadores. Por lo tanto, las probabilidades a priori de H1, H2 y H3 son, respectivamente, las siguientes:

P(H1) = 281

2

8

0

6

2

2

=

; P(H2) = 73

2

8

62

11=

; P(H3) = 2815

2

8

2

62

0=

Entonces, el rbol de eventos queda como sigue:

Tenemos: a) P(S) = 8

321

2815

41

73

281 0 =++ = 0.3750; P(N) = 8

5 ; b) P(H2S) = 2/7 0.2857;

c) P(H1N) = 2/35 0.05714.

699. )1)(1)(1( 321321

321

ppppppppp

---+

700. a) Como no se sabe cuntos sabores existen ni en qu proporciones, entonces establecemos 4 posibles hiptesis que a priori deben considerarse igualmente probables, a saber: H1: {los 4 son de menta}; H2: {slo 3 son de menta}; H3 : {slo 2 son de menta}; y H4: {slo el dulce que sac es de menta}. Entonces, P(Hi) = (i = 1, . . . , 4). Sea A el evento: {un dulce sacado al azar de la taza es de menta} y sea B: {un dulce sacado al azar de la taza no es de menta}. Entonces:

P(H1A) = 52

1i

1

11

) (P)(P

)(P)(P4

=+++

=

=

ii HAH

AH

b) Con la informacin proporcionada por la hermana acerca de la gran bolsa de dulces, los 3 dulces desconocidos de la taza son una muestra sin reposicin sacada de un conjunto de 199 dulces, de los cuales 79 son de menta. Sean H1, H2, H3 y H4 los sucesos en que la seora puso, respectivamente, 4, 3, 2 o 1 dulce de menta en la taza. Luego:



P(H1) =

3199

379

0

120

; P(H2) =

3199

1279 120

; P(H3) =

3199

2179 120

; P(H4) =

3199

3079 120

.

Obtenemos as: P(H1) 0.061126; P(H2) 0.285785; P(H3) 0.436006; P(H4) 0.217083.

P(H1A) = 25.0217083.0 5.0436006.0 75.0285785.0 1061126.0

1061126.0+++

0.111597

701. 1/35 0.02857 702. El detective Holmes tena razn. De acuerdo al principio del Reverendo Bayes, las sospechas previas son modificadas a la luz de la evidencia emprica, por irrelevante que sta parezca. De hecho, las probabilidades a priori y a posteriori acerca de la ubicacin del remitente son las siguientes:

probable lugar desde donde se envi la carta: Zacatecas Toluca Cuernavaca probabilidad a priori 0.50000 0.30000 0.20000 probabilidad a posteriori (dada la evidencia) 0.60322 0.28954 0.10724

703. Hay dos maneras en que Kasprov puede no ganar el torneo: ganando Anand o ganando Krmnik. Las probabilidades de estos sucesos son 310 y

210, respectivamente. Por tanto, la probabilidad a priori de que Kasprov no ganara el torneo era 510 (o sea ); pero despus de la evidencia emprica (se mostr enfermo y bajo de forma) su probabilidad de perder se convirti en 23, esto es: su probabilidad de perder aument en la razn 4 a 3. Por consiguiente, tambin las probabilidades a posteriori de ganar para Anand y Krmnik aumentaron en la misma proporcin. Por lo tanto, las probabilidades (posteriores) que tienen Anand y Krmnik, respectivamente, para ganar el certamen son: P (Anand gane Kasprov est enfermo) = 5

234

103 = = 0.4000

P (Krmnik gane Kasprov est enfermo) = 154

34

102 = 0.2667.

Lo que indica que, no obstante estar enfermo y bajo de forma, Kasprov probablemente terminar en segundo lugar, detrs de Anand.

704. )1(

2+nn

.

705. 12

2 1

-

-

n

n.

706. 550377 0. 68545.

707. 15 = 0.2000. 708. 13 0.3333.

709. )12(2

1+

-n

n .



710. a) 1

1-

-mnn

; b) 1

1--

-rnmn

n.

711. 4041 0.9756. 712. 1150 = 0.2200 713. Denotemos por q1y q2, respectivamente, a los eventos llueve y no llueve. Sean X1 y X2, respectivamente, los eventos: el barmetro pronostica lluvia y el barmetro pronostica da seco. Segn esto, la probabilidad de que llueva y el barmetro pronostique lluvia es:

P(q1 X1) = P(q1) P(X1q1) = 0.40 0.90 = 0.36. Anlogamente, la probabilidad de tiempo despejado y prediccin lluvia es:

P(q2 X1) = P(q2) P(X1q2) = 0.60 0.20 = 0.12. La probabilidad de que el barmetro pronostique lluvia ser entonces (probabilidad total): P(X1) = 0.36 + 0.12 = 0.48. Si en efecto, ocurre que el barmetro predice lluvia, entonces la probabilidad a posteriori de que llueva es:

P(q1X1) = 75.048.036.0

)(P)(P

1

11 ==X

Xq.

714. Por medio de la regla de Bayes se halla el siguiente rbol a posteriori:

715. 1017 0.5882. 716. 110 . 717. 1019 0.5263. 718. Denotemos por p i a la probabilidad de que se haya roto el soporte i, y por q i a la probabilidad de que no se haya roto (i = 1, 2, 3). Sea A el evento: {se rompieron dos soportes}. Definimos ahora los siguientes 6 eventos: B1 :{se rompieron los soportes primero y segundo, pero el tercero no}, B2:{se rompieron los soportes primero y tercero, pero el segundo no}, B3 :{se rompieron los soportes segundo y tercero, pero el primero no}, B4 :{se rompi slo un soporte}, B5 :{se rompieron los 3 soportes}, B6:{no se rompi ningn soporte}. Entonces, como los soportes trabajan de manera independiente, tenemos P(B1) = p1 p2 q3 = (0.2)(0.4)(0.7) = 0.0560; P(B2) = p1 p3 q2 = (0.2)(0.3)(0.6) = 0.0360; P(B3) = p2 p3 q1 = (0.4)(0.3)(0.8) = 0.0960. Dada la evidencia emprica (certeza) de que se rompieron exactamente dos soportes, entonces P(ABi) = 0, para i = 4, 5, 6. Por lo mismo, se tiene



P(ABi) = 1, para i = 1, 2, 3. Entonces, la probabilidad total de que se hayan roto exactamente dos

soportes es: P(A) = =

6

1 )(P)(P

iii BAB = 0.0560 + 0.0360 + 0.0960 + 0 + 0 + 0 = 0.1880.

Por ltimo, aplicando el teorema de Bayes, hallamos que

P(B1A) = 1880.0

)1)(0560.0()(P

)(P)(P 11 =

ABAB

0.29787.

719. 21536 0.039179. 720. 19218 0.087156. 721. a) 0.6, b) 0.38, c) 19

9 , d) 103

722. a) 2013 = 0.6500; b)

53 = 0.6000.

723. )1)(( 2211

12121

+++++baba

aabaa .

724. )1()(

)1())(1()1(

222

11

21122211221

+++

+++-++

baba

bbababaaaa.

725. a) 50

1352

51

51

21

103

107

101 0 =+++ = 0.2600; b) 13

2 0.1538.

726. 92 .

727. 2. 728. 7

6 0.8571.

729. a) 67.5%; b) 32 .

730. a) 109 ; b) 10

1 .

731. a) 310317776 0.25059; b) 31031

6875 0.22155.

732. n

k

ppp

)1(1)1( 1

--- - .

733. En cualquier caso es ms probable para cualquiera de ellos ganar 3 de 6 que 4 de 8; no importa si la respectiva fuerza de ambos es la misma o si es desigual, y tampoco importa si un juego puede tener dos resultados posibles (ganar o perder) o tres resultados (ganar, perder o empatar). Veamos: a) Considrese primero el caso de un juego en el que no existe el empate y cada uno de los contendientes tiene una probabilidad de de ganar una partida. La probabilidad de ganar tres de

seis juegos sera 33 ()()36

0.3125, y la probabilidad de ganar 4 de 8 sera 44 ()()4

8

0.2734. Suponga ahora que ambos adversarios son igualmente fuertes y que existe la posibilidad de empate, de tal suerte que cada uno de ellos (A y K) gana con probabilidad de 0.1 (por ejemplo) y el juego es tablas con probabilidad de 0.8. Esto significa que cualquiera de ellos gana con probabilidad 0.1 y no gana con probabilidad 0.9. En tal caso, la probabilidad de ganar 3 de 6 (para cualquiera de

los dos) es

36 (0.1)3(0.9)3 = 0.01458, y la probabilidad de ganar 4 de 8 es

48 (0.1)4(0.9)4

0.00459. b) Supngase ahora que los jugadores tuviesen fuerzas desiguales, de tal manera que uno de ellos gana con probabilidad p y no gana (es decir, pierde o empata) con probabilidad q (donde,



naturalmente, p + q = 1). La probabilidad de ganar 3 de 6 es 20 p3 q3 = a, y la probabilidad de ganar 4 de 8 es 70 p4 q4 = b; as, slo hace falta comparar las cantidades a y b. Dividiendo la primera igualdad entre la segunda, obtenemos pqb

a7

2= . Es claro entonces que a > b 2 > 7p(1-p). El

valor mximo de 7p(1-p) lo obtenemos rpidamente igualando la derivada a cero, y hallamos entonces que ocurre para p = , siendo el valor mximo 1.75 < 2. Esto significa que siempre ocurre que a > b, es decir, en cualquier caso es ms probable ganar 3 de 6 juegos que ganar 4 de 8, y casualmente hemos hallado tambin que mientras ms desiguales son las fuerzas de ambos jugadores, tanto ms probable es ganar 3 de 6 juegos que ganar 4 de 8. Esto, por supuesto, es adems lgico: el equipo de ftbol de Mxico ya no es tan malo como antes, y con algo de suerte podra ganar uno de dos partidos a Brasil, Francia o Italia; sin embargo, sera muy poco verosmil que lograran ganar cinco de diez partidos a cualquiera de estos pases. 734. Sea Ai el evento {se extrae de la caja la moneda mi} (i = 1, . . . , 9), y dentese por B al evento {en 100 lanzamientos de la moneda extrada ocurrieron 55 guilas y 45 soles}. Entonces aplicamos la regla de Bayes en ambos incisos:

a) P(A5B) =

=

9

1

55

)(P)(P

)(P)(P

iii ABA

ABA =

==

=

9

1

9

1

455591

91

4555

4555

4555)5.0()5.0(

55100

)5.0()5.0(55100

iiiiii qpqp

0.49634.

b) P(A6B) =

=

9

1

66

)(P)(P

)(P)(P

iii ABA

ABA =

==

=

9

1

9

1

455591

91

4555

4555

4555)4.0()6.0(

55100

)4.0()6.0(55100

iiiiii qpqp

0.48955.

Resulta curioso que, a pesar de que 55 es un punto intermedio entre 50 y 60, es ms probable que se trate de la moneda cuya probabilidad de guila es 0.5 y no de la moneda cuya probabilidad de guila es 0.6. 735. Sea Ai el evento {la moneda extrada de la caja es del tipo mi}. De acuerdo con los datos, de cada tipo mi de moneda (i = 1, . . . , 10) hay en total 11 - i unidades en la caja. Dentese por B el evento {en dos lanzamientos de la moneda extrada salieron dos guilas}. Entonces tenemos:

P(A1) = 5510 , P(BA1)

Ejerc Bayes

Documents

Transcript of Ejerc Bayes