Probabilidad Condicional¿Cómo actualizar la probabilidad de un eventodado que ha sucedido otro ?

o

¿Cómo cambia la probabilidad de un evento cuando se sabe que otro evento ha ocurrido?

Probabilidad CondicionalEjemplo:

Una persona tiene un billete de lotería con losNúmeros 2,7,10,14,15,20.

Antes de que se realice el sorteo la probabili-dad de que gane la lotería es X.

Probabilidad CondicionalVeamos como se puede definir la probabilidad condicional.Después de realizar muchas veces un experi-mento, se tiene que es el número de intentos en los que B ocurre. Entre estos ele-mentos se cuenta los intentos en que el even-to A también ocurre. La razón es una

medida de la probabilidad (condicional) de A dado B

Probabilidad Condicional

Definición:Si se sabe que un evento B ha ocurrido y deseamos conocer la probabilidad de otro evento A, tomando en cuenta que B ha ocurrido, tenemos que esta probabilidad condicional está dada por:

con Pr(B)>0

Probabilidad Condicional

Regresando al problema anterior:

Sea B={uno de los números ganadores es el número 7}yA={los números 2,7,10,14,15,20 son seleccionados}

Probabilidad Condicional

Otro ejemplo:Suponga que se lanzan dos dados y se observa que la suma X es un número impar ¿Cuál es la probabilidad de que X sea menor que 8?

Probabilidad Condicional

Regla de multiplicación para probabilidades condicionales.

Sean A y B dos eventos. Si Pr(B) > 0 entonces

Similarmente, si Pr(A)>0,

Probabilidad CondicionalEjemplo:

Se tiene que dos bolas son seleccionadas aleatoriamente (sin reemplazo) de un caja que contiene r bolas rojas y b bolas azules.

¿Cuál es la probabilidad de que la primera bola sea roja y la segunda azul?

Probabilidad Condicional

Generalización a más eventos:

Para 3 eventos:

Para n eventos:

Probabilidad Condicional

Ejemplo:Supongamos ahora que tenemos 4 bolas que serán seleccionadas una a una (sin reemplazamiento) de una caja que contiene r bolas rojas, b bolas azules ( )

¿Cuál es la probabilidad de obtener la serie: roja, azul, roja, azul?

Probabilidad Condicional

Comentario: las probabilidades condicionales siguen las mismas reglas que las probabilidades “normales” (no condicionales).

Probabilidad Condicional

Ley de la probabilidad total

Partición:

Sea S el espacio muestral de un experimento y considere k eventos en S, tal que son eventos disjuntos y

.

Se dice entonces que los eventos B forman un partición.

Probabilidad Condicional

Ley de la probabilidad total

Teorema:

Suponga que los eventos forman una partición de S y para j=1,2,...k. Entonces para cada evento A en S:

Probabilidad CondicionalEjemploSe tienen dos cajas que contienen tornillos largos y cortos. Una de ellas tiene 60 tornillos largos y 40 cortos. La segunda caja contiene 10 tornillos largos y 20 cortos.Suponga que una caja se selecciona al azar y se saca aleatoriamente un tornillo.

¿Cuál es la probabilidad de que el tornillo seleccionado sea un tornillo largo?

Probabilidad Condicional

Eventos independientes:

Si el conocimiento de que el evento B ocurre no cambia la probabilidad de que el evento A ocurra, se dice que A y B son eventos independientes.

Probabilidad condicionalEjemplo:

Se tienen 2 máquinas (1 y 2) en una fábrica que funcionan independientemente una de otra. Sea A el evento de que la máquina 1 se estropee durante 8 hrs y sea B el evento de que la máquina 2 se estropee durante 8 hrs.

Suponga que Pr(A)=1/3 y Pr(B)=1/4

¿Cuál es la probabilidad de que al menos una de las máquinas se estropee durante el mismo período?

Probabilidad condicionalEjemplo:

Se tienen 2 máquinas (1 y 2) en una fábrica que funcionan independientemente una de otra. Sea A el evento de que la máquina 1 se estropee durante 8 hrs y sea B el evento de que la máquina 2 se estropee durante 8 hrs.

Suponga que Pr(A)=1/3 y Pr(B)=1/4

¿Cuál es la probabilidad de que al menos una de las máquinas se estropee durante el mismo período?

Probabilidad Condicional

Eventos independientes (generalización):

Los k eventos

Probabilidad Condicional

Ejemplo: Para que A, B y C sean independientes se deben satisfacer las siguientes relaciones:

Probabilidad Condicional

Ejemplo:

Suponga que una moneda se lanza dos veces de modo que se tiene el siguiente espacio muestral: S={FF, FC, CF, CC}.

Sean los siguientes eventos:

-F en el 1er lanzamiento: A={FF, FC}

-F en el 2do lanzamiento: B={FF, CF}

-ambos resultados iguales: C={FF, CC}

Teorema de Bayes

Si se conoce Pr(A|Bi ) para cada i, el teorema

de Bayes proporciona una fórmula útil para calcular las probabilidades condicionales de los B

i eventos dado A .

Teorema de BayesSea B

i,...,B

k los eventos que forman una

partición del espacio S tal que Pr(Bi )>0 para

j=1,2,...,k y sea A un evento tal que Pr(A) >0. Entonces para i=1,...,k,

Teorema de BayesSuponga que el ministerio de sanidad está ofreciendo hacer un test gratis para una cierta enfermedad. El test tiene una fiabilidad del 90%.

Por otro lado, una colección de datos indican que la posibilidad de tener esa enfermedad es de 1 entre 10000. Como el test es gratis, no duele y es rápido, decidimos hacer el test.

¿Cuál es la probabilidad de tener la enfermedad después de saber que el resultado del test fue positivo?

Teorema de BayesSe tienen 3 diferentes máquinas M

1´ M

2´ M

3

con las que se fabrica cierto producto. Supongamos que los productos se guardan en un almacén y se sabe que el 20% de esos productos fueron hechos con la maquina M

1,

30% con la M2 y 50% con M

3. También se

sabe que el 1% de los productos hechos con la máquina M

1 son defectuosos, mientras que

con M2, 2% son defectuosos y con M

3 , 3% de

los productos son defectuosos.

Teorema de Bayes

Pregunta:

Si se selecciona aleatoriamente un producto del almacén y resulta que éste es defectuoso, ¿cuál es la probabilidad de que dicho producto fuese producido por

M

2 ?