Probabilidad y

Estadística

● Probabilidad, un concepto básico el cual puede considerarse como indefinido, expresando de algún modo un grado de creencia, o la frecuencia límite de una serie aleatoria. Ambos enfoques tienen sus dificultades/deficiencias y la más conveniente axiomización de la teoría de probabilidad es cuestión de gustos. Afortudamente, ambos enfoques llevan al mismo cálculo de probabilidades.

[Diccionario de términos estadísticos (Kendall and Buckland)]

Diferentes interpretaciones de la probabilidad ...

●Interpretación clásica de probabilidad:

Esta interpretación está basada en la idea de eventos igualmente posibles (probables).

Ejemplo. Si existen n posibles resultados, todos ellos con la misma posibilidad de que ocurran, entonces la probabilidad de cada evento es 1/n

Pero, el concepto de “igualmente probable” está basado en el concepto de probabilidad que queremos definir !¿Qué hacemos cuando los eventos no son igualmente probables?

Diferentes interpretaciones de la probabilidad ...

●Probabilidad como frecuencia de sucesos:

Aquí la probabilidad se obtiene a través de la frecuencia relativa, si el proceso se repitiera muchas veces bajo condiciones similares.

Pero, ¿cuánto es “mucho”? ¿Qué significa condiciones similares ?

Diferentes interpretaciones de la probabilidad ...

●Interpretación subjetiva de la probabilidad:

Esta es la probabilidad que una persona asigna a los posibles eventos de una situación. El juicio para la asignación de probabilidades está basada en creencias o información del individuo.

Obviamente, aquí la probabilidad cambia de persona a persona.

Teoría de Probabilidades

Aquí veremos una teoría de probabilidades sin considerar las controversias respecto a la interpretación de lo que es una probabilidad.

Por supuesto, la teoría que veremos es formalmente correcta y podrá utilizarse para la asignación de valores de probabilidad en problemas reales.

En resumen:La teoría de probabilidades nos dará una forma de cuantificar que tan verosímil/probable es que ocurra un evento en un experimento

Conceptos preliminares

Un experimento es cualquier proceso, real o hipotético, cuyo posible resultado puede identificarse de antemano.

Un evento es un conjunto bien definido de los posibles resultados de un experimento.

Conceptos preliminares

Espacio muestral: es la colección de todos los posibles resultados de un experimento.Usualmente, denotaremos por “S ” al espacio muestral.

Un posible resultado “x ” de “S ” se dice que es un miembro del espacio muestral y se denota como

Conceptos preliminares

Cuando se realiza un experimento y se dice que un evento ha ocurrido, significa que el resultado del experimento satisface las condiciones que especifican a ese evento.

Cada evento puede considerarse como un subconjunto del espacio muestral

Conceptos preliminares

Ejemplo: Experimento: lanzamiento de un dado de seis caras

Espacio muestral S :

Sea A el evento de obtener un número par:

Conceptos preliminares

Sea B el evento de obtener un número mayor o igual que 2

Vemos que los elementos de conjunto A también están en B

Teoría de conjuntos

Se dice que un evento A está contenido en otro evento B, si cada resultado que perte-ce al subconjunto que define a A también pertenece al subconjunto que define a B :

o bien

Teoría de conjuntos

Si dos eventos A y B son tales que

Entonces A y B tienen los mismos elementos, es decir,

y

Teoría de conjuntos

(Transitividad) Si A, B y C son tres eventos tales que

se sigue entonces que:

y

Teoría de conjuntos

Conjunto vacío:

Algunos eventos son imposibles de obtener.

Por ejemplo, obtener un número negativo al lanzar un dado. Es decir, el evento está definido por un subconjunto de S sin resultados. A este subconjunto de S se le llama conjunto vacío y se denota por:

Para un evento arbitrario A es lógicamente correcto decir que cada elemento del pertenece a A:

Teoría de conjuntos

Un conjunto es contable si hay una correspondencia uno a uno de sus elementos con los números naturales {1,2,3, ...}.

Un conjunto es incontable si no es finito ni contable

Conjuntos finitos e infinitos

El número de elementos de un conjunto puede ser finito o infinitos Un conjunto infinito puede ser a su vez contable o incontable

Diagramas de Venn

Una representación gráfica de los resultados de

un experimento son los diagramas de Venn

Diagramas de Venn

Regiones:

i) Resultados que pertenecen al evento A, pero no al evento B

ii) Resultados que pertenecen al evento B, pero no al evento A

iii) Resultados que pertenecen a ambos eventos A y B

iv) Resultados que no pertenecen ni a A ni a B

Teoría de conjuntosAlgunas operaciones elementales entre conjuntos:● Si A y B son dos eventos cualesquiera, la

intersección de A y B esta definida por los resultados que pertenecen a ambos conjuntos, A y B.

● La unión de dos eventos A y B está definida por el conjunto de resultados que pertenecen a A, o a B, o a ambos A y B.

● Complemento: el conjunto de resultados que no pertenecen a A se le llama complemento de A.

● Para un evento A:

Teoría de conjuntos

Algunas relaciones entre las operaciones de unión e intersección:● Conmutatividad● Asociatividad● Distributividad● Idempotencia

● Ejercicio: Una vez vistas las relaciones de conmutatividad, distributividad e idempotencia, muestre que para dos conjuntos A y B se satisface que:

Ahora consideremos la unión:

Similarmente se podría demostrar la segunda igualdad del ejercicio

Teoría de conjuntos

Leyes de Morgan:

●

●

●

Teoría de Probabilidades

Queremos asignar un valor/número Pr(A) a cada evento de A en un espacio muestral S.

Pr(A) indicará la probabilidad de que ese evento ocurra.

Teoría de probabilidadesAxioma 1. Para cada A en un espacio muestral S,

Axioma 2. Para un espacio espacio muestral S

Axioma 3. Si dos eventos A y B son mutuamente excluyentesPara una serie infinita de eventos disjuntos asumimos que

Teoría de Probabilidades

Definición matemática de probabilidad:

Una probabilidad en un espacio muestral S es una especificación de números Pr(A) que satisfacen los axiomas 1, 2 y 3

Teoría de Probabilidades

Algunos teoremas:

1)

2) Para cada serie finita de eventos disjuntos

3) Para cada evento A

Teoría de probabilidades

6) Para dos eventos A y B

4) Si entonces

5) Para cada evento A

Teoría de probabilidades

Ejemplo:

Un paciente visita al médico por un dolor de garganta. Después de examinar al paciente, el médico piensa que el paciente sufre, o una infección bacteriana o una de tipo viral. El doctor decide que hay una probabilidad de 0.7 que el paciente tenga una infección bacteriana y una probabilidad de 0.4 que la persona tenga una infección viral.

¿Cuál es la probabilidad de que el paciente tenga ambos tipos de infección?

Teoría de probabilidades (espacio muestral simple)

Muchos experimentos muestran cierta “regularidad”, i.e., la frecuencia relativa de un evento es aproximadametente la misma en una serie de intentos

A un espacio muestral con posibles resultados se le llama simple, si la probablidad asignada a cada posible resultado es 1/n

Si un evento A en ese espacio contiene m resultados, entonces

Teoría de probabilidades (espacio muestral simple)

Similarmente, sea el número de resultados de un evento A y el número total de resultados del espacio muestral. Entonces

Ahora, si A y B son dos eventos en S:

Teoría de probabilidades

● Ejercicio:

Calcule la probabilidad de obtener un as o una pica de un paquete de cartas

13

4

Teoría de probabilidadesEjercicio: supongamos que lanzamos 3 monedas simultáneamente. ¿Cuál es la probabilidad de obtener exactamente 2 caras?

Número posible de eventos (C:cara, R:cruz):1 - C C C2 - R C C3 - C R C4 - C C R5 - C R R6 - R C R7 - R R C8 - R R R

Teoría de probabilidades

Ejercicio: Calcule la probabilidad de obtener de un paquete de cartas: un as o una pica o un número par {2, 4, 6, 8, 10}

Solución:Sea A el evento de obtener un asSea B el evento de obtener una picaSea C el evento de obtener un número par

Se nos pide entonces calcular

Teoría de probabilidades

Para 3 eventos la probabilidad de la unión está dada por:

Métodos de conteo

Como hemos visto, para espacios muestrales simples es importante saber contar el número de resultados posibles de un evento y el número de resultados posibles del espacio muestral, pues de ahí podemos calcular la probabilidad de un evento.

- Multiplicación

- Permutación

- Combinación

Métodos de conteoMultiplicación

Regla de multiplicación.Si en un experimento tenemos que:i) el experimento se realiza en dos partesii) la primera parte tiene m posibles resultados: y, no importando cuales sean

estos resultados, la segunda parte del experimento tiene n resultados:

Cada resultado del espacio muestral está dado por la pareja y S está dado por:

Métodos de conteo

De aquí que el espacio muestral tiene mxn resultados

Métodos de conteo

Ejemplo:

Lanzamiento de dos dados.

Como cada dado tiene 6 posibles resultados, el número total de posibles resultados es 6x6=36

Por supuesto, la regla de multiplicación puede extenderse a experimentos con más de dos partes.

Si un experimento tiene k partes (k>2), tal que la i-ésima parte del experimento tiene posibles resultados. Entonces el tamaño del espacio muestral es

Ejemplo:

Lanzamiento de 6 monedas.

Como cada parte del experimento tiene 2 posibilidades (cara o cruz) tenemos entonces que el número total de posibles resultados es

2x2x2x2x2x2 = 64

Métodos de conteo

Permutaciones

Una permutación es un arreglo en un orden particular de los objetos que forman un conjunto.

Nos preguntamos de cuántas formas n objetos distintos pueden arreglarse/acomodarse (?)

Métodos de conteoRespuesta:

Ejemplo: Cuántos arreglos pueden hacerse con las letras a, b y c?

Respuesta: 3 x 2 x 1 = 3! =6

(a,b,c), (a,c,b), (b,a,c), (b,c,a), (c,a,b), (c,b,a)

Métodos de conteo

Si ahora seleccionamos solamente k elementos (uno a la vez) de los n, entonces tenemos que:

Métodos de conteo

Ejemplo: Sea

¿Cuáles son las permutaciones de 2 elementos tomados del conjunto anterior ?

Respuesta:

Métodos de conteo

Ejemplo:

De un grupo de 25 personas, serán seleccionados un presidente y un secretario. ¿Cuál es el número de formas posibles de escoger estas dos personas ?

Conteo con reemplazamientoConsideremos ahora un experimento donde una bola, seleccionada de una caja con n bolas, se regresa a la misma caja.

Si se hace un total de k selecciones de esta forma, el espacio muestral S contiene todos los vectores de la forma: donde :resultado de la i-ésima selección

A este proceso se le llama muestreo con reemplazamiento.

Como existen n posibles resultados para cada una de las bolas/selecciones, el número total de vectores en S es

Conteo con reemplazamientoPermutaciones con reemplazamiento.

Si en el experimento anterior quisieramos saber la probabilidad del evento A en que cada una de las k bolas seleccionadas sean distintas.

El número de vectores donde los k componentes son distintos está dado por

Como el tamaño del espacio muestral es (y cada selección es igualmente probable, ), entonces la probabilidad del evento A es

Métodos de conteo

Ejemplo:El problema del cumpleaños (versión simplificada)

Un planeta gira alrededor del sol en 3 días. ¿Cuál es la probabilidad de que Manolo y Juan cumplan años en fecha distinta (sin considerar el año) en ese planeta?Las posibilidades son:

La probabilidad de cada uno de estos resultados es:

Métodos de conteo

Problema del cumpleaños:

¿Cuál es la probabilidad de que al menos dos personas de un grupo de k personas (2< k < 365) festejen su cumpleaños el mismo día.

Supongamos que los nacimientos son independientes (gemelos son excluidos!). Entonces para cada una de las k personas hay 365 posibilidades. Por tanto, el espacio muestral es

Métodos de conteo

La probabilidad de que todos los cumpleaños sean distintos es

Así pues, la probabilidad de que al menos dos personas tengan el mismo día su cumpleaños es

Métodos de conteoAlgunos valores de q:

k q

5 0.027

10 0.117

15 0.253

20 0.411

25 0.507

30 0.706

40 0.891

50 0.970