Capítulo 5: Probabilidad e inferencia estadística · Principios de la probabilidad Conceptos...
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Cap´ ıtulo 5: Probabilidad e inferencia estad´ ıstica (Fundamentos Matem´ aticos de la Biotecnolog´ ıa) Departamento de Matem´ aticas Universidad de Murcia
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Capıtulo 5: Probabilidad e inferenciaestadıstica
(Fundamentos Matematicos de la Biotecnologıa)
Departamento de MatematicasUniversidad de Murcia
Capıtulo 5: Probabilidad e inferencia estadıstica
Contenidos
Principios de la probabilidadConceptos basicosDefinicion de probabilidadPropiedades de la probabilidadProbabilidad condicionadaNumeros combinatorios
Variables aleatorias
Variables aleatorias continuasLa funcion de densidadLa funcion de distribucionMedia y varianzaLa distribucion normal
Capıtulo 5: Probabilidad e inferencia estadıstica
Principios de la probabilidad
Conceptos basicos
Conceptos basicos de la probabilidad
Experimento aleatorio: es aquel experimento para el cual, partiendode las mismas condiciones iniciales, no podemos predecir cual va aser su resultado.
Suceso (A, B, . . .): cada resultado de un experimento aleatorio.
Espacio muestral (Ω): union de todos los sucesos.
Capıtulo 5: Probabilidad e inferencia estadıstica
Principios de la probabilidad
Definicion de probabilidad
Calculo de Probabilidades
Definicion de probabilidad
Si un experimento aleatorio da lugar a un numero finito de sucesos, todosellos igualmente posibles (es decir, no se conoce razon alguna quefavorezca a uno u otro), entonces la probabilidad de un suceso A es:
P(A) =no de casos favorables al suceso A
no de casos posibles del experimento.
(Regla de Laplace)
Interpretacion intuitiva de la probabilidad (ley del azar):
Si realizamos un experimento aleatorio un numero “muy grande” deveces, la frecuencia relativa de un suceso A (es decir, el numero de vecesque ocurre dicho suceso dividido por el total de realizaciones) tiende aestabilizarse en torno a un numero fijo llamado probabilidad del suceso.Se representa por P(A).
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Principios de la probabilidad
Propiedades de la probabilidad
Propiedades basicas de la probabilidad I
Propiedad fundamental de la probabilidad:
0 ≤ P(A) ≤ 1, para todo suceso A.
Probabilidad del espacio muestral (o suceso seguro):
P(Ω) = 1.
Probabilidad del suceso complementario:
P(Ac) = 1− P(A),
donde Ac denota el complementario (o contrario) del suceso A.
Probabilidad del conjunto vacıo (suceso imposible):
P(∅) = 0.
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Principios de la probabilidad
Propiedades de la probabilidad
Propiedades basicas de la probabilidad II
Probabilidad de la union de dos sucesos incompatibles: Si A y B sondos sucesos incompatibles, entonces
P(A ∪ B) = P(A) + P(B).
Probabilidad de la union de n sucesos incompatibles: Si variossucesos son incompatibles dos a dos, entonces
P(A1 ∪ . . . ∪ An) = P(A1) + . . . + P(An).
Probabilidad de la union de dos sucesos cualesquiera:
P(A ∪ B) = P(A) + P(B)− P(A ∩ B).
Probabilidad de la union de tres sucesos cualesquiera:
P(A ∪ B ∪ C ) =P(A) + P(B) + P(C )
− P(A ∩ B)− P(A ∩ C )− P(B ∩ C )
+ P(A ∩ B ∩ C ).
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Principios de la probabilidad
Probabilidad condicionada
Probabilidad condicionada. Independencia de sucesos
La probabilidad de un suceso B condicionada al suceso A es
P(B/A) =P(A ∩ B)
P(A), si P(A) 6= 0.
Los sucesos A y B son independientes si
P(B/A) = P(B) y P(A/B) = P(A).
Equivalentemente, A y B son independientes si
P(A ∩ B) = P(A) · P(B).
El teorema de Bayes afirma que
P(A) · P(B/A) = P(A/B) · P(B).
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Principios de la probabilidad
Numeros combinatorios
Numeros combinatorios
Si tenemos un conjunto de n objetos diferentes, ¿de cuantas formaspodemos ordenar los elementos, sin repetirlos?
n! = n · (n − 1) · (n − 2) . . . 2 · 1 = permutacion
(con el convenio 0! = 1).
Si tenemos un conjunto de n objetos diferentes y queremos escogerk de ellos, (sin importar el orden de eleccion), ¿cuantas formasposibles hay de efectuar la eleccion?(
n
k
)=
n!
k!(n − k)!= coeficiente binomial.
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Variables aleatorias
Conceptos basicos de una variable aleatoria
Una variable aleatoria es una funcion que asigna un numero a cadasuceso elemental de un experimento aleatorio.
Cualquier variable estadıstica cuantitativa estudiada en el capıtuloanterior podrıa considerarse una variable aleatoria (con la condicion deque este observada en todos los individuos de una poblacion).
Una variable aleatoria puede ser:
Variable aleatoria discreta: solo puede tomar valores numericosaislados (fijados dos consecutivos, no puede existir ningunointermedio).Ej.: no de hijos, no de pacientes, etc.
Variable aleatoria continua: puede tomar cualquier valor numericodentro de un intervalo, de modo que entre cualesquiera dos de ellossiempre existe otro posible valor.Ej.: altura, peso, etc.
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Variables aleatorias continuas
La funcion de densidad
Funcion de densidad de una variable aleatoria continuaUna variable aleatoria continua X queda totalmente identificada siconocemos su funcion de densidad f (x), que debe verificar:
1 f (x) ≥ 0 para todo x .
2 El area total bajo la curva y = f (x) vale 1:∫ +∞
−∞f (x) dx = 1.
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Variables aleatorias continuas
La funcion de distribucion
Funcion de distribucion de una variable aleatoria continua
La funcion de distribucion de una variable aleatoria X se representa porF , y se define como
F (t) = P(X ≤ t) para todo t.
La relacion entre la funcion de distribucion F (x) y f (x) es
F (x) =
∫ x
−∞f (t) dt, es decir, F ′(x) = f (x).
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Variables aleatorias continuas
La funcion de distribucion
Funcion de distribucion de una variable aleatoria continua
La probabilidad de que la variable aleatoria X este comprendida entre a yb, P(a ≤ X ≤ b), viene determinada por el area bajo la curva y = f (x)entre x = a y x = b:
P(a ≤ X ≤ b) =
∫ b
a
f (x) dx = F (b)− F (a).
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Variables aleatorias continuas
Media y varianza
Media y varianza de una variable continua
La media y la varianza de una variable aleatoria continua se determinanmediante una integral impropia.
La media de una variable aleatoria continua X viene dada por
µ=
∫ +∞
−∞x f (x) dx .
La varianza de una variable aleatoria continua X viene dada por
σ2=
∫ +∞
−∞x2 f (x) dx − µ2.
La desviacion tıpica de una variable aleatoria X viene dada por
σ=√
σ2.
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Variables aleatorias continuas
La distribucion normal
La distribucion normal
Una variable aleatoria continua X tiene una distribucion normal deparametros µ y σ si su funcion de densidad es:
f (x) =1
σ√
2πexp
(−1
2
(x − µ
σ
)2)
,
donde µ, σ ∈ R con σ > 0.
La variable aleatoria normal deparametros µ y σ serepresentara por N (µ, σ).
La grafica de la funcion f (x)se llama la campana de Gauss(de parametros µ y σ).
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Variables aleatorias continuas
La distribucion normal
Propiedades de la distribucion normal
La distribucion normal cumple las siguientes propiedades:
1 La media µ(N (µ, σ)
)= µ.
2 La desviacion tıpica σ(N (µ, σ)
)= σ.
3 La curva que representa a la funcion de densidad de la distribucionN (µ, σ) es simetrica respecto de la recta vertical x = µ.
4 La variable aleatoria normal N (0, 1) de parametros 0 y 1 se llamavariable aleatoria normal estandar, y sus valores estan tabulados.
5 Estandarizacion de la variable X : Si X = N (µ, σ), para poderutilizar la tabla de la normal estandar se transforma X en otravariable Z = N (0, 1):
Z =X − µ
σ.
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Variables aleatorias continuas
La distribucion normal
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