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Variables aleatorias

Distribuciones continuas

Se dice que una variable aleatoria X tiene una distribución continua, o que X es una variable continua, si existe una función no negativa f, definida sobre los números reales, tal que para cada intervalo en los reales, la probabilidad de que X tome un valor en el intervalo es igual a la integral sobre ese mismo intervalo


Por ejemplo:

A la función f se le llama función de densidad de probabilidad o simplemente densidad de probabilidad


Alternativamente:

Se define la función de densidad de probabilidad (pdf), f(x), de una variable aleatoria continua X como aquella que satisface:

,

es decir, la probabilidad de que x caiga entre x y x+dx


La densidad de probabilidad, f(x), debe satisfacer que:


Comentario:

las distribuciones continuas asignan probabilidad cero a valores individuales, es decir, si X es una variable continua Pr(X=a)=0

Esto no implica el evento X=a sea imposible!


Ejemplo:

Distribución uniforme


Comentario:

La densidad de probabilidad NO es la probabilidad de X cerca de x.

Es la integral de f la que da la probabilidad

Variables aleatoriasEjemplo:

Suponga que la función de densidad de probabilidad (pdf) está dada por:

¿Cuál es el valor de c?

Determine :

Variables aleatoriasSimilarmente al caso discreto, se define la función de distribución cumulativa (cdf) F(x):

De modo que

Además:,

Variables aleatoriasComentarios:

- La función de distribución cumulativa F(x)Es una función no decreciente con x

- Una función de distribución cumulativa es siempre continua por la derecha:

para cada valor de x


Ejemplo:

Sea X una variable aleatoria con distribución uniforme en el intervalo [a,b].

¿Cuál es la función de distribución cumulativa

Variables aleatoriasComentario:

Una variable aleatoria discreta puede tratarse como una variable aleatoria continua y asignarse la correspondiente densidad de probabilidad.

Si X es una variable discreta que toma los valores x

1,...,x

n con probabilidades p

1,...,p

n ,

entonces la densidad de probabilidad continua puede escribirse como

Varias variables aleatorias

Es común encontrar problemas que dependen de más de una variable aleatoria.

Los resultados que hemos visto pueden extenderse a dos o más variables aleatorias.

Veamos el caso de dos variables.

Varias variables aleatoriasDistribucion conjunta discreta.

Sean X y Y dos variables aleatorias y consideremos el par ordenado (X,Y). Si existe un número contable de diferentes valores (x

i,y

i) para el par (X,Y), entonces X, Y tienen

una distribución discreta.

Definición: La función de probabilidad conjunta de X,Y se define como la función f tal que para cada punto (x

i,y

i) en el plano xy,


Con

Si (xi,y

i) NO es uno de los valores posibles del

par (X,Y) entonces f(xi,y

i) = 0. Además,


Similarmente al caso continuo para una variable tenemos ahora que:

donde f(x,y) es la función de densidad de probabilidad conjunta que satisface:

y

Varias variables aleatoriasCaso especial: variables independientes.

Es frecuente encontrar casos donde las variables aleatorias X, Y no dependen una de otra. En este caso la densidad de probabilidad puede escribirse como

Pr(X=xi ,Y=y

i )=g(x

i )h(y

i ) ,

donde g(xi) y h(y

i) son las densidades de

probabilidad de X y Y.

Similarmente para el caso continuo:

Varias variables aleatoriasSobre el tema de variables aleatorias independientes, supongamos que nos interesa saber la densidad de probabilidad de la suma de variables independientes.

Sea Y = X1 + X

2, donde X

1 , X

2 son variables

aleatorias independientes con densidades de probabilidad f

1 y f

2 . La densidad de

probabilidad de Y está dada por (convolución)


Distribución cumulativa conjunta

La distribución cumulativa conjunta para dos variables aleatorias X y Y está definida como la función F tal que para todos los valores de x e y de modo que


Si X e Y tienen una densidad de probabilidad conjunta f(x,y) entonces

De aquí que

Varias variables aleatoriasDistribución marginal

Frecuentemente en un problema de varias variables, digamos 2 variables, estamos interesados en la distribución de una sóla de las variables. Dicha distribución se obtiene a través de la distribución conjunta y se le llama distribución marginal.

Por ejemplo, para el caso discreto, si X e Y son variables aleatorias con función de distribución conjunta f(x,y), entonces la distribución marginal f

1 está dada por

Varias variables aleatoriasPor ejemplo, para el caso discreto, si X y Y son variables aleatorias con distribución conjunta f(x,y), entonces la distribución marginal f

1 está dada por

Similarmente para el caso continuo:


Distribución condicional

Así como en el cálculo de probabilidades era de interés conocer la probabilidad de un evento dado que otro había sucedido, ahora nos preguntamos por la distribución de una variable X dado que otra, Y, ha tomado un valor Y=y. La distribución de la probabilidad condicional viene dada por:


Distribución condicional

Para n variables:

donde f2 es la distribución marginal de

X1,... X

k


Ley de la probabilidad total y teorema de Bayes

Para n variables:

donde y

Y el teorema de Bayes para variables aleatorias es:


Funciones de variables aleatorias

Frecuentemente se requiere la distribución de una función de las variables aleatorias. Por ejemplo, si X es una variable aleatoria, quisieramos saber la distribución de 1/X, o bien para dos variables X

1,X

2, ¿cuál es la

probabilididad de exp(X1+X

2)?


Funciones de variables aleatorias

o bien


Algunas propiedades de las distribuciones

Las distribuciones de probabilidad tienen toda la información estadística de las variables aleatorias en cuestión.

En muchas ocasiones algunas propiedades de las distribuciones nos dan suficiente información estadística de las variables aleatorias.

Los llamados valores esperados (o promedios o momentos) son cantidades estadísticas simples que nos dan información de las variables aleatorias.

Variables aleatoriasValor esperado, valor promedio, promedio, valor medio, media, o primer momento

La propiedad más utilizada para caracterizar una distribución de variables aleatorias es el llamado valor medio.

Si X es una variable aleatoria el valor esperado E[X] está definido como

f(x) es la función de probabilidad (discreto) o densidad de probabilidad (continuo)


En general, para una función de variables aleatorias, tenemos


Una propiedad:

También, si f(x) y g(x) son funciones de probabilidad discretas (o bien, continuas) tenemos que:

donde a y b son constantes (números reales)


Varianza (que tan dispersos son los valores de una variable aleatoria respecto al valor medio)

Sea X es una variable aleatoria, su varianza está dada por:

donde


Se pueden demostrar las siguientes igualdades para la varianza (a y b constantes):


Generalización: k-ésimo momento

Este se define como:

donde


Similarmente, el k-ésimo momento central viene definido por


Comentario:

Los momentos centrales y tienen nombre: “skewness” y “kurtosis”


Función generadora (generatriz) de probabilidad

donde fn =Pr(X=x

n ) y x

n toma valores enteros

no negativos


de modo que, por ejemplo, el primer momento está dado por


Otro tipo de función generadora (generatriz) es la función generadora de momentos

Para una variable aleatoria X y un número real t, esta función se define como:

La función generadora existe para todo valor de t siempre que X esté acotada y M

X(t=0)=E(1)=1


Entonces, el n-ésimo momento de X está dado por:

De esta forma, por ejemplo,


Ejemplo: función generadora de una densidad de distribución Gaussiana está dada por:


Caso especial: suma de variables independientes

Si X1,...,X

n son variables independientes y

Sn=X

1+ ... +X

n,

entonces


Un poco más general: si ahora Sn está dada por la

suma de variables independientes de la forma:

Sn=c

1X

1+ ... +c

nX

n ,

entonces la función generatriz viene dada por:


Covarianza y correlación

Estas dos cantidades nos dicen que tanto están relacionadas/(dependen entre sí) dos variables aleatorias.

Covarianza: sean X e Y variables aleatorias con valores bien definidos

y

La covarianza se define como



Se puede mostrar que la covarianza se puede escribir como:

De aquí que, si X e Y son variables independientes

por lo que



En cuanto a la correlación, ésta se define como

Se puede demostra que:

y


Si hay una dependencia lineal entre las variables X e Y, digamos Y=aX + b, tenemos que Corr[X,Y] =1 , si a es una constante positivayCorr[X,Y]=-1, si a es una constante negativa


Comentarios:

a) El hecho de que haya una relación entre dos variables aleatorias, digamos Y=X*X, no implica que ambas variables esten correlacionadas

b) Si las variables son independientes =>

pero no en el otro sentido, i.e, si no implica que las variables sean independientes


Si X e Y son variables aleatorias con varianza finita entonces

Si las variables son independientes tenemos

que es un caso particular de


Teorema del límite central

Sean X1,...,X

n n variables aleatorias

independientes cada una descrita (estadísticamente) por funciones de probabilidad fi(x)

con valores medios y varianzas .

Entonces la variable

Tiene las siguientes propiedades


1-El valor esperado está dado por

2-La varianza viende dada por

3-Para la función de probabilidad de Z tiene a una distribución normal (Gaussiana) con media y varianza dada en 1 y 2.

Nota:las funciones fi(x) pueden ser todas distintas

Variables aleatoriasComentarios:

1) Si las Xi siguen la misma distribución,

para la distribución de Z se aproxima a una distribución normal con valor medio y

varianza

2) Si una variable aleatoria está dada por

podemos hacer

entonces ln(Y) sigue una distribución “log-normal”

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