Probabilidad Básica - ITAMcursos.itam.mx/vaguirre/Estadistica_y_Pronostico/G5_Prob... · 2004. 10....

Dr. Víctor Aguirre Torres, ITAM. Guión 5.

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Probabilidad Básica


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Contenido

1. Experimentos2. Reglas de conteo 3. Asignación de Probabilidades4. Eventos y sus Probabilidades5. Relaciones Básicas de Probabilidad6. Probabilidad Condicional

a) Ley Multiplicativa.b) Eventos Independientes.


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1. Experimento.

Proceso que genera uno de varios posibles resultados bien definidos. El resultado específico no es predecible sin error.M=Número de posibles resultados.Ei= resultado experimental.S=Espacio muestral={E1, E2,..., EM}.


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1. Experimento.

Ejemplo 1: Tirar un dado y observar el número en la cara superiorPosibles resultados:S = { 1, 2, 3, 4, 5, 6}M =6


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1. Experimento.

Ejemplo 2: Sacar una carta de un mazo de póquer.Posibles resultados:S = {AC,AD,AP,AT,2C,...,RP,RT}M=52


6

2. Reglas de Conteo.

Para experimentos en K etapas.M=n1n2...nK

Ejemplo 3: Lanzar 2 monedas. M=4.Ejemplo 4: Sacar 2 cartas del mazo de póquer. Con reemplazo M=522=2704, sin reemplazo M=52(51)=2652


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2. Reglas de Conteo. Diagramas de Árbol.

Ejemplo 5: Proyecto de KP&L

23

4

67

8

Etapa1 Etapa2

S={(2,6),(2,7),...,(4,7),(4,8)}

M=3(3)=9


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2. Reglas de Conteo. Combinaciones.

Experimento: seleccionar n objetos de un conjunto de N objetos (N>n) sin importar orden.

Excel: COMBINAT(N,n)

10! =−−=−

=

==

)1)(2)...(2N)(1N(N!N)!nN(!n

!NnN

CM Nn


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Ejemplo 6:Manos de póquer, 5 cartas de 52.Espacio muestral:S={ {AC,AD,AP,AT,2C},{AC,AD,AP,AT,2D},

{AC,AD,AP,AT,2P},... ...,{QT,RC,RD,RP,RT} }960,598,2CM 525 ==


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Ejemplo 7: ME LATE (de Ohio)6 números de un grupo de 47.

Ejemplo 8: ¿ME LATE de México?

573,737,10CM 476 ==


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3. Asignación de Probabilidades.

Probabilidad=cuantificación de la factibilidad de ocurrencia de Ei.Se debe cumplir0 < P(Ei) < 1P(E1) + P(E2) + ...+P(EM) =1=P(S)


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3. Métodos para Asignación de Probabilidades.

Clásico.Frecuencia Relativa.Subjetivo.


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3. Método Clásico para Asignación de Probabilidades.

Muy usado para juegos de azarPresupone igual probabilidad de Ei’s P(Ei)= 1 / #(S)Ejemplo1,dados: P(Ei)= 1 / 6Ejemplo 5: manos de póquer

P(Ei)= 1 / 2,598,960Ejemplo KP&L no tiene sentido.


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3. Método de Frecuencia Relativa para Asignación de Probabilidades.

Se necesita observar repetidamente el mismo experimento (n veces).Condiciones similares.P(Ei)= (# veces que ocurre Ei ) / n.


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3. Método de Frecuencia Relativa para Asignación de Probabilidades.

Ejemplo 2: Proyecto KP&L, n=40.Duración Etapa 2Proyectos 6 meses 7 meses 8 meses

2 meses 6 6 2 14Etapa 1 3 meses 4 8 2 14

4 meses 2 4 6 1212 18 10 40

Duración Etapa 2Proyectos 6 meses 7 meses 8 meses

2 meses 0.15 0.15 0.05 0.35Etapa 1 3 meses 0.1 0.2 0.05 0.35

4 meses 0.05 0.1 0.15 0.30.3 0.45 0.25 1


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3. Método Subjetivo para Asignación de Probabilidades.

Un “experto asigna las probabilidades”

Ejemplo: momios de eventos deportivosE1=Gana Tyson, E2= No Gana Tyson

momio = P(E1) / P(E2) = 5 (5 a 1)


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4. Eventos

Evento = Subconjunto de puntos muestrales.Un evento ocurre si cualquiera llega a ser el resultado experimental.Usaremos letras A, B, C, ... para denotarlos.Usualmente se definen por descripciones verbales. Pero cada evento corresponde a un subconjunto de puntos muestrales.


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Ejemplo: KP&L.


2 mesesEtapa 1 3 meses

4 meses

A={El proyecto dura 10 meses o menos}

B={La etapa 2 del proyecto dura 7 meses}



4 meses


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Ejemplo: se tiran 2 dados.Dado Rojo

1 2 3 4 5 6Dado Azul 1 1,1 1,2 1,3 1,4 1,5 1,6

2 2,1 2,2 2,3 2,4 2,5 2,63 3,1 3,2 3,3 3,4 3,5 3,64 4,1 4,2 4,3 4,4 4,5 4,65 5,1 5,2 5,3 5,4 5,5 5,66 6,1 6,2 6,3 6,4 6,5 6,6

A={La suma es igual a 5}

B={El dado rojo cae 6}


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Complemento de un Evento.

Complemento

Ejemplo:KP&L

A} en están NO que resultados los todos{Ac =

Ac={El proyecto dura más de 10 meses}Duración Etapa 2Proyectos 6 meses 7 meses 8 meses


4 meses


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Unión de Eventos

Unión

Ejemplo KP&LB} en o A en están que resultados los todos{BA =∪



4 meses

A unión B




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Intersección de Eventos.

Intersección

Ejemplo KP&LB} eny A en están que resultados los todos{BA =∩



4 mesesA intersección B




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Eventos Mutuamente Excluyentes.

A y B son mutuamente excluyentes si no tienen puntos muestrales en común.

imposiblevacíoBA evento ===∩ φDado Rojo

1 2 3 4 5 6Dado Azul 1 1,1 1,2 1,3 1,4 1,5 1,6

2 2,1 2,2 2,3 2,4 2,5 2,63 3,1 3,2 3,3 3,4 3,5 3,64 4,1 4,2 4,3 4,4 4,5 4,65 5,1 5,2 5,3 5,4 5,5 5,66 6,1 6,2 6,3 6,4 6,5 6,6

A={La suma es igual a 5} B={El dado rojo cae 6}


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Eventos Mutuamente Excluyentes.

También se les conoce como eventos ajenos.Cuando ocurre uno NO ocurre el otro.Evento vacío = ausencia de resultados.Ejemplo: Manos de póquer.

A={obtengo un par únicamente}={xxyzw}

B={obtengo un “full”}={xxyyy}


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4. Probabilidad de un Evento

Suma de las probabilidades de los puntos muestrales del evento.FórmulaEjemplo KP&L: P(A)=0.70 .

Ejemplo 2 dados: P(A)=4/36, P(B)=1/6.

∑∈

=AE

ii

)E(P)A(P


2 meses 0.15 0.15 0.05Etapa 1 3 meses 0.1 0.2 0.05

4 meses 0.05 0.1 0.15


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5. Relaciones Básicas de Probabilidad.

Probabilidad del complemento

Ejemplo KP&L: P(proyecto dure más de 10 meses)=1-0.7=0.3

Ejemplo 2 dados:P(suma≠5)=1-(4/36)=32/36

0)(P1)S(P == φy )A(P1)A(P c −=


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Probabilidad de la unión. Ley Aditiva.

Ejemplo KP&L:P(A∪B)=0.7+0.45-0.35=0.8Ejemplo 2 dados:C={La suma es 7}, D={misma cara}P(C∪D)=1/6+1/6-0=1/3

)BA(P)B(P)A(P)BA(P ∩−+=∪


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Ley Aditiva para eventos mutuamente excluyentes

Ejemplo 2 dados: P(A∪B)=4/36+6/36)B(P)A(P)BA(P +=∪

Dado Rojo1 2 3 4 5 6

Dado Azul 1 1,1 1,2 1,3 1,4 1,5 1,62 2,1 2,2 2,3 2,4 2,5 2,63 3,1 3,2 3,3 3,4 3,5 3,64 4,1 4,2 4,3 4,4 4,5 4,65 5,1 5,2 5,3 5,4 5,5 5,66 6,1 6,2 6,3 6,4 6,5 6,6


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6. Probabilidad Condicional

Un evento tiene probabilidad P(A).Se que sucedió el evento B, quiero aprovechar esa información para calcular la probabilidad de A dado que ya sé que ocurrió B.A esta probabilidad se le llama probabilidad condicional de A dado B.Sirve para modificar la probabilidad de un evento cuando se tiene información adicional.


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Tomo a B como un nuevo espacio muestral.Definición: P(A|B)=P(A∩B)/P(B)Note que P(B|B)=1.


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Ejemplo KP&L: ya sabíamos P(A)=0.70 A={El proyecto dura 10 meses o menos}

C={Etapa 1 dura 3 meses}

P(A|C)=P(A∩C)/P(C)=0.3/0.35=0.85714Duración Etapa 2Proyectos 6 meses 7 meses 8 meses

2 meses 0.15 0.15 0.05Etapa 1 3 meses 0.1 0.2 0.05

4 meses 0.05 0.1 0.15


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6.a) Ley Multiplicativa.

Probabilidad condicional implica:P(A∩B)=P(B)P(A|B)=P(A)P(B|A).

Sirve para calcular la probabilidad de una intersección si se conoce la probabilidad condicional y la probabilidad de uno de los eventos.


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6.a) Ley Multiplicativa.

Ejemplo 4: Se sacan 2 cartas del mazo de póquer sin reemplazo.¿Cuál es la probabilidad de que salgan 2 ases?

D={salen dos ases}, ¿Cuál es P(D)?A={un as en la primera carta},B={un as en la segunda carta}, D=A ∩B

P(A)=4/52, P(B|A)=3/51P(D)=P(A∩B)= P(B|A)P(A)=(3/51)(4/52)=0.004525


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6.b) Eventos Independientes

El evento A es independiente del evento B si y solo siP(A|B)=P(A) ó P(B|A)=P(B)De lo contrario son eventos dependientes.Interpretación de independencia: el conocimiento de que B ocurrió no cambia la factibilidad de que A ocurra.


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6.b) Ley Multiplicativa para Eventos Independientes

Si A y B independientes:

anterior. igualdad la cumplese si ntesindependieson eventos dos hecho de

tantolopor

tivamultiplicaley por entonces ,

)B(P)A(P)BA(P

)B(P)A(P)B(P)B|A(P)BA(P)A(P)B|A(P

=∩

==∩=


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Ejemplo 2 dados:

ntes.independieson eventos dos los

tantolopor ,5rojo Dado , 4 azul Dado

)B(P)A(P)BA(P36/1)BA(P

6/1)B(P}{B6/1)A(P}{A

=∩=∩

======

Dado azul1 2 3 4 5 6

1 1,1 1,2 1,3 1,4 1,5 1,6Dado rojo 2 2,1 2,2 2,3 2,4 2,5 2,6

3 3,1 3,2 3,3 3,4 3,5 3,64 4,1 4,2 4,3 4,4 4,5 4,65 5,1 5,2 5,3 5,4 5,5 5,66 6,1 6,2 6,3 6,4 6,5 6,6


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Ejemplo 2 dados:

ntes.independieson eventos dos los

tantolopor ,3rojo Dado

, S

)B(P)A(P)BA(P36/3)BA(P

2/1)B(P}{B6/1)A(P}7uma{A

=∩=∩

=≤====

Dado azul1 2 3 4 5 6

1 1,1 1,2 1,3 1,4 1,5 1,6Dado rojo 2 2,1 2,2 2,3 2,4 2,5 2,6

3 3,1 3,2 3,3 3,4 3,5 3,64 4,1 4,2 4,3 4,4 4,5 4,65 5,1 5,2 5,3 5,4 5,5 5,66 6,1 6,2 6,3 6,4 6,5 6,6


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Cuando se presume que dos eventos son idependientes se puede usar la ley multiplicativa para calcular la probabilidad de su intersección.Ejemplo: Si juego en melate y revancha ¿cuál es la probabilidad de que gane?

A={gano con melate}, B={gano con revancha},D={gano}=A ∪B

P(A ∪B)= P(A)+ P(B)- P(A∩B)= P(A)+ P(B)-P(A)P(B)


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Los Eventos Ajenos NO son Independientes, al contrario!

Si A y B son eventos ajenos con P(A)>0y P(B)>0, entonces

P(A|B)=P(A ∩B)/P(B)=0/ P(B)=0‡ P(A)

Ejemplo con los dados: P(la suma sea igual a 5| dado rojo=6) = 0


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Problemas Sugeridos. Capítulo 4.

Fenómenos Aleatorios: 2, 4, 7, 12.Eventos y sus Probabilidades: 16, 17, 18.Relaciones Básicas: 23, 27, 28.Probabilidad Condicional: 30, 31, 34, 37.

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