Algebra lineal

Espacios vectoriales

Un espacio vectorial E=(V,F) Es un conjunto de elementos llamados

vectores sobre un campo F donde x+y=y+x y pertenece a V x+(y+z)=(x+y)+z Existe el vector 0, tal que 0+x=x+0=x Para cada vector x existe el –x, tal que x-

x=0

Espacios vectoriales

Cada elemento dol campo es llamado un escalar µ(x+y)= µx+µy µx= xµ (µ1+ µ2)x= µ1(x)+ µ2(y) 1x=x 1 la unidad multiplicativa del

campo

Espacios vectoriales

ejemplos

Espacios vectoriales

Teorema 0v=v0=0

0v=0v+0v-0v=(0+0)v-0v=0v-0v=0 (-1)v=-v

v+(-1)v=1v+(-1)v=(1-1)v=0v=0 Agregando –v a ambos lados se tiene el

resultado

Subespacio

Sea (V,F) un espacio, entonces (S,F) es un subespacio de (V,F) si preserva todas las características de espacio y S es un subconjunto de V

Subespacio

ejemplos

Creación de espacios

Teorema. Espacio vectorial (V,F) S subconjunto de V

Si v1,…vn están en S, entonces también 1v1+…+nvn, donde i son elementos del campo

(S,F) es un subespacio Demo en clase por los alumnos

Creación de espacios

Preguntas importantes ¿En qué condiciones dos conjuntos S1,

S2 crean el mismo espacio vectorial? ¿Cúal es la cardinalidad mínima de QS

tal que Q y S crean el mismo espacio vectorial?

¿Cúando S crea el mismo espacio que contiene a los vectores de S?

Dependencia e independencia lineal Definición. Sea S={v1,v2,...vn} un

conjunto de vectores. El vector y=1v1+2v2+...+nvn donde los coeficientes son escalares será llamada combinación lineal de S.

Dependencia e independencia lineal Definición. Sea S={v1,v2,...vn} un

conjunto de vectores. S es linealmente independiente si 1v1+2v2+...+nvn=0 tiene como única solución la trivial. De lo contrario se llamarán linealmente dependientes.

Dependencia e independencia lineal Definición. Sea S={v1,v2,...vn} un

conjunto de vectores. Si S es linealmente independiente, entonces el espacio creado por S será llamado espacio generado por S.

Dependencia e independencia lineal Sea S={v1,v2,...vn} un conjunto de

vectores. Para mostrar si es linealmente independiente se resuelve la ecuación:

[v1 v2 ... vn] =0

1

2

...

n

Dependencia e independencia lineal Entonces ya podemos aplicar Gauss

para resolver el sistema y ver su solución Si la matriz [v1 ...vn] es de rango n

entonces tiene solución única Si la matriz [v1 ... vn] es de rango

menor a n, entonces tiene más de una solución.

Dependencia e independencia lineal Ejemplos en clase

Bases, Dimensión y coordenadas Definición. Sea (V,F) un espacio

vectorial, entonces el conjunto S={v1, v2, ...vn} será una base para (V,F) si S genera (V,F). S es linealmente independiente S genera (V,F)

Bases, Dimensión y coordenadas ejemplos de bases en diferentes

espacios

Bases, Dimensión y coordenadas Notita. Si z es una C.L. (combinación

lineal) de los vectores x1,...,xr; y xi es una C.L. de los vectores y1,...,ys. Entonces z es una C.L. de los vectores y1,...,ys.

z=a1x1+...+arxr

z=a1(b11y1+...+b1sys)+...+ar(br1y1+...+brsys) Es una propiedad de transitividad

Bases, Dimensión y coordenadas Notita. Si algunos vectores x1,...,xn son

linealmente dependientes (L.D.) entonces todo el sistema x1,...,xn son L.D.

Suponer que x1,...,xk (k<n) son L.D. a1x1+...+akxk=0 con ai diferente de nulo. a1x1+...+akxk+0xk+1+...+0xn=0 es solución y el sistema es L.D.

Bases, Dimensión y coordenadas La base B={v1, ..., vn} es un

conjunto, pero tiene un orden para facilitar trabajos futuros.

Representación. Un vector v se puede reescribir en términos de una base. v=1v1+2v2+...+nvn, a donde

1

2

...

n

Es la representación del vector

Coordenadas