Espacios vectoriales diapositivas
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Algebra lineal
Espacios vectoriales
Un espacio vectorial E=(V,F) Es un conjunto de elementos llamados
vectores sobre un campo F donde x+y=y+x y pertenece a V x+(y+z)=(x+y)+z Existe el vector 0, tal que 0+x=x+0=x Para cada vector x existe el –x, tal que x-
x=0
Espacios vectoriales
Cada elemento dol campo es llamado un escalar µ(x+y)= µx+µy µx= xµ (µ1+ µ2)x= µ1(x)+ µ2(y) 1x=x 1 la unidad multiplicativa del
campo
Espacios vectoriales
ejemplos
Espacios vectoriales
Teorema 0v=v0=0
0v=0v+0v-0v=(0+0)v-0v=0v-0v=0 (-1)v=-v
v+(-1)v=1v+(-1)v=(1-1)v=0v=0 Agregando –v a ambos lados se tiene el
resultado
Subespacio
Sea (V,F) un espacio, entonces (S,F) es un subespacio de (V,F) si preserva todas las características de espacio y S es un subconjunto de V
Subespacio
ejemplos
Creación de espacios
Teorema. Espacio vectorial (V,F) S subconjunto de V
Si v1,…vn están en S, entonces también 1v1+…+nvn, donde i son elementos del campo
(S,F) es un subespacio Demo en clase por los alumnos
Creación de espacios
Preguntas importantes ¿En qué condiciones dos conjuntos S1,
S2 crean el mismo espacio vectorial? ¿Cúal es la cardinalidad mínima de QS
tal que Q y S crean el mismo espacio vectorial?
¿Cúando S crea el mismo espacio que contiene a los vectores de S?
Dependencia e independencia lineal Definición. Sea S={v1,v2,...vn} un
conjunto de vectores. El vector y=1v1+2v2+...+nvn donde los coeficientes son escalares será llamada combinación lineal de S.
Dependencia e independencia lineal Definición. Sea S={v1,v2,...vn} un
conjunto de vectores. S es linealmente independiente si 1v1+2v2+...+nvn=0 tiene como única solución la trivial. De lo contrario se llamarán linealmente dependientes.
Dependencia e independencia lineal Definición. Sea S={v1,v2,...vn} un
conjunto de vectores. Si S es linealmente independiente, entonces el espacio creado por S será llamado espacio generado por S.
Dependencia e independencia lineal Sea S={v1,v2,...vn} un conjunto de
vectores. Para mostrar si es linealmente independiente se resuelve la ecuación:
[v1 v2 ... vn] =0
1
2
...
n
Dependencia e independencia lineal Entonces ya podemos aplicar Gauss
para resolver el sistema y ver su solución Si la matriz [v1 ...vn] es de rango n
entonces tiene solución única Si la matriz [v1 ... vn] es de rango
menor a n, entonces tiene más de una solución.
Dependencia e independencia lineal Ejemplos en clase
Bases, Dimensión y coordenadas Definición. Sea (V,F) un espacio
vectorial, entonces el conjunto S={v1, v2, ...vn} será una base para (V,F) si S genera (V,F). S es linealmente independiente S genera (V,F)
Bases, Dimensión y coordenadas ejemplos de bases en diferentes
espacios
Bases, Dimensión y coordenadas Notita. Si z es una C.L. (combinación
lineal) de los vectores x1,...,xr; y xi es una C.L. de los vectores y1,...,ys. Entonces z es una C.L. de los vectores y1,...,ys.
z=a1x1+...+arxr
z=a1(b11y1+...+b1sys)+...+ar(br1y1+...+brsys) Es una propiedad de transitividad
Bases, Dimensión y coordenadas Notita. Si algunos vectores x1,...,xn son
linealmente dependientes (L.D.) entonces todo el sistema x1,...,xn son L.D.
Suponer que x1,...,xk (k<n) son L.D. a1x1+...+akxk=0 con ai diferente de nulo. a1x1+...+akxk+0xk+1+...+0xn=0 es solución y el sistema es L.D.
Bases, Dimensión y coordenadas La base B={v1, ..., vn} es un
conjunto, pero tiene un orden para facilitar trabajos futuros.
Representación. Un vector v se puede reescribir en términos de una base. v=1v1+2v2+...+nvn, a donde
1
2
...
n
Es la representación del vector
Coordenadas