Espacios vectoriales diapositivas
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Algebra lineal
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Espacios vectoriales
Un espacio vectorial E=(V,F) Es un conjunto de elementos llamados
vectores sobre un campo F donde x+y=y+x y pertenece a V x+(y+z)=(x+y)+z Existe el vector 0, tal que 0+x=x+0=x Para cada vector x existe el –x, tal que x-
x=0
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Espacios vectoriales
Cada elemento dol campo es llamado un escalar µ(x+y)= µx+µy µx= xµ (µ1+ µ2)x= µ1(x)+ µ2(y) 1x=x 1 la unidad multiplicativa del
campo
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Espacios vectoriales
ejemplos
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Espacios vectoriales
Teorema 0v=v0=0
0v=0v+0v-0v=(0+0)v-0v=0v-0v=0 (-1)v=-v
v+(-1)v=1v+(-1)v=(1-1)v=0v=0 Agregando –v a ambos lados se tiene el
resultado
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Subespacio
Sea (V,F) un espacio, entonces (S,F) es un subespacio de (V,F) si preserva todas las características de espacio y S es un subconjunto de V
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Subespacio
ejemplos
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Creación de espacios
Teorema. Espacio vectorial (V,F) S subconjunto de V
Si v1,…vn están en S, entonces también 1v1+…+nvn, donde i son elementos del campo
(S,F) es un subespacio Demo en clase por los alumnos
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Creación de espacios
Preguntas importantes ¿En qué condiciones dos conjuntos S1,
S2 crean el mismo espacio vectorial? ¿Cúal es la cardinalidad mínima de QS
tal que Q y S crean el mismo espacio vectorial?
¿Cúando S crea el mismo espacio que contiene a los vectores de S?
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Dependencia e independencia lineal Definición. Sea S={v1,v2,...vn} un
conjunto de vectores. El vector y=1v1+2v2+...+nvn donde los coeficientes son escalares será llamada combinación lineal de S.
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Dependencia e independencia lineal Definición. Sea S={v1,v2,...vn} un
conjunto de vectores. S es linealmente independiente si 1v1+2v2+...+nvn=0 tiene como única solución la trivial. De lo contrario se llamarán linealmente dependientes.
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Dependencia e independencia lineal Definición. Sea S={v1,v2,...vn} un
conjunto de vectores. Si S es linealmente independiente, entonces el espacio creado por S será llamado espacio generado por S.
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Dependencia e independencia lineal Sea S={v1,v2,...vn} un conjunto de
vectores. Para mostrar si es linealmente independiente se resuelve la ecuación:
[v1 v2 ... vn] =0
1
2
...
n
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Dependencia e independencia lineal Entonces ya podemos aplicar Gauss
para resolver el sistema y ver su solución Si la matriz [v1 ...vn] es de rango n
entonces tiene solución única Si la matriz [v1 ... vn] es de rango
menor a n, entonces tiene más de una solución.
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Dependencia e independencia lineal Ejemplos en clase
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Bases, Dimensión y coordenadas Definición. Sea (V,F) un espacio
vectorial, entonces el conjunto S={v1, v2, ...vn} será una base para (V,F) si S genera (V,F). S es linealmente independiente S genera (V,F)
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Bases, Dimensión y coordenadas ejemplos de bases en diferentes
espacios
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Bases, Dimensión y coordenadas Notita. Si z es una C.L. (combinación
lineal) de los vectores x1,...,xr; y xi es una C.L. de los vectores y1,...,ys. Entonces z es una C.L. de los vectores y1,...,ys.
z=a1x1+...+arxr
z=a1(b11y1+...+b1sys)+...+ar(br1y1+...+brsys) Es una propiedad de transitividad
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Bases, Dimensión y coordenadas Notita. Si algunos vectores x1,...,xn son
linealmente dependientes (L.D.) entonces todo el sistema x1,...,xn son L.D.
Suponer que x1,...,xk (k<n) son L.D. a1x1+...+akxk=0 con ai diferente de nulo. a1x1+...+akxk+0xk+1+...+0xn=0 es solución y el sistema es L.D.
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Bases, Dimensión y coordenadas La base B={v1, ..., vn} es un
conjunto, pero tiene un orden para facilitar trabajos futuros.
Representación. Un vector v se puede reescribir en términos de una base. v=1v1+2v2+...+nvn, a donde
1
2
...
n
Es la representación del vector
Coordenadas