Espacios vectoriales diapositivas

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Algebra lineal

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Algebra lineal

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Espacios vectoriales

Un espacio vectorial E=(V,F) Es un conjunto de elementos llamados

vectores sobre un campo F donde x+y=y+x y pertenece a V x+(y+z)=(x+y)+z Existe el vector 0, tal que 0+x=x+0=x Para cada vector x existe el –x, tal que x-

x=0

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Espacios vectoriales

Cada elemento dol campo es llamado un escalar µ(x+y)= µx+µy µx= xµ (µ1+ µ2)x= µ1(x)+ µ2(y) 1x=x 1 la unidad multiplicativa del

campo

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Espacios vectoriales

ejemplos

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Espacios vectoriales

Teorema 0v=v0=0

0v=0v+0v-0v=(0+0)v-0v=0v-0v=0 (-1)v=-v

v+(-1)v=1v+(-1)v=(1-1)v=0v=0 Agregando –v a ambos lados se tiene el

resultado

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Subespacio

Sea (V,F) un espacio, entonces (S,F) es un subespacio de (V,F) si preserva todas las características de espacio y S es un subconjunto de V

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Subespacio

ejemplos

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Creación de espacios

Teorema. Espacio vectorial (V,F) S subconjunto de V

Si v1,…vn están en S, entonces también 1v1+…+nvn, donde i son elementos del campo

(S,F) es un subespacio Demo en clase por los alumnos

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Creación de espacios

Preguntas importantes ¿En qué condiciones dos conjuntos S1,

S2 crean el mismo espacio vectorial? ¿Cúal es la cardinalidad mínima de QS

tal que Q y S crean el mismo espacio vectorial?

¿Cúando S crea el mismo espacio que contiene a los vectores de S?

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Dependencia e independencia lineal Definición. Sea S={v1,v2,...vn} un

conjunto de vectores. El vector y=1v1+2v2+...+nvn donde los coeficientes son escalares será llamada combinación lineal de S.

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Dependencia e independencia lineal Definición. Sea S={v1,v2,...vn} un

conjunto de vectores. S es linealmente independiente si 1v1+2v2+...+nvn=0 tiene como única solución la trivial. De lo contrario se llamarán linealmente dependientes.

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Dependencia e independencia lineal Definición. Sea S={v1,v2,...vn} un

conjunto de vectores. Si S es linealmente independiente, entonces el espacio creado por S será llamado espacio generado por S.

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Dependencia e independencia lineal Sea S={v1,v2,...vn} un conjunto de

vectores. Para mostrar si es linealmente independiente se resuelve la ecuación:

[v1 v2 ... vn] =0

1

2

...

n

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Dependencia e independencia lineal Entonces ya podemos aplicar Gauss

para resolver el sistema y ver su solución Si la matriz [v1 ...vn] es de rango n

entonces tiene solución única Si la matriz [v1 ... vn] es de rango

menor a n, entonces tiene más de una solución.

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Dependencia e independencia lineal Ejemplos en clase

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Bases, Dimensión y coordenadas Definición. Sea (V,F) un espacio

vectorial, entonces el conjunto S={v1, v2, ...vn} será una base para (V,F) si S genera (V,F). S es linealmente independiente S genera (V,F)

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Bases, Dimensión y coordenadas ejemplos de bases en diferentes

espacios

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Bases, Dimensión y coordenadas Notita. Si z es una C.L. (combinación

lineal) de los vectores x1,...,xr; y xi es una C.L. de los vectores y1,...,ys. Entonces z es una C.L. de los vectores y1,...,ys.

z=a1x1+...+arxr

z=a1(b11y1+...+b1sys)+...+ar(br1y1+...+brsys) Es una propiedad de transitividad

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Bases, Dimensión y coordenadas Notita. Si algunos vectores x1,...,xn son

linealmente dependientes (L.D.) entonces todo el sistema x1,...,xn son L.D.

Suponer que x1,...,xk (k<n) son L.D. a1x1+...+akxk=0 con ai diferente de nulo. a1x1+...+akxk+0xk+1+...+0xn=0 es solución y el sistema es L.D.

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Bases, Dimensión y coordenadas La base B={v1, ..., vn} es un

conjunto, pero tiene un orden para facilitar trabajos futuros.

Representación. Un vector v se puede reescribir en términos de una base. v=1v1+2v2+...+nvn, a donde

1

2

...

n

Es la representación del vector

Coordenadas