ECUACIONES DIFERENCIALES EXACTAS

Esp. Maestrante. Daniel Sáenz C

Sea una función continua para la cual existen sus derivadas parciales, la expresión

Se denomina la diferencial total

 

DIFERENCIAL TOTAL

ESP. MAESTRANTE. DANIEL SAENZ C. 2

Encuentre la diferencial total de

Buscamos las derivadas parciales

Como la diferencial total es

 

Ejemplo 1.

ESP. MAESTRANTE. DANIEL SAENZ C. 3

Reemplazando se tiene

 

Ejemplo 1.

ESP. MAESTRANTE. DANIEL SAENZ C. 4

Encuentre la diferencial total de

Buscamos las derivadas parciales

Remplazando en la diferencial total

 

Ejemplo 2.

ESP. MAESTRANTE. DANIEL SAENZ C. 5

Encuentre la diferencial total de

 

Ejemplo 3.

ESP. MAESTRANTE. DANIEL SAENZ C. 6

ESP. MAESTRANTE. DANIEL SAENZ C. 7

Si la función es constante, ,la diferencial total es igual a cero  

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Una ecuación diferencial de la forma

Se denomina EXACTA , si es la diferencial total de una función constante. Es decir si

 

Definición

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Por el teorema de las segundas derivadas parciales tenemos que las derivadas cruzadas

son iguales, es decir

 

Criterio para verificar si una E.D es EXACTA

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Como

Entonces

 

ESP. MAESTRANTE. DANIEL SAENZ C. 11

Con lo que se tiene  

ESP. MAESTRANTE. DANIEL SAENZ C. 12

Verificar si la ecuación diferencial dada es exacta.  

Ejemplo

   

   

  

ESP. MAESTRANTE. DANIEL SAENZ C. 13

Verificar si la ecuación diferencial dada es exacta.  

Ejemplo

   

   

  

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Diga cuales de las siguientes ecuaciones diferenciales son exactas

ACTIVIDAD

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0)12(2 22 dyeyxdxyexy xx

0)2(23 322 dyyLnxySenxdxxyxCosxy

0)(2 2 dyxSecyxdxTanyxy

Sea la ecuación diferencial EXACTA

Para encontrar la solución, se tienen en cuenta lo siguiente.1. Hacemos

 

SOLUCION DE LA ECUACION DIFERENCIAL EXACTA

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2. Integramos con respecto a x, tomando la constante de integración como una función de y (g(y) )

 

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3. El resultado de la integral lo derivamos con respecto a y, e igualamos a la función

4. Simplificamos e integramos con respecto a y, para determinar la función .

5. Hacemos la función , y reemplazamos la función en el resultado de la primer integral, para obtener la solución

 

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Solucionar la ecuación diferencial exacta

1. Hacemos

 

Ejemplo

  N 

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2. Integramos con respecto a x.

3. El resultado anterior lo derivamos con respecto a y e igualamos a N(x,y)

 

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Simplificando

Integrando con respecto a y

La solución es:

 

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1. Hacemos

2. Integramos con respecto a x.

 

SOLUCIONAR

ESP. MAESTRANTE. DANIEL SAENZ C. 22

0)12(2 22 dyeyxdxyexy xx

3. Derivamos con respecto a y

4. Integrando con respecto a y

 

ESP. MAESTRANTE. DANIEL SAENZ C. 23

La solución es

 

ESP. MAESTRANTE. DANIEL SAENZ C. 24

Encontrar la solución de las siguientes ecuaciones diferenciales exactas

 

ACTIVIDAD

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Buscar parejas de diferenciales que sean la diferencial de un termino

Ejemplo solucionar

Eliminamos signos de agrupación

Otra forma de solución es

 

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Agrupamos el primer con el tercer termino, y el segundo con el cuarto

 

Se derivó con respecto a x, la contante es

  Se derivó con respecto a y, la contante es

 Se derivó con respecto a x, la contante es

  Se derivó con respecto a x, la contante es

 

Se derivó una

constante

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Con los términos constantes de cada diferencial, se forma el termino que buscamos al cual se le calculo el diferencial total

 

  =   

 

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Solucionar

 

 

 

 

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