ECUACIONES DIFERENCIALES EXACTAS

ECUACIONES DIFERENCIALES EXACTAS

Esp. Maestrante. Daniel Sáenz C

Sea una función continua para la cual existen sus derivadas parciales, la expresión

Se denomina la diferencial total

DIFERENCIAL TOTAL

ESP. MAESTRANTE. DANIEL SAENZ C. 2

Encuentre la diferencial total de

Buscamos las derivadas parciales

Como la diferencial total es

Ejemplo 1.


Reemplazando se tiene

Ejemplo 1.



Buscamos las derivadas parciales

Remplazando en la diferencial total

Ejemplo 2.



Ejemplo 3.


Si la función es constante, ,la diferencial total es igual a cero


Una ecuación diferencial de la forma

Se denomina EXACTA , si es la diferencial total de una función constante. Es decir si

Definición


Por el teorema de las segundas derivadas parciales tenemos que las derivadas cruzadas

son iguales, es decir

Criterio para verificar si una E.D es EXACTA


Como

Entonces


Con lo que se tiene


Verificar si la ecuación diferencial dada es exacta.

Ejemplo


Diga cuales de las siguientes ecuaciones diferenciales son exactas

ACTIVIDAD


0)12(2 22 dyeyxdxyexy xx

0)2(23 322 dyyLnxySenxdxxyxCosxy

0)(2 2 dyxSecyxdxTanyxy

Sea la ecuación diferencial EXACTA

Para encontrar la solución, se tienen en cuenta lo siguiente.1. Hacemos

SOLUCION DE LA ECUACION DIFERENCIAL EXACTA


2. Integramos con respecto a x, tomando la constante de integración como una función de y (g(y) )


3. El resultado de la integral lo derivamos con respecto a y, e igualamos a la función

4. Simplificamos e integramos con respecto a y, para determinar la función .

5. Hacemos la función , y reemplazamos la función en el resultado de la primer integral, para obtener la solución


Solucionar la ecuación diferencial exacta

1. Hacemos

Ejemplo

N


2. Integramos con respecto a x.

3. El resultado anterior lo derivamos con respecto a y e igualamos a N(x,y)


Simplificando

Integrando con respecto a y

La solución es:


1. Hacemos

2. Integramos con respecto a x.

SOLUCIONAR


0)12(2 22 dyeyxdxyexy xx

3. Derivamos con respecto a y

4. Integrando con respecto a y


La solución es


Encontrar la solución de las siguientes ecuaciones diferenciales exactas

ACTIVIDAD


Buscar parejas de diferenciales que sean la diferencial de un termino

Ejemplo solucionar

Eliminamos signos de agrupación

Otra forma de solución es


Agrupamos el primer con el tercer termino, y el segundo con el cuarto

Se derivó con respecto a x, la contante es

Se derivó con respecto a y, la contante es



Se derivó una

constante


Con los términos constantes de cada diferencial, se forma el termino que buscamos al cual se le calculo el diferencial total

=


Solucionar


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