ESPOLblog.espol.edu.ec/.../05/folletodeecuacionesdiferenciales1erparcial... · mÉtodo del factor...

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ECUACIONES DIFERENCIALES SEPARABLES MÉTODO DEL FACTOR INTEGRANTE ECUACIONES DIFERENCIALES DE BERNOULLI ECUACIONES DIFERENCIALES EXACTAS ECUACIONES DIFERENCIALES EXACTAS CON FACTOR INTEGRANTE ECUACIONES DIFERENCIALES HOMOGÉNEAS ECUACIONES DIFERENCIALES DE COEFICIENTES LINEALES APLICACIONES CON ECUACIONES DIFERENCIALES DE 1ER ORDEN ECUACIONES DIFERENCIALES DE ORDEN SUPERIOR RESOLUCIÓN DE ECUACIONES DIFERENCIALES POR SERIES DE POTENCIA ESPOL ECUACIONES DIFERENCIALES (1ER PARCIAL) [ ERICK CONDE]
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    04-Jun-2018
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  • ECUACIONES DIFERENCIALES SEPARABLES

    MTODO DEL FACTOR INTEGRANTE

    ECUACIONES DIFERENCIALES DE BERNOULLI

    ECUACIONES DIFERENCIALES EXACTAS

    ECUACIONES DIFERENCIALES EXACTAS CON FACTOR

    INTEGRANTE

    ECUACIONES DIFERENCIALES HOMOGNEAS

    ECUACIONES DIFERENCIALES DE COEFICIENTES LINEALES

    APLICACIONES CON ECUACIONES DIFERENCIALES DE 1ER

    ORDEN

    ECUACIONES DIFERENCIALES DE ORDEN SUPERIOR

    RESOLUCIN DE ECUACIONES DIFERENCIALES POR SERIES DE

    POTENCIA

    ESPOL

    ECUACIONES DIFERENCIALES (1ER PARCIAL)

    [ ERICK CONDE]

  • Ecuaciones Diferenciales

    ERICK CONDE Pgina 2

    ECUACIONES DIFERENCIALES SEPARABLES

    ) + + =

    2 + 4 2 + 3 + 3 = 0

    2 + 4 + 3 1 = 0

    2 + 4 = + 3 1

    2

    + 3 =

    1

    + 4

    2

    + 3 =

    1

    + 4

    2 + 5 5

    + 3 =

    1 + 5 5

    + 4

    + 3

    + 3

    5

    + 3 =

    + 4

    + 4

    5

    + 4

    + = + +

    )

    = + +

    = 1 +

    1

    + 2

    =

    = 1

    1

    = 1 +

    1

    + 2

    = + 2

    1

    + 2

    =

    + 2 2 1

    + 2

    =

    2 + 4 + 4 1

    + 2

    =

    2 + 4 + 3

    + 2

    =

    + 3 ( + 1)

    ( + 2)

    ( + 2)

    + 3 ( + 1) =

    ( + 2)

    + 3 ( + 1)=

    + 3 +

    ( + 1)

    + 2 = + 1 + + 3 + 2 = + + + 3

    1 = +

    2 = + 3

    Resolviendo el sistema A = , B =

    + 3+

    + 1 = + 3 + + 1 = +

    + +

    + = +

  • Ecuaciones Diferenciales

    ERICK CONDE Pgina 3

    )

    + =

    =

    =

    =

    (1 )

    1 =

    1 = 1 +

    1

    1 =

    =

    +

    4) ( + ) + =

    = +

    = 1 +

    1 + 1 =

    1

    =

    1

    = 1

    1 = 1 1 =

    1 = 2

    2 = +

    ( + )

    + = +

    )

    =

    +

    + +

    =

    2 + 3 1

    2 2 + 3 + 3

    = 2 + 3

    = 2 + 3

    1

    3

    2 =

    1

    2 + 3

    2 =

    3 1

    2 + 3

    =

    3 3 + 4 + 6

    2 + 3

    =

    7 + 3

    2 + 3

  • Ecuaciones Diferenciales

    ERICK CONDE Pgina 4

    2 + 3

    7 + 3 =

    2 + 3

    7 + 3 =

    2

    7 + 3 + 3

    7 + 3=

    = 7 + 3 = 3

    7

    = 7 =

    7

    2 3

    49 + 3

    7=

    2

    49 3 +

    3

    7 = +

    2

    49 7 + 3 3 7 + 3 +

    3

    7 7 + 3 = +

    ( + ) + ( + ) + +

    ( + ) + = +

    )

    =

    ; =

    Para este ejercicio lo mejor es invertir la ecuacin

    =

    1 22

    3

    =

    1

    3

    2

    +

    2

    =

    1

    3 ; + = ()

    = =

    2

    = 2

    = 2

    2

    + 2 =

    1

    2 =

    1

    2 =

    1

    2 = 1

    2 = + 0 1 2 = 1 + = 0

    =

  • Ecuaciones Diferenciales

    ERICK CONDE Pgina 5

    MTODO DEL FACTOR INTEGRANTE

    1) + =

    = 2

    =

    2

    +

    =

    = = 1

    =

    =

    +

    =

    =

    =

    1

    = 1

    = 1

    = +

    = +

    2) +

    = ()

    = = 1 =

    =

    + = 3 (2)

    = 3 2 = 3 (2)

    = 3 (2)

    = =

    = 2 =(2)

    2

    =3

    2 (2)

    3

    2 (2) =

    () +

    +

  • Ecuaciones Diferenciales

    ERICK CONDE Pgina 6

    ) +

    + =

    +

    33

    2 + 1=

    6 322

    2 + 1

    = =

    33

    2+1

    = 3

    2+1

    = 3

    2

    2

    12 2+1

    = 32

    2 2 + 1 3

    2

    322

    2 + 1 3

    2

    +

    32

    2

    2 + 1 3

    2

    33

    2 + 1=

    32

    2

    2 + 1 3

    2

    6 322

    2 + 1

    32

    2

    2 + 1 3

    2 =

    6

    2 + 1 5

    2

    32

    2

    2 + 1 3

    2 =

    6

    2 + 1 5

    2

    322

    2 + 1 3

    2 =

    6

    2 + 1 5

    2

    = 2 + 1 = 2

    322

    2 + 1 3

    2 =

    3

    5

    2

    +

    =

    +

    +

    )

    = ( + )

    = +

    = 1 +

    1 =

    = + 1

    + 1=

    + 1=

    21 + 2

    21 + 2

    + 1=

    2

    2 + 2 + 1 =

    2

    + 1 2 =

    2

    + 1= +

    2

    2 + 1

    = +

    +

    +

    = +

  • Ecuaciones Diferenciales

    ERICK CONDE Pgina 7

    ) + = ; ; > 1

    ; =

    0 1

    + 2 = 1

    = = 2 = 2

    2 + 2 2 = 2

    2 = 2 2 = 2

    2 = 2 2 =2

    2+ 0 2 0 =

    2 0

    2+ =

    1

    2

    =1

    2

    1

    22

    > 1

    + 2 = 0

    2 + 2 2 = 0

    2 = 0 2 = 0

    2 = 0 2 =

    = 2

    =

    1

    2

    1

    22 ; 0 1

    2 ; > 1

    lim1+

    2 = lim1

    1

    2

    1

    22

    2 =1

    2

    1

    22 =

    1

    22

    1

    2

    =

    ;

    ; > 1

  • Ecuaciones Diferenciales

    ERICK CONDE Pgina 8

    ECUACIONES DIFERENCIALES DE BERNOULLI

    1) + ( ) =

    3 2 = 22

    =

    22

    3 2

    =

    3 2

    22

    =

    2

    22

    3

    2

    +

    3

    2 =

    1

    222

    1

    2

    +

    3

    2

    2=

    1

    22

    1

    2

    +

    3

    21 =

    1

    22

    = 1

    =

    1

    2

    1

    2

    =

    3

    2 =

    1

    22

    = =

    32

    =

    32

    = 3

    2

    32

    32

    3

    2 =

    32

    1

    22

    32 =

    1

    2

    72

    32 =

    1

    2

    72

    32 =

    1

    2

    2

    5

    52 +

    32 1 =

    1

    2

    2

    5

    52 +

    =

    +

  • Ecuaciones Diferenciales

    ERICK CONDE Pgina 9

    ) +

    =

    1

    3 +

    1

    3= 3

    1

    3 +

    1

    2 = 3

    = 2

    = 2

    1

    3

    1

    3

    =

    1

    2

    1

    2

    +

    1

    = 3

    2

    = 23

    = = 2 = 2

    = 2

    2

    2

    2

    = 23 2

    2 = 2

    2 = 2 2 = 2 +

    =

    )

    =

    1

    3

    5

    3=

    5

    2

    1

    3

    5

    2=

    5

    2

    = 2

    = 2

    1

    3

    1

    3

    =

    1

    2

    1

    2

    5 =

    5

    2

    + 10 = 5

    = = 10 = 10

    10

    + 10 10 = 510

    10 = 510

    10 = 510

    = =

    = 10 =10

    10

    10 = 5 10

    10

    1

    10 10 10 =

    10

    2

    10

    20+ =

    +

  • Ecuaciones Diferenciales

    ERICK CONDE Pgina 10

    ) + + =

    = + 3 1 +

    =

    + 3 1 +

    = 3 1 +

    1

    3

    1

    2= 1 +

    = 2

    = 2

    1

    3

    1

    3

    =

    1

    2

    1

    2

    = 1 +

    +

    2

    = 2 1 +

    = = 2 = 2

    = 2

    2

    + 2

    2

    = 2 2 1 +

    2 = 22 1 +

    2 = 2 2 + 2

    = =

    = 2 =3

    3

    2 = 2 3

    3+

    3

    3

    1

    3 2 2 =

    2

    33

    2

    33 +

    1

    93 +

    =

    +

  • Ecuaciones Diferenciales

    ERICK CONDE Pgina 11

    ECUACIONES DIFERENCIALES EXACTAS

    1) ( ) + ( ) =

    = 2

    = 2

    = 42 2 ;

    = 5 2

    = (42 2)

    = 4

    33 2 + ()

    4

    33 2 + () = 5 2 2 + = 5 2

    = 5 = 5

    = 5

    22 +

    +

    + =

    2) ( ) + ( ) + =

    = 32 2( 1)

    = 32 2( 1)

    = 2 1 3 ;

    = 3( 1)22 + 2

    = 3( 1)22 + 2

    = ( 1)23 + 2 + ()

    ( 1)23 + 2 + () = 2 1 3 2 1 3 + = 2( 1)3

    = 0 =

    ( ) + + =

  • Ecuaciones Diferenciales

    ERICK CONDE Pgina 12

    3) ( + ) + =

    =

    =

    = 2 + ;

    =

    =

    =

    = =

    =

    = + ()

    + () = 2 + + = 2 +

    = 2 = 2

    = 2 +

    + + =

    4)

    + +

    +

    + =

    = 43

    1

    + ()

    = 43

    1

    + + 1 1

    = 43 + ()

    = 43 + ()

    = 43

    + + 4

    3 ;

    = 4

    +

    = 4

    +

    = 4

    +

  • Ecuaciones Diferenciales

    ERICK CONDE Pgina 13

    =

    1

    ()

    !

    +

    =0

    =

    ()()1

    !

    +

    =0

    =

    1

    +

    ()()1

    !

    +

    =1

    = +

    ()()

    ()!

    +

    =1

    = 4 ()()

    ()!

    +

    =1

    + + ()

    4

    ()()

    ()!

    +

    =1

    + + () = 43

    + + 4

    3

    43 ()1()

    ()!

    +

    =1

    + + 1 + = 43

    + + 4

    3

    43 ()1()

    !

    +

    =1

    + + + = 43

    + + 4

    3

    43

    + + = 43

    + + 4

    3

    = 43

    = 43

    = 4 = + 4

    =

    = ( + 4)13 = (

    43 + 4

    13)

    =3

    7

    73 + 3

    43 + =

    3

    7( 4)

    73 + 3( 4)

    43 +

    ()()

    ()!

    +

    =

    + +

    ( )

    + ( )

    + =

  • Ecuaciones Diferenciales

    ERICK CONDE Pgina 14

    ECUACIONES DIFERENCIALES EXACTAS CON FACTOR INTEGRANTE

    1) + =

    42 + 32 1

    = 0 42 + 32 1 = 0

    = 8

    = 6

    =

    6 8

    42

    =

    2

    42

    =

    2

    = 12 =

    12 =

    12

    42 12 + 32 1

    12 = 0

    432 + 32

    12

    12 = 0

    = 4

    3

    2

    1

    2

    = 6

    1

    2

    = 6

    1

    2

    = 6

    1

    2

    = 4

    32 ;

    = 32

    12

    12

    = 432

    = 2232 + ()

    22

    32 + () = 32

    12

    12 22

    3

    2

    12 + = 32

    12

    12

    312 + = 32

    12

    12

    = 12 =

    12

    = 1

    2

    12 +

    + =

  • Ecuaciones Diferenciales

    ERICK CONDE Pgina 15

    ) + + () + =

    = ()

    = 0

    = ()()

    = =

    + + () + = 0

    = ()

    = ()

    = + + () ;

    =

    =

    = + ()

    + () = + + () + = + + ()

    = + = +

    = = ; = =

    = =

    = = ; = = ()

    = + ()

    = = ; = = ()

    = + () =

    2

    = +

    2 +

    + +

    + =

  • Ecuaciones Diferenciales

    ERICK CONDE Pgina 16

    ) + =

    = 1

    = 2

    =

    21

    = 2 = 21

    21 + 21 2 2 = 0

    = 2(2)

    = 22

    = 2 ;

    = 22 1

    = 2

    = 2 + ()

    2 + () = 22 1 22 + () = 22 1

    = 1 = +

    + =

  • Ecuaciones Diferenciales

    ERICK CONDE Pgina 17

    ECUACIONES DIFERENCIALES HOMOGNEAS

    ) =

    = 0

    =

    =

    =

    =

    = +

    ln = +

    ln =

    =

    (ln 1)

    =

    (ln 1)

    + =

    )

    =

    + +

    =

    2

    +

    2 + 2

    =

    +

    2

    + 1

    =

    =

    = +

    +

    = +

    1

    2+ 1

    = +

    1

    2+ 1

    =

    1 + 2

    2

    1 + 2 =

    1 + 2 =

    = 1 + 2 = 2

    1

    2

    =

    = + 1 + 2 = +

    +

    = +

  • Ecuaciones Diferenciales

    ERICK CONDE Pgina 18

    )

    =

    + +

    + + +

    =

    2

    2+ 3

    + 6

    1 2

    2+ 6

    + 13

    +

    =

    2+ 3

    + 6

    1

    2+ 6

    + 13

    +

    =

    =

    = +

    +

    =

    2 + 3 + 6

    1 2 + 6 + 13 +

    =

    2 + 3 + 6

    1 2 + 6 + 13

    1 2 + 6 + 13

    2 + 3 + 6 =

    3 + 52 + 7 13

    2 + 3 + 6 =

    3 + 52 + 7 13

    2 + 3 + 6 =

    Resolviendo la divisin entre polinomios de la 1era integral, nos queda lo siguiente:

    + 2 5 + 25

    2 + 3 + 6 =

    5 + 25

    2 + 3 + 6=

    2 + 3 +

    2 + 3 + 6

    5 + 25 = 2 + 3 +

    5 = 2

    25 = 3 +

    Resolviendo el sistema A = 5/2, B = 35/2

    + 2 2 + 3

    2 + 3 + 6+

    2 + 3 + 6 =

    + 2 2 + 3

    2 + 3 + 6+

    2 + 3 +94 + 6

    94

    =

    + 2 2 + 3

    2 + 3 + 6+

    +32

    2

    +154

    =

    2

    2

    5

    2 2 + 3 + 6 +

    35

    2

    2

    15

    2 +32

    15

    = +

    +

    +

    +

    = +

  • Ecuaciones Diferenciales

    ERICK CONDE Pgina 19

    ) =

    =

    22

    32

    2

    2

    2

    =2

    3

    2

    =

    =

    = +

    +

    =

    2

    3 2

    =

    2

    3 2

    =

    2 3 + 3

    3 2

    3 2

    3 =

    3 2

    (2 1) =

    3 2

    (2 1)=

    +

    2 +

    (2 1)

    3 2 = (2 1) + (22) +

    3 2 = + 2 2 +

    3=

    1 = + 2

    = 0

    Resolviendo el sistema A = -3, B = , C = 0

    +

    2

    2 1 +

    2 1 =

    3 + 2 1 = +

    +

    = +

  • Ecuaciones Diferenciales

    ERICK CONDE Pgina 20

    ECUACIONES DIFERENCIALES DE COEFICIENTES LINEALES

    )

    =

    +

    = + = ; = + =

    =

    2 + + + 5

    2 + + 4=

    2 + 2 + 5

    2 + 2 4

    =

    2 + 2 + 5

    2 + 2 4

    2 + 5 = 02 4 = 0

    ; = 1 , = 2

    =

    2

    2

    =

    2 1

    2

    =

    =

    = +

    +

    =

    2 1

    2

    =

    2 1 2 + 2

    2

    =

    2 1

    2

    2

    + 1 ( 1) =

    2

    + 1 ( 1) =

    2

    + 1 1 =

    + 1+

    1

    2 = 1 + + 1 2 = + +

    1 = +

    2 =

    Resolviendo el sistema A = -3/2, B =

    + 1+

    1 =

    + 1 + 1 = +

    3

    2

    + 1 +

    1

    2

    1 = +

    3

    2

    + 1 +

    1

    2

    1 = +

    +

    + +

    +

    = +

  • Ecuaciones Diferenciales

    ERICK CONDE Pgina 21

    ) + + + + + =

    =

    3 6

    + + 2

    = + = ; = + =

    =

    3 + + 6

    + + + + 2=

    3 + 3 6

    + + + + 2

    =

    3 + 3 6

    + + + + 2

    3 6 = 0 + + 2 = 0

    ; = 1 , = 3

    =

    3

    +

    =

    3

    1 +

    =

    =

    = +

    +

    =

    3

    1 +

    =

    3 2

    1 +

    =

    (2 + 2 3)

    1 +

    + 1

    + 3 ( 1) =

    + 1

    + 3 ( 1) =

    + 1

    + 3 ( 1)=

    + 3+

    1

    + 1 = 1 + + 3 + 1 = + + 3

    1 = +

    1 = 3

    Resolviendo el sistema A = , B =

    + 3+

    1 =

    + 3 1 = +

    1

    2

    + 3

    1

    2

    1 = +

    1

    2

    + 3

    1

    2

    1 = +

    +

    +

    +

    = +

  • Ecuaciones Diferenciales

    ERICK CONDE Pgina 22

    )

    =

    + +

    + +

    = + = ; = + =

    =

    4 + + 3 + + 5

    2 + + + + 7=

    4 + + 3 + 3 + 5

    2 + 2 + + + 7

    =

    4 + 3 + 4 + 3 + 5

    2 + + 2 + + 7

    4 + 3 + 5 = 02 + + 7 = 0

    ; = 8 , = 9

    =

    4 + 3

    2 +

    =

    4 + 3

    2 +

    =

    =

    = +

    +

    =

    4 + 3

    2 +

    =

    4 + 3 2 2

    2 +

    =

    2 + 4

    2 +

    2 +

    2 + 4 =

    2 +

    2 + 4 =

    2 +

    2 + 4=

    2 1 +

    2 + 4

    2 + = 2 + ( )

    1 = 2

    1 =

    Resolviendo el sistema A = , B = 5/2

    2 1

    2 + 4+

    2 +14 + 4

    14

    =

    2 1

    2 + 4+

    12

    2

    174

    =

    1

    2 2 + 4 +

    5

    2

    1

    12

    2

    174

    = +

  • Ecuaciones Diferenciales

    ERICK CONDE Pgina 23

    1

    12

    2

    174

    = 1

    2 =

    1

    2 174

    ; =17

    4

    1

    2

    +

    1

    + =

    + +

    1 = + + 1 = + +

    Resolviendo el sistema = 1

    2 , =

    1

    2

    + +

    + +

    1

    2 + +

    1

    2

    1

    17

    1

    2+

    2

    17 +

    1

    17

    1

    2

    2

    17

    Retornando a la ecuacin

    1

    2 2 + 4 +

    5

    2

    1

    17

    1

    2+

    2

    17 +

    1

    17

    1

    2

    2

    17 = +

    1

    2

    2

    + 4 +

    5

    2

    1

    17

    1

    2+

    2

    17 +

    1

    17

    1

    2

    2

    17 = +

    1

    2

    2

    + 4 +

    5

    2 17

    1

    2

    2

    17

    1

    2+

    2

    17 = +

    +

    +

    + + +

    +

    +

    +

    = + +

  • Ecuaciones Diferenciales

    ERICK CONDE Pgina 24

    APLICACIONES

    LEY DE ENFRIAMIENTO DE NEWTON

    1) Un asado de 4 libras inicialmente a 50F se coloca en un horno a 375F a las 5 P.M despus de

    75 minutos se observa que la temperatura del asado es 125F Cundo estar el asado a 150F?

    = ;

    = 375

    375 = 375 = +

    No tomamos en cuenta el valor absoluto, debido a que la temperatura del asado nunca superar la temperatura del

    horno, por lo tanto siempre ser un valor positivo

    375 = 375 =

    375 =

    = 375 ; ""

    Segn las condiciones que nos da el problema para:

    0 = 50 11

    4 = 125

    Reemplazando nuestra primera condicin:

    50 = 375 (0) 50 = 375 0 = 325

    Reemplazando la segunda condicin:

    125 = 375 325 5

    4 5

    4 =375 125

    325 =

    250

    325

    45

    Entonces reemplazando todas las constantes en nuestra ecuacin, nos queda:

    = 375 = 375 325 250

    325

    45

    Como el problema nos pide el tiempo en que el asado estar a 150F, solo nos queda reemplazar, es decir T(t) = 150F

    150 = 375 325 250

    325

    45

    250

    325

    45

    =375 150

    325

    250

    325

    45

    = 9

    13 =

    9

    13

    250325

    45

    .

  • Ecuaciones Diferenciales

    ERICK CONDE Pgina 25

    2) Justo antes del medioda se encuentra el cuerpo de una vctima de un presunto homicidio

    dentro de un cuarto que se conserva a una temperatura constante de 70F. A las 12 del da la

    temperatura del cuerpo es de 80F y a la 1 P.M es de 75F. Considere que la temperatura del

    cuerpo al morir es de 98.6F y que este se ha enfriado de acuerdo con la ley de enfriamiento de

    Newton. Determine la hora del homicidio.

    =

    = = +

    = =

    =

    El problema nos dice que el cuerpo est en un cuarto donde existe una temperatura constante, entonces A = 70

    = 70

    Si consideramos las 12 del da como t = 0, entonces T(0) = 80

    80 = 70 (0) 80 = 70 = 10

    Despus, nos dice que transcurrido una hora la temperatura del cuerpo es de 75F, entonces T(1) = 75

    75 = 70 + 10 =1

    2

    Reemplazando todas estas constantes en nuestra ecuacin:

    = 70 + 10 1

    2

    La ltima condicin, nos dice que la temperatura del cuerpo al morir es de 98.6F, es decir T(t) = 98.6

    98.6 = 70 + 10 1

    2

    1

    2

    = 2.86 1

    2

    = 2.86 = 2.86

    0.5

    1.5

    Pero la hora del asesinato sera 12 1.5 horas, es decir la hora del asesinato fue aproximadamente a las 10 y 30

  • Ecuaciones Diferenciales

    ERICK CONDE Pgina 26

    PROBLEMAS DE MEZCLAS

    1) Un tanque contiene originalmente 400 lit. de agua limpia. Entonces se vierte en el tanque

    agua que contiene 0.05 kg de sal por litro a una velocidad de 8 lit. por minuto y se deja que la

    mezcla salga bien homogenizada con la misma rapidez Cul es la cantidad de sal en el

    recipiente luego de 10 min?

    Tasa de acumulacin = Tasa de entrada Tasa de salida

    Sea x(t) las libras de sal en el instante t

    = Tasa de acumulacin = Tasa de entrada del soluto Tasa de salida

    = 11 22 ; 1 2

    El problema no dice con que rapidez sale la mezcla, por lo tanto asumimos que la velocidad con que entra la mezcla es la

    misma que sale.

    = 11 22

    = 8 0.05 8

    400

    = 0.4 0.02

    0.4 0.02=

    0.4 0.02=

    1

    0.02 0.4 0.02 = + 0.4 0.02 = 0.02 0.02

    0.40.02 = 0.020.02 0.40.02 = 0.020.02

    0.4 0.02 = 0.02 0.02 = 0.4 0.02

    La ecuacin para determinar la cantidad de sal en el tanque en cualquier tiempo t es:

    =0.4

    0.02

    0.020.02 = 20 0.02

    Sabemos que en t = 0, x = 0 , reemplazando esa condicin resulta:

    0 = 20 = 20

    Finalmente la ecuacin es:

    = 20 200.02

    El problema nos pide la cantidad de sal despus de 10 min

    10 = 20 200.02(10) 10 = 20 200.2

    La cantidad de sal despus de 10 min es:

    .

  • Ecuaciones Diferenciales

    ERICK CONDE Pgina 27

    Despus de 10 min se detiene el proceso y se vierte agua limpia al tanque con la misma rapidez

    de entrada. Cul es la cantidad de sal a los 20 min de toda la operacin?

    = 11 22

    = 1 0 8

    400

    = 0.02

    = 0.02

    = 0.02 = 0.02 +

    = 0.02+

    () = 0.02

    Pero para t = 0 , x = 3.63

    3.63 =

    Entonces, nuestra ecuacin nos queda:

    () = 3.630.02

    Finalmente, la cantidad de sal a los 20 min es:

    20 = 3.630.02 20

    .

  • Ecuaciones Diferenciales

    ERICK CONDE Pgina 28

    2) El aire de un teatro de dimensiones 12x8x4 mt contiene 0.12% de su solucin de . Se desea

    renovar en 10 minutos el aire, de modo que llegue a contener solamente el 0.06% de .

    Calcular el nmero de por minuto que deben renovarse, suponiendo que el aire exterior

    contiene 0.04% de .

    Nos dice que determinemos la velocidad con que debe renovarse el aire de manera que llegue a contener el 0.06% de

    2

    El problema no menciona cual es la velocidad de salida de la mezcla, por lo tanto asumiremos que la velocidad de

    entrada es la misma que la de salida, entonces 1 = 2 =

    Sea x la concentracin de 2 para cualquier tiempo t, entonces:

    = 11 22

    = 1 2

    = 0.04%

    12 8 4

    = 4 104

    384

    Para mayor comodidad, A = 384 y B = 4 104, entonces:

    =

    +

    =

    Resolviendo la ecuacin diferencial:

    = = =

    +

    =

    =

    =

    =

    La ecuacin en forma implcita de la concentracin de 2 es:

    =

    +

    =

    +

    Pero en t = 0 , x =0.12%A , entonces x = 0.0012A = 0.4608, por lo tanto vamos a llamar k = 0.4608, entonces:

    0 = 0 +

    =

    1

  • Ecuaciones Diferenciales

    ERICK CONDE Pgina 29

    Entonces:

    =

    +

    1

    Pero se desea que en 10 minutos el aire llegue a contener el 0.06% de 2 entonces en t = 0 , x = 6*104 =

    0.2304, vamos a llamar z = 0.2304, entonces:

    10 =

    10 +

    1

    (10) = 10 +

    10

    10 =

    10 =

    10 =

    10 =

    10

    =

    Finalmente despejando v encontraremos la velocidad con que debe renovarse el aire del teatro

    =

    10

    Reemplazando, tenemos que:

    =384

    10

    0.4608 4 104 384

    0.2304 4 104 384

    = . /

  • Ecuaciones Diferenciales

    ERICK CONDE Pgina 30

    3) Un tanque contiene inicialmente agua pura. Salmuera que contiene 2 lib de sal/gal entra al

    tanque a una velocidad de 4 gal/min. Asumiendo la mezcla uniforme, la salmuera sale a una

    velocidad de 3 gal/min. Si la concentracin alcanza el 90% de su valor mximo en 30 min.

    Encuentre la ecuacin que determine la cantidad de agua que haba inicialmente en el tanque.

    Sea Q la cantidad de 2 inicialmente en el tanque.

    = 11 22

    = 11 2

    + 1 2

    = 4 2 3

    + 4 3

    = 8

    3

    +

    +

    3

    + = 8

    = =

    3+

    = 3 + = + 3

    + 3 = 8 + 3 + 3 = 8 + 3

    + 3 = 8 + 3

    + 3 = 2 + 4 +

    El problema nos dice que inicialmente el tanque contiene agua pura entonces en t = 0 , x = 0

    0 = 2 4 + = 24

    Entonces, nuestra ecuacin en forma implcita es:

    + 3 = 2 + 4 24

    Nos dice el problema que en 30 min la concentracin alcanza el 90% de su valor mximo, es decir que en t = 30 , x = 0.9Q,

    por lo tanto la ecuacin que nos pide, ser expresada en forma implcita:

    + (. ) = +

  • Ecuaciones Diferenciales

    ERICK CONDE Pgina 31

    4) Un colorante slido disuelto en un lquido no voltil, entra a un tanque a una velocidad

    galones de solucin por minuto y con concentracin libras de colorante/galn de solucin. La

    solucin bien homogenizada sale del tanque a una velocidad galones de solucin/min, y

    entra en un segundo tanque del cual sale posteriormente a una velocidad de galones de

    solucin/min. Inicialmente el primer tanque tena libras de colorante disueltas en galones

    de solucin y el segundo tanque libras de colorante disueltas en galones de solucin.

    Encontrar dos ecuaciones que determinen las libras de colorante presentes en cada tanque en

    cualquier tiempo t.

    Sea:

    x = libras de colorante en el primer tanque en el instante t

    y = libras de colorante en el segundo tanque en el instante t

    E.D para el primer tanque:

    = 11 22

    = 11 2

    1 + 1 2

    +

    21 + 1 2

    = 11

    = =

    21+ 12

    =

    212

    1+ 12

    = 1 + 1 2 2

    12

    1 + 1 2 2

    12

    + 1 + 1 2

    212

    21 + 1 2

    = 11 1 + 1 2 2

    12

    1 + 1 2

    212 = 11 1 + 1 2

    212

    1 + 1 2 2

    12 = 11 1 + 1 2 2

    12

    1 + 1 2 2

    12 =11

    1 2

    12

    1 2+ 1

    1 + 1 2 2

    12+1

    +

    1 + 1 2 2

    12 =11

    1 2

    1 22 + 1 2

    1 + 1 2 2

    12+1

    +

    1 + 1 2 2

    12 = 1 1 + 1 2 2

    12+1

    +

    =1 1 + 1 2

    212

    +1

    1 + 1 2 2

    12

    + 1 + 1 2

    212

    = 1 1 + 1 2 + 1 + 1 2

    212

  • Ecuaciones Diferenciales

    ERICK CONDE Pgina 32

    Pero sabemos que en t = 0 , x = 1 , entonces:

    1 = 11 + 1

    212 = 1 11 1

    212

    Finalmente la ecuacin para nuestro primer tanque es:

    = + +

    +

    Ahora, vamos a encontrar la ecuacin para el segundo tanque:

    E.D para el segundo tanque:

    = 22 33

    = 2

    1 + 1 2 3

    2 + 2 3

    +

    32 + 2 3

    =2

    1 + 1 2

    = =

    32+ 23

    =

    323

    2+ 23

    = 2 + 2 3 3

    23

    2 + 2 3 3

    23

    + 2 + 2 3

    323

    32 + 2 3

    =2

    1 + 1 2 2 + 2 3

    323

    2 + 2 3

    323 =

    21 + 1 2

    2 + 2 3 3

    23

    2 + 2 3 3

    23 =2

    1 + 1 2 2 + 2 3

    323

    2 + 2 3 3

    23 = 2

    1 + 1 2

    1

    2 3

    13

    2 3+ 1

    2 + 2 3 3

    23+1

    +

    2 + 2 3 3

    23 = 2

    1 + 1 2

    1

    2 3

    2 33 + 2 3

    2 + 2 3 3

    23+1

    +

    2 + 2 3 3

    23 =

    1 + 1 2 2 + 2 3

    323

    +1+

    =

    1 + 1 2 2 + 2 3

    323

    +1

    2 + 2 3 3

    23

    + 2 + 2 3

    323

    =

    1 + 1 2 2 + 2 3 + 2 + 2 3

    3

    23

  • Ecuaciones Diferenciales

    ERICK CONDE Pgina 33

    Pero sabemos que en t = 0 , y = 2 , entonces:

    2 =

    12 + 2

    3

    23 = 2 21

    2

    323

    Reemplazando en la ecuacin:

    =

    1 + 1 2 2 + 2 3 + 2

    21

    2

    323 2 + 2 3

    3

    23

    = 2 + 2 3

    1 + 1 2 + 2

    21

    2

    323 2 + 2 3

    3

    23

    Reemplazando x, obtendremos la ecuacin para el segundo tanque:

    = + +

    +

    +

    + +

    + +

    +

    +

  • Ecuaciones Diferenciales

    ERICK CONDE Pgina 34

    ANTIGEDAD DE UN FSIL

    Se ha encontrado que un hueso fosilizado contiene 1/1000 de la cantidad original de carbono

    14. Determine la edad del fsil, sabiendo que el tiempo de vida media del carbono 14 es 5600

    aos.

    Sea Q la cantidad de carbono en cualquier tiempo t:

    =

    =

    = = +

    = + =

    Entonces nuestra ecuacin es:

    =

    Sabemos que en t = 0 la cantidad de carbono presente en el hueso es 0

    0 = 0 = 0

    Reemplazando la constante en la ecuacin:

    = 0

    Una de las condiciones nos dice que la edad media del carbono es 5600 aos, entonces en t = 5600 , Q = 1

    20

    1

    20 = 0

    5600 5600 =1

    2

    5600 = 1

    2 =

    1 2

    5600 = 1.24 104

    Entonces:

    = 01.24104

    Nos dice que se ha encontrado un hueso cuya cantidad de carbono es 1/1000 de la cantidad original, es decir Q(t) = 0

    1000

    01000

    = 01.24104

    1

    1000= 1.2410

    4

    1

    1000 = 1.2410

    4 1.24 104 = 1

    1000

    Despejando t encontraremos la edad del hueso fosilizado

    = 1 1000

    1.24 104 .

  • Ecuaciones Diferenciales

    ERICK CONDE Pgina 35

    APLICACIONES GEOMTRICAS

    1) Encontrar las curvas para las cuales la tangente en un punto P (x,y) y tiene intercepto sobre

    los ejes x y y cuya suma es 2(x+y)

    Sabemos que la ecuacin de una recta es: 0 = 0 ; =

    Entonces:

    0 =

    0

    Encontrando el intercepto en x , y = 0

    0 =

    0 0

    = 0 = 0 0

    Encontrando el intercepto en y , x = 0

    0 = 0

    = 0 0

    Pero queremos la recta tangente en un punto (x,y), es decir en 0 , 0 , y si llamamos el intercepto en y como A y el

    intercepto en x como B, entonces:

    = 0 000

    ; = 0 000

    La condicin dice que la suma de los interceptos es 2(x+y), entonces:

    + = 2 0 + 0

    0 000

    + 0 000

    = 2 0 + 0 0 + 0 000

    000

    = 2 0 + 0

    000

    + 000

    = 0 + 0 0 + 000

    + 0 + 000

    = 0

    0 1 +00

    + 0 1 +00

    = 0 0 0 + 0

    0 + 0

    0 + 00

    = 0 00

    +00

    0 + 0 = 0

    Entonces:

    00

    +00

    = 0 ; 0 + 0 = 0

    Resolviendo cada ecuacin:

    0 = 0 0 = 0 = + ( )

    00

    = 00

    00

    = 00

    = + = 1

    La curva a encontrar es: =

  • Ecuaciones Diferenciales

    ERICK CONDE Pgina 36

    2) Hallar la ecuacin de todas las curvas del plano xy que tienen la propiedad de que el tringulo

    formado por la tangente a la curva, el eje x y la recta vertical que pasa por el punto de

    tangencia siempre tiene un rea igual a la suma de los cuadrados de las coordenadas del punto

    de tangencia.

    0 =

    0

    Encontrando el intercepto en x , y = 0

    0 =

    0 0

    = 0 = 0 0

    00

    Encontrando el intercepto en y , x = 0

    0 = 0

    = 0 0

    00

    El rea del tringulo formado segn el problema es:

    = 02 + 0

    2 0 0

    2= 0

    2 + 02

    0 000

    0 0

    2= 0

    2 + 02 0

    200

    = 2 02 + 0

    2 00

    = 2 00

    2

    2

    Entonces:

    =00

    0 = 0 00

    = + 0

    0

    Reemplazando:

    + 0

    0= 22 2 0

    0= 22 2

    22 + + 2=

    00

    2 2 +12

    + 1 = +

    1

    2

    2 +12

    +1

    16 + 1

    116

    = +

    1

    2

    +14

    2

    +1516

    = + 1

    2

    4

    15

    4 +14

    15 = +

    La ecuacin en forma implcita de la curva es:

    +

    = +

  • Ecuaciones Diferenciales

    ERICK CONDE Pgina 37

    3) Hallar la ecuacin de todas las curvas que tienen la propiedad de que la distancia de

    cualquier punto al origen, es igual a la longitud del segmento de normal entre el punto y el

    intercepto con el eje x.

    Tenemos que encontrar la ecuacin de una recta normal en dicho punto, pero sabemos que

    = 1 ,

    Entonces:

    = 1 00

    = 1 = 00

    Ahora la ecuacin de la recta norma es:

    0 = 0

    Encontrando el intercepto en x , y = 0

    0 = 00

    0 000

    = 0 = 0 + 000

    Planteando la condicin:

    1 = 2 ; siendo 1 la distancia entre el punto y el intercepto con x y 2 la distancia entre el punto y el origen.

    Entonces:

    0 2 + 0 0

    2 = 0 0 2 + 0 0

    2

    0 2 + 0

    2 = 02 + 0

    2 0 0 00

    0

    2+ 0

    2 = 02 + 0

    2

    000

    2

    + 02 = 0

    2 + 02 0

    2 00

    2

    = 02

    00

    2

    = 00

    2

    = 2

    2=

    2

    2+

    Finalmente la ecuacin de todas las curvas es:

    =

    +

  • Ecuaciones Diferenciales

    ERICK CONDE Pgina 38

    CRECIMIENTO LOGSTICO

    1) Encuentre el modelo de la ecuacin diferencial si P(t) representa el nmero de individuos en

    una poblacin con cierta enfermedad contagiosa incurable y esta se extiende por encuentros

    casuales entonces la razn de cambio del nmero de personas infectadas con respecto al tiempo,

    es proporcional al nmero de personas infectadas en ese momento y al nmero de personas no

    infectadas en ese momento.

    =

    ( )

    Suponga es ese modelo en el tiempo t = 0 , 10000 personas en una ciudad con una poblacin de

    100000 han odo un cierto rumor. Despus de una semana el nmero de personas de aquellas

    que la escucharon se incrementa a 20000 Cundo escucharan el 80% de la poblacin el rumor?

    = (100000 )

    100000 =

    Resolviendo por fracciones parciales, tenemos:

    1

    100000 =

    +

    100000

    1 = 100000 + 1 = + 100000

    1 = 10000000

    0 =

    Resolviendo el sistema A = 1/1000000 , B = 1/1000000

    Entonces:

    +

    100000 =

    1

    1000000 100000 = +

    = 0 , = 10000

    1

    1000000 10000 100000 10000 =

    =1

    1000000

    1

    9

  • Ecuaciones Diferenciales

    ERICK CONDE Pgina 39

    Adems nos dice que despus de una semana el nmero de personas infectadas es 20000, entonces en t = 1 , P = 20000

    1

    1000000 20000 100000 20000 = +

    1

    1000000

    1

    9

    =1

    1000000

    1

    4

    1

    1000000

    1

    9

    =1

    1000000

    9

    4

    Entonces nuestra ecuacin nos queda lo siguiente:

    1

    1000000

    100000 =

    1

    1000000

    9

    4 +

    1

    1000000

    1

    9

    Pero el problema nos pide el tiempo en que el 80% de la poblacin total escuchan el rumor, es decir P(t) = 80000

    1

    1000000

    80000

    100000 80000 =

    1

    1000000

    9

    4 +

    1

    1000000

    1

    9

    4 = 9

    4 +

    1

    9

    4 1

    9 =

    9

    4

    36 = 9

    4

    Entonces:

    = 36

    94

  • Ecuaciones Diferenciales

    ERICK CONDE Pgina 40

    2) Suponga que en una comunidad cuenta con 15000 personas que son susceptibles de adquirir

    una enfermedad contagiosa, en el tiempo t = 0, el nmero de personas que han desarrollado la

    enfermedad es 5000 y este se incrementa a una tasa proporcional al producto del nmero de

    aquellas que han adquirido la enfermedad y de aquellas que no. (Considere que la tasa inicial de

    incremento es de 500 sujetos por da). Cunto tiempo pasara para que otras personas

    desarrollen la enfermedad?

    Planteando el modelo:

    = 15000

    15000 =

    Entonces:

    1

    15000

    15000 = +

    Pero en t = 0 , N = 5000

    1

    15000

    5000

    15000 5000 =

    =1

    15000

    1

    2

    Adems nos dice que consideremos que la tasa inicial de incremento es 500 personas por da, es decir

    = 500

    = 5000 (15000 5000)

    500 = 5000 (15000 5000)

    =1

    100000

    Finalmente nos dice que, cuanto tiempo pasar para que otras 5000 personas se infecte, es decir el nmero total de

    infectados ser de 10000, entonces:

    1

    15000

    10000

    15000 10000 =

    1

    100000 +

    1

    15000

    1

    2

    1

    15000 2

    1

    15000

    1

    2 =

    1

    100000

    1

    15000 4 =

    1

    100000

    Entonces:

    =20

    3 4

  • Ecuaciones Diferenciales

    ERICK CONDE Pgina 41

    APLICACIONES A LA FSICA

    1) Una pelota se proyecta hacia arriba desde el piso con una velocidad y la resistencia del

    aire es proporcional al cuadrado de la velocidad. Demuestre que la altura mxima que alcanza la

    pelota es =

    +

    , donde =

    = =

    2 =

    2 =

    2 =

    + 2=

    + 2=

    1

    +2

    =

    1

    + 2=

    1

    1

    = +

    1

    = +

    1

    = +

    = +

    = +

    La ecuacin que describe la velocidad de la pelota en cualquier tiempo t es:

    () =

    +

    El problema nos dice que en t = 0 la velocidad de la pelota es 0 , es decir v(0) = 0

    0 =

    = 1

    0

    Pero sabemos que:

    =

    = = ; =

    =

    + =

    +

    +

    = + = + = +

  • Ecuaciones Diferenciales

    ERICK CONDE Pgina 42

    =

    1

    =

    1

    + +

    Sabemos que en t = 0 , y = 0

    0 =1

    + =

    1

    = 1

    02 +

    La ecuacin que describe la posicin de la pelota en cualquier tiempo t es:

    =1

    +

    1

    =1

    +

    1

    02 +

    El problema nos dice que determinemos la altura mxima que alcanza la pelota, entonces en el punto ms alto la

    velocidad de la pelota es cero

    0 =

    +

    Como el resultado de esa ecuacin es cero, entonces el ngulo tiene que ser 0 es decir:

    0 =

    +

    0

    Entonces:

    =1

    +

    1

    02 +

    =1

    +

    0

    02 +

    =1

    (0)

    02 +

    =1

    02 +

    Pero 0

    2+

    siempre nos dar como resultado un nmero positivo, por lo tanto el valor absoluto lo podemos

    despreciar.

    =1

    02 +

    =

    1

    02

    + 1

    12

    =1

    1

    2

    02

    + 1 ;

    =

    +

  • Ecuaciones Diferenciales

    ERICK CONDE Pgina 43

    2) Un cuerpo con masa m se lanza verticalmente hacia abajo con una velocidad inicial en

    un medio que ofrece una resistencia proporcional a la raz cuadrada de la magnitud de la

    velocidad. Encuentre la relacin que hay entre la velocidad y el tiempo t. Determine la

    velocidad lmite.

    = =

    =

    =

    =

    = 2 = 2

    = 2

    Realizando la divisin entre polinomios, nos queda:

    = 2

    1

    +

    = 2

    1

    +

    1

    =

    2

    2

    2 +

    La ecuacin en forma implcita que describe la posicin del cuerpo en cualquier tiempo t es:

    1

    =

    2

    2

    2 +

    Pero sabemos que en t = 0 , v = 0

    0 = 2

    0

    2

    2 0 +

    =2

    0 +

    2

    2 0

    Entonces nuestra ecuacin finalmente nos queda:

    1

    =

    2

    2

    2 +

    2

    0 +

    2

    2 0

  • Ecuaciones Diferenciales

    ERICK CONDE Pgina 44

    La relacin que existe entre la velocidad y el tiempo, es que, la velocidad lmite es cuando t tiende al infinito.

    =2

    0 +

    2

    2

    0

    Si el resultado de esa ecuacin es , entonces:

    = 2

    0

    +2

    2

    0

    Para que:

    0

    = ; = 0

    Por lo tanto, la velocidad lmite es:

    = 0

    =

    =

  • Ecuaciones Diferenciales

    ERICK CONDE Pgina 45

    3) Una mujer que se lanza en paracadas desde un avin a una altitud de 10000 pies cae

    libremente por 20 seg y entonces abre el paracadas. Si se conoce que la resistencia debido al

    aire es proporcional a la velocidad (la constante de proporcionalidad es 0.15 sin paracadas y 1.5

    con paracadas). Encontrar la ecuacin en forma implcita del tiempo que demorar la mujer en

    llegar al piso

    Para el 1er tramo tenemos

    = =

    =

    0.15 =

    Pero sabemos que:

    =

    = =

    Entonces:

    +

    0.15

    =

    Resolviendo la ecuacin diferencial:

    = = 0.15

    = 0.15

    0.15

    +

    0.15

    0.15

    =

    0.15

    0.15

    = 0.15

    0.15

    = 0.15

    0.15

    =

    0.15

    0.15

    +

    Por lo tanto, la ecuacin que describe la velocidad para cualquier tiempo t es:

    1() =

    0.15+

    0.15

    Pero en t = 0 , v = 0

    0 =

    0.15+ =

    0.15

    Finalmente nuestra ecuacin de velocidad, nos queda:

    1() =

    0.15

    0.15

    0.15

    ; =

    0.15 ;

    1() =

    0.15

    0.15

    0.15

    1() =

    1() =

    10

  • Ecuaciones Diferenciales

    ERICK CONDE Pgina 46

    La velocidad de la mujer hasta que abra el paracadas, es decir despus de 20 seg es:

    1 20 =

    200

    Sabemos que:

    =

    1 =

    10 1 =

    2

    10

    10 +

    Pero en t = 0 , x = 0

    0 =2

    10+ =

    2

    10

    La ecuacin que describe la posicin de la mujer durante el 1er tramo es:

    1 = 2

    10

    10

    2

    10

    La posicin de la mujer en t = 20 seg es:

    1 20 = 20 2

    10

    200

    2

    10

    Para el 2do tramo, tenemos que:

    =

    1.5 =

    Realizando todo el procedimiento anterior para encontrar la ecuacin de la velocidad, nos queda lo siguiente:

    2 =

    1.5+

    1.5

    Realizando un artificio para que esta ecuacin nos quede en trmino de k

    2 =

    101.510

    +

    1.51010

    2 =1

    10

    0.15 +

    10

    2 =

    10+

    100

    Pero sabemos que la velocidad final del 1er tramo es la velocidad inicial del 2do tramo, entonces en t =0 , la

    velocidad es 200

    , por lo tanto:

    10+

    100

    (0) = 200

    10+ =

    200 =

    9

    10

    200

  • Ecuaciones Diferenciales

    ERICK CONDE Pgina 47

    Entonces la ecuacin que describe la velocidad para cualquier tiempo t durante el 2do tramo es:

    2 =

    10+

    9

    10

    200

    100

    Encontrando la ecuacin que describe la posicin:

    =

    2 =

    10+

    9

    10

    200

    100

    2 =

    10 +

    9

    10

    200

    100

    2 =

    10

    9

    10

    200

    100

    +

    Si consideramos un nuevo sistema de referencia para el 2do tramo, entonces en t = 0 , x = 0

    0 = 9

    10

    200 + =

    9

    10

    200

    Finalmente la ecuacin que describe la posicin de la mujer durante el 2do tramo es:

    2 =

    10

    9

    10

    200

    100

    +9

    10

    200

    Sabemos que el tiempo que demora en recorrer y , es el tiempo que tomar en llegar al piso, por lo tanto:

    1 + 2 = 10000 2 = 10000 1

    Entonces nuestra ecuacin final, nos quedar:

    10

    9

    10

    200

    100

    +9

    10

    200 = 10000 20

    2

    10

    200

    2

    10

    0.15

    10

    0.15

    9

    10

    200(0.15)

    100(0.15) +

    9

    10

    200 (0.15)

    = 10000 20

    0.15

    0.15

    2

    10

    200 (0.15)

    0.15

    2

    10

    .

    +

    =

  • Ecuaciones Diferenciales

    ERICK CONDE Pgina 48

    LEY DE TORRICELLI

    Esta ley nos dice como cambia la altura con respecto al tiempo, es decir:

    = ; = 2

    Un tanque semiesfrico tiene un radio de 4 pies, en t = 0 est lleno de agua, en ese momento se

    hace un orificio circular con un dimetro de una pulgada en el fondo del tanque Cunto tiempo

    tomar a toda el agua salir?

    = 2

    =

    Pero como podemos observar:

    4 2 = 4 2 + 2 16 = 16 8 + 2 + 2 2 = 8 2

    Reemplazando:

    8 2

    =

    8 2

    = 8

    12

    32 =

    16

    3

    32

    2

    5

    52 = +

  • Ecuaciones Diferenciales

    ERICK CONDE Pgina 49

    Pero en t = 0 , y = 4

    16

    3 4

    32

    2

    5 4

    52 = =

    448

    15

    Entonces:

    16

    3

    32

    2

    5

    52 = +

    448

    15

    Nos pide que determinemos el tiempo en que demora en vaciarse el tanque, es decir y(t) = 0

    0 = +448

    15 =

    448

    15 =

    448

    15 1

    2

    2 1

    2

    Hay que recordar que hay que convertir a pies

    =1792

    15 (0.8333)2 2(32.15) 2162.64

    .

  • Ecuaciones Diferenciales

    ERICK CONDE Pgina 50

    REACCIONES QUMICAS

    Cuando se combinan dos sustancia A y B, se forma un compuesto C. L a reaccin entre ambas es

    tal que, por cada gramo de A se usan 4 gramos de B. Se observa que a los 10 minutos se han

    formado 30 gramos del producto C. Calcule la cantidad de C en funcin del tiempo si la velocidad

    de la reaccin es proporcional a las cantidades A y B que quedan y al principio hay 50 gramos de

    A y 32 gramos de B. Qu cantidad de compuesto C hay a los 15 minutos? Interprete la solucin

    cuando t

    Sean x(t) los gramos del compuesto C presentes en un tiempo t.

    Si por ejemplo, hay 2 gramos del producto C, hemos debido de usar, digamos a gramos de A y b gramos de B, de tal

    modo que a+b = 2 y b = 4a ; por consiguiente , reemplazando nos queda que a = 2/5 = 2(1/5)g de la sustancia A y

    b = 8/5 =2(4/5)g de B. En general, para obtener x gramos de C debemos emplear.

    5

    4

    5

    Entonces las cantidades de A y B que quedan en cualquier momento son:

    50

    5 32

    4

    5

    Respectivamente, sabemos que la rapidez de formacin del compuesto C est definida por:

    50

    5 32

    4

    5

    Para simplificar las operaciones algebraicas, sacaremos a 1/5 como factor comn del primer trmino, 4/5 del segundo

    trmino e introduciremos la constante de proporcionalidad.

    = 250 40

    Separamos variables y por fracciones parciales llegamos a:

    1

    210

    250 +

    1210

    40 =

    Integrando:

    1

    210

    250 +

    1210

    40 =

    1

    210

    250

    40 = +

    250

    40 = 210 +

  • Ecuaciones Diferenciales

    ERICK CONDE Pgina 51

    Despejando x:

    25040

    = 210 +

    250

    40 = 210

    Pero sabemos que en t = 0 , x = 0

    =25

    4

    Y tambin que en t = 10 , x = 30

    250 30

    40 30=

    25

    4 210 (10)

    88

    25= 210 10

    88

    25 = 210 10

    210 =1

    10

    88

    25

    El problema nos pide la cantidad de sustancia a los 15 minutos, pero primero despejemos x:

    250

    40 =

    25

    4

    1

    10

    8825

    250 = 25

    4 40

    1000 4 = 1000 25

    () = 1000 1

    4 25

    15 = 1000 1

    1

    10

    8825

    (15)

    4 25

    110

    8825

    (15)

    = .

    Interpretando cuando t

    = 1000 1

    4 25 ; , = 1000

    1

    1

    4

    25

    = 1000

    1

    1

    4

    25

    ; y quedan:

    40

    5=

    4

    5 40 =

  • Ecuaciones Diferenciales

    ERICK CONDE Pgina 52

    ECUACIONES DIFERENCIALES DE ORDEN SUPERIOR

    ECUACIONES DIFERENCIALES EN LAS QUE FALTA LA VARIABLE DEPENDIENTE y

    ) + =

    = =

    =

    =

    2

    2

    22

    + 3 = 2 22

    2 = 3

    =

    3

    22

    1

    3

    2

    =

    1

    22

    = 2

    =

    2

    3

    1

    2

    =

    1

    22

    +

    2

    =

    1

    2

    = = 2 = 2

    = 2

    2

    + 2

    2

    = 2

    1

    2

    2 = 1

    2 =

    2 = + 2 2 = + 2 2 = +

    =

    + =

    + =

    +

    = + =

    =

    =

    = 2

    3

    32

    12 + =

    +

    +

    +

  • Ecuaciones Diferenciales

    ERICK CONDE Pgina 53

    ) = +

    = +

    = 1 +

    1 = 2

    = 2 + 1

    2 + 1=

    2 + 1=

    2 = +

    + = + + = +

    = + = +

    = +

    +

    = + = +

    = 1

    =

    2

    2+

    = +

    +

  • Ecuaciones Diferenciales

    ERICK CONDE Pgina 54

    ECUACIONES DIFERENCIALES EN LAS QUE FALTA LA VARIABLE INDEPENDIENTE x

    ) + =

    =

    =

    2

    2

    =

    2

    2

    =

    2

    2

    =

    2

    2

    22

    + 22 = 1

    +

    22

    22=

    1

    22

    +

    2

    =

    1

    22

    = 2

    = 2

    1

    2

    +

    =

    1

    22

    +

    2

    =

    1

    2

    = =

    2

    = 2

    = 2

    2

    + 2

    2

    = 2

    1

    2

    2 = 1 2 =

    22 = + 2

    2

    = +

    =

    +

    + =

    +

    +

    = +

  • Ecuaciones Diferenciales

    ERICK CONDE Pgina 55

    ) + =

    =

    =

    2

    2

    =

    2

    2

    =

    2

    2

    =

    2

    2

    + 2 =

    +

    1

    = 1

    = =

    1

    =

    =

    + =

    = () =

    = 2 +

    =

    2

    2+

    =

    2 + 2

    2

    2

    2 + 2=

    + = +

  • Ecuaciones Diferenciales

    ERICK CONDE Pgina 56

    FRMULA DE ABEL

    ) + +

    = ; =

    +1

    + 1

    1

    42 = 0

    2 = 1

    =

    12 =

    1

    12

    2

    =

    12 =

    1

    12

    = 2 =

    2 =

    12 =

    12

    = 11 + 22 =

    )

    = ; =

    (1 5)

    5

    = 0

    2 = 1

    =

    12

    =

    (15)

    5 2

    = 5

    10 =

    5

    10

    = 5

    = =

    = 5 =1

    55

    =

    55

    1

    5 5 =

    55

    5

    25

    2 =

    55

    5

    25 5 2 =

    5

    1

    25

    = 11 + 22 =

  • Ecuaciones Diferenciales

    ERICK CONDE Pgina 57

    ECUACIONES DIFERENCIALES DE COEFICIENTES CONSTANTES

    ) + =

    =

    =

    = 2

    2 6 + 9 = 0

    2 6 + 9 = 0

    2 6 + 9 = 0

    3 2 = 0

    1 = 2 = 3

    = 11 + 2

    1

    = +

    ) + =

    =

    =

    = 2

    22 3 + 5 = 0

    22 3 + 5 = 0

    22 3 + 5 = 0

    1,2 =3 9 4 2 5

    2 2 =

    3 31

    4

    1,2 =3

    4

    31

    4

    = 1 + 2

    =

    +

  • Ecuaciones Diferenciales

    ERICK CONDE Pgina 58

    ECUACIN DIFERENCIAL DE EULER CAUCHY

    ) + =

    = =

    =

    1

    =

    =

    =

    1

    =

    2

    2=

    2

    2=

    2

    2=

    2

    2=

    2

    2=

    1

    2

    2=

    2

    2=

    2

    2

    1

    2

    2=

    2

    2

    1

    2

    2=

    1

    2

    2

    1

    2

    2

    2=

    2

    2

    2

    2

    + 2

    = 0

    + 2 = 0

    + = 0

    =

    =

    = 2

    2 + = 0

    2 + 1 = 0 2 + 1 = 0

    1,2 =1 1 4 1 1

    2 1 =

    1 5

    2

    = 1

    1+ 52

    + 2

    1 5

    2

    = 1

    1+ 52

    + 2

    1 5

    2

    = +

    +

  • Ecuaciones Diferenciales

    ERICK CONDE Pgina 59

    ) + =

    Establecindolo como una frmula

    =

    =

    22

    2=

    2

    2

    2

    2

    2= 2 2

    2

    2= 1

    33

    3= 1 ( 2)

    1 + 2 = 0

    2 + 2 = 0

    2 2 + 2 = 0

    2 + 2 = 0

    =

    =

    = 2

    2 2 + 2 = 0

    2 2 + 2 = 0

    2 2 + 2 = 0

    1,2 =2 4 4 1 2

    2 1 =

    2 4

    2 1,2 = 1

    = 1 + 2

    = 1 + 2

    = +

  • Ecuaciones Diferenciales

    ERICK CONDE Pgina 60

    MTODO DE COEFICIENTES INDETERMINADOS

    ) + = +

    Encontrando la solucin complementaria

    2 + = 0

    = = = 2

    2 2 + = 0 2 2 + 1 = 0 2 2 + 1 = 0

    1 2 = 0 1 = 2 = 1

    = 1 + 2

    . . = ,

    Encontrando la solucin particular

    1 = + ; = 2

    1 = 2 +

    2 = ; = 0

    2 =

    = 1 + 2

    = 3 + 2 +

    = 32 + 3 + 2 + 2

    = 6 + 32 + 32 + 3 + 2 + 2 + 2 + 2

    + +

    = + 4

    3 + 2 + 2 32 + 3 + 2 + 2 + 6 + 32 + 32 + 3 + 2

    + 2 + 2 + 2 = + 4

    6 + 2 + = + 4

    6 = 1 =1

    6

    = 0

    = 4

    = +

    = +

    +

    +

  • Ecuaciones Diferenciales

    ERICK CONDE Pgina 61

    ) + + =

    Encontrando la solucin complementaria

    = =

    1 + 3 + 4 = 0

    2 + 3 + 4 = 0

    2 + 2 + 4 = 0 + 2 + 4 = 0

    = = = 2

    2 + 2 + 4 = 0 2 + 2 + 4 = 0 2 + 2 + 1 = 0

    1,2 =2 4 4 1 4

    2 1 =

    2 12

    2 1,2 = 1 3

    = 1 3 + 2 3

    . . = 3 , 3

    Reemplazando = en la ecuacin para encontrar la solucin particular

    + 2 + 4 = 4

    = 0 4 + 0(4) ; = 0

    = 4 + (4)

    = 4 4 + 4 (4)

    = 16 4 16 (4)

    Reemplazando:

    16 4 16 (4) + 2 4 4 + 4 (4) + 4 4 + (4) = 4

    16 4 16 4 8 4 + 8 4 + 4 4 + 4 4 = 4

    8 12 4 + 12 8 4 = 4

    1 = 8 12

    0 = 12 8

    Resolviendo el sistema A = -3/40 , B = 1/20

    = 3

    40 4 +

    1

    20 (4)

    = + = 1 3 + 2 3

    3

    40 4 +

    1

    20 (4)

    = +

    +

  • Ecuaciones Diferenciales

    ERICK CONDE Pgina 62

    VARIACIN DE PARMETRO

    ) + + =

    Encontrando la solucin complementaria

    + 4 + 4 = 0

    = = = 2

    2 + 4 + 4 = 0 2 + 4 + 4 = 0 2 + 4 + 4 = 0

    + 2 2 = 0 1 = 2 = 2

    = 12 + 2

    2 . . = 2 , 2

    Encontrando la solucin particular

    = 11 + 22

    1 = 2

    1 , 2 ; 2 =

    1

    1 , 2

    Determinando el wronskiano

    2 , 2 = 2 2

    22 2 22

    2 , 2 = 4 24 + 24

    2 , 2 = 4

    1 = 2

    2

    2

    4 1 =

    1

    1 =

    2 = 2

    2

    2

    4 2 =

    1

    2 2 =

    1

    = 2

    1

    2

    = +

  • Ecuaciones Diferenciales

    ERICK CONDE Pgina 63

    ) + = ; =

    +

    1

    1 = 2( 1)

    2 = 1

    =

    12

    =

    1

    2 =

    1+

    11

    2

    = 1

    2 =

    ( 1)

    2 = ( 1)

    = 1 =

    = =

    = 1 + = 1

    2 = 2 =

    . . = ,

    Encontrando la solucin particular

    = 11 + 22

    1 = 2

    1 , 2 ; 2 =

    1

    1 , 2

    Determinando el wronskiano

    , = 1

    , =

    1 = 2( 1)

    1 = 2

    ( 1)

    ( 1) 1 = 2

    2

    = = ; = 2 = 1

    22

    1 = 2 1

    22 +

    1

    2 2 1 =

    2 +1

    22

    2 = 2( 1)

    2 = 2

    ( 1)

    ( 1) 2 = 2

    2 = 2

    = 2 +

    1

    22 2

    = +

    +

  • Ecuaciones Diferenciales

    ERICK CONDE Pgina 64

    ) + =

    =

    1 2 + 2 = 2 2 + 2 =

    2 3 + 2 = 3 + 2 =

    = = = 2

    2 3 + 2 = 0 2 3 + 2 = 0 2 3 + 2 = 0

    2 1 = 0 1 = 2 ; 2 = 1

    = 12 + 2

    . . = 2 ,

    Encontrando la solucin particular

    = 11 + 22

    1 = 2

    1 , 2 ; 2 =

    1

    1 , 2

    Determinando el wronskiano

    2 , = 2

    22

    2 , = 3 23 2 , = 3

    1 =

    3 1 =

    2

    = =

    = 2 = 1

    22

    1 =

    1

    22

    1

    42 1 =

    1

    22 +

    1

    42

    2 = 2

    3 2 = 1 +

    2 = +

    = 1

    22 +

    1

    42 2 + +

    = 12 + 2

    +1

    2 +

    1

    4 1

    = 12 + 2 1

    1

    2

    3

    4 = 1

    2 + 2

    1

    2

    3

    4

    = +

  • Ecuaciones Diferenciales

    ERICK CONDE Pgina 65

    ECUACIONES DIFERENCIALES DE ORDEN SUPERIOR

    ) =

    =

    =

    = 2

    = 3

    Reemplazando:

    3 = 0

    3 1 = 0

    3 1 = 0 1 2 + + 1 = 0

    1 = 1 ; 2,3 =1 1 4 1 1

    2 1 =

    1

    2

    3

    2

    = +

    +

    ) + =

    De forma directa, tenemos que:

    6 + 1 = 0

    6 + 1 = 0

    El problema se reduce a extraer las races sextas de -1, entonces:

    6 = 1

    Recordando que todas las races n-simas de = vienes dadas por la expresin:

    = 1

    +2

    = 0 , 1 , 2 , . 1

    Entonces:

    = 1 1

    6

    +26

    = 0, 1, 2, 3, 4, 5

    0 =

    6

    =

    6 +

    6 0 =

    3

    2+

    1

    2

    1 =

    2

    =

    2 +

    2 1 =

    2 =

    56

    =

    5

    6 +

    5

    6 2 =

    3

    2+

    1

    2

  • Ecuaciones Diferenciales

    ERICK CONDE Pgina 66

    Las tres races restantes, son la conjugada de las tres primeras, entonces:

    3 = 3

    2

    1

    2

    4 =

    5 = 3

    2

    1

    2

    Entonces:

    =

    +

    + + +

    +

    ) + =

    6 34 + 32 1 = 0

    6 34 + 32 1 = 0

    Sabemos que:

    3 = 2 32 + 32 3

    Entonces:

    2 1 3 = 0

    2 1 = 0

    = 1

    Recordemos que son 6 races, entonces:

    1 = 2 = 3 = 1 4 = 5 = 6 1

    = +

    + +

    + +

  • Ecuaciones Diferenciales

    ERICK CONDE Pgina 67

    ) + + =

    = =

    =

    1

    =

    =

    =

    1

    =

    2

    2=

    2

    2=

    2

    2=

    2

    2=

    2

    2=

    1

    2

    2=

    2

    2=

    2

    2

    1

    2

    2=

    2

    2

    1

    2

    2=

    1

    2

    2

    1

    2

    2

    2=

    2

    2

    3

    3=

    2

    2

    3

    3=

    2

    2

    3

    3=

    2

    2

    3

    3=

    2

    2

    1

    3

    3=

    2

    2

    3

    3=

    2

    22 2

    1

    3

    3=

    3

    32 2

    2

    22

    2

    22 + 2

    2

    1

    3

    3= 2

    3

    3 3

    2

    2+ 2

    3

    3=

    1

    2 3

    3 3

    2

    2+ 2

    1

    3

    3

    3=

    3

    3 3

    2

    2+ 2

    Reemplazando

    3

    3 3

    2

    2+ 2

    + 6

    2

    2

    + 7

    = 0

    3 + 2 + 6 6 + 7 = 0 + 3 + 3 = 0

    3 + 32 + 3 = 0 3 + 32 + 3 = 0 2 + 3 + 3 = 0

    1 = 0 ; 2,3 =3 9 12

    2=

    3

    2

    3

    2

    = 10 +

    32 2

    3

    2 + 3

    3

    2

    = +

    +

  • Ecuaciones Diferenciales

    ERICK CONDE Pgina 68

    ) + + + =

    Encontrando la solucin complementaria

    =

    1 2 3 + 5 1 2 + 7 1 + 8 = 2

    4 63 + 112 6 + 53 152 + 10 + 72 7 + 8 = 2

    3 + 5 = 2

    =

    4 3 32 + 5 = 0

    3 2 3 + 5 = 0 + 1 2 2 + 5 = 0

    1 = 0 ; 2 = 1 ; 3,4 =2 4 20

    2= 1 2

    = 10 + 2

    + 3 2 + 4 (2)

    = 1 + 2 + 3 2 + 4 (2)

    . . = 1, , 2 , (2)

    Encontrando la solucin particular

    = 2 + + ; = 1

    = 3 + 2 +

    = 32 + 2 +

    = 6 + 2

    = 6

    = 0

    Reemplazando:

    6 + 3 6 + 2 + 5 32 + 2 + = 2

    6 + 18 + 6 + 152 + 10 + 5 = 2

    152 + 18 + 10 + 6 + 6 + 5 = 2

    1 = 15

    1 = 18 + 10

    0 = 6 + 6 + 5

  • Ecuaciones Diferenciales

    ERICK CONDE Pgina 69

    Resolviendo el sistema; A = -1/15, B = 11/50, C = -43/125

    = 1

    153 +

    11

    502

    43

    125

    Entonces:

    = 1 + 2 + 3 2 + 4 2

    1

    153 +

    11

    502

    43

    125

    = + + +

    +

    ) + = , < <

    Encontrando la solucin complementaria

    3 + = 0 2 + 1 = 0

    1 = 0 ; 2 + 1 = 0 2,3 =

    = 10 + 0 2 + 3 = 1 + 2 + 3

    . . = 1 , , ()

    Encontrando la solucin particular

    = 11 + 22 + 33

    Determinando el wronskiano

    1, 2, 3 = 1

    0

    0 =

    = 2 2 = 1

    Determinando 1

    1 =

    0 () ()

    0 () ()

    () () ()

    1 =

    () ()() ()

    1 = 2 2 = =

    1

    =

    2

    = =

    1 = 1

    2 1 =

    1

    = ()

  • Ecuaciones Diferenciales

    ERICK CONDE Pgina 70

    Determinando 2

    2 =

    1 0 ()

    0 0 ()

    0 () ()

    1 = 1

    0 ()

    () ()

    2 = () = ()1

    =

    2

    2

    2 = 1 2

    2 = 2 + = +

    Determinando 3

    3 =

    1 () 0

    0 () 0

    0 () ()

    1 = 1

    () 0

    ()

    3 = () = ()1

    =

    3 = =

    Entonces:

    = + + + + + ()

  • Ecuaciones Diferenciales

    ERICK CONDE Pgina 71

    RESOLUCIN DE ECUACIONES DIFERENCIALES POR SERIES DE POTENCIAS

    ) + = ; =

    =

    +

    =0

    = ()1

    +

    =1

    = ( 1)2

    +

    =2

    Reemplazando

    1 ( 1)2

    +

    =2

    + ()1

    +

    =1

    = 0

    1 2

    +

    =2

    1 2

    +

    =2

    + 1

    +

    =1

    = 0

    1 1

    +

    =2

    1 2

    +

    =2

    + 1

    +

    =1

    = 0

    = 1 = 2 = 1

    +1 + 1

    +

    =1

    +2 + 2 + 1

    +

    =0

    + +1 + 1

    +

    =0

    = 0

    2 2 1 0 + 1 1

    0 + +1 + 1 +2 + 2 + 1 + +1 + 1

    +

    =1

    = 0

    22 + 1 = 0 =

    +1 + 1 +2 + 2 + 1 + +1 + 1 = 0

    +2 = + 1 + + 1

    + 2 + 1 +1 + =

    +

    + + ;

  • Ecuaciones Diferenciales

    ERICK CONDE Pgina 72

    Dando valores a n:

    n = 1

    3 =2

    32 3 =

    2

    3 12

    3 =13

    n =2

    4 =3

    43 4 =

    2

    4 13

    4 =14

    Podemos observar un patrn:

    n = 3

    5 =15

    n =4

    6 =16

    .

    .

    .

    .

    .

    .

    .

    .

    Entonces:

    =

    +

    =0

    = 0 + 1 + 22 + 3

    3 + 44 + .

    = 0 + 1 +12

    2 +13

    3 +14

    4 +15

    5 + .

    = 0 1 + 1 +2

    2+

    3

    3+

    4

    4+

    5

    5+ .

  • Ecuaciones Diferenciales

    ERICK CONDE Pgina 73

    Sabemos que:

    1

    1 =

    +

    =0

    1

    1 = 1 + + 2 + 3 + 4 + 5 + .

    Integrando tenemos:

    1

    1 = 1 + + 2 + 3 + 4 + 5 + .

    1 = +2

    2+

    3

    3+

    4

    4+

    5

    5+

    Entonces, la solucin homognea es:

    = +

  • Ecuaciones Diferenciales

    ERICK CONDE Pgina 74

    ) + + = ; =

    =

    +

    =0

    = ()1

    +

    =1

    = ( 1)2

    +

    =2

    2 1 ( 1)2

    +

    =2

    + 4 ()1

    +

    =1

    + 2

    +

    =0

    = 0

    2 ( 1)2

    +

    =2

    ( 1)2

    +

    =2

    + 4 ()1

    +

    =1

    + 2

    +

    =0

    = 0

    ( 1)

    +

    =2

    ( 1)2

    +

    =2

    + 4 ()

    +

    =1

    + 2

    +

    =0

    = 0

    = 2

    1

    +

    =2

    +2 + 2 + 1

    +

    =0

    + 4

    +

    =1

    + 2

    +

    =0

    = 0

    2 2 1 3 3 2 + 41 1 + 20 + 21 + 1 +2 + 2 + 1 + 4 + 2

    +

    =2

    = 0

    22 63 + 41 + 20 + 21 + 1 +2 + 2 + 1 + 4 + 2

    +

    =2

    = 0

    20 22 + 63 + 41 + 21 + 1 +2 + 2 + 1 + 4 + 2

    +

    =2

    = 0

    20 22 = 0 =

    63 + 41 + 21 = 0 =

    1 +2 + 2 + 1 + 4 + 2 = 0

    +2 = 1 + 4 + 2

    + 2 + 1 + = ;

  • Ecuaciones Diferenciales

    ERICK CONDE Pgina 75

    Dando valores a n:

    n = 2

    4 = 2 4 = 0

    n = 3

    5 = 3 4 = 1

    .

    .

    .

    .

    .

    .

    .

    .

    Entonces:

    =

    +

    =0

    = 0 + 1 + 22 + 3

    3 + 44 + .

    = 0 + 1 + 02 + 2

    3 + 04 + .

    = 0 1 + 2 + 4 + 6 + + 1 1 +

    2 + 4 + 6 +

    Sabemos que:

    1

    1 =

    +

    =0

    1

    1 2= 2

    +

    =0

    1

    1 2= + 2 + 4 + 6 +

    Entonces:

    = 0 1

    1 2 + 1

    1

    1 2

    =

    +

  • Ecuaciones Diferenciales

    ERICK CONDE Pgina 76

    ) + + = ; =

    =

    +

    =0

    = ()1

    +

    =1

    = ( 1)2

    +

    =2

    2 + 1 ( 1)2

    +

    =2

    + 2 ()1

    +

    =1

    2

    +

    =0

    = 0

    2 ( 1)2

    +

    =2

    + ( 1)2

    +

    =2

    + 2 ()1

    +

    =1

    2

    +

    =0

    = 0

    ( 1)

    +

    =2

    + ( 1)2

    +

    =2

    + 2 ()

    +

    =1

    2

    +

    =0

    = 0

    = 2

    ( 1)

    +

    =2

    + +2 + 2 ( + 1)

    +

    =0

    + 2 ()

    +

    =1

    2

    +

    =0

    = 0

    2 2 1 + 3 3 2 + 21 1 20 21 + 1 + +2 + 2 + 1 + 2 2

    +

    =2

    = 0

    22 + 63 + 21 20 21 + 1 + +2 + 2 + 1 + 2 2

    +

    =2

    = 0

    22 20 = 0 =

    63 = 0 =

    1 + +2 + 2 + 1 + 2 2 = 0

    +2 =2 2 1

    + 2 + 1 + =

    + ;

  • Ecuaciones Diferenciales

    ERICK CONDE Pgina 77

    Dando valores a n:

    n = 2

    4 = 1

    32 4 =

    1

    30

    n = 3

    5 = 2

    43 5 = 0

    n = 4

    6 = 3

    54 4 =

    1

    50

    n = 5

    7 = 0

    n = 6

    8 = 5

    72 4 =

    1

    70

    .

    .

    .

    .

    .

    .

    .

    .

    Entonces:

    =

    +

    =0

    = 0 + 1 + 22 + 3

    3 + 44 + .

    = 0 + 1 + 02 + 0

    03

    4 + 0 +05

    6 + 0 07

    8 .

    = 0 1 + 2

    4

    3+

    6

    5

    8

    7 . + 1

  • Ecuaciones Diferenciales

    ERICK CONDE Pgina 78

    Sabemos que:

    =

    1

    1 + 2

    = 2

    +

    =0

    = 1 2

    +

    =0

    = 1 2 + 3 4 + 5

    Integrando tenemos:

    = 1 2 + 3 4 + 5

    = 3

    3+

    4

    4

    5

    5+

    6

    6

    Multiplicando por x:

    = 2 4

    3+

    5

    4

    6

    5+

    7

    6

    Entonces:

    = + +

  • Ecuaciones Diferenciales

    ERICK CONDE Pgina 79

    ) + =

    =

    +

    =0

    = ()1

    +

    =1

    = ( 1)2

    +

    =2

    1 2

    +

    =2

    + 2 1

    +

    =1

    2

    +

    =0

    =

    1 2

    +

    =2

    + 2

    +

    =1

    2

    +

    =0

    =

    = 2

    +2 + 2 + 1

    +

    =0

    + 2

    +

    =1

    2

    +

    =0

    =

    2 2 1 20 + +2 + 2 + 1 + 2 2

    +

    =0

    =

    22 20 = 0 =

    3 3 2 + 21 1 21 = 63 21 21 = 1 =

    +

    +2 + 2 + 1 + 2 2 = 0

    +2 =2( + 1)

    + 2 + 1 + =

    + ;

  • Ecuaciones Diferenciales

    ERICK CONDE Pgina 80

    Dando valores a n:

    n = 2

    4 =2

    42 4 =

    1

    20

    n = 3

    5 =2

    53 5 =

    2

    5

    1

    6+

    2

    31 5 =

    1

    3 5+

    2 2

    3 51

    n = 4

    6 =2

    64 6 =

    2

    6

    1

    20 6 =

    1

    60

    n = 5

    7 =2

    75 7 =

    2

    7

    2

    5 6+

    2 2

    3 51 7 =

    2

    3 5 7+

    2 2 2

    3 5 71

    n = 6

    8 =2

    86 8 =

    2

    8

    1

    60 8 =

    1

    240

    n = 7

    9 =2

    97 9 =

    2

    9

    2 2

    5 6 7+

    2 2 2

    3 5 71 9 =

    2 2

    3 5 7 9+

    2 2 2 2

    3 5 7 91

    .

    .

    .

    .

    .

    .

    .

    .

    Entonces:

    =

    +

    =0

    = 0 + 1 + 22 + 3

    3 + 44 + .

    = 0 + 1 + 02 +

    1

    6+

    2

    31

    3 +02

    4 + 2

    5 6+

    2 2

    3 51

    5 +06

    6 + 2 2

    5 6 7+

    2 2 2

    3 5 71

    7 + .

    = 0 + 1 + 02 +

    3

    6+

    2

    31

    3 +02

    4 +25

    5 6+

    2 2

    3 51

    5 +06

    6 +2 2

    5 6 77 +

    2 2 2

    3 5 71

    7 +

  • Ecuaciones Diferenciales

    ERICK CONDE Pgina 81

    = 0 1 + 2 +

    6

    6+

    8

    24+

    10

    120+ + 1 +

    2

    33 +

    2 2

    3 55 +

    2 2 2

    3 5 77 +

    2 2 2 2

    3 5 7 99 +

    1

    2 33 +

    1

    3 55 +

    2

    3 5 77 +

    2 2

    3 5 7 9

    Haciendo artificios para dar forma de sumatoria a la sucesin:

    = 0 1 + 2 +

    6

    2 3+

    8

    2 3 4+

    10

    2 3 4 5+ + 1 +

    2

    33 +

    2 2

    3 55 +

    2 2 2

    3 5 77 + +

    33 +

    3 5 5 +

    2

    3 5 7 7 +

    2 2

    3 5 7 9

    = 0 1 + 2 +

    6

    3!+

    8

    4!+

    10

    5!+ + 1 +

    (2 2)

    2 33 +

    2 2 2 2 2

    2 3 4 55 +

    2 2 2 2 2 2 2 3

    2 3 4 5 6 77 + +

    1

    2 33 +

    (2 2) 2

    2 3 4 55 +

    (2 2 2 2) 2 3

    2 3 4 5 6 77 +

    2 2 2 2 2 2 2 3 4

    2 3 4 5 6 7 8 99

    = 0 2

    !

    +

    =0

    + 1 22!

    (2 + 1)!2+1

    +

    =0

    + 22!

    (2 + 3)!2+3

    +

    =0

    = +

    !

    ( + )!+

    +

    =

    + !

    ( + )!+

    +

    =

  • Ecuaciones Diferenciales

    ERICK CONDE Pgina 82

    ) + + =

    =

    +

    =0

    = ()1

    +

    =1

    = ( 1)2

    +

    =2

    2 + 1 ( 1)2

    +

    =2

    + ()1

    +

    =1

    +

    =0

    = 0

    2 ( 1)2

    +

    =2

    + ( 1)2

    +

    =2

    + ()1

    +

    =1

    +

    =0

    = 0

    ( 1)

    +

    =2

    + ( 1)2

    +

    =2

    + ()

    +

    =1

    +

    =0

    = 0

    = 2

    ( 1)

    +

    =2

    + +2 + 2 ( + 1)

    +

    =0

    + ()

    +

    =1

    +

    =0

    = 0

    2 2 1 + 3 3 2 + 1 1 0 1 + 1 + +2 + 2 + 1 + = 0

    +

    =2

    22 0 + 63 + 1 + +2 + 2 + 1 + = 0

    +

    =2

    22 0 = 0 =

    63 = 0 =

    1 + +2 + 2 + 1 + = 0

    +2 =1 ( 1)

    + 2 + 1 + =

    + ;

  • Ecuaciones Diferenciales

    ERICK CONDE Pgina 83

    Dando valores a n:

    n = 2

    4 = 1

    42 4 =

    1

    4

    1

    20 4 =

    1

    2 40

    n = 3

    5 = 2

    53 5 =

    2

    5 0 5 = 0

    n = 4

    6 = 3

    64 6 =

    3

    6

    1

    2 40 6 =

    3

    2 4 60

    n = 5

    7 = 4

    75 7 = 0

    n = 6

    8 = 5

    86 4 =

    5

    8

    3

    2 4 60 4 =

    3 5

    2 4 6 80

    .

    .

    .

    .

    .

    .

    .

    .

    Entonces:

    =

    +

    =0

    = 0 + 1 + 22 + 3

    3 + 44 + .

    = 0 + 1 +1

    20

    2 + 0 1

    2 40

    4 + 0 +3

    2 4 60

    6 3 5

    2 4 6 80

    8 .

    = 1 + 0 1 +1

    22

    1

    (2 2) 24 +

    3

    (2 2 2) 2 36

    3 5

    (2 2 2 2) 2 3 48

    = + +

    +

    ( )

    !

    +

    =

  • Ecuaciones Diferenciales

    ERICK CONDE Pgina 84

    ) + =

    =

    +

    =0

    = ()1

    +

    =1

    = ( 1)2

    +

    =2

    Sabemos que:

    = 1 2

    2 + 1

    +

    =0

    = 1 2

    2!+

    4

    4!

    6

    6!+

    Entonces:

    1 2

    +

    =2

    + 1 2

    2!+

    3

    4!

    4

    6!+

    +

    =0

    = 0

    = 2

    +2 + 2 + 1

    +

    =0

    + 1 2

    2!+

    4

    4!

    6

    6!+

    +

    =0

    = 0

    +2 + 2 + 1

    +

    =0

    + 1 2

    2!+

    4

    4!

    6

    6!+

    +

    =0

    = 0

    Resolviendo la sumatoria:

    22 + 63 + 1242 + 205

    3 + + 1 2

    2+

    3

    24

    6

    720+ 0 + 1 + 2

    2 + 33 + = 0

    22 + 0 + 63 + 1 + 124 + 2 02

    2 + 205 + 3 12

    3 +

  • Ecuaciones Diferenciales

    ERICK CONDE Pgina 85

    La ltima expresin tiene que ser igual a cero, de modo que se debe cumplir que:

    22 + 0 = 0 2 = 02

    63 + 1 = 0 3 = 16

    124 + 2 02

    = 0 124 =02

    2 124 =02

    +02

    4 =012

    205 + 3 12

    = 0 205 =12

    3 205 =12

    +16

    5 =130

    .

    .

    .

    .

    .

    .

    .

    .

    Entonces:

    =

    +

    +

    +