Ecuaciones diferenciales exactas y factores integrantes · 104 Ecuaciones diferenciales exactas y...

Tema 5

Ecuaciones diferenciales exactas yfactores integrantes

5.1 Introduccion

Hasta ahora hemos estudiado diversos tipos de EDOs de primer orden y en funcion del tipo deecuacion hemos procedido mediante un determinado metodo de resolucion. Lo que planteamos eneste tema es un metodo de resolucion que podrıamos intentar llevar a cabo con cualquier ecuaciondiferencial de primer orden, pero que, lamentablemente, solo da resultado en ciertos casos. Dehecho funciona con ciertas ecuaciones que inicialmente no son reconocibles hasta que se realizanciertas comprobaciones; estas son las ecuaciones diferenciales exactas.

Para motivar el tipo de ecuaciones que vamos a estudiar consideramos, como referencia, el casoconocido de las ecuaciones de variables separadas (estudiadas en el tema 3):

q(x(t))x!(t) = p(t) (de forma abreviada: q(x)x! = p(t)),

donde las funciones p y q son funciones continuas en ciertos intervalos It e Ix. Para nuestro objetivouna forma mas conveniente de escribir la ecuacion es

(5.1) !p(t) + q(t)x! = 0.

Vimos que las posibles soluciones de la ecuacion (5.1), con graficas contenidas en It " Ix, vienendadas implıcitamente por ecuaciones del tipo

!q(x) dx =

!p(t) dt + C donde C es constante.

Si consideramos la funcion

(5.2) F : D = It " Ix # R, (t, x) $# F (t, x) =

!q(x) dx!

!p(t) dt,

podemos afirmar que las soluciones de (5.1) vienen dadas implıcitamente por ecuaciones del tipo

(5.3) F (t, x) = C donde F es la definida en (5.2).

103

104 Ecuaciones diferenciales exactas y factores integrantes

Observemos que si los intervalos It e Ix son abiertos, el conjunto D es abierto en R2y F %

C1(D,R). Concretamente verifica:

(5.4)!F

!t(t, x) = !p(t),

!F

!x(t, x) = q(x).

De esta forma la ecuacion de variables separadas (5.1) podemos escribirla en forma abreviada como

(5.5)!F

!t(t, x) +

!F

!x(t, x)x! = 0

y resulta que sus soluciones vienen definidas implıcitamente por ecuaciones del tipo F (t, x) = C.

Teniendo en cuenta la expresion (5.1) vamos a considerar EDOs de primer orden del tipo

M(t, x(t)) +N(t, x(t))x!(t) = 0

que en forma abreviada escribimos ası:

(5.6) M(t, x) +N(t, x)x! = 0.

De hecho, (5.6) es una EDO de primer orden en forma implıcita, pero cualquier EDO de primer

orden explıcita x! = f(t, x) se puede escribir de esta forma, dondeM(t, x) = !f(t, x), N(t, x) = 1.

En ocasiones nos encontramos con EDOs de primer orden explıcitas escritas directamente ası:

x! =g(t, x)

h(t, x)

y esta claro que podemos escribirla de la forma dada en (5.6), siendo M(t, x) = !g(t, x) y N(t, x) =h(t, x). Observese que en estos casos la funcion N verifica N(t, x) &= 0 para cada (t, x). Ası, porejemplo, la ecuacion

x! =!x2

2tx+ senx

podemos escribirla comox2 + (2tx+ senx)x! = 0

si bien hay que tener en cuenta que cualquier solucion de la primera es solucion de la segundapero no al reves, dado que en la segunda estamos permitiendo que una solucion x verifique que2tx(t)+senx(t) = 0 en un punto t de un intervalo de definicion, lo que esta prohibido en la primeraecuacion.

Lo que sı esta claro es que cualquier EDO de primer orden explıcita x! = f(t, x) es un casoparticular de (5.6) y que si N(t, x) &= 0 para cada (t, x), la ecuacion (5.6) es equivalente a unaecuacion explıcita x! = f(t, x).

A partir de ahora usaremos notaciones abreviadas para las ecuaciones diferenciales.

En principio, nuestro principal objetivo es generalizar los resultados conocidos para ecuacionesde variables separadas (5.1). Teniendo en cuenta lo visto para la resolucion de este caso y teniendocomo referencia la expresion (5.5), damos la siguiente definicion:

Apuntes de Ecuaciones Diferenciales IProf. Diego Gallardo Gomez

Universidad de Malaga

5.1. Introduccion 105

Definicion 5.1 (Ecuaciones exactas). Sean D un subconjunto abierto de R2y M,N : D # R

dos funciones continuas en D. Se dice que la ecuacion diferencial

M(t, x) +N(t, x)x! = 0

esta escrita en forma exacta en D cuando existe una funcion F % C1(D,R) que verifica

(5.7)!F

!t= M,

!F

!x= N en D.

Segun lo visto al inicio de esta introduccion, cualquier ecuacion de variables separadas estaescrita en forma exacta.

Observaciones:

1. Cuando se verifica la condicion (5.7) se suele decir que la ecuacion (5.6) es exacta. A mientender es mas correcto decir, aunque no es la terminologia habitual, que la ecuacion estaescrita en forma exacta, dado que una ecuacion diferencial, como (5.6), se puede escribir dedistintas formas equivalentes y puede suceder que escrita de una forma no sea exacta y escritade otra forma equivalente sı lo sea. Por ejemplo, esto sucede cuando tenemos una funcion µtal que µ(t, x) &= 0 para cada (t, x) % D; en este caso (5.6) serıa equivalente a escribirla como

µ(t, x)M(t, x) + µ(t, x)N(t, x)x! = 0.

Precisamente este es el fundamento de los llamados factores integrantes, que vamos a trataren la seccion 5.4 .

2. En la definicion suponemos que D es abierto para que tengan sentido las derivadas parcialesen cualquier punto de D, pero a veces nos encontraremos con una region no abierta y alescribir F % C1

(D,R) entenderemos que existe un abierto A en R2tal que D ' A y tal que

F % C1(A,R).

3. El concepto de exactitud se podrıa independizar de las teorıa de las ecuaciones diferenciales.Supongamos que tenemos un par de funciones M,N : D # R (funciones escalares) y conside-ramos la funcion vectorial

(M,N) : D # R2, (t, x) $# (M(t, x), N(t, x)),

lo que en Fısica se llama campo vectorial. Decir que existe F % C1(D,R) que verifica la

condicion (5.7) significa que existe F % C1(D,R) cuyo gradiente (F verifica (F = (M,N) .

En Fısica, a una funcion con la propiedad anterior se le llama funcion potencial del campovectorial (M,N) y, en este caso, se puede decir que (M,N) es exacto en D.

4. En muchos textos dirigidos a fısicos, ingenieros y tambien a matematicos, una ecuacion dife-rencial como (5.6) se puede encontrar escrita ası:

M(t, x)dt+N(t, x)dx = 01

1Conviene aclarar que esta “forma diferencial” de expresar una ecuacion diferencial ha sido la usual (y posiblementela unica) desde los orıgenes de la teorıa hasta fechas mas bien recientes: el propio nombre ecuacion diferencial indicaque se trata de una ecuacion entre “diferenciales”.


y dicen que la forma diferencial M(t, x)dt+N(t, x)dx (¿que entendemos por esto?) es exactacuando sucede (5.7), es decir, cuando la forma diferencial se puede escribir ası:

!F

!tdt+

!F

!xdx,

pues, en tal caso, lo anterior coincide con la llamada diferencial de F, notada por dF . Ası,la ecuacion diferencial quedarıa escrita como dF (t, x) = 0 y, por tanto, se debe verificar queF (t, x) = C con C constante y esto nos darıa la forma de obtener, de forma impıcita, lassoluciones x.

¿Que sentido y rigor matematico tiene todo lo anterior?. Se le podrıa dar sentido usandoel concepto de forma diferencial, pero me parece poco razonable usar esta sofisticada herra-mienta matematica cuando la cuestion planteada se puede tratar de una forma mucho massimple y natural, sin mas que aplicar la regla de la cadena.

5.2 Resolucion de ecuaciones exactas y problemas de Cauchy aso-ciados

Vamos a comprobar la ventaja que tiene una ecuacion diferencial escrita en forma exacta cuando sequiere determinar sus posibles soluciones o bien las posibles soluciones de problemas de valores ini-ciales asociados. Lo que se ve en esta seccion generaliza los resultados vistos en 3.2 para ecuacionesde variables separadas.

Teorema 5.1. Sean M,N : D # R dos funciones continuas en D ' R2y supongamos que la

ecuacion diferencialM(t, x) +N(t, x)x! = 0

esta escrita en forma exacta en D, es decir, existe F % C1(D,R) tal que (F = (M,N). Sea I un

intervalo en R. Una funcion derivable x : I # R, con su grafica contenida en D, es solucion dela ecuacion diferencial si, y solo si, existe C % R tal que x viene definida implıcitamente en I porla ecuacion

(5.8) F (t, x) = C.

Observacion: Recordamos que decir que x viene definida implıcitamente en I por la ecuacionF (t, x) = 0 significa que F (t, x(t)) = 0 para cada t % I.

Prueba. Supongamos, en primer lugar que x es solucion de la ecuacion en I. Entonces,

(5.9) M(t, x(t)) +N(t, x(t))x!(t) = 0 para cada t % I.

o, equivalentemente

(5.10)!F

!t(t, x(t)) +

!F

!x(t, x(t))x!(t) = 0 para cada t % I.

Definimos " : I # R por "(t) = F (t, x(t)). Al ser las dos funciones t $# t, t $# x(t) derivables(diferenciables) en I y F diferenciable en D, usando el teorema de la regla de la cadena, resultaque " es derivable en I y, para todo t % I se verifica

"!(t) =!F

!t(t, x(t)) +

!F

!x(t, x(t))x!(t) = 0.



5.2. Resolucion de ecuaciones exactas 107

Al ser I un intervalo, la funcion " ha se ser constante en I. De esta forma queda confirmado queexiste C % R tal que F (t, x(t)) = C para cada t % I.

Para el recıproco, basta “dar la vuelta” en el razonamiento que acabamos de usar. Ası, si x esderivable en I y existe C % R tal que F (t, x(t)) = C para cada t % I, derivando en ambos miembrosde la igualdad anterior y usando la regla de la cadena se obtiene (5.10) y, por tanto, (5.9).

Una vez que tenemos una forma (hasta ahora poco practica) de como determinar las solucionesde una ecuacion diferencial exacta vamos a ver como se resuelve un problema de valor inicial(problema de Cauchy) y vamos a dar un resultado de existencia y unicidad para este tipo deproblemas. Este resultado va a generalizar el teorema 3.1 sobre ecuaciones de variables separadas.

Teorema 5.2. Sean M,N : D # R dos funciones continuas en D, (t0 , x0) %"D y consideramos

el problema de valor inicial

(P ) :

"M(t, x) +N(t, x)x! = 0

x(t0) = x0

.

Supongamos que la ecuacion diferencial esta escrita en forma exacta y F % C1(D,R) es tal que

(F = (M,N). Se verifica lo siguiente:

I) Una funcion derivable x : I # R, con su grafica contenida en D y tal que verifica x(t0) = x0 ,es solucion del problema (P ) si, y solo si, viene definida implıcitamente en I por la ecuacion

(5.11) F (t, x) = F (t0 , x0).

II) (Existencia y unicidad) Si N(t0 , x0) &= 0 existe un intervalo abierto I tal que t0 % I y tal

que el problema de valor inicial (P ) posee una unica solucion (de clase uno) definida en I(con la grafica contenida en D).

Prueba. Vamos a ver que la primera parte se sigue trivialmente del teorema anterior y la segundaes consecuencia de la primera y del teorema de la funcion implıcita.

I) Bajo las condiciones dadas sobre x, esta funcion es solucion del problema (P ) si, y solo si,verfica la ecuacion diferencial y esto sucede, segun el terorema 5.1, si y solo si existe C % R tal queF (t, x(t)) = C para cada t % I. En particular, para t = t0 se obtiene C = F (t0 , x0).

II) Consideramos la funcion G : D # R definida por G(t, x) = F (t, x)! F (t0 , x0). Esta funcioncumple lo siguiente:

• G % C1(D,R).

• G(t0 , x0) = 0.

• !G!x (t0 , x0) = N(t0 , x0) &= 0.

Estamos en condiciones de usar el teorema de la funcion implıcita y asegurar que existe un intervaloabierto I ) t0 y una unica funcion de clase uno x : I # R tal que x(t0) = x0 y tal que G(t, x(t)) = 0para cada t % I, es decir, F (t, x(t)) = F (t0 , x0) para cada t % I (lo que lleva implıcito que la graficade x esta contenida en D). La parte I) nos confirma que x es la unica solucion de clase uno delproblema (P ) definida en el intervalo I (con la grafica contenida en D).


5.3 Condicion necesaria y suficiente para la exactitud

Los resultados anteriores son satisfactorios pero poco practicos. Nos planteamos las dos siguientescuestiones:

1. ¿Como podemos saber si una ecuacion como (5.6) esta escrita en forma exacta?

2. En caso afirmativo, ¿Como podemos determinar una F % C1(D,R) cuyo gradiente (F veri-

fique (F = (M,N)?

En esta seccion vamos a responder a estas dos cuestiones. Las respuestas son satisfactorias siempreque supongamos ciertas restricciones sobre las funciones M y N y el conjunto D.

La primera observacion es que si existe F % C1(D,R) tal que (F = (M,N), cualquier funcion

G de la forma G = F + C, con C constante, tiene la misma propiedad. Recıprocamente, si D esconexo en R2

dos funciones F y G con esa propiedad solo se diferencian en una constante ya quese verifica

!(G! F )

!t(t, x) = 0,

!(G! F )

!x(t, x) = 0 para cada (t, x) % D

y, al ser G!F diferenciable en cada punto de D, la diferencial d(G!F )(t, x) es la aplicacion nulapara cada (t, x) % D. Al ser D conexo, esto implica que G! F es constante en D.

Los dos problemas planteados pueden independizarse de las ecuaciones diferenciales ya que unaecuacion como (5.6) viene descrita por un par de funciones: (M,N). Por esta razon, para abordarlos problemas planteados adoptamos una definicion, independiente de las ecuaciones diferenciales,que puede ser util para otros propositos.

Definicion 5.2. Diremos que el par de funciones M,N : D # R es exacto en D cuando existeF % C1

(D,R) tal que (F = (M,N).

El procedimiento que seguiremos es el siguiente:

• Suponiendo que M,N % C1(D,R) y que el par (M,N) es exacto en D vamos a llegar a una

condicion muy manejable (condicion necesaria).

• Despues veremos que bajo cierta restriccion sobre el conjunto D tal condicion necesariatambien es suficiente para que (M,N) sea exacto en D. Al mismo tiempo daremos un metodopara determinar una funcion F % C1

(D,R) tal que (F = (M,N).

La condicion necesaria es facil de obtener y solo consiste en usar la definicion de exactitud y elteorema de Schwarz sobre derivadas cruzadas de segundo orden. Vamos a suponer sobre M y Ncondiciones mas que suficientes para que se pueda hacer uso de tal teorema.

Proposicion 5.1. Si el par (M,N)es exacto en D y M,N % C1(D,R), entonces se verifica la

condicion

(5.12)!M

!x(t, x) =

!N

!t(t, x) para cada (t, x) % D.



5.3. Condicion necesaria y suficiente para la exactitud 109

Prueba. Sea F : D # R tal que (F = (M,N). Como M y N son de clase C1en D, y ademas

!F

!t= M,

!F

!x= N,

resulta que F es de clase C2 en D. Luego, por el teorema de Schwarz, sus derivadas cruzadas desegundo orden coinciden en D, es decir,

!2F

!t!x=

!2F

!x!t.

Por tanto,!M

!x=

!

!x

#!F

!t

$=

!2F

!x!t=

!2F

!t!x=

!

!t

#!F

!x

$=

!N

!t.

Observaciones:

1. La hipotesis M,N % C1(D,R) es demasiado exigente; de hecho, teniendo en cuenta otra

version menos restrictiva del teorema de Schwarz, se puede comprobar que es suficiente conexigir que exista !M

!x : D # R y sea continua en D.

2. A veces es conveniente escribir la condicion necesaria (5.12) ası: !M!x ! !N

!t = 0. En cierta

terminologıa a la funcion !M!x ! !N

!t se le llama rotacional del campo vectorial (M,N) y cuandoel rotacional es nulo se dice que el campo vectorial es irrotacional.

Definicion 5.3. Si D ' R2y M,N : D # R son de clase C1

, definimos rot(M,N) = !M!x ! !N

!t .

Se puede recordar tal definicion mediante el siguiente abuso de notacion:

rot(M,N) = !

%%%%%

!!t

!!x

M N

%%%%% .

Ası pues, la condicion necesaria obtenida en el resultado anterior para que el par (M,N) sea exacto

en D se puede escribir como rot(M,N) = 0 en D.

Serıa deseable que la condicion (5.12), tan manejable, fuese tambien suficiente para la exactituddel par (M,N) en D, pero esto, en general, no es cierto; depende de cierta propiedad o forma delconjunto D. Si D = R2 ! {(0, 0)} las funciones M,N : D # R definidas por

M(t, x) = ! x

t2 + x2y N(t, x) =

t

t2 + x2

verifican la condicion (5.12) y, sin embargo, el par (M,N) no es exacto en D.

Se puede probar, haciendo uso de integrales curvilıneas, que si D es un abierto simplementeconexo en R2

(lo que, en el plano, quiere decir conexo y “sin agujeros”) entonces la condicion (5.12)sı es suficiente para que (M,N) sea exacto en D. El conjunto D = R2!{(0, 0)} del ejemplo anteriores conexo pero no es simplemente conexo en R2

.

Nosotros vamos a probar esto en un caso muy usual, cuando D es de la forma D = I"J , siendoI y J intervalos en R. Al mismo tiempo daremos una forma de encontrar una funcion potencial Fpara el par (M,N) en D.


Teorema 5.3. Sean I y J dos intervalos en R, D = I"J y M,N % C1(D,R). Las dos siguientes

condiciones son equivalentes:

(I) El par (M,N) es exacto en D.

(II) !M!x = !N

!t en D.

Ademas, en el caso en que (M,N) sea exacto en D y fijemos t0 % I y x0 % J , la funcionF : D # R, definida por

(5.13) F (t, x) =

! t

t0

M(s, x) ds+

! x

x0

N(t0 , s) ds

verifica que F % C1(D,R) y (F = (M,N).

Prueba. Esta claro que solo tenemos que probar la implicacion (II) * (I). Aunque podrıamos hacerla prueba mas simple comprobando directamente que la funcion dada por (5.13) esta bien definiday verifica que F % C1

(D,R) y (F = (M,N), lo que implicarıa que el par (M,N) es exacto en D,preferimos hacer una prueba mas extensa, pero mas constructiva, que nos sirva de referencia enla practica para saber como encontrar F sin necesidad de recordar la expresion (5.13). El metodoconsiste en suponer que tal funcion F existe y llegar de una forma razonada a la expresion (5.13)(esta es la parte que usaremos en la practica). Despues comprobaremos que, efectivamente, tal Fverifica lo pedido.

Fijemos inicialmente un punto t0 % I y otro punto x0 % J . Supongamos que se verifica (II) yque existe F % C1

(D,R) tal que (F = (M,N). Vamos a partir de la igualdad

(5.14)!F

!t(t, x) = M(t, x) para todo (t, x) % D,

pero podrıamos proceder de forma analoga partiendo de la igualdad !F!x (t, x) = N(t, x).

Vamos a considerar las funciones F y M como funciones de una sola variable, la variable“t”. De forma rigurosa, al ser D = I " J , para cada x % J podemos considerar las funcionesfx : I # R, t $# fx(t) = F (t, x), mx : I # R, t $# mx(t) = M(t, x). El que exista !F

!t (t, x) para cada(t, x) % D, equivale a decir que para cada x % J la funcion fx es derivable en I y, por tanto, laigualdad (5.14) se puede escribir de forma equivalente ası:

Para cada x % J se verifica f !x(t) = mx(t) para cada t % I,

es decir, para cada x % J , es fx una primitiva demx en I. Como la funcion t $#& tt0mx(s) ds tambien

es una primitiva de mx e I es un intervalo, debe existir una constante c(x) % R (obviamente laconstante depende de las funciones y estas dependen de x) tal que fx(t) =

& tt0mx(s) ds+ c(x) para

cada t % I, es decir,

(5.15) F (t, x) =

! t

t0

M(s, x) ds+ c(x) para todo (t, x) % D.

En la practica, podremos decir que de (5.14) se obtiene

F (t, x) =

!M(t, x) dt+ c(x).




Vease que todo lo realizado hasta ahora tiene sentido por la forma especial de la region D.Observese que si D es otro tipo de region, aunque esta sea simplemente conexa, al considerar elconjunto Ix = {t % R : (t, x) % D}, donde las funciones fx y mx estan definidas, puede suceder queIx, que depende de x, no sea un intervalo o, siendo intervalo, se verifique que t0 /% Ix. En esteultimo caso no tiene sentido considerar integrales con lımites de integracion t0 y t y, en el primerono podemos afirmar que dos primitivas se diferencien en constantes. En nuestro caso, D = I " J ,todos los Ix coinciden con I.

En principio, la funcion c : J # R, x $# c(x), no tendrıa porque ser derivable, ni siquieracontinua, pero vamos a probar que sı es derivable en J y vamos a determinar su expresion (salvouna constante). Para esto necesitamos usar el teorema de Leibnitz sobre integrales parametricas;mas concretamente, un caso particular de este resultado. Observese que en la integral que apareceen (5.15), la variable x no es la variable de integracion, pero el valor de tal integral depende de x, esdecir, x es un parametro dentro de esa integral. Al existir la derivada parcial !M

!x y ser continua en

D, el teorema de Leibnitz asegura que la funcion G : D # R definida por G(t, x) =& tt0M(s, x) ds

posee derivada parcial respecto de la variable x en cada punto de D y verifica

(5.16)!

!x

! t

t0

M(s, x) ds =

! t

t0

!M

!x(s, x) ds.

Como tambien existe !F!x , se sigue de (5.15) que la funcion c es derivable en J y verifica

c!(x) =!F

!x(t, x)!

! t

t0

!M

!x(s, x) ds.

Teniendo ahora en cuenta que !F!x (t, x) = N(t, x), la condicion (II) y la regla de Barrow, obtenemos

c!(x) = N(t, x)!! t

t0

!N

!s(s, x) ds = N(t, x)!

! t

t0

n!x(s) ds = N(t, x)! (nx(t)! nx(t0)) = N(t0 , x),

para cada x % J (observese que en la expresion de c!(x) no aparece la variable t, como debe ser).Al ser J un intervalo, existe k % R tal que

c(x) =

! x

x0

N(t0 , s)ds+ k para todo x % J.

Ası, de suponer que (M,N) posee una funcion potencial F , esta estarıa definida en D por laexpresion

(5.17) F (t, x) =

! t

t0

M(s, x)ds+

! x

x0

N(t0 , s)ds+ k siendo k cualquier constante.

(recuerdese que sobre un conjunto conexo dos funciones potenciales para (M,N) se diferencian enuna constante y D = I"J es conexo). Hasta aquı tenemos el procedimiento que llevaremos a caboen la practica (mas simple de lo que parece) para determinar una F tal que (F = (M,N).

Confirmemos ahora que, efectivamente, cualquier funcion definida por (5.17) verifica (F =(M,N). En principio, ha quedado claro anteriormente que F esta bien definida; en esto resultafundamental que sea D = I " J. Ahora, usando el teorema fundamental del calculo, la regla deBarrow, el teorema de Leibnitz y la condicion (II), obtenemos para cada (t, x) lo siguiente:

!F

!t(t, x) = M(t, x).

!F

!x(t, x) =

! t

t0

!M

!x(s, x) ds+N(t0 , x) =

! t

t0

!N

!s(s, x) ds+N(t0 , x)

= (N(t, x)!N(t0 , x)) +N(t0 , x) = N(t, x).


Observaciones:

1. La expresion de F obtenida en (5.13) generaliza la vista en (5.2) para ecuaciones de variablesseparadas: !p(t) + q(x)x! = 0, pues en este caso la expresion de F queda ası:

F (t, x) =

! x

x0

q(s) ds!! t

t0

p(s) ds.

2. Haciendo uso del teorema anterior se puede ahora probar que el par de funciones (M,N)definidas en D = R2 ! {(0, 0)} por

M(t, x) = ! x

t2 + x2y N(t, x) =

t

t2 + x2

no es exacto en D, aunque verifica !M!x = !N

!t . Esto se puede probar por reduccion al absurdotrabajando en los dominios R" (0,+) y R" (!+, 0), donde se puede hacer uso del teorema.

En la practica no es necesario recordar la expresion (5.13) ni elegir puntos t0 % I y x0 % J . Unavez comprobado que !M

!x = !N!t en D = I " J, podemos partir de la igualdad

!F

!t(t, x) = M(t, x)

para obtener

F (t, x) =

!M(t, x) dt+ c(x).

Tenemos asegurado por el teorema anterior que la funcion c es derivable en J y para llegar a laexpresion de su derivada solo tenemos que derivar respecto de la variable x en ambos miembrosde la igualdad anterior y usar que !F

!x = N, para llegar a una expresion del tipo c!(x) = "(x),donde la funcion " sera conocida (y continua). Bastara entonces con determinar una primitivade esta funcion en J para llegar a una expresion de F . Entre dos expresiones distintas de F ladiferencia estarıa en un sumando constante. Tengase en cuenta que la condicion rot(M,N) = 0 esla que asegura que a la hora de determinar c(x) la variable t desaparece. De llevarse a la practicaeste metodo en un caso donde rot(M,N) &= 0 posiblemente nos encontrarıamos con una expresion(absurda) del tipo c!(x) = "(t, x).

Tambien se puede iniciar el procedimiento a partir de la expresion

!F

!x(t, x) = N(t, x)

para obtener

F (t, x) =

!N(t, x) dx+ c(t).

De forma analoga, la funcion c es derivable en I y se determina derivando respecto a la variablet en los dos miembros de la igualdad anterior, usando ahora que !F

!t = M. Llegarıamos ası a unaexpresion de F que solo puede diferir de la obtenida de la otra forma, en un sumando constante.Este sumando constante no va a afectar en nada a la resolucion de la ecuacion diferencial

M(t, x) +N(t, x)x! = 0,

que estarıa escrita en forma exacta en D, ya que sus soluciones vendrıan dadas implıcitamente porecuaciones del tipo F (t, x) = C, siendo C constante.




Ilustramos todo lo comentado anteriormente en el siguiente ejemplo:

Ejemplo 5.1. Sean las funciones M,N : R2 # R definidas por M(t, x) = x ! t y N(t, x) =t+ x2 + 1.

M y N son dos funciones de clase C1(R2

,R) y para todo (t, x) % R2se verifica

!M

!x(t, x) = 1 =

!N

!t(t, x).

Como estamos en las condiciones del teorema anterior, podemos afirmar que el par (M,N) es exactoen R2, es decir, existe una funcion F : R2 # R tal que (F = (M,N). Determinamos ahora una Fen estas condiciones, de las dos formas indicadas anteriormente.

!F

!t(t, x) = M(t, x) = x! t =* F (t, x) =

!(x! t) dt+ c(x) = xt! t2

2+ c(x)

=* t+ x2 + 1 = N(t, x) =!F

!x(t, x) = t+ c!(x) =* c!(x) = x2 + 1

=* c(x) =x3

3+ x+ k (podemos prescindir de k).

Ası se obtiene

F (t, x) = xt! t2

2+

x3

3+ x.

Realizando el procedimiento analogo, empezando con la funcion N , se tiene

!F

!x(t, x) = N(t, x) = t+ x2 + 1 =* F (t, x) =

!(t+ x2 + 1) dx+ c(t) = tx+

x3

3+ x+ c(t)

=* x! t = M(t, x) =!F

!t(t, x) = x+ c!(t) =* c!(t) = !t

=* c(t) = ! t2

2,

obteniendose en este caso la misma expresion: F (t, x) = tx+ x3

3 + x! t2

2 .

Ahora planteamos la ecuacion diferencial:

x! t+ (t+ x2 + 1)x! = 0

y podemos afirmar que tal ecuacion esta escrita en forma exacta en R2. Por tanto, una funcion

derivable x : I # R es solucion de tal ecuacion diferencial si, y solo si, viene definida implıcitamenteen I por una ecuacion del tipo

x3

3+ (t+ 1)x! t2

2= C con C % R.

Aquı nos encontramos con el problema de despejar la x, aunque existen formulas muy comple-jas para ecuaciones de tercer grado, de las que podrıamos hacer uso. Si le damos al programaMathematica la ecuacion diferencial ası:

DSolve'x[t]! t+

(t+ x[t]2 + 1

)x![t] == 0, x[t], t

*

este hace uso de tales formulas y observese la respuesta que da.


x[t] # 36 + 36t

322/3#!324t2 +

+4(36 + 36t)3 + (!324t2 ! 648C[1])2 ! 648C[1]

$1/3

!

#!324t2 +

+4(36 + 36t)3 + (!324t2 ! 648C[1])2 ! 648C[1]

$1/3

621/3

x[t] # !(1 + i

,3)(36 + 36t)

622/3#!324t2 +

+4(36 + 36t)3 + (!324t2 ! 648C[1])2 ! 648C[1]

$1/3

+

(1! i

,3)#

!324t2 ++4(36 + 36t)3 + (!324t2 ! 648C[1])2 ! 648C[1]

$1/3

1221/3

x[t] # !(1! i

,3)(36 + 36t)

622/3#!324t2 +

+4(36 + 36t)3 + (!324t2 ! 648C[1])2 ! 648C[1]

$1/3

+

(1 + i

,3)#

!324t2 ++4(36 + 36t)3 + (!324t2 ! 648C[1])2 ! 648C[1]

$1/3

1221/3

Quedemonos (si no nos asusta) con la primera familia de soluciones pues vease que en las otras dosaparecen numeros complejos (soluciones complejas) debido a que las correspondientes ecuacionesde tercer grado en x poseen una unica solucion real y dos complejas.

Si nos dan la ecuacion diferencial explıcita:

x! =t! x

t+ x2 + 1,

dado que cualquier solucion de esta es solucion de la ecuacion implıcita x! t+ (t+ x2 + 1)x! = 0(puede haber soluciones de la implıcita que no lo sean de la explıcita), podemos afirmar que sussoluciones vienen dadas implıcitamente por ecuaciones del tipo

x3

3+ (t+ 1)x! t2

2= C con C % R.

Cualquier funcion derivable x : I # R dada implıcitamente ası y que tenga su grafica contenida enla region D = {(t, x) % R2

: t+ x2 + 1 &= 0}, es solucion de la ecuacion diferencial explıcita.

Observese que la ecuacion diferencial explıcita resuelta no es de ninguno de los tipos de ecua-ciones estudiados en los temas anteriores.

Aprovechamos ahora toda la teorıa vista para obtener facilmente un resultado (manejable en lapractica) de existencia y unicidad para un problema de valor inicial. Ahora no es necesario suponerque la region D sea del tipo D = I " J, con I y J intervalos, pues si (t0 , x0) es un punto interioral conjunto D, existe un conjunto del tipo D! = I " J tal que (t0 , x0) % D! ' D y, si la condicion!M!x = !N

!t se verifica en D, se verifica tambien en D! y, ası, el par (M,N) es exacto en D!. Portanto, como consecuencia de los teoremas 5.2 y 5.3 tenemos el siguiente resultado:




Corolario 5.3.1. Sean D ' R2, (t0 , x0) %

"D y M,N % C1

(D,R). Supongamos que se verificanlas dos siguientes condiciones:

1. !M!x = !N

!t en D.

2. N(t0 , x0) &= 0.

En tal caso existe un intervalo abierto I ) t0 tal que el problema de valor inicial

(P ) :

"M(t, x) +N(t, x)x! = 0

x(t0) = x0

posee una “unica” solucion (de clase uno) definida en I.

Observacion: Tenemos asegurado la existencia de una unica solucion x : I # R con la graficacontenida en cierta region, subconjunto de D, pero no queda claro que sea la unica con la graficacontenida en D. Si D es de la forma D = I " J el problema anterior no se plantea y esto es lo quesucede en muchos casos, como en el ejemplo siguiente:

Ejemplo 5.2. Solucion del problema de valor inicial (P ) :

"3t2 + 4tx+ (2t2 + 2x)x! = 0

x(1) = 1

La ecuacion diferencial, escrita en forma explıcita, no es de ninguno de los tipos de ecuacionesestudiados en los temas anteriores.

Las funciones definidas por M(t, x) = 3t2 + 4tx y N(t, x) = 2t2 + 2x son de clase uno en R2y

verifican las condiciones del resultado anterior ya que

!M

!x(t, x) = 4t =

!N

!t(t, x) para cada (t, x) % R2

y N(t0 , x0) = N(1, 1) = 4 &= 0.

Por tanto existe un intervalo abierto I ) 1 donde el problema de valor inicial (P ) posee una unicasolucion. Esta solucion se obtiene implıcitamente de la ecuacion F (t, x) = F (1, 1), donde F esuna funcion F % C1

(R2,R) tal que (F = (M,N). Determinemos una funcion con esta propiedad,

procediendo como en el ejemplo anterior.

!F

!t(t, x) = 3t2 + 4tx =* F (t, x) =

!(3t2 + 4tx) dt+ c(x) = t3 + 2t2x+ c(x)

=* 2t2 + 2x =!F

!x(t, x) = 2t2 + c!(x) =* c!(x) = 2x =* c(x) = x2.

Ası, una funcion potencial para (M,N) es

F (t, x) = t3 + 2t2x+ x2.

Por tanto, la unica solucion de (P ) definida en el intervalo I se obtiene implıcitamente de la ecuacion

x2 + 2t2x+ t3 ! 4 = 0.

Podemos despejar x de la ecuacion anterior de dos formas (ecuacion de segundo grado) pero,teniendo en cuenta la condicion inicial x(1) = 1, resulta que la solucion buscada es la definida por

x(t) = !t2 +,

t4 ! t3 + 4.


Observemos que la solucion obtenida solo esta definida en aquellos intervalos I tales que t4!t3+4 -0 para cada t % I, lo que, en principio, no es facil de ver. Se puede comprobar que lo anterior sucedeen cada t % R pues la ecuacion t4 ! t3 + 4 = 0 posee cuatro soluciones complejas, de expresionesmuy complicadas, y observese que para t = 0 la expresion t4 ! t3 + 4 toma un valor positivo, porlo que, por el teorema de Bolzano, no puede haber un punto t donde tome un valor negativo. Asıpues, la solucion esta definida y es valida en R.

Al darle al programa Mathematica, el problema de valor inicial (P ) ası:

DSolve'-

3t2 + 4tx[t] +(2t2 + 2x[t]

)x![t] == 0, x[1] == 1

., x[t], t

*

la respuesta que da es la misma que hemos obtenido nosotros: x[t] # !t2 +,4! t3 + t4

!1, 1"1 2

1

2

Figura 5.1: Grafica de la solucion x(t) = !t2 +,t4 ! t3 + 4.

5.4 Factores integrantes

5.4.1 Introduccion

Desgraciadamente, hay pocas ecuaciones diferenciales de primer orden escritas en forma exacta.Consideremos cualquier EDO de primer orden en forma explıcita x! = f(t, x) y supongamos quef es de clase uno en D = I " J . La ecuacion la podemos escribir ası: !f(t, x)x + x! = 0 y, eneste caso, la condicion !M

!x = !N!t equivale a !f

!x = 0. Al ser D convexo en R2, esta condicion es

equivalente a que la funcion f no dependa de la variable x. Ası pues, la ecuacion dada estarıa escritaen forma exacta si, y solo si, es una ecuacion del tipo trivial x! = g(t). Por otra parte, muchas

ecuaciones presentan la forma x! = g(t,x)h(t,x) y entonces podrıamos escribirla (no necesariamente de

forma equivalente) como!g(t, x) + h(t, x)x! = 0

y ahora podrıa darse el caso de que estuviese escrita en forma exacta, pero, como advertıa anterior-mente, esto solo sucede en pocos casos. Por ejemplo, la ecuacion diferencial

x! = ! x

t2x! tla podemos escribir ası:

x+ (t2x! t)x! = 0.

Cualquier solucion de la primera ecuacion serıa solucion de la segunda. En este caso las funcionesM y N definidas en R2

por M(t, x) = x y N(t, x) = t2x! t no verifican la condicion !M!x = !N

!t y,por tanto, la ecuacion no esta escrita en forma exacta.

Observacion: Intentese encontrar una F % C1(R2

,R) tal que (F = (M,N) por el metodoconocido y vease que se llega a una situacion absurda; lo que sucede es que al no ser la ecuacionexacta tal F no existe.



5.4. Factores integrantes 117

Sin embargo, podrıamos considerar la funcion definida por µ(t, x) = 1t2 , que solo estarıa definida

en los dominios D1 = (!+, 0)"R y D2 = (0,+)"R. Esto no es problema para nuestra ecuacionoriginal, que necesariamente tiene sus soluciones con las graficas en tales dominios. Observeseque la funcion µ no se anula y, por tanto, multiplicando ambos miembros de la ecuacion por µobtendrıamos una ecuacion equivalente, siempre que busquemos soluciones con las graficas en esosdominios. La ecuacion resultante es

x

t2+ (x! 1

t)x! = 0

y resulta que esta ecuacion sı esta escrita en forma exacta en los Dk, pues los Dk son productoscartesianos de intervalos en R y se verifica

!

!x

( xt2)=

1

t2=

!

!t

(x! 1

t

)para cada (t, x) % Dk,

por lo que resolviendo esta ultima por el metodo indicado en las secciones anteriores tendrıamosresuelta nuestra ecuacion original (la ecuacion explıcita). Cuando sucede una situacion como estadecimos que la funcion µ es un factor integrante para la ecuacion original en los dominios Dk.

Definicion 5.4. Sean M,N % C(D,R). Una funcion µ % C(D,R), que no se anula en D, se diceque es un factor integrante en D para la ecuacion diferencial

M(t, x) +N(t, x)x! = 0

cuando la ecuacion diferencial equivalente

µ(t, x)M(t, x) + µ(t, x)N(t, x)x! = 0

esta escrita en forma exacta en D.

Observacion: Tambien podrıamos decir que µ es un factor integrante para el par (M,N) en Dcuando el par (µM,µN) es exacto en D.

Por lo que hemos visto en la seccion anterior, si M,N % C1(D,R) y µ % C1

(D,R) no se anula enD, una condicion necesaria para que µ sea un factor integrante en D es que se verifique la condicion

(5.18)!(µM)

!x=

!(µN)

!ten D.

Cuando ademas D = I " J , con I y J intervalos, la condicion anterior es equivalente a que µ seafactor integrante para la ecuacion inicial en D. Una observacion que puede ser muy util en algunoscasos, que se sigue trivialmente de (5.18), es que si µ es un factor integrante y k es una constanteno nula, entonces kµ tambien es factor integrante.

Desarrollando las derivadas de los productos que aparecen en la ecuacion (5.18) llegamos facil-mente a que tal condicion se puede escribir de forma equivalente como

(5.19) N!µ

!t!M

!µ

!x= µ

/!M!x

! !N

!t

0, es decir, N

!µ

!t!M

!µ

!x= µ rot(M,N).

La ecuacion que se obtiene en (5.19) es una ecuacion en derivadas parciales (EDP) de primerorden en la funcion incognita µ, que en general, es mucho mas complicada que una EDO de primerorden, por lo que da la impresion de que lo obtenido no sirve de nada. Pero no necesitamos resolverla ecuacion (5.19); nos basta con encontrar una solucion que no se anule en D. Obviamente lafuncion nula, que no nos vale, es solucion de tal ecuacion. El encontrar una solucion de (5.19) es


cuestion de ingenio, experiencia y suerte, por lo que el metodo tiene una eficacia muy limitada. Porfortuna, en determinados casos es posible saber si tal EDP posee una solucion de un tipo especialy, en estos casos, encontrarla, debido a que en esas situaciones la ecuacion (5.19) se puede escribirde una forma mas simple, donde aparecen derivadas ordinarias.

Es usual encontrarse en textos clasicos (u orientados a fısicos e ingenieros) el estudio de varioscasos especiales de factores integrantes, pero el caso mas interesante, y el unico que vamos a trataraquı, es el de los factores integrantes que solo dependen de una variable:

µ(t, x) = µ#(t), µ(t, x) = µ#(x) donde µ# es una funcion de una sola variable.

Este es el caso del factor µ(t, x) = 1t2 usado en el ejemplo x+ (t2x! t)x! = 0.

Otros tipos estudiados son, por ejemplos,

µ(t, x) = µ#(t± x), µ(t, x) = µ#(tx), µ(t, x) = µ#(t2 ± x2).

En mi opinion, no merece la pena dedicar mucho tiempo a estos ultimos y otros que no se mencionan(en todo caso se pueden dejar como ejercicios) pues, como decıa anteriormente, la eficacia del metododel factor integrante es muy limitada. Podrıamos probar con una determinada ecuacion distintostipos de factores integrantes y no conseguir nada.

Por otra parte, esta claro que no existe un metodo general para determinar un factor integrante,pues de existir tal metodo podrıamos resolver (al menos, dando las soluciones de forma implıcita)cualquier EDO de primer orden y ya sabemos que hay muchas ecuaciones de este tipo que sonirresolubles, como ciertas y “simples” ecuaciones de Riccati que se vieron en el tema anterior(intentese, sin caer en la desesperacion, encontrar un factor integrante para la ecuacion x! = t+x2).

Para el estudio de factores integrantes especiales, como los citados anteriormente, supondremosque M,N % C1

(D,R) y que la region D es de la forma D = I " J , siendo I y J intervalos, demanera que la ecuacion en derivadas parciales (5.19) caracteriza la condicion de que µ sea factorintegrante. La forma de proceder es siempre la misma:

1. Suponer que existe un factor integrante del tipo especificado y, usando la ecuacion (5.19),obtener una condicion manejable que, por tanto, sera necesaria para la existencia de ese tipode factor integrante.

2. Probar que la condicion necesaria obtenida en el paso anterior tambien es suficiente obteniendoal mismo tiempo la expresion de un factor integrante adecuado.

5.4.2 Factores integrantes que solo dependen de una variable

I) Caso µ(t, x) = µ#(t)

Siguiendo la idea expuesta anteriormente, procedemos de la siguiente forma. Supongamos queexiste un factor integrante del tipo µ(t, x) = µ#(t) siendo µ# una funcion de clase uno en el intervaloI y que no se anula en I. Haciendo uso de la EDP (5.19) tenemos:

N(t, x)µ#!(t) = µ#(t) rot(M,N)(t, x) para cada (t, x) % D

o, equivalentemente,

rot(M,N)(t, x) =µ#!(t)

µ#(t)N(t, x).




Por tanto, obtenemos que una condicion necesaria para que la ecuacion admita un factor integrantedependiente unicamente de t es que exista una funcion continua " : I # R tal que

(5.20) rot(M,N)(t, x) = "(t)N(t, x) para cada (t, x) % D.

Cuando la funcion N no se anula en D la condicion anterior se puede escribir de una manera muymanejable; concretamente, es equivalente a decir que la funcion

1

Nrot(M,N)

solo depende de la variable t. Observese que ahora no hace falta decir que tal funcion sea continuaen I ya que tanto N como rot(M,N) son funciones continuas en D = I " J .

Vease que en la condicion necesaria obtenida es " =µ#!

µ# y, por tanto, µ#!(t) = "(t)µ#(t) para

cada t % I.

Recıprocamente, supongamos que existe una funcion continua " : I # R que verifica (5.20). Eneste caso la EDP (5.19) queda ası:/

N!µ

!t!M

!µ

!x

0(t, x) = µ(t, x)"(t)N(t, x).

Si existiese una funcion µ# % C1(I, R), que no se anule en I, y tal que

(5.21) µ#!(t) = "(t)µ#(t) para cada t % I,

entonces, la funcion definida por µ(t, x) = µ#(t) serıa de C1(D,R), no se anularıa en D y verificarıa

la ecuacion (5.19) ya que/N

!µ

!t!M

!µ

!x

0(t, x) = N(t, x)µ#!(t) = N(t, x)"(t)µ#(t) = µ(t, x)"(t)N(t, x).

Ahora bien, (5.21) es una ecuacion diferencial lineal homogenea en la funcion incognita µ# y sabemosque una solucion µ# con los requisitos exigidos es µ#(t) = e

!"(t) dt, donde la primitiva de " se toma

en el intervalo I. Por tanto, la condicion (5.20) tambien es suficiente y, al mismo tiempo, obtenemosque

µ(t, x) = e!"(t) dt

es un factor integrante del tipo buscado.

En resumen, hemos obtenido el siguiente resultado:

Teorema 5.4. Sean D = I"J , con I y J intervalos y M,N % C1(D,R). Una condicion necesaria

y suficiente para que la ecuacion diferencial

M(t, x) +N(t, x)x! = 0

admita un factor integrante en D del tipo µ(t, x) = µ#(t), siendo µ# % C1(I, R), es que exista una

funcion " % C(I,R) tal que se verifique la siguiente condicion:

(5.22) rot(M,N)(t, x) = "(t)N(t, x) para cada (t, x) % D.

En tal caso, un factor integrante adecuado es

(5.23) µ(t, x) = e!"(t) dt

donde la primitiva&"(t) dt se toma en el intervalo I.


En la practica lo que hacemos para comprobar la condicion (5.22) es realizar formalmente elcalculo de 1

N rot(M,N), aunque N pudiera anularse en D, y comprobar que sale una expresion quesolo depende de la variable t (que debe ser continua); esta serıa nuestra "(t). De hecho, muchas

veces la ecuacion diferencial procede de una ecuacion diferencial explıcita como x! = $M(t,x)N(t,x) y en

este caso la condicion N(t, x) &= 0 es natural. Vease que, ademas, el calculo de la funcion rot(M,N)se habra realizado previamente a la busqueda del factor integrante, pues para saber que la ecuaciondiferencial inicial no esta escrita en forma exacta en D hemos tenido que comprobar que la funcionrot(M,N) no es la funcion nula en D.

II) Caso µ(t, x) = µ#(x)

Razonando de una manera analoga al caso anterior obtenemos un resultado analogo para el casoµ(t, x) = µ#(x) con una ligera diferencia. Ante la duda, lo mejor es llevar a cabo el razonamientopara obtener la condicion necesaria que finalmente sera tambien suficiente.

Supongamos que existe un factor integrante del tipo µ(t, x) = µ#(x) siendo µ# % C1(J,R) y tal

que no se anula en J . Se sigue de la EDP (5.19) que

!M(t, x)µ#!(x) = µ#(x) rot(M,N)(t, x) para cada (t, x) % D

o, equivalentemente,

rot(M,N)(t, x) = !µ#!(x)

µ#(x)M(t, x).

Por tanto, obtenemos que una condicion necesaria para que la ecuacion admita un factor integrantedependiente unicamente de x es que exista una funcion continua " : J # R tal que

(5.24) rot(M,N)(t, x) = "(x)M(t, x) para cada (t, x) % D.

Cuando la funcion M no se anula en D la condicion anterior nos dice que la funcion 1M rot(M,N)

solo depende de la variable x.

Vease que en la condicion necesaria obtenida es " = !µ!"

µ! y, por tanto,

(5.25) µ#!(x) = !"(x)µ#(x) para cada x % J.

Eso nos da idea de que la pequena diferencia con el caso µ(t, x) = µ#(t) va a radicar simplementeen un signo negativo, que va a campanar a la funcion " a la hora de determinar una primitiva,ya que una funcion µ# que verifique (5.25) y que no se anule en J es µ#(x) = e$

!"(x) dx. Es decir,

razonando como en el caso anterior, para ver que la condicion (5.24) tambien es suficiente, vamos aobtener como factor integrante µ(t, x) = e$

!"(x) dx, donde la primitiva se toma en J . En resumen,

el resultado que se obtiene es el siguiente:




Teorema 5.5. Sean D = I"J , con I y J intervalos y M,N % C1(D,R). Una condicion necesaria

y suficiente para que la ecuacion diferencial

M(t, x) +N(t, x)x! = 0

admita un factor integrante en D del tipo µ(t, x) = µ#(x), siendo µ# % C1(J,R), es que exista una

funcion " % C(J,R) tal que

(5.26) rot(M,N)(t, x) = "(t)M(t, x) para cada (t, x) % D.

En tal caso, un factor integrante es

(5.27) µ(t, x) = e$!"(x) dx

donde la primitiva&"(x) dx se toma en el intervalo J .

En resumen, bajo nuestras hipotesis, el calculo del rotacional rot(M,N) siempre hay que hacerlo.En el caso de que sea nulo en D nuestra ecuacion diferencial ya esta escrita en forma exacta y, encaso negativo, solo habrıa que dividirlo por N o por M para averiguar si existe un factor integranteque solo depende de una variable. De forma mas concreta, el procedimiento a llevar en la practicaes el siguiente:

1. Escribimos la ecuacion en la forma implıcita M(t, x)+N(t, x)x! = 0 en cierta region D (dondeestan las graficas de las soluciones de la ecuacion implıcita).

2. Supuesto D = I " J , donde I, J son intervalos de R, y que M,N % C1(D,R), obtenemos el

rotacional de (M,N):rot(M,N) =

!M

!x! !N

!t.

3. (a) Si rot(M,N) es la funcion nula en D, la ecuacion esta escrita en forma exacta en D yprocedemos como en secciones anteriores para la obtencion de las soluciones con graficascontenidas en D.

(b) Si no es ası, caben tres posibilidades:

i) 1N rot(M,N)(t, x) = "(t).

En este caso tenemos el factor integrante µ(t, x) = e!"(t)dt. Se multiplica ambos

miembros de la ecuacion diferencialM(t, x)+N(t, x)x! = 0 por µ(t, x) para escribirlaen forma exacta.

ii) 1M rot(M,N)(t, x) = "(x).

En este caso tenemos el factor integrante µ(t, x) = e$!"(x)dx y se multiplica ambos

miembros de la ecuacion diferencial por µ(t, x) para escribirla en forma exacta.

iii) Si no se da ninguno de los dos casos anteriores, lo mejor es olvidar la ecuacion.

Por otra parte, si se nos olvida la condicion (5.22) o la formula (5.23), o bien (5.26) o (5.27),lo mejor es razonar como en la parte de la demostracion en la que se supone que existe tal tipode factor integrante y jugar con la EDP (5.19). Esta ultima podemos obtenerla facilmente de lacondicion (5.18).

Vemos a continuacion dos ejemplos de aplicacion de lo visto en esta seccion. El primero esprecisamente el ejemplo que usamos en la introduccion de los factores integrantes.


Ejemplo 5.3. Soluciones de la ecuacion diferencial x! = ! x

t2x! ty estudio y resolucion del

problema de valor inicial: (P ) :

12

3x! = ! x

t2x! tx(1) = 4

.

La ecuacion diferencial no es de ninguno de los tipos estudiados en los temas anteriores. Es-cribimos la ecuacion, en forma implıcita, como

x+ (t2x! t)x! = 0.

Evidentemente, ambas ecuaciones no son equivalentes, pero sı es cierto que cualquier solucion de laexplıcita es solucion de la implıcita. Al reves no, pues observese que la funcion nula es solucion dela implıcita en R pero no tiene sentido que sea solucion de la explıcita en todo R. Una vez obtenidaslas soluciones de la ecuacion implıcita, para obtener las soluciones de la explıcita nos quedarıamoscon las que tienen sus graficas contenidas en la region abierta: D = {(t, x) % R2

: t(tx! 1) &= 0}.

Ya se comprobo que en este caso la ecuacion no esta escrita en forma exacta pues

rot(M,N)(t, x) =(!M!x

! !N

!t

)(t, x) = 2(1! tx)

pero observamos que1

Nrot(M,N)(t, x) =

2(1! tx)

t2x! t=

2(1! tx)

!t(1! tx)= !2

t= "(t).

Por tanto, tenemos la condicion

rot(M,N)(t, x) = 2(1! tx) = !2

t(t2x! t) = "(t)N(t, x)

unicamente en los dominios D1 = (!+, 0) " R y D2 = (0,+) " R. Es decir, la ecuacion admitefactores integrantes que solo dependen de t en esos dominios pero no en R2

. Uno adecuado es

µ(t, x) = e!$ 2

t dt = 1t2 .

Para nuestra ecuacion explıcita lo anterior no supone restriccion ya que necesariamente tiene sussoluciones con las graficas en tales dominios, aunque sı lo serıa a la hora de obtener las solucionesde la ecuacion diferencial implıcita, ya que con este factor integrante solo obtendrıamos las quetienen las graficas en D1 o en D2 . En todo lo anterior resulta fundamental que los dominios Dk

sean de la forma I " J , con I y J intervalos.

Multiplicando ambos miembros de la ecuacion diferencial por el factor integrante obtenido, laecuacion resultante (equivalente a la anterior) es

x

t2+ (x! 1

t)x! = 0.

Siempre es recomendable comprobar que la ecuacion resultante sı esta escrita en forma exacta enlos dominios Dk.

Determinemos ahora una funcion potencial F para el nuevo par de funciones que aparecen enla ecuacion; es decir, una F tal que (F = (M#, N#) donde M#(t, x) = x

t2 y N#(t, x) = x! 1t .

!F

!x(t, x) = x! 1

t* F (t, x) =

x2

2! x

t+ c(t) * x

t2=

!F

!t(t, x) =

x

t2+ c!(t) * c(t) = k,

donde k es constante. Por tanto, podemos considerar

F (t, x) =x2

2! x

t.




En consecuencia, las soluciones de la ecuacion diferencial implıcita, con graficas contenidas en D1

o en D2 , vienen definidas implıcitamente por ecuaciones del tipo

x2

2! x

t= C donde C % R.

En este caso tenemos la suerte de poder despejar x (ecuacion de segundo grado en x) y se obtienenlas soluciones

xK (t) =1

t+

41

t2+K xK (t) =

1

t!4

1

t2+K donde K = 2C % R,

en los intervalos donde esten definidas. Observese que para el valorK = 0 se obtienen dos solucionesvalidas en los intervalos I = (!+, 0) y (0,+): la funcion nula (que se veıa a ojo) y la definidapor x(t) = 2

t . Por otra parte, vease que las soluciones obtenidas tienen sus graficas contenidas en

D = {(t, x) % R2: t(tx! 1) &= 0} ya que para cada K se verifica que txK (t) &= 1 y txK (t) &= 1. Por

tanto, todas las soluciones obtenidas son soluciones de la ecuacion explıcita propuesta.

Para obtener expresiones mas parecidas a las que proporciona el programa Mathematicaescribimos las soluciones ası:

xK (t) =1

t++

1t2

,1 +Kt2, xK (t) =

1

t!+

1t2

,1 +Kt2.

Al darle al Mathematica la ecuacion diferencial explıcita:

DSolve

5x![t] == ! x[t]

t2x[t]! t, x[t], t

6

o bien la implıcita:DSolve

'x[t] +

(t2x[t]! t

)x![t] == 0, x[t], t

*

la respuesta es en ambos casos la misma:

77x[t] # 1

t!+

1t2

,1 + t2C[1]

8,

7x[t] # 1

t+

+1t2

,1 + t2C[1]

88.

Respecto al problema de valor inicial propuesto, procedemos de la siguiente forma. Como(1, 4) % D y D es abierto en R2

, existe un conjunto de la forma D! = I"J , con I y J intervalos, talque (1, 4) % D! ' D. Al ser N(t, x) = tx2 ! t &= 0 para cada (t, x) % D!, considerando unicamentesoluciones con las graficas contenidas en D!, el problema (P ) es equivalente al problema

"x+ (t2x! t)x! = 0

x(1) = 4, o equivalentemente, (Q) :

"xt2 + (x! 1

t )x! = 0

x(1) = 4.

Por lo que hemos visto anteriormente, en el problema (Q) la ecuacion esta escrita en forma exactaen el conjunto D! ya que rot(M#, N#) = 0 y D! es de la forma I " J . Por otra parte, N#(1, 4) &= 0.Haciendo uso del teorema 5.2, podemos afirmar que existe un intervalo abierto I ) 1 tal que(P ) posee una unica solucion definida en I (con la grafica contenida en D!), que viene definidaimplıcitamente por la ecuacion F (t, x) = F (1, 4) donde (F = (M#, N#). Como F (1, 4) = 4, lasolucion viene dada implıcitamente por

x2

2! x

t= 4


y, por tanto, esta definida por

x(t) =1

t+

41

t2+ 8 =

1

t

/1 +

,1 + 8t2

0

Vease que la solucion obtenida esta bien definida en el intervalo I = (0,+) y puede comprobarseque es solucion de la ecuacion en ese intervalo.

Con Mathematica tenemos:

DSolve

57x![t] == ! x[t]

t2x[t]! t, x[1] == 4

8, x[t], t

6x[t] #

1 ++

1t2 t

,1 + 8t2

t.

x1

x1

x! 1x! 1

x"1

x"1

x! "1

x! "1

x0

x0

Figura 5.2: Graficas de las seis solu-ciones correspondientes a K = !1, 0, 1.

!1, 4"

1

2 2

4

Figura 5.3: Grafica de la solucion de (P ).

Como ya hemos advertido en otras ocasiones, no siempre se tiene la suerte de poder o saberdespejar x de las ecuaciones F (t, x) = C resultantes; esto es lo que va a suceder en el siguienteejemplo.

Ejemplo 5.4. Soluciones de la ecuacion diferencial x+ (2t! xex)x! = 0.

La ecuacion diferencial no es de ninguno de los tipos estudiados en los temas anteriores.

La ecuacion no esta escrita en forma exacta pues rot(M,N) =(!M!x ! !N

!t

)(t, x) = !1. Vease

que la funcion 1N rot(M,N) depende de ambas variables, por lo que no existe factor integrante para

la ecuacion del tipo µ(t, x) = µ#(t). Sin embargo,1

Mrot(M,N) = !1

x= "(x).

Con mas rigor escribimos

rot(M,N)(t, x) = !1 = !1

x· x = "(x)M(t, x),

lo que unicamente es valido en los dominios D1 = R " (0,+) y D2 = R " (!+, 0). Al ser cadaDk de la forma I " J , con I y J intervalos, podemos asegurar que la ecuacion sı admite factoresintegrantes que solo dependen de x en esos dominios pero no en R2

. Uno adecuado es



Ejercicios 125

µ(t, x) = e$!$ 1

x dx = |x |.

Una vez mas el factor integrante impone una restriccion pues su uso va a condicionar a obtenerlas soluciones con graficas en D1 o en D2 . Observese que la funcion nula es solucion de la ecuacion,valida en R y no tiene la grafica en esos dominios. Por otra parte, curiosamente, la expresiondel factor integrante tiene sentido en cada punto de R2

, pero como funcion definida en R2no

es de clase C1y ademas se anula en los puntos donde x = 0, lo que no es admisible en un factor

integrante. Sin embargo, en los dominios D1 y D2 no se dan esos problemas; de hecho, en el caso D1

tenemos µ(t, x) = x y en D2 es µ(t, x) = !x. En principio da la impresion de que tendrıamos quedistinguir entre ambos dominios, pero no es necesario pues recordemos que si un factor integrantese multiplica por una constante no nula tenemos otro factor integrante. Por tanto, podemos afirmarque µ(t, x) = x es factor integrante en ambos casos.

Al multiplicar por µ(t, x) = x, la ecuacion resultante es

x2 + (2tx! x2ex)x! = 0

y comprobamos que esta escrita en forma exacta en los Dk (como tiene que ser) ya que

!

!x(x2) = 2x =

!

!t(2tx! x2ex).

Determinemos ahora una funcion potencial F para el nuevo par de funciones que aparecen en laecuacion.

!F

!t(t, x) = x2 =* F (t, x) = tx2 + c(x) =* 2tx! x2ex =

!F

!x(t, x) = 2tx+ c!(x)

=* c!(x) = !x2ex =* c(x) =

!!x2ex dx = !ex(x2 ! 2x+ 2).

(Para la determinacion de c(x) se realizan dos integraciones por partes). Por tanto, F (t, x) =tx2! ex(x2! 2x+2) y las soluciones de la ecuacion diferencial vienen definidas implıcitamente por

tx2 ! ex(x2 ! 2x+ 2) = C donde C % R,

a las que, al menos, hay que anadir, por si acaso, la solucion nula, que no tiene la grafica ni en D1

ni en D2 (aunque casualmente parece que se obtiene del caso C = !2).

Al darle al programa Mathematica la ecuacion diferencial

DSolve9x[t] +

/2t! x[t]ex[t]

0x![t] == 0, x[t], t

:

la respuesta es

Solve

;t ==

C[1]

x[t]2+

ex[t](2! 2x[t] + x[t]2

)

x[t]2, x[t]

<.

Mathematica nos da las mismas ecuaciones, de las que se obtienen implıcitamente las soluciones, ytampoco sabe despejar x de las ecuaciones obtenidas. Ademas, no proporciona la solucion nula.

Ejercicios propuestos :

1. Resuelve la ecuacion diferencial x2 + t3 + 2tx x! = 0 de dos formas distintas.

2. En las siguientes ecuaciones, comprueba que existe un valor del parametro a para el que la ecuacionesta escrita en forma exacta y resuelvela para dicho valor de a:

(a) tx(x+ at) + t2(t+ x)x! = 0 (b) xe2tx + t+ ate2txx! = 0


3. Prueba que existe un intervalo abierto I ) 0 donde el problema de Cauchy

"x! = t2"x

t+x2

x(0) = 1posee una

unica solucion y determina tal solucion.

4. Dadas las funciones M(t, x) = !tx y N(t, x) = tx + x2, ¿existe algun abierto D en R2

para el que

existe F % C1

(D,R) tal que (F (t, x) = (M(t, x), N(t, x)) para cada (t, x) % D. ?

5. Prueba que si D = R2 ! {(0, 0)} las funciones M,N : D # R definidas por

M(t, x) = ! x

t2 + x2y N(t, x) =

t

t2 + x2

verifican que el rotacional rot(M,N) es nulo en D y, sin embargo, el par (M,N) no es exacto en D.

6. Prueba que cualquier ecuacion diferencial lineal x! = a(t)x + b(t) se puede escribir en forma exactausando un factor integrante que solo dependa de la variable t. Determina este factor integrante y hallalas soluciones de la ecuacion lineal con este metodo. Compara lo obtenido con lo visto en el primermetodo de resolucion usado para resolver ecuaciones lineales (tema 2).

7. Comprueba que la ecuacion de Bernoulli x! = x! t2

x se puede resolver mediante un factor integrante.Determina las soluciones usando este factor integrante y compara con el resultado que se obtienemediante el metodo usual (ejercicio 7(a) del tema anterior).

8. Resuelve las siguientes ecuaciones diferenciales:

(a) x2 + (2tx+ senx)x! = 0 (b) 3tx+ x2 + (t2 + tx)x! = 0 (c) 2tx2 ! 3x3 + (7! 3tx2)x! = 0

(d) x! =x2 + t

2tx(e)

x

t+ (x3 ! log t)x! = 0 (f) x! =

tx! 1

tx! t2(g) sen(tx) + tx cos(tx) +

t2 cos(tx)x! = 0

9. Una funcion derivable sobre un intervalo y : I # R, x $# y(x), posee la propiedad de que en cadapunto de su grafica la correspondiente recta tangente corta al eje de abcisas en un punto tal que elpunto medio entre ambos pertenece a la parabola de ecuacion y2 = 2x. Determina una ecuacion de lagrafica de la funcion y sabiendo que el punto (1, 2) pertenece a esta.

10. Problema analogo al anterior, cambiando la parabola y2 = 2x por la curva y3 = x y el punto (1, 2)por (2, 2).

11. (Cociente de dos factores integrantes) Comprueba que la ecuacion diferencial 2t! t2 ! x2 + 2xx! = 0no esta escrita en forma exacta, pero posee los dos siguientes factores integrantes: µ1(t, x) = e"t,

µ2(t, x) =1

t2+x2 (este ultimo en intervalos de R2

que no contienen al origen). Usando el primer factorintegrante, comprueba que las soluciones de la ecuacion diferencial vienen dadas implıcitamente por

ecuaciones del tipoµ1 (t,x)µ2 (t,x)

= C con C % R.

12. (a) Sean M,N % C1

(R2

,R). Determina una condicion necesaria y suficiente para que la ecuaciondiferencial M(t, x) +N(t, x)x! = 0 admita (en alguna region del plano) un factor integrante del

tipo µ(t, x) = µ#(t+ x) y determina, en ese caso, un factor integrante adecuado.

(b) Comprueba que la ecuacion diferencial

(5t2 + 2tx+ 3x3) + (3t2 + 3tx2 + 6x3)x! = 0

posee, en alguna region del plano, un factor integrante del tipo µ(t, x) = µ#(t+x) y determınalo.

13. (a) Sean M,N % C1

(R2

,R). Determina una condicion necesaria y suficiente para que la ecuaciondiferencial M(t, x) +N(t, x)x! = 0 admita (en alguna region del plano) un factor integrante del

tipo µ(t, x) = µ#(tx) y determina, en ese caso, un factor integrante adecuado.

(b) Comprueba que la ecuacion diferencial

(tx3 + 2t2x2 ! x2) + (t2x2 + 2t3x! 2t2)x! = 0

posee, en alguna region del plano, un factor integrante del tipo µ(t, x) = µ#(tx) y determınalo.



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