Ecuaciones Diferenciales I...En esta sección vamos a trabajar el método de ecuaciones...

MATEMÁTICAS

CUARTO SEMESTRE

Ecuaciones Diferenciales I

Unidad 1. Ecuaciones Diferenciales de Primer Orden

Clave 05142422/06142422

Universidad Abierta y a Distancia de México


UNADM | DCEIT | MT | MEDI1 1

ÍndicePresentación ........................................................................................................................... 2

Competencia específica .......................................................................................................... 2

Propósitos .............................................................................................................................. 2

Unidad 1. Ecuaciones diferenciales de primer orden ............................................................... 3

1.1 Conceptos básicos y definiciones .......................................................................................... 3

1.2 Separación de variables ........................................................................................................ 5 1.2.1 Ecuaciones homogéneas ......................................................................................................................... 6 1.2.2 Ecuaciones de Bernoulli .......................................................................................................................... 9

1.3 Ecuaciones Exactas .............................................................................................................. 12 1.3.1 Teorema de existencia y unicidad ......................................................................................................... 19

Cierre de la unidad ............................................................................................................... 24

Para saber más ..................................................................................................................... 24

Fuentes de consulta .............................................................................................................. 25

Índice de figuras Fígura 1. Gráfica de la posición de la partícula versus tiempo. (Gráfica obtenida con Derive) _________________ 22 Fígura 2. Familia de curvas que representan algunas de las soluciones particulares de la Ecuación (5) (Gráfica generada con DERIVE) _________________________________________________________________________ 23



Presentación

Muchas de las leyes que rigen la naturaleza, ya sea físicas, químicas o astronómicas pueden ser

analizadas mediante modelos matemáticos. Estos modelos son, generalmente, funciones

matemáticas.

Recuerda que si 𝑦 = 𝑓(𝑥) es una función, su derivada se puede interpretar como la razón de

cambio de 𝑦 con respecto a 𝑥. En cualquier proceso natural, las variables involucradas y sus

razones de cambio están relacionadas entre sí por medio de las leyes que gobiernan dicho

proceso. Por ello, al expresar tal conexión en lenguaje matemático, el resultado con frecuencia

es una ecuación diferencial.

Competenciaespecífica

Utilizar los principios de ecuaciones diferenciales para resolver ecuaciones diferenciales de

primer orden por medio de diferentes técnicas analíticas.

Propósitos

• Identificar sistemas de ecuaciones de primer orden.

• Aplicar los principios de ecuaciones diferenciales en la resolución de ecuaciones diferenciales ordinarias de primer grado y la ecuación de Bernoulli.

• Identificar ecuaciones diferenciales exactas y reducibles a ellas, y aplicar las técnicas de solución a las mismas.



Unidad1.Ecuacionesdiferencialesdeprimerorden

1.1 Conceptos básicos y definiciones

Una ecuación es una igualdad con incógnitas, por ejemplo:

es una ecuación algebraica de 2º grados donde los valores 𝑥! = −1 y 𝑥" = −2 satisfacen la

ecuación. En cambio, la siguiente ecuación también es una igualdad pero la incógnita es una

función que depende de la variable independiente 𝑥

𝑑"𝑦𝑑𝑥" + 𝑦 = 0,

en este caso 𝑦 = sin 𝑥 satisface la ecuación, pues # $%& '#'

= cos 𝑥 y por tanto #! $%& '#'!

= −sin 𝑥,

de esta manera

𝑑"𝑦𝑑𝑥" + 𝑦 = −sin 𝑥 + sin 𝑥 = 0

De manera similar la ecuación #!(

#'!+ #(

#)= 0 es una igualdad donde la incógnita es una función

de dos variables𝑢(𝑥, 𝑦). En este caso 𝑢(𝑥, 𝑦) = −𝑥" + 2𝑦 es una función que satisface la

ecuación, como lo puedes comprobar.

En general una ecuación en donde las incógnitas sean funciones, de una variable o de varias

variables, se llama ecuación diferencial.

En esta unidad nos concentraremos en ecuaciones diferenciales ordinarias, es decir, aquellas

ecuaciones que contienen derivadas de una o más variables dependientes respecto a una única

variable independiente. Algunos ejemplos de ecuaciones diferenciales ordinarias son:

2 3 2 0xx + + =



𝑑𝑦𝑑𝑥 + 5𝑦 = 𝑒'

𝑑"𝑦𝑑𝑥" −

𝑑𝑦𝑑𝑥 + 6𝑥 = 0

𝑑𝑥𝑑𝑡 +

𝑑𝑦𝑑𝑡 = 2𝑥 + 𝑦

Por otra parte, las ecuaciones diferenciales que contienen derivadas de una o más variables

dependientes respecto a dos o más variables independientes se llaman ecuaciones

diferenciales parciales. Por ejemplo, las siguientes igualdades son ecuaciones diferenciales

parciales

𝑑"𝑢𝑑𝑥" +

𝑑𝑢𝑑𝑦 = 0

𝑑"𝑢𝑑𝑥" +

𝑑"𝑢𝑑𝑦" +

𝑑"𝑢𝑑𝑧" = 0

El orden de una ecuación diferencial es igual al de la derivada de orden más alto. Por ejemplo:

es una ecuación diferencial ordinaria de segundo orden.

El grado de una ecuación diferencial es igual al exponente positivo mayor al que se eleva la

derivada de mayor orden en la ecuación. Por ejemplo:

es una ecuación diferencial ordinaria de segundo orden de tercer grado.

Dada una ecuación diferencial, cualquier función que satisfaga dicha ecuación se conoce como

solución a la ecuación diferencial. Por ejemplo la función 𝑦 = 𝑥" + 1es una solución a la

ecuación diferencial #)#'− 2𝑥 = 0.

2

2 0d y ydx

+ =

32

2 0d y ydx

æ ö+ =ç ÷

è ø



1.2 Separación de variables

Si una ecuación diferencial ordinaria de orden y grado uno es de la forma

𝜑(𝑥)𝑑𝑥 = 𝜌(𝑦)𝑑𝑦

entonces la ecuación recibe el nombre de ecuación con variables separadas.

Algunos ejemplos son

(𝑥" + 2𝑥 − 1)𝑑𝑥 = sin(2𝑦)𝑑𝑦

y

[y + cos(𝑦)]𝑑𝑦 = (𝑥 − 4)𝑑𝑥

Observa que las ecuaciones anteriores se pueden reescribir como

𝑑𝑦𝑑𝑥 sin(2𝑦) =

(𝑥" + 2𝑥 − 1)

y

𝑑𝑦𝑑𝑥 [y + cos(𝑦)] = (𝑥 − 4)

respectivamente.

Para encontrar la solución a una ecuación de variables separadas sólo se integra en cada lado

de la ecuación, de esta manera las soluciones a la ecuación tienen la forma

@𝜌(𝑦)𝑑𝑦 − @𝜑(𝑥)𝑑𝑥 = 𝐶

donde 𝐶 es una constante.

Ejemplo

Consideremos la siguiente ecuación

𝑑𝑦𝑑𝑥(1 + 𝑥") =

6cos(2𝑦)



Entonces si multiplicamos ambos lados de la ecuación por *+$("))(!.'!)

se tiene que

𝑑𝑦𝑑𝑥 cos(2𝑦) =

6(1 + 𝑥")

y multiplicando 𝑑𝑥 en ambos lados

𝑑𝑦 cos(2𝑦) =6

(1 + 𝑥") 𝑑𝑥

al integrar en ambos lados

@cos(2𝑦) 𝑑𝑦 = @6

(1 + 𝑥") 𝑑𝑥

resolviendo las integrales se tiene que

sin(2𝑦)2 + 𝑐! = 6tan/! 𝑥 + 𝑐"

como 𝑐! y 𝑐"son contantes entonces 𝐶 = 𝑐" − 𝑐! también es constante, por lo tanto la solución

a la ecuación será

$%&("))

"− 6tan/! 𝑥 = 𝐶.

1.2.1 Ecuacioneshomogéneas

Para definir una ecuación diferencial homogénea primero se debe de definir qué es una función

homogénea, para ello sea 𝑓:ℝ" → ℝ una función, entonces 𝑓(𝑥, 𝑦) se dice homogénea de

grado 𝑛 si satisface la siguiente relación

𝑓(𝑡𝑥, 𝑡𝑦) = 𝑡0𝑓(𝑥, 𝑦)

Por ejemplo la función 𝑓(𝑥, 𝑦) = 𝑥" − 𝑦" es homogénea de grado 2 pues

𝑓(𝑡𝑥, 𝑡𝑦) = (𝑡𝑥)" − (𝑡𝑦)" = 𝑡"(𝑥" − 𝑦") = 𝑡"𝑓(𝑥, 𝑦)



Ahora considera la función 𝑓(𝑥, 𝑦) = '!/)!

'), entonces 𝑓(𝑥, 𝑦) es una función homogénea de

grado cero pues

𝑓(𝑡𝑥, 𝑡𝑦) =(𝑡𝑥)" − (𝑡𝑦)"

(𝑡𝑥)(𝑡𝑦) =𝑡"(𝑥" − 𝑦")𝑡"(𝑥𝑦) = 𝑡1𝑓(𝑥, 𝑦)

Una ecuación diferencial de la forma

𝑑𝑦𝑑𝑥 = 𝑓(𝑥, 𝑦)

se dice que es una ecuación diferencial homogénea si la función 𝑓(𝑥, 𝑦) es una función

homogénea de grado cero.

Para resolver una ecuación diferencial homogénea se realiza el cambio de variable 𝑢 = )', pues

una ecuación diferencial homogénea siempre se puede reducir a una ecuación de la forma

𝑑𝑦𝑑𝑥 = 𝑔(𝑦 𝑥J )

Con el cambio de variable se tiene que 𝑢𝑥 = 𝑦, por lo tanto #)#'= 𝑥 #(

#'+ 𝑢, de esta manera la

ecuación homogénea

𝑑𝑦𝑑𝑥 = 𝑓(𝑥, 𝑦)

se reescribe como

𝑥𝑑𝑢𝑑𝑥 = 𝑔(𝑢) − 𝑢

y por tanto

𝑑𝑢𝑔(𝑢) − 𝑢 =

𝑑𝑥𝑥

La última es una ecuación diferencial por variables separadas y se aplica el método anterior

para poder resolverla.

Una forma práctica de resolver una ecuación diferencial homogénea es hacer directamente el

cambio de variable 𝑥𝑢 = 𝑦.



Ejemplo

Consideremos la ecuación (𝑥 − 𝑦) + #)#'(3𝑦 + 𝑥) = 0, entonces al despejar la derivada se tiene

que

𝑑𝑦𝑑𝑥 =

𝑦 − 𝑥3𝑦 + 𝑥

Como lo puedes comprobar la función 𝑓(𝑥, 𝑦) = )/'2).'

es una función homogénea de grado

cero. Por tal razón la ecuación diferencial es homogénea. Así sea 𝑦 = 𝑢𝑥, entonces

𝑑𝑦𝑑𝑥 =

𝑦 − 𝑥3𝑦 + 𝑥

se transforma en

𝑥𝑑𝑢𝑑𝑥 + 𝑢 =

𝑢𝑥 − 𝑥3(𝑢𝑥) + 𝑥 =

𝑢 − 13𝑢 + 1

por tanto

𝑥𝑑𝑢𝑑𝑥 =

𝑢 − 13𝑢 + 1 − 𝑢 =

−(3𝑢" + 1)3𝑢 + 1

separando las variables se tiene que

−(3𝑢 + 1)3𝑢" + 1 𝑑𝑢 =

𝑑𝑥𝑥

así

@−(3𝑢 + 1)3𝑢" + 1 𝑑𝑢 = @

𝑑𝑥𝑥

resolviendo las integrales se tiene que

−13 ln |3𝑢" + 1| −

13 [√3 + tan

/!O√3𝑢P + 𝑐! = ln|𝑥| + 𝑐"]



y por tanto

−13 ln |3𝑢" + 1| −

13 [√3 + tan

/!O√3𝑢P − ln|𝑥| = 𝐶

regresando el cambio de variable 𝑢 = )', la solución será

−13 ln |3(𝑦 𝑥⁄ )" + 1| −

13 [√3 + tan

/! R√3(𝑦 𝑥⁄ )S − ln|𝑥| = 𝐶.

1.2.2 EcuacionesdeBernoulli

Las ecuaciones diferenciales de la forma #)#'+ 𝑦𝑝(𝑥) = 𝑦0𝑞(𝑥) con 𝑛 un número natural

distinto de 1, se llaman ecuaciones diferenciales de Bernoulli, el caso particular cuando 𝑛 = 0

se llama ecuación diferencial lineal de primer grado.

Para resolver las ecuaciones diferenciales de Bernoulli primero daremos un método para

resolver las ecuaciones diferenciales lineales pues las ecuaciones de Bernoulli se pueden

reducir a estas.

Supongamos que tenemos una ecuación lineal de la forma

𝑑𝑦𝑑𝑥 + 𝑦𝑝

(𝑥) = 𝑞(𝑥)

Y supongamos que la que la función 𝑞(𝑥) = 0, entonces la ecuación que queda es una ecuación

que se puede resolver por separación de variables (está ecuación se conoce como ecuación

lineal homogénea). Entonces resolviendo la ecuación


(𝑥) = 0

Por separación de variables se tiene que la solución será de la forma

𝑦 = 𝐶𝑒/∫4(')#'



Para obtener la solución general de la ecuación lineal utilizamos el método de variación de

constantes, en el cual se buscan las soluciones de la forma

𝑦 = 𝐶(𝑥)𝑒/∫4(')#'

Realizando este procedimiento se tiene que la solución general a la ecuación diferencial lineal


(𝑥) = 𝑞(𝑥)

es

𝑦 = 𝑒/∫4(')#'[𝐶 + @𝑞(𝑥)𝑒∫4(')#'𝑑𝑥]

Ejemplo

Hallar la solución general de la siguiente ecuación:

𝑑𝑦𝑑𝑥 − 2𝑥𝑦 = 𝑥

En este caso, vemos que:

𝑝(𝑥) = −2𝑥

𝑞(𝑥) = 𝑥

así:

𝑒∫4(')#' = 𝑒∫/"'#' = 𝑒/'!

sustituyendo en la fórmula

𝑦 = 𝑒/∫4(')#'[𝐶 + @𝑞(𝑥)𝑒∫4(')#'𝑑𝑥]

𝑦 = 𝑒/'![𝐶 + @𝑥𝑒'!𝑑𝑥]

𝑦 = 𝑒/'![𝐶 +𝑒'!

2 ]

Finalmente se obtiene que

𝑦 = 𝑒/'!𝐶 +12



Para resolver las ecuaciones de Bernoulli se realizará un cambio de variable para reducir la

ecuación a una ecuación diferencial lineal.

Así, consideremos la ecuación


(𝑥) = 𝑦0𝑞(𝑥)

y sea 𝑧 = !)"#$

, si 𝑛 ≠ 0 y 𝑛 ≠ 1, pues en estos casos la ecuación es lineal. Con este cambio de

variable la ecuación de Bernoulli se reduce a una ecuación lineal de la forma (que puedes

comprobar)

𝑑𝑧𝑑𝑥 + 𝑧𝑝!

(𝑥) = 𝑞!(𝑥)

donde

𝑝!(𝑥) = (1 − 𝑛)𝑝(𝑥)

y

𝑞!(𝑥) = (1 − 𝑛)𝑞(𝑥)

Ejemplo

Considera la siguiente ecuación

𝑥"𝑑𝑦𝑑𝑥 + 2𝑥𝑦 = 𝑦2

Primero dividiremos toda la ecuación entre :

𝑥"

𝑥"𝑑𝑦𝑑𝑥 +

2𝑥𝑦𝑥" =

𝑦2

𝑥"

Simplificando nos queda una Ecuación de Bernoulli:

𝑑𝑦𝑑𝑥 +

2𝑦𝑥 =

𝑦2

𝑥"

Donde 𝑝(𝑥) = "' y 𝑞(𝑥) = !

'!

2x



tomado a 𝑧 = !)!

y 𝑛 = 3, entonces

𝑝!(𝑥) = (1 − 𝑛)𝑝(𝑥) = −22𝑥 =

−4𝑥

y

𝑞!(𝑥) = (1 − 𝑛)𝑞(𝑥) = −2 !'!= /"

'!,

por lo tanto, la ecuación de Bernoulli se redujo a la ecuación lineal

𝑑𝑧𝑑𝑥 + 𝑧

−4𝑥 =

−2𝑥" .

Resolviendo esta última ecuación lineal se tiene que

𝑧 =25𝑥 + 𝐶𝑥

5

ahora despejamos el valor de 𝑦 del cambio 𝑧 = !)!

se tiene que 𝑦 = !√7

, por lo tanto se tiene que

𝑦 =1

X 25𝑥 + 𝐶𝑥

5

1.3 Ecuaciones Exactas

En esta sección vamos a trabajar el método de ecuaciones diferenciales exactas y con factor

integrante, cabe mencionar que utilizando la combinación de estos dos métodos resuelve todas

las ecuaciones diferenciales ordinarias de primer grado, solo que el costo por hacer esto es que

a veces se tendrán que resolver ecuaciones diferenciales parciales (unas ecuaciones que

aprenderás a resolver en los próximos semestres), por esta razón solo veremos los métodos en

los cuales se eviten resolver ecuaciones diferenciales parciales.



Una ecuación diferencial de la forma

𝑀(𝑥, 𝑦)𝑑𝑥 + 𝑁(𝑥, 𝑦)𝑑𝑦 = 0

se dice exacta si

𝜕𝑁(𝑥, 𝑦)𝜕𝑥 =

𝜕𝑀(𝑥, 𝑦)𝜕𝑦

Por ejemplo la ecuación

(𝑥2 + 𝑥𝑦")𝑑𝑥 + (𝑥"𝑦 + 𝑦2)𝑑𝑦 = 0

es exacta pues

𝑀(𝑥, 𝑦) = (𝑥2 + 𝑥𝑦")

y

𝑁(𝑥, 𝑦) = (𝑥"𝑦 + 𝑦2)

por lo tanto

𝜕𝑁(𝑥, 𝑦)𝜕𝑥 = 2𝑥𝑦

y

𝜕𝑀(𝑥, 𝑦)𝜕𝑦 = 2𝑥𝑦

por lo tanto se cumple que

𝜕𝑁(𝑥, 𝑦)𝜕𝑥 =

𝜕𝑀(𝑥, 𝑦)𝜕𝑦 .

Un método para resolver las ecuaciones diferenciales exactas es el siguiente:

Si la ecuación


es exacta entonces la solución esta dada por

∫ 𝑀(𝑥, 𝑦)𝑑𝑥 + ∫ 𝑁(𝑥1, 𝑦)𝑑𝑦 = 𝐶))%

''%

.



Donde los puntos 𝑥1 y 𝑦1 son valores constantes y no hay que considerarlos como variables.

Ejemplo

La ecuación

(𝑥2 + 𝑥𝑦")𝑑𝑥 + (𝑥"𝑦 + 𝑦2)𝑑𝑦 = 0

ya se verifico que es exacta y tendrá por solución

@𝑀(𝑥, 𝑦)𝑑𝑥 + @𝑁(𝑥1, 𝑦)𝑑𝑦 =

)

)%

'

'%

= @(𝑥2 + 𝑥𝑦")𝑑𝑥 + @(𝑥1"𝑦 + 𝑦2)𝑑𝑦

)

)%

'

'%

= R'&

5+ '!)!

"S |'%

' +R'%!)!

"+ )&

5S |)%

)

= R'&

5+ '!)!

"S − R'%

&

5+ '%!)!

"S+R'%

!)!

"+ )&

5S − R'%

!)%!

"+ )%&

5S

Simplificando términos se tiene que

= R'&

5+ '!)!

"+ )&

5S − R'%

&

5+ '%!)%!

"+ )%&

5S=0

Si ponemos 𝐶 = '%&

5+ '%!)%!

"+ )%&

5 pues todos los términos son constates; por lo tanto la solución

será

]𝑥5

4 +𝑥"𝑦"

2 +𝑦5

4 ^ = 𝐶

Por otra parte, ¿qué pasa cuando la ecuación no es exacta?




¿Cómo resolver ese problema?, para ello se utiliza un método conocido como factor integrante,

este método consiste en multiplicar a la ecuación no exacta por una función de tal manera que

el producto resulte en otra ecuación que sí será exacta y de esta manera resolver la ecuación.

Es decir, supongamos que la ecuación 𝑀(𝑥, 𝑦)𝑑𝑥 + 𝑁(𝑥, 𝑦)𝑑𝑦 = 0 no es exacta, entonces sea

µ(x, y) una función de dos variables de tal manera que la ecuación

µ(x, y)𝑀(𝑥, 𝑦)𝑑𝑥 + µ(x, y)𝑁(𝑥, 𝑦)𝑑𝑦 = 0

resulte ser una ecuación exacta. Tal función µ(x, y) recibe el nombre de factor integrante.

Para calcular cuánto tiene que valer el factor integrante utilicemos su definición, es decir la

ecuación

µ(x, y)𝑀(𝑥, 𝑦)𝑑𝑥 + µ(x, y)𝑁(𝑥, 𝑦)𝑑𝑦 = 0

es exacta por tal razón

𝜕µ(x, y)𝑁(𝑥, 𝑦)𝜕𝑥 =

𝜕µ(x, y)𝑀(𝑥, 𝑦)𝜕𝑦

que es equivalente a

𝜕µ(x, y)𝜕𝑥 𝑁(𝑥, 𝑦) + µ(x, y)

𝜕𝑁(𝑥, 𝑦)𝜕𝑥 =

𝜕µ(x, y)𝜕𝑦 𝑀(𝑥, 𝑦) + µ(x, y)

𝜕𝑀(𝑥, 𝑦)𝜕𝑦

así

𝜕µ(x, y)𝜕𝑥 𝑁(𝑥, 𝑦) −

𝜕µ(x, y)𝜕𝑦 𝑀(𝑥, 𝑦) = µ(x, y) ]

𝜕𝑀(𝑥, 𝑦)𝜕𝑦 −

𝜕𝑁(𝑥, 𝑦)𝜕𝑥 ^

dividiendo entre µ(x, y) se tiene que

𝜕µ(x, y)𝜕𝑥

1µ(x, y)𝑁

(𝑥, 𝑦) −𝜕µ(x, y)𝜕𝑦

1µ(x, y)𝑀

(𝑥, 𝑦) = ]𝜕𝑀(𝑥, 𝑦)

𝜕𝑦 −𝜕𝑁(𝑥, 𝑦)

𝜕𝑥 ^

y de las reglas de derivación de logaritmos se tiene que

𝜕 ln µ(x, y)𝜕𝑥 𝑁(𝑥, 𝑦) −

𝜕 ln µ(x, y)𝜕𝑦 𝑀(𝑥, 𝑦) = ]

𝜕𝑀(𝑥, 𝑦)𝜕𝑦 −

𝜕𝑁(𝑥, 𝑦)𝜕𝑥 ^.



Esta última expresión es una ecuación diferencial parcial, aprenderás métodos para resolverla

más adelante en la carrera, por el momento sólo vamos a resolver dos casos particulares; a

saber, cuando la función µ(x, y) sólo depende la variable 𝑥 y cuando µ(x, y), solo depende de la

variable 𝑦; es decir los casos µ(x)y µ(y). Supongamos primero que µ(x, y) = µ(x), entonces la

última expresión se reduce a

𝜕 ln µ(x, y)𝜕𝑥 𝑁(𝑥, 𝑦) = ]

𝜕𝑀(𝑥, 𝑦)𝜕𝑦 −

𝜕𝑁(𝑥, 𝑦)𝜕𝑥 ^

Por lo tanto

𝜕 ln µ(x)𝜕𝑥 =

a𝜕𝑀(𝑥, 𝑦)𝜕𝑦 − 𝜕𝑁(𝑥, 𝑦)𝜕𝑥 b

𝑁(𝑥, 𝑦)

integrando con respecto a la variable 𝑥 se tiene que

ln µ(x) = @a𝜕𝑀(𝑥, 𝑦)𝜕𝑦 − 𝜕𝑁(𝑥, 𝑦)𝜕𝑥 b

𝑁(𝑥, 𝑦) 𝑑𝑥

por lo tanto

µ(x) = 𝑒∫89;(',))9) /9=(',))9' >

=(',)) #' .

De manera similar se tiene que si µ(x, y) = µ(y) entonces

µ(y) = 𝑒∫89=(',))9' /9;(',))9) >

;(',)) #'

En la práctica para saber qué factor integrante se debe de utilizar sólo hay que fijarse si

?')(+,-)'- /'/(+,-)'+ @

=(',)) sólo depende de la variable 𝑥 entonces el factor integrante será µ(x)

Mientras que si



?'/(+,-)'+ /')(+,-)'- @

;(',)) sólo depende de la variable y, entonces el factor integrante será µ(y)

Ejemplo

Consideremos la ecuación

a2𝑦 −1𝑥b𝑑𝑥 + a𝑥 +

2𝑥b𝑑𝑦 = 0

En este caso 𝑀(𝑥, 𝑦) = R2𝑦 − !'S y 𝑁(𝑥, 𝑦) = R𝑥 + "

'S. Ahora calculamos las parciales

correspondientes para verificar si la ecuación es exacta o no, es decir

𝜕𝑁(𝑥, 𝑦)𝜕𝑥 = a1 −

2𝑥"b

Mientras que

𝜕𝑀(𝑥, 𝑦)𝜕𝑦 = 2

Por lo tanto

𝜕𝑀(𝑥, 𝑦)𝜕𝑦 ≠

𝜕𝑁(𝑥, 𝑦)𝜕𝑥

Y en consecuencia la ecuación no es exacta, por tal razón debemos de encontrar su factor

integrante. Para ello analicemos

a𝜕𝑀(𝑥, 𝑦)𝜕𝑦 − 𝜕𝑁(𝑥, 𝑦)𝜕𝑥 b

𝑁(𝑥, 𝑦) = c2 − R1 − 2

𝑥"S

R𝑥 + 2𝑥Sd = c

1 + 2𝑥"

R1 + 2𝑥"S 𝑥

d =1𝑥

Por lo tanto el factor integrante que se necesita es µ(x). De esta manera utilizamos la formula

de µ(x) para obtener



µ(x) = 𝑒∫89;(',))9) /9=(',))9' >

=(',)) #' = 𝑒∫!'#' = 𝑒A& ' = 𝑥

por lo tanto si multiplicamos la ecuación inicial por el factor µ(x) = 𝑥

se tendrá que

𝑥 a2𝑦 −1𝑥b 𝑑𝑥 + 𝑥 a𝑥 +

2𝑥b𝑑𝑦 = 𝑥0

lo que implica que

(2𝑥𝑦 − 1)𝑑𝑥 + (𝑥" + 2)𝑑𝑦 = 0.

En este caso la funciones 𝑀(𝑥, 𝑦) y 𝑁(𝑥, 𝑦) tomarán los siguientes valores

𝑀(𝑥, 𝑦) = (2𝑥𝑦 − 1)

y

𝑁(𝑥, 𝑦) = (𝑥" + 2)

de esta manera

𝜕𝑁(𝑥, 𝑦)𝜕𝑥 = 2𝑥

mientras que

𝜕𝑀(𝑥, 𝑦)𝜕𝑦 = 2𝑥.

Por lo tanto la ecuación es exacta y se puede utilizar el método anterior para obtener como

solución

𝑥"𝑦 + 2𝑦 − 𝑥 = 𝐶



1.3.1 Teoremadeexistenciayunicidad

Hasta el momento se han resuelto diversas ecuaciones diferenciales de primer orden utilizando

diversos métodos, pero te has preguntado ¿Por qué las ecuaciones diferenciales tienen

solución? ¿Las soluciones a las ecuaciones diferenciales son únicas? Las respuestas a estas

preguntas se tienen con el Teorema de Existencia y Unicidad enunciado a continuación.

Sea una ecuación diferencial 𝑦B = 𝑓(𝑥, 𝑦), donde la función 𝑓(𝑥, 𝑦) esta definida en un dominio

𝐷 de ℝ", que contiene el punto (𝑥1, 𝑦1). Si la función 𝑓(𝑥, 𝑦) satisface las condiciones:

1) f(x,y) es continua en 𝐷 como función de dos variables.

2) 𝑓(𝑥, 𝑦) admite derivada parcial 9C(',))9)

, continua como función de dos variables en 𝐷.

Entonces, existe una y sólo una solución 𝜑(𝑥) = 𝑦 de la ecuación dada que satisface a la

condición inicial 𝑦(𝑥1) = 𝑦1.

La condición 𝑦(𝑥1) = 𝑦1 se conoce como condición inicial.

Hasta el momento sólo se han resuelto ecuaciones sin condiciones iniciales, analizaremos

algunos de los ejemplos dados y los convertiremos en problemas de valor inicial y daremos las

soluciones.

Ejemplo

Consideremos la ecuación

𝑑𝑦𝑑𝑥(1 + 𝑥") =

6cos(2𝑦)

Con condición inicial 𝑦(0) = 1. Entonces como ya lo hemos calculado la solución a la ecuación

es $%&("))"

− 6tan/! 𝑥 = 𝐶, entonces al sustituir 𝑥 = 0 y 𝑦 = 1, que son las condiciones iniciales,

se obtiene



sin(2)2 − 6tan/! 0 = 𝐶

por lo tanto

sin(2)2 = 𝐶

y en consecuencia la solución a esta ecuación con condición inicial sería

sin(2𝑦)2 − 6tan/! 𝑥 =

sin(2)2 .

Como otro ejemplo consideremos la ecuación

𝑑𝑦𝑑𝑥 − 2𝑥𝑦 = 𝑥

Con condición inicial 𝑦(1) = 2". Como sabemos la solución a esta ecuación esta dada por

𝑦 = 𝑒/'!𝐶 +12

entonces al sustituir los valores 𝑥 = 1 y 𝑦 = 2" se tiene que

32 = 𝑒/!!𝐶 +

12

despejando a 𝐶 se tiene que

𝐶 = 𝑒

y por tanto la solución a nuestro problema inicial será

𝑦 = 𝑒/'!𝑒 +12 = 𝑒(/'!.!) +

12.

Para englobar lo visto en esta unidad veremos los siguientes problemas:

Un móvil se desplaza a lo largo del eje de manera tal que su aceleración en cualquier tiempo

está dada por la ecuación . Encuentra la ecuación que determine la

x

0t ³ ( ) 21 2a t t t= - +



posición de la partícula en cualquier tiempo, suponiendo que inicialmente la partícula

está localizada en y está viajando a una velocidad de

Solución:

Por el cálculo elemental, sabemos que la primera derivada nos da la velocidad y la segunda

derivada la aceleración. De donde los datos del problema de valor inicial serían:

(1)

Integrando la Ecuación (1) con respecto a obtenemos la velocidad:

Y usando la condición podemos hallar que , con lo cual la velocidad en

cualquier tiempo sería:

Integrando de nuevo, obtenemos el desplazamiento:

y usando la condición podemos determinar que y obtener la posición de la

partícula en cualquier tiempo :

En la figura1 se muestra la gráfica del movimiento:

( )x t t

1x = 3v = -

( ) 21 2a t t t= - +

22

2 1 2d x t tdt

= - +

( )0 1x =

( )' 0 3x = -

x3

213

dx tv t t cdt

= = - + +

( )' 0 3x = - 1 3c = -

t3

2 33

dx tv t tdt

= = - + -

( ) 2 3 42

1 1 1 32 3 12

x t t t t t c= - + - +

( )0 1x = 2 1c =

t

( ) 2 3 41 1 1 3 12 3 12

x t t t t t= - + - +



Figura 1. Gráfica de la posición de la partícula versus tiempo. (Gráfica obtenida con Derive).

Problema 2:

Dado el problema de valor inicial

(2)

podemos obtener fácilmente la solución mediante separación de variables:

(3)

Integrando ambos lados de la ecuación obtenemos que:

(4)

La solución general será:

(5)

Si usamos la condición inicial:

122dy xy

dx=

( )0 0y =

122dy xy

dx=

12

2dy xdxy

=

12

2dy xdxy

=ò ò

1222y x c= +

( )0 0y =

0c =



Por lo tanto, una solución particular de la ecuación será:

Elevamos al cuadrado para despejar “y”:

(6)

Al observar la ecuación (4) vemos que no está definida para y=0 (no se puede dividir entre

cero); sin embargo, y=0 también es una solución de la ecuación diferencial, esta solución recibe

el nombre de solución singular porque no se obtiene a partir de la solución general (5).

Al sustituir las condiciones iniciales obtenemos distintos valores para la constante, cada

solución representa una solución particular. En la figura 2 se muestran algunas de las

soluciones.

Figura 2. Familia de curvas que representan algunas de las soluciones particulares de la Ecuación (5) (Gráfica generada con Derive).

1222y x=

4

4xy =



Cierredelaunidad

Como pudiste observar, las ecuaciones diferenciales combinan diferentes técnicas de las

matemáticas para poder encontrar las soluciones, por esta razón es muy importante que

refuerces tus conocimientos previos para poder desarrollar mejor tus habilidades en esta

asignatura.

Además de lo mencionado anteriormente, cabe señalar que existen diversos problemas en la

naturaleza que se modelan utilizando ecuaciones diferenciales ordinarias de primer orden, por

lo cual se te recomienda que lo que aprendiste en este módulo lo trates de aplicar en algún

problema de la vida cotidiana.

Esperamos que después de esta unidad tu entusiasmo por estudiar ecuaciones diferenciales sea

mayor, pues en las siguientes unidades aprenderemos a resolver ecuaciones diferenciales de

grado mayor, las cuales te ayudarán a resolver ecuaciones diferenciales parciales.

Parasabermás

https://www.youtube.com/watch?v=s7vrM

p8lvfQ

https://www.youtube.com/watch?v=7HYc

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Fuentesdeconsulta

• Espinosa, Canals. Muños, Pérez, Prado, Darío, Ulín (2010), Ecuaciones diferenciales

ordinarias, México: Reverte.

• Larson, R., (2009), Matemáticas II Cálculo integral. México: Mc Graw Hill.

• Picón, P., (2006), Análisis conjunto, México: Porrúa.

• Zill, D., (2008), Ecuaciones diferenciales, México: Mc Graw Hill.

• Kiseliov,Krasov,Makarenko, (2002), Problemas de ecuaciones diferenciales

ordinarias, México: Quinto Sol.

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