Diseñó: Arturo Corona PeguerosJulio 2010 Álgebra de Matrices UTEQ Conceptos básicos Concepto de...

Diseñó: Arturo Corona PeguerosDiseñó: Arturo Corona Pegueros Julio 2010Julio 2010

Álgebra de Matrices UTEQ

Conceptos básicos

• Concepto de matriz

• Operaciones con matrices- Adición- Producto por escalar

- Producto de matrices

En esta presentación te mostramos una forma de acercarte al concepto de matriz, sin embargo es importante aclarar que las matrices no nacieron de esta forma. Las matrices surgen de la necesidad de trabajar sistemas de ecuaciones lineales.

Para mayor información puedes revisar la siguiente dirección:

http://www-history.mcs.st-andrews.ac.uk/history/HistTopics/Matrices_and_determinants.html

Conceptos básicosCONCEPTO DE MATRIZ

Una empresa de alquileres tuvo los siguientes movimientos:

Mar: 150 mesas, 100 sillas y 100 mantelesSucursalPlaza del Parque:

SucursalPlaza Zaragoza:

Mar: 100 mesas, 100 sillas y 150 manteles

¿Cuál es el total de cada artículo por mes?

Ene: 300 mesas, 400 sillas y 250 mantelesFeb: 400 mesas, 300 sillas y 300 manteles

Una empresa de alquileres tuvo los siguientes movimientos:

Una forma de solución es la siguiente:

¿Cuál es el total de cada artículo por mes?

Una forma de solución es la siguiente:

P = EneFebMar

sillas manteles

mesas sillas manteles Ene 200 300 200

Z = Feb 300 350 200 Mar 100 100 150

A cada arreglo se le denomina:MATRIZ

Operaciones con MatricesADICIÓN

La adición de matrices se realiza término a término:

300 400 250400 300 300150 100 100

200 300 200300 350 200100 100

300 + 200

300 400 250400 300 300150 100 100

200 300 200300 350 200100 100

500 700

300 400 250400 300 300150 100 100

200 300 200300 350 200100 100

500 700 450

300 400 250400 300 300150 100 100

200 300 200300 350 200100 100

500 700 450700 650 500250 200 250

= R Matriz resultanteo Matriz Resultado

De manera general, podemos establecer lo siguiente:

Numeramos las columnas

C1 C2 C3

Numeramos los renglones

Numeramos cada elemento con dos subíndices

a11 a12 a13

a21 a22 a23

a31 a32 a33

Numeramos las columnas

C1 C2 C3

Numeramos los renglones

Numeramos cada elemento con dos subíndices

a11 a12 a13

a21 a22 a23

a31 a32 a33

De esta forma queda la representación o modelo matemáticode una matriz de 3 x 3

Numeramos las columnasNumeramos los renglonesNumeramos cada elemento con dos subíndices

a11 a12 a13

a21 a22 a23

a31 a32 a33

Adicionamos una segunda matriz cuyos elementos denominamoscon la letra b

b11 b12 b13

b21 b22 b23

b31 b32 b33

Numeramos las columnasNumeramos los renglonesNumeramos cada elemento con dos subíndices

a11 a12 a13

a21 a22 a23

a31 a32 a33

Adicionamos una segunda matriz cuyos elementos denominamoscon la letra b

b11 b12 b13

b21 b22 b23

b31 b32 b33

De manera que la matriz resultante tiene elementos c que seobtienen mediante la operación:

cij = aij + bij

c11 c12 c13

c21 c22 c23

c31 c32 c33

Operaciones con MatricesPRODUCTO POR ESCALAR

La sucursal Plaza del Parque tuvo las siguientes ventas:

SucursalPlaza del Parque:

¿Cuál es el total de ventas por mes de la sucursalPlaza Zaragoza?

Abr: 200 mesas, 300 sillas y 100 mantelesMay: 300 mesas, 300 sillas y 200 manteles

La sucursal Plaza Zaragoza tuvo 40% más ventas en losmismos dos meses comparada con Plaza del Parque.

Llamamos P a la matriz asociada a Plaza del Parque

P =200 300 100300 300 200

Si llamamos Z a la matriz asociada a Plaza Zaragoza, entoncesTenemos que:

Z = P + 0.40*P Z = 1.40 * P

P =200 300 100300 300 200

Z = P + 0.40*P Z = 1.40 * P200 300 100300 300 200

Z = 1.4(200

P =200 300 100300 300 200

Z = P + 0.40*P Z = 1.40 * P200 300 100300 300 200

Z = 1.4(200)

1.4(300)

P =200 300 100300 300 200

Z = P + 0.40*P Z = 1.40 * P200 300 100300 300 200

Z = 1.4(200) 1.4(300) 1.4(100)

P =200 300 100300 200 200

Z = P + 0.40*P Z = 1.40 * P200 300 100300 300 200

Z = 1.4(200) 1.4(300) 1.4(100)

1.4(300) 1.4(300) 1.4(200)

P =200 300 100300 300 200

Z = P + 0.40*P Z = 1.40 * P200 300 100300 300 200

Z = 280 420 140420 420 280 Esta operación se llama:

Producto por escalar

Operaciones con MatricesPRODUCTO DE MATRICES

La sucursal Plaza Zaragoza tiene ventas registradaspor

El precio por artículo es el siguiente: $20 cada mesa, $10 cada silla y $15 cada mantel.

Ene: 300 mesas, 400 sillas y 250 mantelesFeb: 400 mesas, 300 sillas y 300 mantelesMar: 150 mesas, 100 sillas y 100 manteles

¿A cuánto asciende el ingreso por mes?

Una forma de resolver el problema:

Ene: 300 mesas, 400 sillas y 250 mantelesFeb: 400 mesas, 300 sillas y 300 mantelesMar: 150 mesas, 100 sillas y 100 manteles

300 400 250400 300 300150 100 100

mesas sillas manteles

EneFebMar

El precio por artículo es el siguiente: $20 cada mesa, $10 cada silla y $15 cada mantel.

IngresoMesa 20Silla 10Mantel 15

300 400 250400 300 300150 100 100

EneFebMar

300(20)Ene

300 400 250400 300 300150 100 100

EneFebMar

300(20)Ene + 400(10)

300 400 250400 300 300150 100 100

EneFebMar

300(20)Ene + 400(10)+ 250(15)

300 400 250400 300 300150 100 100

EneFebMar

300(20)Ene + 400(10)+ 250(15)Feb400(20) + 300(10) + 300(15)Mar150(20) + 100(10) + 100(15)

300 400 250400 300 300150 100 100

EneFebMar

13,750Ene

Feb 15,500Mar 5,500

Matriz de Ingreso por mes

Ingreso

La fabrica de muebles Michoacán tuvo los siguientes volúmenesde producción durante enero en sus tres sucursales:

Mano de obra de $750 por escritorio y $600 por librero

Norte: 600 escritorios y 700 librerosSur: 800 escritorios y 600 librerosCentro: 900 escritorios y 500 libreros

Materia prima de $2,500 por escritorio y $2,000 por librero

Gastos indirectos de $500 por escritorio y $400 por librero

¿Cuáles son los costos individuales por sucursal?

Con los siguientes costos:

Escribimos dos matrices asociadas a los datos:

Mano de obra de $750 por escritorio y $600 por librero

Norte: 600 escritorios y 700 librerosSur: 800 escritorios y 600 librerosCentro: 900 escritorios y 500 libreros

Materia prima de $2,500 por escritorio y $2,000 por librero

Gastos indirectos de $500 por escritorio y $400 por librero

600 700800 600900 500

Escritorio librero

Centro

Escritorio

Librero

MateriaPrima

Mano de obra

Gastos indirectos

2,500 750 5002,000 600 400

El producto de matrices se realiza de la siguiente forma:

600(2,500) + 700(2,000)

600 700800 600900 500

Escritorio librero

Centro

Escritorio

Librero2,500 750 5002,000 600 400

Materia prima

2,900,000Norte

600(750) + 700(600)

MateriaPrima

Mano de obra

Gastos indirectos

600 700800 600900 500

Escritorio librero

Centro

Escritorio

Librero2,500 750 5002,000 600 400

Materia prima

2,900,000Norte

870,000

Mano de obra

MateriaPrima

Mano de obra

Gastos indirectos

600 700800 600900 500

Escritorio librero

Centro

Escritorio

Librero2,500 750 5002,000 600 400

Materia prima

2,900,000Norte

870,000

Mano de obra

600(500) + 700(400)

MateriaPrima

Mano de obra

Gastos indirectos

600 700800 600900 500

Escritorio librero

Centro

Escritorio

Librero2,500 750 5002,000 600 400

Materia prima

2,900,000Norte

870,000

Mano de obra

580,000

MateriaPrima

Mano de obra

Gastos indirectos

600 700800 600900 500

Escritorio librero

Centro

Escritorio

Librero2,500 750 5002,000 600 400

Materia prima

2,900,000Norte

870,000

Mano de obra

580,000

MateriaPrima

Mano de obra

Gastos indirectos

3,200,000 960,000 600,000Sur

3,250,000 975,000 650,000Centro

La operación se realizó de la siguiente forma:

600 700800 600900 500

Escritorio librero

Centro

Escritorio

Librero2,500 750 5002,000 600 400

MateriaPrima

Mano de obra

Gastos indirectos

La operación se realizó de la siguiente forma:

600 700800 600900 500

Escritorio librero

Centro

Escritorio

Librero2,500 750 5002,000 600 400

MateriaPrima

Mano de obra

Gastos indirectos

MateriaPrima

Mano de obra

Gastos indirectos

Centro

600(2,500) + 700(2,000) 600(750) + 700(600) 600(500) + 700(400)

800(2,500) + 600(2,000) 800(750) + 600(600) 800(500) + 600(400)

900(2,500) + 500(2,000) 900(750) + 500(600) 900(500) + 500(400)

De forma general, el producto de matrices se realiza de laSiguiente manera:

a11 a12 a13

a21 a22 a23

b11 b12

b21 b22

b31 b32

c11 c12

c21 c22=

Cada elemento de la matriz resultante se obtiene de la siguienteforma:

cij = Ri Cj

Diseñó:M.D.M. Arturo Corona Pegueros

Carrera de Administración Área Recursos HumanosDivisión Económico-Administrativa

Universidad Tecnológica de QuerétaroQuerétaro, México

Última actualización: julio 2010Cualquier comentario dirigirlo a:

acorona@uteq.edu.mx

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