DEFINICIÓN DE ERRORMétodos Numéricos

DEFINICIÓN DE ERROR

• Los errores numéricos se generan con el uso de aproximaciones para representar las operaciones y cantidades matemáticas

DEFINICIÓN DE ERROR

• 1.1 Errores por truncamiento

• Los errores por truncamiento resultan al representar aproximadamente un procedimiento matemático exacto, por ejemplo: para evaluar se tiene una expresión matemática, dada la sumatoria de términos que representa esta función. La expansión de series de Maclaurin para evaluar la expresión es la siguiente:

DEFINICIÓN DE ERROR

• 1.1 Errores por truncamiento

• Esta expresión contiene un numero infinito de términos que desde el punto de vista computacional, resultaría imposible evaluar. Para efectos prácticos será necesario decidir cuantos términos de la serie infinita deben utilizarse para alcanzar el valor de precisión deseado. El proceso de eliminación de términos de la serie infinita se conoce con el nombre truncamiento.

DEFINICIÓN DE ERROR

• 1.1 Errores por truncamiento

• En la tabla 1.1 puede observarse que conforme aumenta el numero de términos incluidos en la evaluación, la diferencia entre los valores consecutivos tiende a cero.

• Abrir pre-ejemplo en Matlab

• IterMeth.m

DEFINICIÓN DE ERRORNumero de términos

Numero de términos

1 1.0000 6 2.71672 2.0000 7 2.71813 2.5000 8 2.71824 2.6667 9 2.71835 2.7083 10 2.7183

Tabla 1.1 Valores de de acuerdo al numero de términos incluidos en la ecuación

DEFINICIÓN DE ERROR

• 1.2 Errores por Redondeo

• Los errores por redondeo surgen de representar aproximadamente números exactos. En una calculadora o computadora digital este error es inevitable y se origina porque la aritmética realizada en una maquina involucra números con solo un numero finito de dígitos (lo cual quiere decir que la maquina no tiene una capacidad infinita para almacenar valores numéricos).

DEFINICIÓN DE ERROR

• 1.2 Errores por Redondeo

• En la tabla 1.1 se mostraron valores obtenidos al evaluar la expresión usando un entero y cuatro decimales. La tabla 1.2 muestra la misma evaluación pero cuando se usan un entero y ocho decimales.

DEFINICIÓN DE ERRORNumero de términos

Numero de términos

1 1.00000000 6 2.716666662 2.00000000 7 2.718055553 2.50000000 8 2.71825394 2.66676667 9 2.71827565 2.7083333 10 2.7182784

Tabla 1.2 Valores de de acuerdo al numero de términos incluidos en la ecuación

DEFINICIÓN DE ERROR

• Una comparación de los términos de la tablas 1.1 y 1.2 muestran las diferencias generadas al emplear cuatro y ocho valores decimales en los cálculos. Al usar cuatro decimales no hay diferencia entre los valores de cuando se usan 9 0 10 términos; mientras que cuando se usan ocho decimales si existen diferencias entre ellos.

DEFINICIÓN DE ERROR

• 1.3 Clasificación de los Errores

• Para los dos tipos de errores mencionados en las secciones 1.1 y 1.2, la relación entre el valor exacto o verdadero y el valor aproximado esta dado por la expresión:

• En donde podemos observar que el error numérico es la diferencia entre los valores verdadero y aproximado.

DEFINICIÓN DE ERROR

• 1.3 Clasificación de los Errores

• Que se representa como:

• Donde se utiliza para denotar el valor verdadero (exacto) del error.

DEFINICIÓN DE ERROR

• 1.3 Clasificación de los Errores

• Que se representa como:

• Donde se utiliza para denotar el valor verdadero (exacto) del error.

DEFINICIÓN DE ERROR

• 1.3 Clasificación de los Errores

• Un problema que se tiene al utilizar esta definición de error es que magnitud no nos indica que tan representativa es esta cantidad. Por ejemplo, no es lo mismo cometer un error de medición de 1 ml en un tanque de almacenamiento de 40000 litros que en la elaboración de un medicamento de 10 ml. Para resolver esa posible deficiente interpretación de error se recurre a la normalización del mismo usando el valor verdadero como referente.

DEFINICIÓN DE ERROR

• 1.3 Clasificación de los Errores

• El error relativo también puede expresarse en forma porcentual al multiplicar por cien el error relativo fraccionario.

DEFINICIÓN DE ERROR

• 1.3 Clasificación de los Errores

• A menudo el signo del error no tiene la relevancia de su magnitud, y para fines de poder comparar los errores de un cálculo contra lo de otro, se prefiere utilizar sus correspondientes valores absolutos, teniendo así que:

DEFINICIÓN DE ERROR

• 1.3 Clasificación de los Errores

DEFINICIÓN DE ERROR

• 1.3 Clasificación de los Errores

• Los errores anteriores tienen el inconveniente de que para poder ser evaluados se requiere el valor verdadero, hecho que desafortunadamente no sucede en situaciones reales; así que se recurre a definiciones similares o paralelas consecutivas.

DEFINICIÓN DE ERROR

• 1.3 Clasificación de los Errores

• En los métodos numéricos se usan esquemas iterativos donde se obtiene una aproximación actual sobre la base de una aproximación anterior.

• Este proceso se repite sucesivamente para calcular mas y mejores aproximaciones a la solución. Así que el error se puede estimar como la diferencia entre la aproximación previa y la aproximación actual, teniendo entonces, como en los casos anteriores las siguientes definiciones de errores:

DEFINICIÓN DE ERROR

• 1.3 Clasificación de los Errores

• Error Aproximado

• Error relativo fraccionario aproximado

DEFINICIÓN DE ERROR

• 1.3 Clasificación de los Errores

• Error relativo porcentual aproximado

• La mayoría de las ocasiones no interesa el signo del error, sino mas bien su magnitud, por lo que quedan entonces expresados

DEFINICIÓN DE ERROR

• 1.3 Clasificación de los Errores

DEFINICIÓN DE ERROR• Ejemplo 1

• El puede representarse por medio de la serie de Maclaurin como:

• +…

• Calcule el valor de los errores relativos porcentuales y error relativo porcentual aproximado para el coseno de .

• Tome como valor verdadero el calculo directamente con la función coseno de Excel.

• Use desde 1 hasta 5 términos de la serie y 8 decimales en los cálculos.

DEFINICIÓN DE ERROR

• Abrir ejemplo 1:

• mne1-1v3

DEFINICIÓN DE ERROR

• Como se puede observar en la tabla 1.3

         

1 0 1 1 1 1 141.421356

24  

2 20.61685027

5 2 -1

-0.3084251

40.6915748

622.1965450

144.597505

53

3 40.38050426

2 24 10.0158543

440.7074292

070.0455978

552.2411209

62

4 60.23471415

9 720 -1

-0.0003259

90.7071032

150.0005043

60.0461024

47

5 80.14478349

3 40320 13.59086E-

060.7071068

063.46436E-

060.0005078

24

DEFINICIÓN DE ERROR

• El error aproximado es mas conservador (mayor) que el error real, lo cual es conveniente, ya que se asegura que se esta cometiendo un error menor al que pudiera realmente existir.

• También se observa que a medida que aumenta el numero de términos agregados a la serie, la aproximación al valor real es cada vez mejor, de tal forma que agregando un numero infinito de términos obtendríamos la solución real.

DEFINICIÓN DE ERROR

• Esto en principio es cierto, pero debido al numero de cifras significativas limitado con opera la computadora, los errores de redondeo crecen a medida que aumenta el numero de cálculos, aunque los errores de truncamiento decrecen conforme aumenta el numero de términos; por lo tanto, se debe considerar que: la estrategia de disminuir el error de truncamiento agregando términos a la serie, lleva a un incremento en el error de redondeo.

DEFINICIÓN DE ERROR

• El problema es identificar el punto donde se tiene el mínimo error numérico total, es decir, la mínima suma de los errores de truncamiento y redondeo.

• En realidad, la estimación de los errores en el análisis numérico es una arte, que depende en gran parte de las soluciones de prueba y error, además de la intuición y experiencia del analista.

DEFINICIÓN DE ERROR• Ejemplo 2

• El puede representarse por medio de la serie de Maclaurin como:

• +…

• Calcule el valor de los errores relativos porcentuales y error relativo porcentual aproximado para el coseno de , usando aritmética de cuatro decimales.

• Tome como valor verdadero el calculo directamente con la función coseno de Excel.

• Use desde 1 hasta 5 términos de la serie y 8 decimales en los cálculos.

DEFINICIÓN DE ERROR

• Abrir ejemplo 2:

• mne1-2v3

DEFINICIÓN DE ERROR

• Resultados del ejemplo 2 como se puede observar en la tabla 1.4

         

1 0 1.0000 1 1 1.0000 1.0000 41.4214  2 2 0.6169 2 -1 -0.3084 0.6916 2.1965 44.59753 4 0.3805 24 1 0.0159 0.7074 0.0456 2.24114 6 0.2347 720 -1 -0.0003 0.7071 0.0005 0.04615 8 0.1448 40320 1 0.0000 0.7071 0.0000 0.0005

DEFINICIÓN DE ERROR

• 1.4 Precisión y Exactitud

• Muchas veces cuando conversamos usando los términos precisión y exactitud de manera indistinta. Sin embargo, ambos términos tienen un significado diferente. El termino precisión esta relacionado con el nivel de cifras significativas de una medición y la reproducibilidad de las mismas.

DEFINICIÓN DE ERROR

• 1.4 Precisión y Exactitud

• El termino exactitud nos indica la cercanía de un valor con el valor verdadero o real. Si se comparan las mediciones del diámetro de un lápiz usando un vernier y un micrómetro, se pensaría de inmediato quela lectura del micrómetro seria mas exacta; pero no seria así, en el caso del micrómetro estuviera desajustado.

DEFINICIÓN DE ERROR

• 1.4 Precisión y Exactitud

• Con respecto a la precisión, el vernier nos podría dar una lectura de hasta milímetros mientras que el micrómetro nos indicaría milésimas de milímetro; por lo tanto el micrómetro es un aparato mas preciso que el vernier.

DEFINICIÓN DE ERROR

• 1.5 Ejercicios – Ejercicio 1.5.1 Abrir ejercicio mnr1-1v3

• La serie infinita es valida para el intervalo y puede ser usada para el calculo de logaritmos naturales.

a) Determine el valor de logaritmo natural de 1.5 usando esta serie infinita y 20 términos de la serie.

b) Calcule el error relativo porcentual usando el valor del logaritmo natural obtenido con la función Excel.

DEFINICIÓN DE ERROR

• 1.5 Ejercicios – Ejercicio 1.5.1

c) Marque los encabezados de las columnas con letras de color rojo y fondo azul.

d) Use números con cinco decimales en su tabla para los valores de los logaritmos, dos decimales para el error. Centre todos sus valores en cada columna.

DEFINICIÓN DE ERROR

• 1.5 Ejercicios – Ejercicio 1.5.2 Abrir ejercicio mnr1-2v3.xls

• La función seno puede ser calculada mediante la serie infinita

es valida para el intervalo

a) Determine el valor de usando cinco términos de la serie infinita.

b) Calcule el error relativo porcentual usando el valor de dado por la función Excel.

DEFINICIÓN DE ERROR

• 1.5 Ejercicios – Ejercicio 1.5.2

c) Marque los encabezados de las columnas con letras de color rojo y fondo azul.

d) Use números con cinco decimales en su tabla para los valores de , dos decimales para el error y centre los números en cada columna.

DEFINICIÓN DE ERROR

• 1.5 Ejercicios – Ejercicio 1.5.3 Abrir ejercicio mnr1-3v3.xls

• La serie infinita

es valida para , puede ser usada para el calculo de logaritmos naturales.

a) Determine el valor de logaritmo de 1.5 usando esta serie infinita y 20 términos de la serie.

b) Calcule el error relativo porcentual usando como valor verdadero el valor de obtenido con la función Excel.

DEFINICIÓN DE ERROR

• 1.5 Ejercicios – Ejercicio 1.5.3

c) Marque los encabezados de las columnas con letras de color rojo y fondo azul.

d) Use números con cinco decimales en su tabla para los valores de los logaritmos dos decimales para el error y centre los números en cada columna.