Definicion de error AN

DEFINICIÓN DE ERRORMétodos Numéricos

Clase 01

21-Enero-2015

DEFINICIÓN DE ERROR

• Los errores numéricos se generan con el uso de aproximaciones para

representar las operaciones y cantidades matemáticas


• 1.1 Errores por truncamiento

• Los errores por truncamiento resultan al representar aproximadamente

un procedimiento matemático exacto, por ejemplo: para evaluar se tiene

una expresión matemática, dada la sumatoria de términos que

representa esta función. La expansión de series de Maclaurin para

evaluar la expresión es la siguiente:



• Esta expresión contiene un numero infinito de términos que desde el

punto de vista computacional, resultaría imposible evaluar. Para efectos

prácticos será necesario decidir cuantos términos de la serie infinita

deben utilizarse para alcanzar el valor de precisión deseado. El proceso

de eliminación de términos de la serie infinita se conoce con el nombre

truncamiento.



• En la tabla 1.1 puede observarse que conforme aumenta el numero de

términos incluidos en la evaluación, la diferencia entre los valores

consecutivos tiende a cero.

• Abrir pre-ejemplo en Matlab

• IterMeth.m


Numero de términos

Numero de términos

1 1.0000 6 2.7167

2 2.0000 7 2.7181

3 2.5000 8 2.7182

4 2.6667 9 2.7183

5 2.7083 10 2.7183

Tabla 1.1 Valores de de acuerdo al numero de términos incluidos en la ecuación


• 1.2 Errores por Redondeo

• Los errores por redondeo surgen de representar aproximadamente

números exactos. En una calculadora o computadora digital este error es

inevitable y se origina porque la aritmética realizada en una maquina

involucra números con solo un numero finito de dígitos (lo cual quiere

decir que la maquina no tiene una capacidad infinita para almacenar

valores numéricos).


• 1.2 Errores por Redondeo

• En la tabla 1.1 se mostraron valores obtenidos al evaluar la expresión

usando un entero y cuatro decimales. La tabla 1.2 muestra la misma

evaluación pero cuando se usan un entero y ocho decimales.


Numero de términos

Numero de términos

1 1.00000000 6 2.71666666

2 2.00000000 7 2.71805555

3 2.50000000 8 2.7182539

4 2.66676667 9 2.7182756

5 2.7083333 10 2.7182784

Tabla 1.2 Valores de de acuerdo al numero de términos incluidos en la ecuación


• Una comparación de los términos de la tablas 1.1 y 1.2 muestran las

diferencias generadas al emplear cuatro y ocho valores decimales en los

cálculos. Al usar cuatro decimales no hay diferencia entre los valores de

cuando se usan 9 0 10 términos; mientras que cuando se usan ocho

decimales si existen diferencias entre ellos.


• 1.3 Clasificación de los Errores

• Para los dos tipos de errores mencionados en las secciones 1.1 y 1.2, la

relación entre el valor exacto o verdadero y el valor aproximado esta

dado por la expresión:

• En donde podemos observar que el error numérico es la diferencia entre

los valores verdadero y aproximado.



• Que se representa como:

• Donde se utiliza para denotar el valor verdadero (exacto) del error.



• Un problema que se tiene al utilizar esta definición de error es que

magnitud no nos indica que tan representativa es esta cantidad. Por

ejemplo, no es lo mismo cometer un error de medición de 1 ml en un

tanque de almacenamiento de 40000 litros que en la elaboración de un

medicamento de 10 ml. Para resolver esa posible deficiente interpretación

de error se recurre a la normalización del mismo usando el valor verdadero

como referente.



• El error relativo también puede expresarse en forma porcentual al

multiplicar por cien el error relativo fraccionario.



• A menudo el signo del error no tiene la relevancia de su magnitud, y para

fines de poder comparar los errores de un cálculo contra lo de otro, se

prefiere utilizar sus correspondientes valores absolutos, teniendo así que:



• Los errores anteriores tienen el inconveniente de que para poder ser

evaluados se requiere el valor verdadero, hecho que desafortunadamente

no sucede en situaciones reales; así que se recurre a definiciones

similares o paralelas consecutivas.



• En los métodos numéricos se usan esquemas iterativos donde se obtiene

una aproximación actual sobre la base de una aproximación anterior.

• Este proceso se repite sucesivamente para calcular mas y mejores

aproximaciones a la solución. Así que el error se puede estimar como la

diferencia entre la aproximación previa y la aproximación actual, teniendo

entonces, como en los casos anteriores las siguientes definiciones de

errores:



• Error Aproximado

• Error relativo fraccionario aproximado



• Error relativo porcentual aproximado

• La mayoría de las ocasiones no interesa el signo del error, sino mas bien

su magnitud, por lo que quedan entonces expresados


• Ejemplo 1

• El puede representarse por medio de la serie de Maclaurin como:

• +…

• Calcule el valor de los errores relativos porcentuales y error relativo porcentual

aproximado para el coseno de .

• Tome como valor verdadero el calculo directamente con la función coseno de Excel.

• Use desde 1 hasta 5 términos de la serie y 8 decimales en los cálculos.


• Abrir ejemplo 1:

• mne1-1v3


• Como se puede observar en la tabla 1.3

1 0 1 1 1 1 141.421356

24

2 20.61685027

5 2 -1

-0.3084251

40.6915748

622.1965450

144.597505

53

3 40.38050426

2 24 10.0158543

440.7074292

070.0455978

552.2411209

62

4 60.23471415

9 720 -1

-0.0003259

90.7071032

150.0005043

60.0461024

47

5 80.14478349

3 40320 13.59086E-

060.7071068

063.46436E-

060.0005078

24


• El error aproximado es mas conservador (mayor) que el error real, lo cual

es conveniente, ya que se asegura que se esta cometiendo un error

menor al que pudiera realmente existir.

• También se observa que a medida que aumenta el numero de términos

agregados a la serie, la aproximación al valor real es cada vez mejor, de

tal forma que agregando un numero infinito de términos obtendríamos la

solución real.


• Esto en principio es cierto, pero debido al numero de cifras significativas

limitado con opera la computadora, los errores de redondeo crecen a

medida que aumenta el numero de cálculos, aunque los errores de

truncamiento decrecen conforme aumenta el numero de términos; por lo

tanto, se debe considerar que: la estrategia de disminuir el error de

truncamiento agregando términos a la serie, lleva a un incremento en el

error de redondeo.


• El problema es identificar el punto donde se tiene el mínimo error

numérico total, es decir, la mínima suma de los errores de truncamiento y

redondeo.

• En realidad, la estimación de los errores en el análisis numérico es una

arte, que depende en gran parte de las soluciones de prueba y error,

además de la intuición y experiencia del analista.


• Ejemplo 2

• El puede representarse por medio de la serie de Maclaurin como:

• +…

• Calcule el valor de los errores relativos porcentuales y error relativo porcentual

aproximado para el coseno de , usando aritmética de cuatro decimales.

• Tome como valor verdadero el calculo directamente con la función coseno de Excel.

• Use desde 1 hasta 5 términos de la serie y 8 decimales en los cálculos.


• Abrir ejemplo 2:

• mne1-2v3


• Resultados del ejemplo 2 como se puede observar en la tabla 1.4

1 0 1.0000 1 1 1.0000 1.0000 41.4214

2 2 0.6169 2 -1 -0.3084 0.6916 2.1965 44.5975

3 4 0.3805 24 1 0.0159 0.7074 0.0456 2.2411

4 6 0.2347 720 -1 -0.0003 0.7071 0.0005 0.0461

5 8 0.1448 40320 1 0.0000 0.7071 0.0000 0.0005


• 1.4 Precisión y Exactitud

• Muchas veces cuando conversamos usando los términos precisión y

exactitud de manera indistinta. Sin embargo, ambos términos tienen un

significado diferente. El termino precisión esta relacionado con el nivel

de cifras significativas de una medición y la reproducibilidad de las

mismas.



• El termino exactitud nos indica la cercanía de un valor con el valor

verdadero o real. Si se comparan las mediciones del diámetro de un lápiz

usando un vernier y un micrómetro, se pensaría de inmediato quela

lectura del micrómetro seria mas exacta; pero no seria así, en el caso del

micrómetro estuviera desajustado.



• Con respecto a la precisión, el vernier nos podría dar una lectura de hasta

milímetros mientras que el micrómetro nos indicaría milésimas de

milímetro; por lo tanto el micrómetro es un aparato mas preciso que el

vernier.


• 1.5 Ejercicios – Ejercicio 1.5.1 Abrir ejercicio mnr1-1v3

• La serie infinita es valida para el intervalo y puede ser usada para el

calculo de logaritmos naturales.

a) Determine el valor de logaritmo natural de 1.5 usando esta serie infinita

y 20 términos de la serie.

b) Calcule el error relativo porcentual usando el valor del logaritmo natural

obtenido con la función Excel.


• 1.5 Ejercicios – Ejercicio 1.5.1

c) Marque los encabezados de las columnas con letras de color rojo y

fondo azul.

d) Use números con cinco decimales en su tabla para los valores de los

logaritmos, dos decimales para el error. Centre todos sus valores en

cada columna.


• 1.5 Ejercicios – Ejercicio 1.5.2 Abrir ejercicio mnr1-2v3.xls

• La función seno puede ser calculada mediante la serie infinita

es valida para el intervalo

a) Determine el valor de usando cinco términos de la serie infinita.

b) Calcule el error relativo porcentual usando el valor de dado por la

función Excel.




fondo azul.

d) Use números con cinco decimales en su tabla para los valores de , dos

decimales para el error y centre los números en cada columna.


• 1.5 Ejercicios – Ejercicio 1.5.3 Abrir ejercicio mnr1-3v3.xls

• La serie infinita

es valida para , puede ser usada para el calculo de logaritmos naturales.

a) Determine el valor de logaritmo de 1.5 usando esta serie infinita y 20

términos de la serie.

b) Calcule el error relativo porcentual usando como valor verdadero el

valor de obtenido con la función Excel.




fondo azul.

d) Use números con cinco decimales en su tabla para los valores de los

logaritmos dos decimales para el error y centre los números en cada

columna.

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