Aplicaciones de la Aplicaciones de la trigonometría a la Navegacióntrigonometría a la Navegación

Tema 6Tema 6

Definiciones generales.

R = 6370 km.

milla náutica (marina) →

arco de 1’ sobre circunferencia máxima.

1 NM = 1853 m

* Meridiano de un lugar: Circunferencia máxima que pasa por ese lugar y por los polos PN y PS.

* Paralelelo de un lugar: Circunferencia paralela al ecuador que pasa por ese lugar.

Latitud de un lugar: el ángulo central que subtiende el arco del meridiano del lugar comprendido entre el Ecuador y el lugar.

0 ≤ Φ ≤ 90º (latit. Norte) - 90º ≤ Φ ≤ 0 (latit. Sur)

Longitud de un lugar: el ángulo central que subtiende el arco del Ecuador comprendido entre el meridiano cero y el meridiano del lugar.

0 ≤ λ ≤ 180º (hacia el Este) -

-180º ≤ λ ≤ 0 (hacia el Oeste)

Ruta o Derrota entre dos puntos A y B: la trayectoria que une el punto de partida con el de llegada.

Rumbo de una ruta: el ángulo que forma el meridiano que pasa por ese punto con la ruta.

Derrota Ortodrómica: una derrota que sigue una circunferencia máxima.

Derrota Loxodrómica: una derrota cuyo rumbo es constante en todos los puntos de ella.

Observaciones:

* Latitudes (l):

- Se miden sobre el meridiano de lugar .

- Desde el Ecuador hacia PN (N) = (+)

- Desde el Ecuador hacia PS (S) = (-)

* Longitudes (L): - Se miden sobre el Ecuador . - Desde Meridiano G hacia (E) = (+) - Desde Meridiano G hacia (W) = (-)

ΔL : Diferencia de longitud entre A y B (se mide en el Ecuador)

AB = d = Distancia recorrida en el trayecto.

Rumbo:

• Rumbo circular:

el ángulo que forma el meridiano que pasa por ese punto con la ruta ↔ ángulo direción Norte – dirección de ruta.

* Rumbo cuadrantal: el ángulo que forma el N (ó S) con la ruta ↔ ángulo direción Norte – dirección de ruta óángulo direción Sur – dirección de ruta (Se toma el más pequeño) 0 ≤ R < 90º

Se mide en sentido horario.

0 ≤ R < 360º

Conversión de Rumbos

1. De rumbo circular a rumbo cuadrantal

- De 000 º a 090 º pertenecen al primer cuadrante y se expresan con los mismos números en dos cifras entre las letras N y E. Ej.: 076 º = N76E

- De 090 º a 180 º pertenecen al segundo cuadrante. Se restan de 180 º y se colocan entre el S y el E Ej.: 145 º = 180 º - 145 º = S35E

- De 180 º a 270 º pertenecen al tercer cuadrante. Se les resta 180 º y se colocan entre el S y el W Ej.: 197 º = 197 º - 180 º = S17W

- De 270 º a 360 º pertenecen al cuarto cuadrante. Se restan de 360 º y el resto se coloca entre el N y el W Ej.: 323 º = 360 º - 323 º = N37W

2. De rumbo cuadrantal a rumbo circular

- De N a E (primer cuadrante) es igual para los circulares, sólo que los circulares se expresan con tres cifras. Ej.: N65E = 065 º

- De S a E (segundo cuadrante) se restan de 180 º Ej.: S42E = 180º - 42º = 138 º

- De S a W (tercer cuadrante) se suman a 180º Ej.: S22W = 180º + 22 º= 202º

- De N a W (cuarto cuadrante) se restan de 360º Ej.: N25W = 360º - 25º = 335º

6.2 Navegación a lo largo de una circunferencia máxima.

Será necesario resolver un triángulo esférico (oblicuángulo) en el que un vertice es uno de los polos.

Ejemplo 1: Un buque sale desde Madrás (India) (13º 05’ N, 80º 17’ E) para llegar a Port Kelang (Malasia) (3º 00’ N, 101º 24º E) . Calcular la distancia recorrida y el rumbo inicial y rumbo final.

Caso 3º. Conocidos dos lados y el ángulo comprendido entre ellos.

Conocemos a, b, C ; hay que calcular: c, A, B.

Cálculo de c:

cos cos cos sin sin cosc a b a b C

Cálculo de A y B:

ctg a sin b = cos b cos C + sin C ctg A

ctg b sin a = cos a cos C + sin C ctg B

Obtenemos:cot sin cos cos

cotsin

cot sin cos coscot

sin

a b b CA

Cb a a C

BC

↓

←

;

(90º )

(90º )A

B

d c L C

l b

l a

cos cos(90º )cos(90º ) sin(90º )sin(90º )cosA B A Bd l l l l L

Distancia entre A y B:

Rumbo inicial y Rumbo final:

ctg a sin b = cos b cos C + sin C ctg A

ctg b sin a = cos a cos C + sin C ctg B

;

(90º )

(90º )B

A

d c L C

l a

l b

cot(90º )sin(90º ) cos(90º )coscot

sincot(90º )sin(90º ) cos(90º )cos

cotsin

B A A

A B B

l l l LA

Cl l l L

BC

cos sin sin cos cos cosA B A Bd l l l l L

Distancia entre A y B:

Rumbo inicial y Rumbo final:

ctg a sin b = cos b cos C + sin C ctg A

ctg b sin a = cos a cos C + sin C ctg B

;

(90º )

(90º )B

A

d c L C

l a

l b

tan cos sin coscot

sintan cos sin cos

cotsin

B A A

A B B

l l l LA

Ll l l L

BL

lA = 13º 05’ N lB = 3º 00’ N

LA = 80º 17’ E LB = 101º 24’ E

Solución:

ΔL = LB – LA = 101º 24’ – ( 80º 17’) =

= 21º 07 E

Caso 3º: conocidos 2 lados + ángulo entre ellos.

* Cálculo de d:cos d = cos(90º - lA) cos(90º - lB) + sin(90º - lA) sin(90º - lB) cos ΔL

= sin lA sin lB + cos lA cos lB cos ΔL = 0.91921

d = 23º 11’ 18” = 1391’ = 1391,30 millas

* Cálculo del rumbo inicial (A) : cot a sin b = cos b cos C + sin C cot A

L

LlllA AAB

sin

cos)º90cos()º90sin()º90cot(cot

tan cos sin cos0.44445

sinB A Al l l L

L

tan A = -2.24996 → A = 113º 57’ 46” → Ri = A = 113º 57’ 46”

* Cálculo de B

L

LlllB BBA

sin

cos)º90cos()º90sin()º90cot(cot

tan cos sin cos0.50869

sinA A Bl l l L

L

tan B = 1.96580 → B = 63º 02’ 15” → Rf = 180º - B = 116º 57’ 44”

Ejemplo 2: Hallar el rumbo inicial, rumbo final y la mínima distancia a través de un arco de circunferencia máximo para ir desde A (37º 48’ N, 122º 25’ W) hasta B (27º 19’ S, 153º 10’ E). Localizar el punto de la travesía que corta al Ecuador.

Ejemplo 2: Hallar el rumbo inicial, rumbo final y la mínima distancia a través de un arco de circunferencia máximo para ir desde A (37º 48’ N, 122º 25’ W) hasta B (27º 19’ S, 153º 10’ E). Localizar el punto de la travesía que corta al Ecuador.

Solución:

ΔL = LB – LA = 153º 10’ – (– 122º 35’) =

= 275º 35’ = 84º 25 W

Caso 3º: conocidos 2 lados + ángulo entre ellos.

* Cálculo de d:

cos d = cos(90º - lA) cos(90º - lB) + sin(90º - lA) sin(90º - lB) cos ΔL

= sin lA sin lB + cos lA cos lB cos ΔL = - 0.21297

d = 102º 17’ 47” = 6137,7868’ = 6137,78 millas

* Cálculo de A

L

LlllA AAB

sin

cos)º90cos()º90sin()º90cot(cot

46998.0sin

cossincostan

L

Llll AAB

tan A = -2.12774 → A = 115º 10’ 22” → Ri = 360º - A = 244º 49’ 38”

* Cálculo de B

L

LlllB BBA

sin

cos)º90cos()º90sin()º90cot(cot

73732.0sin

cossincostan

L

Llll BAA

tan B = 1.35625 → B = 53º 35’ 52” → Rf = 180º + B = 233º 35’ 52”

Punto de corte con el ecuador:

cos(90º - lA) = cot(90º - ΔL) . cot(180º - A) →

tan ΔL = - sin lA tan A = 1.30411 → ΔL = 52º 31’ 07” W

LC = LA + ΔL = (- 122º 25’) + (-52º 31’ 07) = -174º 56’ 07”

LC = -174º 56’ 07” W

6.3 Casos particulares.

A) Navegación a lo largo de un paralelo.

Apartamiento (p): distancia AB.

CAB = OMN pero p ≠ ΔL

Los arcos son proporcionales a sus radios:

Alp

L

OHOAOH

OA

CA

OM

p

L

cos

1

/

1

Al

pL

cos = p sec lA .

Ejemplo:

Un barco navega 78 millas hacia el Este en la latitud 35º 28’ N. Hallar el cambio de longitud:

Solución:

sec (35º 28’) = 1.22781

ΔL = 78 . sec lA = 78 x 1.22781 = 95.77 millas E

→ ΔL = 1º 35’ 46” E

B) Reducción a un plano.

Para distancias menores de 200 millas:

→ Fórmulas de Trigonometría plana.

Δl = d cos R, p = d sin R → tan R =l

p

La fórmula ΔL = p sec lA, es aquí inexacta.

El error es mínimo si ponemos:

1sec

2 cosA Bm

pL p l l

l

Ejemplo:

Un buque sale de A (lA = 58º 17’ N, LA = 128º 31’ W) y navega 132 millas con un rumbo de 243º. Hallar la posición del punto de llegada.

Solución:

Δl = d . cos R = 132 . (-0.45399) =

= -59.93 millas = 0º 59’ 56” S

* * *

lB = lA + Δl = 58º 17’ + (-0º59’56”) =

= 57º 17’ 04” N

P = d. sin R = 132 x sin 243º = -117.61 millas = 117.61 millas W.

ΔL = p. sec lM = -220.61 millas = 220.61’ W = 3º 20’ 37” W.

LB = LA + ΔL = (-128º 31) + (-3º 40’ 37”) = -132º 11’ 36” = 132º 11’ 36” W

"02'47º572

1 BAM lll

l

pRRdpRdl

tan,sin,cos

C) Estima.

Suponiendo que en todas las derrotas se puede aplicar la reducción al plano.

Si se parte de A, hay que hallar la posición de B, tras una serie de derrotas.

Ejemplo:

Un barco parte de A (lA = 43º 25’ N, LA = 68º 35’ W) y recorre las distancias siguientes con los rumbos indicados:

Rumbo : 300º 080º 190º 060º 200º

Distanc.: 63 40 25 50 75

Hallar la posición final B del barco y su distancia hasta A, asi como el rumbo de la trayectoria directa AB.

Solución:

Teniendo en cuenta que: p = d . sin R ; Δl = d . cos R

Rumbo Distancia Δl p

300º 63 31.5 -54.55960

080º 40 6.94592 39.39231

190º 25 -24.62019 -4.34120

060º 50 25.0 43.30127

200º 75 -70.47694 -25.65151

Σ Δl = - 31.65121 millas = 0º 31’ 39” S

Σ p = - 1.85873 millas = 1.85973 W

lB = lA + Δl = 43º 25’ + (-0º 31’ 39”) = 42º 53’ 21” N

"10'09º432

1 BAM lll → ΔL = p.sec lM = 2.54784 = 0º02’32”

LB = LA + ΔL = -68º 35’ + (-0º 02’ 32”) = -68º 37’ 34” = 68º 37’ 32”

Cálculo del rumbo para la trayectoria AB:

05872.06521.31

85873.1tan

l

pC

→ C = 3º 21’ 39”

→ R○ = 180º + C = 183º 21’ 39”

R□ = S 3º 21’ 39” W

Ejemplo (nº 18- pg 142)

Un buque parte de Toamasina (lA = 18º 09’ S, LA =49º 25’ E) para efectuar una travesía a lo largo de una circunferencia máxima, siendo su rumbo inicial (48º 30’).

I) Hallar la latitud y longitud de su posición B cuando ha recorrido 500 millas.

II) Localizar el punto de la circunferencia máxima que se halla más al norte.

Cálculo de lB:

cos cos cos sin sin cosc a b a b C

(90º )

(90º ) ;

A

B i

l a

d b

l c R C

cos(90º - lB) = cos(90º-lA) . cos d + sin(90º-lA) . sin d . cos Ri .

sin lB = sin lA . cos d + cos lA . sin d . cos Ri = -0.21695

→ lB = -12º 31’ 49”

Cálculo de LB:

(90º )

;

A

i

l a

d b

L B R C

ctg a sin b = cos b cos C + sin C ctg A

ctg b sin a = cos a cos C + sin C ctg B

cot d . sin(90º - lA) = cos(90º -lA) . cos Ri + sin Ri . cot ΔL =

cot d . cos lA = sin lA . cos Ri + sin Ri . cot ΔL →

cos cot sin coscot

sinA A i

i

l d l RL

R

8.93786

→ ΔL= 0.11188 = 6º 23’ 02”

LB = LA + ΔL = 49º 25’ + 6º 23’02” = 55º 48’ 02”

Cálculo de lC :

cos lC = sin (90º - lA) . sin Ri = 0.71168

→ lC = 44º 37’ 41”

Cálculo de LC:

cos (90º -lA) = cot ΔL . cot Ri →

→

1sin

tan .tanAi

lL R

1tan

sin .tanA i

Ll R

= -2.84020

→ ΔL = 109º 23’ 47”

LC= LA + ΔL = 158º 48’ 47”

Trayectoria mixta

Ejercicios

(Ejercicio 26. Pag. 151) Un barco inicia una travesía por círculo máximo entre los puntos A (45º 22’ N, 124º 35’ E) y B (76º 45’ N, 21º 09 W) pero, debido a los hielos, no desea sobrepasar la latitud 80º N.

Hallar la trayectoria mixta que debe realizar, y las millas de más que ha de realizar por esa trayectoria:

TRAYECTORIA POR CIRCULO MÁXIMO

ΔL = LB – LA = -145º 44’

Cos d = cos(90º- lA).cos(90º-lB) +

+ sin(90º- lA).sin(90º-lB).cosΔL

d = 55º 58’ 22” = 3358,37 millas

A = 8º 57’ 29”

Ri = 351º 02’ 31”

TRAYECTORIA MIXTA

90º

90º

90º

A A

B B

C C

l l

l l

l l

Discusión:

90º ; 54º 38' 180ºA CA l l

C + A < 180

1

2

90º

90ºC A

Cl l A C

C

Cálculo de C:

1

2

39º 02 '56"sin .sinsin 0.62998

140º 57 '03"sinA

C

CA lC

Cl

2

2

1 127º19 ' ( ) 74º57 '16"

2 2

1 117º19 ' ( ) 65º 59 '47"

2 2

A C

A C

l l C A

l l C A

Cálculo de ΔL2 :

2 2

2

1cos ( )1 2tan 0.28882 32º13'10"

1 12 cos ( ). tan ( )2 2

A C

A C

l lL L W

l l C A

LC2 = LA + ΔL2 = 124º 35’+(-32º13’10”) = 92º 21’ 49” E

Cálculo de dAC2:

2 2

2

2

1 1tan ( ).cos ( )1 2 2tan 0.32959 36º 29 '01" 2189,01

12 cos ( )2

A C

AC AC

l l C Ad d millas

C A

↑

↑

1

1

1 127º19 ' ( ) 24º 00 '12"

2 2

1 117º19 ' ( ) 15º 02 '43"

2 2

A C

A C

l l C A

l l C A

Cálculo de ΔL1 :

1 1

1

1cos ( )1 2tan 2.41301 134º 58'47"

1 12 cos ( ). tan ( )2 2

A C

A C

l lL L W

l l C A

LC1 = LA + ΔL1 = 124º 35’+(-134º 58’ 47”) = -10º 23’ 47” W

↑

↑

Cálculo de ΔL3:

Cálculo de dC2C1 por paralelo de latitud:

dC2C1 = p = 6165,6 . cos lC = 6165,6 . 0,17364 = 1070,62 millas

Cálculo de la distancia entre C2 y C1:

ΔL3 = LC1 – LC2 = (-10º 23’ 47”) – 92º 21’ 49” -102º 23’ 47” = 102º 45’ 36” W = 6165 millas

Cálculo de la dC1B por círculo máximo.

ΔL4 = LB – LC1 = -21º 09’ – (-10º 23’ 47”) = - 10º 45’ 13” = 10º 45’ 13” W

1

cos cos .cos sin .sin .cosC B B C B Cd l l l l L = 0,99767

→ dC1B = 3º 54’ 31” = 234,52 millas

Distancia mixta:

d MIXTA = dAC2 + dC2C1 + dC1B = 3494,17 millas

Diferencia:

Diferencia = dMIXTA – dCir.Máximo = 3494,17 – 3358,37 = 135,8 millas