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Unidad 10
Ecuaciones diferenciales en derivadas parciales
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10.1 Introducción
( ), ,..., , , ,..., , ... 0x y xx xy F x y u u u u u =
Donde: x , y ,… variables independientes, u función de las variables
independientes, u x , u y ,…, u xx , u xy , derivadas parciales de la función.
La ecuación de onda (tipo hiperbólico)
2 22
2 2
u u a
t x
∂ ∂=
∂ ∂ (5)
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3
La ecuación de conducción del calor (tipo parabólico)
22
2
u u a
t x
∂ ∂=
∂ ∂ (6)
La ecuación de Laplace (tipo elíptico)
2 2
2 2 0
u u
x y
∂ ∂+ =∂ ∂ (7)
En las ecuaciones (5), (6) y (7) la función desconocida u depende de dos
variables independientes. Las mismas pueden contener tres variables
independientes. La ecuación de la onda,
2 2 22
2 2 2
u u u a
t x y
∂ ∂ ∂ = + ∂ ∂ ∂ (8)
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4
La ecuación del calor,
2 22
2 2
u u u a
t x y
∂ ∂ ∂ = + ∂ ∂ ∂ (9)
La ecuación de Laplace,
2 2 2
2 2 2 0u u u
x y z
∂ ∂ ∂+ + =∂ ∂ ∂ (10)
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10.2 Ecuación de onda. Ecuación de las oscilaciones de una cuerda
x l =
x x x x ∆+
M
1M
( )u x,t
u
0x =
2t
1t
x l =
x x x x ∆+
M
1M
( )u x,t
u
0x =
2t
1t
Figura 10.1: Esquema general de la cuerda
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Si se analiza en elemento de cuerda MM 1 de la Figura 10.1, en los extremos
actúan las fuerzas T dirigidas según las tangentes a la cuerda (Figura 10.2).
( )T x x,t ∆+
1M
ϕ ∆ϕ+
ϕ
M ( )T x,t
u ∆
x ∆
( )T x x,t ∆+
1M
ϕ ∆ϕ+
ϕ
M ( )T x,t
u ∆
x ∆ Figura 10.2: Elemento de cuerda
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7
La obtención de la ecuación de movimiento se realiza mediante plateo de
equilibrio de fuerzas. La proyección sobre el eje u de las fuerzas que actúan
sobre el elemento MM 1 es,
( ) ( )= + ∆ −∑ e F T T ϕ ϕ ϕsin sin (11)
Luego,
( ) ( )≈ϕ ϕsin tan (12)
( ) ( ) ( ) ( )+ ∆ − ≈ + ∆ −T T T T ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕsin sin tan tan (13)
( ) ( )( )= + ∆ −∑ e F T ϕ ϕ ϕtan tan (14)
Por aplicación de la definición de derivada,
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( ) ( ) ∂ + ∆ ∂ = −
∂ ∂ ∑ e
u x x t u x t F T
x x
, , (15)
En este caso, se puede aplicar el teorema de Lagrange (Figura 10.3),
( ) ( ) ( ) ∂ + ∆∂ + ∆ ∂ ∂ − ∂ ∂ ∂=
∆ ∂
u x x t u x x t u x t x x x
x x
θ ,, ,
(16)
( ) ( ) ( )∂ + ∆ ∂ + ∆∂− = ∆
∂ ∂ ∂u x x t u x x t u x t
x x x x
θ2
2
, ,, (17)
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∂
∂
u
x ( )∂ +
∂u x x,t
x
∆
( )∂ +
∂u x x,t
x
θ∆
( )∂∂
u x,t
x
x ∆
∂∂
u
x ∆
x +x x θ∆ +x x ∆
x
≤ ≤θ
0 1
∂
∂
u
x ( )∂ +
∂u x x,t
x
∆
( )∂ +
∂u x x,t
x
θ∆
( )∂∂
u x,t
x
x ∆
∂∂
u
x ∆
x +x x θ∆ +x x ∆
x
≤ ≤θ
0 1 Figura 10.3: Teorema de Lagrange
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10
Luego,
( )∂= ∆
∂∑ e
u x t F T x
x
2
2
, (18)
Por otro lado, las fuerzas de inercia correspondiente a la componente vertical
de la ley de Newton (F =ma ),
( )∂= ∆
∂∑ i
u x t F x
t ρ
2
2
, (19)
Donde: ρ es la densidad lineal de la cuerda, u tt aceleración del elemento.
Luego igualando fuerzas externas e internas,
( ) ( )∂ ∂∆ = ∆
∂ ∂u x t u x t
T x x x t
ρ2 2
2 2
, , (20)
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Si,
=T a ρ
2 (21)
La ecuación de la onda resulta,
( ) ( )∂ ∂=
∂ ∂
u x t u x t a
t x
2 22
2 2
, ,
(22)
Para la determinación del movimiento de la cuerda, la ecuación (22) debe
completarse con las condiciones de contorno. La función u (x ,t ) debe cumplir
las condiciones límites en los extremos de la cuerda, y las condiciones iniciales
que describen el estado de al cuerda en el momento inicial (t =0).
Si los extremos de la cuerda están fijos en todo instante,
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( )
( )
=
=
u t
u l t
0, 0
, 0
(23)
En el momento inicial cada punto de la cuerda tendrá su posición y velocidad
determinada por funciones,
( ) ( )
( ) ( )
=
=t
u x f x
u x g x
, 0
, 0 (24)
La ecuación (23) son las condiciones de contorno, y la ecuación (24) son las
condiciones iniciales.
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10.3 Método de separación de variables (método de Fourier)
Se plantea la solución de la ecuación de onda (22) con las condiciones de
contorno (23) e iniciales (24) correspondientes,
( ) ( )∂ ∂=
∂ ∂
u x t u x t a
t x
2 22
2 2
, ,
( )
( )
=
=
u t
u l t
0, 0
, 0
( ) ( )
( ) ( )
=
=t
u x f x
u x g x
, 0
, 0
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14
Se propone la solución en la forma de un producto de dos funciones con las
variables separadas,
( ) ( ) ( )=u x t X x T t , (25)
Luego,
( ) ( ) ( )
( )( ) ( )
∂ =∂
∂=
∂
xx
tt
u x t X x T t x
u x t X x T t
t
2
2
2
2
,
, (26)
Reemplazando (26) en (22),
( ) ( ) ( ) ( )=tt xx X x T t a X x T t 2 (27)
Dividiendo por a 2XT ,
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( )
( )
( )
( )=
tt xx T t X x
a T t X x 2 (28)
La igualdad de la ecuación (28) sólo se verifica en el caso de que el primer y
segundo miembro no dependan ni de x ni de t , es decir, son iguales a un
número constante, −λ ,
( )( )
( )
( )= = −tt xx T t X x
a T t X x λ
2 (29)
De esta forma es posible obtener dos ecuaciones,
( ) ( )
( ) ( )
+ =
+ =
xx
tt
X x X x
T t a T t
λ
λ 2
0
0 (30)
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Las soluciones generales de las ecuaciones (30), se obtienen como ecuaciones
diferenciales lineales homogéneas de segundo orden con coeficientesconstantes,
( )
( )
( )
=
=
=
kx
kx
x
kx xx
X x e
X x ke
X x k e 2
(31)
( )
( )
( )
=
=
=
kt
kt
t
kt
tt
T t e
T t ke
T t k e 2
(32)
Reemplazando (31) y (32) en (30),
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+ =
+ =
kx kx
kt kt
k e e
k e a e
λ
λ
2
2 2
0
0
(33)
La ecuación característica resulta,
+ =
+ =
k
k a
λ
λ
2
2 2
0
0 (34)
Así, las soluciones resultan,
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
= +
= +
X x A x B x
T t C a t D a t
λ λ
λ λ
cos sin
cos sin (35)
Reemplazando (35) en (25),
( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( )= + +u x t A x B x C a t D a t λ λ λ λ, cos sin cos sin (36)
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Aplicando a (36) las condiciones de contorno e iniciales (23) y (24),
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
( ) ( )
( )
= + =
⋅ + ⋅ =
=
= + =
+ =
=
X A B
A B
A
X l A l B l
l B l
B l
λ λ
λ λ
λ λ
λ
0 cos 0 sin 0 0
1 0 0
0
cos sin 0
0cos sin 0
sin 0
(37)
Pero B≠0, debido a que si así fuera X =0, y u =0. De esta forma,
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( ) =
= =
=
l
l n n
n
l
λ
λ π
πλ
sin 0
1,2,3... (38)
De esta forma,
( ) = n X x B x
l πsin (39)
Luego, conociendo λ es posible reemplazar en (36),
( ) = +
n n n
n n n u x t x C a t D a t
l l l
π π π, sin cos sin (40)
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Donde para cada valor de n es posible determinar las constantes C y D , por
eso C n y D n . La constante B está incluida en C n y D n . La suma de lassoluciones es también una solución, y se representa mediante la serie,
( ) ( )∞
=
= ∑ n
n
u x t u x t 1
, , (41)
( )∞
=
= + ∑ n n
n
n n n u x t x C a t D a t l l l π π π
1
, sin cos sin (42)
La ecuación (42) también debe cumplir con las condiciones iniciales (24),
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( ) ( )
( )
( )
( )
∞
=
∞
=
∞
=
=
= +
=
=
∑
∑
∑
n n
n
n
n
n
n
u x f x
n n n u x x C a D a l l l
n u x C x
l
n f x C x
l
π π π
π
π
1
1
1
, 0
,0 sin cos 0 sin 0
,0 sin
sin
(43)
Si la función ( ) f x es tal que podemos desarrollarla por series de Fourier en el
intervalo ( )l 0, ,
( )
( )
∞
=
=
=
∑∫
n n
l
n
n
f x C x l
n C f x x dx
l l
π
π
1
0
sin
2sin
(44)
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22
Además,
( ) ( )
( )
( )
( )
∞
=
∞
=
=
= − +
= − +
=
∑
∑
t
t n n
n
t n n
n
t
u x g x
n n n n n u x t x C a a t D a a t
l l l l l
n n n n n u x x C a a D a a
l l l l l
n u x x
l
π π π π π
π π π π π
π
1
1
, 0
, sin sin cos
,0 sin sin 0 cos 0
,0 sin ( )
( )
∞
=
∞
=
=
=
∑
∑
n
n
n
n
n D a g x
l
n n g x x D a
l l
π
π π
1
1
sin
(45)
Si se determinan los coeficientes de Fourier de esta serie,
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23
( )
( )
∞
=
=
=
∑
∫
n
n
l
n
n n g x D a x
l l
n D g x x dx
n a l
π π
π
π
1
0
sin
2sin
(46)
10.4 Ecuación de conducción del calor
El problema corresponde al estudio de conducción de calor e una dimensión a
través de una barra. Por lo tanto, se asume que la superficie lateral de la
barra no disipa calor y que en todos los puntos de una sección transversal dela barra se tiene la misma temperatura. La barra se dispone sobre el eje x ,
inicia en =x 0 y finaliza en =x l . La distribución de temperatura a lo largo
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de la barra para un tiempo t corresponde a ( )u x t , . La cantidad de calor que
fluye a través de una sección de abscisa x por unidad de tiempo es,
∂= −
∂u
q k S x
(47)
Donde: S es el área de la sección de la barra, k es el coeficiente de
conductibilidad térmica.Si se analiza una porción de la barra comprendida entre x 1 y x 2
(∆ = −x x x 2 1 ). La cantidad de calor que pasa por la sección x 1 y x 2 durante
un tiempo ∆t es,
∆ →∆=∆t
Q q t 0
lim (48)
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25
=
=
∂∆ = − ∆
∂
∂∆ = ∆
∂
x x
x x
u Q k S t
x
u Q k S t
x
1
2
1
2
(49)
Luego,
= =
= =
∂ ∂∆ − ∆ = ∆ − ∆∂ ∂
∂ ∂ ∆ − ∆ = − ∆ ∂ ∂
x x x x
x x x x
u u Q Q k S t k S t x x
u u Q Q kS t
x x
2 1
2 1
2 1
2 1
(50)
Si se aplica el teorema de Lagrange,
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26
= =
∂ ∂ ∂ − ∆ ≈ ∆ ∆ ∂ ∂ ∂ x x x x
u u u kS t k xS t
x x x 2 1
2
2 (51)
Este calor eleva la temperatura del elemento de barra en una magnitud ∆u
durante un tiempo ∆t ,
∆ − ∆ = ∆ ∆
∂∆ − ∆ = ∆ ∆∂
Q Q c xS u
u Q Q c xS t
t
ρ
ρ
2 1
2 1
(52)
Donde, c es la capacidad calorífica del material de la barra, ρ densidad del
material de la barra, ∆xS ρ masa de elemento de barra.
Igualando las ecuaciones se obtiene,
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27
∂ ∂
∆ ∆ = ∆ ∆∂ ∂
u u c xS t k xS t
t x ρ
2
2 (53)
∂ ∂=
∂ ∂u u
c k t x
ρ2
2 (54)
∂ ∂=
∂ ∂u k u
t c x ρ
2
2 (55)
Si,
=k
a c ρ
2 (56)
Se obtiene la ecuación del calor,
∂ ∂=
∂ ∂u u
a t x
22
2 (57)
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28
Para que la solución de la ecuación del calor este determinada la solución, la
función ( )u x t , debe cumplir condiciones iniciales (58) y de contorno (59),
( ) ( )=u x g x , 0 (58)
( ) ( )
( ) ( )
=
=
u t t
u l t t
ψ
ψ
1
2
0,
, (59)