POLIEDROS

POLIEDROS

Poliedros:

Un poliedro es una figura geométrica tridimensional y cerrada, cuyas caras son figuras planas de forma poligonal

ELEMENTOS DE UN POLIEDRO

Tipos de Poliedros:

Poliedros Regulares :•Todas sus caras son polígonos regulares e iguales•En todos sus vértices se unen el mismo número de aristas

Poliedros irregulares•Los demás

POLIEDROS

POLIEDROS

• Tipos de Poliedros:

Poliedros Convexos :•Todos sus ángulos diedros son menores de 180ºCumplen la fórmula de EULER C+V=A+2(nº caras+nº vértices= nº aristas +2)

Poliedros Cóncavos•Tiene algún ángulo diedro mayor de 180º

POLIEDROS REGULARES

PoliedrosRegulares

Sólidos de Platón:

Los sólidos de Platón son poliedros regulares y convexos. Sólo existen cinco de ellos:

1.Tetraedro2.Cubo3.Octaedro4.Dodecaedro 5. Icosaedro.

1 2 3 4 5

POLIEDROS REGULARES

Tetraedro: Nº Caras 4

Forma de caras Triangulo Equilátero

Nº Aristas 6

Nº Vértices 4

Nº Caras concurrentes a un vértice 3

Nº Vértices contenidos en cada cara 3

POLIEDROS REGULARES

Cubo (Hexaedro): Nº Caras 6

Forma de caras Cuadrado

Nº Aristas 12

Nº Vértices 8

Nº Caras concurrentes a un vértice 3

Nº Vértices contenidos en cada cara 4

POLIEDROS REGULARES

Octaedro: Nº Caras 8

Forma de caras Triangulo Equilátero

Nº Aristas 12

Nº Vértices 6

Nº Caras concurrentes a un vértice 4

Nº Vértices contenidos en cada cara 3

POLIEDROS REGULARES

Dodecaedro: Nº Caras 12

Forma de caras Pentágono

Nº Aristas 30

Nº Vértices 20

Nº Caras concurrentes a un vértice 3

Nº Vértices contenidos en cada cara 5

POLIEDROS REGULARES

Icosaedro: Nº Caras 20

Forma de caras Triangulo Equilátero

Nº Aristas 30

Nº Vértices 12

Nº Caras concurrentes a un vértice 5

Nº Vértices contenidos en cada cara 3

PRISMASPRISMAS

Un prisma es un poliedro formado por dos caras paralelas iguales, llamadas bases y por polígonos que unen las bases, que son paralelogramos, estos polígonos se llaman caras laterales

Arista básica

Arista lateral

PRISMAS:

• Según sea el polígono de la basePrisma regular :•Las bases son polígonos regulares

Prisma irregular•Las bases son polígonos irregulares

PRISMAS:

• Según sea el polígono de la base

PRISMAS:

• Según la forma de la basePrisma Forma de la baseTriangular Triángulo

Cuadrangular Cuadrado

Rectángular Rectángulo

Pentagonal Pentágono

Hexagonal Hexágono

…. ….

PRISMAS:

• Según sean las caras lateralesPrisma recto :•Caras laterales cuadrados o rectángulos. •Las caras laterales son perpendiculares a la base.

Prisma oblicuo• Algunas caras laterales rombos o romboides.• Algunas caras no son perpendiculares a la base

PRISMAS:

PRISMAS:

• Área de un prismaEl área de un prisma es la superficie de su desarrollo plano, es decir la suma del área de sus caras laterales y del área de sus bases

PRISMAS:

Si PB es el perímetro de la base y h la altura del prisma

Área lateral = PB x h

Área total = A. lateral + 2 x A. bases

h

h

PRISMAS:

• Volumen de un prismaEs la medida del espacio encerrado dentro del prisma

PRISMAS:

Volumen del prisma = ÁreaBase x h

h

PRISMAS:

• Ortoedro

Es un prisma en el que todas sus caras son rectángulos o cuadrados

El volumen de un ortoedro se puede calcular multiplicando sus tres dimensiones

V= Largo x ancho x alto

PRISMAS:

PRISMAS:

• Ortoedro: Teorema de Pitágoras en el espacio

La diagonal de un ortoedro al cuadrado es igual a la suma de los cuadrados de su largo, su ancho y su alto

D2 = a2 + b2 + c2

PRISMAS:

PIRAMIDES

Una pirámide es un poliedro formado por un polígono cualquiera llamado base, siendo el resto de caras triángulos, que se unen en un punto llamado vértice de la pirámide

• Según sea el polígono de la basePirámide regular :•La base es un polígono regular y las caras laterales iguales

Pirámide irregular•La base es un polígono irregular

PIRAMIDES:

• Según sea el polígono de la base

PIRAMIDES:

• Según la forma de la basePirámide Forma de la baseTriangular Triángulo

Cuadrangular Cuadrado

Rectángular Rectángulo

Pentagonal Pentágono

Hexagonal Hexágono

…. ….

• Según sean las caras lateralesPirámide recta :•Las caras laterales son triángulos isósceles

Pirámide oblicua•No todas sus caras laterales son triángulos isósceles

PIRAMIDES:

PIRAMIDES:

• Área de una pirámideEl área de un pirámide es la superficie de su desarrollo plano, es decir la suma del área de sus caras laterales y del área de su base

Área lateral = suma de las áreas de los triángulos laterales

Si la pirámide es regular todas sus caras son igualesSi PB es el perímetro de la base y a apotema de la cara lateral

Area lateral= (PB x a) / 2

Área total = A. lateral + A. base Arista base

Apotema o Altura cara lateral

PIRAMIDE:

• Volumen de una pirámide

Es la medida del espacio encerrado dentro de la pirámideCoincide con la tercera parte del volumen de un prisma de igual base e igual altura que la pirámide

h

AB: área de la baseh: altura de la pirámide

PIRAMIDE:

• Aplicación de T. Pitágoras en la pirámide

En una pirámide podemos relacionar la altura de la pirámide y las apotemas (base y lateral) usando Pitágoras

PIRAMIDE:

PIRAMIDE:

PIRAMIDE:

PIRAMIDE:

• Tronco de pirámide• Es el cuerpo geométrico que resulta al cortar una pirámide por un plano paralelo a la base y separar la parte que contiene al vértice.

• Las caras laterales son trapecios (isósceles si la pirámide es recta)

PIRAMIDE: área tronco de pirámide

• Calcular el área de un tronco de pirámide de bases cuadradas de lado 10 y 20 cm respectivamente y cuya arista lateral es de 13 cm.

CUERPOS DE REVOLUCIÓN

•Se llaman cuerpos de revolución a los que se obtienen al girar una figura plana, alrededor de un eje.

CILINDRO:

• Es un cuerpo de revolución que se obtiene al hacer girar un rectángulo alrededor de uno de sus lados

altu

ra

GENERATRIZ

radio

gene

ratr

iz

EJE GIRO

RADIO

BASE

• El desarrollo plano de un cilindro está formado por:

• Dos círculos que son las bases del cilindro•Un rectángulo de base la longitud de la circunferencia de una de las bases del cilindro y altura la del cilindro

• Es un cuerpo de revolución que se obtiene al hacer girar un rectángulo alrededor de uno de sus lados

• El desarrollo plano de un cilindro está formado por:

• Dos círculos que son las bases del cilindro•Un rectángulo de base la longitud de la circunferencia de una de las bases del cilindro y altura la del cilindro

CILINDRO:

• Área y volumen de un cilindro

CONO:•Se obtiene al girar un triángulo rectángulo alrededor de uno de sus catetos.

• El desarrollo plano de un cono está formado por:

• Un círculo que es la base del cono•Un sector circular que es la cara lateral del cono

radio

generatriz

eje

giro

altu

ra

EJE GIRO

GENERATRIZ

RADIO

BASE

CONO:

• Área y volumen del cono

CONO:

• Área y volumen del cono

CONO:

• Aplicación del T. Pitágoras en el cono

En un cono la altura, el radio de la base y la generatriz forman un triángulo rectángulo, cuya hipotenusa es g

CONO:

CONO:

CONO: Tronco de cono

• Es el cuerpo geométrico que resulta al cortar un cono por un plano paralelo a la base y separar la parte que contiene al vértice.

• Las cara lateral es un trapecio circular

• Área del tronco de cono es

Area= Area de las bases + Area lateral

Area lateral = grR )( +π

Para calcular el volumen del tronco de cono

Vtronco= V cono grande – V cono pequeño

Por semejanza de triángulos:

( ) 322 1,9891533063

1

15

45366

15

3

cmV

cmx

xx

xx

tronco =⋅−⋅=

=+=

+=

π

CONO: Tronco de cono

CONO: Tronco de cono

• Aplicación del T. Pitágoras en el tronco de cono

ESFERA:

•Se obtiene al girar un semicírculo alrededor de su diámetro

diám

etro

eje

giro

RADIO

CENTRO

EJE DE GIRO

ESFERA: elementos de la esfera•Superficie esférica: superficie engendrada por una circunferencia que gira sobre su diámetro

•Centro: punto interior que equidista de cualquier punto de la superficie esférica

•Radio: distancia del centro a cualquier punto de la superficie esférica

•Cuerda: segmento que une dos puntos de la superficie esférica

•Diámetro: cuerda que pasa por el centro de la esfera

cuerda

polos•Polos: puntos de corte de la superficie esférica con el eje de giro

•círculo máximo: se obtiene al cortar una esfera por un plano que pasa por el centro. La circunferencia correspondiente a este círculo se denomina circunferencia máxima.•círculo menor: se obtiene si el plano que corta la esfera no pasa por el centro, y la circunferencia correspondiente se denomina circunferencia menor.

• Meridianos: círculos máximos que contiene al eje de giro de la esfera• Paralelos : círculo menores perpendiculares al eje de giro• Ecuador: círculo máximo perpendicular al eje de giro

ESFERA: elementos de la esfera

ESFERA:

• Área y volumen de la esfera

ESFERA:

• Área y volumen de la esferaEl área y el volumen de la esfera coinciden con 2/3 del área y del volumen de un cilindro deradio igual a la esfera, y de altura su diámetro

ESFERA:

• Figuras esféricas

Casquete esférico Cuña esféricaZona esférica Huso esférico

ESFERA:

• Figuras esféricas

ESFERA: casquete esférico

•Un casquete esférico es cada una de las partes de la esfera, obtenidas al cortarla por un plano

•Usando el T. de Pitágoras, podemos relacionar el radio de la esfera “r” con el radio del casquete “a” y la altura del casquete “h”.

Área casquete

Volumen casquete

ESFERA: zona esférica

•Una zona esférica es la parte de la esfera comprendida entre dos planos secantes paralelos

ESFERA: huso y cuña esférica• Huso esférico es la parte de la superficies esférica comprendida entre dos planos secantes que pasan por el centro de la esfera.

• Cuña esférica es la porción de esfera comprendida entre dos planos secantes que pasan por el centro de la esfera.

ESFERA: la esfera terrestre

• Coordenadas geográficas•Por cada punto de la superficie terrestre pasan un meridiano y un paralelo• Su posición angular respecto a dos círculos máximos determinan las coordenadas geográficas del punto• Latitud: es la medida en grados del arco de meridiano comprendido entre el ecuador y el punto correspondiente. Su medida va de 0º a 90º en sentido Norte o Sur.•Longitud: es la medida en grados del arco comprendido entre el meridiano cero (M. de Greenwich) y el que pasa por el punto. Su medida va de 0º a 180º en sentido Este u Oeste.

ESFERA: la esfera terrestre

• Coordenadas geográficas: ejemplos

• Madrid: latitud 40º 28’ N, longitud 3º 42 ‘ O

• Quito: latitud 0º 13 ‘ S, longitud 78º 31’ O

• Helsinki: latitud 60º 10’ N, longitud 24º 56 ‘ E

• Bora Bora: latitud 16º 30’ S, longitud 151º 44’ O

9 4 52,5 cm

2 2

− = =

2 2h 5 2,5 25 6,25 18,75 4,33 cm= − = − = ≈

( ) ( ) 2h 9 4 4,33Área de la base 28,15 cm

2 2

B b+ × + ×− = = ≈

− Volumen = (Área base) · altura = 28,15 · 6,5 ≈ 182,98 cm3

VOLUMENES POLIEDRICOS

Otros poliedros

Icosaedro truncado

Nº Caras 32

Forma de carasPentágonos (12)

Hexágonos (20)

Nº Aristas 90

Nº Vértices 60

Nº Caras concurrentes a un vértice

1pentágonos2 hexágonos