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Número y Numeral
Idea que se tiene de cantidad.
Representación de un número por medio de símbolos.
Número:
Numeral:
V
Mg. Luis A. Florez Del Carpio
Un Sistema de Numeración, es un conjunto de reglas y principios, que se emplean para representar
correctamente los números.
Entre estos principios tenemos:
1. Principio de Orden
2. Principio de la Base
¿ Qué es un Sistema de Numeración ?
3. Principio posicional
Mg. Luis A. Florez Del Carpio
Toda cifra en un numeral, tiene un orden, por convención, el orden se cuenta de derecha a izquierda.
Ejemplo:
568
1. Principio de Orden
1er. Orden
2do. Orden
3er. Orden
No confundir el lugar de una cifra, con el orden de una cifra, el lugar se cuenta de izquierda a derecha.
Observación:
Mg. Luis A. Florez Del Carpio
Todo sistema de numeración, tiene una base, que es un número entero mayor que la unidad, el cual nos indica la forma como debemos agrupar.
Ejemplo:
2. Principio de la Base
En el Sistema Senario (Base 6), debemos agrupar las unidades de 6 en 6, veamos:
23(6)
GruposUnidades que sobran
= 15
Mg. Luis A. Florez Del Carpio
¿ Cómo se representa Veinte en el Sistema Quinario ( Base 5 ) ?
40(5)
GruposUnidades que sobran
= 20
En el sistema “Quinario”, debemos agrupar de 5 en 5.
Mg. Luis A. Florez Del Carpio
Para representar un número en un sistema diferente al decimal, se emplea el método de:
“Divisiones Sucesivas”
¿ Cómo representar un número en otra base ?
Ejemplo:
Representar 243 en el sistema heptal ( Base 7 )
243 734
5746
Entonces:243 = 465(7)
Mg. Luis A. Florez Del Carpio
La Base de un sistema de numeración también nos indica cuantas cifras pueden usarse en el sistema, veamos:
Base Sistema Cifras que emplea2 Binario 0; 13 Ternario 0; 1; 24 Cuaternario 0; 1; 2; 35 Quinario 0; 1; 2; 3; 46 Senario 0; 1; 2; 3; 4; 57 Heptal 0; 1; 2; 3; 4; 5; 68 Octal 0; 1; 2; 3; 4; 5; 6; 79 Nonario 0; 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 810 Decimal 0; 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 911 Undecimal 0; 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9; A12 Duodecimal 0; 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9; A; B
A = 10 B = 11
En un numeral toda cifra tiene un ”valor posicional”, veamos un ejemplo:
457
3. Principio posicional:
Unidades
Decenas
Centenas
La suma de los valores posiciónales, nos da el número.Observación:
= 7.1 = 7
= 5.10 = 50
= 4.100 = 400
400 + 50 + 7 = 457
Mg. Luis A. Florez Del Carpio
Consiste en expresar un numeral como la suma de los valores posiciónales de sus cifras.
Ejemplos:
Descomposición Polinómica en el Sistema Decimal
4x2x
2ab
(x+1)xyx
3ab
ab
= 4.1000 + x.100 + 2.10 + x.1
= 2.100 + a.10 + b.1
= (x+1).1000 + x.100 + y.10 + x.1
= 3.100 + a.10 + b.1
= a.10 + b.1
Mg. Luis A. Florez Del Carpio
Descomposición polinómica de numerales representados en otros sistemas de numeración
Ejemplo:
4357 =(9)
×1
×9×92
×93
4.9 +3 3.9 +2 5.9 + 7.1
Mg. Luis A. Florez Del Carpio
Mas ejemplos:
2143 = 2.5 + 1.5 + 4.5 + 3(5)3 2
124 = 1.6 + 2.6 + 4(6)2
54 = 5.8 + 4(8)
346 = 3.8 + 4.8 + 6(8)2
23A5 = 2.11 + 3.11 + 10.11 + 5(11)3 2
Mg. Luis A. Florez Del Carpio
Ejemplos:
Podemos emplear la Descomposición Polinómica para hallar el equivalente de un numeral en el Sistema Decimal
4521 = 4.7 + 5.7 + 2.7 + 1(7)3 2
= 4.343 + 5.49 + 14 + 1 = 1632
124 = 1.5 + 2.5 + 4(5)2
= 1.25 + 10 + 4 = 39
64 = 6.8 + 4 =(8) 52
Mg. Luis A. Florez Del Carpio
Ejemplos:
En algunos casos tendremos que descomponer numerales con valores incognitos
2x3y = 2.5 + x.5 + 3.5 + y(5)3 2
= 2.125 + x.25 + 15 + y= 265 + 25x + y
352 = 3.n + 5.n + 2(n)2
xyz = x.a + y.a + z(a)2
2abc = 2.x + a.x + b.x + c(x)3 2
Mg. Luis A. Florez Del Carpio
Se llama así a aquel numeral que leído de derecha a izquierda, se lee igual que de izquierda a derecha.
Ejemplos:
Algunos Conceptos Finales
44 ; 373 ; 4224 ; 56765 ; 876678 ; 1234321
Numeral Capicúa
Literalmente los representamos:
aa ; aba ; abba ; abcba ; abccba ; …….
Cifra SignificativaSe llama así a toda cifra que es diferente de cero, en el sistema decimal las cifras significativas son:
1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8 y 9
Mg. Luis A. Florez Del Carpio
Ejercicio 1:
Si: ab + ba = 132 , hallar (a+b).
Descomponemos polinomicamente:
(10a + b) + (10b + a) = 132
11a + 11b = 132
a + b = 12
Agrupamos los términos semejantes:
Simplificamos:
…… Rpta.
Ejercicio 2:
¿Cuántos numerales de dos cifras son iguales a 4 veces la suma de sus cifras?.
Si es numeral de dos cifras, entonces sera: ab
10a + b =2a = b
Por dato: ab = 4 ( a+b )Descomponemos polinomicamente y multiplicamos:
6a =
1 22 4
ab =ab =
4a + 4b3b
1224
3 64 8
ab =ab =
3648
Rpta: Hay 4 numerales de dos cifras
Ejercicio 3:
Hallar un numeral de tres cifras que empieza en 6, y que sea igual a 55 veces la suma de sus cifras.
Si el numeral empieza en 6, entonces sera: 6ab
600 + 10a + b =
30 = 5a + 6b
Por dato:
… 2 Rptas.
6ab = 55 ( 6+a+b )Descomponemos polinomicamente y multiplicamos:
Agrupamos términos semejantes y simplificamos:270 =
0 56 0
6ab =6ab =
330 + 55a + 55b
45a + 54b
605660
Ejercicio 4:
Si a un numeral de dos cifras se le agrega dos ceros a la derecha, el numeral aumenta en 2871. Hallar el numeral.
Si es un numeral de dos cifras: ab
100 ab – ab =
Al agregarle dos ceros a la derecha, obtenemos: ab00
Pero:
Por lo tanto aumentó:
99. ab = 2871
ab00 =
Entonces:
ab = 29 …… Rpta.
ab. 100 = 100.ab
99.ab
Ejercicio 5:
Si: abcd = 37.ab + 62.cd , hallar (a+b+c+d)
abcd = ab00 + cd
Reemplazando, tenemos:
= 100.ab + cd
100.ab + cd = 37.ab + 62.cd
63.ab = 61.cd
ab 61cd 63
=
Entonces:ab = 61 cd = 63y
…… Rpta.Luego: a+b+c+d = 6+1+6+3 = 16
Hallar el valor de “a”, en: 13a0 = 120(4)
Convertimos 120 al sistema cuaternario
… Rpta.
120 430
0472 4
13
120 = 1320(4)
Reemplazando tenemos:
13a0 =(4) 1320(4) a = 2
Ejercicio 6:
Hallar el valor de “a”, en: 2a2a = 1000(7)
Aplicamos descomposición polinómica
2.7 + a.7 + 2.7 + a3 2 = 1000
686 + 49a + 14 + a
= 1000700 + 50a
= 1000 50a = 300
a
= 6 … Rpta.
Ejercicio 7:
2.343 + a.49 + 14 + a
= 1000
Si los numerales: n23 ;(m)
Aplicamos: BASE > CIFRA
… Rptas.
p21 ;(n) n3m y(6) 1211(p)están correctamente escritos, hallar m, n y p.
n23 (m) m > n m > 3 y
p21 (n) n > p n > 2 y
n3m (6) 6 > n 6 > m y
1211 (p) p > 2
Ordenando, tenemos: 6 > m > n > p > 2
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Ejercicio 8:
Expresar en el sistema octal, el mayor número de tres cifras de base 6, dar la cifra de menor orden.
555(6)El mayor numero de tres cifras de base 6 es:
215 826
7832
= 215 = 327(8)
La cifra de menor orden es 7 …. Rpta.
Ejercicio 9:
Pasándolo a base 10:
555 = 5.6 + 5.6 + 5(6)2 = 180 + 30 + 5 = 215
Ahora al sistema octal (base 8):
555(6)