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Investigacin OperativaProfesor Milton Crtes Araya

Departamento de Matemticas

R E A L I Z A D O P O R O S C A R S O L N .

Programacin Lineal(PL)


Programacin Lineal

La programacin lineal(PL) es una herramienta para resolver problemas de

optimizacin. En 1947, George Dantzing creo

un mtodo eficaz, el algoritmo simplex, para resolver problemas de

programacin lineal. A partir del surgimiento del algoritmo simple, se ha usado

la programacin lineal para resolver problemas de optimizacin en industrias tan

diversas como la banca, la educacin, la civil cultura, el petrleo y el transporte.

La programacin lineal como su nombre lo indica requiere que las funciones

matemticas que constituyen el modelo sean lineales


Programacin Lineal

Maximizar o minimizar una funcin

(llamada funcin objetivo)

Sujeto a

Tal que


Programacin Lineal

Donde


El mtodo grafico


El mtodo grafico

Un problema de programacin lineal que presente solamente dos variables puede resolverse grficamente. Los pasos a seguir son los siguiente:

Plantear en forma matemtica el problema.

Graficar o trazar las restricciones.

Se determina la regin de factibilidad identificando los puntos solucin que satisfacen en forma simultnea todas las restricciones.

Se traza una recta de la funcin objetivo para un valor especfico de dicha funcin, teniendo en cuenta que sta pase por la regin factible

Se desplazan rectas paralelas a las recta de la funcin objetivo en direccin de los valores ms altos(o ms bajos) de dicha funcin, hasta que una de las rectas paralelas tenga un nico punto en comn con la regin de las soluciones de la regin de factibilidad. El punto en comn es la solucin optima.


Regin de factibilidad y solucin

optima


Regin de factibilidad y solucin

optima

Regin de factibilidad

La regin de factibilidad para un modelo en programacin lineal es el conjunto

de todos los puntos que satisfacen las restricciones del modelo.

Solucin Optima

Para un problema de maximizacin , una solucin ptima para un modelo en

programacin lineal es un punto de la regin de factibilidad con el mayor valor

de la funcin objetivo. Similarmente, para un problema de minimizacin, una

solucin ptima corresponde a un punto de la regin factible con el menor valor

de la funcin objetivo


Forma Estndar


Forma Estndar

Forma estndar de un modelo en programacin lineal

Variables de holgura: Son tiempos (capacidades)no utilizados que no

contribuyen en nada a las utilidades.

Variables de Excedentes: Son cantidades en exceso de algn nivel mnimo

requerido.

Luego, al aadir variables de holgura y/o excedente al modelo en programacin

lineal las restricciones se transforman en igualdades. En los casos en que las

restricciones estn expresadas mediante igualdades, se dice que el modelo est

en forma estndar


Forma Estndar

Ejemplo:

Escribir el ejemplo de los soldados y trenes en forma estndar

Solucin:

En este caso el modelo en forma estndar es:

(1, 2) = 31+22 + 01 + 02 + 03

Sujeto a

21 + 2 + 1 = 1001 + 2 + 2 = 80

1 + 3 = 40

Tal que 1, 2, 1, 2, 3 0


Anlisis de sensibilidad


Anlisis de sensibilidad

El anlisis de sensibilidad es un procedimiento que se utiliza normalmente

despus que se obtiene la solucin ptima, y que muestra, qu tan sensible es

dicha solucin a los cambios que se realicen en los coeficientes, y en los

segundos miembros de las restricciones, de un modelo en programacin lineal.

Utilizando el anlisis de sensibilidad se pueden responder preguntas del tipo,

cmo afectar a la solucin un cambio en un coeficiente de la funcin objetivo ?

, cmo afectar a la solucin ptima un cambio en el valor del segundo miembro

de una restriccin?, en general, cmo afectar la solucin los cambios que se

hagan en el modelo?


Anlisis de sensibilidad sobre los

coeficientes de la funcin objetivo

Anlisis de sensibilidad para el ejemplo de la fabrica de juguetes de soldados

y trenes

En este caso, el modelo en programacin lineal es:



coeficientes de la funcin objetivo

Recordemos que la solucin ptima para este problema es (20,60), es decir , para

optimizar las utilidades deben confeccionarse 20 soldados y 60 trenes. Veamos

que significara aplicar el anlisis de sensibilidad a este problema


Intervalos de ptimalidad

Consideremos la funcin objetivo

Donde

1 2

Despejando la variable dependiente 2 se obtiene

Donde

Corresponde a la pendiente de la recta de la funcin objetivo


Intervalos de ptimalidad

Puesto que la pendiente de la recta de la funcin objetivo se halla entre las

pendientes de las rectas L1 y L2 luego, se tiene la desigualdad:

De esto se desprende que el punto O(20,60) seguir siendo ptimo siempre que


Intervalo de ptimalidad para para el

coeficiente c1

Para calcular el intervalo de ptimalidad del coeficiente c1 mantendremos fijo el

coeficiente c2, esto es, supondremos fija la contribucin a las utilidades de los

trenes en el valor de $2. Reemplazando este valor en

Resulta

Multiplicando la inecuacin por -1, se tiene:

Esto significa que, si mantenemos fijos los 2 dlares de utilidad para los trenes,

podemos hacer variar la contribucin de las utilidades para los soldados en el

intervalo [2,4] y el punto O(20,60), seguir siendo ptimo


Intervalo de ptimalidad para para el

coeficiente c1

Conviene precisar que aunque la produccin ptima de soldados y trenes se

mantiene, el valor de la funcin objetivo cambiar, es decir , cambiarn las

utilidades. En efecto , reemplazando los extremos del intervalo en la funcin

objetivo, se obtiene:

2*20+2*60=160, y por otro lado 4*20+2*60=200


La regla del 100% para C1 y C2


Regla del 100%

hemos dicho que el cambio en los coeficiente de la funcin objetivo es aplicable,

slo, para uno de cada vez. Sin embargo si respetamos la regla del 100%podemos

efectuar cambios simultneos sin que vare la solucin ptima.

Antes de aplicar la regla, debemos calcular, para cada coeficiente que se

modifica, el porcentaje de aumento o disminucin permisible que el cambio

representa.

Para un coeficiente , el aumento permisible, es la cantidad mxima en que se

puede aumentarse el coeficiente sin exceder el lmite superior del intervalo de

ptimalidad.

Y la disminucin permisible, es la cantidad mxima en que puede disminuirse el

coeficiente sin caer por debajo del limite inferior del intervalo de ptimalidad


Regla del 100%

La regla: Para todos los coeficientes de la funcin objetivo que cambien, se

suman los porcentajes de los aumentos y las disminuciones permisibles. Si la

suma de dichos porcentajes no excede el 100% , entonces la solucin ptima no

cambiara.


Regla del 100%

Ejemplo: Regla del 100% para los coeficientes de la funcin objetivos del

problema de los juguete de soldados y trenes

Solucin

El anlisis de sensibilidad del problema de soldado y trenes, mostro los siguientes

intervalos de ptimalidad

De tal modo que si C1=3, la cantidad mxima permisible, de aumento, es de 1

dlar.


Regla del 100%

Supongamos que queremos aumentar el coeficiente C1 de 3 a 3.5 dlares. Esto

significa un aumento de 0.5 dlares. En consecuencia el porcentaje de aumento

para C1 es:

Por otra parte la cantidad mxima de aumento permisible, de C2, es de 1 dlar. Si

supone un aumento de C2 de 2 dlares a 2.5 , dlares esto es, un aumento de

0.5 dlares, entonces, el porcentaje de aumento de C2 es de :


Regla del 100%

Observemos que la suma de los aumentos en ambos coeficientes es de :

Esto significa que si aumentamos ambos coeficientes en las cantidades

propuestas, entonces, la cantidad ptima de produccin de 20 soldados y 60

trenes, seguir siendo ptima y la funcin utilidad ser de:

G=3.5*20+2.5*60=220 Dlares



segundos miembros

de las restriccionesLos precios sombra


Los precios sombra

Conviene preguntarse, cmo afectar a la regin de soluciones factible, o a

la solucin ptima, un cambio en los segundos miembros de las restricciones?.

Consideremos nuevamente el modelo en programacin lineal que maximiza las

utilidades de la fabricacin de soldados y trenes y supongamos que se disponen

de 10 horas ms de tiempo para la operacin de acabado, esto es, de 110 horas.

Luego, el modelo en programacin lineal es

Tal que


Los precios sombra

Podemos observar la recta 2x1+x2< 100, se ha desplazado levemente hacia la derecha, ampliando la regin de factibilidad, luego, el punto ptimo ya no ser el mismo, en este caso es (30,50), reemplazando este valor en la funcin objetivo se obtiene una utilidad de :

G(x1,x2)=3*30+2*50=190 dlares

Podemos decir que el aumento de 10 horas en la operacin de acabado, produce un aumento de

190-180=10 dlares

Es decir, las utilidades aumentan en $1 dlar por hora.

Al cambio en el valor de la funcin objetivo, por el aumento unitario en el valor del lado derecho de las restricciones se les llama Precio Sombra


Los precios sombra

Nota: estos precios sombras se consideran interesantes porque permiten

obtener utilidades adicionales aumentando pequeas cantidades los lados

derechos de la restricciones unitario de la restricciones el lado derecho

En general, se define el precio sombra, como el cambio en el valor de la funcin

objetivo, a causa del cambio unitario en el lado derecho de las restricciones.
