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Ecuaciones Lineales

Ejercicio 002 1

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MATEMÁTICAS Ecuaciones Lineales

Ejercicio 002

Escribe cada ecuación lineal en la forma ,

y determina, de ser posible, tres soluciones para cada una

Ecuaciones Lineales

Ejercicio 002 2


a)

Solución: • condiciona a que los valores de deben ser Enteros.

• Convertimos a la forma

Ecuación de la forma donde

• Confirmamos que es una ecuación lineal puesto que:

y además no son ambos cero.

• Probamos la ecuación asumiendo diversos valores arbitrarios y enteros de , hasta encontrar tres pares ordenados que sean solución de la ecuación lineal :

Para se cumple que

Comprobamos sustituyendo los valores en la ecuación:

→ La ecuación lineal se cumple para el par ordenado

Para se cumple que



Para se cumple que



Ecuaciones Lineales

Ejercicio 002 3


Respuesta:

• Convertimos la ecuación a la forma y observamos que se trata de una ecuación lineal:

Donde

• Tres soluciones para esta ecuación lineal que cumplen con la condición son:

, ,

Ecuaciones Lineales

Ejercicio 002 4


b)

Solución:

• condiciona a que los valores de deben ser Reales y menores que cero.



• Como puedes ver, hemos convertido correctamente la ecuación a la forma , sin embargo notamos que el coeficiente B es Racional, tenemos dos opciones: resolver el ejercicio con estos valores A,B,C o convertirlos todos a números enteros, de modo que la solución podría ser menos laboriosa, para cualquier decisión que tomes el resultado será el mismo. En este caso vamos a convertir los coeficientes a números enteros.

• Para convertir los coeficientes a números enteros, multiplicaremos por ambos miembros de la igualdad (con el fin de eliminar el denominador 7 del coeficiente B) y así obtenemos una ecuación equivalente a la anterior:


• Confirmamos que es una ecuación lineal puesto que y además no son ambas cero.

• Probamos la ecuación asumiendo diversos valores arbitrarios, reales y menores que cero de , hasta encontrar tres pares ordenados que sean solución de la ecuación lineal :

Para se cumple que



Ecuaciones Lineales

Ejercicio 002 5


Para se cumple que



Para se cumple que



Respuesta:

• Convertimos la ecuación a la forma y observamos que se trata de una

ecuación lineal:

Donde


, ,

Ecuaciones Lineales

Ejercicio 002 6


c)

Solución: • condiciona a que los valores de deben pertenecer al conjunto de los números Enteros.

• Convertimos a la forma :




• Probamos la ecuación asumiendo diversos valores arbitrarios y enteros de , hasta encontrar tres pares ordenados que sean solución de la ecuación:

Para se cumple que Comprobamos sustituyendo los valores en la ecuación:

→

La ecuación lineal se cumple para el par ordenado

Para no se cumple que


Ecuaciones Lineales

Ejercicio 002 7



Para se cumple que


→


¡ … Y aquí viene lo interesante !

• A partir de las pruebas que hemos hecho con diferentes valores enteros de , notamos que no todos los valores enteros de tienen apareados valores enteros válidos de . Observamos lo siguiente:

El primer par ordenado válido es

El segundo par ordenado válido es

pasa del valor entero 1 al valor entero 5

pasa del valor entero -1 al valor entero -4

• Es decir, para que se cumplan las condiciones, podemos asumir una regularidad muy importante:

varía su valor en +4 es decir (Sumando 4)

Esto se representa en lenguaje matemático así:

y se lee: “el nuevo valor de x equivale al valor actual de x sumado de 4.

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Ejercicio 002 8


varía su valor en -3 es decir (Restando 3)

• La razón de la deducción que acabamos de hacer es ésta:

• Por tanto, es de esperarse que el siguiente valor entero de que haga que también sea entero es:

→

• Ahora vamos a predecir el valor de :

→

• Para asegurarnos que esta regularidad se cumple, vamos a sustituir el nuevo valor encontrado en la ecuación lineal y despejamos . El resultado debe coincidir.

→ → →

¡ Nuestra regularidad funciona ¡…

(Por lo menos para un primer valor)

• Por tanto se cumple que

Esto se representa en lenguaje matemático así:

y se lee: “el nuevo valor de y equivale al valor actual de y disminuido de 3.

Este valor debe ser múltiplo de 4

La división sea exacta y el resultado sea un número entero

para que

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Ejercicio 002 9


• Comprobemos sustituyendo los valores en la ecuación:

→ 0

• La ecuación lineal se cumple para el par ordenado

Respuesta:


Donde


Con lo que has aprendido en este ejercicio, estoy segura que serás capaz de encontrar más pares ordenados que cumplan las condiciones.

Puedes recorrer ambos sentidos de la recta numérica, es decir trabajar con valores enteros negativos y positivos de x.

Así que es tu turno de encontrar más pares ordenados.

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Ejercicio 002 10


d)

Solución: • condiciona a que los valores de deben ser Naturales.

• Existe cierta polémica sobre si el cero está incluido o no en el conjunto de los naturales. Algunos matemáticos (especialmente los de Teoría de Números) prefieren no reconocer el cero como un número natural, mientras que otros, especialmente los de Teoría de conjuntos, Lógica e Informática, tienen la postura opuesta.

• Para nosotros, el cero sí pertenece al conjunto de los números Naturales.





• Probamos la ecuación asumiendo diversos valores arbitrarios y naturales de , hasta encontrar tres pares ordenados que sean solución de la ecuación lineal :



Ecuaciones Lineales

Ejercicio 002 11


Para se cumple que


→




• Analizando los resultados obtenidos, observamos:

Que sólo es posible obtener un par ordenado que cumple las condiciones de la ecuación lineal:

Conforme incrementamos el valor de , obtendremos valores de negativos y tendiendo a , por tanto no será posible encontrar ningún par ordenado adicional que satisfaga la ecuación lineal y sus condiciones.

Respuesta:

• Convertimos la ecuación la forma y observamos que se trata de una ecuación lineal:

Donde

• La única solución para esta ecuación lineal que cumple con la condición es: .

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Ejercicio 002 12


d)

Solución: • condiciona a que los valores de deben ser números Racionales.

• Recuerda que los números Racionales son aquéllos que pueden ser expresados como una fracción o razón (de ahí el término racional). Tanto el numerador como el denominador son números enteros. Cuando se efectúa la división, el resultado es un número con una parte entera y una parte decimal que puede tener final o puede ser una fracción que se repite periódicamente hasta el infinito.

Cuando el denominador es el número 1, el número racional se expresa como un número entero. Es decir:





• Probamos la ecuación asumiendo diversos valores arbitrarios y racionales de , hasta encontrar tres pares ordenados que sean solución de la ecuación lineal :

Para se cumple que


→


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Ejercicio 002 13


Para se cumple que


→


Para se cumple que


→


Respuesta:


Donde


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Ejercicio 002 14


"EL ÉXITO CONSISTE EN OBTENER LO QUE SE DESEA,

LA FELICIDAD, EN DISFRUTAR LO QUE SE OBTIENE"

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