Download - Apostila Matemática Cálculo CEFET Capítulo 05 Derivadas Aplic

8/14/2019 Apostila Matemtica Clculo CEFET Captulo 05 Derivadas Aplic

1/48

Captulo 5

APLICAES DADERIVADA

5.1 Variao de Funes

Definio 5.1. Seja

uma funo e

.

1.

possui um ponto de mximo relativo ou de mximo local no ponto

, se existe um pequenointervalo aberto

que contem

tal que:

#

para todo '

A imagem de

,

, chamada valor mximo local de

.

2.

possui um ponto de mnimo relativo ou de mnimo local no ponto

, se existe um pequeno

intervalo aberto

que contem

tal que:

#

para todo '

A imagem de

,

, chamada valor mnimo local de

.

Max

Min

Figura 5.1: Pontos de mnimo e mximo.

Em geral, um ponto de mximo ou de mnimo chamado ponto extremo.

191


2/48

192 CAPTULO 5. APLICAES DA DERIVADA

Exemplo 5.1.

[1] Seja

,

;

um ponto de mximo relativo, pois

para

todo

e

;

um ponto de mnimo relativo, pois

, para todo

e

. Observe que

(

) 1

, para todo1

3, so tambm pontos extremos

de

. De fato :

5

) 1

7

1

@ B C E

[2] Seja

,

;

H G

um ponto de mnimo relativo, pois

G

para todo

e

G % P G

. Na verdade P G

o nico ponto extremo de

.

[3] Seja

R

R

,

; G

um ponto de mnimo relativo, poisR

R G

para todo

e

G % P G

. Como no exemplo anterior,

G

o nico ponto extremo de

.

[4] Seja

,

.

no possui pontos de mximo ou mnimo relativos em

. Se

restrita ao intervalo

V

# W

, ento

possui o ponto

de mximo relativo. Se

restrita aointervalo

Y

G #

`

, ento

possui o ponto

de mximo relativo e o ponto

H G

de mnimorelativo. Se

restrita ao intervalo

G #

, ento

no possui pontos de mximo relativo ou demnimo relativo.

Estes exemplos nos indicam a importncia dos domnios das funes quando queremos deter-minar pontos extremos.

Proposio 5.1. Se

uma funo derivvel no intervalo a

# c

e a

# c

um extremo relativo de

, ento e

G

.

A proposio nos indica que num ponto de mximo ou de mnimo relativo de uma funo

, a reta tangente ao grfico de

nesses pontos paralela ao eixo dos

. Para a prova veja oapndice.

Figura 5.2:

A proposio no garante a existncia de pontos extremos; por exemplo:

(

umafuno derivvel em

e e

5

; logo e

G G

, mas

G

no ponto de mximo nemde mnimo relativo de

; de fato,

p

G p

. A proposio nos d uma condionecessria para que um ponto seja extremo.


3/48

5.1. VARIAO DE FUNES 193

Definio 5.2. Seja

uma funo derivvel no ponto

. Se

e

G

,

chamadoponto crtico de

.

Pela proposio anterior, todo ponto extremo ponto crtico. A recproca falsa. (Veja exemploanterior).

Exemplo 5.2.

[1] Calcule os pontos crticos de

. Para calcular os pontos crticos da funo

,devemos resolver a equao:

e

G

, ou seja,7

G

. Ento, os pontos

) 1

, onde1

3, so os pontos crticos.

[2] Seja

(

; resolvemos e

5

G

; ento

G

o nico ponto crtico de

.

[3] Seja

(

5

; resolvemos

e

5

5

G

; ento,

e

so os pontoscrticos de

.

-1 1

Figura 5.3: Pontos crticos de

(

5

.

Na verdade um ponto "candidato"a mximo ou mnimo relativo de uma funo derivvel

sempre deve satisfazer equao:

e

G

Mais adiante saberemos descartar dos pontos crticos, aqueles que no so extremais.

Definio 5.3.

1. O ponto onde uma funo atinge o maior valor (se existe) chamado mximo absoluto da funo.O ponto

de mximo absoluto de

quando para todo

, tem-se

.

2. O ponto onde uma funo atinge o menor valor (se existe) chamado mnimo absoluto da funo.O ponto

de mnimo absoluto de

quando para todo

, tem-se

.

Um ponto de mximo absoluto um ponto de mximo local. A recproca falsa; analogamentepara mnimo absoluto.


4/48


min. abs

max. abs

min. local

max. localmax. local

min. local

Figura 5.4: Pontos de mximos e mnimos

Exemplo 5.3.

[1] Seja

tal que YG #

`

. O ponto

um ponto de mximo absoluto de

. Defato:

, para todo YG #

`

e G

um ponto de mnimo absoluto de

, pois

G G

, para todo Y

G #

`

. Se

definida em

G #

,

no possui mximos nemmnimos.

[2] Seja

tal que Y #

`

.

e

so pontos de mximos locais, mas

mximo absoluto de

, pois

, para todo Y

#

`

e

G

ummnimo absoluto de

, pois

G G

, para todo YG #

`

.

O teorema seguinte, devido a Weierstrass, garante a existncia de pontos extremos de umafuno, sem a hiptese de que a funo seja derivvel. A prova deste teorema ser omitida.Para mais detalhes veja a bibliografia avanada.

Teorema 5.1. (Weierstrass)

Seja

Y a

# c

`

contnua. Ento existem

C e

emY a

# c

`

tais que:

C

#

para todo Y a

# c

`

E

No teorema as hipteses de que o domnio seja um intervalo do tipoY a

# c

`

e de que a funoseja contnua so condies essenciais. De fato, a funo contnua

no possui pontos

de mximo nem de mnimo em qualquer intervalo aberto. A funo descontnua

C

se

G

e

G G

, no possui ponto de mximo nem de mnimo no intervaloY

#

`

.

Teorema 5.2. (Rolle)Seja

Y a

# c

`

contnua, derivvel em a

# c

e tal que

a

c

. Ento, existe pelo menos um a

# c

tal que e

G

.

Prova: Se

uma funo constante, ento para todo a# c

, e

G

. Se

no constante, ento, pelo Teorema de Weierstrass, possui pontos extremos. Suponha que

ponto de mximo; ento a# c

, pois, caso contrrio, por exemplo se c

, teramos:

a

c

. Mas pela hiptese,

a

c

e

seria constante; logo, a# c

.Analogamente se ponto de mnimo. Portanto,

e

% P G

.


5/48

5.1. VARIAO DE FUNES 195

Figura 5.5: Teorema de Rolle.

Aplicao: Seja

uma funo definida no intervaloY

G #

`

;

#

3. Verifique-

mos que existe um nico ponto que divide o intervalo YG #

`

na razo

. A funo contnua

em YG #

`

e derivvel em G #

; pelo teorema de Rolle, existe pelo menos um G #

tal que

e

G

. Por outro lado,

e

C

C

)

.

e

G

equivalente

a )

G

, donde,

) . O ponto divide o intervalo Y

G #

`

em segmentos

de comprimentos

e

; logo:

E

Teorema 5.3. (do Valor Mdio)

Seja

Y a

# c

`

contnua e derivvel em a

# c

. Ento existe pelo menos um a

# c

tal que:

e

c

a

c

a

Em outras palavras, existe um ponto no grfico de

, onde a reta tangente nesse ponto paralela reta secante que liga

a

#

a

e

c #

c

. Para a prova do teorema, veja o apndice.

ba

f(b)

f(a)

x0

Figura 5.6: Teorema do Valor Mdio.


6/48


Sabemos que uma funo constante tem derivada nula. O Teorema do Valor Mdio nos fornecea recproca desta propriedade, como veremos a seguir.

Corolrio 5.4.

1. Seja

uma funo contnua emY a

# c

`

e derivvel em a

# c

. Se e

G

para todo a

# c

,ento

constante.

2. Sejam

e funes contnuas emY a

# c

`

e derivveis em a

# c

. Se

e

e

para todo a

# c

, ento

) 1

, onde1

uma constante.

1. De fato. Sejam

C

#

Y a

# c

`

; suponha que

C

p

. Pelo Teorema do Valor Mdio, temosque existe

C

#

tal que e

C

C

. Como, por hiptese, e

G

para todo

, ento

C

. Como

C

e

so arbitrrios, temos que

constante.Para 2, basta considerar

e aplicar 1.

Exemplo 5.4.

[1] Suponhamos que um carro percorre uma distncia de G

1

em

horas. Denotando por

a distncia percorrida pelo carro aps horas, a velocidade mdia durante esse perodode tempo :

G

G

G G

G1

E

Do Teorema do Valor Mdio, temos que o carro deve ter atingido a velocidade de

e

G 1

pelo menos uma vez nesse perodo de tempo.

[2] Seja

(

definida emY

G #

`

. Determine

G #

tal que e

G

.

Usamos o Teorema de Rolle (

contnua emY

G #

`

e derivvel em

G #

);

G

G

;ento, existe

G #

tal que e

G

; mas e

h

5

. e

G

equivalente a5

G

; logo,

G

ou

; mas, somente

G #

.

[3] Seja

(

)

)

definida emY

G #

5 `

. Determinar

G #

5

tal que a reta tangente aogrfico de

no ponto

#

seja paralela secante que liga os pontos

G #

G

e

5

#

5

.

Usamos o Teorema do Valor Mdio (

contnua em YG #

5 `

e derivvel em G #

5

); ento existe

G #

5

, tal que:

e

5

G

5

G

$ E

Mas e

5

)

; logo, temos5

)

; resolvendo a equao, temos que

5

ou

5

; mas, somente

5

G #

5

.


7/48

5.2. FUNES MONTONAS 197

Figura 5.7: .

[4] Verifique queR

R R

R

; para todo #

.

Se

evidente. Suponha p

; definamos a funo

. Pelo Teorema do

Valor Mdio, existe #

tal que

e

; logo:

7

sabendo queR 7

R

, obtemos o resultado.

5.2 Funes Montonas

Seja

uma funo definida num domnio .

Definio 5.4.

1.

crescente em se para todo #

C

com p

C

#

tem-se

p

C

.

2.

decrescente em

, se para todo

#

C

com

p

C , tem-se

C

.

3. Em ambos os casos,

dita montona.

Figura 5.8: Funes crescente e decrescente, respectivamente.


8/48


Exemplo 5.5.

[1] Seja

;

G

.

Sejam

#

C

tal que

p

C ; ento:

C

p

. Logo,

C

p

e

montona

decrescente.

[2] Seja

;

Y

G #)

.

Sejam

#

C

tal que

p

C ; ento:

p

C . Logo,

p

C

e

montonacrescente.

[3] Seja

;

.

Sejam #

C

tal que p

C ; ento:

p

C , seG

eG p

C e

C

p

, se p G

e

C

G

. Logo,

p

C

emY

G)

e

C

p

em

# G

;

montona crescente

em

G #)

e montona decrescente em

# G

.O exemplo anterior nos mostra que, em geral, uma funo pode ter partes do domnio onde crescente e partes onde decrescente.

Proposio 5.2. Seja


# c

`

e derivvel em a

# c

.

1. Se

e

G

para todo a

# c

, ento

crescente emY a

# c

`

.

2. Se e

p G

para todo a

# c

, ento

decrescente emY a

# c

`

.

Figura 5.9:

Prova: 1. Sejam

#

C

a

# c

tal que

p

C ; como

contnua emY

#

C

`

e derivvel em

#

C

, pelo Teorema do Valor Mdio, existe #

C

tal que

C

e

C

.Como

e

G

para todo a# c

, temos que

p

C

.A prova de 2 anloga.

Exemplo 5.6.

[1] Determine os intervalos de crescimento e de decrescimento de

)

.

Derivando

temos e

; logo, e

G

se, e somente se

G

e e

p G

se, e somentese

p G

. Logo,

crescente em G # )

e decrescente em # G

; note que

e

G 9 P G

.


9/48

5.2. FUNES MONTONAS 199


(

5

)

.

Derivando

temos e

5

5

5

)

; logo, e

% P G

se, e somente se

.Logo,

crescente em

#

#)

e decrescente em

#

.

2 1 1 2

1

1

2

3

Figura 5.10: Grfico de

(

5

)

.


)

.

Derivando

temos

e

)

; logo, e

G

se, e somente se

.

Intervalos

)

G p

pH p G

decrescente p

pI G p G

decrescente

G

crescente

p

G

crescente

crescente em

#

#)

e decrescente em # G

G #

.

2 1 1 2

4

2

2

4


)


(

5

)

.

Derivando

temos e

(

)

; logo, e

G

se, e somente se

G

,

e

.


10/48


Intervalos

)

p

p G

G

crescenteG p

p

p G

decrescente

G

crescente

p p G

decrescente

crescente em

# G

# )

e decrescente em

G #

#

.

2 1 1 2

1

2

3

4

5

6

7


(

5

)

[5] A funo

@

(1

G

) crescente se1

G

e decrescente se1 p G

, o que justificaseu nome.

[6] (Lei de resfriamento de Newton): A taxa de variao da temperatura

de umcorpo proporcional diferena entre a temperatura ambiente

(constante) e a temperatura

, isto :

1

#

1 G E

Se

, ento

p G

, de modo que a temperatura

decrescente. Logo, se a

temperatura do corpo maior que a do ambiente, o corpo est resfriando.

Se p

, ento

G


crescente. Logo, se a

temperatura do corpo menor que a do ambiente, o corpo est esquentando.

Se

, ento

G


constante.

[7] Crescimento populacional inibido: Considere uma colnia de coelhos com populao inicial

numa ilha sem predadores. Seja

a populao no instante . Estudos ecolgicosmostram que a ilha pode suportar uma quantidade mxima de

C indivduos. Sabemos queeste fenmeno modelado pela funo logstica que satisfaz equao:

1

C

#

1

G E

Se

C

, ento

G

, de modo que a populao

cresce.


11/48

5.3. DETERMINAO DE MXIMOS E MNIMOS 201

Se

C

p

, ento

p G


decresce.

Se

C

, ento

G


fica estvel.

5.3 Determinao de Mximos e Mnimos

Teorema 5.5. Seja


# c

`

e derivvel em a

# c

, exceto possivelmente numponto

.

1. Se e

G

para todo

p

e

e

p G

para todo

, ento

ponto de mximo de

.

f(x )

< 0> 0

0

0

f(x)

=0

x

f(x)

+

Figura 5.13: Mximo local.

2. Se e

p G

para todo

p

e

e

G

para todo

, ento

ponto de mnimo de

.

f(x)

+

> 0

f(x )x

0

f(x)< 0

0 =0

Figura 5.14: Mnimo local.

Prova: 1. Se e

G

para todo

p

e

e

p G

para todo

, ento

crescente em a

#

e decrescente em # c

; logo,

p

para todo

.A prova de 2. anloga.


12/48


Do teorema 5.5 segue que num ponto de mximo ou de mnimo de uma funo contnua nemsempre existe derivada.

Exemplo 5.7.[1] Seja

R

R

, definida em

; claramente

G

um ponto de mnimo de

, mas e

G

no existe. De fato. Para todo

G

, tem-se:

e

se

G

se p G E

[2]

(

. O ponto crtico a soluo da equao e

F P G

ou, equivalentemente,5

G

;ento,

G

. Por outro lado,

e

5

G

, se

G

; logo,

G

no ponto de mximonem de mnimo de

.

[3]

(

5

)

. As solues da equao e

G

so

e

. Do exemplo 2

do pargrafo anterior,

e

G

, se

#

#)

e

e

p G

, se

#

:

+

1

+

1

Figura 5.15: Esquematicamente

Ento,

$

ponto de mximo e

ponto de mnimo de

.

-2 -1 1 2

-1

1


(

5

)

.

[4]

,

.

no derivvel emG

.

De fato, e

(

se

G

. Por outro lado, e

p G

se

G

e e

G

se

p G

. Ento,

G

ponto de mximo e

G F $

o valor mximo.

2 1 1 2

0.5

0.5

1.0


(

.


13/48


Teorema 5.6. Seja

uma funo duas vezes derivvel e

um ponto crtico de

. Se:

1. e e

G

, ento

um ponto de mnimo relativo de

.

2. e e

p G

, ento

um ponto de mximo relativo de

.

Prova: 1. Como e

G

e:

G p

e e

e

#

ento existe

G

tal que:

G

, para todo

#

)

(veja o apndice); ento,

e

G

, se

e

e

p G

, se

. Pelo teorema 5.5, temos que

um ponto de

mnimo local de

.2. A prova anloga.

Dos teoremas 5.5 e 5.6 temos que os candidatos a pontos de mximos e mnimos so no spontos crticos, mas tambm, podem ser os pontos do domnio onde a funo no derivvel.

No caso em que o domnio de

um intervalo do tipoY a

# c

`

, aps determinar os pontos de m-ximo e de mnimo no intervalo

a

# c

, devemos calcular os valores da funo nos extremos dointervalo e comparar estes valores com os valores mximos e mnimos obtidos anteriormen-te nos pontos crticos; o maior valor corresponder ao mximo absoluto e o menor valor aomnimo absoluto da funo e os pontos correspondentes sero, respectivamente, os pontos demximo e de mnimo absolutos.

No caso em que e e

! G

, o teorema 5.6 no afirma nada; quando acontecer isto, recomen-

damos usar o teorema 5.5.

Exemplo 5.8.

[1] Calcule os pontos extremos de

a

)c

)7

; a# c # 7

e a G

. Como

diferenciavel em todo ponto, calculemos os pontos crticos de

. e

a

)c

e e

G

,se, e somente, se:

$

que o ponto crtico de

. e e

a; ento,

e e

G

sea

G

e e

p G

sea

p G E

Logo, o vrtice

c

a

um ponto de mximo absoluto de

se ap G

e um ponto de mnimo

absoluto se a

G

.


)

se Y

#

`

.

Como

diferenciavel em todo ponto, calculemos os pontos crticos de

:

e

(

5

E


14/48


e

G

se, e somente, se:

G

,

5

e

5

, que so os pontos crticos de

. A

segunda derivada:

e e

5

e e

V

5

G

e

e e

V

5

G

logo,

5

e

5

so pontos de mnimo relativo de

. Como

e e

G G

utilizamos o

teorema 5.5: e

G

se

5

p

p G

e e

p G

seG p

p

5

; logo, G

ponto de

mximo relativo de

. Por outro lado

G

,

G

e

V

5

; logo,

e

so pontos de mximo absolutos,

5

e

5

so pontos de mnimo absolutos. Veja o

desenho:

-2 -1 1 2

2

4


)

.


5

)

.

Calculemos os pontos crticos de

:

e

)

5

5

E

Logo,

e

G

se, e somente se,

, que o ponto crtico de

. Calculando a segundaderivada de

:

e e

5

5

E

Ento e e

G

e o teorema 5.6 no pode ser aplicado; mas usamos o teorema 5.5 para analisara mudana do sinal da primeira derivada de

. Como

e

G

, ento

sempre crescente;logo, no ponto

no muda o sinal da primeira derivada de

; portanto

no pontode mximo nem de mnimo relativo de

. Veja o desenho:


15/48


1 2 3 4

2

4


5

)

.


C

(

.


; ento,

e

. Logo,

e

' G

se

G

ou

. Calculando a segunda derivada de

: e e

5

5

. Ento e e

G

; logo,

ponto de mnimo relativo de

. e e

G G

e o teorema no pode seraplicado; mas usamos o teorema 5.5 para analisar a mudana do sinal de

e

. Como e

G

para todo Y

#

`

, ento

G

no ponto de mximo nem de mnimo. Veja o desenho:

4


C

(

.


,

.


em

#

. Derivando,

e

7

7

V

7

7

V

7

V

7

)

E

Ento, os pontos crticos so G

,

5

e

(

. Calculando a segunda derivada de

: e e

)

.

e e

V

5

p G

e

e e

V

5

G

; logo,

5

ponto de

mximo relativo e

5


. Por outro lado, e e

G G

, e o

teorema no pode ser aplicado; mas, usamos o teorema A para analisar a mudana do sinal de e

. Como e

p G

para todo

pertencente a um intervalo de centroG

contido emV

5

#

,

como, por exemplo,

G

#

G

W

, ento

G

no ponto de mximo nem de mnimo. Por outro


16/48


lado

G

; logo,

5 ponto de mnimo absoluto e

5 ponto mximo absoluto. Veja

o desenho:

3 2 1 1 2 3

2

1

1

2


,

.

5.4 Concavidade e Pontos de Inflexo de Funes

Seja

uma funo derivvel em , onde um intervalo aberto ou uma reunio deintervalos abertos.

Definio 5.5.

1.

dita cncava para cima em

se

e

crescente em

.

2.

dita cncava para baixo em

se e

decrescente em

.

Intuitivamente, quando um ponto se desloca ao longo do grfico de uma funo

, da esquerdapara a direita e a reta tangente nesse ponto vai girando no sentido anti-horrio, isto significaque o coeficiente angular dessa reta tangente cresce medida que aumenta. Neste caso afuno tem a concavidade voltada para cima.

Figura 5.22: Funo cncava para cima.

Analogamente, quando um ponto se desloca ao longo do grfico de uma funo

, da esquerdapara a direita e a reta tangente nesse ponto vai girando no sentido horrio, isto significa que ocoeficiente angular dessa reta tangente decresce medida que aumenta. Neste caso a funotem a concavidade voltada para baixo.


17/48

5.4. CONCAVIDADE E PONTOS DE INFLEXO DE FUNES 207

Figura 5.23: Funo cncava para baixo.

No confundir concavidade com crescimento ou decrescimento de uma funo. No desenho aseguir, o grfico de uma funo crescente e cncava para cima e o de uma funo decrescente ecncava para cima, respectivamente.

Figura 5.24:

No desenho abaixo, o grfico de uma funo crescente e cncava para baixo e o de uma funodecrescente e cncava para baixo, respectivamente.

Figura 5.25:

Proposio 5.3. Seja

uma funo duas vezes derivvel em

.

1. Se e e

G

para todo

, ento

cncava para cima em

.

2. Se

e e

p G

para todo

, ento

cncava para baixo em

.


18/48


A prova segue diretamente das definies.

Exemplo 5.9.

Considere a funo

.

[1] Determine, onde

cncava para cima.

[2] Determine, onde

cncava para baixo.

Calculando a segunda derivada:

e e

E

Logo,

e e

G

se

# C

C

#)

e e e

p G

se

#

. Ento,

cncava para cima em

#

# )

.


#

.

0.5 0.5

2

1

Figura 5.26: Grficos de

e

(vermelho) e

e e

(azul).

Definio 5.6. Um ponto

#

do grfico de uma funo

um ponto de inflexo de

, se existeum pequeno intervalo

a

# c

tal que

a

# c

e:

1.

cncava para cima em a

#

e cncava para baixo em

# c

, ou

2.

cncava para baixo em a

#

e cncava para cima em

# c

.

Se a funo duas vezes derivvel, para obter os pontos

, candidatos a pontos de inflexo,resolvemos a equao:

e e

% P G

e estudamos o sinal de e e

para

e

p

(

soluo da equao).

e e

G

noimplica em que

seja abscissa de um ponto de inflexo; de fato,

, e e

;logo,

e e

G

se

G

e

G

um ponto de mnimo (verifique!). Note que se e e

G

e

(

G

, ento,

um ponto de inflexo. Num ponto de inflexo, no necessariamenteexiste a segunda derivada da funo. De fato, seja

R

R

; se

G

temos e e

e se

p G

temos e e

; ento,G

um ponto de inflexo e e e

G

no existe. Como exerccioesboce o grfico de

.


19/48

5.4. CONCAVIDADE E PONTOS DE INFLEXO DE FUNES 209

Exemplo 5.10.

[1] Seja

(

; ento:

e e

. Por outro lado,

e e

G

se

G

e

e e

p G

se p G

;

logo,

G

ponto de inflexo de

.[2] Seja

; ento: e e

E

e e

G

se V

#

V

# )

e e

p G

se

V

#

E

Ento

e

so os pontos de inflexo de

.

1.0 0.5 0.5 1.0


.

[3] Seja

,

p

p

; ento:

e e

V

V

7

e e

G

se

V

a

7 7

V

# G

Va

7 7

V

#

E

e e

p G

se V

#

a

7 7

V

V

G #

a

7 7

V

E

Ento G

,

a

7 7

e

a

7 7

so os pontos de inflexo de

.

3 2 1 1 2 3

2

1

1

2


,

p

p

.


20/48


5.5 Esboo do Grfico de Funes

Para obter o esboo do grfico de uma funo, siga os seguintes passos:

a) Determine o

.

b) Calcule os pontos de interseo do grfico com os eixos coordenados.

c) Calcule os pontos crticos.

d) Determine se existem pontos de mximo e mnimo.

e) Estude a concavidade e determine os pontos de inflexo.

f) Determine se a curva possui assntotas.

g) Esboo.

Exemplo 5.11.

Esboce o grfico das seguinte funes:

[1]

(

.

a)

.

b) Intersees com os eixos coordenados: Se

G

, ento

e se G

, ento

; acurva passa pelos pontos

# G

,

# G

e

G #

.

c) Pontos crticos de

:

e

; logo, resolvendo a equao

e

G

, obtemos

G

,

e

, que so os pontos crticos de

.

d) Mximos e mnimos relativos de

: e e

. Logo, e e

G G

eG

pontode mnimo relativo de

. e e

G

e o teorema 5.6 no pode ser aplicado; mas, usamos oteorema 5.5 para analisar a mudana do sinal da primeira derivada de

.

e

p G

para todo

p G

; ento

!

no ponto extremo de

.

e

G

para todo

G

;ento

no ponto extremo de

.

e) Estudemos a concavidade de

:

e e

G

implica em

e

.

e e

G

se

#

#

#)

E

e e

p G

se

#

# E

cncava para cima em

e cncava para baixo em

. As abscissas dos pontos de inflexo

de

so

e

.

f) A curva no possui assntotas.


21/48

5.5. ESBOO DO GRFICO DE FUNES 211

g) Esboo do grfico: O grfico de

passa pelos pontos

# G

,

# G

e

G #

, onde

G #

o ponto de mnimo de

.

1 1

1

1


(

.

[2]

)7

,

.

a)

Y

#

`

.

b) Intersees com os eixos coordenados: se P G

, ento

G

o que implica em

ou

G

; a curva passa pelos pontos

G # G

,

# G

e

# G

.


em

#

: e

B C

B

; logo, resolvendo a equao e

G

,

obtemos

(

que so os pontos crticos de

.


em

#

: e e

C

B

. Logo,

e e

(

p G

e

e e

(

G

; ento

(

ponto de mximo relativo e

(

ponto de mnimo relativode

. Por outro lado,

G

; logo,

(

ponto de mximo absoluto e

(

pontode mnimo absoluto de

.

e) Estudemos a concavidade de

em

#

:

e e

P G

implica em

G

ou7

;logo,

G

;

. Ento,

e e

G

se

# G

e e

p G

se

G #

E

cncava para cima em

# G

e


G #

; logo,

G

a abscissado ponto de inflexo de

.

f) A curva no possui assntotas.

g) Esboo do grfico: O grfico de

passa pelos pontos G # G

,

# G

, # G

(

#

(

(

#

(

(

, que o ponto de mximo de

;

(

#

(

#

(

(

, que o ponto de mnimode

; G # G

o ponto de inflexo de

.


22/48


123 1 2 3

0.5

0.5


B

.

[3]

)

.

a)

#

.

b) Intersees com os eixos coordenados: se G

, ento

; logo, a curva passa peloponto

G #

.


. e

C

; logo e

G

implica em que G

, que o ponto

crtico de

.


.

e e

C

B

C

.

e e

G p G

; logo,

G

ponto de mximorelativo de

.

e) Concavidade de

.

e e

G

se V

#

ou V

#

,

e e

p G

se V

#

.

cncava para baixo em #

e cncava para cima em #

# )

.

;logo, o grfico de

no possui pontos de inflexo.

f) Assntotas.

)

$

. Logo,

uma assntota horizontal da curva.

C

)

)

#

C

)

E

C

)

#

C

)

)

E

Logo,

e $

so assntotas verticais da curva.

g) Esboo do grfico:


23/48


2 1 0 1 2 3

4

2

0

2

4


B C

C

.

[4]

.

a)

.

b) Intersees com os eixos coordenados: Se G

, ento P G

; logo, a curva passa pelo ponto

G # G

. Se G

, ento

G

ou

; logo, a curva passa pelos pontos

G # G

,

# G

e

# G

.


: Se

G

; ento, e

C

(

.

A funo

contnua para todo

. Mas no existe e

G

; logo, no ponto

G # G

do grfico deve existir uma "cspide"como foi observado no grfico do valor absoluto. Se

G

, os pontos crticos de

so

C

e

C

.


. Se

G

; ento,

e e

B C

.

e e

C

p G

e e e

C

p G

; logo, !

C

e

C

so pontos de mximos relativos de

. Se G

, estudamos osinal da derivada de

para valores esquerda e direita de

G

: e

G

seG p

pC

e e

p G

, se

C

p

p G

; logo, G

um ponto de mnimo local de

.

e) Concavidade de

. e e

p G

para todo

G

.


G

.

f) Assntotas.

)

. Logo,

no possui assntotas horizontais e nem ver-

ticais.

g) Esboo do grfico:


24/48


1.0 0.5 0.5 1.0


(

.

[5]

, ondec

G

, representa uma famlia de curvas e chamada funodensidade de probabilidade normal padro, que tem um papel relevante em Probabilidade eEstatstica.

a)

.

b) A curva passa pelo ponto

G #

.


:

e

; logo,

a o ponto crtico de

.


:

e e

V

.

e e

a

p G

; logo,a

ponto de mximo relativo de

.

e) As abscissas dos pontos de inflexo so:

a

f) Assntotas:

G

. Logo, G

a assntota horizontal da curva.

g) Esboo dos grficos paraa

P G # c

,a

c

,a

# c

ea

# c

.

1 2

1


.

[6]

)

)7 , (

7

), que representa uma famlia de curvas.


25/48


a) A soluo da equao

)

)7 G

7

; ento, se7

,

, se7

,

e se7 p

,

.

b) Se

G

, ento

C

, se7

G

. Neste caso, a interseo com o eixo dos

G #C

.

c) Pontos crticos: e

B C

B

B

#

e

% P G

se

, (7

). Neste caso, o ponto crtico #

C

C

.

d) Mximos e mnimos:

e e

(

B

B

B

B

e

e e

C

p G

; logo,

ponto

de mximo relativo se7

.

e) Resolvendo e e

G

, obtemos

(

(

C

(

. Se7

, temos dois pontos de inflexo.

f) Assntotas.

Assntotas horizontais:

)

)7

P G

; ento, P G

assntota horizontal.

Assntotas verticais:

Se7

,

C

)

)

e se7 p

,

C

C

)

)7

.

e

7

so assntotas verticais da curva, para7

e7 p

, respectivamente.

g) Esboo dos grficos:

123 2 31

1

1

-3 -2 -1 1

1

2

3

4

5

Figura 5.34: Esboo dos grficos para7

e7

, respectivamente.

3 2 1 0 1 2 3

0.5

1

Figura 5.35: Esboo para7

.

[7]

7

)

7

, (7

), que representa uma famlia de curvas.


26/48


a)

.

b) Intersees com os eixos coordenados: G # G

.


:

e

C

B C

C B

; se7

T G

,

C

e

C

so os pontos crticosde

.

d) Mximos e Mnimos: e e

(

C B

; e e

C

; logo,

C

ponto de mximo

relativo de

e e e

C

; logo,

C


. (7

G

).

e) Pontos de inflexo:

G

,

(

e

(

.

f) Assntotas: G

assntota horizontal da curva.

g) Esboo dos grficos. Observe que a funo mpar.

3 2 1 1 2 3

0.4

0.2

0.2

0.4

3 2 1 1 2 3

0.4

0.2

0.2

0.4

Figura 5.36: Esboo dos grficos para7

C

,7

, e7

,7

5.6 Problemas de Otimizao

Nesta seo apresentaremos problemas de maximizao e minimizao aplicados diversasreas. O primeiro passo para resolver este tipo de problema determinar, de forma precisa, afuno a ser otimizada. Em geral, obtemos uma expresso de duas variveis, mas usando ascondies adicionais do problema, esta expresso pode ser reescrita como uma funo de umavarivel derivvel e assim poderemos aplicar os teoremas.

Exemplo 5.12.

[1] Determine dois nmeros reais positivos cuja soma

G

e tal que seu produto seja o maiorpossvel.

Considere #

G

tal que )

G

; logo, #

Y

G #

G

`

; o produto :

E

Esta a funoque devemos maximizar. Como

G

, substituindo em

:

G

E

Y

G #

G

`

uma funo derivvel. Derivando:

e

G

5

; o pontocrtico

5

. Analisando o sinal de

e

, claro que este ponto ponto de mximo para


27/48

5.6. PROBLEMAS DE OTIMIZAO 217

e

5

; logo,

o produto mximo. Os nmeros so

5

. Note que

G

G G

.

[2] Determine os pontos da curva

$

mais prximos da origem.

Seja #

um ponto da curva e considere:

G # G #

#

)

. Minimizar

equi-valente a minimizar

G # G #

#

)

; mas como #

pertence curva, temos que

C

; logo, obtemos a seguinte funo:

)

E

Derivando e igualando a zero:

e

(

G

, obtem-se

. Calculando a segunda

derivada de

:

e e

)

, que sempre positiva; logo,

so pontos de mnimo; os

pontos mais prximos da origem so

#

e

#

.

1 1

1

1

Figura 5.37: Exemplo [2].

[3] Determine as dimenses do retngulo de maior rea que pode ser inscrito na elipse

a

)

c

a

# c

G E

x

y



28/48


Pela simetria da figura, estudaremos o problema no primeiro quadrante e multiplicaremoso resultado por quatro. A rea do retngulo

, mas otimizaremos o quadrado de rea

; como

c

V

a

, ento:

& c

V

a

#

G E


e

5

c

a

V a

G

, obtem-se

a

. Estudan-

do o sinal da derivada de

temos que

a

ponto de mximo de

e

c

; logo, a

rea do maior retngulo que pode ser inscrito na elipse :

a

c

. As dimenses do retnguloso

ae

c

.

[4] Uma lata cilndrica sem tampa superior tem volume

7

(

. Determine as dimenses da lata,

de modo que a quantidade de material para sua fabricao seja mnima.

r

h


Devemos minimizar a rea. A rea do cilindro e da tampa inferior so: C

e

,respectivamente, onde e so o raio e a altura do cilindro; logo, devemos minimizar:

C

)

)

E

Mas o volume

; logo,

e

; substituindo na expresso a minimizar,

temos:

G

)

E


e

G

)

G

, obtem-se

.

e e

G

(

)

G

o ponto de mnimo e

. Logo, as dimenses da lata so

7

.


29/48


[5] Quadrados iguais so cortados de cada canto de um pedao retangular de cartolina, me-dindo

7

de largura e

7

de comprimento. Uma caixa sem tampa construda virando os

lados para cima. Determine o comprimento dos lados dos quadrados que devem ser cortados

para a produo de uma caixa de volume mximo.

x

8-2 x

15

8

15-2 x

x


A altura da caixa

; a largura

e o comprimento

, observando que

G p

p

.Logo, devemos maximizar:

(

)

G

E

Derivando e igualando a zero: e

)

G

G G

, obtemos

ou

5 . Mas.

G #

; ento,

5 o nico ponto crtico de

; logo, estudando o

sinal de e

, ponto de mximo. Ento, E

7

e G E

7

(

. (Verifique!).

[6] Calcule as dimenses de um cone circular de volume mximo que pode ser inscrito numaesfera de raio a .

a

r

h

Figura 5.41: Uma vista bidimensional do exemplo [6].

Usando o teorema de Pitgoras temos que

a

a

a

. O volume

(

; logo,

5

V

a

, sendoG p

p

a. Derivando e igualando a zero:


30/48


e

5

V a

5

G

, obtemos G

ou

a

5

; G

no soluo; ento,

a

5

o

ponto de mximo e

a

5.

[7] Um tanque cnico de ao, sem tampa, tem capacidade de G G G

(

. Determine as dimensesdo tanque que minimiza a quantidade de ao usada na sua fabricao.

r

h l lh

r


A rea do cone : C

)

, onde na ltima igualdade usamos o teorema de

Pitgoras. Por outro lado, o volume do tanque de

G G G

(

; logo,

G G G

5

e

5

G G G

; substituindo na expresso a minimizar:

C

)

5

G G G

E

Como antes, minimizaremos

C

. Logo:

) 1

, onde1

5

G G G

. Deri-

vando e igualando a zero:

e

(

1

(

G

, obtemos

1

. Usando o teorema

A, temos que

@

o ponto de mnimo e

1

. As dimenses do tanque so

E

5

e

E

G

e

C

E

G

E

[8] Um pescador est a

1

de um ponto

de uma praia e deseja alcanar um depsito de

combustvel no ponto

, a5

1

de . Sua velocidade na gua de

1

por hora e na terra de

5

1

por hora. Determine o ponto da praia que deve ser alcanado pelo pescador parachegar ao depsito no tempo mnimo .


31/48


A Bx

2y


No desenho

)

. A funo a minimizar :

)

)

5

5

E


e

5

)

)

G

, obtemos

e, calculando a

derivada segunda de

:

e e

B

G

. Logo,

e e

V

G

e

o ponto procurado.

[9] Uma folha de ao de G

metros de comprimento e

metros de largura dobrada ao meiopara fazer um canal em forma de V de

G

metros de comprimento. Determine a distncia entreas margens do canal, para que este tenha capacidade mxima.

2 2

h

w/2


Observemos que

e

7

. Ento, podemos escrever a rea do tringulo

como funo de . De fato,

,

G #

. Derivando

7

e igualando a zero, obtemos que7

G

se

. Calculando a derivada segunda:

p G

; logo,

ponto de mximo e

metros.

[10] Em que ponto da curva

, a reta tangente curva nesse ponto forma no primeiroquadrante um tringulo de rea mnima? Determine a rea.


32/48


A

C

B

P


Seja

#

o ponto procurado. A equao da reta tangente curva passando pelo ponto

. Como

, temos

)

)

. Se

G

,

)

e se G

,

)

. O tringulo

formado por

G # G

,

V

)

# G

e

G # )

. A rea :

)

#

G E

Derivando,

5

)

e igualando a zero, obtemos

(

(

. Calculando a se-

gunda derivada:

5

)

(

como para todo

G

,

G

,

(

(

ponto de mnimo. A rea

V

(

(

(

.

[11] Um fton (raio de luz) parte de um ponto

para um ponto

sobre um espelho plano,sendo refletido quando passa pelo ponto

. Estabelea condies para que o caminho

seja o mais curto possvel.

A

P

B

a b

x dx


Devemos minimizar o comprimento do percurso:

a

)

)

c

)

. Deri-

vando,

a

)

c

)

e igualando a zero, obtemos:


33/48


a

)

c

)

#

que equivalente aa

c

, donde obtemos que

. Esta a condio para que o

caminho

seja o mais curto. De fato, o ponto crtico

a

a

) c de mnimo, pois,

a

)

a

)

c

)c

G

em particular,

V

a

a

)c

G

.

[12] A luz se propaga de um ponto a outro segundo uma trajetria que requer tempo mnimo.Suponha que a luz tenha velocidade de propagao C no ar e

na gua ( C

). Se a luz vaide um ponto

no ar a um ponto

na gua, que lei determina este percurso?

O

P

R

Q

x

dx

b

a

D


Sejama

R

R

,c R

R

,

R

R

,

R R

,

e

. Os temposnecessrios para o raio de luz ir de

a

e de

a

so, respectivamente:

C

)

a

C

e

)c

E

O tempo total de percurso de

a

C

)

. Minimizemos

, YG #

`

.

C

)

a

)c

C

E

G

se

, equao conhecida como lei de Snell. Para verificar que a condio:

C


34/48


corresponde ao percurso de tempo mnimo, mostraremos que

cncava para cima em todoponto.

a

c

)

) c

C

a

)

C

a

)

) c

E

e e

G

para todo

, pois todas as quantidades envolvidas so positivas.

[13] Um quadro de altura a est pendurado em uma parede vertical, de modo que sua bordainferior est a uma altura acima do nvel do olho de um observador. A que distncia da pa-rede deve colocar-se o observador para que sua posio seja a mais vantajosa para contemplaro quadro, isto , para que o ngulo visual seja mximo?

Perfil do problema:

a

h


Seja

)

. Logo,

C B

. Ento,

B

e

; logo:

a

)

a

)

E

Maximizemos a seguinte funo:

a

)

a

)

E

Derivando

: e

B

B

B

. O ponto crtico

a

)

; observe quea

e o

dominador de

e

so positivos; logo, examinemos o numerador de

e

.

crescente se p

a

)

e

decrescente se

a

)

p

; ento, o ponto de mximo de

. Para que ongulo visual seja mximo, o observador deve colocar-se distncia de

a

)

da parede.

[14] Implante de Vasos Sanguneos:

Suponha que um cirurgio necessite implantar um vaso sanguneo numa artria, a fim de me-lhorar a irrigao numa certa rea. Como as quantidades envolvidas so pequenas, podemosconsiderar que vasos e artrias tem formato cilndrico no elstico. Denotemos por

e

o in-cio e o final da artria e suponhamos que se deseje implantar o vaso num ponto da artria, demodo que a resistncia ao fluxo sanguneo entre e

seja a menor possvel. A lei de Poiseuilleafirma que a resistncia

do sangue no vaso :

@

, onde

o comprimento do vaso,


35/48


o raio do vaso e1

uma constante positiva que depende da viscosidade do sangue. Nossaestratgia ser determinar o melhor ngulo do implante. Para isto, consideremos o seguintediagrama:

A B

r

r2

1

C

D

Figura 5.49: .

Sem perda de generalidade, podemos supor que

C

e

G #

. Denotemos por

o

comprimento do segmento

,

C o comprimento do segmento

,

o comprimento dosegmento

,

o comprimento do segmento

e o ngulo

:

A B

d

xd1

0d2

C

D

Figura 5.50: Esquema.

A resistncia total :

1

V

C

C

)

E

Observamos que

, C ,

e so constantes. Escrevamos

em funo de . Do desenho:

; logo,

,

)

C

e

; logo,

C

V

.

Ento,

7

C

V

7

7

C

)

7

7

, onde7

C

1

e

7

7

C

.

e

7

C

7

7

V

7

7

C

7

P G


36/48


ento,7

V

C

e

a

7 7

V V

C

o ponto crtico.

e e

7

C

7

)7

C

)

C

C

(

E

Sabendo que

a

7 7

, temos que:

e e

7

C

G

, onde

V

C

. Logo, o melhor ngulo para fazer o implante

a

7 7

. Por exemplo, supondo

que

C 3 vezes

, obtemos

e

a

7 7

V

C

C

.

5.7 Teorema de LHpital

Comumente, ao estudar limites, aparecem expresses indeterminadas. Por exemplo:

#

onde a expresso indeterminada do tipo

. O teorema de LHpital nos indica um mtodopara fazer desaparecer estas indeterminaes e calcular limites de uma forma mais eficiente.

Teorema 5.7. (LHpital)

Sejam

e funes derivveis num domnio

que pode ser um intervalo aberto ou uma reunio deintervalos abertos, exceto possivelmente num ponto

ae

G

, para todo

a.

1. Se

G

e

e

e

, ento:

e

e

2. Se

e

e

e

, ento:

e

e

Para a prova do teorema veja o apndice. O teorema tambm vlido para limites laterais epara limites no infinito. Se

e

e e

satisfazem s hipteses do teorema e

e e

e e

, ento:

e

e

e e

e e

logo;

e e

e e

.

Em geral se

e

satisfazem s hipteses do teorema e

, ento:


37/48

5.7. TEOREMA DE LHPITAL 227

E

Se a funo da qual estamos calculando o limite

vezes derivvel, podemos derivar suces-sivamente at "eliminar"a indeterminao. Para indicar o tipo de indeterminao, denotamos

,

, etc.

Exemplo 5.13.

[1] Calcule

B

)

. Primeiramente observamos que o limite apresenta uma inde-

terminao do tipo

. Aplicando o teorema, derivamos o numerador e o denominador dafuno racional duas vezes; ento:

B

)

B

B

E

[2] Calcule

a

. O limite apresenta uma indeterminao do tipo

. Aplicando o teore-ma:

a

a

a

a

E

[3] Calcule

. O limite apresenta uma indeterminao do tipo

. Aplicando o teore-ma:

7

E

5.7.1 Outros tipos de indeterminaes

O teorema de LHpital nos indica somente como resolver indeterminaes do tipo

e

.Outros tipos, como

G

,

,

,G

e

, podem ser resolvidos transformando-os nostipos j estudados no teorema.

Caso

[1] Calcule

. O limite uma forma indeterminada do tipo

G

; ento fazemos:

E

uma forma indeterminada do tipo

. Aplicando o teorema:

V

e

V

e

% G E


38/48


[2] Um objeto de massa

deixado cair a partir do repouso. Sua velocidade aps segundos,

tendo em conta a resistncia do ar, dada por:

7

, onde acelerao devida

gravidade e7

G

. Calculemos

B

. O limite uma forma indeterminada do tipo G

;

ento fazemos:

B

7

B

#

que uma forma indeterminada do tipo


B

7

B

7

B

7

E

Como exerccio, interprete este limite.

Caso

[1] Calcule

V

7


; ento

fazemos:

V

7

7

7

E

7

7



V

7

7

7

)

E

Observamos que

)


e novamente apli-

camos o teorema ao ltimo limite:

)

7

)

)

7

E

[2] Calcule

V

7


; ento

fazemos:

V

7

V

7

7

7

E

7


e novamente aplicamos o teorema:

7

7

9 G E


39/48

5.7. TEOREMA DE LHPITAL 229

Caso

[1] Calcule

V

)


; fazendo:

V V

)

P 7

) #

temos:

7

)

. Este limite uma forma indeterminada do tipo

G

;

ento, aplicamos o caso A:

7

)

)

)



)

)

7

logo;

V V

)

. Como

uma funo contnua em seu dom-

nio, temos:

V V

)

V

V

)

E

Da ltima igualdade:

V

)

H

.

[2] Calcule

B

V

)


; ento fazemos:

V V

)

V

)

ento,

B

B

V

)


G

;

ento aplicamos o caso A:

B

V

)

B

V

)

E

O limite uma forma indeterminada do tipo


B

V

)

B

)

E

O limite uma forma indeterminada do tipo


B

B

)

B

E

Como

uma funo contnua em seu domnio, temos:


40/48


B

V V

)

V

B

V

)

E

Da ltima igualdade:

B

V

)

.

Caso

[1] Calcule

B


; fazemos:

V

ento,

B

B


e novamen-

te aplicamos o teorema:

B

B

B

G E

Como


B

V

V

B

G E

Da ltima igualdade:

B

&

.

[2] Calcule

V


; fazemos:

V V

V

7

ento,

V

7


e novamen-

te aplicamos o teorema:

V

7

G E

Sendo


V V

V

V

P G E

Da ltima igualdade:

V

.

Caso

[1] Calcule


G

; fazemos:


41/48

5.8. DIFERENCIAL DE UMA FUNO 231

ento:


G

e novamente

aplicamos o teorema:

G E

Sendo


G E

Da ltima igualdade:

.

[2] Calcule

V

7


; fazemos:

V

7

ento:

V

V

7



V

V

7

V

7

G E

Sendo


V V

7

V

V

7

G E

Da ltima igualdade:

V

7

.

Em geral, nos casos de potncias indeterminadas, usamos a funo logartmica

parapoder aplicar o teorema de LHpital. A continuidade da funo logartmica

e de suainversa

permite resolver este tipo de limite.

5.8 Diferencial de uma Funo

A diferencial de uma funo ser introduzida de maneira formal. Ao leitor interessado reco-mendamos a bibliografia avanada. Seja

uma funo definida num domnio

ediferencivel no ponto

. Denotemos por

o nmero (no nulo), tal que

)

.

Definio 5.7.

1. Para cada

, a diferencial de

no ponto

denotada por

ou

e definidapor

e

.

2. O incremento de

em

denotado por

e definido por

)

.


42/48


Para

fixado,

uma funo linear sobre o domnio de todos os valores possveis de

e

uma funo sobre o domnio de todos os valores possveis de

. Seja

, ento:

G E

Se e

G

:

$ E

temos que

uma "boa"aproximao para

:

)

e

)

, onde

uma funo tal que

G

.

Compare com linearizao.

Exemplo 5.14.

Seja

;

; no ponto

:

e

)

)

;logo

)

. Ento:

G #

)

E

Por outro lado,

)

)

, ento

e

G

.

Propriedades

Sejam

e

funes definidas num domnio e diferenciveis no ponto ,ento:

1.

)

)

.

2.

)

.

5.9 Exerccios

1. Verifique as condies do teorema de Rolle e determine os

correspondentes conclusodo teorema:

(a)

) G

, no intervaloY

G #

`

(b)

, no intervalo Y #

`

(c)

(

)

, no intervalo Y

5

#

`

(d)

)

7

, no intervaloY

#

5

`

2. Verifique as condies do teorema do valor mdio e determine os

correspondentes concluso do teorema.

(a)

(

, no intervaloY

#

5 `

(b)

, no intervalo Y #

`


43/48

5.9. EXERCCIOS 233

(c)

)

, no intervaloY

#

`

(d)

, no intervaloY

G #

`

3. Calcule os pontos crticos (se existem) de:

(a)

5

)

(b)

5

)

(c)

)

(d)

)

(e)

5

(

(f)

(

)

)

)

5

(g)

)

(

(h)

(i) 7

(j) H

7

(k) H

(l)

(m)

(n) ! R

5

R

(o)

5

(p)

a

, #

3 e a

G

4. Usando a primeira derivada, determine os intervalos de crescimento e/ou decrescimentodas seguintes funes:

(a)

G

(

)

)

(b)

(

5

(c)

(d)

)

(e)

(f)

)

(g)

(h)

5

(i)

5

)

)

(j)

(

)

)

(k)

)

5

(l)

H

)

(m)

(n) H

(o)

(p)

5. Calcule os pontos de mximos e de mnimos relativos (se existem) de:

(a)

)

(b)

(c)

(

5

)

5

)

(d)

)

5

()

(e)

(f) )

(g)

5

)

)

5

(h)

)

(i)

)

)

)

(j)

)

(

(k)

(l)

)

(

5

)

5


44/48


(m)

5

)

)

(n)

5

(o)

)

(p)

)

(q)

)

(

(r)

)

6. Calcule os pontos de inflexo (se existem) e estude a concavidade de:

(a)

(

)

(b)

5

G

(

) G

)

(c)

)

(d)

(

(e)

5

(f)

)

5

(g)

(h)

)

B

(i)

)

(j)

(k)

(l)

)

(m) 7

(n)

C

7. Esboce os grficos de:

(a)

)

)

(b)

(

(c)

5

)

)

5

(d)

)

(e)

)

(f)

5

(g)

(h)

(

5

(i)

)

(j)

(k)

(

(l)

E

(m)

)

)

(n)

)

5

(o)

(

)

(p)

)

(q)

)

)

(r)

(s)

(t)

(u)

(v)

(w)

(x)

(y)

8. Determine o valor de1

tal que a funo

(

) 1

)

)

admita um ponto de inflexoem

.

9. Seja

a

(

) c

) 7

)

a

# c # 7 #

e a G

.

(a) Determine o nico ponto de inflexo de .

(b) Verifique que tem um ponto de mximo e um ponto de mnimo sec

5

a

7

G

.


45/48

5.9. EXERCCIOS 235

10. Seja

, onde

#

so nmeros naturais. Verifique:

(a) Se

par, tem um ponto de mnimo em

G

.

(b) Se

par, tem um ponto de mnimo em

.

11. Esboce o grfico da famlia de curvas

)

(

)7

,7

.

Problemas de Otimizao

1. Determine a rea do retngulo mximo, com base no eixo dos e vrtices superioressobre a parbola

.

2. Com uma quantidade

de material dada deve-se construir um depsito de base quadra-

da e paredes verticais. Determine as dimenses que do o volume mximo.

3. Uma reta passando por #

corta o eixo dos em

a

# G

e o eixo dos em

G # c

.Determine o tringulo

de rea mnima paraa

ec

positivos.

4. Um cartaz deve conter

G 7

de matria impressa com duas margens de

7

cada, na

parte superior e na parte inferior e duas margens laterais de

7

cada. Determine as

dimenses externas do cartaz de modo que sua rea total seja mnima.

5. Faz-se girar um tringulo retngulo de hipotenusa em torno de um de seus catetos,gerando um cone circular reto. Determine o cone de volume mximo.

6. Determine o ponto da curva

situado a menor distncia da origem.

7. Determine o volume do maior cilindro circular reto que pode ser inscrito numa esfera deraio .

8. Deseja-se construir uma piscina de forma circular, com volume igual a

(

. Deter-mine os valores do raio

e da profundidade (altura), de modo que a piscina possa serconstruida com a menor quantidade de material possvel.

9. Determine a altura do maior cone que pode ser gerado pela rotao de um tringulo

retngulo de hipotenusa igual a

7

em torno de um dos catetos.

10. Determine o ponto do eixo dos cuja soma das distncias a

#

e

#

5

mnima.

11. Entre todos os retngulos de rea dadaa

, qual o que tem menor permetro?

12. Determine os catetos de um tringulo retngulo de rea mxima sabendo que sua hipo-tenusa .


46/48


13. Uma janela tem formato retangular com um semi-crculo no topo. Determine as dimen-ses da janela de rea mxima, se o permetro de

metros.

14. Determine a rea do maior retngulo com lados paralelos aos eixos coordenados e quepode ser inscrito na regio limitada pelas curvas

e G

.

15. Para fazer um cilindro circular reto de um retngulo de folha de ao colam-se duas bordasparalelas da folha. Para dar rigidez ao cilindro cola-se um arame de comprimento

aolongo da diagonal do retngulo. Ache a tangente do ngulo formado pela diagonal e olado no colado, de tal modo que o cilindro tenha volume mximo.

16. Um slido construido, colando um cilindro circular reto de altura e raio

a umasemi-esfera de raio

. Se a rea do slido

, determine

e para que o volume sejamximo.

17. Suponha que a resistncia de uma viga retangular dada pela frmula:

, onde

e so, respectivamente, a largura e a altura da seo da viga. Determine as dimensesda viga mais resistente que pode ser cortada de um tronco de rvore cilndrico de raio

a.

18. Uma janela tem forma de um retngulo, tendo acima um tringulo equiltero. Sabendoque o permetro da janela igual a

metros, determine as dimenses do retngulo queproporciona a rea mxima para a janela.

19. A diferena de dois nmero

G

. Determine os nmeros de modo que o produto seja omenor possvel.

20. A soma de duas vezes um nmeros e cinco vezes um segundo nmero

G

. Determineos nmeros de modo que o produto seja o maior possvel.

21. Determine as dimenses do retngulo de maior permetro que pode ser inscrito na elipse

centrada

a

)

c

;a

# c

G

.

22. Suponha que numa experincia realizada foram coletados os seguintes pares de dados:

C

#

C

#

#

# E E E E E E E E E E E E E E E E E E E #

C

#

C

#

#

, tais que os no so todos iguais.A teoria subjacente experincia sugere que os dados devem estar ao longo de uma reta

. Devido a erros experimentais, os pontos no so colineares. O problema consiste

em determinar a reta que melhor se ajusta aos dados, ou seja, consiste em determinar de modo que a soma dos desvios verticais seja mnima. O ponto sobre a reta

que

est mais prximo (distncia vertical) dos pontos dados tem coordenadas

#

; logoo quadrado da distncia vertical a estes pontos :

#

.

(a) Minimize a funo:

C

)

)E E E E E E E E

)

C

.

(b) Ache a reta que melhor se ajusta aos pontos

#

, G # G

, #

, 5

#

e

#

5

.


47/48

5.9. EXERCCIOS 237

23. Se a velocidade de uma onda de comprimento , em guas profundas, dada por:

)

#

onde

e

so constantes positivas, qual o comprimento da onda que minimiza avelocidade?

24. A taxa aerbica de uma pessoa com

anos de idade dada por:

G

#

sendo

. Em que idade a pessoa tem capacidade aerbica mxima?

25. Com um fio de comprimento

a

constroi-se um arco de crculo de modo que a rea dosegmento circular que determina seja mxima. Qual o raio?

26. Se uma droga injetada na corrente sangunea, sua concentrao minutos depois dadapor

1

(

, onde1

uma constante positiva.

(a) Em que instante ocorre a concentrao mxima?

(b) Que se pode dizer sobre a concentrao aps um longo perodo de tempo?

27. Determine o maior comprimento que deve ter uma escada para passar de um corredorde

metros de largura a outro, perpendicular, de

metros de largura?

28. Usando LHpital, calcule os seguintes limites:

(a)

C

)

)

5

(b)

B

)

(

)

(c)

B

(

(d)

(e)

7

(f)

B

)

(g)

(h)

7

(i)

B

(j)

(k)

C

(l)

(m)

(n)

(o)

)

(p)

7

7

(q)

B

(r)

B

)

(s)

)


48/48


(t)

7

(u)

B

)

5

)

(v)

B

)

(w)

5

(x)

B

(y)

7

(z)

B

)