Apostila Estatistica

APOSTILA DE ESTATSTICA

NDICE

1.0 DEFINIES DE ESTATSTICA ......................................................................... 1

1.1 POR QUE ESTUDAR ESTATSTICA?......................................................... 1

1.2 A NATUREZA DOS DADOS ........................................................................ 1

1.3 TIPOS DE DADOS ....................................................................................... 2

1.4 TIPOS DE LEVANTAMENTOS .................................................................... 3

1.5 PLANEJAMENTO DE EXPERIMENTOS ..................................................... 4 EXERCCIOS: E-1...................................................................................................... 5

2.0 AMOSTRAGEM ................................................................................................... 6

2.1 DEFINIES................................................................................................ 6

2.2 AMOSTRAGEM ALEATRIA BASEADA EM NMEROS ALEATRIOS

(RANDMICOS) ................................................................................................ 8

2.3 OUTROS PLANOS DE AMOSTRAGEM...................................................... 9

2.4 AMOSTRAGEM POR JULGAMENTO (NO PROBABILSTICA) ................ 9

2.5 AMOSTRAGEM PROBABILSTICA ........................................................... 10

2.5.1 AMOSTRAGEM SISTEMTICA............................................................... 10

2.5.2 AMOSTRAGEM ESTRATIFICADA ......................................................... 11

2.5.3 AMOSTRAGEM POR CONGLOMERADO............................................. 11

RESUMO.......................................................................................................... 11

EXERCICIOS: E-2.................................................................................................... 13

3.0 ANLISE EXPLORATRIA DE DADOS........................................................... 14

4.0 DISTRIBUIO DE FREQNCIA ................................................................... 15 5.0 REPRESENTAO GRFICA DAS VARIVEIS QUANTITATIVAS ............... 19 6.0 APRESENTAO GRFICA ............................................................................ 20

6.1 DIAGRAMA DE ORDENADAS................................................................... 20

6.2 DIAGRAMA DE BARRAS........................................................................... 21

6.3 DIAGRAMA DE CRCULOS ....................................................................... 22

6.4 DIAGRAMA DE SETORES CIRCULARES ................................................ 23

6.5 DIAGRAMA LINEAR .................................................................................. 25

6.6 O PICTOGRAMA ................................................................................................ 26

7.0 MONTAGEM DE UMA DISTRIBUIO DE FREQNCIAS ........................... 27

7.1 HISTOGRAMA E POLIGONO DAS FREQNCIAS................................. 31

7.2 HISTOGRAMA E POLIGONO DAS FREQNCIAS RELATIVAS ............ 32

7.3 POLIGONO DE FREQNCIA ACUMULADA OU OGIVA........................ 33

7.4 POLIGONO DA FREQNCIA ACUMULADA RELATIVA ........................ 34

8.0 TIPOS DE DISTRIBUIO ................................................................................ 35

8.1 DISTRIBUIO SIMTRICA OU EM FORMA DE SINO ........................... 35

8.2 DISTRIBUIO ASSIMTRICA................................................................. 36

8.3 DISTRIBUIO MODAL, AMODAL, BIMODAL E MULTIMODAL ............. 37

8.4 APRESENTAO TIPO RAMO-E-FOLHAS .............................................. 38

9.0 MEDIDAS DE POSIO OU DE TENDNCIA CENTRAL ............................... 40

9.1 MDIA ARITMTICA SIMPLES ................................................................. 40

9.2 MDIA ARITMTICA PONDERADA.......................................................... 41

9.3 MEDIANA (x) .............................................................................................. 41

9.4 MODA ( x ) ............................................................................................... 43 10.0 MEDIDAS DE VARIABILIDADE (DISPERSO).............................................. 44

10.1 AMPLITUDE TOTAL (R.T.) ...................................................................... 44

10.2 DESVIO PADRO.................................................................................... 45

10.2.1 DESVIO PADRO AMOSTRAL (S) ....................................................... 45

10.2.2 DESVIO PADRO DA POPULAO () ............................................... 46

10.2.3 REPRESENTAO GRFICA DO DESVIO PADRO.......................... 46

10.2.4 SISTEMATIZAO PARA O CLCULO................................................ 47

10.3 VARINCIA .............................................................................................. 48

11.0 DISTRIBUIO NORMAL .............................................................................. 49 EXERCCIOS: E-3.................................................................................................... 55

12.0 PROBABILIDADE............................................................................................ 56

12.1 ESPAO AMOSTRAL E EVENTOS......................................................... 57 12.2 TRS ORIGENS DA PROBABILIDADE................................................... 58

12.3 A MATEMTICA DA PROBABILIDADE ................................................... 59

EXERCCIOS: E-4.................................................................................................... 62

13.0 TECNICAS DE CONTAGEM ........................................................................... 63

13.1 O PRINCIPIO DA MULTIPLICAO........................................................ 64 13.2 PERMUTAO, ARRANJO E COMBINAO. ....................................... 65 13.3 REGRAS DE CONTAGEM....................................................................... 68

EXERCCIOS: E-5.................................................................................................... 69

14.0 DISTRIBUIO DE PROBABILIDADES......................................................... 70

14.1 DISTRIBUIO BINOMIAL ...................................................................... 72

EXERCICIOS: E-6.................................................................................................... 76

14.2 DISTRIBUIO DE POISSON......................................................................... 77 EXERCICIOS: E-7.................................................................................................... 79

15.0 CORRELAO................................................................................................ 80

15.1 INTRODUO ......................................................................................... 80

15.2 RELAO FUNCIONAL E RELAO ESTATSTICA ............................. 80 15.3 DIAGRAMA DE DISPERSO................................................................... 81 15.4 CORRELAO LINEAR.......................................................................... 82

15.5 COEFICIENTE DE CORRELAO LINEAR........................................... 85

15.6 CUDADOS COM OS ERROS COM A INTERPLETAO DE CORRELAO ................................................................................................ 87

EXERCICIOS: E-8.................................................................................................... 88

16.0 REGRESSO LINEAR .................................................................................... 91

16.1 AJUSTAMENTO DE CURVAS ................................................................. 91

16.2 MTODO DOS MNIMOS QUADRADOS ................................................ 92

16.3 ANLISE DE REGRESSO..................................................................... 95

EXERCCIOS E-9......................................................................................................98

1

ESTATSTICA

1.0 DEFINIES DE ESTATSTICA

Etimologicamente a palavra estatstica vem de status expresso latina que

significa, sensu lato, o estudo do estado. Os primeiros a empregarem esse termo

foram os Alemes seguidos pela Itlia, Frana, Inglaterra e ainda por outros paises.

Para Levasseur a estatstica : O estudo numrico dos fatos sociais.

Yule define estatstica como: Dados quantitativos afetados marcadamente por uma

multiplicidade de causas.

Uma definio mais usual nos dias de hoje seria: Um mtodo cientifico que permite

a anlise, em bases probabilstica, de dados coligados e condensados

Ou ainda podemos dizer que : A coleta, o processamento, a interpretao e a

apresentao de dados numricos que pertencem ao domnio da estatstica

1.1 POR QUE ESTUDAR ESTATSTICA?

Por hora podemos dizer que o raciocnio estatstico largamente utilizado no

governo e na administrao; assim, possvel que, no futuro, um empregador venha

a contratar ou promover um profissional por causa do seu conhecimento de

estatstica.

1.2 A NATUREZA DOS DADOS

O dados estatsticos constituem a matria prima das pesquisas estatsticas, eles

surgem quando se fazem mensuraes ou se restringem observaes.

Estatstica descritiva: Trata-se da descrio e resumo dos dados.

2

Probabilidade: um estudo que envolve o acaso.

Interferncia: a analise e interpretao de dados amostrais (Amostragem).

Modelo: So verses simplificadas (Abstraes) de algum problema ou situao

real.

1.3 TIPOS DE DADOS

Quantitativos Contnuos

Discretos

Qualitativos Nominais

Por postos

As variveis contnuas podem assumir qualquer valor num intervalo contnuo. Os

dados referentes a tais variveis dizem-se dados contnuos. Ex. Peso, comprimento,

espessura onde usa-se a mensurao.

As variveis discretas assumem valores inteiros de dados discretos so os

resultados da contagem de nmeros de itens. Ex. alunos da sala de aula, nmero de

defeitos num carro novo, acidentes de uma fbrica.

Os dados nominais surgem quando se definem categorias e se conta o nmero de

observaes pertencentes a cada categoria. Ex.: atuam dentro das variveis

Qualitativas as quais devemos associar a valores numricos para que possamos

processar estatisticamente. Ex.: cor dos olhos (azuis, verdes, castanhos), sexo

(masculino e feminino), desempenho (excelente, bom, sofrvel, mau) etc.

Os dados por postos consistem de valores relativos atribudos para denotar ordem:

primeiro, segundo, terceiro, quarto, etc. Ex.: concurso de beleza se classificam em

1,2,3 colocadas.

3

TABELA: 1 A mesma populao pode originar diferentes tipos de dados.

TIPOS DE DADOS

POPULAES CONTNUOS DISCRETOS NOMINAIS POR POSTO

Alunos de administrao idade/peso N. De classes Homens/Mulheres 3 grau

1.4 TIPOS DE LEVANTAMENTOS

Os levantamentos podem ser classificados em contnuos, peridicos e ocasionais:

CONTNUO: Quando os eventos vo sendo registrados medida que

ocorrem.Exemplos os registros civis dos fatos vitais (nascimento, bitos e

casamentos).

PERIDICOS: Acontecem ciclicamente. Exemplo o rescenceamento, feito no

Brasil a cada dez anos.

OCASIONAIS: So aqueles realizados sem a preocupao de continuidade ou

periodicidade preestabelecidas, exemplos a maioria dos trabalhos de investigao

cientifica.

DADOS PRIMRIOS: Quando o investigador no encontra dados publicados

adequados ao seu estudo, parte para a realizao de um inqurito, isto , os dados

so levantados diretamente na populao no momento da investigao.

DADOS SECUNDRIOS: Quando o investigador para verificar as sua hipteses de

trabalho utiliza- se de dados j existentes, arquivados, registrados ou publicados.

Podem ser at mesmo dados gerados pelo Departamento de Estatsticas de

Populaes da Fundao Instituto Brasileiro de Geografia e Estatstica (IBGE).

4

1.5 PLANEJAMENTO DE EXPERIMENTOS

1. Definio do problema: Um Estudo ou Uma Anlise

2. Formular plano para coleta de dados adequados

3. Coligir os dados

4. Analisar e interpretar os dados

5. Relatar as concluses

5

EXERCCIOS: E-1

1- Identifique os seguintes exemplos em termos de tipos de dados:

a- 17 gramas

b- 3 certos, 2 errados

c- 25 segundos

d- 25 alunos na classe

e- tamanho de camisa

f- Km/litro

g- O mais aprazvel

h- O mais lento

i- 5 acidentes no ms de maio

2- Responder as perguntas:

a- Defina o termo Estatstica.

b- Responder a pergunta: Por que estudar estatstica?

c- Dar exemplos de como um administrador pode se beneficiar do conhecimento

de Estatstica?

6

2.0 AMOSTRAGEM

AMOSTRAGEM VERSUS SENSO: Uma amostra usualmente envolve o estudo de uma parcela dos tens de uma populao, enquanto que o censo requer o estudo de todos os tens.

Restries ao Censo:

- Custo

- Populaes infinitas

- Dificuldade nos critrios (Preciso)

- Produtos de testes Destrutivos (fsforos, munies)

- Tempo despendido (atualizao)

- Tipos de informaes mais restritivas

Casos de excesso:

- Populaes pequenas

- Amostras grandes em relao a populao

- Se exige preciso completa

- Se j so disponveis informaes completas

2.1 DEFINIES

POPULAO: o conjunto de indivduos (ou objetos), que tem pelo menos uma

varivel comum observvel.

AMOSTRA: qualquer sub-conjunto da populao extrada para se realizar estudos

estatsticos

.

POPULAO

AMOSTRA

7

A estatstica indutiva a cincia que busca tirar concluses probabilsticas

sobre a populao, com base em resultados verificados em amostras retiradas

dessa populao.

Entretanto no basta que saibamos descrever convenientemente os dados da amostra para que possamos executar, com xito, um trabalho estatstico

completo. Antes de tudo preciso garantir que a amostra ou amostras que sero utilizadas sejam obtidas por processos adequados. - O que necessrio garantir, em suma, que a amostra seja Representativa da

populao.

Dois aspectos nas amostras so fundamentais, e que do a sua representatividade

em termos:

- Qualitativos: Amostras que representem todas as sub-populaes, quando for o

caso.

- Quantitativos: Que possua quantidade de dados suficientes para representar a

Populao.

Na indstria onde amostras so freqentemente retiradas para efeito de Controle da

Qualidade dos produtos e materiais, em geral os problemas de amostragem so

mais simples de resolver.

Por outro lado, em pesquisas sociais, econmicas ou de opinio, a

complexibilidade dos problemas de amostragem so normalmente bastante grandes.

- Interferncia estatstica envolve a formulao de certos julgamentos sobre um

todo aps examinar apenas uma parte, ou a amostra, dele.

A probabilidade e a amostragem esto estreitamente correlacionadas e juntas

formam o fundamento da teoria de interferncia.

- Amostragem o ato de retirar amostra, isto , a ao.

8

- Amostra a quantidade de dados especificado para representar a populao.

Amostragem aleatria permite estimar o valor do erro possvel, isto , dizer quo prxima est amostra da populao, em termos de representatividade.

Amostragem no aleatria no apresenta esta caracterstica.

H vrios mtodos para extrair uma amostra talvez o mais importante seja a

amostragem aleatria de modo geral, a amostragem aleatria exige que cada elemento tenha a mesma oportunidade de ser includo na amostra.

Nas Populaes discretas uma amostra aleatria aquela em que cada item da populao tem a mesma chance de ser includo na amostra. Nas Populaes contnuas, uma amostra aleatria aquela em que a probabilidade de incluir na amostra qualquer intervalo de valores igual percentagem da populao que est naquele intervalo.

Populaes finitas: quando, temos constitudo por nmeros finitos, ou fixos de

elementos, medidas ou observaes.

Ex.: Peso bruto de 3000 latas de tinta de um certo lote de produo.

Populaes infinitas: so aquelas que contm, pelo menos hipoteticamente, um nmero infinito de elementos.

Ex. Produo de carros V.W. produzidos no Brasil e a serem produzidos (universo

volkswagem), processo probabilstico.

2.2 AMOSTRAGEM ALEATRIA BASEADA EM NMEROS ALEATRIOS (RANDMICOS)

As tabelas de nmeros aleatrios contm os dez algarismos 0,1,2,3,4,......,9. Esses

nmeros podem ser lidos isoladamente ou em grupos; podem ser lidos em qualquer

ordem. A probabilidade de qualquer algarismo aparecer em qualquer ponto 1/10.

Portanto todas as combinaes so igualmente provveis.

9

Conceitualmente, poderamos construir uma tabela de nmeros aleatrios

numerando dez bolinhas com os algarismos de 0 a 9 , colocando-as numa urna,

misturando bem e extraindo uma de cada vez, com reposio, anotando os valores

obtidos.

A titulo de ilustrao poderamos querer selecionar aleatoriamente 15 clientes de

uma lista de 830 de um grande magazine, a finalidade poderia ser :

Estimar a freqncia de compras; Determinar o valor mdio de cada compra; Registrar as queixas contra o sistema.

2.3 OUTROS PLANOS DE AMOSTRAGEM

Amostragem probabilstica versus Amostragem no probabilstica

Os planos de amostragem probabilstica so delineados de tal modo que se

conhece a probabilidade de todas as combinaes amostrais possveis. Em razo

disso, pode-se determinar a quantidade de varivel amostral numa amostra

aleatria e uma estimativa do erro amostral. A amostragem aleatria um exemplo da amostragem probabilstica.

A amostragem no probabilstica a amostragem subjetiva, ou por julgamento,

onde a variabilidade amostral no pode ser estabelecida com preciso,

conseqentemente, no possvel nenhuma estimativa do erro amostral.

A verdade que, sempre que possvel, deve-se usar a amostragem probabilstica.

2.4 AMOSTRAGEM POR JULGAMENTO (NO PROBABILSTICA)

Se o tamanho da amostra bem pequeno; digamos, de uns 5 itens, a amostragem aleatria pode dar resultados totalmente no representativos, ao passo que uma

pessoa familiarizada com a populao pode especificar quais os itens mais

representativos da populao.

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Exemplo: Uma equipe mdica deve trabalhar com pacientes que se apresentem

com voluntrios para testar um novo medicamento. Nenhum desses grupos podem

ser considerados como uma amostra aleatria do pblico em geral, e seria perigoso tentar tirar concluses gerais com base em tal estudo. Todavia, os resultados poderiam proporcionar uma base para a elaborao de um plano de amostragem aleatrio para validar os resultados bsicos. Os perigos inerentes

pesquisa mdica , bem como outro tipo de pesquisa, freqentemente obrigam a

limitar a pesquisa inicial a um pequeno grupo de voluntrios.

Exemplo: A aplicao de hormnios em mulheres na menopausa, aps um perodo

de tempo notou-se o aumento das chances de adquirirem cncer de mama, doenas

cardacas etc.

2.5 AMOSTRAGEM PROBABILSTICA

SISTEMTICA

ESTRATIFICADA

CONGLOMERADO

2.5.1 AMOSTRAGEM SISTEMTICA

muito parecida com a amostragem aleatria simples. Podemos ter uma

amostragem realmente aleatria, escolhendo-se cada K-sima amostra, onde K

obtem-se dividindo o tamanho da populao pelo tamanho da amostra.

K= N onde: N= Tamanho da Populao

n n= Tamanho da Amostra

EX. N= 200 e n=10 ento K=200/10 = 20

Significa que ser escolhido um item a cada seqncia de 20 de uma lista. Para

iniciar pode-se usar uma tabela de nmeros aleatrios de 0 a 9 para iniciar os

grupos. Por exemplo se der o 9, escolhemos o 9, 29, 39 ,49 , etc.

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2.5.2 AMOSTRAGEM ESTRATIFICADA

Pressupe a diviso da populao em sub-grupos Homogneos (Estratos),

procedendo ento a amostragem de cada sub-grupo. Ex.: Para se fazer o inventrio

do estoque, comum termos 10% dos itens representarem cerca de 60% do valor total em quanto que os 90% restantes representam s 40% do valor total (Curva

A,B,C; Pareto; regra 80/20).

2.5.3 AMOSTRAGEM POR CONGLOMERADO

Pressupe a disposio dos itens de uma populao em sub-grupos heterogneos

(sub-populaes) representativos da populao global. Neste caso cada

conglomerado pode ser encarado como uma minipopulao.

Ex.: Estudo pr-eleitoral para medir a preferncia dos eleitores. (Sub-grupos: sexo,

educao, faixa etria, poder aquisitivo, regio da habitao,etc).

RESUMO

A finalidade da amostra permitir fazer interferncia sobre a populao aps inspeo de apenas parte dela. Fatores com custo, ensaios destrutivos e

populaes infinitas, tornam a amostragem prefervel a um estudo completo (Censo) da populao.

Naturalmente espera-se que a amostra seja representativa da populao da qual foi

extrada.

Potencialmente, este objetivo atingido quando a amostragem aleatria.

Para populaes discretas o termo Aleatrio significa que cada item da

populao tem a mesma chance de participar na amostra.

No caso de populaes contnuas, significa que a probabilidade de incluir qualquer

valor de um dado intervalo de valores igual proporo com valores naquele

intervalo.

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As amostras aleatrias podem ser obtidas:

- Atravs de um processo de mistura, com o embaralhamento de cartas;

- Pela utilizao de um processo mecnico (Misturadores);

- Utilizando-se uma tabela de nmeros aleatrios para proceder seleo de uma

lista.

Em certas condies, podem ser mais eficientes variantes da amostragem aleatria

simples, tais como amostragem sistemtica (peridica), estratificada (sub-grupos Homogneos), ou amostragem por aglomerados (sub-grupos convenientes e

heterogneos).

A principal vantagem da amostragem aleatria que se pode determinar o grau de

variabilidade amostral, o que essencial na interferncia estatstica. amostragem no probabilstica falta esta caracterstica.

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EXERCICIOS: E-2

QUESTES PARA RECAPITULAO

1- Em que circunstncia a amostragem prefervel a um censo completo?

2- Quando se deve preferir um censo a uma amostragem?

3- Defina Amostra Aleatria.

4- Descreva os vrios mtodos de obteno de uma amostra aleatria. Como

escolher o mtodo a ser usado em determinada situao?

5- Explique rapidamente as caractersticas:

a. da amostragem por conglomerado;

b. da amostragem estratificada;

c. da amostragem sistemtica.

7- Que amostragem por julgamento e em que circunstncia deve ser usada?

8- Que amostragem probabilstica e quando deve ser usada?

9- Explique o significado de Amostra Aleatria quando a populao :

a. contnua b. Discreta

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3.0 ANLISE EXPLORATRIA DE DADOS

Em alguma fase de seu trabalho, o pesquisador se v s voltas com o problema de

analisar e entender uma massa de dados, relevantes ao seu particular objeto de

estudos.

De modo geral, podemos dizer que a essncia da cincia a observao e que seu

objetivo bsico a interferncia. Esta parte da metodologia da cincia que tem

por objetivos a coleta, reduo, anlise e modelagem dos dados, a partir do que,

finalmente, faz-se a interferncia para uma populao, da qual os dados

(amostras) foram obtidos.

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4.0 DISTRIBUIO DE FREQNCIA

Para cada tipo de varivel existem tcnicas mais apropriadas para resumir as

informaes. Porem podemos usar algumas tcnicas empregadas num caso,

podemos adapt-las para outros. Quando se estuda uma varivel, o maior interesse do pesquisador conhecer a

distribuio dessa varivel atravs das possveis realizaes (valores) da mesma.

Exemplo 1: Dados relativos a uma amostra de 36 funcionrios de uma populao de 2000 funcionrios da empresa Milsa. Ver resultados anotados na tabela abaixo.

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TABELA 1

N ESTADO GRAU DE N DE SALRIO IDADE REGIO DE

CIVIL INSTRUO FILHOS (X SAL. MIN) ANOS MESES PROCEDNCIA

1 solteiro 1 grau --- 4 26 03 interior

2 casado 1 grau 1 4,56 32 10 capital


4 solteiro 2 grau --- 5,73 20 10 outro


6 casado 1 grau 0 6,66 28 00 interior

7 solteiro 1 grau --- 6,86 41 00 interior

8 solteiro 1 grau --- 7,39 43 04 capital






14 casado 1 grau 3 8,95 44 02 outro





19 solteiro superior --- 10,53 25 08 interior

20 solteiro 2 grau --- 10,76 37 04 interior



23 solteiro 1 grau --- 12,OO 41 00 outro

24 casado superior 0 12,79 26 01 outro







31 solteiro superior --- 16,22 31 05 outro


33 casado superior 3 17,26 43 07 capital

34 solteiro superior --- 18,75 33 07 capital

35 casado 2 grau 2 19,4O 48 11 capital

36 casado superior 3 23,3O 42 02 interior

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Exemplo 2: Freqncia e percentagem da amostra de 36 empregados da

empresa Milsa segundo o grau de instruo.

TABELA 2

Exemplo 3: Freqncia e percentagem dos 2000 empregados (Populao) da

empresa Milsa (Censo x Probabilidade)

TABELA 3

Exemplo 4: Freqncia e percentagens dos 36 empregados (Amostra) da empresa

Milsa.

GRAU DE TABULAO FRQNCIA FREQ. RELATIVA

INSTRUO F FR %

1 grau I I I I I I I I I I I I 12 33,33

2 grau I I I I I I I I I I I I I I I I I I 18 50,OO

superior I I I I I I 6 16,67

TOTAL 36 100

GRAU DE FRQNCIA FREQ. RELATIVA FREQ. RELATIVA

INSTRUO F FR % Censo FR % Provvel

1 grau 650 32,50 33,33

2 grau 1020 51,00 50,OO

superior 330 15,50 16,67

TOTAL 2000 100 100

18

TABELA 4

CLASSE DE SALRIOS FRQNCIA FREQ. RELATIVA

F FR %

4 I------- 8 10 27,78

8 I------- 12 12 33,33

12 I------- 16 8 22.22

16 I------- 20 5 13,89

20 I------- 24 1 2,78

TOTAL 36 100

Exemplo 5: Freqncias e percentagem dos empregados da empresa Milsa,

segundo N de filhos.

TABELA 5 NMERO DE FILHOS FREQNCIA FREQ. RELATIVA

Xi F FR %

0 4 20

1 5 25

2 7 35

3 3 15

5 1 5

TOTAL 20 100

EXERCCIO - Representar a distribuicao de frequencia para Idade e a Regiao de

procedencia dos funcionarios da Empresa Milsa.

19

5.0 REPRESENTAO GRFICA DAS VARIVEIS

QUANTITATIVAS

A representao grfica da distribuio de freqncias de uma varivel tem a

vantagem de, rpida e concisamente, informar sobre a variabilidade da mesma.

Podemos optar por vrios tipos de grficos, porem qualquer que seja ele, devemos

especificar os elementos essenciais para a sua interpretao, que so:

- o ttulo;

- o corpo;

- o cabeario;

- as colunas indicadoras.

TTULO a indicao que, precedendo a tabela, colocado na parte superior da mesma. Deve ser preciso, claro e conciso, indicando a natureza dos fatos estudados

(o que), e a poca (quando) em que o mesmo foi observado.

CORPO da tabela o conjunto de linhas e colunas que contem respectivamente, as sries Horizontais e verticais de informaes. Casa, cela ou clula o

cruzamento de uma linha com uma coluna, onde se tem a freqncia com que a

categoria (ou categorias) aparecem.

CABEARIO parte da tabela em que designada a natureza (as categorias, as modalidades da varivel) do contedo de cada coluna.

COLUNA INDICADORA parte da tabela em que designada a natureza (as categorias, as modalidades da varivel) do contedo de cada linha.

Os elementos complementares de uma tabela so:

- Fontes;

- Notas.

FONTE o indicativo, no rodap da tabela, da entidade responsvel pela sua organizao ou fornecedora dos dados primrios. A razo da presena da fonte no

somente honestidade cientifica, mas tambm permitir ao leitor a possibilidade de

consultar o trabalho original de onde procedem as informaes.

NOTAS so colocadas no rodap da tabela para esclarecimentos de ordem geral. E so numeradas, podendo-se tambm usar smbolos grficos, sendo comum o

asterisco.

20

6.0 APRESENTAO GRFICA

A apresentao grfica dos dados e respectivos resultados de sua anlise pode

tambm ser feita sob forma de figuras, em geral grficos ou diagramas.

Grficos devem ser auto-explicativos e de fcil compreenso, de preferncia sem

comentrios inseridos.Devem ser simples, atrair a ateno do leitor e inspirar

confiana.

6.1 DIAGRAMA DE ORDENADAS Para sua construo traada uma reta horizontal (ou vertical) de sustentao; a

partir de pontos eqidistantes na reta, traa-se perpendiculares cujos

comprimentos sejam proporcionais s freqncias.

freqncias

12

10

8

6

4

2

0

4 I------- 8 8 I-------12 12 I-------16 16 I-------20 20 I-------24 Salrios

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6.2 DIAGRAMA DE BARRAS

A mesma distribuio acima poderia ser representada por meio de diagrama que

levasse em conta a magnitude da rea da figura geomtrica, j que a vista repousa melhor sobre uma superfcie do que sobre uma linha.

freqncias

12

10

8

6

4

2

0

4 I-------8 8 I-------12 12 I-------16 16 I------- 20 20 I-------24

Salrios

22

6.3 DIAGRAMA DE CRCULOS

Alem do retngulo, outra figura geomtrica utilizada o crculo ou conjunto de

crculos. Lembrando que a rea do crculo o produto do nmero irracional =

(3,1416) pelo quadrado do raio (r), isto , C= .r , e desde que as reas dos

diversos crculos devem ser proporcionais s magnitudes das freqncias, isto , C

= . f onde o fator de proporcionalidade, segue-se que:

. f = . r , ou seja, r = .f Se chamar de `, tem-se :

portanto, os raios dos crculos devem ser proporcionais a raiz quadrada das

freqncias das modalidades da varivel.

Assim se quisermos representar graficamente a distribuio da tabela 1.4, os raios

do crculo devero ser:

r1 = 27,78 . `= 5,27 . ` 5,27. 3 = 15.8 mm

r2 = 33,33 . `= 5.77 . ` 5,77. 3 = 17,3 mm

r3 = 22.22. `= 4,71. ` 4,71. 3 = 14,1 mm

r4 = 13,89 . `= 3.72. ` 3,72. 3 = 11,1 mm

r5 = 2,78 . ` = 1,66 ` 1,66. 3 = 5,00 mm

A figura abaixo representa esta distribuio, com um ` adotado de 3 mm.

2,7%

22,22

%

27,78

%

33,33

% 13,89

%

r = `. f

23

6.4 DIAGRAMA DE SETORES CIRCULARES

Outra opo seria atravs de setores circulares, na qual se divide a rea total de um

crculo em subreas (setores) proporcionais as freqncias.

Lembrando que o crculo compreende setores cujas reas (S) so produto do raio (r) pelo tamanho do arco (a), isto , S = r.a, e com S deve ser proporcional a freqncia f, tem-se S= .f , onde o fator de proporcionalidade; ento:

.f = r. a

a = . f

r

Se chamarmos de `, tem-se S = `. f , isto , os arcos e os respectivos

r ngulos centrais de um crculo igual a 360, e sendo F a freqncia total, tem-se

360 = `. F

ou seja: `= 360 Portanto a = 360. f

F F

Assim, a distribuio de freqncia da tabela 4 representando faixas de salrios fica:

a1 = 360 x 27,78 = 100 100

a2 = 360 x 33,33 = 120 100

a3 = 360 x 22,22 = 80 100

a4 = 360 x 13,89 = 50 100

S5 = 360 x 2,78 = 10 100

24

Diagrama de Setores Circular

.

Diagrama de Setores Circular feito automaticamente pelo excel

28%

33%

22%

14%3%

120 50 100 80

10

25

6.5 DIAGRAMA LINEAR

No diagrama linear deve-se plotar os pontos nos eixos como foi feito no diagrama de barras e em seguida unir esses pontos por semi-retas contituindo-se desta forma o

diagrama linear.

freqncias

12

x

10 x x

8

6 x

4

2 x

0

4 I-------8 8 I-------12 2 12 I-------16 16 I------- 20 20 I------- 24 salrios

26

6.6 O PICTOGRAMA A figura abaixo mostra um exemplo de apresentao pictogrfica de dados temporais

(comumente encontrada em jornais, revistas e relatrios de vrios tipos), no caso abaixo

representa a populao dos Estados Unidos.

1920

1930

1940

1950

1960

1970

1980

1990

Cada smbolo = 10 milhes de pessoas Pictograma da populao dos Estados Unidos

27

7.0 MONTAGEM DE UMA DISTRIBUIO DE FREQNCIAS

A anlise estatstica de dados relativos a uma amostra de uma populao, requer uma

aglutinao organizada de informaes, conforme regras cuja prtica demonstrou serem

eficientes.

Consideremos uma relao de pesos de pacotes de manteiga, em gramas, de uma amostra de 100 pacotes extrados parcialmente de um processo automtico de

empacotamento.

A especificao de fabricao 215 15 gramas (200 a 230 gramas)

TABELA 6

AMOSTRA PESO AMOSTRA PESO AMOSTRA PESO AMOSTRA PESO AMOSTRA PESO

1 207 21 220 41 210 61 210 81 217

2 213 22 204 42 214 62 220 82 211

3 210 23 213 43 219 63 213 83 213

4 215 24 211 44 215 64 217 84 218

5 201 25 214 45 217 65 214 85 213

6 210 26 217 46 213 66 219 86 216

7 212 27 224 47 218 67 214 87 218

8 204 28 211 48 214 68 215 88 216

9 209 29 220 49 215 69 223 89 206

10 212 30 209 50 212 70 217 90 212

11 215 31 214 51 221 71 213 91 207

12 216 32 208 52 211 72 218 92 213

13 221 33 217 53 218 73 207 93 215

14 219 34 214 54 205 74 210 94 212

15 222 35 209 55 220 75 208 95 223

16 225 36 212 56 203 76 214 96 210

17 215 37 208 57 216 77 211 97 226

18 218 38 215 58 222 78 205 98 224

19 213 39 211 59 206 79 215 99 214

20 216 40 216 60 221 80 207 100 215

O agrupamento destes dados em sub-grupos feito com base nos seguintes conceitos:

28

Amplitude total (R.T.): a diferena entre a medida mxima e a medida mnima. No

caso da amostra de pacotes de manteiga acima, temos:

R.T. = 226 201 = 25 gramas

Nmero de classes (d) : o nmero de divises que estipulamos para a Amplitude Total.

Normalmente pode-se usar d = n onde n= nmero de itens na amostra para o

exerccio temos d = 100 10 classes, porem deve-se utilizar sempre que possvel

nmero impar de classes no caso 9 classes.

Classe: o intervalo de variao das medidas. Amplitude do intervalo de classe (R.I.): a diferena entre os valores mximos e

mnimos de cada classe.

Amplitude intervalo de cada classe R.I . = R.T

Nmero de Classes

No caso do exerccio temos:

Amplitude intervalo de cada classe R.I . = 25 = 2,7 aprox. 3

7

RI adotado = 3 RT adotado = 27 diferenca 2 comeca uma antes do menor e termina

um antes do maior valor.

As classes devem ser mutuamente exclusivas, para que no haja duvida na localizao

dos valores das variveis, podemos dai utilizar as seguintes simbologias para os

intervalos:

0 ----I 10 intervalo aberto & fechado, para significar que o intervalo compreende os

valores da varivel maiores do que 0 (excludo) e at 10 (inclusive);

0 I---- 10 intervalo fechado & aberto, para significar que compreende os valores da

varivel a partir de 0 (inclusive) e at 10 (exclusive);

0 ----- 10 Intervalo aberto & aberto, para significar que compreende valores maiores do

que 0 e menores do que 10.

29

0 I----I 10 intervalo fechado & fechado, para significar que compreende os valores da

varivel a partir de 0 (inclusive) e at 10 (inclusive).

TABELA de DISTRIBUIO das FREQNCIAS Para a facilidade e metodizao do processo de anlise estatstica, monta-se um tabela

que agrupe as informaes obtidas, de forma de Tabela de Freqncias. Para os pacotes

em pauta, teremos a seguinte tabela de freqncias:

TABELA 7

VALOR COMPRIMENTO FREQ. FREQUENCIA FREQUENCIA FREQUENCIA

CLASSE CLASSE TABULAO F RELATIVA % ACUM. ACUM. REL.%

1 200 ---I 203 I I 2 2 2 2

2 203 ---I 206 I I I I I I 6 6 8 8

3 206 ---I 209 I I I I I I I I I I 10 10 18 18

4 209 ---I 212 I I I I I I I I I I I I I I I I I I 18 18 36 36

5 212 ---I 215 I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I 28 28 64 64

6 215 ---I 218 I I I I I I I I I I I I I I I I I I 18 18 82 82

7 218 ---I 221 I I I I I I I I I I 10 10 92 92

8 221 ---I 224 I I I I I I 6 6 98 98

9 224 ---I 227 I I 2 2 100 100

100 100%

30

Onde:

Freqncia (F) = o numero de vezes que as medidas ocorrem no intervalo de classes

Freqncia relativa (FR) = a percentagem da freqncia de cada classe em relao ao

total de elementos.

FR = F d x 100

N

Freqncia acumulada (FA) = a soma das freqncias at o intervalo de classe

considerado.

Ex. Fa5 = F1+ F2 + F3 + F3 + F5 2+ 6+ 10+ 18+ 28 = 64

Freqncia acumulada relativa (FAR) = a soma das freqncias relativas at o

intervalo considerado

Far3 = Fr1 + Fr2 + Fr3 2 + 6 + 10 = 18

31

7.1 HISTOGRAMA E POLIGONO DAS FREQNCIAS freqncias

28

21

14

7

1 2 3 4 5 6 7 8 9 CLASSES

POLIGONO DE FREQNCIAS

32

7.2 HISTOGRAMA E POLIGONO DAS FREQNCIAS RELATIVAS

%

28%

21%

14%

7%

0

1 2 3 4 5 6 7 8 9 CLASSES

POLIGONO DE FREQNCIA RELATIVA

33

7.3 POLIGONO DE FREQNCIA ACUMULADA OU OGIVA

F.AC.

100

80

60

40

20

01 2 3 4 5 6 7 8 9 CLASSES

POLIGONO DE FREQNCIAS ACUMULADA

34

7.4 POLIGONO DA FREQNCIA ACUMULADA RELATIVA

%

F.AC REL.

100 %

80 %

60 %

40 %

20 %

0 %1 2 3 4 5 6 7 8 9 CLASSES

POLIGONO DE FREQNCIAS ACUMULADA RELATIVA

35

8.0 TIPOS DE DISTRIBUIO

As distribuies de freqncia podem se apresentar de diversas formas conforme as

figuras a seguir:

8.1 DISTRIBUIO SIMTRICA OU EM FORMA DE SINO A distribuio simtrica quando os valores se distribuem igualmente em torno da mdia

(X)

A) Normal

B) Alongada

36

C) Achatada

8.2 DISTRIBUIO ASSIMTRICA

aquela em que as freqncias dos valores medidos, se distribuem de forma desigual

em torno da mdia.

A) Assimtrica Positiva

37

B) Assimtrica Negativa

8.3 DISTRIBUIO MODAL, AMODAL, BIMODAL E MULTIMODAL

Chamamos de moda numa distribuio, ao valor da medida ou classe que corresponde

freqncia mxima. Sob o critrio da moda as distribuies classificam-se em:

A) DISTRIBUIO MODAL Quando a distribuio tem freqncia mxima ela

denominada modal.

mo

B) DISTRIBUIO AMODAL Quando a distribuio no tem moda

38

C) DISTRIBUIO BIMODAL Quando a distribuio tem duas modas.

mo mo

D) DISTRIBUIO MULTIMODAL Quando a distribuio tem mais de duas modas

mo mo mo 8.4 APRESENTAO TIPO RAMO-E-FOLHAS

Uma alternativa para o uso da tabela de distribuio de freqncias usar o grfico do

tipo ramo-e-folhas.

Podermos estudar a partir de um exemplo prtico:

Observamos os seguintes nmeros de passageiros em 50 viagens de um avio que faz

ponte area Rio - So Paulo:

39

61 52 64 84 35 57 58 95 82 64

50 53 103 40 62 77 78 66 60 41

58 92 51 64 71 75 89 37 54 67

59 79 80 73 49 71 97 62 68 53

43 80 75 70 45 91 50 64 56 86

SOLUO: F F.A.

3 5 7 2 2

4 0 1 3 5 9 5 7

5 0 0 1 2 3 3 4 6 7 8 8 9 12 19

6 0 1 2 2 4 4 4 4 6 7 8 11 30

7 0 1 1 3 5 5 7 8 9 9 39

8 0 0 2 4 6 9 6 45

9 1 2 5 7 4 49

10 3 1 50

A MEDIANA NESTE CASO SER X = 64

40

9.0 MEDIDAS DE POSIO OU DE TENDNCIA CENTRAL

Como o prprio nome indica, a medida de tendncia central visa a determinar o centro da

distribuio. Esta determinao, porem, no bem definida da parece razovel

chamarmos de tendncia central.

So medidas de tendncia central:

MDIA ARITMTICA SIMPLES/PONDERADA;

MEDIANA;

MODA.

9.1 MDIA ARITMTICA SIMPLES Dada uma distribuio de freqncias, chama-se de mdia aritmtica desta destituio, e

representa-se por a soma de todos os valores da varivel, dividida pelo nmero de

variveis n.

= x

n n

Sendo: x i= 1

Exemplo: Calcular a mdia aritmtica simples de 8, 3, 5, 12, 10.

= 8 + 3 + 5 + 12 + 10 = 38 = 7,6

5 5

41

9.2 MDIA ARITMTICA PONDERADA

K xi .fi i= 1 = K x fi i= 1

onde: f = freqncia dos nmeros x = nmeros Exemplo: Calcular a mdia ponderada dos nmeros 5, 8, 6, 2 os quais ocorrem com as

freqncias 3, 2, 4 e 1, respectivamente

Nmeros x = 5, 8, 6, 2 Freqncias f = 3, 4, 2, 1

= 3x5 + 4x8 + 2x6 + 1x2 = 57 = 5,7

3+4+2+1 10

9.3 MEDIANA (x)

Se ordenarmos uma seqncia de nmeros do menor para o maior e se a quantidade desses nmeros for impar, ento a mediana ser o valor do meio, ou a mdia dos dois

valores do meio caso a quantidade de nmeros seja par.

O smbolo que usamos para representar a mediana x l-se x til. No caso de calculo da mediana quando estamos trabalhando com distribuio de

freqncia determinamos o valor mais provvel dessa distribuio a partir de:

x = Freqncia acumulada total = FA (para nmeros pares)

2 2

42

Ou ainda A posio DA MEDIANA definida por { n+1 } -simo elemento quando n

2

mpar temos um nmero inteiro e d a posio da mediana;

Exemplo: Determine a posio da mediana para a) n=15 b) n=45 c)n=88

a) n+1 = 15+1 = 8, e a mediana o valor do 8 elemento;

2 2

b) n+1 = 45+1 = 23, e a mediana o valor do 23 elemento;

2 2

c) n = 88 = 44 e a mediana o valor correspondente ao valor do 44elemento.

2 2

No caso do exerccio da distribuio dos 100 valores de peso de pacotes de manteiga

temos:

X = n = 100 = 50, e a mediana o valor do 50 elemento

2 2

FA 0 2 8 18 36 64 82 92 98 100X 200 203 206 209 212 215 218 221 224 227

50

(64 36) (215 212)

(64 50)

36 64

212 215

50 valor

43

= 14 x 3 = 1,5

28

portanto a mediana ser 212 + logo, X = 212 + 1,5 = 213,5

9.4 MODA ( x )

Em um conjunto de nmeros a moda o valor que ocorre com maior freqncia, isto , o

valor mais comum.

Exemplos:

1) 2, 2, 3, 7, 8, 8, 8, 9, 10

moda=8

2) 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10

moda = (no existe moda)

3) 2, 2, 4, 4, 4, 5, 6, 7, 8, 8, 8, 9

moda = 4 e 8

Para o exemplo do exerccio das distribuies de freqncias dos pacotes de

manteiga temos que a moda o ponto mdio da classe modal, localiza-se a classe

modal como sendo a classe com maior freqncia e em seguida determina-se seu

ponto mdio.

Classe modal a 5 classe, portanto moda = 212 + 215 = 213,5

2

44

10.0 MEDIDAS DE VARIABILIDADE (DISPERSO)

As medidas de disperso indicam se os valores esto relativamente prximos uns dos outros, ou separados. Podemos dizer que disperso o grau com o qual os valores numricos de uma distribuio tendem a se distanciar em torno de um valor

mdio.

Em todos os casos, o valor zero indica ausncia de disperso; a disperso aumenta

proporo que aumenta o valor da medida (amplitude,desvio-padrao, varincia).

xx x x x x xxx xxx xx x x

a) pequena disperso

xx x x xxx x x x x x x x x xx x x xxx x x x xx x x x x xx

b) grande disperso

10.1 AMPLITUDE TOTAL (R.T.)

a medida mais simples de disperso. a diferena entre o maior e o menor valor das observaes.

R.T. = Xmax Xmin

Embora exista simplicidade de clculo, existem duas restries ao seu generalizado:

1- Utiliza apenas uma parcela das informaes contidas nas observaes. O seu valor no se modifica mesmo que os valores das observaes variem, desde que conservem os seus valores Mximo e mnimo.

2- Depende do nmero de observaes na amostra. Em geral o valor da amplitude

cresce quando cresce o tamanho da amostra.

45

X min.I I x max.

R.T. = pequeno

X min. I I X max.

R.T. = Grande

10.2 DESVIO PADRO

medida que determina a variao dos valores observados em torno da mdia da

distribuio, e representa a distncia do ponto de inflexo da curva at a linha da mdia.

10.2.1 DESVIO PADRO AMOSTRAL (S)

O desvio padro da amostra representa a disperso da amostra e dada pela equao:

S = (X1- ) + (X2- ) + (X3- ) + ..... +(Xn- ) n

46

Onde: Xi = Medidas individuais

S = ( Xi - ) n n = Nmero de elementos ou valores 10.2.2 DESVIO PADRO DA POPULAO ()

O desvio padro da populao representa a o grau de disperso da populao em torno

da mdia representado por , tambm representa a distncia do ponto de inflexo, e dado pela expresso:

= (X1- ) + (X2- ) + (X3- ) + ..... +(Xn- )

n - 1

= ( Xi - ) n - 1 10.2.3 REPRESENTAO GRFICA DO DESVIO PADRO

+

47

10.2.4 SISTEMATIZAO PARA O CLCULO

Para sistematizar o clculo do desvio padro de uma amostra utilizado o seguinte

procedimento:

1- Calcular o valor da mdia;

2- Montar a tabela abaixo

observaes Xi

Xi -

(Xi - ) medidas

1 X1 X1 - (X1 - ) 2 X2 X2 - (X2 - ) 3 X3 X3 - (X3 - )

. . . .

. . . .

. . . . n Xn Xn - ( Xn - )

(Xi- )

3-Aplicam-se as frmulas:

S = ( Xi - )

n

= ( Xi - ) n - 1

48

10.3 VARINCIA

Varincia da populao a soma dos quadrados dos desvios de cada observao em

relao mdia de x, divide-se por n 1. Indica-se a Varincia da Populao por .

Podemos fazer a mesma analogia com a Varincia da Amostra dada por S.

Frmula da varincia da Amostra n

( Xi - ) S = i = 1 n

Frmula da varincia da Populao

n

( Xi - ) = i = 1 onde n 1 = nmero de graus de liberdade n - 1

Como medida de disperso, a Varincia tem a desvantagem de apresentar unidade de

medida igual ao quadrado da unidade de medida dos dados. Se os dados esto em

metros, a Varincia fica em metros quadrados.

O desvio padro por sua vez, fica com valor na mesma da unidade da varivel.

49

11.0 DISTRIBUIO NORMAL

(ou de GAUSS, ou de LAPLACE, ou ainda, dos ERROS DAS OBSERVAES)

uma distribuio contnua e simtrica, cujo grfico tem a forma de um sino. A

distribuio normal o resultado da atuao conjunta de causas aleatrias.

Parmetros da Distribuio Normal

Mdia da Populao

Determinam o formato da curva

Desvio padro da populao

Equao da Funo de Probabilidade A equao da funo de probabilidade dada

pela expresso:

- ( x - ) 2

f(x) = 1 e

2

Do estudo de estatstica conclumos que:

- a varivel x pode assumir qualquer valor real no intervalo - < x < +

F (x)

x- 3

x- 2 x- 1

x +1

x+ 2

x+ 3

50

- a varivel x obedecer a uma Distribuio Normal, se a probabilidade de que um valor

x seja menor ou igual a outro xo for:

- ( x - ) x0 2

P( x < x0 ) = f(x0) = 1 e dx 2 -

- a integral da expresso representa a rea compreendida entre - e xo. - +

Portanto:

A probabilidade de ocorrncia de um valor menor ou igual rea abaixo da curva, entre

os valores - e xo . Os valores = 3,1416 e e ( nmero neperiano) = 2,718 so constantes numricas. CARACTERISTICAS DA CURVA DE DISTRIBUIO NORMAL

A curva normal obedece necessariamente s seguintes caractersticas:

a- A mdia o valor da varivel x para o qual a f(x) mxima.

F (x)

X0

51

b- O desvio Padro , a distncia entre a mdia e o ponto de inflexo da curva.

c- A rea total sob a curva normal igual a 1, pela prpria equao da probabilidade.

d- Em virtude da simetria as reas direita e esquerda do valor so iguais

DISTRIBUIO NORMAL PADRONIZADA Se tomarmos a equao auxiliar:

Z = X -

o que significa adotar como origem dos z o ponto em que x = e como unidade de

escalados z e o desvio padro , teremos transformado a expresso da funo das

probabilidades na distribuio normal reduzida:

- z 2

f(z)= 1 e

2

Considerando, a partir da equao auxiliar:

dz = 1 dx dx = . dz

Portanto a funo da probabilidade, em funo de Z, ser dada pela expresso:

52

- z

z 2

f(z)= 1 e dz

2 -

As reas sob a curva permanecem as mesmas, mas agora podem ser tabuladas em

funo dos valores de Z (Ver figura abaixo, eixo dos Z). Basta construir a tbua das reas para os valores I(z), na tbua 1.

Por exemplo, a rea desde Z=0, at Z= 1,0 I(1,0) = 0,3413 ou 34,13% da rea total da

curva; conseqentemente, dentro do intervalo 1 temos 68,26% da rea total da curva.

Se procurarmos a probabilidade de encontrarmos um valor de x dentro do intervalo

0,95 onde a media, o desvio padro da populao, teremos:

P(- Z0 < Z < Z0) = P ( 0,95 < Z < + 0,95 ) Iz1 = 0,3289 It= 0,6578 ou 65,78%.

Apresentamos na tabela abaixo alguns dos mais importantes intervalos de distribuio

normal para aplicaes em exerccios de probabilidade na curva normal. TBUAS DE REAS DA CURVA NORMAL

A partir da equao auxiliar Z = X - podemos transformar valores de x em

valores de z e em seguida construir uma tabela com resultados das integrais, que corresponde rea sob a curva xo intervalo de 0 a Z0 identificada por Iz0.

53

-3 -2 -1 0 1 2 3 Z

Transformao de X em Z

F (x)

x- 3

x- 2 x- 1

x +1

x+ 2

x+ 3

Xo Z= X - Zo

- 0

+ 1 + 1- 1

+ 2 + 2- 2

+ 3 + 3- 3

- 1 - - -1

- 2 - 2 - -2

- 3 - 3 - -3

54

I Zo

0 Zo

AREAS I ZO = P (0 z Z0) para Z0= (x - )/

Z0 I Z0

Z0 I Z0

Z0 I Z0

Z0 I Z0

Z0 I Z0

Z0 I Z0

0,00 0,0000 0,60 0,2257 1,20 0,3849 1,80 0,4641 2,40 0,4918 3,00 0,4987

0,05 0,0199 0,65 0,2422 1,25 0,3944 1,85 0,4678 2,45 0,4929 3,05 0,4989

0,10 0,0398 0,70 0,2580 1,30 0,4032 1,90 0,4713 2,50 0,4938 3,10 0,4990

0,15 0,0596 0,75 0,2734 1,35 0,4115 1,95 0,4744 2,55 0,4946 3,15 0,4992

0,20 0,0793 0,80 0,2881 1,40 0,4192 2,00 0,4772 2,60 0,4953 3,20 0,4993

0,25 0,0987 0,85 0,3051 1,45 0,4279 2,05 0,4798 2,65 0,4960 3,25 0,4994

0,30 0,1179 0,90 0,3159 1,50 0,4332 2,10 0,4821 2,70 0,4965 3,30 0,4995

0,35 0,1369 0,95 0,3289 1,55 0,4394 2,15 0,4842 2,75 0,4970 3,35 0,4996

0,40 0,1554 1,00 0,3413 1,60 0,4452 2,20 0,4861 2,80 0,4974 3,40 0,4997

0,45 0,1736 1,05 0,3531 1,65 0,4505 2,25 0,4878 2,85 0,4978 3,50 0,4998

0,50 0,1915 1,10 0,3643 1,70 0,4554 2,30 0,4893 2,90 0,4981 3,70 0,4999

0,55 0,2088 1,15 0,3749 1,75 0,4599 2,35 0,4906 2,95 0,4984 3,90 0,5000

55

EXERCCIOS: E-3

1- Trace uma curva normal e sombreie a rea desejada a partir das informaes:

a- rea direita de z=1,0

b- rea da esquerda de z= 1,0

c- rea entre z=0 e z=1,5

d- rea entre z=0 e z= - 2,9

e- rea entre z=1,0 e z= 2,0

f- rea entre z= -2,0 e z= 2,0

g- rea entre z= 2,5 e z=3,0

2- Ache os valores de z correspondentes as seguintes reas:

a- rea esquerda de para Iz = 0,0505

b- rea esquerda de para Iz = 0,0228

c- rea esquerda Iz= 0,4505 e rea da direita Iz = 0,4861

3- Uma distribuio normal tem media 50 e desvio padro 5. Que percentagem da

populao estaria provavelmente dentro dos intervalos:

a- P ( x 60)

b- P ( 35 x 62)

c- P ( 55 x 65)

d- P ( x > 55)

e- P ( 35 x 45)

4- Suponha uma renda mdia de uma grande comunidade possa ser razoavelmente

aproximada por uma distribuio normal com media anual de R$ 10.000,00 e

desvio padro de R$ 2.000,00.

a- Que percentagem da populao ter renda superior a R$ 15.000,00?

b- Numa amostra de 50 assalariados, quantos podemos esperar que tenham

menos de R$ 8.000,00 de renda?

56

12.0 PROBABILIDADE

O problema fundamental da estatstica consiste em lidar com o acaso e a incerteza. Chama-se probabilidade de um acontecimento a razo entre o nmero de casos favorveis ao mesmo e o nmero total de acontecimentos possveis.

Assim quando se considera uma populao limitada de P indivduos, a probabilidade de cada um ser escolhido, ao acaso, de 1/P.

Laplace definiu probabilidade como: O quociente do nmero de casos favorveis sobre o

nmero de casos igualmente possveis.

Por exemplo, se jogarmos uma moeda no viciada para o ar, de modo geral no

podemos afirmar se vai dar cara ou coroa.

Porm existem apenas dois eventos possveis: sair cara ou coroa Nesse exemplo existe um caso favorvel a esse evento em dois casos possveis. A P (K) = ou 50%.

Considerando-se cara como sucesso e coroa como fracasso e representando-se o

acontecimento favorvel como P e o no favorvel como Q, temos as razes:

P= e Q = Sendo P+Q = 1 Ento P= (1 - Q) e Q = (1 - P)

A probabilidade de um evento A, denotada por P (A), um nmero de 0 a 1, que indica a chance de ocorrncia do evento A. Quanto mais prxima de 1,00 P(A), maior a chance de ocorrncia do evento A, e quanto mais prxima de Zero, menor a chance de

ocorrncia do evento A.

Um evento impossvel atribui-se a probabilidade Zero.

Um evento certo tem probabilidade de 1.

As probabilidades podem ser expressas, inclusive por valores decimais, fraes e

percentagem como: 20%; 2 em 10; 0,2; ou ainda 1/5.

57

Alm do uso na interpretao de jogos de azar, usa-se ainda a probabilidade mediante

determinada combinao de julgamento, experincia ou dados histricos, para predizer

Quao Provvel a ocorrncia de determinado evento futuro.

H numerosos exemplos de tais situaes no campo dos Negcios e do Governo. A

previso da aceitao de um novo produto, o clculo dos custos de produo, a

contratao de um novo empregado, o preparo do oramento, a avaliao do impacto de

uma reduo de impostos sobre a inflao tudo isso contm algum elemento de Acaso.

12.1 ESPAO AMOSTRAL E EVENTOS

Consideremos o experimento que consiste em extrair uma carta de um baralho de 52

cartas. H 52 eventos elementares no espao amostral. Quanto aos eventos podemos

classific-los em:

ESPAO AMOSTRAL

COMPLEMENTO Cartas vermelhas e cartas pretas

No se interceptam cartas de

MUTUAMENTE EXCLUDENTE copas e cartas de paus

NAO SO MUTUAMENTE Cartas de copas e figuras, tem

EXCLUDENTE elementos em comum.

Cartas de paus, ouro, copas e

COLETIVAMENTE EXAUSTIVO A B C D espadas

A

A B

A B

58

12.2 TRS ORIGENS DA PROBABILIDADE

H trs maneiras diferentes de calcular ou estimar probabilidades, O mtodo Clssico, quando o espao amostral tem resultados igualmente provveis. O mtodo Emprico, que

se baseia na freqncia relativa de ocorrncia de um evento num grande nmero de provas repetidas; e o mtodo Subjetivo, que utiliza estimativas pessoais baseadas num

certo grau de crena.

OBJETIVO SUBJETIVO

CLSSICO EMPRICO Opinio Pessoal

(resultados igualmente provveis) (dados histricos)

O Mtodo Clssico Os jogos de azar (lanamento de moedas, jogo de dados, extrao de cartas)

usualmente apresentam resultados igualmente provveis.

Nestes casos temos:

P(cada resultado) = 1

Nmero de resultados possveis

Se cada carta de um baralho de 52 tem a mesma chance de ser escolhida, ento a

probabilidade de extrair cada uma delas de 1/52 : P (A) = 1/52 1,92%.

Da mesma forma a probabilidade de termos uma cara no lanamento de uma moeda

ou 50%. O mesmo ocorre com uma coroa, ou seja ou 50%.

No caso de um dado temos a probabilidade de dar qualquer nmero: 1,2,3,4,5,6 de 1/6

ou de 16,66%.

De forma geral vale tambm a expresso:

59

P(A) = Nmero de resultados associados ao evento A

Nmero total de resultados possveis

Por exemplo, a probabilidade de extrao de uma dama, de acordo com esta definio,

P (dama) = 4 damas = 4 = 1 = 7,69% 52 cartas 52 13

Analogamente, a probabilidade de obter nmero mpar no lance de um dado

P(mpar) = 3 faces = 3 ou 50% 6 faces possveis 6

12.3 A MATEMTICA DA PROBABILIDADE Muitas aplicaes de estatstica exigem a determinao da probabilidade de

combinaes de eventos. H duas categorias de eventos de interesse, A e B, no espao

amostral.

Pode ser necessrio determinar P(A e B), isto ; a probabilidade de ocorrncia de ambos

os eventos.

Em outras situaes, podemos querer a probabilidade de ocorrncia de A ou B P(A ou B).

Clculo da Probabilidade da ocorrncia de dois eventos independentes P(A e B)

Se dois eventos so independentes, ento a probabilidade da ocorrncia de ambos

igual ao produto de suas probabilidades individuais:

P(A e B) = P(A) . P(B) Exemplo Jogam-se duas moedas equilibradas.Qual a probabilidade da ocorrncia de

ambas darem cara?

razovel admitir que os resultados das duas moedas sejam independentes um do outro.

Alm disso, para moedas equilibradas, P(cara)= . Logo p(cara e cara) ser:

60

1 moeda 2moeda

x = ou 25%

Clculo da Probabilidade da ocorrncia de dois eventos mutuamente excludente P(A ou B ocorrer)

Se dois eventos mutuamente excludentes, a probabilidade de ocorrncia de qualquer um

deles a soma de suas probabilidades individuais. Para dois eventos A e B temos:

P(A ou B) = P(A) + P(B)

Exemplo, qual a probabilidade de aparecer cinco ou seis numa jogada de um dado

equilibrado?

P(cinco) ou P(seis) = P (5) + P(6) = 1 + 1 = 2 = 33,33%

6 6 6

Clculo da Probabilidade da ocorrncia de dois eventos no mutuamente excludente P(A ou B ou ambos ocorrero) Suponhamos a probabilidade de extrao de uma carta de paus ou um dez de um

baralho de 52 cartas . Como possvel que uma carta seja simultaneamente de paus e

um dez, os eventos no so mutuamente excludentes. Assim devemos excluir a

probabilidade de interseo. Ento temos:

P(paus) = 13 , P(dez)= 4 , P( dez de paus) = 1 ,

52 52 52

P(paus ou dez,ou ambos) = P(paus) + P(dez) - P(dez de paus)

= 13 + 4 - 1 = 16

52 52 52 52

61

NAIPE PAUS OUROS COPAS ESPADA PRETA VERMELHA VERMELHA PRETA

K K K K

Q Q Q Q J J J J 10 10 10 10 9 9 9 9 a carta um dez 8 8 8 8 7 7 7 7 6 6 6 6 5 5 5 5 4 4 4 4 3 3 3 3 2 2 2 2 A A A A

Carta de paus Os eventos paus e dez se interceptam.

Regra de probabilidade

P (A e B), para eventos independentes (Multiplicao) P(A) x P(B)

P (A ou B), para eventos mutuamente excludentes (Soma) P(A) + P(B)

P (A ou B ou ambos ocorrero), para eventos no mutuamente excludentes

P(A) + P(B) - P(A intercepta B)

62

EXERCCIOS: E-4

1- Extrai-se uma s carta de um baralho de 52. Determine a probabilidade de obter:

a- Um valete

b- Uma figura

c- Uma carta vermelha

d- Uma carta de ouros

e- Um dez de paus

f- Um nove vermelho ou um

oito preto

2- Relacione os resultados possveis do lance de um s dado. Ache a probabilidade e

adicione-as.

3- Joga-se uma vez um dado equilibrado; determine a probabilidade de obter:

a- um seis

b- cinco, seis ou sete

c- um nmero par

d- um nmero menor que quatro

4- Doze fichas so numeradas de 0 a 12 e colocadas numa urna. Escolhida uma

aleatoriamente, determine a probabilidade de sair:

a- o nmero 3

b- um nmero impar

c- um nmero menor que quatro

d- o nmero dez

5- Joga-se um par de dados equilibrados:

a- Qual a probabilidade de ambas as faces serem seis?

b- Qual a probabilidade de ambas as faces serem dois?

c- Qual a probabilidade de ambas as faces serem pares?

6- Sejam P(A) = 0,30, P(B) = 0,80 e P(A e B) = 0,15.

a- A e B so mutuamente excludentes? Explique.

b- Determine P(A ou B).

7- Sejam A e B mutuamente excludentes, P(A) = 0,31 e P(B) = 0,29.

a- A e b so coletivamente exaustivos? Explique.

b- Determine P(A ou B).

c- Determine P (A e B)

8- Joga-se uma moeda trs vezes. Qual a probabilidade de aparecer coroa trs

vezes? Qual a probabilidade de no aparecer coroa nas trs vezes?

63

13.0 TECNICAS DE CONTAGEM

Para utilizar o mtodo clssico (A Priori) da probabilidade, preciso conhecer o nmero total de resultados possveis de um experimento.

Uma das possibilidades o uso das rvores de deciso, mas quando o numero de

resultados grande, essa lista se torna muito trabalhosa; necessrio ento recorrer a

formulas matemticas para determinar o numero total de resultados possveis.

Suponhamos que um estudante esteja fazendo um teste de 20 questes do tipo verdadeiro-ou-falso. Suponhamos ainda que ele, no tenha estudado nada, esteja

dando todas as respostas na base do palpite. Qual a probabilidade de ele responder

corretamente todo o teste?

A primeira coisa a fazer determinar o numero total de resultados possveis.

Em segundo lugar devemos explorar suas diversas verses. Imaginemos que o teste

consista de apenas:

Uma questo temos V ou F Duas questes temos VV, VF, FV, FF Trs questes temos VVV, VVF, VFF, VFV, FVF, FVV, FFV, FFF

Conclue-se:

Numero de questes : 1 2 3 4

Numero de resultados : 2 4 8 16

Nota-se que se, o numero de itens for grande, a listagem se tornara praticamente

impossvel.

Em seguida podemos ver um diagrama de rvore para determinar todos os arranjos

possveis.

64

QUESTO N1 N2 N3 RESULTADOS

V V VVV V F VVF F V VFV

. F VFF V V FVV F F FVF

F V FFV F FFF

Alem disso, o que realmente necessario determinar o numero total de resultados; nada se tem a ganhar identificando cada resultado.

13.1 O PRINCIPIO DA MULTIPLICAO

O diagrama mostra que cada questo dobra o numero total de resultados possveis.(com

duas alternativas V ou F) temos:

NUMERO DE QUESTOES TOTAL DE RESULTADOS 1 2=2

2 2 x 2 =4

3 2 x 2 x 2 = 8

4 2 x 2 x 2 x 2 = 16

Se fossem quatro escolha para cada questo:

NMERO DE QUESTES TOTAL DE RESULTADOS 1 4 = 4

2 4 x 4 = 16

3 4 x 4 x 4 = 64

Para solucionar o exerccio do teste, teremos:

65

2 x 2 x 2 x 2 x 2 x . . . . . . . x 2 = 220 = 1.048.576 ou 1 .

1 2 3 4 5 . . . . . . . . . . 20 1.048.576

De um modo geral, se ha n decises seqenciais, cada uma com m escolhas, o

numero total de resultados m n.

13.2 PERMUTAO, ARRANJO E COMBINAO.

Quando a ordem em que os elementos se dispem importante, o numero total de resultados possveis conhecido como Arranjo ou Permutao. Quando a ordem no interessa, o numero total de resultados possveis designado como Combinao.

Para o uso na analise combinatria usaremos o numero fatorial representado pelo

smbolo ! como por exemplo 4! le-se Quatro Fatorial e significa 4 x 3 x 2 x 1 = 24.

Outros exemplos:

5! = 5 x 4 x 3 x 2 x 1 = 120

12! = 12 x 11 x 10 x 9 x 8 x 7 x ..............x 1 = 479.001.600

Os fatoriais crescem de modo extremamente rpido, medida que aumenta o numero-

base.

Felizmente, quase nunca necessrio utilizar-se completamente os fatoriais, pois eles

aparecem em grupos, permitindo cancelamentos:

5! = 5 x 4 x 3 x 2 x 1 = 5! 1 = 1 7! 7 x 6 x 5 x 4 x 3 x 2 x 1 7 x 6 x 5! 7 x 6 42

4! = 4 x 3 x 2 x 1 = 4 x 3 x 2! = 4 x 3 = 12 2! 2 x 1 2!

5! = 5 x 4 x 3! = 5 x 4 = 20 = 10 2! 3! 2 x 1 x 3! 2 x 1 2

s vezes os fatoriais podem envolver soma e subtrao. Exemplos:

66

( 5 - 3 )! = 2! e no ( 5! - 3! )

( 9 - 2 )! = 7!

( 3 + 1)! = 4! 8! = 8! = 8 x 7 x 6 x 5! = 8 x 7 x 6 = 56

3 ( 8 3 )! 3! . 5! 3 x 2 x 5! 3 x 2

O fatorial de zero igual a um 0! = 1. O fatorial de 1 igual a um 1! = 1.

ARRANJOS So agrupamentos que podem variar pela ordem ou natureza dos elementos. Quando se consideram n elementos distintos tomados x a x chamamos arranjo ou agrupamentos enerios que se podem formar com esses n elementos, dispomos de todas as formas

possveis de modo que dois arranjos quaisquer difiram ao menos pela ordem dos

elementos.

Assim, os arranjos possveis com as letras A, B e C so A 3,2 (3 elementos dois a dois) A 3,2 = AB; BA; AC; CA, BC; CB. E com os nmeros: 2, 6 e 8 podem ser feitos os seguintes arranjos A 3,2

A 3,2 = 26; 28; 62; 68; 82; 86.

Outro exemplo: Se ha sete cavalos num preo, quantos arranjos ha considerando 1,2 e

3 lugares?

A n,x = n! ( n x )!

Ou seja, 7 elementos tomados 3 a 3

A 7,3 = 7! = 7! 7 x 6 x 5 x 4! = 7 x 6 x 5 = 210 ( 7 3 )! 4! 4! PERMUTAO

67

Denomina-se permutao aos arranjos de objetos tomados n a n. Neste caso cada

objeto entra s uma vez em todos os grupos.

Em geral o numero de permutaes distintas com n itens, dos quais n1 so indistinguveis de um tipo, n2 de outro tipo, etc, :

n1, n2, ....nK

Pn = n! (n1!) (n2!) (n3!) ......(nk!)

Exemplo: Quantas permutaes distintas de 3 letras podemos formar com as letras:

R R R R U U U N 4 3 1

Soluo

Ha 8 letras : 4Rs 3Us 1N dai: 4, 3, 1

P8 = 8! = 280 (4!) (3!) (1!)

COMBINAO

Chama-se combinao quando no interessa a ordem para denotar o numero de

agrupamentos distintos possveis.

Exemplo: a escolha de 2 tipos de vegetal de um cardpio com 5 tipos. A escolha de batata e cenoura a mesma que cenoura e batata.

De um modo geral, para agrupamentos de tamanho x extrados de uma lista de n itens, o numero de combinaes possveis :

C n,x = n! n

x! (n - x )! x

68

Quantos comits distintos, de 3 pessoas cada um, podemos formar com um grupo de 10

pessoas?

C10,3 = 10! = 10 x 9 x 8 x 7! = 120 7! 3! 3 x 2 x 7!

De quantas maneiras podemos formar um comit de 1 mulher e 2 homens, de um total

de 4 mulheres e 6 homens. Mulheres Homens = 4! 6! = 4 x 15 = 60 ( C 4,1 ) ( 6,2 ) 3! 1! 4! 2!

13.3 REGRAS DE CONTAGEM REGRA DA MULTIPLICAO: o produto do numero de escolhas para uma seqncia de

decises m n onde m = numero de escolhas n = decises seqenciais ARRANJOS: numero de agrupamentos em que interfere a ordem

A n,x = n! ( n x )!

PERMUTAO COM REPETIES (OU DISTINGUIVEIS): alguns itens so idnticos, e

a ordem importante.

n1, n2, ....nK

Pn = n! (n1!) (n2!) (n3!) ......(nk!)

COMBINAES: a ordem no importa.

C n,x = n! n

x! (n - x )! x

69

EXERCCIOS: E-5

1- Calcule:

a- 2! b- 3! c- 10! d- 1! e- 0!

2- Calcule:

a- 3 b- 4 c- 5 d- 9

2 4 1 6

3- Determine o numero de arranjos:

a- A 3,2 b- A 4,4 c- A 5,1 d- A 9,6 e- A 1,0

4- Um vendedor de automveis deseja impressionar os possveis compradores com o

maior numero de combinaes diferentes possveis. Um modelo pode ser dotado

de trs tipos de motor, dois tipos de transmisso, cinco cores externas e duas

internas. Quantas so a escolhas possveis?

5- Em um determinado Estado, as placas de licena constam de trs letras e quatro

algarismos. Quantas placas diferentes podemos formar admitindo-se o uso de

todas as (26 letras) e os (10 algarismos)?

6- Quantas permutaes distintas podem ser feitas com as letras da palavra

BLUEBEARD ?

7- Se um torneio de basquetebol consiste de 36 times, de quantas maneiras podem

ser conquistados os trs primeiros lugares?

8- De quantas maneiras diferentes podemos escolher um comit de cinco pessoas

dentre oito?

9- A Pizzaria do Joe oferece as seguintes escolhas de pizza: presunto, cogumelos,

pimento, enchovas e muzzarella. De quantas maneiras podemos escolher dois

tipos diferente de pizza?

70

14.0 DISTRIBUIO DE PROBABILIDADES

Introduzidas s noes fundamentais sobre a teoria das probabilidades, pode-se passar

s chamadas Distribuies de Probabilidades. Uma distribuio de probabilidades uma distribuio de freqncia relativa para os resultados de um espao amostral (isto , para os resultados de uma varivel aleatria); que mostra a proporo das vezes em que a varivel aleatria tende a assumir cada um

dos diversos valores. Consideremos a varivel aleatria Numero de caras em duas jogadas de uma moeda

eis a lista dos pontos do espao amostral e os valores correspondentes a v.a.:

(K = cara e C = coroa)

Resultados Valor da v.a.

CC 0

CK 1

KC 1

KK 2

Se a moeda equilibrada, P(K) = P(C) = .As probabilidades dos diversos resultados

so:

RESULTADOS PROBABILIDADE DO RESULTADO NUMERO DE CARAS P(X) 1 . 1 1 CC = 0 0,25 2 2 4 1 . 1 1 CK = 1 0,25 2 2 4 0,50 1 . 1 1 KC = 1 0,25 2 2 4 1 . 1 1 KK = 2 0,25 2 2 4

71

Assim, pois, a distribuio de probabilidades para o numero de caras em duas jogadas

de uma moeda so:

NUMERO DE CARAS P(X)

0 0,25

1 0,50

2 0,25

1,00

Note-se que a soma de todas as probabilidades 1,00, como de esperar, pois os resultados apresentados so mutuamente excludentes e coletivamente exaustivos. A

mesma distribuio pode ser apresentada em forma acumulada.

NUMERO DE CARAS P(X ou menos)

0 0,25

1 0,75

2 1,00

72

Graficamente, as distribuies de probabilidade e acumulada se apresentam:

P 1,00 R 1,00 O 1,OO B A

P B R 0,75 I 0,75 O L 0,75 B I A D B A

I 0,5 D 0,5 L 0,5 E

I D A A C D 0,25 U 0,25 E 0,25 0,25 M 0,25

U L A 0 D 0 0 1 2 A 0 1 2 NUMERO DE CARAS NUMERO DE CARAS

14.1 DISTRIBUIO BINOMIAL

Suponhamos agora o experimento E4= Lanamento de 4 moedas. A tabela abaixo mostra todas as possibilidades de combinaes cara/coroa, os eventos que estas

combinaes orig

Apostila Estatistica

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