Temaixfuncionesexponencialesylogartmicas aplic contab
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Tema IXFunciones Exponenciales y
Logarítmicas
Precálculo
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Función Exponencial
• La función exponencial básica es f(x) = bx, donde la base b es una constante y el exponente x es la variable independiente.
( ) , donde 0, 1x b bx bf
BaseExponente
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Función Exponencial
• Consideremos la función f(x) = 2x
-4 -3 -2 -1 1 2 3 4
1
2
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5
6
7
8
x
y
x f(x) = 2x
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Función Exponencial
• Consideremos la función f(x) = 2x
-4 -3 -2 -1 1 2 3 4
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x f(x) = 2x
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Función Exponencial
• Consideremos la función f(x) = 2x
-4 -3 -2 -1 1 2 3 4
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Función Exponencial
• Consideremos la función f(x) = 2x
-4 -3 -2 -1 1 2 3 4
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Función Exponencial
• Consideremos la función f(x) = 2x
-4 -3 -2 -1 1 2 3 4
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-2 ¼
-1 ½
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Función Exponencial
• Consideremos la función f(x) = 2x
-4 -3 -2 -1 1 2 3 4
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x f(x) = 2x
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Función Exponencial
• Consideremos la función f(x) = 2x
-4 -3 -2 -1 1 2 3 4
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x f(x) = 2x
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Función Exponencial
• Consideremos la función f(x) = 2x
-4 -3 -2 -1 1 2 3 4
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x f(x) = 2x
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Función Exponencial
• Consideremos la función f(x) = 2x
-4 -3 -2 -1 1 2 3 4
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x f(x) = 2x
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Función Exponencial
• Consideremos la función f(x) = 2x
-4 -3 -2 -1 1 2 3 4
1
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x
y
x f(x) = 2x
-2 ¼
-1 ½
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Función Exponencial
• Consideremos la función f(x) = 2x
-4 -3 -2 -1 1 2 3 4
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x f(x) = 2x
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-1 ½
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Función Exponencial
• Consideremos la función f(x) = 2x
-4 -3 -2 -1 1 2 3 4
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x
y
x f(x) = 2x
-2 ¼
-1 ½
0 1
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Función Exponencial
• Consideremos la función f(x) = 2x
-4 -3 -2 -1 1 2 3 4
1
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5
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x
y
x f(x) = 2x
-2 ¼
-1 ½
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Función Exponencial
• Consideremos la función f(x) = 2x
-4 -3 -2 -1 1 2 3 4
1
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3
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5
6
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8
x
y
x f(x) = 2x
-2 ¼
-1 ½
0 1
1 2
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Función Exponencial
• Consideremos la función f(x) = 2x
-4 -3 -2 -1 1 2 3 4
1
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5
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x
y
x f(x) = 2x
-2 ¼
-1 ½
0 1
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Función Exponencial
• Consideremos la función f(x) = 2x
-4 -3 -2 -1 1 2 3 4
1
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5
6
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x
y
x f(x) = 2x
-2 ¼
-1 ½
0 1
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Función Exponencial
• Consideremos la función f(x) = 2x
-4 -3 -2 -1 1 2 3 4
1
2
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5
6
7
8
x
y
x f(x) = 2x
-2 ¼
-1 ½
0 1
1 2
2 4
3 8Esta recta se conoce como una asíntota, una recta a la cual la función graficada se acerca a medida que los valores de x se hacen muy grandes o muy pequeños.
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Función Exponencial
Una función de la forma ( ) , donde
0 y 1, es una función de
la cual aumenta a medida que
aumenta.
Cuando 0 1, la función es llama
crecimien
da una
fun
to
exponencial,
decaimiento exponeci ncón de
xf x ab
a b
x
b
, la cual
disminuye a medida que aume
i
.
al
ntax
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Graficando Funciones Exponenciales
• Determina si la función muestra crecimiento o decaimiento. Luego grafícala.
1. f(x) = 1.5x
-4 -3 -2 -1 1 2 3 4
-4
-3
-2
-1
1
2
3
4
x
y
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Graficando Funciones Exponenciales
• Determina si la función muestra crecimiento o decaimiento. Luego grafícala.
1. g(x) = 30(0.8)x
-4 -3 -2 -1 1 2 3 4
-4-3-2-1
123456789
10111213141516171819202122232425262728293031
x
y
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Graficando Funciones Exponenciales
• Determina si la función muestra crecimiento o decaimiento. Luego grafícala.
1. h(x) = 5(1.2)x
-9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 7 8 9
-9-8-7-6-5-4-3-2-1
123456789
x
y
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Graficando Funciones Exponenciales
• Determina si la función muestra crecimiento o decaimiento. Luego grafícala.
1. f(x) = 10(3/4)x
-4 -3 -2 -1 1 2 3 4
-4
-3
-2
-1
1
2
3
4
x
y
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Graficando Funciones Exponenciales
• Determina si la función muestra crecimiento o decaimiento. Luego grafícala.
1. f(x) = 100(1.05)x
-4 -3 -2 -1 1 2 3 4
-4
-3
-2
-1
1
2
3
4
x
y
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Crecimiento y Decaimiento
1( )t
aA rt
Cantidad Final
Cantidad Inicial
Razón de Cambio
Número de Periodos de Tiempo
En la fórmula, la base de la expresión exponencial, 1 + r, es llamado el factor de crecimiento. Similarmente, 1 – r, es el factor de decaimiento.
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Aplicaciones
• Tony compró una guitarra Gibson del 1959 por $12,000 en el año 2000. Los expertos estiman que su valor aumentará un 14% por año. Utiliza una gráfica para encontrar cuando el valor de la guitarra será $60,000.
![Page 29: Temaixfuncionesexponencialesylogartmicas aplic contab](https://reader033.fdocuments.ec/reader033/viewer/2022052218/559716b81a28ab066d8b4635/html5/thumbnails/29.jpg)
Aplicaciones
• La población de una ciudad, la cual era inicialmente 15,500, ha ido disminuyendo a una razón de 3% al año. Escribe una función exponencial y grafica la función. Utiliza la gráfica para predecir cuando la población llegará a los 8,000.
![Page 30: Temaixfuncionesexponencialesylogartmicas aplic contab](https://reader033.fdocuments.ec/reader033/viewer/2022052218/559716b81a28ab066d8b4635/html5/thumbnails/30.jpg)
Graficando Relaciones Inversas
• Grafica la relación y conecta los puntos. Luego grafica la inversa. Identifica el dominio y el alcance.
x 0 1 2 4 8
y 2 4 5 6 7
1 2 3 4 5 6 7 8
1
2
3
4
5
6
7
8
x
y
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Graficando Relaciones Inversas
• Grafica la relación y conecta los puntos. Luego grafica la inversa. Identifica el dominio y el alcance.
x 1 3 4 5 6
y 0 1 2 3 5
1 2 3 4 5 6 7 8
1
2
3
4
5
6
7
8
x
y
![Page 32: Temaixfuncionesexponencialesylogartmicas aplic contab](https://reader033.fdocuments.ec/reader033/viewer/2022052218/559716b81a28ab066d8b4635/html5/thumbnails/32.jpg)
Graficando Relaciones Inversas
• Grafica la relación y conecta los puntos. Luego grafica la inversa. Identifica el dominio y el alcance.
x 0 1 5 8 9
y 2 5 6 9 9
1 2 3 4 5 6 7 8
1
2
3
4
5
6
7
8
x
y
![Page 33: Temaixfuncionesexponencialesylogartmicas aplic contab](https://reader033.fdocuments.ec/reader033/viewer/2022052218/559716b81a28ab066d8b4635/html5/thumbnails/33.jpg)
Escribiendo Funciones InversasEncuentra la inversa de las siguientes funciones.
1) ( ) 2
2) ( )3
23) ( )
3
4) ( ) 54
5) ( ) 5 7
6) ( ) 3 7
f x x
xf x
f x x
xf x
f x x
f x x
![Page 34: Temaixfuncionesexponencialesylogartmicas aplic contab](https://reader033.fdocuments.ec/reader033/viewer/2022052218/559716b81a28ab066d8b4635/html5/thumbnails/34.jpg)
Escribiendo y Graficando Funciones Inversas
Grafica ( ) 3 6. Luego escribe y grafica la inversa.f x x
f(x)=3x+6
f(x)=x/3-2
f(x)=x
-9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 7 8 9
-9
-8
-7
-6
-5
-4
-3
-2
-1
1
2
3
4
5
6
7
8
9
x
y
![Page 35: Temaixfuncionesexponencialesylogartmicas aplic contab](https://reader033.fdocuments.ec/reader033/viewer/2022052218/559716b81a28ab066d8b4635/html5/thumbnails/35.jpg)
Escribiendo y Graficando Funciones Inversas
1Grafica ( ) 5. Luego escribe y grafica la inversa.
2f x x
f(x)=-x/2-5
f(x)=-2x-10
f(x)=x
-18 -16 -14 -12 -10 -8 -6 -4 -2 2 4 6 8 10 12 14 16 18
-14
-12
-10
-8
-6
-4
-2
2
4
6
8
10
12
14
x
y
![Page 36: Temaixfuncionesexponencialesylogartmicas aplic contab](https://reader033.fdocuments.ec/reader033/viewer/2022052218/559716b81a28ab066d8b4635/html5/thumbnails/36.jpg)
Escribiendo y Graficando Funciones Inversas
2Grafica ( ) 2. Luego escribe y grafica la inversa.
3f x x
-4 -3 -2 -1 1 2 3 4
-4
-3
-2
-1
1
2
3
4
x
y
![Page 37: Temaixfuncionesexponencialesylogartmicas aplic contab](https://reader033.fdocuments.ec/reader033/viewer/2022052218/559716b81a28ab066d8b4635/html5/thumbnails/37.jpg)
Aplicaciones
• Juan compró un CD por Internet con un 20% de descuento del precio regular. El pagó $2.50 por el envío. El cargo total fue $13.70 ¿Cuál es el precio regular del CD?
![Page 38: Temaixfuncionesexponencialesylogartmicas aplic contab](https://reader033.fdocuments.ec/reader033/viewer/2022052218/559716b81a28ab066d8b4635/html5/thumbnails/38.jpg)
Logaritmos
• Un logaritmo es el exponente al cual se eleva una base específica para obtener un valor dado.
• Puedes escribir una ecuación exponencial como una logarítmica y viceversa.
logx
bb a a x
Ecuación Exponencial Ecuación Logarítmica
![Page 39: Temaixfuncionesexponencialesylogartmicas aplic contab](https://reader033.fdocuments.ec/reader033/viewer/2022052218/559716b81a28ab066d8b4635/html5/thumbnails/39.jpg)
Escribe cada ecuación exponencial en forma logarítmica
Ecuación Exponencial Forma Logarítmica
53 2431
225 5
410 10,0001 1
66
ba c
![Page 40: Temaixfuncionesexponencialesylogartmicas aplic contab](https://reader033.fdocuments.ec/reader033/viewer/2022052218/559716b81a28ab066d8b4635/html5/thumbnails/40.jpg)
Propiedades Especiales de Logaritmos
Para cualquier base 0 y 1.b b
log 1b b
log 1 0b
FORMA LOGARÍTMICA FORMA EXPONENCIAL EJEMPLO
Logaritmo de Base b
Logaritmo de 1
1b b
0 1b
10
1
log 10 1
10 10
10
0
log 1 0
10 1
10
Un logaritmo con base 10 es llamado un .
Si no se escribe una base para algún logaritmo se asume que es 10.
Ejemplo:
logaritmo
log5 lo
comú
g
n
5.
![Page 41: Temaixfuncionesexponencialesylogartmicas aplic contab](https://reader033.fdocuments.ec/reader033/viewer/2022052218/559716b81a28ab066d8b4635/html5/thumbnails/41.jpg)
Evaluando Logaritmos Mentalmente
4
25
5
7
Evalúa utilizando matemática mental.
1) log1000
12) log
4
3) log 0.00001
4) log 0.04
5) log 0.01
6) log 125
7) log 243
![Page 42: Temaixfuncionesexponencialesylogartmicas aplic contab](https://reader033.fdocuments.ec/reader033/viewer/2022052218/559716b81a28ab066d8b4635/html5/thumbnails/42.jpg)
Propiedad de Producto de Logaritmos
log log logb b bmn m n
3 3 3 3
Ejemplo:
log 1000 log 10 100 log 10 log 100
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Propiedad de Producto de Logaritmos
• Expresa como un solo logaritmo. Simplifica si es posible.
1. log5625 + log525
2. log42 + log432
3. log64 + log69
![Page 44: Temaixfuncionesexponencialesylogartmicas aplic contab](https://reader033.fdocuments.ec/reader033/viewer/2022052218/559716b81a28ab066d8b4635/html5/thumbnails/44.jpg)
Propiedad de Cociente de Logaritmos
log log logb b b
mm n
n
5 5 5
Ejemplo:
16log log 16 log 2
2
![Page 45: Temaixfuncionesexponencialesylogartmicas aplic contab](https://reader033.fdocuments.ec/reader033/viewer/2022052218/559716b81a28ab066d8b4635/html5/thumbnails/45.jpg)
Propiedad de Cociente de Logaritmos
• Expresa como un solo logaritmo. Simplifica si es posible.
1. log232 – log24
2. log749 – log77
3. log5100 – log54
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Propiedad de Potencia de Logaritmos
log logp
b ba p a
3
Ejemplo:
log10 3log10 3 1 3
![Page 47: Temaixfuncionesexponencialesylogartmicas aplic contab](https://reader033.fdocuments.ec/reader033/viewer/2022052218/559716b81a28ab066d8b4635/html5/thumbnails/47.jpg)
Propiedad de Potencia de Logaritmos
• Expresa como un producto. Simplifica si es posible.
1. log3812
2. log5(1/5)3
3. log2326
4. log5252
![Page 48: Temaixfuncionesexponencialesylogartmicas aplic contab](https://reader033.fdocuments.ec/reader033/viewer/2022052218/559716b81a28ab066d8b4635/html5/thumbnails/48.jpg)
Propiedades Inversas de Logaritmos
10
7
10
log log 2
log log 10 7
10 2b
x
b
x
b x
b x
Álgebra Ejemplo
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Propiedades Inversas de Logaritmos
• Simplifica cada expresión.
1. log883x + 1
2. log5125
3. log3311
4. log381
![Page 50: Temaixfuncionesexponencialesylogartmicas aplic contab](https://reader033.fdocuments.ec/reader033/viewer/2022052218/559716b81a28ab066d8b4635/html5/thumbnails/50.jpg)
Propiedades Inversas de Logaritmos
• Simplifica cada expresión.
2
5
2
log 8
log 10
log 27
1. 2
2. 5
3. 2
x
![Page 51: Temaixfuncionesexponencialesylogartmicas aplic contab](https://reader033.fdocuments.ec/reader033/viewer/2022052218/559716b81a28ab066d8b4635/html5/thumbnails/51.jpg)
Fórmula de Cambio de Base
loglog
log
ab
a
xx
b
24
2
Ejemplo:
log 8 3log 8
log 4 2
![Page 52: Temaixfuncionesexponencialesylogartmicas aplic contab](https://reader033.fdocuments.ec/reader033/viewer/2022052218/559716b81a28ab066d8b4635/html5/thumbnails/52.jpg)
Fórmula de Cambio de Base
• Evalúa las siguientes expresiones.
1. log927
2. log816
3. log328
![Page 53: Temaixfuncionesexponencialesylogartmicas aplic contab](https://reader033.fdocuments.ec/reader033/viewer/2022052218/559716b81a28ab066d8b4635/html5/thumbnails/53.jpg)
Ecuación Exponencial
• Una ecuación exponencial es una ecuación que contiene una o más variables como un exponente.
• Para resolver ecuaciones exponenciales puedes utilizar lo siguiente:
Si , entonces ( 0, 1).
Si , entonces log log (
x yb b x y b b
a b a b a b
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Resolviendo Ecuaciones Exponenciales
61) 8 2x x 22) 5 200x
23) 3 27x 4) 7 21x
![Page 55: Temaixfuncionesexponencialesylogartmicas aplic contab](https://reader033.fdocuments.ec/reader033/viewer/2022052218/559716b81a28ab066d8b4635/html5/thumbnails/55.jpg)
Resolviendo Ecuaciones Exponenciales
35) 2 15x 8 36) 9 27x x
17) 4 5x
![Page 56: Temaixfuncionesexponencialesylogartmicas aplic contab](https://reader033.fdocuments.ec/reader033/viewer/2022052218/559716b81a28ab066d8b4635/html5/thumbnails/56.jpg)
Ecuaciones Logarítmicas
• Una ecuación logarítmica es una ecuación con una expresión logarítmica que contiene una variable.
• Para resolver ecuaciones logarítmicas puedes utilizar lo siguiente:
Si log log entonces .b bx y x y
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Resolviendo Ecuaciones Logarítmicas
31) log 5 2x 2) log 45 log3 1x
2
43) log 7x 4) log log 9 1x x
![Page 58: Temaixfuncionesexponencialesylogartmicas aplic contab](https://reader033.fdocuments.ec/reader033/viewer/2022052218/559716b81a28ab066d8b4635/html5/thumbnails/58.jpg)
Resolviendo Ecuaciones Logarítmicas
5) 3 log8 3log x 6) 2log log 4 0x
67) log 2 1 1x 4 48) log 100 log 1 1x
![Page 59: Temaixfuncionesexponencialesylogartmicas aplic contab](https://reader033.fdocuments.ec/reader033/viewer/2022052218/559716b81a28ab066d8b4635/html5/thumbnails/59.jpg)
Resolviendo Ecuaciones Logarítmicas
4
59) log 8x 12 1210) log log 1 1x x
![Page 60: Temaixfuncionesexponencialesylogartmicas aplic contab](https://reader033.fdocuments.ec/reader033/viewer/2022052218/559716b81a28ab066d8b4635/html5/thumbnails/60.jpg)
Fórmula de Interés Compuesto
1
ntr
A Pn
Donde:A es la cantidad total,P es el principal,r es la taza de interés anual,n es la cantidad de veces que el interés es compuesto al año yt es el tiempo en años.
![Page 61: Temaixfuncionesexponencialesylogartmicas aplic contab](https://reader033.fdocuments.ec/reader033/viewer/2022052218/559716b81a28ab066d8b4635/html5/thumbnails/61.jpg)
Interés Continuo
• Asume que se invierte $1 a un 100% de interés (r = 1) compuesto n veces en un año. Lo cual puede ser representado por la función:
11
n
f nn
![Page 62: Temaixfuncionesexponencialesylogartmicas aplic contab](https://reader033.fdocuments.ec/reader033/viewer/2022052218/559716b81a28ab066d8b4635/html5/thumbnails/62.jpg)
Interés Continuo
• A medida que n se vuelve un número grande, el interés es compuesto continuamente.
• Examinemos la gráfica de f(n).
2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22 24 26 28
0.5
1
1.5
2
2.5
3
x
y
![Page 63: Temaixfuncionesexponencialesylogartmicas aplic contab](https://reader033.fdocuments.ec/reader033/viewer/2022052218/559716b81a28ab066d8b4635/html5/thumbnails/63.jpg)
Interés Continuo
• A medida que n se vuelve un número grande, el interés es compuesto continuamente.
• Examinemos la gráfica de f(n).
2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22 24 26 28
0.5
1
1.5
2
2.5
3
x
y
![Page 64: Temaixfuncionesexponencialesylogartmicas aplic contab](https://reader033.fdocuments.ec/reader033/viewer/2022052218/559716b81a28ab066d8b4635/html5/thumbnails/64.jpg)
El número natural e
2.718281828459...e
![Page 65: Temaixfuncionesexponencialesylogartmicas aplic contab](https://reader033.fdocuments.ec/reader033/viewer/2022052218/559716b81a28ab066d8b4635/html5/thumbnails/65.jpg)
Graficando Funciones Exponenciales
Grafica la función 2xf x e
-2 -1 1 2 3 4
2
4
6
8
10
12
14
x
y
![Page 66: Temaixfuncionesexponencialesylogartmicas aplic contab](https://reader033.fdocuments.ec/reader033/viewer/2022052218/559716b81a28ab066d8b4635/html5/thumbnails/66.jpg)
Graficando Funciones Exponenciales
Grafica la función 3xf x e
-2 -1 1 2 3 4
-2
2
4
6
8
10
12
x
y
![Page 67: Temaixfuncionesexponencialesylogartmicas aplic contab](https://reader033.fdocuments.ec/reader033/viewer/2022052218/559716b81a28ab066d8b4635/html5/thumbnails/67.jpg)
Logaritmo Natural
log lne x x
![Page 68: Temaixfuncionesexponencialesylogartmicas aplic contab](https://reader033.fdocuments.ec/reader033/viewer/2022052218/559716b81a28ab066d8b4635/html5/thumbnails/68.jpg)
Simplificando Expresiones con e o ln
• Simplifica.3.21) ln e
2 ln 12)
te
5 ln3) xe
3.24) ln e
2 ln5) xe
46) ln x ye
![Page 69: Temaixfuncionesexponencialesylogartmicas aplic contab](https://reader033.fdocuments.ec/reader033/viewer/2022052218/559716b81a28ab066d8b4635/html5/thumbnails/69.jpg)
Fórmula de Interés Compuesto Continuamente
rtA Pe
Donde:A es la cantidad total,P es el principal,r es la taza de interés anual,t es el tiempo en años.
![Page 70: Temaixfuncionesexponencialesylogartmicas aplic contab](https://reader033.fdocuments.ec/reader033/viewer/2022052218/559716b81a28ab066d8b4635/html5/thumbnails/70.jpg)
Aplicaciones a Economía
• ¿Cuál es la cantidad total para una inversión de $1000 invertido al 5% durante 10 años compuesto continuamente?
• ¿Cuál es la cantidad total para una inversión de $100 invertido al 3.5% por 8 años y compuesto continuamente?
![Page 71: Temaixfuncionesexponencialesylogartmicas aplic contab](https://reader033.fdocuments.ec/reader033/viewer/2022052218/559716b81a28ab066d8b4635/html5/thumbnails/71.jpg)
Media – Vida
• La media – vida de una sustancia es el tiempo que le toma a la mitad de la sustancia descomponerse o convertirse en otra sustancia durante el proceso de decaimiento.
• El proceso de decaimiento natural está modelado por la siguiente función.
0
ktN t N e
Cantidad inicial
Constante de decaimiento
Tiempo
Cantidad restante
![Page 72: Temaixfuncionesexponencialesylogartmicas aplic contab](https://reader033.fdocuments.ec/reader033/viewer/2022052218/559716b81a28ab066d8b4635/html5/thumbnails/72.jpg)
Aplicación a Paleontología
• Un paleontólogo descubre un fósil de un tigre dientes de sable en California. El analiza el fósil y concluye que el espécimen contiene 15% de su carbono-14 original. El carbono-14 tiene una media vida de 5730 años. Determina la edad del fósil.
• Determina cuanto le tomaría a una muestra de 650 mg de cromio-51, el cual tiene una media vida de 28 días, para decaer a 200 mg.