Vórtices de meso-escala, ondas de Rossby e os espectros observados a partir de altimetria por...

Sebastian Krieger

Vrtices de meso-escala, ondas de Rossby eos espectros observados a partir de

altimetria por satlites

Tese apresentada ao Instituto Oceanogrficoda Universidade de So Paulo, como partedos requisitos para obteno do ttulode Doutor em Cincias, Programa deOceanografia Fsica

Orientador: Prof. Dr. Paulo S. Polito

So Paulo

2013

UNIVERSIDADE DE SO PAULOINSTITUTO OCEANOGRFICO

Vrtices de meso-escala, ondas de Rossby eos espectros observados a partir de

altimetria por satlites

Sebastian Krieger

Tese apresentada ao Instituto Oceanogrficoda Universidade de So Paulo, como partedos requisitos para obteno do ttulode Doutor em Cincias, Programa deOceanografia Fsica

Julgada em / / por

Prof(a). Dr(a). Conceito





Em memria de minha av Ursula e de meu pai;

e minha me, com carinho.

Agradecimentos

O presente documento resultado de intenso trabalho durante os ltimos 52 meses.Neste perodo cometi muitos erros, alguns acertos, convivi com pessoas inspiradoras,aprendi muito e tive inmeras ideias para novas empreitadas. Na esfera pessoal passeipor muitos altos e baixos, chegando a questionar minhas escolhas e cogitando buscar poroutras reas. Apesar de ser responsvel pelo contedo, contei com a inestimvel ajuda,conselhos, ensinamentos e ricas discusses com amigos.

Sou muito grato pelos conselhos, sugestes, comentrios, pela compreenso eapoio de meu orientador Paulo. Tambm agradeo a Olga pelo incentivo, pelas discus-ses e por transmitir seu entusiasmo pela cincia. Considero ambos meus padrinhosacadmicos.

Quero agradecer os professores Edmo, Ilson, Joseph, Marcelo, Miranda, W.Dewar, W. Large pelas aulas inspiradoras e pelas discusses nos corredores.

Aos colegas e amigos Carine, Wandrey, Ana Paula, Bia, Patricia, Gilberto, Mar-cos, Jos Roberto, Mrcio B., Mrcio Y., Fabrcio, Fbio, Francisco Jos, Paulo Henrique,Betina, Michele, Nery, Riguel, Jana, Ricardo, Maria Fernanda pelo companheirismo epor tornarem a vida universitria menos difcil e ao mesmo tempo insuportvel.

Agradeo a Mariana pela companhia e apoio nos momentos difceis, que nosltimos meses no foram poucos, e nos momentos de alegria, que daqui em diantetornar-se-o mais frequentes.

Obrigado Ana Paula, Leticia, Silvana, da Secretaria de Ps-Graduao; Cidae ao Wagner da biblioteca.

Meu obrigado Myriam e Julia por me ajudarem a manter a sanidade. Tambmagradeo Sylvia, e as irms Julia e Catharina por me lembrarem que a cincia e amatemtica devem ser compreensveis para se tornarem relevantes.

Archiving, Validation and Interpretation of Satellite Oceanographic data(Aviso) por distribuir os dados de altimetria por satlites produzidos por Data Unificationand Altimeter Combination System (SSALTO/DUACS) com o apoio da Centre National

dtudes Spatiales (CNES).

Agradeo ao Conselho Nacional de Desenvolvimento Cientfico e Tecnolgico(CNPq) (processo no 142762/2011-3) e Coordenao de Aperfeioamento de Pessoalde Nvel Superior (CAPES) pelo apoio financeiro.

E finalmente aos amigos que, apesar de no contriburem diretamente na elabora-o desta tese, sempre lembraram que a vida no s feita de equaes indecifrveis egrficos hipnotizantes.

ii

Resumo

A dinmica em meso-escala nos oceanos globais dominada por sinais propagantes paraoeste. Estudos pioneiros a utilizar medidas de altimetria por satlites associaram estesinal a ondas de Rossby longas do primeiro modo baroclnico. Com o recente aumento deresoluo nos dados altimtricos, estudos mais recentes sugerem que vrtices de meso-escala no-lineares seriam os principais responsveis pelo sinal propagante observado,em detrimento s ondas de Rossby. O objetivo do presente trabalho identificar estruturascoerentes associadas a vrtices de meso-escala e distingui-las das ondas de Rossby longasdo primeiro modo baroclnico. Mapas de anomalia da altura da superfcie do mar ()foram filtrados atravs da anlise de ondaletas e um algoritmo de identificao e extraode estruturas vorticais. Os vrtices extrados foram caracterizados atravs do ajuste deum paraboloide elptico. O algoritmo demonstrou-se capaz de identificar e extrair asestruturas associadas a vrtices de meso-escala. Os resultados indicam predominncia deanis vorticais anti-ciclnicos. Os espectros de potncia zonaistemporais de indicamque a maior parte da varincia distribui-se na regio no-dispersiva do espectro tericode ondas de Rossby lineares. A propagao observada nos componentes resultantesdo filtro indicam coexistncia de ondas de Rossby lineares e vrtices de meso-escala,comprovando assim a hiptese cientfica estabelecida para este trabalho.

Palavras-chave: sensoriamento remoto, espectro de potncia, ondaletas.

iii

Abstract

The mesoscale dynamics in the global oceans is dominated by westward propagatingsignals. Pioneering studies using satellite altimetry measurements associated these ob-servations with first-mode baroclinic Rossby waves. With the increase in altimetry dataresolution, recent studies suggest that nonlinear mesoscale eddies are responsible for thewestward propagating signal rather than Rossby waves. The objective of this study isto identify coherent structures associated with mesoscale eddies and distinguish themfrom long first-mode baroclinic Rossby waves. Sea surface height anomaly maps ()were filtered throught wavelet analysis and an algorithm for identifying and extractingvortical structures. The extracted vortices were characterized by adjusting an ellipticparaboloid. The algorithm proved to be able to identify and extract the structures asso-ciated to mesoscale eddies. The results indicate a predominance of anti-cyclonic rings.Zonaltemporal power spectral density of indicate that most of the variance is locatedat the non-dispersive region of the theoretical linear Rossby wave spectra. The observedpropagation of the filtered components indicate coexistence of linear Rossby waves andmesoscale eddies, thus proving the scientific hypothesis of this study.

Keywords: remote sensing, spectral power, wavelets.

iv

Viver como andar de bicicleta:

preciso estar em constante movimento para manter o equilbrio.

Albert Einstein

Sumrio

Sumrio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . vi

Lista de figuras . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . viii

Lista de tabelas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . xi

1 Introduo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11.1 Vrtices de meso-escala . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31.2 Ondas de Rossby . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

2 Objetivos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

3 Dados e metodologia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93.1 Altimetria por satlites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93.2 Anlise espectral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123.2.1 Densidade de potncia espectral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133.2.2 Espectro de ondaletas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133.3 Anlise de ondaletas ortogonal bidimensional . . . . . . . . . . . . 153.4 Estruturas coerentes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 193.5 Identificao de vrtices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 203.6 Dados auxiliares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

4 Variabilidade global da altura da superfcie do mar . . . . . . . . 254.1 Altura da superfcie do mar e o sinal pr-filrado . . . . . . . . . . . 254.2 Mdia, tendncias e climatologia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 294.3 Espectro espacial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 414.4 Espectro zonaltemporal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 434.5 Contribuies e tendncias espectrais . . . . . . . . . . . . . . . . . 48

5 Separao de sinais de meso-escala . . . . . . . . . . . . . . . . . 545.1 Filtragem e identificao de estruturas . . . . . . . . . . . . . . . . 545.2 Espectro . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 575.3 Caractersticas dos vrtices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57

6 Concluses . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73

A Anlise de Fourier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76A.1 Transformada de Fourier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77A.1.1 Convoluo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79A.1.2 Filtro de resposta impulsiva . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80A.1.3 Propriedades importantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81A.1.4 Anlise espectral atravs da transformada de Fourier . . . . . . . . . 81

APNDICE B Ondaletas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83B.1 Frequncia e escala . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86B.2 Funo Escala . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89B.3 Transformada de ondaletas discreta . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91B.4 Escalograma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91B.5 Ondaletas ortogonais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95B.5.1 Anlise de multi-resoluo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95B.5.2 Filtros conjugados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97B.5.3 Ondaleta de Daubechies . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100

Referncias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101

vii

Lista de figuras

Figura 1 Esquema simplificado da estrutura bsica de vrtices no hemisfrionorte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

Figura 2 Diagrama de disperso normalizado de ondas de Rossby . . . . . . . 7Figura 3 Linha do tempo da srie de referncia da Aviso . . . . . . . . . . . . 10Figura 4 Trajetria das rbitas distintas dos satlites TOPEX/Poseidon e ERS-2 11Figura 5 Limites das principais bacias ocenicas . . . . . . . . . . . . . . . . 12Figura 6 Exemplo de coeficientes de ondaleta para o mapa de anomalia da

altura da superfcie do mar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17Figura 7 Detalhe do sinal de anomalia da altura da superfcie do mar decom-

posto atravs da anlise de ondaletas no Oceano Atlntico sul . . . . 18Figura 8 Mapa do raio de deformao de Rossby . . . . . . . . . . . . . . . . 23Figura 9 Mdias zonais do raio de deformao de Rossby e da componente

zonal da velocidade geostrfica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23Figura 10 Exemplo de mapa de anomalia da altura da superfcie do mar com

separao de estruturas coerentes e no-coerentes . . . . . . . . . . 26Figura 11 Densidades de potncia espectral bidimensional global do sinal de

anomalia da altura da superfcie do mar decomposto atravs da anlisede ondaletas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

Figura 12 Exemplo de densidades de potncia espectral de mapas de anomaliada altura da superfcie do mar original e decompostos em componen-tes coerentes e no-coerentes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

Figura 13 Detalhe do sinal de anomalia da altura da superfcie do mar coerentedecomposto atravs da anlise de ondaletas no Oceano Atlntico sul 30

Figura 14 Densidades de potncia espectral bidimensional global do sinal deanomalia da altura da superfcie do mar coerente decomposto atravsda anlise de ondaletas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

Figura 15 Limiar da transformada de ondaletas e os erros mdio, mdio absolutoe quadrtico mdio entre o sinal original e o sinal coerente . . . . . . 32

Figura 16 Variao temporal da anomalia da altura da superfcie do mar mdiapor bacia ocenica e global . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

Figura 17 Variao temporal do desvio padro espacial () da anomalia daaltura da superfcie do mar por bacia ocenica e global . . . . . . . . 35

Figura 18 Mapa de desvio padro da altura da superfcie do mar global . . . . 36Figura 19 Mapa de tendncias da altura da superfcie do mar globais . . . . . . 37Figura 20 Mapas da climatologia mensal da anomalia da altura da superfcie do

mar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38Figura 21 Densidade de potncia espectral bidimensional (zonal e meridional)

da anomalia da altura da superfcie do mar . . . . . . . . . . . . . . 40Figura 22 Diagramas zonaistemporais das densidades de potncia espectral

bidimensionais global . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42Figura 23 Diagrama zonaltemporal da anomalia da altura da superfcie do mar

na latitude 15,375N . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44Figura 24 Diagrama zonaltemporal da anomalia da altura da superfcie do mar

na latitude 22,375S . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45Figura 25 Densidade de potncia espectral bidimensional (zonal e temporal) da

anomalia da altura da superfcie do mar na latitude 15,375N . . . . 46Figura 26 Densidade de potncia espectral bidimensional (zonal e temporal) da

anomalia da altura da superfcie do mar na latitude 22,375S . . . . 47Figura 27 Anlise de ondaletas do sinal da anomalia da altura da superfcie do

mar mdia global . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49Figura 28 Mapas de contribuio espectral relativa em relao ao espectro de

ondaletas global com perodo de onda inferior a dois anos . . . . . . 50Figura 29 Mapas de tendncias espectrais para as faixas de perodos de 3, 6, 12

e 24 meses . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52Figura 30 Detalhe de componentes do mapa de anomalia da altura da superfcie

do mar para o dia 21 de junho de 2006 no Oceano Atlntico Sul . . . 54Figura 31 Exemplos de ajuste de paraboloide elptico a um vrtice anti-ciclnico

e ciclnico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61Figura 32 Sequncia de mapas dos componentes do filtro no Oceanos Atlntico

Sul . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62

ix

Figura 33 Sequncia de mapas dos componentes do filtro no Oceano PacficoNorte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63

Figura 34 Diagrama zonal-temporal dos componentes do filtro no Oceano Atln-tico a 22,375 S . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64

Figura 35 Diagrama zonal-temporal dos componentes do filtro no Oceano Pac-fico a 15,375 N . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65

Figura 36 Densidade de potncia espectral bidimensional (zonal e temporal)dos componentes filtrados na latitude 15,375 N . . . . . . . . . . . 66

Figura 37 Densidade de potncia espectral bidimensional (zonal e temporal)dos componentes filtrados na latitude 22,375S . . . . . . . . . . . . 67

Figura 38 Mapas de desvio padro para cada componente do filtro . . . . . . . 68Figura 39 Raio mdio de anis vorticais anti-ciclnicos e ciclnicos . . . . . . 69Figura 41 Polaridade mdia dos anis vorticais detectados . . . . . . . . . . . 71Figura 42 Nmero de vrtices detectados atravs do sistema de identificao

para excentricidade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71Figura 43 Mapas da altura mdia dos anis vorticais anti-ciclnicos e ciclnicos 72Figura 44 Comparao entre a anlise espectral de dois sinais peridicos com

mesmas frequncias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78Figura 45 As ondaletas de Morlet e chapu mexicano e suas transformadas de

Fourier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85Figura 46 As ondaletas de Morlet e chapu mexicano em diferentes escalas . . 87Figura 47 Caixas de Heisenberg e cone de influncia . . . . . . . . . . . . . . 90Figura 48 Escalograma e diagrama de fase dos dois sinais peridicos . . . . . . 93Figura 49 Espectro de ondaletas global e espectro de potncia de Fourier nor-

malizados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94Figura 50 Ondaleta de Haar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97Figura 51 Sinal decomposto pela ondaleta de Haar segundo a anlise de multi-

resoluo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98Figura 52 Ondaleta de Daubechies DB10 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99Figura 53 Sinal decomposto pela ondaleta de Daubechies DB10 segundo a

anlise de multi-resoluo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99

x

Lista de tabelas

Tabela 1 Tendncias de mdia e desvio padro da anomalia da altura da super-fcie do mar entre janeiro de 1993 e dezembro de 2012 . . . . . . . 34

Tabela 2 Contribuio relativa mdia de cada faixa de perodos em relao aoespectro de ondaletas global . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51

Tabela 3 Tendncias espectrais mdias para cada faixa de perodos . . . . . . 53Tabela 5 Propriedades importantes da transformada de Fourier . . . . . . . . 82

Lista de smbolos e abreviaturas

LRo raio de deformao de Rossby interno.

anomalia da altura da superfcie do mar.

ASM altura da superfcie do mar.

Aviso Archiving, Validation and Interpretation of Satellite Oceanographic data.

CAPES Coordenao de Aperfeioamento de Pessoal de Nvel Superior.

chl-a clorofila-a.

CNES Centre National dtudes Spatiales.

CNPq Conselho Nacional de Desenvolvimento Cientfico e Tecnolgico.

CWT transformada de ondaletas contnua continuous wavelet transform.

DWT transformada de ondaletas discreta discrete wavelet transform.

Envisat Environmental Satellite.

ERS European Remote Sensing Satellite.

FFT transformada rpida de Fourier (fast Fourier transform).

J-1 Jason-1.

J-2 Jason-2.

MAE erro mdio absoluto (mean absolute error).

ME erro mdio (mean error).

PSD densidade de potncia espectral (power spectral density).

RMSE erro quadrtico mdio (root-mean-square error).

SSALTO/DUACS Data Unification and Altimeter Combination System.

T/P TOPEX/Poseidon.

TSM temperatura da superfcie do mar.

xiii

11 Introduo

A dinmica dos oceanos, em meso- e larga-escalas, caracterizada (i) pelo ciclo anual deexpanso e contrao da coluna de gua causada, em primeira ordem, pela variao deinsolao em cada hemisfrio durante as estaes do ano; (ii) pelas correntes superficiaisforadas pelo vento, que formam os grandes giros e cuja principal caracterstica a intensificao das correntes de borda oeste; (iii) pela propagao, essencialmentezonal, de ondas planetrias; e (iv) pela formao e adveco de estruturas vorticais quepermanecem estveis por longos perodos de tempo. Para observar a variao espacial etemporal da dinmica dos oceanos em meso- e larga-escalas, a comunidade oceanogrficaconta atualmente com um grande conjunto de dados obtidos atravs de sensoriamentoremoto, como por exemplo as medidas de altura da superfcie do mar (ASM) a partir daaltimetria por satlites, medidas de temperatura da superfcie do mar (TSM), estimativasda velocidade do vento por medidas de escatermetros, estimativas de concentrao declorofila-a (chl-a) a partir de imagens satelitais de cor do oceano, e perfis hidrogrficosdos perfiladores autnomos do programa Argo.

A altimetria por satlites fornece informao espacial sobre a extenso, a formae a variabilidade de determinados processos ocenicos, principalmente de meso- elarga-escalas. Os primeiros estudos realizados com os campos de ASM medidos pelosaltmetros TOPEX/Poseidon (T/P), e seus sucessores Jason-1 (J-1) e Jason-2 (J-2),mostram feies com propagao predominante para oeste presentes em todos os oceanos.Estas feies so associadas presena de ondas de Rossby longas do primeiro modobaroclnico (CHELTON; SCHLAX, 1996; POLITO; CORNILLON, 1997; CIPOLLINIet al., 1997; KILLWORTH et al., 1997; POLITO; LIU, 2003).

Ondas de Rossby pertecem a uma classe especial de ondas de larga escalacom frequncias sub-inerciais, tanto nos oceanos quanto na atmosfera. Elas devem suaexistncia esfericidade e rotao da Terra. O mecanismo restaurador destas ondas dado pela conservao de vorticidade potencial (ROSSBY et al., 1939). A teoria deondas de Rossby extensamente discutida em livros de dinmica de fluidos geofsicos,como por exemplo em Gill (1982), Pedlosky (1987), Vallis (2006). O padro geral de

Captulo 1. Introduo 2

variao da densidade da gua dos oceanos com a profundidade, leva criao de ummodelo simplificado dos oceanos: um sistema de duas camadas com a camada superficialde gua mais quente e menos densa e a camada de fundo mais fria e densa. Ondasde Rossby longas do primeiro modo baroclnico so causadas por oscilaes verticaisda interface entre as duas camadas, e possuem propagao para oeste, escala espacialhorizontal da ordem de centenas a milhares de quilmetro e podem levar de meses a anospara atravessar uma bacia ocenica. Esta classe de ondas de grande importncia poisso o principal mecanismo de transferncia de energia atravs das bacias ocenicas, eso responsveis pelo estabelecimento da principal caracterstica da circulao em largaescala: a intensificao oeste dos grandes giros (ANDERSON; GILL, 1975). Elas afetamas correntes e transportam momentum e energia atravs das principais bacias ocenicas.Tambm influem nos efeitos de grandes eventos climticos na circulao ocenica egovernam o tempo de resposta dos oceanos s forantes atmosfricas.

Por outro lado, Stammer (1997) mostra que a distribuio geogrfica dos pro-cessos fsicos que geram variabilidade de meso-escala da ASM homognea e sugereque esta variabilidade est relacionada presena de vrtices gerados por instabili-dade baroclnica. Trabalhos mais recentes que utilizam campos de alta resoluo daASM, construdos atravs da fuso de medidas de dois altmetros com operao si-multnea (TRAON; DIBARBOURE, 1999; DUCET et al., 2000; TRAON et al., 2001;TRAON et al., 2003; PASCUAL et al., 2006), revelam feies em escalas espaciaismenores que as observadas apenas com os campos construdos a partir das medidas doT/P e J-1, por exemplo. Chelton et al. (2007) sugerem que a variabilidade da ASM dominada por vrtices de meso-escala no-lineares e com propagao para oeste emtodas as bacias ocenicas. Os mesmos autores apontam que, nas regies ocenicas ondeo desvio padro da ASM grande, h maior densidade de vrtices e tambm vrticescom as maiores amplitudes. O dimetro mdio dos vrtices varia de 200 km, em mdiase baixas latitudes, a 100 km em latitudes mais altas (CHELTON et al., 2007; CHELTONet al., 2011). Ao estudar as principais regies de ressurgncia, Chaigneau et al. (2009)sugerem que vrtices so gerados ao longo das costas e apresentam locais preferenciaispara a formao destas estruturas. Alm disso, os mesmos autores observam regiescom predominncia de vrtices ciclnicos ou anti-ciclnicos e sugerem influncia dacirculao mdia.


O campo de velocidades horizontal de vrtices esto quase em balano geostr-fico. Estes movimentos quase-geostrficos so aproximadamente hidrostticos e ocorremem um fluido em rotao estratificado quando a escala horizontal do movimento daordem do raio de deformao de Rossby interno (LRo) . Entretanto, para compreender aevoluo e a dinmica local de estruturas vorticais, importante considerar a componentevertical e os pequenos desvios do balano geostrfico (ROBINSON, 1983). Anis vorti-cais tendem a manter um ncleo interno com gua aprisionada e troca de gua apenasnas bordas. Eles mantm sua identidade apenas na termoclina, uma vez que a radiao deondas planetrias pode dispersar a energia do fluxo profundo mais fraco (ROBINSON,1983). Vrtices so gerados de diferentes formas, como por exemplo: interaes decorrentes de larga escala com a topografia de fundo, geometria costeira ou presena deilhas; instabilidade baroclnica local e forantes de vento prximo costa; alterao devorticidade atravs do rotacional da tenso de cisalhamento do vento e bombeamentode Ekman; conservao de vorticidade e instabilidade de correntes costeiras; e ondasconfinadas costa de origem equatorial.

Do ponto de vista dinmico, tanto as ondas de Rossby quanto os vrtices demeso-escala, satisfazem a teoria quase-geostrfica de conservao de vorticidade. Istodificulta a distino entre um fenmeno e outro. No entanto, distinguir entre ondas deRossby lineares e vrtices no lineares importante, pois a ltima transporta parcelas degua e mantm suas propriedades fsicas, qumicas e biolgicas. Vrtices transportamcalor e momentum, interagem com o campo de correntes mdio e podem influenciar adinmica do ecossistema marinho. Por outro lado, ondas propagam energia atravs dasbacias ocenicas sem afetar o transporte de massa e influenciam a intensificao dascorrentes de borda oeste.

1.1 Vrtices de meso-escala

Vrtices ocenicos so comumente vistos como corpos dgua em rotao que preservama sua forma deslocando-se por longas distncias. O mecanismo bsico que controlasua dinmica o balano geostrfico. A figura 1 ilustra o corte vertical atravs de doistipos bsicos de vrtices: um ciclnico e outro anti-ciclnico no hemisfrio norte. Nohemisfrio sul o sentido de rotao seria oposto, no entanto preservando o restante da


Figura 1 Esquema simplificado da estrutura bsica de vrtices a) anti-ciclnico (ncleo quente)e b) ciclnico (ncleo frio) no hemisfrio norte. Adaptado de Robinson (2010)

estrutura. O balano geostrfico atua em todas as profundidades. O balano entreo gradiente horizontal de presso (indicado pelas setas) e o fluxo circular horizontal,que por sua vez gera uma fora radial para fora se o vrtice for anti-ciclnico ou paradentro se for ciclnico. O gradiente horizontal de presso mantido pela inclinaao dasuperfcie livre que se eleva (diminui) em direo ao centro no vrtice de ncleo quente(frio) (ROBINSON, 2010).

A observao de vrtices atravs de oceanografia por satlites requer que os vr-tices possuam uma assinatura particular na superfcie. As principais caractersticas de umvrtice so suas linhas de corrente curvas, e muitas vezes fechadas, no campo horizontalda velocidade superficial. Considerando-se que os vrtices estejam em revoluo de


corpo slido, a assinatura superficial de anomalia da altura da superfcie do mar () emseu ncleo deve, em primeira ordem, ter forma parablica.

A regio de retroflexo da Corrente Norte do Brasil desprende constantementegrandes vrtices anti-ciclnicos. ao e Johns (2011) estudaram vrtices desta regio eobservaram que anis vorticais possuem uma estrutura radial com dois regimes: umncleo interior quase em rotao de corpo slido e um anel exterior com um regime dedecaimento exponencial.

O parmetro de Okubo-Weiss (OKUBO, 1970; WEISS, 1991) de identificao devrtices calculado a partir dos campos de vorticidade e das componentes normal e decisalhamento da tenso lateral. Em regies em que a vorticidade domina a tenso, define-se como centro de um vrtice. Chelton et al. (2011) chamam a ateno para problemascom mtodos baseados no parmetro de Okubo-Weiss: (i) necessidade de especificar-seum limiar para determinar a ocorrncia de um vrtice; (ii) mtodos numricos paraderivao so muito suscetveis ao rudo no campo de ASM; (iii) os contornos obtidosatravs deste mtodo muitas vezes no coincidem com contornos fechados de ASM.

Chaigneau et al. (2008) definem um vrtice como regies com linhas de correntefechada. Eles partem do princpio de que, na aproximao geostrfica, linhas de correnteso paralelas s linhas de ASM, de modo que linhas de contorno fechadas de ASMcorrespondem a linhas de corrente fechadas.

A anlise de ondaletas permite descrever vrtices coerentes atravs de um nmeropequeno dos coeficientes de ondaleta mais significativos a partir de mapas de vorticidade(DOGLIOLI et al., 2007; SIEGEL; WEISS, 1997).

Beron-Vera et al. (2013) sugerem uma metodologia para deteco de vrticesbaseada em sistemas dinmicos no-lineares. Estes autores argumentam que a dinmicade vrtices tratada com o formalismo Lagrangiano enquanto que os principais sistemasde deteco de vrtices so Eulerianos. Para eles, o principal problema da abordagemEuleriana a incapacidade de revelar o transporte de material a longas distncias e acoerncia em fluxos instveis. Entretanto a metodologia que eles propem possui umcusto computacional elevado.


1.2 Ondas de Rossby

Ondas de Rossby pertecem a uma classe especial de ondas de larga escala com frequn-cias sub-inerciais, tanto nos oceanos quanto na atmosfera. Elas devem sua existncia esfericidade e rotao da Terra e seu mecanismo restaurador dado pela conservaode vorticidade potencial Rossby.etal.1939. A teoria de ondas de Rossby extensamentediscutida em (GILL, 1982; PEDLOSKY, 1987; VALLIS, 2006).

Por simplificao, assume-se um modelo de duas camadas cuja espessura dacamada superficial H1 de densidade 1 e cuja camada de fundo possui espessurainfinita e densidade 2. Este modelo tambm conhecido como modelo de 11/2 camada.A dinmica de ondas de Rossby pode ser descrita pela equao da conservao davorticidade linearizada e aproximada pelo plano , segundo Pedlosky (1987),

t

[21x2

+21y2

LRo1]

+ 1x

= 0 , (1.1)

ondeLRo =

f 20c2

=f 20

g (/)H1,

=2 10

, (1.2)

e g a acelerao da gravidade, f0 = 2 sin(0) o parmetro de Coriolis, = 2a cos 0e 0 a densidade mdia da gua do mar. A latitude central do plano 0 e a o raio mdio da Terra. Assumindo-se uma funo de corrente de forma ondulatria1 = 0). A distribuio de polaridade mdia calculada a partirdas frequncias de ocorrncia de vrtices anti-ciclnicos (fA) e ciclnicos (fC) pelarelao p = fAfC

fA+fE(CHAIGNEAU et al., 2009). O mapa de polaridade mdia (figura 41)

confirma a predominncia de vrtices anti-ciclnicos, no entanto h regies localizadasonde vrtices anti-ciclnicos so predominantes e regies sem predominncia definida.Nas principais correntes ocenicas, como por exemplo a Corrente de Kuroshio, a Correntedo Golfo e a Corrente Circumpolar Antrtica, nota-se as intensas regies com desprendi-mento de vrtices ciclnicos, em direo ao equador, e de vrtices anti-ciclnicos, emdireo aos polos.

As caractersticas mdias apresentadas a seguir consideram apenas o sinal as-sociado aos anis vorticais, selecionados pelo critrio da excentricidade e < 0,866.Espera-se que os vrtices selecionados atravs deste critrio sejam mais estveis e queeles mantenham suas propriedades por mais tempo. A figura 42 mostra a quantidade devrtices encontrados segundo este critrio ao longo do tempo. A quantidade de anisvorticais identificados permanece relativamente constante ao longo do tempo e o sistemaencontra praticamente a mesma quantidade de vrtices anti-ciclnicos e ciclnicos.

Tanto os anis vorticais ciclnicos quanto anti-ciclnicos possuem distribuioespacial de altura similares (figura 43. As alturas dos vrtices variam entre 50 mm naregio equatorial e aumentam em funo da latitude. As maiores alturas so observadasnas latitudes 40 N e 43 S, aproximadamente. As alturas mximas variam entre 150 mme 200 mm, e podem a chegar a mais 300 mm em algumas regies. A partir destas latitudes,

Captulo 5. Separao de sinais de meso-escala 60

as alturas voltam a diminuir.

A distribuio de altura de vrtices semelhante aos resultados obtidos porChelton et al. (2011). importante lembrar que estes autores classificam os vrticespor tempo de vida, enquanto que no presente trabalho os vrtices so classificados pelaexcentricidade.


Figura 31 Exemplo de ajuste de paraboloide elptico a um vrtice anti-ciclnico (topo) e cicl-nico (inferior) identificado pelo sistema automtico. (Esquerda) Mapas de altura esobrepostas s linhas de contorno. (Direita) Cortes zonais ao longo do centro dosvrtices com as linhas de M (linha fina) e o paraboloide elptico ajustado (linhagrossa). A altura basal de cada vrtice est indicada pela linha tracejada. Os par-metros do vrtice anti-ciclnico so: x0 = 14,05 W, y0 = 32,9 S, a = 172 km,b = 142 km, = 13,8, B = 38 mm, h = 180 mm, RMSE = 23 mm. Osparmetros do vrtice ciclnico so: x0 = 28,3 W, y0 = 40,7 S, a = 134 km,b = 109 km, = 34,8, B = 2 mm, h = 308 mm, RMSE = 34 mm


Figura 32 Sequncia de mapas dos componentes do filtro no Oceano Atlntico Sul. O sinalcoerente (C) foi decomposto em sinal de larga-escala (L), sinal basal (B), sinalde vrtices (E) e anis (R). O perodo da sequncia vai de 21 de junho a 9 deagosto de 2006.


Figura 33 Sequncia de mapas dos componentes do filtro no Oceano Pacfico Norte. O sinalcoerente (C) foi decomposto em sinal de larga-escala (L), sinal basal (B), sinalde vrtices (E) e anis (R). O perodo da sequncia vai de 21 de junho a 9 deagosto de 2006.


Figura 34 Diagrama zonal-temporal dos componentes do filtro no Oceano Atlntico a22,375 S. O sinal coerente (C) foi decomposto em sinal de larga-escala (L),sinal basal (B), sinal de vrtices (E) e anis (R).


Figura 35 Diagrama zonal-temporal dos componentes do filtro no Oceano Pacfico a 15,375 N.O sinal coerente (C) foi decomposto em sinal de larga-escala (L), sinal basal (B),sinal de vrtices (E) e anis (R).


Figura 36 Densidade de potncia espectral bidimensional (em mm2/cpd/cpkm) em funodos nmeros de onda zonal (em ciclos por km, cpkm) e frequncia (em ciclos pordia, cpd) dos componentes de larga-escala L, basal B , de vrtices E e de anisvorticais R globais na latitude 15,375 N. As linhas sobrepostas correspondems relaes de disperso de ondas de Rossby lineares da teoria clssica, sem oefeito de correntes mdias (linha preta); e com efeito de correntes mdias (linhabranca), assumindo nmero de onda meridional nulo. As linhas espessas so asrelaes de disperso calculadas utilizando o raio de deformao de Rossby (LRo)estimado por Chelton et al. (1998), enquanto que as linhas finas inferior e superiorso calculadas utilizando 0.5 LRo e 1.5 LRo, respectivamente.


Figura 37 Densidade de potncia espectral bidimensional (em mm2/cpd/cpkm) em funodos nmeros de onda zonal (em ciclos por km, cpkm) e frequncia (em ciclospor dia, cpd) dos componentes de larga-escala L, basal B , de vrtices E e deanis vorticais R globais na latitude 22,375S. As linhas sobrepostas correspondems relaes de disperso de ondas de Rossby lineares da teoria clssica, sem oefeito de correntes mdias (linha preta); e com efeito de correntes mdias (linhabranca), assumindo nmero de onda meridional nulo. As linhas espessas so asrelaes de disperso calculadas utilizando o raio de deformao de Rossby (LRo)estimado por Chelton et al. (1998), enquanto que as linhas finas inferior e superiorso calculadas utilizando 0.5 LRo e 1.5 LRo, respectivamente.


Figura 38 Mapas de desvio padro para cada componente do filtro: larga-escala (L), basal (B),vrtices (E) e anis vorticais (R).


Figura 39 Raio mdio de anis vorticais anti-ciclnicos (topo) e ciclnicos (inferior).


Figura 40 Frequncia mdia de observao de vrtices anti-ciclnicos (topo) e ciclnicos(inferior).


Figura 41 Polaridade mdia dos anis vorticais detectados entre janeiro de 1993 e dezembrode 2012.

1995 1997 1999 2001 2003 2005 2007 2009 2011

0

80

160

240

Num

ero

devo

rtic

es

Ciclonicos Anti-ciclonicos

Figura 42 Nmero de vrtices detectados atravs do sistema de identificao para excentrici-dade e < 0,866.


Figura 43 Mapas da altura mdia dos anis vorticais anti-ciclnicos (topo) e ciclnicos (infe-rior).

73

6 Concluses

O algoritmo para deteco de estruturas vorticais desenvolvido utiliza a combinaode dois mtodos distintos para a filtragem dos dados: um baseado na transformada deondaletas discreta bidimensional e outro baseado em linhas de contorno de altura dasuperfcie do mar (ASM) fechadas (CHAIGNEAU et al., 2008) com o ajuste de umafuno paraboloide elptica para caracterizar e classificar as propriedades da estruturaidentificada. O algoritmo demonstrou a capacidade de identificar e extrair as estruturasassociadas a vrtices de meso-escala.

A transformada de ondaletas permitiu a separao entre rudo e sinal utilizando-seum limiar aplicado aos coeficientes de ondaleta coerentes e no-coerentes. Aps isso ofiltro para extrao do sinal de larga-escala baseado na transformada de ondaletas separatanto sinais no propagantes associados ao ciclo sazonal quanto sinais propagantes. Oalgoritmo de identificao e extrao de vrtices sensvel a rudos, fazendo com queestruturas identificadas pulem de um componente para outro esporadicamente com opassar do tempo (figuras 32 e 33.

Os espectros zonaistemporais ilustrados nas figuras 25 e 26 indicam que a maiorparte da potncia se distribui entre as regies no-dispersivas das curvas correspondentess relaes de disperso cuja velocidade de fase fica entre 50 % da curva obtida a partirdo raio de deformao obtido por Chelton et al. (1998). Cabe notar que a inclinao daparte mais prxima origem dessas relaes de disperso estritamente dependentedo raio de deformao, que por sua vez depende da estratificao. A quantificao daestratificao, quer seja no modelo de camadas ou continuamente estratificado, no trivial e pode causar mudanas significativas no valor do raio de deformao.

As climatologias mensais determinadas a partir do conjunto de 20 anos de ASMdo indcios da existncia de ondas de Rossby persistentes e de perodos predominante-mente anuais e semi-anuais em todas as bacias. Estas ondas manifestam-se principalmentena regio equatorial (figura 20).

Aps a aplicao do filtro, como ilustram as figuras 36 e 37, h uma quantidadesignificativa de potncia no diagrama de B distribuda ao longo da curva de disperso

Captulo 6. Concluses 74

central. B contm os sinais que no so identificados como sendo de larga-escala pelofiltro de ondaleta, nem tampouco aqueles identificados como estruturas vorticais peloprocesso de extrao por ajuste de paraboloide. Por excluso o sinal remanescente identificado como ondas de Rossby, uma vez que se encaixa na relao de dispersodelas.

Uma vez identificados os anis, a anlise estatstica indica que o raio mdio deanis anti-ciclnicos aproximadamente duas vezes maior que o raio mdio de anisciclnicos (figura 39). A frequncia mdia de ocorrncia de vrtices por unidade derea influenciada pelo maior tamanho mdio dos vrtices anti-ciclnicos e portanto,h um vis que favorece tais vrtices (figura 40). A distribuio espacial da polaridademdia por unidade de rea tambm afetada pelo tamanho. Alm disso essa distribuioespacial mostra uma maior ocorrncia de vrtices ciclnicos sobre a extenso leste dascorrentes de borda oeste. e ao longo da Frente Subtropical Sul (figura 41).

Os resultados mostram que h co-propagao dos componentes B, E e R,indicando coexistncia de ondas de Rossby lineares e vrtices de meso-escala, e compro-vando a hiptese cientfica estabelecida para este trabalho.

Por fim, dos objetivos especficos pode-se afirmar que:

A anlise espectral permitiu caracterizar o sinal de ASM e testar a eficincia doalgoritmo de pr-filtragem e de extrao de estruturas vorticais;

O filtro de ondaletas utilizado extrai o sinal de meso-escala que contm tanto sinaispropagantes e no-propagantes;

O algoritmo de identificao e extrao de estruturas candidatas a vrtices foicapaz de isolar sinais;

Os resultados da anlise estatstica dos vrtices identificados mostra predominnciade anis anti-ciclnicos.

Sugestes para trabalhos futuros

Incorporar um sistema de rastreamento para acompanhar a evoluo temporal decada uma das estruturas identificadas;

Captulo 6. Concluses 75

Aplicar a metodologia a outros conjuntos de dados (i.e. imagens de temperaturada superfcie do mar, clorofila-a), inclusive resultados de modelos numricos ouperfiladores Argo;

Comparar a performance da tcnica com outros mtodos de identificao e rastrea-mento de vrtices;

76

APNDICE A Anlise de Fourier

A anlise de Fourier, ou anlise harmnica, tem por objetivo aproximar uma funoperidica f (t) de perodo P = 2L por uma combinao linear de funes harmnicasde frequncias distintas. Desta forma, f (t+ P ) = f (t), e, para qualquer f e primeiraderivada f seccionalmente contnuas no intervalo [L,L], a funo pode ser expressapela srie de Fourier

f (t) =a02

+n=1

(an cos

(npit

L

)+ bn sin

(npit

L

)), (A.1)

onde

an =1

L

LL

f (t) cos

(npit

L

)dt , (A.2)

bn =1

L

LL

f (t) sin

(npit

L

)dt . (A.3)

Note que, nos pontos de descontinuidade, a srie de Fourier converge para

f (t+ 0) + f (t 0)2

A funo f (t) dada por (A.1) a soma ponderada das funes harmnicas cujos pesosso dados por an e bn. Para n = 0,

a02

=1

2L

LL

f (t) dt

o valor mdio de f (t) no intervalo [L,L].

APNDICE A. Anlise de Fourier 77

A.1 Transformada de Fourier

Utilizando-se a notao exponencial para as funes harmnicas e seja a funo f (t) L1 (R), a integral de Fourier

f () =

+

f (t) eitdt , (A.4)

d a medida da intensidade das oscilaes eit de frequncia angular na funo f . Se ffor integrvel, ento a transformada inversa de Fourier dada pelo teorema a seguir,

Teorema A.1 (Transformada inversa de Fourier). Seja f L1 (R) e f L1 (R) ento,em quase todo t R,

f (t) =1

2pi

+

f () eitd . (A.5)

A transformada inversa (A.5) decompe f em uma soma de funes harmni-cas eit de amplitude f (). A hiptese de f L1 (R) implica que f deve ser contnua,motivando a extenso da transformada de Fourier para o espao L2 (R) de funes f de

energia finita+|f (t)|2 < +. Lembrando que no espao de Hilbert L2 (R) o produto

interno de f L2 (R) e g L2 (R) definido por

f, g =+

f (t) g (t) dt , (A.6)

onde g (t) o complexo conjugado de g (t). A norma em L2 (R)

f2 = f, f =+

|f (t)|2 dt . (A.7)

O teorema a seguir indica que o produto interno e a norma no espao L2 (R) soconservados pela transformada de Fourier, salvo por um fator 1

2pi.

Teorema A.2. Seja f e g L1 (R) L2 (R), a identidade de Parseval +

f (t) g (t) dt =1

2pi

+

f () g () d . (A.8)


0 1 2 3 4 5 6 7 8Tempo [anos]

21

0

1

2 a)

0 1 2 3 4 5 6 7 8Tempo [anos]

b)

0 80 160 240 320 400 480 560 640Perodo [dias]

105104103102101

100101102 c)

0 80 160 240 320 400 480 560 640Perodo [dias]

d)

Figura 44 Comparao entre a anlise espectral de dois sinais peridicos com mesmas frequn-cias. O sinal em (a) composto pela soma de dois sinais harmnicos representandoum fenmeno com um ciclo anual e um ciclo semi-anual, e em (b) pelos mesmos si-nais harmnicos mas com ocorrncia em intervalos distintos e o dobro da amplitude.Em (c) e (d) os respectivos espectros de potncia normalizados.

Para o caso particular g = f obtm-se a frmula de Plancherel

+

|f (t)|2 dt = 12pi

+

f ()2 d . (A.9)A figura 44 ilustra dois exemplos nos quais a anlise de Fourier obtm espectros

de potncia praticamente idnticos para sries temporais distintas. No primeiro caso,o sinal composto pela soma de dois sinais harmnicos de perodo anual e semi-anual defasados por pi. No segundo caso, o sinal composto pelos mesmos sinaisharmnicos, no entanto o primeiro ocorre na primeira metade do intervalo e o segundona segunda metade e com amplitudes duas vezes maiores. As potncias espectrais das


duas sries so praticamente idnticas, salvo a observao de frequncias esprias nosegundo caso, provavelmente decorrentes devido abrupta mudana de regime. Esteexemplo simplificado mostra como a transformada de Fourier possui limitaes para acaracterizao de eventos variantes no tempo.

A.1.1 Convoluo

Em anlise funcional, a convoluo um operador sobre duas funes f e g definida por

(f ? g) (u) =

+

f (t) g (u t) dt . (A.10)

A convoluo retorna uma terceira funo que, de certo modo, quantifica a sobreposioentre f e uma verso de g invertida e transladada por u. Este operador amplamenteutilizado em anlise de sinais e aplicao de filtros.

Teorema A.3 (Convoluo). Seja f L1 (R) e h L1 (R). A funo g = f ?h L1 (R)ento

g () = f () h () . (A.11)

Demonstrao.

f () h () =

+

+

f (u)h (v) eiueivdudv

=

+

+

f (u)h (v) ei(u+v)dudv

u = x, u+ v = y, du = dx, dv = dy

=

+

+

f (x)h (y x) eiydxdy

=

+

( +

f (x)h (y x) dx)eiydy

=

+

(f ? h) eiydy

= f ? h () .


Esta uma propriedade importante para o clculo da convoluo de duas sriespois o processamento numrico de sries longas pode ser acelerado com a adoodo algoritmo da transformada rpida de Fourier (FFT, fast Fourier transform) e datransformada inversa rpida de Fourier (IFFT, inverse fast Fourier transform).

A.1.2 Filtro de resposta impulsiva

Operaes de processamento de sinais como remoo de ruido estacionrio ou trans-misso por exemplo, so implementados atravs de operadores lineares temporalmenteinvariantes. Seja o operador invariante no tempo denotado por L aplicado a uma funode entrada f (t) cujo resultado dado pela sada g (t), ento para um atraso tem-se

g (t) = Lf (t) g (t ) = Lf (t ) . (A.12)

Sistemas invariantes no tempo so caracterizados por sua resposta a um impulso de Dirac.Um impulso de Dirac definido pelas seguintes relaes:

(t) =

+ se t = 00 se t 6= 0 ,+

(t) dt = 1 .

A integrao simblica sobre um impulso de Dirac uma notao bastante til poispossui as mesmas propriedades de uma integral usual, como mudana de variveis eintegrao por partes. Assim, um delta de Dirac transladado (t u) possui contedocentrado em u e para uma funo f (t) real e contnua

f (t) =

+

f (u) (t u) du . (A.13)

A continuidade e linearidade do operador L implica em

Lf (t) =

+

f (u)L (t u) du = g (t) . (A.14)


Seja h a resposta a um impulso de L, ento

h (t) = L (t) .

A invarincia temporal mostra que L (t u) = h (t u) e portanto

Lf (t) =

+

f (u)h (t u) du =+

h (u) f (t u) du = h ? f (t) . (A.15)

Assim, um filtro linear temporalmente invariante equivalente a uma convoluo com afuno resposta de impulso h (t).

No espao das frequncias, um filtro passa-baixa ideal pode ser construdomultiplicando-se f () pela funo indicadora 1[,] (), onde a frequncia deoperao do filtro. Relembrando que a funo indicadora definida por

1[,] =

1 se [, ]0 se / [, ] .O espectro de sada filtrado ento

g () = h () f () = 1[,]f ()

e, pelo teorema da convoluo (A.11) e pela equao (A.15), a sada do filtro

g (t) = h ? f (t) .

Portanto, a funo resposta de impulso para um filtro de passa-baixa calculado atravsda transformada inversa de Fourier (A.5):

h (t) =1

2pi

+

eitd =sin (t)

pit. (A.16)

A.1.3 Propriedades importantes

A tabela 5 apresenta um resumo das principais propriedades da transformada de Fou-rier (MALLAT, 2008). A maioria destas frmulas demonstrada por mudana de vari-veis na integral de Fourier.

A.1.4 Anlise espectral atravs da transformada de Fourier


Tabela 5 Propriedades importantes da transformada de Fourier.

Propriedade Funo Transformada de Fourier

f (t) f ()

Inversa f () 2pif ()Convoluo f1 ? f2 (t) f1 () f2 ()

Multiplicao f1 (t) f2 (t) 12pi f1 ? f2 ()Translao f (t t0) eit0f ()Modulao ei0tf (t) f ( 0)

Escalonamento f(ts

) |s| f (s)Derivadas temporais f (p) (t) (i)p f ()

Derivadas frequenciais (it)pf (t) f (p) ()Complexo conjugado f (t) f ()

83

APNDICE B Ondaletas

De maneira anloga anlise de Fourier, procura-se aproximar uma funo f (t) por umacombinao linear de funes localizadas e em diferentes escalas, chamadas ondaletas.A ondaleta-me uma funo L2 (R) de mdia nula,

+

(t) dt = 0 (B.1)

e norma um,

(t) = , 1/2 = +

(t) (t) dt

1/2 = 1 , (B.2)centralizada na vizinhana de t = 0. O sinal original pode ser expandido por funesperidicas com propriedades temporais e de frequncia adaptadas estrutura local dosinal atravs de um conjunto de funes transladadas e escalonadas da ondaleta-me,

u,s (t) =1s

(t us

)s > 0 , (B.3)

que tambm so normalizadas (u,s = 1). Ondaletas u,s dilatadas possuem s >1 enquanto que ondaletas contradas possuem s < 1. A transformada de ondaletacontnua (CWT, continuous wavelet transform) de uma funo f (t) L2 (R) na escalas e no tempo u

Wf (u, s) = f, u,s =+

f (t)u,s (t) dt . (B.4)

A transformada de ondaleta pode ser reescrita na forma de produto de convoluo

Wf (u, s) =

+

f (t)1s(t us

)dt = f ? s (u) (B.5)

ondes (t) =

1s( ts

), (B.6)

APNDICE B. Ondaletas 84

cuja transformada de Fourier

s () =s (s) . (B.7)

Utilizando-se o teorema da convoluo (A.11) e a definio da transformada inversa deFourier (A.5), a expresso (B.5) pode ser reescrita na forma

Wf (u, s) =

+

f () s () eiud . (B.8)

A transformada expressa por (B.5) e (B.8) mostra que as ondaletas operam como filtrosde passa-banda dilatados sobre o sinal original.

Uma transformada de ondaletas real completa e conserva a energia contantoque a ondaleta satisfaa uma condio fraca segundo o teorema a seguir.

Teorema B.1 (Calderon (1964), Grossmann e Morlet (1984)). Seja L2 (R) umafuno real de modo que

C =

+0

()2

d < + . (B.9)

Qualquer funo f L2 (R) satisfaz

f (t) =1

C

+0

+

Wf (u, s)1s

(t us

)du

1

s2ds (B.10)

e+

|f (t)|2 = 1C

+0

+

|Wf (u, s)|2 du 1s2ds . (B.11)

A hiptese (B.9) chamada de condio de admissibilidade. Para garantir queesta integral seja finita, (0) = 0. A condio de ondaleta de mdia nula quasesuficiente. Se () tambm for continuamente diferencivel, ento a condio de ad-missibilidade satisfeita. A equao (B.11) mostra que a condio de admissibilidadetambm garante a conservao de energia da transformada. Qualquer funo f pode serbem aproximada por uma superposio de ondaletas como indica a equao (B.10).


3.0 1.5 0.0 1.5 3.0t/s

0.8

0.0

0.8

a) Morlet, Mo

3.0 1.5 0.0 1.5 3.0t/s

b) Chapeu mexicano, Me

1.6 0.8 0.0 0.8 1.6s/(2pi)

0.0

0.3

0.6

c) Mo

1.6 0.8 0.0 0.8 1.6s/(2pi)

d) Me

Figura 45 (a) Parte real (linha contnua) e imaginria (linha tracejada) da ondaleta de Mor-let Mo com 0 = 6, e (b) ondaleta chapu mexicano Me com = 1. Nospainis (c) e (d) as respectivas transformadas de Fourier Mo e Me.

A escolha da ondaleta-me (t) no nica tampouco arbitrria. Alm depossuir mdia nula e norma um, a ondaleta-me deve ser de suporte compacto ou dedecaimento suficientemente rpido para garantir localizao temporal adequada. Duasondaletas populares so a Morlet e a chapu mexicano ilustradas na figura 45. A ondaletade Morlet e sua transformada de Fourier so expressas por:

Mo (t) = pi14 ei0te

t2

2 , (B.12)

Mo () = pi14 e

(0)22 . (B.13)

Esta ondaleta complexa e, apesar da maioria das aplicaes envolverem funes reais,ela capaz de extrair informao sobre a amplitude e a fase de processos. A ondaletachapu mexicano a segunda derivada da funo Gaussiana normalizada. Ela e sua


transformada de Fourier so dadas por:

Me (t) =23pi

14

(1 t

2

2

)e

t2

22 , (B.14)

Me () =

8

3

52pi

142e

22

2 . (B.15)

B.1 Frequncia e escala

Frequncia uma propriedade fsica de um processo ou de um sinal bem definida e dadapela quantidade de observaes durante um certo perodo de tempo. No entanto, a escalade um processo deve ser tratada de forma diferente. A escala indica uma faixa temporal(ou espacial), a resoluo nos quais determinados processos de um fenmeno ocorrem.Escala e frequncia so conceitos independentes e esto relacionadas pelo fato de aescala fornecer limites para o comprimento de onda. Portanto, em uma escala especficapor exemplo, pode haver ocorrncia de bandas de frequncias limitadas pela dimensoda escala. Nota-se pela figura 45 que as transformadas de Fourier das ondaletas Morlet echapu mexicano so bastante diferentes. A ondaleta de Morlet possui espectro apenasnas frequncias positivas ( > 0), caracterstica de uma ondaleta analtica. Por outrolado, a ondaleta chapu mexicano possui tanto frequncias positivas quanto negativas. Ospicos de frequncia so diferentes para cada ondaleta e, em ambos os casos apresentados,o valor mximo do espectro no est em s/ (2pi) = 1, o que seria esperado caso aescala s fosse equivalente frequncia angular .

A figura 46 ilustra o comportamento das ondaletas de Morlet e chapu mexicanoem diferentes escalas. O pico do espectro de Fourier das ondaletas deslocado conformea escala smuda. Nota-se que o espectro da ondaleta de Morlet responde mais rapidamentea mudanas de escala que a ondaleta chapu mexicano. A dilatao da ondaleta agecomo um filtro de frequncias mais baixas e banda de frequncias mais estreita e vice-versa. Esta observao ilustra um aspecto importante da anlise de ondaletas: a incertezaentre localizao temporal (ou espacial) e determinao de frequncias. Eventos de altafrequncia podem ser bem localizados no tempo, pois a ondaleta contrada, no entanto,com grande incerteza de frequncia, pois a banda de frequncias mais larga. Eventosde pequena-escala, como regies de descontinuidade, so bem resolvidos no domnio do


4 3 2 1 0 1 2 3t

1.0

0.50.0

0.5

1.0

M

o (s,

t)

2.0 1.5 1.0 0.5 0.0 0.5 1.0 1.5 2.0/(2pi)

0.00

0.25

0.50

0.75

1.00

M

o (s,

)

(a) Morlet

4 3 2 1 0 1 2 3t

0.50.0

0.5

1.0

1.5

M

e (s,

t)

2.0 1.5 1.0 0.5 0.0 0.5 1.0 1.5 2.0/(2pi)

0.0

0.2

0.4

0.6

0.8

M

e (s,

)

s = 0.75s = 1s = 1.25

(b) Chapu mexicano

Figura 46 (a) Parte real da ondaleta de Morlet (0 = 6) e sua transformada de Fourier e(b) ondaleta chapu mexicano ( = 1) e sua transformada de Fourier em diferentesescalas: s < 1 (linha tracejada), s = 1 (linha contnua), s > 1 (linha trao-ponto).Note o efeito da dilatao e contrao da ondaleta sob seu espectro de Fourier.


tempo e com grande incerteza no domnio das frequncias. Por outro lado, eventos delarga-escala so bem resolvidos no espao de frequncias, mas com grande incerteza nalocalizao.

A resoluo de tempo e frequncia depende da distribuio temporal e frequencialda ondaleta u,s. Supondo que a ondaleta seja analtica e centrada em 0, ento u,sest centrada em t = u. Seja

2t =

+

t2 | (t)|2 d , (B.16)

verifica-se que+

(t u)2 |u,s (t)|2 d = s22t . (B.17)

Seja a frequncia central de ,

=1

2pi

+0

()2 d (B.18)

e a transformada de Fourier de u,s igual a

u,s () =seiu (s) , (B.19)

sua frequncia central portanto /s. A distribuio de energia de u,s em torno de /s

1

2pi

+0

( )2u,s ()2 d = 2

s2, (B.20)

onde

2 =1

2pi

+0

( )2 ()2 d . (B.21)

A distribuio de energia da ondaleta u,s corresponde a uma caixa de Heisenbergcentrada em

(u,

s

)com tamanho st ao longo do tempo e s ao longo da frequncia.

Assim, a rea do retngulo t para qualquer escala mas, tanto a resoluo no tempoquanto na frequncia dependem da escala s como ilustra a figura 47a. A relao entre as


incertezas nos domnios do tempo e da escala (ou frequncia) regulada pelo princpio daincerteza de Heisenberg, oriundo da mecnica quntica. Assim, no possvel determinar-se localizao temporal e frequncia com resoluo arbitrria.

O efeito de um evento local sob a ondaleta u,s em funo da escala s limitadopelo chamado cone de influncia. O cone de influncia pode ser interpretado como aregio em que um evento local se estende nos planos da escala e do tempo (ou espao)da transformada de ondaletas. Supondo que o suporte da ondaleta limitado nointervalo [C,C] ento o cone de influncia em t = v no plano da escala e do tempo(ou espao) um conjunto de pontos (u, s) de modo que v esteja dentro do suportede u,s (t). Como o suporte de

(tus

) igual a [u Cs, u+ Cs], o cone de influncia

em v definido por|u v| Cs (B.22)

e ilustrado na figura 47b. Como u est contido no cone de influncia de v, Wf (u, s) =f, u,s depende do valor de f na vizinhana de v. Assim, toda transformada em v cujocone de influncia estiver fora do domnio da funo possui erros devido aos efeitos deborda.

usual limitar o suporte de uma ondaleta contnua no intervalo dado pelodecaimento exponencial de sua amplitude. Ou seja, C tal que (C) = 1

e (0). No caso

das ondaletas de Morlet e chapu Mexicano os limites so respectivamente CMo =

2 eCMe 2.

B.2 Funo Escala

Seja a transformada Wf (u, s) conhecida apenas para s < s0. Para recuperar f comple-tamente preciso informao complementar correspondente a Wf (u, s) para s > s0.Este complemento obtm-se com a introduo da funo escala . O mdulo de suatransformada de Fourier definido por:

()2 = +1

(s)2 1sds =

+

()2

d , (B.23)


(a) Caixas de Heisenberg (b) Cone de influncia

Figura 47 (a) Caixas de Heisenberg de duas ondaletas. Note como em escalas menores (onda-leta contrada) a extenso temporal diminui mas a extenso das frequncias aumentae desloca-se para frequncias mais altas. (b) O Cone de influncia de v o conjuntode pontos (u, s) no espao das escalas cujo suporte de u,s intersecta t = v. PorMallat (2008).

e a fase complexa de () pode ser escolhida arbitrariamente. Verifica-se que = 1 eque da condio de admissibilidade (B.9) tem-se

lim0

()2 = C . (B.24)A funo escala pode ento ser interpretada como a resposta de impulso de um filtro depassa-baixa. Seja

s (t) =1s

(t

s

)e s = s (t) .

A aproximao em baixa frequncia de f na escala s

Lf (u, s) =

f (t) ,

1s

(t us

)= f ? s (u) .

Ento, de forma equivalente ao teorema B.1,

f (t) =1

C

s00

Wf (., s) ? s (t)1

s2ds+

1

Cs0Lf (., s0) ? s0 (t) . (B.25)


A funo escala pode ser utilizada para obter-se uma aproximao da funo fpara escalas maiores que s0. Este conceito torna-se mais importante com na aplicao defiltros de ondaletas ortogonais como abordado mais adiante.

B.3 Transformada de ondaletas discreta

Para implementar a transformada de ondaletas em sinais amostrados necessrio discre-tizar os parmetros de localizao u e escala s. A discretizao da escala pode ser feitaao longo de uma sequncia exponencial {aj}jZ com um passo de dilatao suficiente-mente pequeno a > 1. A translao temporal (ou espacial) amostrada uniformementeem intervalos proporcionais escala aj de modo que u = nu0aj , onde u0 depende daondaleta (t) e n um nmero inteiro. Seja

j,n (t) =1aj

(t nu0aj

aj

)= a

j2(ajt nu0

), (B.26)

a transformada de ondaleta discreta

Wf (j, n) = aj2

f (t)

(ajt nu0

)dt . (B.27)

Utilizando a ondaleta discreta j,n e escolhendo os coeficientes a e u0 apropria-damente possvel caracterizar completamente f (t). Sob certas condies amplas daondaleta-me (t) e dos incrementos de discretizao a e u0, possvel reescrever f (t)como uma expanso em srie na forma

f (t) =2

A+B

j

n

Wf (j, n)j,n + .

As constantes A e B so caractersticas da ondaleta e das escolhas de a e u0 e o termode erro na expanso. Maiores detalhes podem ser encontrados em Daubechies (1992,captulo 3).

B.4 Escalograma

Uma transformada de ondaleta analtica determina a densidade de energia local PWf que uma medida para a energia de f na caixa de Heisenberg de cada ondaleta u,s centrada


em(u,

s

). Seja =

s, esta densidade de energia, chamada escalograma, dada por

PWf (u, ) = |Wf (u, s)|2 =Wf (u,

)2 . (B.28)Um escalograma desdobra as caractersticas de um processo no plano da escala (oufrequncia) e do tempo (ou espao). Ele pode revelar a estrutura de um processo emparticular ou sobre a interao entre processos.

As figuras 48 (a) e (b) apresentam o escalograma para as funes peridicasilustrativas introduzidas na apresentao da anlise de Fourier e ilustradas na figura 44.O algoritmo utilizado faz uso do produto de convoluo para o clculo da transformadade ondaletas dado pela equao (B.8). Fica clara a presena de estruturas multi-escalarese sua localizao temporal. No primeiro caso observa-se os ciclos anual e semi-anualdurante todo o intervalo. No segundo caso observa-se um espectro mais intenso, devido amplitude mais elevada do sinal. A descontinuidade no espectro evidente na metadedo intervalo. Nas escalas de maior perodo nota-se o maior detalhamento no gradiente natransformada de ondaleta quando comparado s escalas de perodo menor. Relembrandoque a frequncia o inverso do perodo, isto ilustra a menor incerteza no espao dasfrequncias de escalas maiores. Por outro lado, nota-se no segundo caso que a localizaotemporal em escalas menores mais evidente que em escalas maiores, onde no domniodo tempo ocorre um gradiente que se estende por aproximadamente dois anos devido aoefeito do cone de influncia.

Para o caso de ondaletas complexas, possvel determinar-se a fase de processosatravs do arco tangente da razo entre a parte imaginria e a parte real da transformadade ondaletas:

(u, s) = arctan

(= (Wf (u, s))< (Wf (u, s))

). (B.29)

As figuras 48 (c) e (d) mostram a fase nas sries adotadas para ilustrao. Nota-senitidamente, no primeiro caso, a diferena de fase entre as escalas e como, dentroda mesma escala, as fases alternam-se periodicamente entre pi e pi. Ao longo dasescalas, as linhas de fase constante convergem para singularidades em particular. Apresena de descontinuidade espectral fica bastante clara no segundo caso, onde aslinhas de fase convergem para um ponto na metade do intervalo, instante em que o sinalperidico muda de frequncia. O efeito das bordas tambm fica evidente nas linhas


100

200

300

400

500

600Pe

rod

o[d

ias ]

a) b)

103

102

101

100

100

200

300

400

500

600

Per

odo

[dia

s ]

c) d)

pi

pi2

0

+pi2

+pi

100

200

300

400

500

600

Per

odo

[dia

s ]

e) f)

5.0

2.5

0.0

2.5

5.0

0 1 2 3 4 5 6 7 8Tempo [anos]

100

200

300

400

500

600

Per

odo

[dia

s ]

g)

0 1 2 3 4 5 6 7 8Tempo [anos]

h)

5.0

2.5

0.0

2.5

5.0

Figura 48 (a) e (b) escalogramas normalizados 1sPW f(u, 1

)dos mesmos sinais peridicos

da figura 44 adotando a ondaleta Morlet (0 = 6). Em (a) as frequncias dominantesocorrem durante todo o intervalo e em (b) as frequncias ocorrem em intervalos dis-tintos. Em (c) e (d) os respectivos diagramas de fase. Note em (d) como, na metade dointervalo, as fases convergem, observa-se um ponto de descontinuidade. Em (e) e (f)a parte real < (Wf (u, 1)) e em (g) e (h) a parte imaginria = (Wf (u, 1))das transformadas de ondaleta dos sinais.


0 80 160 240 320 400 480 560 640Perodo [dias]

105104103102101

100101102 a)

0 80 160 240 320 400 480 560 640Perodo [dias]

b)

Figura 49 Espectro de ondaleta global (linha contnua) e espectro de potncia de Fourier(linha tracejada) normalizados dos sinais peridicos ilustrados na figura 44. Note naausncia de frequncias esprias no espectro de ondaleta global no segundo caso.

de fase convergentes no incio e no final do intervalo. Alm disso, tambm possveldeterminar o comprimento de onda de cada componente a partir destes diagramas deforma bastante intuitiva.

As partes real e imaginria das transformadas so ilustradas nas figuras 48 (e)a (h). No caso da segunda srie, tanto na parte real quanto na imaginria, nota-se nametade do intervalo o efeito do cone de influncia entre os nveis. Nesta regio destaca-se o aumento da incerteza sobre a localizao em funo da escala. O efeito do sinalharmnico anual observado para alm da metade do intervalo devido dilatao daondaleta. Assim como no escalograma, ocorre distoro da transformada nas bordas,causada pelo efeito dos cones de influncia que se estendem para fora do domnio dafuno. Nestas regies, a transformada de ondaletas pode induzir periodicidade nosespectros, introduzindo eventos com perodos que no esto presentes no sinal original.

Integrando-se o espectrograma ao longo do tempo para cada escala determina-seo espectro de ondaleta global

GWf () =

+

PWf (u, ) du . (B.30)

Ele pode ser comparado ao espectro de Fourier como ilustra a figura 49. Nota-se queambos os espectros para cada caso so bastante semelhantes, podendo-se dizer que osespectros so equivalentes no segundo caso.


B.5 Ondaletas ortogonais

As ondaletas tratadas at o momento trazem representaes redundantes de eventos,principalmente nas escalas mais altas, onde h alta correlao nos espectros de onda-leta adjacentes. Isto motiva a construo de um conjunto de ondaletas discretizadas,dilatadas e transladadas{

j,n (t) =12j

(t 2jn

2j

)}(j,n)Z2

(B.31)

que formem uma base ortonormal de L2 (R). Assim qualquer funo f L2 (R) podeser aproximada pela seguinte combinao linear

f (t) =

j=

n=

f (t) , j,n (t)j,n (t) . (B.32)

Ondaletas ortogonais dilatadas por 2j possuem informao a respeito da projeodo sinal original no espao de resoluo 2j . Assim a construo destas bases pode serrelacionada a aproximaes de multi-resoluo de sinais.

B.5.1 Anlise de multi-resoluo

A aproximao de uma funo a uma resoluo 2j definida como a projeo ortogonalPV f sob um espao Vj L2 (R). Para que o conjunto fechado {Vj}jZ de subespaosde L2 (R)seja uma aproximao de multi-resoluo, as seguintes propriedades devem sersatisfeitas (MALLAT, 1989a):

Invarincia em relao a qualquer translao proporcional escala 2j ,

(j, k) Z2, f (t) Vj f(t 2jk) Vj .

Uma aproximao na resoluo 2j possui toda informao necessria para deter-minar uma aproximao de menor resoluo 2j1,

j Z, Vj+1 Vj .


Dilatando-se funes em Vj por 2 equivale a aumentar os detalhes por 2 e deve sergarantida a definio de uma aproximao na menor resoluo 2j1,

j Z, f (t) Vj f(t

2

) Vj+1 .

Quando a resoluo 2j tende a zero no existem mais detalhes em f ,

limj

Vj =

j=Vj = {0} .

No entanto, quando a resoluo 2j tende ao infinito, o sinal aproximado convergepara o sinal original

limj

Vj =

( j=

Vj

)= L2 (R) .

Para calcular a projeo preciso definir uma base ortonormal de Vj . Uma base orto-normal pode ser obtida por dilatao e translao de uma nica funo (t), a funoescala, de modo que o conjunto {j,n (t)}nZ , onde

j,n (t) =12j

(t n

2j

),

seja base ortonormal de Vj para todo j Z. Logo a projeo ortogonal de f em Vj obtida atravs da expanso na base ortogonal

PVjf =+

n=f, j,nj,n . (B.33)

Seja, por exemplo, a funo escala dada pela funo indicadora, (t) = 1[0,1], a aproxi-mao de multi-resoluo de um sinal em diferentes escalas ilustrada na figura 51 a).

Calculando-se a aproximao de f (t) na resoluo 2j informao perdida.Da equao (B.32), a soma parcial

n= f, j,nj,n pode ser interpretada como a

diferena entre as aproximaes de f nas resolues 2j+1 e 2j . Esta observao abreespao para introduzir os espaos Wj para todo j Z como o complemento de Vj emVj1. Assim,

Vj1 = Vj Wj . (B.34)


t

a) Haar(t)

t

b) Haar(t)

Figura 50 Ondaleta de Haar: funo escala e ondaleta-me .

Desta forma, a projeo ortogonal de f em Vj1 pode ser decomposta como a soma deprojees em Vj e Wj ortogonais,

PVj1f = PVjf + PWjf .

O complemento PWjf =

n= f, j,nj,n d os detalhes de f que ocorrem naescala 2j1, mas que desaparecem na escala grosseira 2j . Portanto a funo escala ea ondaleta-mo esto intimamente ligadas. A ondaleta-me correspondente funoescala (t) = 1[0,1] a ondaleta de Haar que definida por

Haar (t) =

1 0 t < 1

2

1 12 t < 1

0 t / [0, 1] .

A ondaleta de Haar o exemplo mais simples de uma ondaleta ortogonal. A ondaletade Haar e sua respectiva funo escala est ilustradas na figura 50. Por no ser contnuatampouco diferencivel, a ondaleta de Haar possui uma gama de aplicaes reduzida,sendo principalmente utilizada para fins ilustrativos.

B.5.2 Filtros conjugados

Talvez a forma mais simples de ilustrar como um sinal discreto decomposto seja atravsde um exemplo. Utilizando a ondaleta de Haar, uma srie com quatro elementos x (0),


0 800 1600 2400 3200 4000Tempo [dias]

Original

A1

A2

A3

A4

A5

A6

A7

A8

A9

A10

A11

A12 a)

0 800 1600 2400 3200 4000Tempo [dias]

A0

D1

D2

D3

D4

D5

D6

D7

D8

D9

D10

D11

D12

A12b)

Figura 51 Sinal decomposto pela ondaleta de Haar segundo a anlise de multi-resoluo.(a) Sinal original e aproximaes Aj nas escalas s = 2j . (b) Componentes deaproximaoA8 e detalhesDj do sinal original atravs da anlise de multi-resoluo.Note que Aj = Aj+1 +Dj+1 e que A0 equivalente ao sinal original.

x (1), x (2), x (3) filtrado por um filtro decimador, de modo que dois novos sinais sejamcriados, o sinal de aproximao Aj e de detalhe Dj . Neste caso,

A1 (0) =1

2(x (0) + x (1)) , A1 (1) =

1

2(x (2) + x (3)) ,

D1 (0) =1

2(x (0) x (1)) , D1 (1) = 1

2(x (2) x (3)) .

O conceito de aproximao e detalhe neste contexto bastante intuitivo pois a aproxima-o a mdia de dois pontos consecutivos na srie e o detalhe a metade da diferenaentre dois pontos consecutivos na srie. Um sinal decomposto pela ondaleta de Haarutilizando o conceito de multi-resoluo ilustrado na figura 51 b).


t

a) DB10(t)

t

b) DB10(t)

Figura 52 Ondaleta de Daubechies DB10: funo escala e ondaleta-me .

0 800 1600 2400 3200 4000Tempo [dias]

Original

A1

A2

A3

A4

A5

A6

A7a)

0 800 1600 2400 3200 4000Tempo [dias]

A0

D1

D2

D3

D4

D5

D6

D7

A7b)

Figura 53 Sinal decomposto pela ondaleta de Daubechies DB10 segundo a anlise de multi-resoluo. (a) Sinal original e aproximaes Aj nas escalas s = 2j . (b) Com-ponentes de aproximao A8 e detalhes Dj do sinal original atravs da anlisede multi-resoluo. Note que Aj = Aj+1 + Dj+1 e que A0 equivalente ao sinaloriginal.


B.5.3 Ondaleta de Daubechies

A ondaleta de Daubechies DB10 pertence a uma classe de ondaletas discretas bastanteutilizada em anlise de sinais. Ela e sua funo de escala esto ilustradas na figura 52. Aforma para determinao das aproximaes e dos detalhes anloga da ondaleta deHaar. Uma descrio completa de suas propriedades dada por Daubechies (1988). Omesmo sinal anterior decomposto pela ondaleta de Haar decomposto pela ondaleta deDaubechies DB10 e ilustrado na figura 53.

101

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Folha de rostoDedicatriaAgradecimentosResumoAbstractEpgrafeSumrioSumrioLista de figurasLista de figurasLista de tabelasLista de tabelasIntroduoVrtices de meso-escalaOndas de Rossby

ObjetivosDados e metodologiaAltimetria por satlitesAnlise espectralDensidade de potncia espectralEspectro de ondaletas

Anlise de ondaletas ortogonal bidimensionalEstruturas coerentesIdentificao de vrticesDados auxiliares

Variabilidade global da altura da superfcie do marAltura da superfcie do mar e o sinal pr-filradoMdia, tendncias e climatologiaEspectro espacialEspectro zonaltemporalContribuies e tendncias espectrais

Separao de sinais de meso-escalaFiltragem e identificao de estruturasEspectroCaractersticas dos vrtices

ConclusesAnlise de FourierTransformada de FourierConvoluoFiltro de resposta impulsivaPropriedades importantesAnlise espectral atravs da transformada de Fourier

OndaletasFrequncia e escalaFuno EscalaTransformada de ondaletas discretaEscalogramaOndaletas ortogonaisAnlise de multi-resoluoFiltros conjugadosOndaleta de Daubechies

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Vórtices de meso-escala, ondas de Rossby e os espectros observados a partir de altimetria por...

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