Utilización de programas informáticos y recursos digitales para la ... · DIGITALES PARA LA...

Miguel Berger Acha

José Ignacio Extremiana Aldana

Facultad de Letras y de la Educación

Grado en Educación Primaria

2016-2017

Título

Director/es

Facultad

Titulación

Departamento

TRABAJO FIN DE GRADO

Curso Académico

Utilización de programas informáticos y recursosdigitales para la enseñanza de la geometría en Educación

Primaria

Autor/es

© El autor© Universidad de La Rioja, Servicio de Publicaciones,

publicaciones.unirioja.esE-mail: [email protected]

Utilización de programas informáticos y recursos digitales para la enseñanzade la geometría en Educación Primaria, trabajo fin de grado de Miguel Berger Acha,dirigido por José Ignacio Extremiana Aldana (publicado por la Universidad de La Rioja), se

difunde bajo una Licencia Creative Commons Reconocimiento-NoComercial-SinObraDerivada 3.0 Unported.

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Trabajo de Fin de Grado

UTILIZACIÓN DE PROGRAMAS INFORMÁTICOS Y RECURSOS

DIGITALES PARA LA ENSEÑANZA DE LA GEOMETRÍA EN EDUCACIÓN PRIMARIA

Autor:

MIGUEL BERGER ACHA

Tutor/es:

Fdo.José Ignacio Extremiana Aldana

Titulación:

Grado en Educación Primaria [206G]

Facultad de Letras y de la Educación

AÑO ACADÉMICO: 2016/2017

1

RESUMEN

En este trabajo se trata el uso de los recursos digitales y aplicaciones informáticas para

la enseñanza de la geometría en los seis cursos de Educación Primaria. Se propone

introducir recursos digitales que faciliten al niño la adquisición de los conocimientos

básicos de geometría, siendo este el principal objetivo del trabajo.

Tras analizar las diferentes metodologías que se han usado a lo largo del tiempo para la

enseñanza de la geometría, se concluye que es el modelo Van Hiele el más apropiado

para que el niño adquiera dichos conocimientos. Este modelo diseñado por el

matrimonio holandés Van Hiele muestra que el aprendizaje de la geometría se hace

pasando por unos determinados niveles de pensamiento y conocimiento, y sólo

alcanzado un nivel se puede pasar al siguiente.

A través de una serie de actividades descritas, se va a trabajar contenidos geométricos

enfocados a cada uno de los seis cursos de Educación Primaria. Estas actividades están

adaptadas a los niveles de razonamiento del modelo Van Hiele y mezclan

indistintamente el uso de recursos digitales y recursos manipulativos tradicionales. Esto

es así ya que se ha visto que por medio de estas herramientas digitales se puede

conseguir un mejor aprendizaje del pensamiento espacial y lógico que proporciona la

geometría.

PALABRAS CLAVE

Geometría – recursos digitales – recursos manipulativos – modelo Van Hiele.

ABSTRACT

This study deals with the use of digital resources and computering applications to teach

geometry in the six levels of Primary School. For that purpose, digital resources are

introduced to make the adquisition of basic knowledge of geometry easier for children

as this is the aim of the study.

After analysing the differentmethodologies that have been used so far to teach

geometry, it is concluded that Van Hiele model is the most suitable so that children

acquire such knowledge. This model, which was designed bythe Dutch couple Van

Hiele, shows that the learning of geometry is done by going through certain levels of

thought and knowledge, and it is only by reaching one level that you can go to the next

one.

2

Through a series of described activities, geometric contents are going to be worked with

focusing on everyone of the six levels of Primary School. These activities are adapted to

the levels of reasoning of Van Hiele model and they mix, without distinction, the use of

digital resources and traditional manipulative resources. This is so because it has been

shown that through these digital tools a better reasoning of the spatial and logical

thought that geometry can provide can be achieved.

KEYWORDS

Geometry- digital resources- manipulative resources- Van Hiele model

3

ÍNDICE

1. INTRODUCCIÓN/JUSTIFICACIÓN. ..................................................................... 5

2. OBJETIVOS. ............................................................................................................. 7

3. MARCO TEÓRICO. ................................................................................................. 9

3.1 Qué es la geometría y dónde tiene su origen. .......................................................... 9

3.2 ¿Por qué es importante enseñar geometría en la escuela? ..................................... 10

3.3 Formas de enseñanza de la geometría a lo largo del tiempo. ................................ 10

3.4 La teoría Van Hiele y el aprendizaje manipulativo en Geometría. ....................... 11

3.5 Recursos digitales. ................................................................................................. 16

4. DESARROLLO. ...................................................................................................... 19

4.1 Identificación de formas rectangulares, triangulares y circulares. ........................ 19

4.2 Clasificación de los polígonos según sus lados..................................................... 25

4.3 La circunferencia y el círculo. Elementos básicos: centro, radio, diámetro y tangente. ...................................................................................................................... 30

4.4 Los cuerpos geométricos: cubos, esferas, prismas, pirámides y cilindros. Aristas y caras. ............................................................................................................................ 36

4.5 Ángulos en distintas posiciones: consecutivos, adyacentes, opuestos por el vértice… ...................................................................................................................... 43

4.6 La representación elemental del espacio, escalas y gráficas sencillas. ................. 46

5. CONCLUSIÓN ....................................................................................................... 51

6. BIBLIOGRAFÍA ..................................................................................................... 53

7. ANEXOS ................................................................................................................. 55

7.1 Tabla contenido 4.1 ............................................................................................... 55

7.2 Tabla contenido 4.2 ............................................................................................... 56

7.3 Tabla contenido 4.3 ............................................................................................... 57

7.4 Tabla contenido 4.4 ............................................................................................... 58

7.5 Tabla contenido 4.5 ............................................................................................... 59

7.6 Tabla contenido 4.6 ............................................................................................... 60

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1. INTRODUCCIÓN/JUSTIFICACIÓN.

La ley que regula la Educación no universitaria en España es la Ley Orgánica 8/2013,

de 9 de diciembre para la Mejora de la Calidad Educativa (LOMCE). El Real Decreto

126/ 2014, de 28 de Febrero, establece el currículo básico de la Educación Primaria,

donde están inmersos entre otros: los objetivos generales de etapa que el niño debe

alcanzar, los contenidos que se deben explicar de cada área, los objetivos generales que

se deben alcanzar por los alumnos en cada área, etc.

Dentro del área de matemáticas, hay un objetivo que quiero destacar frente al resto, y es

que el niño debe iniciarse en la resolución de problemas que requieran la realización de

operaciones elementales de cálculo, conocimientos geométricos y estimaciones, así

como ser capaces de aplicarlos a las situaciones de la vida cotidiana. Para que el alumno

alcance dicho objetivo es importante que sepa manejar con fluidez los números, pero es

igual de importante que el alumno adquiera unos conocimientos básicos y mínimos

sobre los conceptos geométricos.

Estos conceptos geométricos se han explicado adaptados a la sociedad de cada

momento, y es la hora de que también se expliquen adaptados a la sociedad tecnológica

en la que nos encontramos. La sociedad en la que vivimos está repleta de tecnología y

tenemos que saber aprovecharnos de ella para mejorar en el proceso enseñanza-

aprendizaje de la geometría.

La introducción de tablets y ordenadores en clase resulta atractiva para los alumnos,

haciendo que aumente su motivación y su atención al tema explicado. Además,

aumentan considerablemente la cantidad de herramientas y posibilidades con las que

explicar y aprender geometría.

Por ello, en este trabajo se plantea una secuenciación de actividades en las que se

emplean tanto recursos digitales, como recursos manipulativos tradicionales, para la

explicación de contenidos geométricos de los 6 cursos de Educación Primaria.

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2. OBJETIVOS.

El objeto del siguiente TFG está basado en la introducción de recursos digitales en la

enseñanza de la geometría en Primaria. Por ello, me he marcado como objetivo

principal del trabajo introducir diferentes recursos digitales y programas informáticos

para la explicación de diferentes conceptos geométricos en los 6 cursos de Educación

Primaria. Como la utilización exclusiva de recursos digitales sería insuficiente para el

aprendizaje significativo de los conceptos geométricos, estos conceptos también se

explicarán a través de recursos manipulativos tradicionales.

Para la consecución de dicho objetivo general, he tenido que cumplir los siguientes

objetivos específicos:

- Investigar qué contenidos propios del currículo me ofrecían una mayor

posibilidad de utilización de recursos digitales.

- Repasar la información inmersa dentro de cada contenido y que tienen que

aprender los alumnos.

- Revisar recursos manipulativos tradicionales con los que se puedan aprender

conceptos geométricos tales como: las formas geométricas, los polígonos,

los elementos del círculo y de la circunferencia, etc.

- Buscar programas informáticos y otros recursos digitales que permitan

explicar conceptos geométricos a los niños de Educación Primaria.

- Saber discriminar aquellos recursos que son útiles y los que no.

- Secuenciar actividades que estén adaptadas al nivel de los alumnos, y a los

niveles de razonamiento geométrico y fases de aprendizaje de la geometría

propuestas en la teoría Van Hiele.

- Analizar si las actividades propuestas realmente se adaptan a los niños y al

objetivo principal que busco conseguir.

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3. MARCO TEÓRICO.

Desde la antigüedad hasta nuestros días las personas siempre han sentido la necesidad

de entender el espacio que les rodea, su entorno más cercano. Por ello, el ser humano ha

desarrollado conocimientos que le permiten comprender este espacio. Al conjunto de

esos conocimientos le llamamos geometría. Pero en realidad, ¿qué es la geometría?

¿dónde tiene su origen?¿por qué es importante enseñarla?

3.1 Qué es la geometría y dónde tiene su origen.

La geometría, etimológicamente hablando, es la “medida de la Tierra”, aunque nosotros

en la actualidad la podemos definir de forma simple como la “forma de entender el

espacio”.

El origen de la geometría no tiene una fecha exacta, aunque sí se ha descubierto que las

primeras consideraciones geométricas son muy antiguas y fueron descubiertas de forma

subconsciente por el hombre primitivo. El hombre primitivo, por muchas circunstancias

de su vida, hizo descubrimientos geométricos de forma subconsciente que emplearon en

su vida diaria. Algunos de estos descubrimientos fueron la noción de distancia; las

figuras geométricas simples (rectángulos, cuadrados y triángulo), descubiertas ante la

necesidad de parcelar terrenos; o la noción de vertical, paralelo y perpendicular, con el

fin de construir paredes y viviendas (Eves, s.f.).

Más tarde, cuando la mente humana fue capaz de extraer relaciones abstractas generales

a partir de relaciones geométricas concretas, la geometría pasó a convertirse en una

ciencia. Ningún autor sabe exactamente cuánto tardo el hombre en elevar la geometría a

una ciencia, pero sí concuerdan en que el paso de la geometría subconsciente a la

geometría científica se dio en el valle del Nilo en Egipto. Para el historiador griego

Herodoto (485 a.C-425 a.C) la geometría tuvo su origen en el valle del Nilo, cuando el

rey Sesostris dividió la tierra en partes cuadradas iguales entre todos los egipcios y

estableció un impuesto común para todos ellos. Además, el carácter de la geometría en

esta época era un carácter empírico (Eves, s.f.).

Es en la Antigua Grecia donde importantes matemáticos como Thales, Eudoxio o

Euclides pasan la geometría a ser materia de estudio para filósofos, matemáticos y

pensadores (Castro, 2001). Además, es en esta época donde las conclusiones

geométricas deben alcanzarse mediante demostraciones lógicas y no mediante la

experimentación por tanteos; se pasa de la geometría empírica a la geometría

10

sistemática o matemática. Es Euclides el que aproximadamente en el 300 a.C escribió el

primer tratado “científico” (Los Elementos), basado en axiomas y demostraciones, que

eran punto de inicio para deducir otras proposiciones geométricas que han sido la guía

para el estudio de la geometría. (Eves, s.f.).

3.2 ¿Por qué es importante enseñar geometría en la escuela?

Hoy en día, aunque el tiempo que se emplea en la escuela para explicar los conceptos

geométricos se está reduciendo, sigue siendo útil su explicación para que el alumno sea

capaz de organizar y representar información sobre figuras del espacio. Además, las

figuras geométricas y relaciones espaciales siguen estando en la base de las creaciones

artísticas, en las formas de la naturaleza y en la configuración del espacio que el ser

humano habita. Por ello, su explicación dentro de las aulas sigue siendo importante y

está en la base de todo aprendizaje escolar (Sanz, 2001).

3.3 Formas de enseñanza de la geometría a lo largo del tiempo.

Uno de los grandes problemas que ha tenido la geometría a lo largo del tiempo, es que

nunca se ha sabido exactamente qué enseñar y cómo hacerlo. Hasta el año 1872 que

surgió la figura de Felix Klein y su programa Erlangen, la enseñanza de la geometría se

reducía al trabajo con los Elementos de Euclides. La visión que se tenía de la geometría

era abstracta y el trabajo era fundamentalmente deductivo. Sin embargo, la influencia

que tuvo Felix hizo que se variase a una concepción de la geometría basada en la

conservación de invariantes: traslaciones, simetrías, rotaciones (Chamorro, s.f.)

Ya en los años 60, surgió un nuevo movimiento de innovación educativa que pretendía

cambiar la forma de enseñanza de las matemáticas. Esta renovación hacia la

“matemática moderna” pretendía profundizar en la comprensión de los conceptos

matemáticos, anteponiéndolos a los aspectos manipulativos y operativos. Por otro lado,

la geometría en estos años sufrió un gran detrimento, haciendo que se sustituyese la

geometría elemental por el álgebra. Esta situación provocó que las personas de esta

época tuviesen una carencia de intuición espacial y las matemáticas quedasen vacías de

problemas interesantes (Guzmán, 1992).

Más tarde, ya en los años 80, los matemáticos de la época se dieron cuenta que se

habían excedido con el carácter abstracto de las matemáticas, y que era importante

cuidar la intuición general y la operación manipulativa del espacio (Guzmán, 1992). Por

eso, en estas últimas décadas del siglo XX ya existe un gran esfuerzo por adecuar la

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enseñanza de la geometría a las capacidades cognitivas del alumnado, y se pretende

trabajar con el niño a partir de material manipulativo y de situaciones espaciales de su

entorno más cercano.

En este entorno cercano al niño se encuentra sobre todo el entorno natural, el entorno

artístico y arquitectónico, y los juegos. En el entorno natural se pueden encontrar

grandes modelos geométricos como las telas de araña o los panales de miel, mientras

que en el entorno artístico hay numerosas formas geométricas en templos y

monumentos de fácil acceso para el alumno (Castro, 2001).

Por otro lado, muchos de los juegos de los que los niños disfrutan (puzles, juegos

deportivos…) precisan de espacio o elementos espaciales para su desarrollo.

3.4 La teoría Van Hiele y el aprendizaje manipulativo en Geometría.

A la hora de explicar geometría, además de la vital importancia que tiene el empleo de

materiales didácticos por parte del alumno, para que alcance un aprendizaje

significativo de los conceptos geométricos es importante que el profesor secuencie las

actividades. Esta secuenciación de actividades considero que deberían realizarla

atendiendo principalmente al currículo y, más en detalle, prestando atención a los

niveles de razonamiento de la teoría Van Hiele.

La teoría Van Hiele fue elaborada por Pierre y Dina Van Hiele. Esta teoría consta de

dos partes: la primera explica cómo progresan los alumnos en su habilidad de

razonamiento geométrico, denominada niveles de razonamiento; y la segunda

denominada fases de aprendizaje, proporciona a los profesores directrices sobre cómo

pueden desarrollar las clases para ayudar a sus alumnos a captar mejor los

conocimientos. (Castro, 2001).

Los niveles de razonamiento son:

- Nivel 0. Visualización o reconocimiento: Los estudiantes son conscientes del

espacio sólo como algo que existe alrededor de ellos. Las figuras geométricas

son reconocidas por su forma como un todo; esto es, por su apariencia física.

Además, el estudiante no detecta relaciones entre las diferentes formas. Para él

son formas distintas y aisladas. Un ejemplo sería la visualización de un

cuadrado, pero sin diferenciar que tiene cuatro lados, que tiene cuatro vértices o

que sus cuatro lados son iguales.

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- Nivel 1. Análisis: Comienza un análisis de los conceptos geométricos. Por

ejemplo, a través de la observación y la experimentación empiezan a discernir

características de las figuras. Con varios ejemplos pueden hacer

generalizaciones, pero no pueden hacer relaciones entre propiedades. Por

ejemplo, tras la manipulación de rectángulos ven que todos tienen cuatro lados,

que dos ellos son más largos que los otros dos, etc.

- Nivel 2. Deducción informal o clasificación: Existe una relación entre

propiedades. En este nivel las personas pueden establecer las interrelaciones en

las figuras (si en un cuadrilátero los ángulos opuestos son iguales, entonces es

un paralelogramo) y entre figuras. Son capaces de deducir propiedades de una

figura y reconocer clases de figuras. Se utilizan técnicas de deducción pero no

saben cómo articular una demostración a partir de premisas diferentes.

- Nivel 3. Deducción formal: Empleo del razonamiento formal. Pueden construir

demostraciones, entender la interacción de condiciones necesarias y suficientes,

y distinguir entre una afirmación y su recíproca. Además, los sistemas de

axiomas, postulados, definiciones, teoremas y demostraciones son captados. En

este nivel son capaces de entender y de demostrar el teorema de Pitágoras.

- Nivel 4. Rigor: La geometría se capta de forma abstracta y se establece y

compara diferentes sistemas matemáticos.

De estos 5 niveles, los niños deberían ser capaces de alcanzar los 3 primeros en

Educación Primaria. Además, estos niveles no están íntimamente relacionados con la

edad de los alumnos, por lo que un alumno en 5º puede estar ya en el nivel 2, y otro

seguir aún en el nivel 1. Una aproximación de cuando se suelen alcanzar los diferentes

niveles sería esta:

- El nivel 0 se alcanzaría en 1º de Primaria o incluso en el último curso de

Educación Infantil.

- El nivel 1 se alcanzaría entre 1º de Primaria y 2º de Primaria.

- El nivel 2 se alcanzaría entre 5º y 6º de Educación Primaria.

- El nivel 3 se alcanzaría entre Educación Secundaria y Bachillerato.

- El nivel 4 se alcanzaría en la Universidad y profundizando mucho sobre la

geometría.

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El paso de un nivel al otro no es automático y es independiente de la edad. Entre las

principales características de estos niveles están (Venegas, 2015):

- Secuencial: Una persona debe recorrer los niveles en orden.

- Progresivo: El progreso de un nivel a otro depende más del contenido y métodos

de instrucción que de la edad.

- Intrínseco y extrínseco: Los objetos inherentes en un nivel pasan a ser objetos de

estudio explícitos en el nivel siguiente.

- Lingüístico: Cada nivel tiene sus propios símbolos lingüísticos y sus propios

sistemas de relaciones entre símbolos.

- Desajuste: Si el profesor, los materiales empleados, el contenido, el vocabulario,

etc., están en un nivel superior al del estudiante, este no será capaz de

comprender lo que se le presente y no progresará.

Cabe destacar de las anteriores características el uso adecuado del lenguaje propio de

cada nivel y la no existencia de un desajuste causado por los materiales empleados, el

profesor, etc. Sin un uso adecuado del lenguaje, y la no adaptación al nivel al que se

encuentra el alumno, los conocimientos explicados no serán captados y entendidos por

los alumnos.

En lo que respecta a las fases de aprendizaje, el matrimonio Van Hiele propuso cinco

fases de aprendizaje que guían al docente en el diseño y organización de las

experiencias de aprendizaje, adecuadas para el progreso del estudiante de un nivel al

otro. En cada nivel, el estudiante comienza con actividades de la primera fase hasta la

última. (Jaime, 1993)

Las fases de aprendizaje son:

- Fase 1. Información: Se toma contacto con el nuevo tema objeto de estudio. El

profesor debe identificar los conocimientos previos del alumno y su nivel de

razonamiento sobre este tema a estudiar.

- Fase 2. Orientación dirigida: Se guía a los alumnos mediante actividades y

problemas. Los problemas deben llevar directamente a la solución y a lo que los

estudiantes deben aprender.

- Fase 3. Explicitación: Los alumnos deben intentar expresar con palabras o por

escrito los resultados que han obtenido, intercambiar sus experiencias y discutir

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sobre ellas con el profesor y los compañeros para que sepan exactamente lo que

han descubierto y afiancen el lenguaje técnico relacionado con el tema.

- Fase 4. Orientación libre: Se debe producir el afianzamiento del aprendizaje

realizado en las fases anteriores. Los estudiantes deberán utilizar los

conocimientos adquiridos para resolver problemas más complejos.

- Fase 5. Integración: Los estudiantes establecen una visión global de todo lo

aprendido. Las actividades que el profesor les proponga deben servir para

organizar los conocimientos ya adquiridos.

En este modelo se remarca que el aprendizaje debe ser personal, y el profesor

únicamente se dedicará a guiar y coordinar dicho aprendizaje. Por otro lado, en la etapa

de Educación Primaria solo se trabajan los tres primeros niveles de este modelo Van

Hiele (niveles 0, 1 y 2), ya que el resto de niveles son más complejos e imposibles de

alcanzar en la etapa de Educación Primaria.

Como he dicho anteriormente, para enseñar adecuadamente geometría aparte de

secuenciar las actividades, es necesario apoyarse en una serie de materiales didácticos

que faciliten la adquisición de contenidos geométricos por parte del alumno.

Al igual que los maestros de lengua, ciencias sociales, o ciencias naturales emplean

numerosos recursos didácticos y manipulativos (mapas interactivos, libros de lectura,

tablets) para presentar sus saberes adaptados al desarrollo y aprendizaje de los alumnos,

el profesor de matemáticas tiene que proporcionar materiales y recursos didácticos a sus

alumnos para que vayan elaborando su propio conocimiento sobre la geometría.

La geometría surgió como respuesta a la necesidad del conocimiento del espacio físico,

y por ello, es esencial la observación y experimentación con objetos materiales

manipulables. El uso exclusivo del libro es insuficiente (Sanz, 2001).

Los niños durante su etapa de Educación Primaria tienen que aprender una serie de

contenidos marcados por el currículo y la ley de educación actual (Ministerio de

Educación, 2014). Algunos de estos contenidos son:

1. La situación en el plano y en el espacio.

2. Posiciones relativas de rectas y circunferencias.

3. Ángulos en distintas posiciones: consecutivos, adyacentes, opuestos por el

vértice…

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4. Sistema de coordenadas cartesianas. Descripción de posiciones y movimientos.

5. La representación elemental del espacio, escalas y gráficas sencillas.

Grandes matemáticos, educadores y pedagogos han defendido la idea de aprender

mediante la manipulación de los objetos a lo largo del tiempo. Por ejemplo, para María

Montessori (1914) “el niño tiene la inteligencia en la mano”. A través de esta

afirmación quiere manifestar que el alumno podrá aprender mejor a partir de aquello

que manipule.

Otra gran defensora del aprendizaje manipulativo fue Emma Castelnuovo (1913-2014).

Fue una importante profesora y matemática italiana del siglo XX que destacó por su

innovación en la forma de enseñar, particularmente la geometría euclídea. Su método

didáctico era la enseñanza activa y publicó numerosos libros y artículos que trataban

sobre el método intuitivo para enseñar geometría a los niños de entre 11 y 14 años.

Algunos de sus libros son “Geometría Intuitiva” y “Didáctica de la Matemática

Moderna”. (Ortíz, s.f., Ramírez, s.f.).

Para Emma (s.f.):

El curso de geometría intuitiva debe suscitar, a través de la observación de miles

de hechos, el interés del alumno por las propiedades fundamentales de las figuras

geométricas y el gusto por la investigación. Este gusto nace haciendo participar

al alumno en el trabajo creativo. (Fragmento del libro Geometría Intuitiva)

Según Lovell (1977) “Los conceptos parecen proceder de las percepciones, del contacto

real con los objetos y situaciones vitales, de experiencias sufridas y de distintas clase de

acciones realizadas”. Con esta frase el autor quiere decir que el aprendizaje será mucho

más significativo cuando esté activo y no sea simplemente un receptor de los

conocimientos explicados por el profesor.

Gracias a los recursos didácticos, y la manipulación de ellos, los alumnos adquieren una

percepción más dinámica de las ideas y se acercan a conceptos matemáticos complejos

que son difíciles de entender la primera vez que se les presentan. Pero, la utilización de

estos recursos no tiene que ser esporádica y centrada en solo uno de ellos, sino como los

matemáticos dijeron durante el debate sobre las matemáticas en el Simposio de

Valencia (1987):

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“No es la incorporación de tres o cuatro herramientas espectaculares lo que

caracterizará la nueva organización de las clases, sino el uso habitual y cotidiano

de una gama amplísima de materiales, que hagan del aula de matemáticas, tanto

en la escuela primaria como en la secundaria, un verdadero laboratorio taller”.

Para Alsina, Burgués y Fortuny (1991):

La enseñanza geométrica no debe sucumbir a las limitaciones formales,

simbólicas y algebraicas de los conocimientos matemáticos: será precisamente en

este primer estadio de sensibilidad donde el tacto, la vista, el dibujo y la

manipulación permitirán familiarizar al alumno con todo un mundo de formas,

figuras y movimientos sobre el cual asentar posteriormente los modelos

abstractos (p.11).

Según Cascallana (2002) “el conocimiento matemático es una abstracción, y a tal hay

que llegar aunque para ello haya que partir de lo concreto y manipulativo” (p.27).

Por todo ello, el uso de recursos didácticos manipulativos tiene que dominar dentro de

las clases de Educación Primaria, ya sea con recursos manipulativos tradicionales como

los Geoplanos, los Geoespacios o la regla y compás; como con recursos digitales como

Geogebra, Cabri 3D o CaRMetal.

3.5 Recursos digitales.

La incorporación progresiva de los ordenadores y las tablets dentro de las clases,

permiten nuevos recursos con los que explicar geometría en Primaria. Estos recursos

pueden ser programas diseñados propiamente para la enseñanza de la geometría en

clase, como son Logo o Cabri; u hojas de texto, con las que el maestro puede plantear

preguntas, sugerencias o problemas relacionados con la geometría. A su vez, la

conexión de estos dispositivos a la red informática, abre un gran abanico de

posibilidades para encontrar información relacionada con la geometría (Ruiz, 2013).

Los beneficios de utilizar este tipo de recursos para enseñar geometría en Educación

Primaria no han sido todavía estudiados, pero sí que se han demostrado algunas ventajas

que aportan las TICS dentro de las clases y el beneficio que tiene la utilización de

softwares de geometría dinámica, cómo GeoGebra o Cabri en los profesores de esta

etapa educativa (Ruiz, 2013).

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Las TICS según Balanskat y otros (2006) influyen positivamente en el rendimiento

educativo en las escuelas de educación primaria, especialmente en las áreas de inglés y

en menor medida en las ciencias.

Por ejemplo, Güven y Kosa (2008) estudiaron el efecto que produce Cabri 3D en el

desarrollo de la capacidad de visualización espacial de estudiantes de profesorado de

matemáticas. Estos observaron cómo existía una mejora sustancial del nivel de

visualización espacial del que partían. Por otro lado, el profesor Ricardo Barroso realizó

una investigación para analizar si el uso de Cabri II ayudaba a la comprensión de

propiedades geométricas en un entorno de resolución de problemas (Ruiz, 2013).

Además de los programas nombrados anteriormente, existen otra serie de programas

informáticos y plataformas digitales que son muy buenas para la enseñanza de la

geometría, y que utilizaré en las actividades planteadas posteriormente. Algunos de

estos programas son:

- CaRMetal: Este programa permite dibujar diferentes formas geométricas

utilizando las diferentes herramientas de las que dispone. Las posibilidades de

este software son amplísimas, pero nosotros utilizaremos sólo unas pocas como

son: punto, segmento o compás.

- Paint: Este software es de muy fácil acceso y uso ya que viene integrado dentro

de las aplicaciones de Windows. Sus posibilidades son muchísimas, pero destaca

por poder crear y colorear dibujos fácilmente.

- Youtube: Esta página web es de uso común. Gracias a ella se pueden ver

multitud de videos que enseñen y expliquen diferentes contenidos geométricos.

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4. DESARROLLO.

En este apartado se va a ir plasmando una secuenciación de actividades con las cuáles se

trabajarán con los alumnos de Educación Primaria diferentes conceptos y contenidos

geométricos. Dichos conceptos se trabajarán a partir del empleo de recursos

manipulativos tradicionales y de recursos digitales, y cada uno de ellos corresponderá a

un curso de Educación Primaria. Los contenidos serán los siguientes:

1) Identificación de formas rectangulares, triangulares y circulares. Se trabajará con

los alumnos de 1º de Primaria.

2) Clasificación de los polígonos según sus lados. Se trabajará con los alumnos de

2º de Primaria.

3) La circunferencia y el círculo. Elementos básicos: centro, radio, diámetro y

tangente. Se trabajará con los alumnos de 3º de Primaria.

4) Los cuerpos geométricos: cubos, esferas, prismas, pirámides y cilindros. Aristas

y caras. Se trabajará con los alumnos de 4º de Primaria.

5) Ángulos en distintas posiciones: consecutivos, adyacentes, opuestos por el

vértice. Se trabajará con los alumnos de 5º de Primaria.

6) La representación elemental del espacio, escalas y gráficas sencillas. Se trabajará

con los alumnos de 6º de Primaria.

Casi la totalidad de las actividades planteadas a continuación son creadas a partir de mi

imaginación y de mi experiencia durante las prácticas. El resto de actividades están

inspiradas o extraídas de documentos o libros consultados.

Todas las actividades plasmadas a continuación se desarrollarían en un CEIP que

dispusiese de un buen acceso a internet y unos recursos tecnológicos normales. Por ello,

estas actividades se podrían desarrollar en cualquier centro de Logroño, ya que casi

todos ellos cuentan con ordenadores, tablets, proyectores, pantallas digitales, etc.

4.1 Identificación de formas rectangulares, triangulares y circulares.

El curso, la duración de todas las actividades, el material necesario para desarrollarlas,

los objetivos perseguidos y el nivel de Van Hiele que trabajaremos con este contenido

se podrá observar en el anexo 7.1

Desarrollo: Para facilitar a los niños la identificación de formas rectangulares,

triangulares y circulares, se trabajará a través de la siguiente historia elaborada por mi

mismo:

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“Hace muchos, muchos años, unos seres extraños llegaron a la Tierra. Estos seres se

habían perdido durante un viaje espacial y no sabían cómo regresar a su planeta

llamado Geometría. Como no sabían qué hacer, pidieron ayuda a los humanos que

alegremente se la concederían con una condición. ¿Sabéis cuál es la condición que les

pusieron?, tendrían que ayudar a los humanos a construir todos los objetos de la

Tierra.

Estos pobres seres perdidos no tenían otra opción si querían volver a casa, así que sin

pensárselo mucho, aceptaron ayudar a los humanos. Hoy en día, estos seres siguen

colaborando con nosotros y, si miramos bien, los podemos ver. ¿Queréis

verlos?¿Queréis saber cómo son?”.

A continuación se procederá a la primera actividad.

Actividad 1: Las figuras geométricas nos ayudan en clase

Duración: 20 minutos.

Explicación: Con la siguiente actividad quiero que los niños empiecen a tener contacto

con algunas figuras geométricas y aprendan a verlas en la mayoría de los objetos que

nos rodean.

Niveles Van Hiele:

Nivel 1, 1ª fase.

Desarrollo:

Para la realización de esta actividad primero el profesor proporcionará a sus alumnos

cartulinas blancas con las formas de un cuadrado, un rectángulo, un triángulo y un

círculo. A los alumnos se les pedirá que las coloreen como más quieran y que

posteriormente las agrupen según su forma (todos los círculos juntos, todos los

cuadrados juntos, etc). Un ejemplo de figuras puede ser el siguiente:

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Figura 1: Figuras geométricas de colores.

Fuente: https://sites.google.com/site/amayraniyamilet/_/rsrc/1368834498414/figuras-geometricas-con-colores-primarios/FIGURAS%20GEOMETRICAS.JPG?height=368&width=400

Una vez que agrupen todas las figuras que son iguales, se las entregarán al profesor y

este se las presentará como los seres perdidos de la historia anterior. Esa presentación se

hará en forma de cuento pero dando su nombre real a las formas geométricas, por

ejemplo: “El señor círculo”. Además se les dirá que forma parte de una gran familia

llamada “formas geométricas”.

Una vez presentados el círculo, el cuadrado, el rectángulo y el triángulo, el profesor

organizará a los alumnos en grupos de cinco que deberán ir juntos a tocar un objeto

creado por la figura geométrica que les muestre. Por ejemplo, si el profesor levantase a

“Don Rectángulo”, cada grupo tendrá que ir a tocar un objeto de la clase que tenga esa

forma: libros, cuadernos, mesas, ventanas, etc. Cuando el profesor quiera, cambiará de

forma geométrica y los niños tendrían que moverse para tocar un objeto con la nueva

forma.

Una vez realizado esto, el profesor preguntará a un miembro de cada grupo a ver qué

objetos han tocado que tuviesen esa forma geométrica; y los irá anotando en la pizarra

junto a su nombre correspondiente.

Actividad 2: Conociendo a nuestros amigos perdidos

Duración: 40 minutos

Explicación: Esta actividad está extraída de un documento referenciado al final del

trabajo. La incluyo en mi trabajo porque considero que es muy buena para que los

alumnos aprendan las características del cuadrado, triángulo, círculo y rectángulo de

forma activa. Además, el tener que explicar a sus compañeros cómo las han hecho y las

características que tienen, hace que refuercen su conocimiento.

22

Niveles Van Hiele:

- Nivel 1, 2ª y 3ª fase.

Desarrollo:

Para esta actividad, el profesor proporcionará a sus alumnos varillas de madera y

plastilina.

Inicialmente, cada alumno creará la forma geométrica que desee, teniendo a su

disposición todo el material entregado. Más tarde, el profesor les dirigirá en sus

creaciones con preguntas tales como: ¿qué figura podéis crear utilizando 3 palillos? ¿y

con 4?

Figura 2: Figuras geométricas planas con varillas y plastilina.

Fuente: https://s-media-cache-ak0.pinimg.com/originals/46/d0/0f/46d00fa4be75210ef59cee28c56843bf.jpg

A continuación se les explicará que cada varilla representa los lados de la forma

geométrica y que las intersecciones de plastilina son los vértices de esa figura. A partir

de sus creaciones, individualmente elegirán una de sus figuras y la explicarán frente al

resto de la clase contando cuántos lados y vértices tiene.

Seguidamente, con la información expuesta, deberán ir anotando en su cuaderno las

características propias de cada forma geométrica. Estas serían:

- Cuadrado: 4 lados iguales, 4 vértices y región interior.

- Rectángulo: 4 vértices, 4 lados iguales 2 a 2 y región interior.

- Triángulo: 3 vértices, 3 lados y región interior.

Por último, para reforzar el conocimiento de las características de estas formas

geométricas, escucharemos la siguiente canción que recoge toda la información. A los

alumnos les diremos:

23

“Estos seres llamados figuras geométricas llevan tanto tiempo entre nosotros que se

han hecho canciones sobre ellos. Además, son tan importantes que queremos decirles a

todo el mundo cómo son”.

La canción será la siguiente:

https://www.youtube.com/watch?v=bqKDWm7wO3Y

En ella hay una descripción de las principales características del cuadrado, el triángulo,

el rectángulo y el círculo; y dónde se pueden encontrar estas figuras (círculo-rueda,

triángulo-pirámide, etc).

Actividad 3: Manejando al Señor Círculo y sus amigos.


Explicación: Con esta actividad quiero que aparte de mejorar en su manejo del

ordenador, sean capaces de identificar formas geométricas en diferentes paisajes.

Además, quiero que a partir de estas formas geométricas elaboren paisajes cotidianos

que están en el entorno más cercano del niño. Un ejemplo sería un dormitorio con una

cama rectangular, un reloj circular o una lámpara triangular.

Niveles Van Hiele:

- Nivel 1, 4ª fase.

Desarrollo:

Para esta actividad necesitaremos acudir a la sala de ordenadores. Una vez en los

ordenadores (dos alumnos por ordenador) tendrán abiertos ante sí la aplicación del

Paint con esta imagen abierta en ella.

24

Figura 3: Paisaje a colorear.

Fuente: Elaboración propia.

A partir de esta imagen, que estará en formato mapa de bits para un mejor coloreado, se

les pedirá a los alumnos que la coloreen de la forma que ellos quieran, pero siempre

todos los triángulos, los círculos, los cuadrados y los rectángulos del mismo color. De

esta forma tendrán, por ejemplo, todos los círculos de color verde, todos los rectángulos

de azul, etc.

Figura 4: Ejemplo de paisaje coloreado por figuras geométricas.


Más tarde, con este dibujo ya coloreado, se les pedirá que creen un nuevo paisaje a

partir de las formas disponibles en la aplicación y que les expliquen a sus compañeros

cómo lo han hecho. Previamente, se les habrá explicado paso por paso cómo utilizar las

diferentes herramientas disponibles en la aplicación.

Actividad 4. ¿Qué tengo


Explicación: Lo que pretendo con la siguiente actividad es que los alumnos afiancen los

conocimientos adquiridos sobre las figuras geométricas en actividades anteriores.

Además, quiero que hagan un proceso de abstracción e

figuras geométricas.

Niveles Van Hiele:


Desarrollo:

Para esta actividad se necesitarían unas fichas cuadradas que elaboraríamos nosotros

mismos y en las que habría dibujados diferentes formas geométricas.

Figura 5: Ejemplo de fichas con formas geométricas.

Los alumnos agrupados en tríos tendrán ante sí un montón de estas fichas. Por turnos,

cada uno de ellos cogerá una ficha, y sin verla se la pondrá en la frente mostrándo

los demás.

El jugador que tiene la ficha en la frente deberá adivinar su ficha mediante preguntas

sus compañeros de respuesta sí o no

¿tiene vértices?

Cada jugador tendrá 6 preguntas por ficha, si no l

volvería a introducir en el montón de fichas.

4.2 Clasificación de los polígonos según sus lados


los objetivos perseguidos y el ni

se podrá observar en el anexo

¿Qué tengo en el coco?

Lo que pretendo con la siguiente actividad es que los alumnos afiancen los


Además, quiero que hagan un proceso de abstracción en el que dibujen mentalmente


y en las que habría dibujados diferentes formas geométricas.

Figura 5: Ejemplo de fichas con formas geométricas.


agrupados en tríos tendrán ante sí un montón de estas fichas. Por turnos,

cada uno de ellos cogerá una ficha, y sin verla se la pondrá en la frente mostrándo

El jugador que tiene la ficha en la frente deberá adivinar su ficha mediante preguntas

de respuesta sí o no. Como por ejemplo: ¿Tiene 3 lados mi figura?

Cada jugador tendrá 6 preguntas por ficha, si no la adivinase en esas 6 preguntas la

volvería a introducir en el montón de fichas.

Clasificación de los polígonos según sus lados


los objetivos perseguidos y el nivel de Van Hiele que trabajaremos


25

Lo que pretendo con la siguiente actividad es que los alumnos afiancen los


n el que dibujen mentalmente


agrupados en tríos tendrán ante sí un montón de estas fichas. Por turnos,

cada uno de ellos cogerá una ficha, y sin verla se la pondrá en la frente mostrándosela a

El jugador que tiene la ficha en la frente deberá adivinar su ficha mediante preguntas a

iene 3 lados mi figura?,

a adivinase en esas 6 preguntas la


con este contenido

26

Actividad 1: ¿Qué son los polígonos?


Explicación: Con esta actividad lo que pretendo es que los alumnos se introduzcan en el

mundo de los polígonos y sepan cuáles son su principales elementos. También quiero

que sepan cómo se clasifican. Este ejercicio correspondería a la fase 1 del nivel 1 del

modelo Van Hiele.

Desarrollo:

Para iniciar en la comprensión de qué son los polígonos y cómo se clasifican,

empezaremos con la plasmación del siguiente video:

https://www.youtube.com/watch?v=a95Yy1YmXqE

En este video hay una explicación breve y clara de qué es un polígono, cuáles son sus

elementos (lados, vértices y ángulos), cómo se mide su perímetro y cómo se clasifican

dependiendo si se hace por el número de lados o según sus ángulos y sus lados.

A partir de este visionado los alumnos tendrán que responder a las preguntas del

profesor:

- ¿De qué trataba el video?

- ¿De qué elementos está formado un polígono?

- ¿Cómo se pueden clasificar?

Este proceso de visionado y respuesta a preguntas se hará dos veces, ya que con un

único visionado puede haber preguntas que no sepan responder. Además, servirá para

ver si las primeras respuestas que digan están bien o no.

A continuación, el profesor les irá mostrando imágenes de polígonos y de no polígonos.

Cuándo piensen que la imagen es un polígono se tendrán que levantar de la silla, y si

piensan que no lo es, se tendrán que quedar sentados en su sitio.

Figura 6

https://www.google.es/search?q=figuras+geom%C3%A9tricas+planas+de+colores&source=lnms&tbm=i

sch&sa=X&ved=0ahUKEwjK0JPrgrPUAhUKsxQKHc5lDiYQ_AUIBigB&biw=1366&bih=659#tbm=is

ch&q=no+poligonos+&imgr

Actividad 2: Memory de polígonos.


Objetivos:

- Identificar nombre y características de polígonos.

- Fomentar atención y

Niveles Van Hiele:

- Nivel 1, 2º fase.

Desarrollo:

Es el típico juego de memory.

que hacer fichas de 2 tipos:

sus características.

Figura 6: Ejemplos de polígonos y no polígonos.

Fuente:



ch&q=no+poligonos+&imgrc=pUhVzMcnDLA6EM

de polígonos.

Identificar nombre y características de polígonos.

Fomentar atención y memoria.

memory. Los alumnos en grupos de 6 crearán 4

tipos: imagen dibujada del polígono y nombre del polígono con

Figura 7: Ejemplo de memory de figuras.


TRIÁNGULO

3 LADOS

PENTÁGONO

5 LADOS

27



nos en grupos de 6 crearán 4 memories. Tendrán

nombre del polígono con

28

Actividad 3: Construyendo polígonos.


Explicación: Para desarrollar esta actividad es necesario que todos los alumnos acudan a

una sala de ordenadores. En ella trabajarán en parejas y con el programa informático

CaRMetal. Este programa lo habremos instalado previamente en todos los ordenadores.

Es un programa gratuito y de fácil acceso. Sus potencialidades son muchas para trabajar

diferentes conceptos geométricos, pero nosotros sólo emplearemos 2 o 3 herramientas.

Niveles Van Hiele:


Figura 8: Página principal CarMetal.


Desarrollo:

En primer lugar, los alumnos deberán copiar los mismos pasos del profesor. De esta

forma, aprenderán cómo formar polígonos con la herramienta del punto y el segmento.

Este proceso durará unos 15 minutos. Aunque este programa tiene herramientas muy

complejas incluso para el profesor, el alumno solo tendrá que emplear estas dos

herramientas muy sencillas.

Más tarde, cada pareja tendrá que dibujar en su ordenador el polígono que quiera, pero

sin exceder los doce lados. Una vez realizado, los alumnos tendrán que observar las

creaciones de sus compañeros de la derecha e izquierda, y pensar qu polígonos han

hecho.

29

Figura 9: Polígonos creados en CarMetal.


A continuación, el profesor señalará a algún alumno para que explique cuáles han sido

las creaciones de sus compañeros de al lado. Sus propios compañeros dirán si han

acertado o en qué se han equivocado.

Por último, el profesor les mandará que creen un dibujo con polígonos que en total la

suma de todos sus lados no excedan los 30-40. De esta forma, tendrán qué pensar que

polígonos pueden dibujar y cuáles no.

Actividad 4. Jugando con los geoplanos


Explicación: Lo que busco con esta actividad es que los alumnos afiancen y organicen

los conocimientos sobre la clasificación de polígonos.

Niveles Van Hiele:


Desarrollo:

Como es muy difícil que un centro disponga de 24 geoplanos, se trabajará con la clase

organizada en 2 grupos. El grupo que tenga los geoplanos tendrá que dibujar en el

geoplano los polígonos que el otro grupo diga. Ese polígono se lo podrá mandar

diciendo su nombre, o el número de lados que tiene. Un ejemplo sería:

- Dibujad un polígono de 4 lados o dibujad rectángulos. Los alumnos con los

geoplanos dibujarán todos los polígonos de 4 lados que pudiesen.

30

Figura 10. Rectángulo dibujado en geoplano.

Fuente: https://aprendiendomatematicas.com/wp-content/uploads/2013/01/geoplano.jpg

4.3 La circunferencia y el círculo. Elementos básicos: centro, radio, diámetro y

tangente.




Actividad 1. Los círculos me rodean


Explicación: Lo que pretendo con esta actividad es que los alumnos diferencien ya entre

círculo y circunferencia. Además, que empiecen a conocer los elementos que forman las

circunferencias.

Niveles Van Hiele:


Desarrollo:

Esta actividad comenzará durante la hora del recreo. Los alumnos agrupados por parejas

deberán ir anotando en un papel todos los objetos con forma de círculo que encuentren

en el colegio. Una vez que hayan recogido esta información, el profesor les explicará

en clase la diferencia entre círculo y circunferencia y qué elementos son los más

comunes dentro de una circunferencia. Una vez explicada la teoría, el profesor mostrará

el siguiente video para hacer la teoría mucho más visual. El video es el siguiente:

https://www.youtube.com/watch?v=vXgoVsVHLT4

31

En el video hay una descripción de los diferentes elementos de las circunferencias

(diámetro, centro, radio, arco y cuerda).

Una vez que se haya dado la explicación, cada pareja deberá dividir sus objetos

anotados durante el recreo en círculos o circunferencias.

Actividad 2. Elementos de la circunferencia


Explicación: El objetivo de la actividad es que sepan exactamente qué es una

circunferencia y qué son sus elementos. También se busca que participen oralmente en

clase haciendo preguntas sobre los juegos realizados.

Niveles Van Hiele:


Desarrollo:

Con las explicaciones dadas en la actividad anterior, el alumno tendrá que rellenar los

siguientes juegos interactivos. En ellos se trabajarán en profundidad y de forma lúdica

los diferentes elementos de la circunferencia (radio, centro, diámetro, etc.).Para su

realización será necesario el empleo de tablets u ordenadores que tengan acceso a

internet. Una vez realizadas todas las actividades, el profesor preguntará a sus alumnos

cuestiones relacionadas con los juegos interactivos. Alguna pregunta sería: ¿Cuál es la

definición de radio?, ¿cómo se calcula el diámetro de una circunferencia si te dan el

radio?

Las webs a las que habrá que conectarse son las siguientes:

Web:

http://www.primerodecarlos.com/TERCERO_PRIMARIA/archivos/Anaya3Mates/15/1.

swf

Web: http://www.primerodecarlos.com/TERCERO_PRIMARIA/archivos/Anaya3Mates/15/3.swf

32

Figura 11: Juego unir elementos de la circunferencia con su definición.

Fuente:

http://www.primerodecarlos.com/TERCERO_PRIMARIA/archivos/Anaya3Mates/15/1.

swf

Figura 12: Juego de rellenar huecos

Fuente:

http://www.primerodecarlos.com/TERCERO_PRIMARIA/archivos/Anaya3Mates/15/1.swf

33

Figura 13: Juego averiguar el diámetro y el radio.

Fuente:

http://www.primerodecarlos.com/TERCERO_PRIMARIA/archivos/Anaya3Mates/15/3.swf

Actividad 3: Con regla y compás.


Objetivo:

- Aprender a dibujar circunferencias de forma manual y con CaRMetal.

Niveles Van Hiele:


Desarrollo:

Esta actividad tendrá dos fases: En la primera estarán todos en el aula y mediante una

regla y un compás aprenderán a hacer circunferencias y sus elementos; y la segunda fase

se hará en la sala de ordenadores agrupados por parejas. En ella tendrán que hacer

también circunferencias con sus elementos, pero mediante la aplicación CaRMetal. El

tiempo de explicación de cómo crear circunferencias de ambas formas llevará unos 25

minutos, los otros 35 minutos los emplearán para crear diferentes circunferencias.

Forma manual:

34

Paso 1:

Dibujar una línea de 5 centímetros:

Paso 2:

Poner la punta de metal en uno de los extremos de la línea, y la otra punta de grafito en

el otro extremo de la línea, tal y como se muestra en la Figura 14.

Paso 3:

Con la medida tomada sobre la línea, se traslada el compás a otro lado del folio y se

dibuja la circunferencia. Después, se anota cuál es el centro y se dibuja su radio y su

diámetro.

Figura 15: Compás trazando una circunferencia.

Fuente: http://www.aplicaciones.info/decimales/geopla42.jpg

CaRMetal:

Para crear las circunferencias se tienen que seguir los siguientes pasos.

Paso 1:

Dibujar un segmento y colocar la longitud que se desee.

Figura 14: Compás midiendo el radio de la circunferencia.

Fuente: http://la-tipografia.net/wp-content/uploads/2012/10/Uso-del-compas.png

35

Figura 16: Segmento dibujado en CaRMetal.


Paso 2:

A continuación se selecciona la herramienta compás y se coloca su centro sobre uno de

los dos extremos del segmento.

Figura 17: Circunferencia creada a partir del segmento.


Paso 3:

Por último se le da nombre a los diferentes elementos de la circunferencia.

Figura 18: Nombre de algunos elementos de la circunferencia.


36

Una vez elaborados los ejemplos se les pedirá que dibujen de las dos maneras posibles

diferentes circunferencias. En estas circunferencias han de marcar el centro y decir

cuánta es la distancia del radio y del diámetro. Ejemplo:

1) Circunferencia de radio 3 cm.

2) Circunferencia de diámetro 5 cm.

3) Circunferencia de radio 8 cm.

4) Circunferencia de diámetro 20 cm.

4.4 Los cuerpos geométricos: cubos, esferas, prismas, pirámides y cilindros. Aristas

y caras.




Actividad 1: ¿A qué se parece?


Explicación: Esta actividad busca conocer qué conocimiento tienen los alumnos sobre

los cuerpos geométricos.

Niveles Van Hiele:


Desarrollo: En esta actividad los alumnos se agruparán en tríos. A cada trío se le dará un

objeto real que tenga forma de cuerpo geométrico (cucurucho de helado, caja de regalo,

balón…) y, en 1 minuto, cada trío tendrá que apuntar en un papel a qué cuerpo

geométrico se parece. Una vez pase el minuto, pasarán su objeto al trío de la derecha.

37

Figura 19: Objetos con formas de cuerpos geométricos.

Fuente: https://s-media-cache-ak0.pinimg.com/originals/05/df/e5/05dfe593c8c66cacb8dcbf0280a8f840.jpg

Cuando todos los objetos hayan sido identificados, se procederá a corregir en alto a qué

cuerpo geométrico se parece cada objeto.

Actividad 2: Jugando con los cuerpos geométricos.


Explicación: Lo que pretendo con esta actividad es que los alumnos a través de juegos

se autocorrijan (no pueden pasar de pantalla si no tienen todo bien), y conozcan la teoría

necesaria sobre los diferentes poliedros y cuerpos redondos.

Niveles Van Hiele:


Desarrollo:

En esta actividad se comenzará con la explicación de todos los poliedros y cuerpos

redondos que existen, y sus características. Posteriormente se harán una serie de juegos

interactivos de los que se precisará la utilización de tablets por parte de los alumnos.

Tras la explicación de la teoría, nos apoyaremos en el siguiente video que afianzará los

conocimientos transmitidos a los alumnos.

https://www.youtube.com/watch?v=lqv0dYnKTxA

En este video hay una explicación de qué son los poliedros, cuáles son sus elementos,

cómo se clasifican y qué son los cuerpos redondos. La explicación la realiza un chico de

38

forma divertida intentando que así se produzca un aprendizaje significativo en los

alumnos.

Una vez con la teoría explicada se pasará a la realización de actividades interactivas. La

web utilizada será la siguiente:

http://www.ceipjuanherreraalcausa.es/Recursosdidacticos/CUARTO/datos/01_Mates/da

tos/05_rdi/U13/unidad13.htm

En dicha web existen tres tipos de actividades. La primera de ellas está relacionada con

los poliedros, y se trabaja tanto su clasificación como el estudio de los elementos que lo

conforman. El segundo tipo de actividades trata sobre los prismas y las pirámides; y el

último de ellos es un ejercicio de verdadero y falso con contenidos sobre los cuerpos

redondos.

Figura 20: Actividad 1: Poliedros.

Fuente: http://www.ceipjuanherreraalcausa.es/Recursosdidacticos/CUARTO/datos/01_Mates/datos/05_rdi/U13/0

1.htm

Figura 21: Actividad 2: Poliedros.


1.htm

39

Figura 22: Actividad 3: Prismas y pirámides.


2.htm

Figura 23: Actividad 4: Cuerpos redondos.


3.htm

Actividad 3: Maquetas cuerpos geométricos


Explicación: El objetivo primordial de esta actividad es que los alumnos puedan crear y

manipular cuerpos geométricos en 3D.

Niveles Van Hiele:


Desarrollo:

En esta actividad los alumnos realizarán cuerpos geométricos de dos formas diferentes:

Primeramente a partir de hojas recortables y después a partir de palillos y plastilina.

40

Con las hojas recortables se harán de forma muy sencilla cuerpos geométricos, ya que la

forma viene dada y no tiene más que recortar, doblar y pegar.

Figura 24: Recortables de cuerpos geométricos.


Una vez hechas las figuras, les pondrán nombre y las organizarán en poliedros o

cuerpos redondos.

A continuación, individualmente, cada alumno creará una maqueta con cuatro cuerpos

geométricos y las características de ellos, elaborados a partir de palillos y plastilina. De

esta forma serán capaces de fabricar una gran variedad de cuerpos geométricos

diferentes. Finalmente, con la maqueta ya acabada habrá una exposición de cada una de

ellas a todos sus compañeros explicando los cuerpos que ha realizado y las principales

características de estos.

Figura 25: Cuerpos geométricos con plastilina y palillos.

Fuente: http://3.bp.blogspot.com/-rq7_EsAsU3Q/U0bHUZVuEtI/AAAAAAAAA4I/VxqdNg9vvyE/s1600/DSC_0220.jpg

41

Actividad 4: Los cuerpos geométricos se trasladan a mi ordenador.


Explicación: Lo que se pretende con esta actividad es que los alumnos realicen cuerpos

geométricos pero a partir del software informático Cabri 3D. Al igual que el CaRMetal

es un software gratuito que previamente el profesor habrá instalado en todos los

ordenadores. También servirá para tener una visión global de lo que han aprendido

acerca de este contenido.

Niveles Van Hiele:


Desarrollo:

Para que los alumnos practiquen la construcción de cuerpos geométricos, se pasará de la

actividad anterior en la que había que utilizar recursos manipulativos tradicionales, a

realizar estos cuerpos geométricos a partir de un ordenador. Para la realización de este

ejercicio los alumnos se agruparán en parejas y trabajarán con el software informático

Cabri 3D.

Figura 26: Página de inicio Cabri 3D.


En este software harán dos tareas: dibujar cuerpos geométricos sobre un plano, y abrir

ese cuerpo geométrico para ver cómo sería su desarrollo en 2D. Para realizar estas dos

tareas seguirán los pasos mandados por el profesor. Esta explicación durará unos 20

minutos.

Paso 1:

Elegir el cuerpo geométrico que se desea dibujar.

42

Figura 27: Dibujo de cubo en Cabri 3D.


Paso 2:

Pulsar el botón derecho del ratón y sin soltar ver el cuerpo en todas sus posiciones.

Figura 28: Visión desde otro ángulo del cubo.


Paso 3:

Seleccionar la función “Abrir poliedro” y manejarlo con la función “Manipulación”

hasta que se coloque totalmente desplegado sobre el plano.

43

Figura 29: Cubo abierto con la función abrir poliedro.


Una vez de que hagan un par de figuras siguiendo los pasos del profesor, tendrán que

realizar los cuerpos geométricos que él les mande. Por ejemplo:

- Dibujad un dodecaedro.

Las figuras que dibujen, las guardarán en un USB proporcionado por el profesor y

finalmente un alumno saldrá y explicará sus creaciones a sus compañeros diciendo qué

figuras han creado y cuántas caras, vértices y aristas tienen dichas figuras.

4.5 Ángulos en distintas posiciones: consecutivos, adyacentes, opuestos por el

vértice…




Actividad 1: Mi tablet me educa.


Explicación: Lo que se busca con esta actividad es que ellos mismo conozcan la teoría

siguiendo su propio ritmo. Además, se pretende valoren si van adquiriendo los

conocimientos o no.

Niveles Van Hiele:

- Nivel 2; 1ª,2ª y 3ª fase.

44

Desarrollo:

Cada alumno trabajará con su tablet en la siguiente página web:

http://agrega.educacion.navarra.es/visualizar/es/es-na_2012011013_9112109/false

En esta página web está toda la teoría que queremos que aprendan los alumnos sobre los

ángulos. Además, acompañando a la teoría hay actividades que permiten que los

propios alumnos evalúen si han aprendido los conceptos explicados.

Figura 30: Página principal web interactiva sobre ángulo.

Fuente: http://agrega.educacion.navarra.es/visualizar/es/es-

na_2012011013_9112109/false

Una vez que todos los alumnos acaben con sus diapositivas, se pasará a realizar un

esquema con la información obtenida en la aplicación, y con la participación de todos

los alumnos.

Actividad 2. Dominó de ángulos


Explicación: Esta actividad lo que pretende es reforzar el conocimiento de los tipos de

ángulos y sus medidas a través de un juego.

Niveles Van Hiele:


45

Desarrollo:

Se necesitarán 4 dominós de ángulos. Estarán formados por piezas en las que en una

parte estará escrito un tipo de ángulo (consecutivo, adyacente, obtuso, etc.) o la medida

de un ángulo (45º, 90º), y en la otra dibujado un tipo de ángulo o un ángulo en el que

hay una incógnita que es la medida del ángulo con la que juntar la pieza. Los alumnos

formarán 4 grupos de 6 personas y cogerán el mismo número de fichas cada uno. Por

turnos han de unir las partes de fichas que sean iguales. Si un jugador no puede

continuar dirá paso y jugará el siguiente compañero. Ganará quien antes se quede sin

fichas.

Figura 31: Dominó de ángulos.

Fuente: https://anagarciaazcarate.files.wordpress.com/2012/12/diapositiva2.jpg

Actividad 3. Cálculo de ángulos.


Explicación: Esta última actividad busca que el alumno, con todos los conocimientos

adquiridos previamente, sepa enfrentarse a un ejercicio en el que tiene que deducir

frente a qué tipo de ángulo se encuentra, y cuál es la medida del ángulo que falta.

Niveles Van Hiele:


Desarrollo:

Para evaluar a los alumnos en este contenido, de nuevo con las tablets los alumnos

accederán a la siguiente página web:

https://www.thatquiz.org/es/practicetest?ew2gbdgx4k56

46

Esta página web es bastante diferente a la explicada anteriormente, pero sirve muy bien

para evaluar a los alumnos en su conocimiento sobre los ángulos adyacentes,

consecutivos, etc. En dicha web tendrán que calcular la medida de los ángulos marcados

con una X en el menor tiempo posible y sin errores, ya que la propia página web indica

al final de la prueba los errores cometidos y el tiempo total transcurrido.

Figura 32: Web para averiguar medidas de ángulos.


Gracias a esta página en la que tienen que calcular la medida de diferentes ángulos, se

observará si han adquirido los conocimientos necesarios.

4.6 La representación elemental del espacio, escalas y gráficas sencillas.




Actividad 1: El mundo en los planos.


Explicación: Se pretende introducir al alumno en el mundo de los mapas y los planos.

Niveles Van Hiele:


Desarrollo:

Se agruparán por parejas y se entregará el siguiente mapa:

Fuente:1I/AAAAAAAAAaU/zVSrqCBPceo/s

Una vez que cada pareja tenga un mapa, se les preguntará a los alumnos de forma

aleatoria por la ubicación de diferentes lugares: ¿Dónde está el museo de arte? ¿Dónde

se encuentra la torre alta?

A continuación se les recogerá ese

más complejo. Este salto de dificultad está hecho para que vean que se pueden

representar desde las cosas más simples en un plano, hasta toda la Tierra.

tendrán ante sí será el siguiente y t

coordenadas.

Fuente: https://socialesdigital.files.wordpress.com/2013/10/latitud_lon

De igual forma se les hará preguntas de dónde están situados los diferentes puntos de

colores.

Por último, se les explicará toda la teoría relacionada con los planos: para qué sirven,

que elementos deben constar en el plano, etc.

Figura 33.Plano de ciudad.

Fuente: http://4.bp.blogspot.com/-FrE3gMizdi8/UOoZdfEc-1I/AAAAAAAAAaU/zVSrqCBPceo/s640/planos-1-500x367.png



se encuentra la torre alta?

A continuación se les recogerá ese primer plano y se les entregará el siguiente mucho


representar desde las cosas más simples en un plano, hasta toda la Tierra.

tendrán ante sí será el siguiente y tendrán unos puntos de colores dentro de ciertas

Figura 34. Plano de la Tierra

https://socialesdigital.files.wordpress.com/2013/10/latitud_lon



que elementos deben constar en el plano, etc.

47

-500x367.png



primer plano y se les entregará el siguiente mucho


representar desde las cosas más simples en un plano, hasta toda la Tierra. El plano que

endrán unos puntos de colores dentro de ciertas

https://socialesdigital.files.wordpress.com/2013/10/latitud_longitud_mundo.gif



48

Actividad 2. Destrozar la clase.


Explicación: Se pretende que los alumnos empiecen a representar ellos mismo su

entorno más cercano y tengan que nombrar coordenadas jugando al clásico juego de

“Hundir la flota”.

Niveles Van Hiele:


Desarrollo: Agrupados los alumnos por parejas tendrán que jugar al juego de “Hundir la

flota” pero con objetos de la clase.

Cada alumno tendrá una hoja cuadriculada de 1cm de ancho cada cuadrado y una escala

1:50. En ella tendrán que dibujar los siguientes objetos:

- Mesa de 1m y 50cm

- Silla de 50 cm

- Pizarra de 3 m

- Mochila de 50 cm

- Estantería de 2 m

Figura 35: Ejemplo de cuadrícula pero sin escala.

Fuente: http://www.abuelandia.es/wp-content/uploads/2013/02/130214-hundir-la-flota-abuelandia-abuelos-y-nietos-635x352.jpg

Una vez que todos hayan dibujado estos objetos en el lugar que deseen de su cuadrícula

comenzará el juego. Cada vez que toquen un objeto, el jugador al que le toquen dirá

49

“Mesa dañada”, “Silla destrozada”, etc. Ganará el primero que destroce la clase del

compañero.

Actividad 3. La casa de mi amiga.


Explicación: Se pretende reforzar la capacidad del alumno para entender escalas y

aplicarlas.

Niveles Van Hiele:


Desarrollo:

Cada alumno con su tablet accedería a la siguiente página web:

http://www.cplapuebla.com/web/constructor/unidad8act5/

Figura 36: Página principal teoría escalas.


Esta página web es un juego interactivo que trata sobre las escalas y la medición a partir

de ellas. En este juego conocerán teoría sobre los dos tipos de escalas (gráfica y

numérica) y la aplicarán para conocer las medidas de unas habitaciones. Será necesaria

la utilización de una regla por parte del alumno.

50

Figura 37: Juego medir habitaciones.


Actividad 4: Proyecto plano.


Explicación: Esta actividad tiene como objetivo aunar todos los conocimientos hasta

entonces vistos y aplicarlos para representar en un plano el espacio que más desee.

Niveles Van Hiele:

- Nivel 2; 3ª, 4ª y 5ª fase.

Desarrollo:

En esta actividad individual, cada alumno tendrá que dibujar un plano sobre lo que más

desee: su casa, su habitación, su clase, etc. Este plano tendrá que estar dibujado a la

escala que señale y deberá contar con un sistema de coordenadas. Una vez elaborado, lo

tendrán que presentar ante toda la clase diciendo qué ha dibujado, qué escala, cuánto

miden realmente los objetos realizados, etc. Aunque es un trabajo laborioso, es un

sencillo para los alumnos de 6º de Primaria.

Figura 38: Plano de una casa con escala.

Fuente: http://elpaulofreire.es/espa/ct/bloque12/tema2/2.4.PlanoJuanAmal.jpg

51

5. CONCLUSIÓN

Realizando este trabajo he podido valorar la importancia que el aprendizaje de la

geometría tiene en edades tempranas ya que contribuye al desarrollo del pensamiento

lógico y espacial en los niños.

Desde el momento de nacer, se explora el mundo por medio de la manipulación de los

objetos descubriendo sus propiedades y características hasta establecer una relación con

ellos. Es la geometría la que ayuda a la comprensión del espacio, posición y forma de

los objetos, por lo que es necesario que los alumnos de Educación Primaria adquieran

dichos conocimientos.

Gracias a mi experiencia como entrenador de balonmano, y de profesor asociado en mi

estancia en prácticas, he podido trabajar con niños de diferentes edades y he visto que

los conocimientos se adquieren notablemente más rápidos y mejor si el alumno tiene un

contacto directo y manipulativo con la teoría explicada.

En mi propia práctica docente, he visto que las mejorías son claramente notorias si la

explicación está acompañada por diferentes recursos de apoyo al discurso como son los

recursos manipulativos y digitales. Es por esto que siempre busco innovar en cada clase

para conseguir captar la atención de los alumnos, siendo más fácil para los alumnos si

ellos también forman parte de la clase activamente y no exclusivamente escuchando las

explicaciones pertinentes del profesor.

He optado por plantear actividades que mezclan recursos manipulativos y recursos

digitales y visuales para una mejor enseñanza de la geometría, respetando el modelo

Van Hiele, para que los alumnos avancen poco a poco en el aprendizaje de la geometría.

En cada actividad he relacionado la base teórica que se quiere transmitir y herramientas

de las aulas y de los centros educativos como son las tablets, las pizarras digitales o

aulas de ordenadores. El material utilizado en cada clase es clave para motivar y suscitar

interés en el alumno hacia los conocimientos presentados en el aula.

Se concluye que los recursos digitales y visuales, son excelentes para trabajar la

geometría en la Educación Primaria de una forma más creativa e innovadora. De esta

forma se ofrece múltiples posibilidades de trabajo para un desarrollo óptimo del

pensamiento lógico y espacial en los niños.

53

6. BIBLIOGRAFÍA

Aaron Asencio. (Productor). (2017). Los cuerpos geométricos: poliedros y cuerpos

redondos. De https://www.youtube.com/watch?v=lqv0dYnKTxA.

Alsina, C., Burgués, C. y Fortuny, J.Mª. (1991) Materiales para construir la geometría.

Madrid: Síntesis.

Arrieta, M. (s.f.). Medios materiales en la enseñanza de la matemática. Psicodidáctica,

(5), p. 107-114.

Calvo, X., Carbó, C., Farrell, M., Fortuny, J.M., Galera, P., Mora, J.A.,…Segarra, L.

(2002). La geometría: de las ideas del espacio al espacio de las ideas en el aula,

Barcelona: Editorial Laboratorio Educativo.

Cascallana, Mª.T. (2002). Iniciación a la matemática. Materiales y recursos didácticos.

Madrid: Aula XXI/Santillana.

Castelnuovo, E. (1963): La geometría, Barcelona: Labor.

Castro, E. (Ed.)(2001). Didáctica de la matemática en la Educación Primaria. Madrid:

Síntesis.

Cenera, V. (s.f.). El aprendizaje de la geometría con la ayuda de material didáctico en

primer ciclo de primaria (tesis de fin de grado). Universidad de Valladolid,

Palencia, España.

Chamorro, M.C. (s.f.). Matemáticas para la cabeza y las manos: la enseñanza de la

geometría en la Educación Primaria. De: http://2633518-0.web-

hosting.es/blog/didact_mate/Geometria_CChamorro.pdf .

Eves, H. (s.f.) Estudio de las Geometrías. Maine: UTEHA.

Guzmán, M. (1992). Tendencias innovadoras en educación matemática. Universidad

Complutense, Madrid.

Jaime, A. (1993). Aportaciones a la interpretación y aplicación del Modelo de Van

Hiele: La enseñanza de las isometrías en el plano. La Evaluación del nivel de

razonamiento (Tesis Doctoral). Universidad de Valencia, España.

La Eduteca. (Productor). (2013). Los polígonos. De

https://www.youtube.com/watch?v=a95Yy1YmXqE.

54

Ley Orgánica 8/2013, de 9 de diciembre, para la mejora de la calidad educativa. (BOE,

Nº295, del martes 10 de diciembre de 2013).

MundoPrimaria. (Productor). (2015). Elementos de la circunferencia y círculo para

niños. De https://www.youtube.com/watch?v=vXgoVsVHLT4.

Ortíz, I.M., y Ramírez, M. (s.f.). Emma Castelnuovo. Las matemáticas de lo cotidiano.

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Real Decreto 126/2014, de 28 de febrero, por el que se establece el Currículo básico de

la Educación Primaria. (BOE, Nº52, del sábado 1 de marzo de 2014).

Ruiz, N. (2013). Influencia del software de geometría dinámica GeoGebra en la

formación inicial del profesorado de primaria. Universidad Autónoma de

Madrid, España.

Sanz, I. (2001). Matemáticas y su didáctica II. Geometría y medida, Leioa: Universidad

del País Vasco.

Toobys Español. (Productor). (2013). Canción de las formas, aprender las formas

geométricas. De https://www.youtube.com/watch?v=bqKDWm7wO3Y.

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Venegas, María. (2015). Niveles de razonamiento geométrico de Van Hiele al resolver

problemas geométricos: un estudio con alumnos de 13 a 16 años en Cantabria

(Tesis de máster). Universidad de Cantabria, Cantabria, España.

55

7. ANEXOS

7.1 Tabla contenido 4.1

Tabla 1

Información explicativa contenido 4.1

IDENTIFICACIÓN DE FORMAS RECTANGULARES, TRIANGULARES Y

CIRCULARES.

Curso: 1º de Primaria.


Material: - Cartulinas.

- Pinturas de colores.

- Tijeras.

- Plastilina.

- Varillas de madera.

- Proyector.

- Ordenadores con acceso a Internet y con el programa

Paint.

Objetivos: - Identificar formas rectangulares, triangulares y

circulares en los objetos que nos rodean.

- Ser capaz de crear diferentes figuras geométricas.

- Mejorar en el manejo de software informáticos.

Niveles Van Hiele: Todas las actividades corresponderán al nivel 1 del modelo Van

Hiele y a algunas de sus fases de aprendizaje:

- Actividad 1: Fase 1.

- Actividad 2: Fase 2 y 3.



56


Tabla 2


CLASIFICACIÓN DE LOS POLÍGONOS SEGÚN SUS LADOS



Material: - Proyector.

- Pizarra digital.

- Imágenes de polígonos y de no polígonos.

- Fichas memory.

- Software CaRMetal.

- Geoplano.

Objetivos: - Crear y clasificar polígonos atendiendo al número de

lados.

- Mejorar en los alumnos la capacidad de manejo de

software informático.

- Trabajar la capacidad de memorización de los alumnos.







57


Tabla 3


LA CIRCUNFERENCIA Y EL CÍRCULO. ELEMENTOS BÁSICOS: CENTRO,

RADIO, DIÁMETRO Y TANGENTE.



Material: - Regla.

- Compás.

- Proyector.

- Pizarra digital.

- Ordenador con acceso a Internet y programa CaRMetal.

- Folios.

- Lápices.

Objetivos: - Capacitar al alumno para que diferencie entre círculo y

circunferencia, y aprenda los elementos de una

circunferencia.

- Mejorar la capacidad de manejo de ordenadores de los

alumnos.

- Introducir al alumno en el manejo de la regla y el

compás.






58


Tabla 4


LOS CUERPOS GEOMÉTRICOS: CUBOS, ESFERAS, PRISMAS,

PIRÁMIDES Y CILINDROS. ARISTAS Y CARAS.



Material: - Objetos con formas de cuerpos geométricos.

- Plastilina.

- Palillos.

- Folios.

- Ordenador con acceso a Internet y programa Cabri 3D.

- Tijeras y pegamento.

- Tablets.

- Proyector.

- Pizarra digital.

Objetivos: - Conocer y nombrar diferentes cuerpos geométricos con

sus características.

- Desarrollar la habilidad manipulativa y creativa de los

alumnos.

- Mejorar el manejo de los ordenadores por parte de los

alumnos.




- Actividad 2: Fase 2



59


Tabla 5


ÁNGULOS EN DISTINTAS POSICIONES: CONSECUTIVOS, ADYACENTES,

OPUESTOS POR EL VÉRTICE.



Material: - Tablets.

- Ordenadores.

- Proyector.

- Pizarra digital.

- Fichas de dominó.

Objetivos: - Aprender a medir ángulos y conocer las distintas

posiciones de ángulos que existen.

- Desarrollar la capacidad de autoevaluación de los

alumnos.

- Fomentar el autoaprendizaje por parte del alumno.



- Actividad 1: Fase 1, 2 y 3.



60


Tabla 6


LA REPRESENTACIÓN ELEMENTAL DEL ESPACIO, ESCALAS Y

GRÁFICAS SENCILLAS.



Material: - Tablets.

- Planos.

- Papel cuadriculado.

- Reglas y lápices.

Objetivos: - Mejorar la interpretación y representación del espacio

por parte de los alumnos.

- Mejorar la capacidad de orientación de los niños.






- Actividad 4: 3, 4 y 5.

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