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UNIVERSIDAD POLITÉCNICA DE MADRID

E.T.S. DE INGENIEROS AGRÓNOMOS

Desarrollo de nuevos algoritmos para el cálculo de la proyección Gauss–Krüger

TESIS DOCTORAL

Carlos Enríquez Turiño Licenciado en C. Matemáticas

Licenciado en C. Físicas Año, 2009

18/01/2010 CET Tesis_Doctoral_versión_Tesis_Europea.docx


i

DESARROLLO DE NUEVOS ALGORITMOS PARA EL CÁLCULO

DE LA PROYECCIÓN GAUSS–KRÜGER

por

Carlos Enríquez Turiño.

Tesis propuesta para el doctorado en

Plan: Geodesia y geomática

Universidad Politécnica de Madrid. 2009

Aprobado por ________________________________________________ . Presidente del comité supervisor.

_________________________________________________ . _________________________________________________ . _________________________________________________ .

Programa autorizado para obtener el doctorado __________________________________________________ . Fecha _______________________________________________________


ii

Cmr msel oa eaam r dm jycrar oi,sac a d iuo unrom mijyeta aujs gnrpqi , .Oo,ihno


iii

Universidad Politécnica de

Madrid

Descripción breve

DESARROLLO DE NUEVOS ALGORITMOS PARA EL

CÁLCULO DE LA PROYECCIÓN GAUSS–KRÜGER.

por Carlos Enríquez Turiño.

Presidente del comité supervisor:Catedrático [Nombre].

Departamento de [Nombre].

Abstract:

The Transverse Mercator projection of the ellipsoid was derived by Gauss

as a special case of his general theory of conformal representation, and

was introduced by him into the Survey of Hanover between 1820 and

1830. A method for the full development of the formulae, using a

symbolic calculus program is developed, then the influence of each term

in the final result is studied to know which terms can be neglected while

achieving a desired precision and, finally, these results are applied to a

particular case.

A new set of formulas is described for calculating all the direct and

inverse transformation, the convergence of meridians, the linear

distortion, calculus of surfaces, and arc-to-chord correction, for the

Gauss–Krüger projection. Instead of using different formulas for each

problem, all the calculi are based on the formulas used to obtain the

direct transformation. These formulas are also more accurate than

previous ones and can be extended to an arbitrary width.

As an example, a version of the oblique conformal Mercator projection is

compared with a broaden version of the Gauss Kruger, to see the

difference between them and how it can be possible to extend the latter

to an arbitrary width.


iv


v

Capítulo I: Introducción ................................................................... 1

I.1 Cartografía e informática. ............................................... 1

I.2 Objetivos. .......................................................................... 7

I.3 Estructura de la Tesis. .................................................. 12

Capítulo II: Antecedentes ............................................................ 15

II.1 Fundamentos de Cartografía Matemática. .................. 15

II.2 Sistemas de representación conforme. ......................... 30

II.3 La proyección Gauss–Krüger. ....................................... 35

II.4 La Proyección Oblicua de Mercator .............................. 60

Capítulo III: Extension proposal for the Gauss–Krüger

projection formulae ......................................................................... 71

III.1 Transformation functions .............................................. 71

III.2 Elements of the projection. ............................................ 89

Capítulo IV: Results and discussion .......................................... 102

IV.1 Calculus of the coefficients. ......................................... 102

IV.2 Calculus of the elements of the projection ................. 117

IV.3 Numerical application of the Oblique Mercator

projection ................................................................................ 124

Capítulo V: Conclusions ............................................................ 134


vi

LISTA DE ILUSTRACIONES

Número Página.

Figura 1: Etapas en la representación plana de la superficie terrestre. .............. 3

Figura 2: Sistemas de coordenadas geodésicas. ................................................... 17

Figura 3: Elementos diferenciales en el elipsoide................................................ 21

Figura 4: Elementos diferenciales en el plano. .................................................... 23

Figura 5: Cálculo de los parámetros de una proyección. ..................................... 29

Figura 6: Representación plana de la proyección. ............................................... 33

Figura 7: Proyección de Mercator ......................................................................... 36

Figura 8: Proyección Gauss–Krüger ..................................................................... 43

Figura 9: Transformación directa ......................................................................... 46

Figura 10: Geometría de curvas planas ............................................................... 55

Figura 11: Triángulo elipsóidico ........................................................................... 56

Figura 12: Corrección a la cuerda ......................................................................... 57

Figura 13: Proyección Oblicua Mercator .............................................................. 62

Figura 14: La proyección Hotine Oblicua de Mercator ........................................ 67

Figura 15: Conversion of ∆x, ∆y into ∆E, ∆N ....................................................... 80

Figura 16: Calculus of the curvature .................................................................... 93

Figura 17: Angular distortion in milliseconds of the UTM projection for a

constant latitude ϕ = 40º ....................................................................................... 99

Figura 18: Angular distortion in milliseconds of the UTM projection for a

constant longitude λ = 1º 30’ ................................................................................. 99

Figura 19: Relationship among order, width zone and precision at low

latitudes (ϕ = 0º). .................................................................................................. 107


latitudes (ϕ = 40º). ................................................................................................ 108


latitudes (ϕ = 80º). ................................................................................................ 108


vii

Figura 22: Difference{ }4,2 4,290 90,x y∆ ∆ for a 10º−width zone. ...............................109

Figura 23: Difference { }6,4 6,490 90,∆ ∆x y for a 70º−width zone. ..............................110

Figura 24: Difference { }8,6 8,690 90,∆ ∆x y for a 70º−width zone. ...............................111

Figura 25: Difference { }10,8 10,890 90,∆ ∆x y for a 70º−width zone. ............................112

Figura 26: Difference { }12,10 12,1090 90,∆ ∆x y for a 70º−width zone. ...........................113

Figura 27: Difference { }14, 10 14,1090 90,x y∆ ∆ for a 70º−width zone. .........................114

Figura 28: Local scale factor, m, for different latitudes as a function of

the longitude up to 10º width. .............................................................................121

Figura 29: Local scale factor, m, for different latitudes as a function of

the longitude up to 30º width. .............................................................................121

Figura 30: Route of the railroad ..........................................................................125

Figura 31: Gnomic projection coordinates ..........................................................127


viii

LISTA DE TABLAS

Número Página.

Tabla 1: Elipsoides de referencia. ......................................................................... 16

Tabla 2: Notación empleada. ................................................................................. 20

Tabla 3: Parámetros de la proyección. .................................................................. 28

Tabla 4: Direct and inverse formulas for the TM projection (Snyder 1984) ...... 80

Tabla 5: Algorithm used to determine the latitude and the longitude from

x and y. ................................................................................................................... 81

Tabla 6: Tissot’s artifice values for different latitudes and longitudes. ........... 100

Tabla 7: Order of magnitude (10p) of the an ∆λn terms. ..................................... 103

Tabla 8: Value of the an ∆λn coefficients for a 30º width zone in a 10º

latitude and for different values of ηk. ............................................................... 104

Tabla 9: Number of terms (order) necessary to achieve a 10 m precision

according with the latitude and the zone width. ............................................... 105

Tabla 10: Number of terms (order) necessary to achieve a 1 m precision


Tabla 11: Number of terms (order) necessary to achieve a 0.1 m precision


Tabla 12: Number of terms (order) necessary to achieve a 0.01 m

precision according with the latitude and the zone width. ............................... 106

Tabla 13: Number of terms (order) necessary to achieve a 0.001 m

precision according with the latitude and the zone width. ............................... 107

Tabla 14: Influence of degree ηk.......................................................................... 115

Tabla 15: Gauss–Krüger coordinates of the initial points grid. ....................... 118

Tabla 16: Gauss–Krüger coordinates of the final points grid. .......................... 118

Tabla 17: Calculus of the geographic coordinates in the GK−projection for

a point. .................................................................................................................. 119

Tabla 18: Distances, in meters, between corresponding points using the

formula (2.75). ...................................................................................................... 119


ix

Tabla 19: Distances, in meters, between corresponding points using the

formula (3.74). ......................................................................................................120

Tabla 20: Errors, in meters, in the distances between corresponding

points using the formula (2.75). ..........................................................................120

Tabla 21: Errors, in meters, in the distances between corresponding

points using the formula (3.74). ..........................................................................120

Tabla 22: Ellipsoidal trapezium areas (m2). .......................................................122

Tabla 23: Errors, in percentage, of the areas of the ellipsoidal trapezium. .....122

Tabla 24: Convergence (dd.mmss) computed with formula (3.64). ...................123

Tabla 25: Azimuths computed with the direct formula (dd.mmss). ..................123

Tabla 26: Azimuths calculated with the curvature (dd.mmss). ........................123

Tabla 27: Errors in azimuths calculated with the direct formula

(seconds). ...............................................................................................................124

Tabla 28: Errors in the azimuths calculated with the curvature (seconds). ....124

Tabla 29: Geodetic coordinates of the cities referred to WGS84 .......................125

Tabla 30: Gnomic coordinates of the cities. ........................................................126

Tabla 31: Linear regression coefficients .............................................................127

Tabla 32: HOM coordinates of the cities. ............................................................128

Tabla 33: Distances and azimuths with the HOM projection ...........................128

Tabla 34: Summary of distance results (datum WGS84) (m). ...........................129

Tabla 35: Errors in distances (mm). ....................................................................130

Tabla 36: Errors, in pmm, in each baseline ........................................................130

Tabla 37: Summary of azimuth results (dd.mmss). ...........................................131

Tabla 38: Errors in azimuths (seconds) ..............................................................131


x

AGRADECIMIENTOS.

El autor desea dar las gracias a:

[Haga clic y escriba los agradecimientos].


xi

GLOSARIO.

Palabra. [Haga clic aquí y escriba la definición.].


1

Capítulo I: Introducción

Se comienza planteando qué es la cartografía, su relación con los

Sistemas de Información Geográficos (SIG) y como puede aplicarse el

álgebra computacional a estos dos campos. Se describe una colección de

algoritmos para la proyección Gauss–Krüger (GK) ampliando su ámbito

de aplicación.

Se justifica el por qué de esta tesis, los objetivos de la misma, como se

alcanzan y sus posibles aplicaciones al campo de la ingeniería civil y los

SIG.

I.1 Cartografía e informática.

I.1.1 La representación plana de la superficie terrestre.

La cartografía es una vieja disciplina matemática cuyo origen se

encuentra en la más remota antigüedad y que ha estado presente en

todas las culturas.

Se puede dar una primera definición atendiendo a su etimología:

cartografía proviene del latín charta, que significa carta, trozo de papel, y

del griego γραϕω, que significa escribir y es la ciencia que se ocupa del

establecimiento de las cartas geográficas. Una definición más precisa, es

la dada por la Asociación Cartográfica Internacional, que la define como:

‘‘El conjunto de estudios y operaciones científicas, artísticas y técnicas que a partir de los resultados de observaciones directas o de la explotación de una documentación, intervienen en la elaboración de cartas, planos y otros medios de expresión, así como de su utilización’’.

Tradicionalmente, y de acuerdo con esta definición, la cartografía se ha

dividido en tres ramas diferentes, aunque íntimamente relacionadas

entre sí:


2

• La cartografía matemática, que se ocupa del aspecto matemático de

la elaboración de mapas; esto es, del estudio teórico de leyes,

principios y sistemas de representación que nos permitan

transformar las coordenadas geográficas de la superficie terrestre,

en coordenadas en un sistema de referencia plano de acuerdo con

unas determinadas fórmulas matemáticas.

• La producción cartográfica, que incluye desde la observación

directa sobre el terreno, hasta la impresión definitiva y difusión de

los documentos elaborados.

• La explotación, que se ocupa de la lectura e interpretación de

mapas y nos facilita la compresión de la información contenida en

el mapa.

De acuerdo con la definición dada por la Asociación Cartográfica

Internacional, una carta es:

‘‘La representación convencional, generalmente plana, de posiciones relativas de fenómenos concretos o abstractos localizables en el espacio’’.

La representación plana de la Tierra se lleva a cabo en diversas etapas,

que conviene diferenciar:

• Medición de distancias y/o ángulos de elementos situados sobre la

superficie terrestre. Estas mediciones se realizaban con teodolitos,

distanciómetros y actualmente también se realizan con GPS.

• Reducción de de los elementos observados o medidos al geoide.

• Referenciación a un elipsoide de revolución, problema que se

resuelve introduciendo las oportunas correcciones.

• Proyección del elipsoide en un plano.


3

El esquema a seguir sería (ver figura 1):

Figura 1: Etapas en la representación plana de la superficie terrestre.

Sería deseable que al hacer esta aplicación se conservasen las

propiedades métricas que existen en la esfera, o en el elipsoide. El

problema de las proyecciones surge del hecho que una esfera no puede

cortarse, abrirse y extenderse sobre un plano sin distorsionar alguna, o

todas, de sus propiedades métricas. Para ello sería necesario que la esfera

fuese una superficie desarrollable. No obstante, ni la esfera ni el elipsoide

lo son. De hecho las únicas superficies regulares desarrollables son el

cono y el cilindro, y ésta será la razón por la cual al hacer cualquier tipo

de proyección nos apoyaremos en un cono, en un cilindro o, directamente,

en un plano.

La base matemática de la cartografía es la geometría diferencial.

Normalmente nos encontramos con complejas expresiones que relacionan

las derivadas parciales de funciones complicadas. En algunos casos

simples, es posible encontrar una solución completa en términos de

funciones matemáticas convencionales. Sin embargo, en la mayoría de los

casos, tal solución no se puede obtener, y ha de recurrirse a

aproximaciones numéricas.


4

I.1.2 Los Sistemas de Información Geográfica.

Cuando en los años 70, los computadores se comenzaron a aplicar a la

cartografía se hizo evidente que era necesario ampliar el concepto clásico

de cartografía. La aparición de imágenes en pantallas de monitor,

modelos digitales del terreno, sobrepasaron las limitaciones de la

definición tradicional de mapa como un producto permanente en papel.

Para poder diferenciar entre mapas reales y mapas virtuales hay que

hacerse dos preguntas:

• ¿Pueden verse directamente?

• ¿Pueden tocarse?

En función de las respuestas sí/no relacionadas con estas dos preguntas

tendremos mapas reales y mapas virtuales de primer, segundo y tercer

tipo.

Los productos cartográficos tradicionales como atlas o mapas topográficos

son mapas reales, mientras que modelos digitales de terreno o los ficheros

con datos cartográficos se corresponderían a mapas virtuales. Estos

mapas virtuales pueden contener incluso más información que los mapas

reales, si bien es necesario que deban de transformase en alguna forma

para poder ser visibles.

Ejemplo típico de mapa virtual son los Sistemas de Información

Geográfica (SIG). Básicamente, un SIG almacena junto a las coordenadas

geográficas información de elementos naturales (ríos, montes,…) y/o

elementos artificiales (carreteras, tendidos eléctricos,…) relacionados con

la posición. Estos datos se agrupan en capas, que representan un

determinado tipo de información, y pueden combinarse entre sí para

mostrar la interrelación entre ellos y de esta manera ayudar a la toma de

decisiones.

De este planteamiento se deduce que la calidad de un SIG está

determinada por la validez de la información y de la precisión de los datos


5

geográficos. No obstante y de acuerdo con Foote (1999), el problema de la

precisión en los SIG ha sido a menudo infravalorado:

‘‘Until quite recently, people involved in developing and using GIS paid little attention to the problems caused by error, inaccuracy, and imprecision in spatial datasets. Certainly there was an awareness that all data suffers from inaccuracy and imprecision, but the effects on GIS problems and solutions was not considered in great detail.’’1.

Sin embargo se tiene que considerar que la falta de precisión en los datos

conlleva errores en los cálculos y por lo tanto en el resultado final.

A la hora de diseñar un mapa, o un SIG, es necesario tener en cuenta el

fin para el que va a ser empleado. Este fin conlleva la elección de una

determinada proyección a sí como la escala a la que vamos a representar

el mapa. La proliferación de SIG así como el uso de proyecciones en las

aplicaciones de Diseño Asistido por Ordenador (CAD, de sus siglas en

inglés Computer Aided Design) redefinirá en un futuro próximo los

conceptos de ‘proyección ideal’ y de escala. Hay que distinguir entre

precisión gráfica, que normalmente viene dada por la escala nominal del

mapa, habitualmente 0.2 mm, y precisión interna, que es la necesaria

para la realización de los cálculos. En un SIG, un mapa puede encogerse o

dilatarse a voluntad: uno puede acercarse hasta una resolución de un

metro, o menor, o aumentar la imagen hasta cubrir todo el mapa. Por lo

tanto, el concepto de escala tendrá que estar relacionado con la precisión

interna con la que se conocen los datos. En otras palabras los datos

geográficos en una base de datos no tienen realmente una ‘escala’. Puesto

que la precisión gráfica está relacionada con la escala nominal del mapa,

algunos usuarios y desarrolladores de SIG no le dan la suficiente

importancia a la precisión interna de los datos. Trabajar con datos que

1 Hasta hace muy poco, el personal relacionado con el desarrollo y utilización de los SIG ha prestado muy poca atención a los problemas causados por errores, inexactitudes e imprecisiones en los conjuntos de datos espaciales. Ciertamente había conciencia de que los datos sufrían de inexactitudes e imprecisiones, pero no se consideraron en gran detalle sus efectos en los problemas y soluciones de los SIG.


6

tengan una mayor precisión interna permitiría el desarrollo de mapas a

escalas mayores a las previstas inicialmente. Además puesto que en una

pantalla no se hacen las medidas de un modo directo, las posibles

deformaciones y el impacto visual del mapa tendrán en el futuro menos

importancia.

Por otra parte, agrimensores e ingenieros civiles no solo trabajan con

coordenadas, sino también con elementos geométricos, tales como curvas

circulares, pendientes o enlaces. Además siguen realizando mediciones

sobre los mapas. Por último para que una proyección les resulte útil,

debería resolver los siguientes problemas:

1. Transformación directa e inversa.

2. Determinación del módulo de deformación lineal en el punto.

3. Cálculo de distancias.

4. Cálculo de superficies.

5. Cálculo de la convergencia de meridianos.

6. Cálculo de la reducción a la cuerda.

Está claro que las necesidades y requerimientos de los ingenieros civiles

son diferentes de las de los usuarios de los SIG. A pesar de esto, parece

útil que ambos pudieran utilizar una única proyección. Cuando se realiza

una obra, todo el trabajo se tiene que representar en mapas a gran a

escala y se utilizan coordenadas planas. Sería deseable que las

coordenadas calculadas y utilizadas durante el trabajo pudiesen

implementarse directamente en un SIG con independencia de otros

factores tales como, la escala o el uso futuro al que esté destinado el SIG.

En la actualidad, los computadores y los Asistentes Personales Digitales

(PDA, de sus siglas en inglés Personal Digital Assistant) se utilizan cada

vez más en el trabajo a pie de obra. Dado que las medidas y los cálculos se

pueden realizar directamente en la pantalla, las deformaciones y el

impacto visual son menos importantes que en un mapa impreso, por lo


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tanto desde un punto de vista práctico las deformaciones producidas por

la proyección tienen menos importancia.

I.1.3 Álgebra computerizada.

El álgebra computacional es una joven área de investigación a caballo

entre la Informática y la Matemática. Toca una gran variedad de campos

y está teniendo un gran desarrollo en los últimos años.

A diferencia de los programas numéricos clásicos, el álgebra

computacional nos permite trabajar de un modo simbólico, pudiendo

hallar en determinadas circunstancias no solo la solución numérica a un

problema sino también la solución analítica.

Esta nueva disciplina ha conocido un rápido desarrollo gracias al avance

que se ha producido en la computación en los últimos años. Aunque la

introducción del computador en las ciencias es un fenómeno reciente, nos

permite abordar, con nuevos planteamientos, muchos problemas.

Posibilita el estudio de fenómenos mucho más complejos que los que se

podían considerar antes y está cambiando la dirección y el acento de

muchos campos de la ciencia. Y lo que es más importante, no sólo está

introduciendo una nueva forma de pensar, sino que además está creando

nuevos campos de investigación.

I.2 Objetivos.

I.2.1 Planteamiento del problema.

El resurgimiento de la proyección Transversa de Mercator como

proyección para ser utilizada en topografía y geodesia comenzó en el siglo

XIX. Alcanzó gran importancia durante la segunda mitad del siglo XX en

la realización de mapas militares y probablemente es, en la actualidad, la

proyección conforme más utilizada en geodesia. Su fundamento

matemático, así como las fórmulas para la proyección, puede encontrarse

en trabajos clásicos tales como: Hotine (1946–47), Levallois (1969) y Tardi

(1954) y aún en la actualidad sigue siendo objeto de desarrollos teóricos

como los realizados por Grafarend (1995).


8

Si la superficie de referencia elegida es el elipsoide, esta proyección

también se conoce como proyección Gauss–Krüger (GK). A lo largo de este

trabajo se utilizará el término Transversa de Mercator (TM) si la

superficie de referencia es la esfera, y el término GK cuando la superficie

sea el elipsoide, asumiendo que ésta es la única diferencia entre ambas.

Dado que las proyecciones conformes son analíticas, admiten un

desarrollo en serie. No obstante, si se aplican a la resolución de un

problema geodésico, no es necesario tomar todos los términos de la

proyección, por lo que en la práctica tan solo se eligen unos cuantos. La

cuestión radica en saber cuántos. La respuesta dependerá de la precisión

requerida para la realización de nuestros cálculos.

Una segunda cuestión está relacionada con la estructura de los

coeficientes, an, de la serie. El número de términos que compone cada

coeficiente aumenta de forma exponencial según el valor de n. En

principio, los coeficientes se simplifican omitiendo las potencias

superiores a la cuarta de e, la primera excentricidad del elipsoide. Por

otra parte, Redfearn (1948) señaló que dicha omisión podría ser

problemática si se pretende cubrir zonas más amplias de seis grados de

amplitud, o para zonas situadas muy al norte. Aquí la respuesta es más

complicada y requiere una aproximación numérica.

Una de las desventajas de la proyección Gauss–Krüger, es que las

fórmulas tradicionales solo son validas para zonas de 3º a 4º de anchura

en longitud, y esto no es muy apropiado para usuarios de los SIG puesto

que implica el uso de diferentes zonas incluso para países pequeños. Por

lo tanto, sería interesante el poder ampliar las fórmulas para cubrir zonas

más amplias, que pudieran ser utilizadas por los usuarios de SIG, y que

fueran precisas para poder ser útiles a los ingenieros civiles.

Lee (1962), entre otros, presentó fórmulas exactas que permiten el cálculo

de las coordenadas Gauss–Krüger para todo el elipsoide, pero estas

fórmulas están basadas en funciones elípticas, lo que conlleva el uso de

largas series con diferentes tipos de coeficientes, integración numérica e


9

iteraciones. El presente planteamiento, basado en el álgebra simbólica,

pretende ser una solución más práctica a este problema utilizando tan

solo una clase de coeficientes.

Dada la gran cantidad de cálculos algebraicos que requiere la teoría

analítica a utilizar, pensamos en el estudio y aplicación de alguno de los

manipuladores algebraicos actualmente existentes. Estos manipuladores

de algebraicos de carácter general, como Macsyma®, Reduce® o

Mathematica®, han demostrado ser muy útiles en el tratamiento

algebraico de diferentes problemas.

Todos los cálculos y dibujos se realizaron con Mathematica®. Su habilidad

para tratar con expresiones simbólicas permite definir y simplificar los

coeficientes an de una manera rápida y sencilla. Mathematica® es un

sistema de cálculo matemático complejo de uso general, que trabaja tanto

como calculador numérico como simbólico. Aunque requiere recursos

importantes, su versatilidad y potencia le han convertido en un estándar

en el campo de la matemática por computador, existiendo versiones para

prácticamente todas las plataformas y sistemas operativos.

Las operaciones que realiza son de tipo muy variado y podemos

clasificarlas en cuatro grandes grupos:

• Cálculo numérico: Además de las funciones clásicas de una

calculadora, incluye funciones numéricas complejas y cálculos como

integración numérica, minimización y programación lineal.

• Cálculo simbólico: Uno de los campos de aplicación más

importante de la capacidad de cálculo simbólico del Mathematica®

es la manipulación de funciones algebraicas. Además dispone de

funciones para el cálculo simbólico de derivadas, integrales y

ecuaciones diferenciales ordinarias.

• Gráficos: Se pueden generar gráficos de muchas clases,

proporcionando muchas opciones para control de los mismos.


10

• Funciones de entrada/salida: La entrada de datos se puede

realizar mediante teclado o ficheros ASCII. Las funciones de

comunicación utilizan un estándar de comunicación de alto nivel

llamado MathLink®. También permite generar expresiones en C o

en Fortran.

En particular entendemos que son muy interesantes y útiles a efectos de

docencia sus posibilidades gráficas. Por último señalar que se dispone de

licencia campus para dicho programa.

I.2.2 Objetivos principales.

Uno de los objetivos de este trabajo es determinar para que valores de k,

podemos despreciar los términos ek y determinar el número de términos

que hay que tomar para representar un ancho de zona determinada.

Debido a estas consideraciones parece necesario realizar un desarrollo

completo de las fórmulas de transformación, si bien existe el problema del

rápido crecimiento del número de términos de cada coeficiente. En este

punto es donde pueden ayudar los programas de cálculo simbólico. Puesto

que el desarrollo de las fórmulas requiere trabajar con expresiones

algebraicas complicadas, el álgebra computacional será una herramienta

útil para obtener dichas expresiones.

Aunque ya existen fórmulas y programas que resuelven alguno de estos

problemas, estas soluciones solo son válidas para puntos cuya diferencia

de longitudes es como máximo de 3º, lo que limita enormemente su uso,

por lo que se buscarán fórmulas que amplíen este rango de validez de

forma arbitraria.

En resumen, lo que se pretende es desarrollar las fórmulas para la

proyección Gauss–Krüger en base a los coeficientes de la serie que

determinan la transformación directa. Para ello los objetivos a conseguir

son:

Desarrollar un método que permita determinar el número de

términos que se deben tomar para obtener una precisión

determinada en función del ancho de zona, ∆λ, y de la latitud.


11

Determinar si influye ek en el valor de (x, y) y en caso

afirmativo, determinar como varía esta influencia en función

del ancho de zona, ∆λ, y de la latitud.

Establecer las ecuaciones de la transformación inversa y del

resto de los elementos de la proyección en términos de los coeficientes an.

Estos objetivos desarrollados serían:

1. Establecer las fórmulas de la transformación directa, teniendo

en cuenta:

• Si influye ek en el valor de (x, y).

• En caso afirmativo, determinar cómo varía esta influencia en

función del ancho de zona, ∆λ, y de la latitud.

• Determinar el número de términos que se deben tomar del

desarrollo para obtener la precisión deseada.

2. Establecer las fórmulas de la transformación inversa.

3. Determinación del módulo de deformación lineal en el punto

4. Cálculo de distancias.

5. Cálculo de superficies.

6. Cálculo de la convergencia de meridianos.

7. Cálculo de la reducción a la cuerda.

I.2.3 Objetivos secundarios.

El interés de este proyecto radica en el desarrollo de aspectos docentes e

investigadores de actualidad conectados en sus aspectos teóricos con los

siguientes temas:

• Métodos numéricos y computacionales aplicados a la cartografía

matemática.

• Manipuladores algebraicos.


12

La utilización de un paquete de cálculo simbólico aplicado a la cartografía

debería materializarse en aspectos claramente diferenciados:

• Como herramienta para el desarrollo de expresiones analíticas

complejas tales como las fórmulas de la proyección Gauss–Krüger.

• Como herramienta de cálculo numérico con el desarrollo de un

paquete de funciones que nos permita resolver problemas

cartográficos y geodésicos.

• Mostrar como el álgebra computacional puede ayudar en la

resolución de los problemas de precisión.

I.2.4 Etapas.

Para conseguir estos objetivos las siguientes etapas a seguir son:

1. Desarrollo de las series despreciando ek para diferentes valores

de k y para diferentes anchos de zona.

2. Estudiar la influencia de ek para un ancho fijo ∆λ, y diferentes

latitudes.

3. Presentar el desarrollo completo de la serie para una zona de

30º con un error inferior al milímetro.

4. Desarrollo del resto de fórmulas para una franja de ancho

arbitrario.

5. Aplicación numérica de las fórmulas obtenidas y su posterior

validación.

El tratamiento geométrico está adaptado de Hotine (1946–47).

I.3 Estructura de la Tesis.

La estructura de esta Tesis Doctoral es la siguiente:

En el Capítulo 1, Introducción, se ha intentado justificar el por qué de

esta tesis, los objetivos de la misma, como van a alcanzarse y las posibles

aplicaciones al campo de la ingeniería civil y los SIG.


13

En el Capítulo 2, Antecedentes, se introducen los fundamentos

matemáticos básicos de la cartografía, la notación que se va a emplear, la

caracterización de las proyecciones conformes y un repaso al estado del

arte en la proyección Gauss–Krüger qué es lo que se ha hecho y qué es lo

que se está haciendo.

En el Capítulo 3, Propuesta de extensión de las fórmulas de Gauss–

Krüger se presentan las principales aportaciones de este trabajo: el

desarrollo de la transformación directa y el resto de las fórmulas de la

proyección Gauss–Krüger.

En el Capitulo 4, Discusión de resultados, las fórmulas obtenidas en el

capítulo anterior se aplican a diferentes ejemplos, a fin de demostrar

tanto la precisión de las mismas, como sus posibles limitaciones. Se

comparan los resultados obtenidos con cálculos utilizando la proyección

Oblicua Mercator–Hotine sobre el elipsoide (HOM, de sus siglas en inglés

Hotine Oblique Mercator)

En el Capítulo 5, Conclusiones, se comentan los resultados obtenidos, se

plantean futuros desarrollos y se presentan posibles aplicaciones

relacionadas con este campo.


14


15

Capítulo II: Antecedentes

Para facilitar la lectura del documento y evitar referencias se va a dar

una pequeña introducción, consiguiendo además que el documento sea

autocontenido.

El primer punto a tratar es el estudio de los fundamentos básicos de la

cartografía matemática a fin de poder fijar la notación a emplear, así

como los conceptos que se emplearán a lo largo de esta Tesis.

Dado que la proyección Gauss–Krüger es conforme, parece razonable

establecer las condiciones que determinan que una proyección lo sea, así

como otras propiedades adicionales de este tipo de proyecciones.

Por último se realiza un recorrido cronológico de diversos artículos

relacionados con la proyección Gauss–Krüger indicando, las aportaciones

de cada uno de ellos.

II.1 Fundamentos de Cartografía Matemática.

II.1.1 Sistema de coordenadas geodésicas.

La forma de la superficie física de la Tierra es extremadamente compleja,

no correspondiendo en su totalidad a ninguna expresión matemática

conocida. Ello hace que para resolver los problemas geodésicos se

sustituya por la figura de un elipsoide de revolución. El considerado como

de mejor aproximación a la superficie de la Tierra en su conjunto, se

llama elipsoide general de la Tierra.

Para resolver numéricamente los problemas geodésicos es imprescindible

conocer las medidas del elipsoide, que queda definido por sus semiejes. La

ecuación general de un elipsoide es:


16

2 2 2

2 2 2 1x y za b c

+ + = (2.1)

En geodesia se estudia el elipsoide que tiene como particularidad a = b; de

esta manera las secciones paralelas al plano XY son circunferencias. En

este caso el elipsoide se llama de revolución, porque se engendra haciendo

girar la elipse meridiana de semiejes a y c alrededor del eje OZ. Si c > a el

elipsoide se llama alargado y si c < a se llama achatado.

El elipsoide terrestre es achatado, y su sección meridiana, que es una

elipse, queda definida por su semieje mayor y por su aplanamiento. En

base a distintos supuestos y elementos se han ido obteniendo distintos

elipsoides (ver tabla 1).

Autor/Designación año a (m) 1/α

Airy ......................................................................... 1.830 6 377 563 299,32

Bessell .................................................................... 1.841 6 377 397 299,15

Clarke ..................................................................... 1.866 6 378 206 294,98

Clarke ..................................................................... 1.880 6 378 249 293,46

Hayford (Internacional) .......................................... 1.924 6 378 388 297,00

Krasosky (U.R.S.S) ................................................ 1.940 6 378 245 298,30

Kaula ...................................................................... 1.961 6 378 165 298,30

Smithsonian ............................................................ 1.966 6 378 165 298,25

Sistema de Referencia Geodésica (WGS 67) ......... 1.967 6 378 160 291,25

Sistema Geodésico Mundial (WGS 72) .................. 1.972 6 378 135 298,26

Sistema Geodésico Mundial (WGS 84) .................. 1.984 6 378 137 298,26

Tabla 1: Elipsoides de referencia.

En el elipsoide de revolución con centro en el punto O, eje de rotación PP1

y plano ecuatorial, perpendicular a PP1 y que pasa por O; se definen los

parámetros fundamentales siguientes:

1. Semieje mayor: a = OE = OE1.

2. Semieje menor: b = OP = OP1.

3. Achatamiento: a ba

α −=


17

4. Primera excentricidad: 2 2

22

a bea−

=

5. Segunda excentricidad: 2 2

,22

a beb−

=

Los parámetros empleados para determinar el elipsoide son a y b ó a y α.

Las restantes magnitudes son auxiliares, empleadas en las deducciones

numéricas y teóricas.

Figura 2: Sistemas de coordenadas geodésicas.

Sea PEP1E1 la elipse del meridiano que pasa por el punto a partir del cual

se miden las longitudes; PMR el plano meridiano que pasa por el punto

dado A. El ángulo ϕ, formado por la normal MN a la superficie del

elipsoide en el punto dado y por el plano ecuatorial se denomina latitud

geodésica. Al ángulo λ formado por el plano del meridiano del lugar y el

meridiano origen se le denomina longitud geodésica.

Las latitudes de los puntos situados al norte del Ecuador se denominan

latitudes norte; las de los puntos situados al sur se denominan latitudes

sur. Los puntos situados a occidente del meridiano origen, poseen

longitud oeste (W) y los situados a oriente, longitud este (E). Actualmente

se considera como meridiano origen el que pasa por Greenwich.


18

Las magnitudes medidas de un modo directo se deben reducir a la

superficie del elipsoide de referencia. De esta forma las longitudes y

latitudes definen la situación de las proyecciones de los puntos de la

superficie terrestre sobre el elipsoide, conforme a la normal a este último.

Como tercera coordenada vamos a utilizar la altura geodésica h, que es el

segmento de la normal al elipsoide de referencia que va desde el punto A

hasta dicho elipsoide. Habitualmente para los puntos en la superficie

terrestre en los que h es pequeña llevamos el punto en cuestión hasta la

superficie del elipsoide (h = 0). No obstante si estamos haciendo geodesia

espacial, no podemos despreciar el valor de h, y tendremos que trabajar

en un sistema de coordenadas espaciales rectangulares. En cartografía

siempre se considera que h = 0.

Este sistema tiene las siguientes propiedades:

• Es único para toda la superficie del elipsoide.

• No requiere construcciones suplementarias.

• Determina la posición de la normal a la superficie adoptada como

elipsoide de referencia.

El conjunto de paralelos y meridianos formarán un sistema de

coordenadas geográfico. Sea el punto A de coordenadas (ϕ, λ). La normal a

la superficie en el punto A cortará al eje del mundo en O'. Por geodesia

sabemos que la sección normal PAP' se denomina sección meridiana y la

ortogonal a ésta, sección del primer vertical. Los radios de curvatura de

estas secciones son:

( )

( )

2

3 2 22 2

1

1 sin1 sin

a e aM Nee ϕϕ

−= =

−− (2.2)

donde a es el semieje mayor del elipsoide y e, la excentricidad. El

elemento de arco de meridiano es:

d M dβ ϕ= (2.3)


19

Esta es una integral elíptica y puede expresarse como una serie infinita

en términos de senos:

2(1 ) sin 2 sin 4 sin 62 4 6B C Da e Aβ ϕ ϕ ϕ ϕ⎛ ⎞= − − + − +⎜ ⎟

⎝ ⎠… (2.4)

con:

2 4 6

2 4 6

4 6

6

3 45 17514 64 2563 15 5254 16 512

15 10564 256

35512

A e e e

B e e e

C e e

D e

= + + + +

= + + +

= + +

= +

…

…

…

…

El radio del paralelo es:

cosr N ϕ= (2.5)

Una sustitución muy común en cartografía es:

2

2 221 cos

1N eM e

η ϕ= − =−

(2.6)

II.1.2 Coordenadas planas.

La base matemática de la cartografía pasa por el establecimiento de una

relación biyectiva entre los puntos del elipsoide y el plano complejo. Desde

un punto de vista matemático, esto se expresa por la existencia de unas

relaciones del tipo:

( ) ( )1 2, ,x f y fϕ λ ϕ λ= = (2.7)

o, bien si se trabaja en coordenadas polares:

( ) ( )3 4, ,r f fϕ λ θ ϕ λ= = (2.8)

siendo fi, con i = 1,... 4, funciones reales genéricas.

Se puede, y en general será muy útil, expresar esta relación mediante una

transformación de variable compleja. Esto es así porque, como se verá


20

posteriormente, una proyección conforme es equivalente a una función

compleja analítica. Por lo tanto, otra forma de expresar una proyección es:

( )f z u v= + i (2.9)

donde z es un número complejo, i2 = –1, u y v son números reales.

En principio no se va a introducir ningún tipo de restricciones sobre las

funciones fi, pero será deseable que sean al menos de clase C1.

La notación que se va a emplear viene dada en la tabla 2. Se representará

con primas los elementos homólogos del elipsoide en el plano. Además se

reservarán algunas letras con un significado especial. Por ejemplo, salvo

que se exprese lo contrario, las letras a, b y e harán referencia,

respectivamente, a los semiejes mayor y menor de la elipse y a la primera

excentricidad, α se referirá al aplanamiento y γ a la convergencia de

meridianos. Existen otras excepciones que se irán viendo más adelante.

Superficie

Elemento Elipsoide Plano

Puntos A, B, C A’, B’, C’

Arcos a, b, c a’, b’, c’

Ángulos ϕ, λ, θ ϕ’, λ’, θ’

Tabla 2: Notación empleada.


21

II.1.3 Elementos de una proyección.

II.1.3.1 Elementos diferenciales en el elipsoide.

Sea un punto A de coordenadas (ϕ, λ) de la superficie terrestre. Las

magnitudes infinitesimales de arco de paralelo y arco de meridiano

vienen dadas por las expresiones (2.3) y (2.5):

cos

m

p

AC ds M dAB ds r d N d

ϕλ ϕ λ

= =

= = = (2.10)

Figura 3: Elementos diferenciales en el elipsoide.

La diagonal AD tiene por longitud:

2 2 2 2AD ds M d r dϕ λ= = + (2.11)

II.1.3.2 Elementos angulares en el elipsoide.

El acimut de dicha diagonal es:

costan p

m

ds r d N dds M d M d

λ ϕ λθϕ ϕ

= = = (2.12)

II.1.3.3 Elementos superficiales en el elipsoide.

El área del rectángulo de referencia tiene por valor:

cosABCDS dS M r d d M N d dϕ λ ϕ ϕ λ= = = (2.13)


22

II.1.3.4 Sistemas de coordenadas simétricos.

De la ecuación (2.10) se sigue que cuando dϕ = dλ, entonces los elementos

de arco infinitesimales no son iguales (dsm ≠ dsp), puesto que M = N cos ϕ.

Esta circunstancia hace difícil el uso del sistema de coordenadas

geográfico en algunas circunstancias, por ejemplo, cuando utilizamos

proyecciones conformes.

Se define un nuevo sistema de coordenadas (q, λ), que se denominará

isométrico, en el que los argumentos diferenciales correspondientes a

arcos infinitesimales de paralelo y de meridiano sean iguales, esto es:

m pdq d ds dsλ= ⇒ = (2.14)

Para ello se escribe la fórmula del elemento lineal como:

( )2 2 2 2ds r dq dλ= + (2.15)

de donde:

cosMdq d

Nϕ

ϕ= (2.16)

Integrando esta ecuación se llega a:

lnq U cte= + (2.17)

donde:

tan

4 2

tan4 2

eU

π ϕ

π ψ

⎛ ⎞+⎜ ⎟⎝ ⎠=⎛ ⎞+⎜ ⎟⎝ ⎠

(2.18)

con: sin sineψ ϕ= .

Para determinar la constante de integración, se impone que en el

Ecuador, q = 0. La coordenada q se denomina latitud isométrica y es igual

a:


23

tan

4 2ln lntan

4 2e

q U

π ϕ

π ψ

⎡ ⎤⎛ ⎞+⎜ ⎟⎢ ⎥⎝ ⎠⎢ ⎥= =⎛ ⎞⎢ ⎥+⎜ ⎟⎢ ⎥⎝ ⎠⎣ ⎦

(2.19)

En el caso de la esfera toma la forma:

ln tan4 2

q π ϕ⎡ ⎤⎛ ⎞= +⎜ ⎟⎢ ⎥⎝ ⎠⎣ ⎦ (2.20)

A partir de las fórmulas obtenidas para las coordenadas isométricas, no

es difícil ver que si las diferenciales dq y dλ son iguales entonces los

correspondientes elementos diferenciales de arco de meridiano y de

paralelo son iguales.

II.1.3.5 Elementos diferenciales en el plano.

A continuación se estudia en que se transforman los elementos anteriores

al realizar una proyección. Sean dos ejes rectangulares OX y OY

dispuestos de modo que se corresponda los sentidos crecientes de las

coordenadas rectangulares y geográficas, y situemos al punto A', imagen

de A, mediante la proyección:

( ) ( ) ( ), , ( , ), ( , )x y F x yϕ λ ϕ λ ϕ λ= = (2.21)

Figura 4: Elementos diferenciales en el plano.


24

Las relaciones existentes entre elementos homólogos del elipsoide y del

plano serán:

elipsoide ( )( , ), ( , )x yϕ λ ϕ λ− → plano.

A (ϕ, λ) A’ (x, y)

B (ϕ, λ+dλ) B’

C (ϕ+dϕ, λ) C’

D (ϕ+dϕ, λ+δλ) D’ (x+dx, y+ dy)

ds 2 2'ds dx dy= +

Para calcular el valor de ds' tenemos que tener en cuenta que:

x xdx d d

y ydy d d

ϕ λϕ λ

ϕ λϕ λ

∂ ∂= +

∂ ∂∂ ∂

= +∂ ∂

(2.22)

Por lo tanto:

( ) ( )

2 22 2 2

2 22

2

2 2

'

2

2

x x y yds dx dy d d d d

x x yd d d

y x x y yd d d

E d G d F d d

ϕ λ ϕ λϕ λ ϕ λ

ϕ λ ϕϕ λ ϕ

λ ϕ λλ ϕ λ ϕ λ

ϕ λ ϕ λ

⎛ ⎞ ⎛ ⎞∂ ∂ ∂ ∂= + = + + +⎜ ⎟ ⎜ ⎟∂ ∂ ∂ ∂⎝ ⎠ ⎝ ⎠

⎛ ⎞ ⎛ ⎞∂ ∂ ∂⎛ ⎞= + +⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟∂ ∂ ∂⎝ ⎠⎝ ⎠ ⎝ ⎠

⎛ ⎞∂ ∂ ∂ ∂ ∂⎛ ⎞+ + +⎜ ⎟ ⎜ ⎟∂ ∂ ∂ ∂ ∂⎝ ⎠ ⎝ ⎠

= + +

( ) ( )2 2' 2ds E d G d F d dϕ λ ϕ λ= + + (2.23)

siendo:

2 22 2

; ;x x y y x x y yE G Fϕ λ ϕ λ ϕ λ ϕ λ

⎛ ⎞ ⎛ ⎞∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂⎛ ⎞ ⎛ ⎞= + = + = +⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠ ⎝ ⎠ (2.24)

los coeficientes de la primera fórmula fundamental.


25

El valor de A'C' = ds'm y el de A'B' = ds'p pueden obtenerse fácilmente de

la expresión anterior, si se tiene en cuenta que dλ = 0 y dϕ = 0

respectivamente:

,

,

m

p

ds E d

ds G d

ϕ

λ

=

= (2.25)

II.1.3.6 Elementos angulares en el plano.

El ángulo que forman las transformadas de los paralelos y los meridianos

se obtiene a partir del teorema del coseno:

, , 2 , 2 , ,2 cosm p m pds ds ds ds ds I= + + (2.26)

Operando:

cos FIE G

= (2.27)

El acimut de la línea transformada se puede obtener también a partir del

mismo teorema:

, , 2 ,2 , ,2 cos 'p m mds ds ds ds ds θ= + − (2.28)

Operando:

tantan 'tan

M HE r F M

θθθ

=+

(2.29)

donde H2 = EG – F2.

El módulo de deformación lineal es por lo tanto:

2 2

22 2 2 2

dx dymM d r dϕ λ

+=

+ (2.30)


26

II.1.3.7 Elementos superficiales en el plano.

Finalmente el área del paralelogramo transformado vale:

, ,' sinm pdS ds ds I= (2.31)

Operando:

' x y x ydS d dϕ λλ ϕ ϕ λ

⎛ ⎞∂ ∂ ∂ ∂= −⎜ ⎟∂ ∂ ∂ ∂⎝ ⎠

(2.32)

Al transformar el elipsoide en un plano se producen deformaciones en sus

elementos métricos: ángulos, longitudes y superficies.

Estas deformaciones pueden evaluarse a partir de los parámetros de la

proyección. El procedimiento general para determinarlos, parte del

cálculo de la elipse indicatriz de Tissot. La primera utilidad de esta elipse

es servirnos como base de la medida de la deformación de la proyección en

cualquier punto.

Sea sobre el elipsoide una circunferencia centrada en A y de radio ds. La

ecuación de esta circunferencia vendrá dada por (2.11) en la que M, y r

son constantes y dϕ, dλ representan incrementos cuando se pasa del

centro a un punto de la circunferencia. Para obtener en el plano la

ecuación transformada de esta curva, bastará sustituir en (2.11) los

valores de dϕ, dλ deducidos del sistema de ecuaciones lineales (2.22).

Del sistema de ecuaciones lineales (2.22) se determinan los valores de dϕ,

dλ:

x yy x dx dydx dyd dx y x y x y x y

ϕ ϕλ λϕ λ

ϕ λ λ ϕ ϕ λ λ ϕ

∂ ∂∂ ∂ −− ∂ ∂∂ ∂= =∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂− −∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂

Las expresiones anteriores se elevan al cuadrado y se sustituyen en:

2 2 2 2 2ds M d r dϕ λ= + (2.33)


27

2 2

2 2 2

x yy x dx dydx dyds M rx y x y x y x y

ϕ ϕλ λ

ϕ λ λ ϕ ϕ λ λ ϕ

∂ ∂⎛ ⎞ ⎛ ⎞∂ ∂ −−⎜ ⎟ ⎜ ⎟∂ ∂∂ ∂⎜ ⎟ ⎜ ⎟= +∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂⎜ ⎟ ⎜ ⎟− −⎜ ⎟ ⎜ ⎟∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂⎝ ⎠ ⎝ ⎠

(2.34)

Desarrollando la expresión anterior y quitando denominadores:

2 222 2 2

2 22

2 22

2

2

x y x y y x x yds M dx dy r dx dy

y x x yM dx dy dx dy

x y x yr dx dy dx dy

ϕ λ λ ϕ λ λ ϕ ϕ

λ λ λ λ

ϕ ϕ ϕ ϕ

⎛ ⎞ ⎛ ⎞∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂⎛ ⎞− = − + −⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂⎝ ⎠⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎡ ⎤∂ ∂ ∂ ∂⎛ ⎞ ⎛ ⎞= + −⎢ ⎥⎜ ⎟ ⎜ ⎟∂ ∂ ∂ ∂⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎢ ⎥⎣ ⎦

⎡ ⎤⎛ ⎞ ⎛ ⎞∂ ∂ ∂ ∂+ + −⎢ ⎥⎜ ⎟ ⎜ ⎟∂ ∂ ∂ ∂⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎢ ⎥⎣ ⎦

Si se expresa esta ecuación en términos de dx y dy llegamos a una

ecuación cuadrática:

( )

( )

2 2222 2 2

2222 2

2 22

x y x y y yds M r dx

x xM r dy

x y x yM r dx dy

ϕ λ λ ϕ λ ϕ

λ ϕ

λ λ ϕ ϕ

⎡ ⎤⎛ ⎞ ⎛ ⎞∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂⎛ ⎞− = +⎢ ⎥⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂⎝ ⎠⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎢ ⎥⎣ ⎦⎡ ⎤⎛ ⎞∂ ∂⎛ ⎞+ +⎢ ⎥⎜ ⎟ ⎜ ⎟∂ ∂⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎢ ⎥⎣ ⎦⎛ ⎞∂ ∂ ∂ ∂

− +⎜ ⎟∂ ∂ ∂ ∂⎝ ⎠

(2.35)

En esta ecuación son constantes las cantidades entre corchetes, y como es

cuadrática respecto a dx, dy representará en general una elipse. Es decir

se ha probado que para cualesquiera funciones (2.7) a una circunferencia

infinitesimal trazada sobre el elipsoide le corresponde una elipse en la

carta.

Esta elipse es la que se denomina elipse indicatriz de Tissot. En ella la

distancia desde el centro de la elipse a cualquier punto de la misma es

proporcional a la escala particular en esa dirección. Sus dos ejes indican

en que dirección las deformaciones son máximas y mínimas.

A partir de estos semiejes, a y b, se pueden calcular el resto de los

elementos de la proyección.


28

Las fórmulas correspondientes vienen dadas en la tabla 3 y el esquema

general para el cálculo en la figura 5.

Elementos Símbolo Fórmula

Lineales

deformación lineal m 2 2 22 2cos sin sin 2E G Fm

M r M rθ θ θ= + +

máxima a ( )

( )

2 22

2 22

1 1 1 1

1 1 1 1

y x x ya bM r M r

y x x ya bM r M r

ϕ λ ϕ λ

ϕ λ ϕ λ

⎛ ⎞ ⎛ ⎞∂ ∂ ∂ ∂+ = + + −⎜ ⎟ ⎜ ⎟∂ ∂ ∂ ∂⎝ ⎠ ⎝ ⎠

⎛ ⎞ ⎛ ⎞∂ ∂ ∂ ∂− = − + +⎜ ⎟ ⎜ ⎟∂ ∂ ∂ ∂⎝ ⎠ ⎝ ⎠

mínima b

del meridiano h EhM

=

del paralelo k Gkr

=

Angulares

acimut θ’ tantan '

tanM H

E r F Mθθ

θ=

+

máxima ω sin a ba b

ω −=

+

ángulo de la retícula I sin ; cosab FI Ihk E G

= =

acimut de a θ0 0 2 2

2tan 2 F M rE r G M

θ =−

Superficie

Deformación σ abσ =

Tabla 3: Parámetros de la proyección.


29

/ ; / / ; // ; / / ; /

x x r ry y

ϕ λ ϕ λϕ λ θ ϕ θ λ

∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂

Figura 5: Cálculo de los parámetros de una proyección.


30

II.2 Sistemas de representación conforme.

II.2.1 Introducción.

Un sistema de representación de una superficie S1 en una superficie S2 es

conforme cuando el ángulo de dos curvas cualesquiera sobre S1 es el

mismo que el que forman las dos curvas transformadas sobre S2.

Las proyecciones conformes se caracterizan, y se probará más adelante,

por conservar la similitud de figuras infinitamente pequeñas situadas

sobre la superficie terrestre. Las proyecciones conformes reciben también

el nombre de autogonales, isógonas u ortomorfas.

De la definición de proyección conforme se sigue que en este tipo de

proyecciones los meridianos y paralelos se representarán como curvas

ortogonales entre sí, si bien el recíproco no es cierto.

Dado que las proyecciones conformes conservan los ángulos, serán las

más indicadas cuando se quiera representar algún tipo de trayectoria

sobre un mapa. Es por eso por lo que las proyecciones conformes son las

que se usan habitualmente en las cartas de navegación o en los análisis

meteorológicos.

Existen cinco proyecciones conformes de uso común: Mercator, la Gauss–

Krüger, la Universal Transversa de Mercator (UTM), la cónica conforme

de Lambert con dos paralelos automecoicos y la estereográfica (UPS).

II.2.2 Caracterización de las proyecciones conformes.

A continuación se presentan una serie de teoremas que permiten

caracterizar la proyección conforme de diversas maneras.

Teorema: La condición necesaria y suficiente para que una representación sea conforme es que existan proporcionalidad entre los elementos de arco ds, ds' correspondientes a puntos homólogos. Esto es que las primeras formas fundamentales de la superficie sean proporcionales. Demostración: Sean.

( )2 2

2 2

2

' 2

I E du F du dv G dv

I k E du F du dv G dv

= + +

= + +


31

las primeras formas cuadráticas de las superficies S y S'. Si la aplicación de S sobre S' consiste en asociar puntos de coordenadas iguales, las curvas correspondientes tiene ecuaciones internas idénticas u = u(t), v = v(t) y, por lo tanto, se obtiene una misma expresión para el ángulo que forman las curvas correspondientes, o sea, que la aplicación es conforme. Por otra parte, sea (u, v) una parametrización arbitraria de S. Parametricemos S' tomando como coordenadas de cualquier punto de la misma las coordenadas del punto de S que le corresponde por la aplicación conforme. Sean:

2 2

2 2

2' ' 2 ' '

I E du F du dv G dvI E du F du dv G dv

= + +

= + +

las primeras formas cuadráticas de las superficies correspondientes a estas parametrizaciones. Tenemos que demostrar que los coeficientes E, F, G son proporcionales a E', F', G'. Puesto que la aplicación es conforme, si las direcciones (d) y (δ) son ortogonales respecto a I también lo serán respecto a I'. Por lo tanto de:

( ) 0E du u F du v dv u G dv vδ δ δ δ+ + + =

se deduce:

( )' ' ' 0E du u F du v dv u G dv vδ δ δ δ+ + + =

Eliminando δu y δv obtenemos:

' ' ' '

E du F dv F du G dvE du F dv F du G dv

+ +=

+ +

como du y dv son arbitrarios, haciendo dv = 0 tenemos:

' '

E FE F

=

y para du = 0:

' '

F GF G

=

El coeficiente k es lo que hemos llamado escala local o módulo de deformación lineal.

Las aplicaciones conformes también se conocen con el nombre de

isogonales (iso = igual, gonos = ángulo). Por lo que se ha visto hasta hora,

este nombre parece más apropiado que el de conforme, que significa igual,


32

semejante. No obstante el siguiente teorema, va a justificar plenamente

la utilización de este adjetivo para calificar a este tipo de proyecciones.

Teorema: La condición necesaria y suficiente para que una representación sea conforme es que en primera aproximación las figura infinitesimales sobre S se transforman en figura semejantes sobre S'. Esto es una circunferencia de radio ds se transformará en una circunferencia de radio ds'. Demostración: Sea C una figura infinitesimal sobre S. La distancia entre dos puntos A (u, v) y B (u+∆u, v+∆v) es igual, en primera aproximación, a:

2 2( , ) 2d A B E u F u v G v= ∆ + ∆ ∆ + ∆

La distancia entre los puntos homólogos será.

2 2( ', ') ' 2 ' 'd A B E u F u v G v= ∆ + ∆ ∆ + ∆

Como por el teorema anterior. ' ' 'E k E F k F G k G= = =

se sigue que la distancia anterior es:

( )2 2( ', ') 2 ( , )d A B k E u F u v G v k d A B= ∆ + ∆ ∆ + ∆ =

Por lo tanto si la figura C es suficientemente pequeña k es constante y ambas figuras son semejantes.

La propiedad más importante de las aplicaciones conformes se establece

el siguiente teorema que no demostraremos.

Teorema: Dos superficies regulares cualesquiera son localmente conformes. La demostración se basa en la posibilidad de parametrizar un entorno de cualquier punto de una superficie regular de forma que los coeficientes de la primera forma fundamental sean:

( ) ( )2 2, , 0, ,E u v F G u vλ λ= = =

Tal sistema coordenado se denomina isotermo. Una vez que se admite la existencia de un entorno coordenado isotermo en una superficie regular S, es claro que S es localmente conforme a un plano y, mediante la composición de aplicaciones, localmente conforme a


33

cualquier otra superficie2. Volveremos más adelante a utilizar los sistemas de coordenadas isotermos.

Establecido los diferentes criterios de conformidad, el siguiente paso será

la obtención de las fórmulas de la representación. Posteriormente habrá

que determinar las propiedades métricas de los elementos transformados

y especialmente lo referente a las transformadas de las líneas geodésicas,

que en general no serán geodésicas de la segunda sino que formarán unos

ciertos ángulos, que será preciso determinar. Otra magnitud a determinar

será la deformación que sufren las longitudes.

II.2.3 La condición de Cauchy Riemann.

Sea un punto de coordenadas (ϕ, λ) donde la longitud λ se calcula a partir

del meridiano central. La figura 6 representa el plano de proyección O’N

(ordenadas) y O’E (abcisas) son los ejes coordenados y A’NC (norte de la

cuadrícula) y A’EC (este de la cuadrícula) son líneas paralelas a los ejes y

que pasan por el punto A’. La transformada del meridiano es la línea A’B’

y la del paralelo la línea A’C’.

El ángulo γ es la convergencia de meridianos en el punto A’. Se mide

desde la transformada del meridano en el sentido de las agujas del reloj.

Figura 6: Representación plana de la proyección.

2 La demostración se puede encontrarse en L. Bets, Riemann Surfaces, New York University, Institute of Mathematical Sciences, New York, 1957–1958, pp 15–35.


34

Sea un punto A del elipsoide con coordenadas (ϕ, λ). Su transformado en

el plano será A’ con coordenadas (EA’, NA’). Si el punto sufre un pequeño

desplazamiento.

ms Mδ δϕ=

a lo largo del meridiano el punto A’ se transformará en el B’ y el

desplazamiento en la proyección será:

,ms m Mδ δϕ=

donde m es el factor de escala. Este desplazamiento puede descomponerse

en:

' ' sin sin' ' cos cos

x A B m m r qy A B m m r q

δ δϕ γ δ γδ δϕ γ δ γ

= = == = =

(2.36)

siendo r el radio del paralelo en el punto considerado y δq el incremento

en latitud isométrica q Mδ δϕ= .

Dividiendo ambas expresiones, se obtiene:

sin cosx ym r m rq q

δ δγ γδ δ

= = (2.37)

Si los desplazamientos se consideran infinitesimales, entonces la ecuación

(2.37) se convierte en:

sin cosx ym r m rq q

γ γ∂ ∂= =

∂ ∂ (2.38)

Si ahora el punto sufre el desplazamiento a lo largo del paralelo, y se

razona como en los párrafos anteriores, se obtiene una ecuación similar:

cos sinx ym r m rγ γλ λ

∂ ∂= = −

∂ ∂ (2.39)

La combinación de las ecuaciones (2.38) y (2.39) nos da la condición

necesaria y suficiente para que una proyección sea conforme:


35

sin

cos

x y m rqx y m r

q

γλ

γλ

∂ ∂− = =

∂ ∂∂ ∂

= =∂ ∂

(2.40)

Los dos primeros términos de la ecuación (2.40) se denominan condición

de Cauchy–Riemann.

II.3 La proyección Gauss–Krüger.

II.3.1 Reseña histórica

Las proyecciones conformes son las más utilizadas dentro de la geodesia y

han sido objeto de numerosos estudios. De todas ellas, la más conocida es

la proyección de Mercator (ver figura 7). Se sabe que se utilizó en China

en el año 940 por Ch'ien Lo–Chih y se supone que se utilizó por primera

vez en Europa en 1511 por Etzlaub. Debe su nombre al cartógrafo

Gerhard Kremer, conocido como Mercator por la latinización de su

apellido flamenco, que en 1569 desarrolló la construcción geométrica, que

transformando meridianos y paralelos en una red rectangular, conservase

los ángulos. El primero en describir su utilización en la navegación fue

Wright en 1599. Las fórmulas matemáticas que relacionan la esfera con el

plano fueron halladas más tarde con el desarrollo del cálculo

infinitesimal.

18/01/2010

En est

espacia

increm

arco en

radio,

pero e

longitu

Por lo

proyecc

paralel

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rectas,

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0

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n latitud y

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Fig

ción los m

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y en longit

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4.07 m.

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Mercator

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hace excep

veniente es

CET

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minuto de

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36

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1cosϕ

=

Tesis_Doctoral

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el Ecuador

ralelo 20º

mantenga

ficar el es

ma las loxo

n navegaci

ngitud de a

l_versión_Tesis_

es entre sí

propósito

ntre la lon

ra de 6 378

r es de 1 8

N represe

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spaciado

drómicas

ión.

acuerdo al

_Europea.docx

í, pero el

de este

ngitud de

8.1 km de

855.32 m,

enta una

te en la

entre los

en líneas

l factor:


37

y las superficies de acuerdo a:

2

1cos

σϕ

=

Esta distorsión se hace más evidente cuanto más nos alejamos del

Ecuador, así por ejemplo Groenlandia aparece de mayor tamaño que

Sudamérica, siendo en realidad la octava parte de ésta.

Para evitar este problema, se puede trabajar con la proyección

transversa. Geométricamente sería considerar que el cilindro en vez de

ser tangente al Ecuador, lo es a un meridiano.

Esta solución fue presentada por Lambert en 1772 basándose en la

solución esférica. En 1820 − 30 Gauss desarrolló y publicó una doble

proyección conforme que conservaba la escala a lo largo del meridiano

central, y que se utilizó para calcular la triangulación de Hannover.

Schreiber también publicó la teoría de esta proyección en 1866. Además

sobre 1880, desarrolló una proyección conforme del elipsoide a la esfera,

conservando la latitud, y proyectando la esfera en el plano a través de la

Transversa de Mercator. Donde el meridiano central no era automecoico.

Este sistema de doble proyección, conocido como la proyección Gauss–

Schreiber, lo utilizó en el catastro de Prusia.

Más tarde, entre 1912 y 1919, Krüger describió más en detalle la

proyección de Gauss. Sugirió un sistema de transformación directa del

elipsoide en el plano en vez de la doble proyección. Por eso esta proyección

es conocida tanto como proyección Gauss–Krüger (principalmente en

Europa) mientras que en EEUU se la conoce como Transversa Mercator.

La proyección Gauss–Boaga, que también utiliza series truncadas, debe

su nombre a Boaga, profesor de ingeniería en la Universidad de Roma y

director general del Catastro de la República Italiana. Fue adoptada por

el Instituto Geográfico Militar en los años cincuenta.

Hotine, en una serie de cinco artículos escritos, de 1946 a 1947, para el

Empire Survey Review (Hotine, 1946–47), presenta las fórmulas de las


38

proyecciones conformes a partir de cálculo elemental y sin recurrir a

variable compleja. Su objetivo es acercar el desarrollo teórico de estas

proyecciones a usuarios que no tengan una base matemática muy amplia.

Además, aplica los resultados a distintas proyecciones: cónica conforme de

Lambert, estereográfica y Gauss–Krüger

Redfearn en un artículo dedicado exclusivamente a la proyección Gauss–

Krüger (Redfearn, 1948) y publicado en el Empire Survey Review plantea

el problema que pueda presentar la omisión de ciertos términos en la

exactitud de las fórmulas. Si bien desarrolla las fórmulas hasta un orden

superior al presentado por Hotine, no estudia la influencia de cada

término en el resultado final.

Lee (Lee, 1962) presenta la forma de obtener las coordenadas de la

proyección Gauss–Krüger a partir de fórmulas cerradas en vez de usar

desarrollos en serie. Solo presenta las fórmulas de la transformación

directa e inversa, por lo que los resultados no serían aplicables al campo

del la ingeniería donde además se necesitan las fórmulas de la

convergencia de meridianos, reducción a la cuerda y módulo de

deformación lineal. Posteriormente (Lee, 1976) desarrolla en una

monografía la aplicación de las funciones elípticas a las proyecciones

conformes.

Jackson, (Jackson, 1978) retoma el desarrollo de las formulas de

transformación en detalle a partir de los principios del ortomorfismo.

Snyder, (Snyder, 1979) presenta ecuaciones exactas en forma compacta

para no solo para proyecciones conformes, sino también equivalentes y

equidistantes. Presenta una adaptación de la proyección oblicua espacial

de Mercator que genera una nueva proyección oblicua de Mercator que a

diferencia de la presentada por Hotine, mantiene la escala real a lo largo

del meridiano central.

El desarrollo de las calculadoras en los años setenta trajo consigo un

interés renovado en la presentación de fórmulas que fueran fácilmente

adaptables para su uso con calculadora. Así Dozier, (Dozier, 1980)


39

presenta la expresión de las ecuaciones de la proyección UTM en términos

de funciones elípticas que permite ampliar la proyección a franjas

mayores de 6º para ser utilizadas con los datos de los satélites de la series

A–G de la NOAA (de sus siglas en inglés National Oceanic and

Atmospheric Administration).

Recientemente Grafarend ha desarrollado nuevos desarrollos teóricos

relacionados con la proyección UTM. Presenta (Grafarend, 1995) la

proyección Gauss–Krüger como una solución del problema de contorno

planteado con las ecuaciones de Cauchy–Riemann de un elipsoide de

revolución y donde hay que determinar el factor de escala del meridiano

central. Desarrolla (Grafarend y Syffus, 1998) además una nueva forma

de obtener las ecuaciones de la proyección como solución de las ecuaciones

de Korn–Lichtenstein.

Además de las series utilizadas por Gauss y Krüger se han presentado

desarrollos que permiten extender la proyección a todo el elipsoide.

Krüger desarrolló un método basado en una triple proyección:

1. Una proyección conforme del elipsoide en la esfera, tal como

describió Mollweide en 1807

2. Transforma la esfera en el plano con la proyección conforme de

Gauss Lambert

3. Realiza una transformación conforme de la proyección obtenida

para conservar la escala a lo largo del meridiano central.

En Bugayevsky y Snyder (1995) hay una versión simplificada del

desarrollo. Con esta proyección pueden obtenerse precisiones de 0.1 m

para ∆λ < 30.

Hay otros desarrollos basados en funciones elípticas, no obstante, son

poco prácticos y apenas se utilizan.

Más recientemente, abril 2008, Bermejo y Otero (2008) han presentado

fórmulas para el cálculo de las coordenadas de la proyección Transversa


40

de Mercator a partir de la longitud y de la latitud isométrica utilizando

resultados de un artículo (Enríquez, 2004) en el que se basa esta tesis.

II.3.2 La proyección UTM

La utilización de la proyección Gauss–Krüger en mapas topográficos

comenzó en el siglo XIX poco después de que Gauss la desarrollará en un

de sus principales estudios. Como la deformación lineal es constante a lo

largo del meridiano central, esta proyección es especialmente adecuada

para representar países que vayan de Norte a Sur.

Su uso se amplió con la adopción de la proyección Gauss–Krüger

Universal (UTM, de sus siglas en inglés Universal Transverse Mercator),

y de su correspondiente cuadrícula (CUTM), por parte del Ejército de los

Estados Unidos a finales de los años cuarenta, que querían utilizarla

como un sistema cartográfico mundial para ser utilizado por la OTAN y

por los otros países occidentales aliados. Actualmente se usa en casi todos

los países de ámbito occidental.

La proyección UTM se diferencia de la proyección Gauss–Krüger en la

aplicación de un factor de reducción de escala a las magnitudes lineales

K0 = 0.9996 que reduce a la mitad las deformaciones lineales y amplía la

zona de utilización de la proyección Gauss–Krüger

La Asociación Internacional de Geodesia ha recomendado la adopción por

todas las naciones de la proyección UTM y unas directrices para la

designación de puntos que constituye la Cuadrícula UTM (CUTM).

El plan internacional adoptado consiste en cubrir la superficie del Globo

comprendida entre los paralelos de 84º N, originalmente 80º N, y 80º S con

un sistema homogéneo de cuadrículas UTM, completando los dos

casquetes polares restantes con otro de cuadrículas UPS. (Proyección

Universal Estereográfica Polar).

El uso de la proyección Transversa de Mercator en mapas a pequeña

escala es moderado. Recientemente ha aparecido en mapas de Rusia y

Ucrania para mapas de la ‘National Geographic Society’, en el ‘The Times


41

Atlas’ para algunas zona de Oriente y de África, y en el ‘The American

Oxford Atlas’ para la zona sudoriental de Asia, este de Australia y este de

África.

II.3.3 Desarrollo de las fórmulas de la proyección Gauss–Krüger.

II.3.3.1 Fundamentos.

Para que un sistema de proyección sea útil es necesario que pueda

resolver de forma práctica los siguientes problemas:

• Transformación directa e inversa de coordenadas.

• Cálculo del coeficiente de deformación lineal.

• Cálculo de distancias.

• Cálculo de superficies

• Cálculo de ángulos.

Tradicionalmente las fórmulas para resolver los diferentes problemas se

presentan en forma de serie:

( )

( )

1

1

'

kn

nn

kn

nn

f a

F b x

ϕ λ

ϕ

=

=

=

= ∆

∑

∑ (2.41)

donde con f y F se representa el elemento a calcular, los coeficientes an y

bn se encontraban tabulados y la latitud auxiliar ϕ’ dependía del valor de

la coordenada y. La estructura de esta formulación estaba justificada por

la necesidad de trabajar con tablas y la mayor parte de los trabajos se

limitan a presentar distintas formas de obtenerlas resultados o variantes

de las mismas. Si bien eran eficaces desde el punto de vista del tiempo de

computación, no se podía decir lo mismo al programarlas. La estructura

de los coeficientes an y bn hacía bastante tediosa la codificación siendo

muy fácil el equivocarse. Por último la exactitud de las fórmulas se

encontraba limitada a los 3º ó 4º de amplitud en el mejor de los casos.


42

El método que se describe a continuación es el habitual y puede

encontrarse, junto con las correspondientes fórmulas finales, en varios

trabajos como por ejemplo Hotine (1947), Tardi (1954) o Levallois (1970).

Por esta razón no se realizará, salvo en el caso de la transformación

directa, el desarrollo completo y en detalle de las fórmulas y tan solo se

indicará las etapas que se siguen y las fórmulas finales.

La proyección Gauss–Krüger es un sistema cilíndrico, transverso,

conforme y tangente al elipsoide a lo largo de un meridiano que se elige

como meridiano origen. A medida que nos alejamos del meridiano de

tangencia, las deformaciones alcanzan valores considerables. Es por ello

por lo que se recurre al artificio de subdividir la superficie terrestre en

120 husos iguales de 3º de amplitud, constituyen 120 proyecciones

iguales, pero referidas cada una al meridiano central del huso respectivo

y al Ecuador. En el caso de la proyección UTM tendríamos 60 husos de 6º

de amplitud que constituyen 60 proyecciones iguales.

La proyección Gauss–Krüger (ver figura 8) para cada huso se define por

las siguientes condiciones:

• Que la representación sea conforme.

• Es simétrica respecto al meridiano central

• Que la transformada del meridiano central del huso considerado

sea una línea isométrica automecoica.

Los sistemas de referencia adoptados son los siguientes:

• En el elipsoide, el meridiano central del huso respectivo como

origen de longitudes y el Ecuador como origen de latitudes.

• En el plano, la transformada del meridiano central del huso como

eje de ordenadas y la perpendicular a éste en su cruce con el

Ecuador como eje de abcisas.

18/01/2010

La condi

analítica

donde:

• x e

• i =

• f e

• ∆λ

me

• q e

Se desar

los térm

fórmulas

definitiva

meridian

dicho me

en funci

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1= − ,

es cualquie

λ, ∆λ = λ –

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a (ϕ, ∆λ).

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eridiano: f

ión de las

Figura

conformida

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coordena

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– λ0; donde

entral de c

ud isométr

erie de Ta

es e imagi

ordenadas

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f(q) = β y s

s derivad

CET

43

8: Proyecció

ad se fun

eja cuya e

(y ix f+ =

das plana

analítica

e λ y λ0 so

cada huso

rica, defini

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omecoico, l

se obtiene

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Tes

3

ón Gauss–Kr

ndamenta

expresión p

( )q i λ+ ∆

s,

de q + i ∆λ

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con respe

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xpresión (

e ambos m

ulares (y, x

aplica la

lo que im

una expr

desarrollo

sis_Doctoral_ve

rüger

en la teo

puede ser:

∆λ.

ngitudes d

ecto a Gree

uerdo a (2.

2.42) y se

miembros

x) en funció

segunda c

mplica que

esión de lo

o del arc

ersión_Tesis_Eu

oría de fun

el punto P

enwich.

16):

igualan e

obteniénd

ón de (q, ∆

condición:

e para pun

os coeficie

co de mer

uropea.docx

nciones

(2.42)

P y del

entre sí

dose las

∆λ) y en

que el

ntos de

entes an

ridiano,


44

respecto a la latitud isométrica q. A continuación, se desarrolla en detalle

cada uno de estos pasos.

De acuerdo con la primera condición, que la proyección sea conforme, es

necesario que existan funciones analíticas:

( )z f y i xω= = + (2.43)

( )F z q iω λ= = + (2.44)

Definiendo estas funciones por dos series enteras de términos imaginarios

cuyos coeficientes se deduzcan de la segunda condición: que el meridiano

central del huso sea automecoico.

Sobre el meridiano central del huso de longitud λ0 se toma un punto O y

se hace:

0 0 0

0 0 0

q q q z z zy y y

λ λ λϕ ϕ ϕ ω ω ω

∆ = − ∆ = − ∆ = −⎧ ⎧ ⎧⎨ ⎨ ⎨∆ = − ∆ = − ∆ = −⎩ ⎩ ⎩

(2.45)

Sustituyendo estos valores en (2.43) y en (2.44).

( )( )

z f y i x

F z q i

ω

ω λ

∆ = ∆ = ∆ +

∆ = ∆ = ∆ + ∆ (2.46)

Por ser la función analítica admitirá un desarrollo en serie. Si utilizamos

el desarrollo de Mac Laurin:

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

2 32 3

2 3

2 32 3

2 3

2! 3!

2! 3!

dz d z d zz fd d d

z zd d df z zdz dz dz

ω ωω ω

ω ω ω

ω ω ωω

∆ ∆∆ = ∆ = ∆ + + +

∆ ∆∆ = ∆ = ∆ + + +

…

…

(2.47)

y en forma más explícita queda:

( )1

nn

n

z y i x a q i λ∞

=

∆ = ∆ + = ∆ + ∆∑ (2.48)

( )1

nn

n

q i b y i xω λ∞

=

∆ = ∆ + ∆ = ∆ +∑ (2.49)

con.


45

( )( )( )( )

1!

1!

n

n n

n

n n

d y i xa

n d q i

d q ib

n d y i x

λ

λ

+=

+ ∆

+ ∆=

+

(2.50)

Por ser f y F funciones analíticas se pueden obtener sus derivadas con

independencia de la dirección considerada. Se elige la dirección del

meridiano central (∆λ = 0), definido por la segunda condición (y = β) y se

particulariza para los puntos de dicho meridiano.

En consecuencia los coeficientes an de (∆q + i ∆λ)n son:

1!

n

n n

dan dq

β= (2.51)

Igualmente los coeficientes bn de (∆y + i x)n son:

1!

n

n n

d qbn dβ

= (2.52)

donde

cos

d M dMdq d

N

β ϕ

ϕϕ

=

= (2.53)

El valor de los coeficientes an, productos de 1/n! por las derivadas

dnβ/dqn serán:

( )

( )

( )

( )

12

2

32 2

3

42 2 4

4

52 4 4 2 2

5

62 4 2 2 2

6

2

6

24

120

720

cos

cos tan

cos 1 tan

cos tan 5 tan 9 4

cos 5 18 tan tan 14 58 tan

cos tan 61 58 tan tan 270 330 tan

a N

Na

Na

Na

Na

Na

ϕ

ϕ ϕ

ϕ ϕ η

ϕ ϕ ϕ η η

ϕ ϕ ϕ η η ϕ

ϕ ϕ ϕ ϕ η η ϕ

=

= −

= − − +

= − + +

= − + + −

= − − + + −

(2.54)


46

donde en los coeficientes a5 y a6 se han eliminado los términos de grado

superior a η4.

El valor de los coeficientes bn, productos de 1/n! por las derivadas

dnq/dβn serán:

( )

( )

( )

1

22 2

2 2

3 3

2 2 44 4

2 4 2 2 2

5 5

2 4 2 2 26 6

1cos

tan 121 2 tan

6 costan 5 6 tan245 28 tan 24 tan 6 8 tan

120 costan 61 180 tan 120 tan 46 48 tan

720

bN

bN

bN

bN

bN

bN

ϕϕ η

ϕ ηϕ

ϕ ϕ η η

ϕ ϕ η η ϕϕ

ϕ ϕ ϕ η η ϕ

=

= +

+ +=

= + + −

+ + + +=

= + + + −

(2.55)

donde en los coeficientes b5 y b6 se han eliminado los términos de grado

superior a η4.

II.3.3.2 Transformación directa.

Se desplaza el origen O hasta R punto del meridiano central de la misma

latitud que el punto dado. Se tendrá: (ver figura 9):

Figura 9: Transformación directa


47

0

0

0R

R

R R

q q q

z y y y

λ λ λ λ λ

ϕ ϕ ϕ

β β

= ⎯⎯→ ∆ = −

= ⎯⎯→ ∆ =

= ⎯⎯→ ∆ =

= = ⎯⎯→ ∆ = −

(2.56)

( )R Rz z z y i xβ∆ = − = − + (2.57)

De donde:

( ) ( )2 31 2 3 ...R Rz y ix z z a i a i a iβ λ λ λ= + = + ∆ = + ∆ + ∆ + ∆ + (2.58)

Separando las partes real e imaginaria:

( ) ( )

( ) ( )

1 2 12 1

1

22

1

1

1

n nn

n

n nn

n

x a

y a

λ

β λ

∞+ −

−=

∞

=

= − ∆

= + − ∆

∑

∑ (2.59)

Sustituyendo los coeficientes de an por sus valores en el punto P:

( )

( )( )

( ) ( )

( )

( )( )

( )( )

332 2

552 4 4 2 2

22

442 2 4

662 4 2 2 2

cos

cos 1 tan6

cos 5 18 tan tan 14 58 tan120

cos tan2

cos tan 5 tan 9 424

cos tan 61 58 tan tan 270 330 tan720

x N

N

N

Ny

N

N

ϕ λ

ϕ ϕ η λ

ϕ ϕ ϕ η η ϕ λ

ϕβ ϕ λ

ϕ ϕ ϕ η η λ

ϕ ϕ ϕ ϕ η η ϕ λ

= ∆ +

− + ∆ +

− + + − ∆

= + ∆ +

− + + ∆ +

− + + − ∆

(2.60)

donde ∆λ se expresa en radianes.

II.3.3.3 Transformación inversa.

Para realizar la transformación inversa se procede de un modo similar. Se

desplaza el origen O (ver figura 9) hasta el punto F, punto del meridiano

central de la misma ordenada que el punto P (ϕ, λ) considerado, se tendrá:


48

0

' '

' '

0

F

F

F R

q q q q q

z y y

λ λ λ λ λ

ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ

β

= ⎯⎯→ ∆ = −

= ⎯⎯→ ∆ = −

= ⎯⎯→ ∆ = −

= = ⎯⎯→ ∆ =

(2.61)

La latitud ϕ', es la latitud en el meridiano central que tiene la misma

coordenada y que el punto (ϕ, λ). Se calcula haciendo y = β en la ecuación

(2.4) y resolviéndola por métodos numéricos.

Introducimos estos valores en (2.49):

( )1

nn

n

q i b i xω λ∞

=

∆ = ∆ + ∆ = ∑ (2.62)

y separando parte real y parte imaginaria:

22

1

' ( 1)n nn

n

q q q b x∞

=

∆ = − = −∑ (2.63)

1 2 10 2 1

1

( 1)n nn

n

b xλ λ λ∞

+ −−

=

∆ = − = −∑ (2.64)

La expresión (2.63), teniendo en cuenta los valores de bn en el punto F es:

( )

( )

( )

2 22

2 2 2 44

2 4 2 2 2 66

tan '' 1 '2 '

tan ' 5 6 tan ' ' 4 '24 ' cos '

tan ' 61 180 tan ' 120 tan 46 ' 48 ' tan '720 ' cos '

q q q xN

xN

xN

ϕ η

ϕ ϕ η ηϕ

ϕ ϕ ϕ η η ϕϕ

∆ = − = − + +

+ + − −

+ + + +

(2.65)

El desarrollo de ∆ϕ = ϕ – ϕ’ en función de las potencias crecientes de

∆q = q – q’ es:

( ) ( )

( )( )

( )( )

2

22 2 4

33 2 2 2 3

' 1 ' cos '

1 cos ' tan ' 1 4 ' 3 '21 cos ' 1 tan ' 5 ' 13 ' tan '6

q

q

q

ϕ ϕ ϕ η ϕ

ϕ ϕ η η

ϕ ϕ η η ϕ

∆ = − = + ∆

− + − ∆

− − + + ∆

(2.66)

Sustituyendo en esta expresión los valores de (∆q) deducidos de la

ecuación (2.63) se obtiene:


49

( )

(

)(

)

2 22

3 2 2 24

4 4 4

2 46

2 2 2 4 4 6

tan ' 1 '2 ' cos '

tan ' 5 3 tan ' 6 ' 6 ' tan '24 ' cos '

3 ' 9 ' tan '

tan ' 61 90 tan ' 45 tan '720 '

107 ' 162 ' tan ' 45 ' tan '

xN

N

x

Nx

ϕϕ ηϕ

ϕ ϕ η η ϕϕ

η η ϕ

ϕ ϕ ϕ

η η ϕ η ϕ

∆ = − + +

+ + + −

− −

− − +

+ − −

(2.67)

Sustituyendo bn por sus valores en función de ϕ’ en (2.64) se tiene:

2 2

33

2 4 2 2 25

5

1'cos '

1 2 tan ' '6 ' cos '

5 28 tan ' 24 tan ' 6 ' 8 ' tan '120 ' cos '

xN

xN

xN

λϕ

ϕ ηϕ

ϕ ϕ η η ϕϕ

∆ =

+ +−

+ + + ++

(2.68)

Las ecuaciones (2.67) y (2.68) permiten la transformación inversa de las

coordenadas Gauss–Krüger (x, y) a las geodésicas (ϕ, ∆λ).

II.3.3.4 Cálculo de la convergencia de meridianos.

A partir de la ecuación (2.39) se sigue que

/tan/

dy ydx x

λγλ

∂ ∂= =

∂ ∂ (2.69)

El algoritmo para calcular la convergencia de meridianos, γ, es:

1. Se calculan las derivadas de (2.69) respecto a λ

2. Se divide numerador y denominador por N cos ϕ

3. Se desarrolla el cociente, supuesto que el denominador es de la

forma (1 + ε), con ε ~ 0.

4. De esta manera se obtendría el valor de tan γ.

5. Por último se expresa γ en función de tan γ.


50

El resultado final es:

( )( )

( )( )

232 4

452

sin cossin 1 3 23

sin cos 2 tan3

ϕ ϕγ ϕ λ η η λ

ϕ ϕ ϕ λ

= ∆ + + + ∆

+ − ∆ (2.70)

II.3.3.5 Cálculo del módulo de deformación lineal.

El algoritmo para calcular el módulo de deformación lineal, m, es:

1. Se parte del valor dado por la expresión (2.30):

2 2

22 2 2 2

dx dymM d r dϕ λ

+=

+

2. Se divide la expresión anterior por dx

3. Se sustituye por su valor la orientación, t, y el acimut, θ, de la

línea transformada.

4. Se obtiene el valor el módulo de deformación lineal, m, en

función del acimut.

5. Como la proyección es conforme, m es independiente del acimut.

Se calcula para θ = π/2.

6. Se expresa la orientación en función del acimut y de la

convergencia de meridianos. Se obtiene:

1 seccos

dxmN d

γϕ λ

=

7. Se calcula dx/dλ a partir de (2.60).

8. Se expresa sec γ en función de γ.

9. Se sustituye γ por el valor calculado en (2.70)

El resultado final es:

( ) ( )

222

11 cos

2m

ηϕ λ

+= + ∆ (2.71)


51

II.3.3.6 Cálculo de distancias.

La longitud de transformada de una geodésica debe obtenerse por

integración de la expresión:

' ( , )ds m ds mdsϕ λ= =

extendida a todos los puntos de la línea; es decir por la integral:

'

''

B

As m ds= ∫

donde:

• ds’, es el elemento de longitud en el plano,

• ds, es el elemento de longitud en el elipsoide,

• m = m(ϕ, λ), es el modulo de deformación lineal, que depende de la

latitud y de la longitud.

Esta expresión solo será directamente integrable en aquellos casos en los

que m sea, con el suficiente grado de precisión, función de una sola

coordenada. Este es, aproximadamente, el caso de la proyección Gauss–

Krüger. No obstante la expresión para el módulo de deformación lineal es

muy complicada, por lo que se recurre a distintas fórmulas de integración

numérica, según la longitud de la línea considerada. Esta aproximación

es más simple que la integración directa. Un método es evaluar m en el

punto inicial, medio y final m0, m1/2, m1. Se tiene entonces (Hotine,

1947c):

0 1/ 2 1

1 1 1 4 16m m m m

⎛ ⎞= + +⎜ ⎟

⎝ ⎠ (2.72)

o, si la evaluación se efectúa en el punto inicial, a un tercio del inicio, a un

tercio del final y en el punto final m0, m1/3, m2/3, m1 (Hotine, 1947c):

0 1/3 2/3 1

1 1 1 3 3 18m m m m m

⎛ ⎞= + + +⎜ ⎟

⎝ ⎠ (2.73)


52

Este método es el más preciso y debería usarse para distancias mayores

que 100 km. Si las distancias son menores que 10 km, el valor de m puede

considerarse constante y el cálculo se hace en el punto medio:

1/ 2m m= (2.74)

En todos los casos el valor de s, la distancia medida en elipsoide se calcula

como:

1 's sm

= (2.75)

y los valores de m pueden evaluarse según sea la distancia a partir de las

expresiones (2.72), (2.73) o (2.74). Dado que la expresión de la

transformada de la geodésica es complicada, en vez de la distancia s’ se

calcula la distancia cartesiana d:

( ) ( )2 21 0 1 0d x x y y= − + − (2.76)

La diferencia entre ambas medidas, ∆s, es (Tardi, 1954):

2 31/ 2

124

s d∆ = − Γ (2.77)

Esta aproximación es más que aceptable si el valor de ∆λ es inferior a 3º.

En este caso, el error cometido es:

• Si la distancia es de 100 km, ∆s < 0.002 m; un error relativo

inferior a 2 10–8.

• Si la distancia es de 1 000 km, ∆s < 2 m; un error relativo inferior a

2 10–6.

II.3.3.7 Cálculo del módulo de deformación superficial

Para calcular el modulo de deformación superficial utilizamos el hecho de

que en una proyección conforme el módulo de deformación lineal, m, es

constante, luego:

2.a b mσ = = (2.78)


53

II.3.3.8 Cálculo de superficies

Seguiremos el mismo razonamiento que el cálculo de distancias. El área

de una superficie se obtiene a partir de la integración de la expresión:

2' ( , ) ( , )dS dS m dSσ ϕ λ ϕ λ= = (2.79)

donde

dS’ es el área infinitesimal en el plano,

dS es el área infinitesimal en el elipsoide, y

σ = σ(ϕ, λ), es el módulo de deformación superficial, que dependerá

de la latitud y de la longitud.

Esta expresión no puede integrarse directamente y, como en el caso

anterior, se requiere una aproximación numérica.

El área, S, de un trapecio elipsoidal determinado por los puntos (ϕ1, λ1),

(ϕ1, λ1+ ∆λ), (ϕ1+ ∆ϕ, λ1), (ϕ1+ ∆ϕ, λ1+ ∆λ) viene dada por la expresión:

( )2 20 01 1

2 21 1 0 0

cos

1 1 sin 2sin1 sin 2sinlog log4 1 sin cos 1 sin cos

S M N d d

a ee

λ ϕϕ ϕ λ

θ θθ θ λθ θ θ θ

∆ ∆=

− ⎡ ⎤⎛ ⎞⎛ ⎞ ++= + − − ∆⎢ ⎥⎜ ⎟⎜ ⎟− −⎢ ⎥⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎣ ⎦

∫ ∫ (2.80)

donde

( )

[ ]1 1

0 1

arcsin sin

arcsin sin

e

e

θ ϕ ϕ

θ ϕ

⎡ ⎤= + ∆⎣ ⎦=

(2.81)

El área, S’, del trapecio transformado en el plano determinado por las

coordenadas (x1, y1), (x2, y2), (x3, y3 ), (x4 , y4 ) puede expresarse (Anderson

y Mikhail, 1998) mediante:

( )1 2 2 3 3 4 4 1 2 1 3 2 4 3 1 41'2

S x y x y x y x y x y x y x y x y= + + + − + + + (2.82)

Como el valor de m varía lentamente con la latitud, podemos asumir que

es constante si ∆ϕ < 3º. Podemos entonces proceder como en el caso de las

distancias finitas:


54

0 1/ 2 1

2 2 20 1/ 2 1

1 1 1 4 1' '6

1 1 4 1 '6

GKS S S

Sm m m

σ σ σ σ⎛ ⎞

= = + +⎜ ⎟⎝ ⎠

⎛ ⎞= + +⎜ ⎟

⎝ ⎠

(2.83)

donde SGK es el área calculada de acuerdo con las fórmulas de Gauss–

Krüger y m se evalúa en el punto inicial, medio y final de la línea

(ϕ1+ ∆ϕ/2, λ) – (ϕ1+ ∆ϕ/2, λ+∆λ), como m0, m1/2, m1. El error, en tanto por

ciento, del método viene dado por la diferencia entre los valores obtenidos

mediante la fórmula (2.80) y la fórmula (2.82):

100GKS SerrorS−

= × (2.84)

II.3.3.9 Cálculo de correcciones angulares.

Sean AB y AC dos curvas cualesquiera trazadas sobre la superficie y sean

A'B', A'C' las representaciones homólogas sobre el plano. El ángulo que

forman dos curvas se define como el ángulo que forman sus tangentes, y

por definición de transformación conforme, los ángulos de estas curvas

serán iguales sobre el plano y sobre la superficie. Dado que, en general, la

expresión analítica de las curvas transformadas será muy compleja, será

más simple trabajar sobre los elementos finitos de las curvas A'B' y A'C' y

realizar los cálculos sobre las cuerdas correspondientes. Esto quiere decir

que para poder trabajar con las coordenadas planas, tendremos que

realizar unas correcciones sobre las observaciones realizadas, que se

denominarán reducciones angulares.

El ángulo entre la cuerda y la orientación de la geodésica es (ver figura 6):

T t δ= +

donde δ, ángulo entre la cuerda y la transformada de la geodésica, se

denomina corrección a la cuerda.

Para ver el valor de δ partimos de OPQ, curva plana de pequeña

curvatura referida a un sistema de coordenadas (x, y). (Ver figura 10).


55

Figura 10: Geometría de curvas planas

El eje x es la cuerda que une los extremos de la curva. La tangente en P

forma un ángulo θ, con tan θ = dy/dx, con el eje x y las correspondientes

pendientes de la curva en los extremos de la curva serán δ1 y δ2. La

longitud de la cuerda es S. Supongamos que, en primera aproximación, la

curva puede ser sustituida por la cúbica:

2 3y a x b x c x= + + (2.85)

donde habrá que determinar las constantes a, b y c que mejor se ajusten a

la curva. Si la curva pasa por el punto Q(S, 0) se tiene:

2 30 a S b S c S= + + (2.86)

Derivando la expresión (2.85):

22 3dy a b x c xdx

= + + (2.87)

Por lo tanto en los extremos de la curva se verificará:

12

2 2 3

a

a b S c S

δ

δ

− =

= + + (2.88)

Por lo tanto resolviendo el sistema formado por (2.86) y (2.88) se tiene:

2 31 2 2 11 2

2y x x xS S

δ δ δ δδ − −= − + + (2.89)

La curvatura Γ de la curva en P es –dθ/ds y si ds, elemento de arco de

curva, es pequeño puede confundirse con dx. Por lo tanto:


56

2

1 2 2 12 2

2 6d y xdx S S

δ δ δ δ− −Γ = = + (2.90)

Si en esta ecuación hacemos x = S/3 tendremos:

11/ 3

2Sδ

Γ = (2.91)

y haciendo x = 2 S/3 tendremos

22 / 3

2Sδ

Γ = (2.92)

que da la relación entre la corrección a la cuerda y la curvatura.

Sea A’B’C’ el triángulo plano transformado por una proyección conforme

del triángulo elipsóidico ABC. (Ver figura 11). Como las proyecciones

conformes conservan los ángulos se verificará que:

' ' 'α β γ α β γ π ε+ + = + + = +

siendo ε el exceso esférico del triángulo dado.

Figura 11: Triángulo elipsóidico

Por otra parte en el triángulo plano a’b’c’ formado por las respectivas

cuerdas, la suma de los ángulos será 180º, por lo que la suma de las seis

correcciones a la cuerda será:

dT ε=∑

Sean ahora A’ y B’ los extremos de un arco de la geodésica transformada,

(ver figura 12). Si por dichos extremos se trazan perpendiculares al eje de


57

ordenadas, cortarán a éste en los puntos C’ y D’, respectivamente. El

teorema de Schols puede expresarse por la ecuación:

0 cosTΓ = Γ

Figura 12: Corrección a la cuerda

Puesto que el eje de ordenadas es la isométrica base, esta expresión, que

define la curvatura de una geodésica, demuestra que las geodésicas

ortogonales a dicha isométrica son de curvatura nula, es decir rectas en

un campo limitado.

De esta manera las normales a dicho eje que pasen por A y B, pueden, en

primera aproximación, ser considerarse geodésicas ortogonales a dicho eje

y por lo tanto serán geodésicas transformadas.

Por lo tanto, el cuadrilátero mixtilíneo A’B’C’D’ estará formado por las

transformadas de cuatro geodésicas y su exceso esférico será la suma

δA + δB. Si asumimos que la superficie del trapecio A’B’C’D’ determinado

por las cuerdas es igual a la del cuadrilátero mixtilíneo formado por las

transformadas de las geodésicas, se tiene que:

( )( )

2 22B A A B

A B

y y x xSR R

δ δ ε− −

+ = = = (2.93)

Si tenemos en cuenta las expresiones (2.91) y que:


58

1/ 22 cosx t

RΓ =

se obtiene

2

2

26

26

A BA

B AB

x x DR

x x DR

δ

δ

+=

+=

de donde:

22

A A B

B B A

x xx x

δδ

+=

+

y

( )32

A BA B

A A B

x xx x

δ δδ

++=

+

Para obtener las correspondientes reducciones a la cuerda, basta despejar

δA (o δB) y sustituir δA + δB por su valor en (2.93), teniendo en cuenta (2.6)

y que R M N≈ :

( )( ) ( )( )( ) ( )

22

22

21

62

16

B A A BA

B A B AB

y y x xN

y y x xN

δ η

δ η

− += +

− += − +

(2.94)

Una formula más exacta para calcular δ es la utilizada por Hotine

(Hotine, 1947c):

3

3

222 1 3 2 1 3 3

1 23 3 3 3

3 2 2 42 1 1 3 2 2 1 3 3

13 2 33 3 3

( ) ( ) sin 22 2

( ) (1 cos ) ( ) sin 26 12

y y x x x xkM N M N

y y x k x x xkM N M N

ϕδ

ϕ ϕ

− −= − −

− − −+ +

(2.95)

donde ϕ3 es la latitud de un punto a lo largo de la cuerda con coordenadas:

0 1

3

0 13

2 x3

23

xx

y yy

+=

+=

(2.96)


59

y:

2 2

21 2 2

a bka b

−=

+

II.3.3.10 Artificio de Tissot.

A fin de reducir la deformación, sin alterar la conformidad, se recurre al

artificio de multiplicar las magnitudes lineales por un factor de reducción,

k0, propio de la proyección, dando lugar en cada punto a un nuevo valor

de la relación de longitudes, definido por la igualdad:

0k k m= (2.97)

El valor de k0 se determina intentando reducir a la mitad las máximas

deformaciones. De esta manera si expresamos m como:

1m ε= +

y lo multiplicamos por el factor k0, la máxima deformación lineal sería:

12ε

= +k (2.98)

Tendríamos entonces que:

( )0

12

1

ε

ε

⎛ ⎞+⎜ ⎟⎝ ⎠= =

+kkm

Si las deformaciones son pequeñas (ε ~ 0), tenemos que:

( )2

0 1 1 12 2 2ε ε εε ε⎛ ⎞= + − = + − −⎜ ⎟

⎝ ⎠k

Por lo tanto:

0 12ε

= −k (2.99)

De esta forma, todas las alteraciones lineales, en lugar de estar

comprendidas entre

1 1mε ε− ≤ ≤ +


60

lo estarán entre:

1 12 2

kε ε− ≤ ≤ +

II.4 La Proyección Oblicua de Mercator

II.4.1 Introducción

II.4.1.1 Historia

Cuando una zona geográfica se extiende a lo largo de una franja que no

sigue ni un meridiano ni un paralelo, como en el caso de Italia, el aspecto

más adecuado para realizar su representación es el oblicuo. Si deseamos

conservar ángulos, la proyección oblicua de Mercator es una alternativa a

considerar.

El origen de la proyección oblicua de Mercator no es claro, si bien es una

generalización lógica de la proyección de Mercator. La primera referencia

escrita aparece en 1903 cuando Rosenmund elaboró una proyección que se

utilizó en la cartografía de Suiza. Laborde aplicó la proyección Oblicua de

Mercator para la cartografía de Madagascar en 1928. H. J. Andrews

propuso, entre 1935 y 1938, la forma esférica para mapas de Estados

Unidos y Eurasia. Hinks, entre 1940 y 1941, presentó siete mapas del

mundo de la Proyección Oblicua, con los polos situados en diferentes

posiciones.

Hotine, (Hotine, op. cit) publicó la base de la utilización de la proyección

oblicua de Mercator en su forma elipsoidal. Hotine la denominó

“ortomórfica sesgada rectificada”3, y se la suele citar como HOM (de,

Hotine Oblique Mercator, en inglés).

La aproximación de Hotine tiene sus limitaciones, pero da fórmulas

cerradas que se han adaptado para la representación de determinadas

zonas de Estados Unidos. Algunas se han superado con el desarrollo en

serie presentado por trabajo de Snyder. (Snyder, 1979, p. 74) pero aún

3 "rectified skew orthomorphic" (Hotine, 1947, p. 66–67).


61

siguen existiendo otras. Esta última versión es consecuencia del

desarrollo de fórmulas para la representación de trayectorias de satélites

utilizando la proyección Oblicua de Mercator espacial. (SOM, de sus

siglas en inglés Space Oblique Mercator).

Mientras que Hotine proyectó el elipsoide de forma conforme sobre una

superficie de curvatura gaussiana total constante, denominada ‘aposfera’

y luego sobre un plano, tanto Laborde como Cole realizaron una doble

proyección. Primero proyectaron el elipsoide de forma conforme sobre la

esfera y luego proyectaron ésta sobre el plano mediante la Oblicua de

Mercator. El sistema que Rosenmund utilizó para Suiza, es también una

doble proyección si bien algo más complejo.

II.4.1.2 Propiedades

Desde un punto de vista geométrico la proyección Oblicua de Mercator

para la esfera se obtiene girando un ángulo entre 0 y 90º el cilindro

tangente al Ecuador, que de esta manera pasa a ser tangente a un círculo

máximo de la esfera. Se tendría una red de paralelos y meridianos

referidos a este círculo máximo, metaparalelos y metameridianos, según

la nomenclatura de Frankich (Frankich, 1993), relacionados con esta

proyección de la misma manera que paralelos y meridianos están

relacionados con la proyección en su aspecto normal. Por lo tanto es

posible transformar paralelos y meridianos geográficos a metaparalelos y

metameridianos y utilizar las ecuaciones de la proyección de Mercator en

su aspecto normal, sustituyendo los valores transformados en lugar de las

coordenadas geográficas. Éste es el procedimiento que se utiliza para la

esfera, si bien para el elipsoide es mucho más complicado.

El mapa del mundo para la proyección Oblicua de Mercator (ver figura

13) nos muestra los continentes rotados. Los polos y el Ecuador no ocupan

sus posiciones habituales y éste último no es una línea recta. Hay dos

puntos singulares, situados a 90º del círculo máximo de referencia cuya

distancia al eje es infinita. La proyección Oblicua de Mercator solo se

utiliza para representar la región próxima a la línea central. Bajo estas


62

circunstancias, es similar a otras proyecciones, y solo con cuidadosas

medidas se podrían ver las diferencias.

Figura 13: Proyección Oblicua Mercator

Podríamos contemplar la proyección normal y la Gauss–Krüger como

casos particulares de la Oblicua, donde los círculos máximos serían el

Ecuador y un meridiano central, respectivamente.

II.4.1.3 Utilización

La Proyección Oblicua de Mercator, en su forma esférica, se está

utilizando en algunos atlas: la National Geographic Society los utiliza

para algunos mapas de Hawaii, las Antillas, y Nueva Zelanda. En su

forma elipsoidal, como se mencionó anteriormente, Rosenmund la utilizó

para Suiza, y Laborde para Madagascar. Hotine la usó en Malasia y

Borneo y Cole para Italia. Se utiliza en la forma descrita por Hotine por el

USGS en la zona 1 de Alaska, su panhandle4, adaptada por Erwin

Schrnid del antiguo Coast and Geodetic Survey.

4 El término inglés panhandle se traduce como la faja angosta de territorio de un estado que entra en el de otro. Si nos atenemos a su etimología, (the handle of a pan) su traducción sería el mango de una sartén. Por esta razón y falta de un término mejor, he preferido mantener el término en inglés.


63

Más recientemente John B. Rowland, del USGS, adaptó la HOM para el

cartografiado de las imágenes del Landsat en dos conjuntos de cinco

zonas discontinuas de Norte a Sur. La línea central de la última es una

buena aproximación al recorrido del satélite que no sigue una geodésica,

sino una ruta en la curvatura que va cambiando constantemente. Hasta

la implementación matemática de la SOM, la HOM era la proyección más

adecuada para el cartografiado de los datos de satélites cuyas órbitas

fueran del mismo tipo que las del Landsat. Además del Landsat, la HOM

se usó en las imágenes de la Heat Capacity Mapping Mission (HCMM)

desde 1978. La Administración Nacional de los Océanos y la Atmósfera

(NOAA, de sus siglas en inglés National Oceanic and Atmospheric

Administration) también las ha utilizado en las imágenes de sus satélites

meteorológicos para hacerlas compatible con las del Landsat en zonas

polares, por encima de los 82º, que están fuera de la cobertura del

Landast.

Los parámetros de la proyección Oblicua de Mercator para representar

una zona determinada pueden elegirse de varias maneras. Si la zona a

representar es pequeña, pueden seleccionarse dos puntos, que determinen

la línea central, en los límites de la región y calcular las constantes de la

proyección que dependerán de la latitud y longitud de dichos puntos. Una

segunda aproximación es elegir un punto y un acimut que, pasando por

dicho punto, determine la línea central. Una tercera aproximación más

aplicable a representar zonas amplias de la superficie terrestre,

considerada como esférica, es la elección de un punto en la esfera original

que será considerado como el polo de una esfera cuyo ecuador sea la línea

central. Hay fórmulas para estas tres aproximaciones tanto para la esfera

como para el elipsoide.

II.4.2 Resumen de las características

• Cilíndrica (oblicua).

• Conforme.

• Hay dos meridianos separados 180º que son líneas rectas.


64

• Los otros paralelos y meridianos son curvas complejas.

• En su forma esférica, se conserva la escala a lo largo de la línea

central, un círculo máximo de la esfera, o a lo largo de dos líneas

rectas paralelas a la línea central. En su forma elipsoidal, la escala

es similar pero varía ligeramente de este patrón.

• La escala se hace infinito a 90º de la línea central.

• Usada para Alaska, para el cartografiado de Suiza, Madagascar y

Borneo, y para la realización de atlas de zonas que extiendan en

una dirección oblicua.

• Desarrollada entre otros por Rosenmund, Laborde y Hotine desde

1900 a 1950.

II.4.3 Fórmulas para el elipsoide.

II.4.3.1 Planteamiento del problema.

Estas fórmulas, ligeramente modificadas para usar las longitudes

orientales como positivas, son las utilizadas por Hotine. La línea central

es una geodésica.

Se suele utilizar coordenadas rectangulares en términos de (u, v) o (x, y).

Las coordenadas (u, v) son similares en concepto a las (x, y) calculadas

para las fórmulas esféricas con la coordenada u haciendo el papel de la

coordenada x incrementándose hacia el este a partir del origen de la línea

central, mientras que la coordenada v se correspondería con la

coordenada –y, de manera que la v se incrementa en una dirección sur

perpendicular a la línea central. Para Hotine, las coordenadas (x, y) se

calculan como coordenadas (u, v) rectificadas con el eje Y siguiendo el

meridiano que pasa por el punto central e incrementándose, como es

habitual, en la dirección norte, mientras que el eje X está situado en la

dirección este oeste que pasa por dicho punto.

En la proyección HOM el origen de las coordenadas (u, v) es,

aproximadamente, la intersección de la línea central con el ecuador.


65

Realmente el punto de cruce es con el ecuador de la aposfera, y es, ante

todo, un concepto académico.

II.4.3.2 La proyección Oblicua de Mercator y la proyección Oblicua de Mercator–Hotine (HOM)

La proyección Transversa de Mercator se emplea para la representación

de bandas longitudinales en las que se limita la distorsión lineal a base de

restringir la extensión de la proyección a ambos lados del meridiano

central. A veces la forma o la extensión del país hace preferible aplicar

una única proyección a una sola zona pero con su línea central siguiendo

una dirección determinada a lo largo del territorio en vez de un

meridiano. En este caso la escala se conservará a lo largo de dicha línea

en vez de conservarse a lo largo de un meridiano, caso de la proyección

transversa de Mercator, o del Ecuador. A su vez, la extensión en la cual

esta proyección será adecuada vendrá dada por una dirección

perpendicular a lo largo de esta línea central. Este es el caso de Malasia

Occidental y oriental, Madagascar, o el panhandle de Alaska en Canadá.

Esto también se aplicó a Hungría en 1970 y a principios del siglo XX por

Rosemund para el cartografiado de Suiza.

La línea central de la proyección puede definirse como un punto,

normalmente centrado en la zona a representar, y una dirección o bien

mediante la geodésica que une dos puntos situados en los extremos de la

zona a representar. Esta última aproximación si bien no es la que sigue

actualmente el EPSG/POSC ha sido aplicada en el cartografiado de

imágenes satelitales, o más frecuentemente para aplicar una retícula a las

imágenes. Sin embargo el paso de los satélites no sigue realmente la línea

central de la proyección, por lo que se creó una proyección cuya línea

central se ajustase en la medida de lo posible a la trayectoria seguida por

los satélites. Esta proyección se conoce como la proyección Oblicua de

Mercator Espacial (SOM, de sus siglas en inglés Space Oblique Mercator) y

aunque parezca una proyección cilíndrica oblicua, no es conforme y no tiene

otra aplicación que el cartografiado de imágenes espaciales.


66

Como se comentó con anterioridad, Hotine proyectó el elipsoide de forma

conforme sobre la aposfera, y después proyectó dicha superficie sobre el

plano. Hotine desarrolló las fórmulas de esta proyección utilizando

funciones hiperbólicas. Snyder adaptó estas fórmulas evitando el uso de las

funciones hiperbólicas, sustituyéndolas por exponenciales.

El EPSG identifica dos formas de la proyección oblicua de Mercator,

diferenciadas tan solo por el punto en el que se define el falso origen de

coordenadas. Si la falsa cuadrícula se define a partir de la intersección de

la línea central y la aposfera, entonces se tendrá la proyección Oblicua de

Mercator–Hotine (HOM), mientras que si la falsa cuadrícula se define en el

centro de la proyección se tendrá la proyección Oblicua de Mercator.

El sistema coordenado se define por:

• La línea central definida por un acimut αc y que pasa por el centro

de la proyección (ϕc, λc). El punto donde la proyección de esta línea

corta el ecuador de la aposfera es el origen del sistema de

coordenadas (u, v) es el origen del sistema de coordenadas. El eje u

es paralelo a la línea central y el eje v es perpendicular a esta línea.

Al aplicar las fórmulas para la HOM el primer conjunto de coordenadas

calculadas se refieren a los ejes coordenados (u, v) definidos con respecto

al acimut de la línea central. Estas coordenadas son posteriormente

rectificadas al habitual sistema (X, Y) aplicando una transformación

ortogonal. De ahí su nombre ‘ortomórfica sesgada rectificada’. En el caso

del panhandle de Alaska el acimut de la línea en el origen es idéntico al

acimut de la línea origen en el centro de la proyección. Como resultado se

tiene que el norte verdadero y el norte de la cuadrícula coinciden en el

centro de la proyección en lugar del origen natural, que es lo habitual.

Las fórmulas pueden utilizarse en lo siguientes casos:

• Alaska State Plane Zone 1 (su panhandle).

• Hungría EOV

• Cuadrícula Laborde para Madagascar


67

• Cuadrícula ortomórfica sesgada rectificada para Malasia Oriental y

Occidental

• Proyección Cilíndrica para Suiza.

Los sistemas húngaros y suizos son un caso especial, puesto que el acimut

de la línea central es de 90º, por lo que el aspecto es muy similar al

transverso, pero los resultados no son idénticos.

Figura 14: La proyección Hotine Oblicua de Mercator

Las fórmulas que se van a aplicar a continuación están tomadas de

Hooijberg (1997).

Los parámetros que definen la proyección oblicua de Mercator son:

ϕc = latitud del centro de la proyección.

λc = longitud del centro de la proyección

αc = acimut verdadero de la línea central que pasa por el centro de

la proyección.

γc = orientación de la línea central.

kc = Factor de escala en el centro de la proyección


68

E0 = Falso Este en el centro de la proyección.

N0 = Falso Norte en el centro de la proyección.

A partir de esos parámetros se pueden calcular las siguientes constantes

para la proyección:

( )2 4

2

cos1

1ce

cteBe

ϕ= +

−

( )2

2 2

11 sin c

ecteA a cteBe ϕ

−=

−

( )ccteQ ψ ϕ=

( )

2

2 2

1arccoshcos 1 sin

c

c c

cteB ecteC cteB cteQeϕ ϕ

⎛ ⎞−⎜ ⎟= −⎜ ⎟−⎝ ⎠

ccteActeD kcteB

=

0 2 2

sin cosarcsin1 sin

c c

c

acteA e

α ϕγϕ

⎛ ⎞⎜ ⎟=⎜ ⎟−⎝ ⎠

( )( )00

arcsin tan sinh cc

cteB cteQ cteCcteB

γλ λ

+= −

0sincteF γ=

0coscteG γ=

ccteActeI k

a=

II.4.3.3 Transformación directa

El problema se enuncia como dado (ϕ, λ), calcular (E, N):

( ) ( )0funcL cteBλ λ λ= − (2.100)

( ) 1 sinlog tan log4 2 2 1 sin

e ee

π ϕ ϕψ ϕϕ

⎛ ⎞⎛ ⎞ +⎛ ⎞= + −⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ −⎝ ⎠⎝ ⎠ ⎝ ⎠ (2.101)


69

( )( )

( ) sinh ( )

( ) cosh ( )

funcJ cteB cteC

funcK cteB cteC

ϕ ψ ϕ

ϕ ψ ϕ

= +

= + (2.102)

( ) ( ) ( )

( )

( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )

sin ( ), arctan

cos ( )

sin ( ), log

2 sin ( )

cteG funcJ cteF funcLu cteD

funcL

funcK cteF funcJ cteG funcLcteDvfuncK cteF funcJ cteG funcL

ϕ λϕ λ

λ

ϕ ϕ λϕ λ

ϕ ϕ λ

⎛ ⎞−= ⎜ ⎟⎜ ⎟

⎝ ⎠⎛ ⎞− −

= ⎜ ⎟⎜ ⎟+ +⎝ ⎠

(2.103)

Las coordenadas sesgadas rectificadas son entonces:

( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )

0

0

, , sin , cos

, , cos , sinc c

c c

E u v E

N u v N

ϕ λ ϕ λ α ϕ λ α

ϕ λ ϕ λ α ϕ λ α

= + +

= − + (2.104)

II.4.3.4 Fórmulas para el cálculo de distancias

El módulo de deformación lineal es:

( )( )( )

2 2 cos , /1 sin

cos cos ( )u cteD

m cteI efuncL

ϕ λϕ

ϕ λ= − (2.105)

II.4.3.5 Fórmulas para el cálculo de medidas angulares.

La convergencia de meridianos se calcula a partir de la expresión:

( ) ( )( )

sin ( )arctan c

cteF cteG funcJ funcLcteG funcK

ϕ λγ α

ϕ⎛ ⎞−

= −⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

(2.106)

La reducción a la cuerda se calcula a partir de la expresión:

( )( )1,2 1 2 1 22

1 26

u u v vcteD

δ = − − + (2.107)

La orientación se calcula a partir de la expresión

2 1

2 1

arctan u utv v

⎛ ⎞−= ⎜ ⎟−⎝ ⎠

(2.108)

El acimut será:

1, 2tα γ δ= + + (2.109)


70


71

Capítulo III: Extension proposal for the Gauss–Krüger projection formulae

This chapter is the core of the thesis. An algorithm is developed to

compute the coefficient of series which defines the transformation

functions of the Gauss−Krüger projection.

Also the study of the precision and the rest of the formulas of the

projection are described.

III.1 Transformation functions

III.1.1 The direct transformation.

The procedure to compute the direct transformation formula is the same

than the one made in the previous chapter: the series expansion of the

transformation function. So, assuming that the central meridian is

Greenwich, λ0 = 0, a system of equations like (2.59) should be obtained.

( ) ( )

( ) ( )

1 2 12 1

1

22

1

1

1

n nn

n

n nn

n

x a

y a

λ

β λ

∞+ −

−=

∞

=

= − ∆

= + − ∆

∑

∑

Firstly, it should be necessary to generate the an coefficients. A recursive

form instead of the usual definition for an given by:

1!

n

n n

dan dq

β= (2.51)

Expanding the previous expression:

( )( )1

111

1 1 11 !! !

nn

n nn

dad d d d da n an dq dq n dq d n dq d

β ϕ ϕϕ ϕ

−−

−−

⎛ ⎞= = − =⎜ ⎟

⎝ ⎠ (3.1)

and with the definition of dq given by (2.16):


72

11 cos nn

daNan M d

ϕϕ

−= (3.2)

Taking into account the expression (2.6), for n ≥ 2, the definition of the

coefficients an, is:

( )2 11 1 cos nn

daan d

η ϕϕ

−= + (3.3)

The initial value, a1, is given by the original definition of an:

1 cosa N ϕ= (3.4)

So, the definition for the an coefficients is:

( )2 1

cos 11 1 cos 1n n

N na da n

n d

ϕ

η ϕϕ

−

=⎧⎪= ⎨ + >⎪⎩

(3.5)

To compute the rest of the an it is also necessary to consider the value of

the derivative of N:

2

2 tan1

dN Nd

η ϕϕ η

=+

(3.6)

and the derivative of the expression (2.6)

tanddη η ϕϕ

= − (3.7)


73

According with this, the coefficients an, for n = 1,..., 6 are:

( )

( )

(

( ) ( ))(

1

2

2 23

2 2 4 24

5

2 2 4 2

6

2 2

cossin 24

cos cos 2 cos6

sin 2 2 3cos 2 9 cos 4 cos48

cos 4cos 2 6cos 4 ...240

... 4 cos 18cos 2 11 cos 77 cos 2 51

sin 2 32 60cos 2 30cos 4 ...2880

... 60 cos 10co

a NNa

Na

Na

Na

Na

ϕϕ

ϕ ϕ η ϕ

ϕ ϕ η ϕ η ϕ

ϕ ϕ ϕ

η ϕ ϕ η ϕ ϕ

ϕ ϕ ϕ

η ϕ

=

= −

= − +

= + + +

= + +

+ − + −

= − + + +

+ ( ) ( ))4 2s 2 1 5 cos 225cos 2 47ϕ η ϕ ϕ− + −

(3.8)

The recursive definition of the an given by (3.3) proves, in a simple way

that the Cauchy–Riemann equations

1 1

1 1

x yM r

x yr M

ϕ λ

λ ϕ

∂ ∂= −

∂ ∂∂ ∂

=∂ ∂

(2.40)

a necessary and sufficient condition for any conformal projection, are

satisfied by (2.59). However, it also proves that any finite development of

the series will not satisfy one of the equations. Moreover, if we neglect

some value of ηk(ϕ), neither of the equations (2.40) will be satisfied.

The equations of the Gauss–Krüger projection are:

( ) ( )

( ) ( )

1 2 12 1

1

22

1

1

1

n nn

n

n nn

n

x a

y a

λ

β λ

∞+ −

−=

∞

=

= − ∆

= + − ∆

∑

∑ (2.59)

with

( )2 1

cos 11 1 cos 1n n

d M dN n

a da nn d

β ϕϕ

η ϕϕ

−

=

=⎧⎪= ⎨ + >⎪⎩


74

The Cauchy–Riemann condition, equation (2.40), can be expressed as:

( )

( )

2

2

1 cos

1 cos

x y

y x

η ϕϕ λ

η ϕϕ λ

∂ ∂− + =

∂ ∂∂ ∂

+ =∂ ∂

(3.9)

Now we will compute the partial derivatives of each of the expression of

the system of equation (2.59)

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )

1 2 12 1

1

1 2 12 1

1

1 2 12 1

1

1

1

1

n nn

n

n nn

n

n nn

n

x a

a

dad

λϕ ϕ

λϕ

λϕ

∞+ −

−=

∞+ −

−=

∞+ −−

=

∂ ∂ ⎛ ⎞= − ∆⎜ ⎟∂ ∂ ⎝ ⎠

∂= − ∆

∂

= − ∆

∑

∑

∑

Applying the recursive definition of an:

( ) ( ) ( )1 2 122

1

211 cos

n nn

n

x n a λϕ η ϕ

∞+ −

=

∂= − ∆

∂ +∑ (3.10)

and

( ) ( )2 12

1

1 2n nn

n

y n a λλ

∞−

=

∂= − ∆

∂ ∑ (3.11)

Multiplying (3.10) by –(1 + η2) cos ϕ the first condition is obtained. The

second condition can be proved in a similar way:

( ) ( )

( ) ( )

22

1

22

1

1

1

n nn

n

n nn

n

y a

dadd d

β λϕ ϕ

β λϕ ϕ

∞

=

∞

=

∂ ∂ ⎛ ⎞= + − ∆⎜ ⎟∂ ∂ ⎝ ⎠

⎛ ⎞= + − ∆⎜ ⎟

⎝ ⎠

∑

∑


75

Applying the definition of β, an and rearranging terms:

( ) ( ) ( )( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

22 12

1

222 12

1

22 12

1

21 2 12

1

1 2 11 cos

1 1 cos 1 2 11 cos

1 cos 1 2 11 cos

1 1 2 11 cos

n nn

n

n nn

n

n nn

n

n nn

n

ay M n

M n a

N n a

a n a

λϕ η ϕ

η ϕ λη ϕ

ϕ λη ϕ

λη ϕ

∞+

=

∞

+=

∞

+=

∞

+=

∂= + − + ∆

∂ +

⎡ ⎤= + + − + ∆⎢ ⎥+ ⎣ ⎦

⎡ ⎤= + − + ∆⎢ ⎥+ ⎣ ⎦

⎡ ⎤= + − + ∆⎢ ⎥+ ⎣ ⎦

∑

∑

∑

∑

Collecting terms:

( ) ( ) ( ) ( ) ( )1 2 122 1

1

1 cos 1 2 1n nn

n

y n aη ϕ λϕ

∞+ −

−=

∂+ = − − ∆

∂ ∑ (3.12)

On the other hand:

( ) ( ) ( ) ( )1 2 12 1

1

1 2 1n nn

n

x n a λλ

∞+ −

−=

∂= − − ∆

∂ ∑ (3.13)

So, the Cauchy–Riemann conditions are verified.

However, when the formulae are applied to a geodetic or topographic

problem, it is unnecessary to take all the terms, so only a few are chosen.

The question is: how many? The answer lies in the precision we require

for our computation. This will be the first goal of this thesis.

To develop a method which allows to determine the number

of terms necessary to achieve a desired precision in terms of

the width zone, ∆λ, and the latitude.

A second question is related to the structure of the series coefficients, the

an terms. The series expansion shows a definite tendency for the number

of terms in each an to increase, although the omission of certain smaller

terms in the fourth and higher powers of e2, the first eccentricity of the

ellipsoid, has been found of no practical importance. On the other hand,

Redfearn (Redfearn, 1948) pointed out that, if such small terms are

neglected, it may become problematical to cover a zone greater than six


76

degrees in width or to try to extend to higher latitudes. Here, the answer

is rather more complicated and requires a numerical approach. This will

be the second goal:

To show for which values of k, ek might be neglected and to

show how many terms we should take into account according

to the width of the zone to be represented and the latitude.

To answer this question, we observe that studying the influence of the

term ek is the same as studying the term ηk(ϕ), since they are related by

equation (2.6).

2

2 22 cos

1e

eη ϕ=

−

Definition: Degree is the value of the exponent k, for which ηk+2(ϕ) is

considered to be negligible

Definition: Order of the development is the value for which the term an+1

is considered to be negligible

Both order and degree of the development will be functions of the required

precision, which is normally shown as millimeters in topography and

geodesy.

We now consider the structure of the equations. According to Redfearn

(Redfearn, 1948) the expression for the an involves not only powers of

η(ϕ), but powers of tan ϕ as well, which are likewise greatly increased

with the latitude. In these conditions, he suggested that the terms in

tank ϕ could not be neglected for higher latitudes. On the other hand, a

more careful inspection of the equations shows that all terms are

multiplied by powers of cos ϕ. What we actually have are powers of

η(ϕ) sin ϕ, so latitude should not be a problem.

According to the previous definitions, both order and degree in the

equations published by Readfearn are eight.

The set of instructions, write in Mathematica®, necessary to generate the

an coefficients is written below.


77

The definitions of the derivatives for N and η(ϕ) are:

2

2

[ ][] : Nradius'[ _] := Tan[ ] Nradius[ ]1 [ ]

[] : '[ _] : [ ] Tan

[ ]

In

In

η ϕϕ ϕ ϕη ϕ

η ϕ η ϕ ϕ+

= −

From the definition (3.3) we see that the terms ηk(ϕ) only appear in the

coefficients an, with n ≥ k/2+2. The definition of the simplification is:

k_[] : SmallTerms = { [x_] :> 0 /; k > degree}In η

According to (3.3) and (3.4) the definition of the coefficients is:

2

[] : CoefA[1, _] := Nradius[ ] Cos[ ][] : CoefA[n_, _] := Simplify[

(1 + [ ] )Cos[ ] D[CoefA[n - 1, ], ]] /. SmallTer

ms

n

InIn

ϕ ϕ ϕϕ

η ϕ ϕ ϕ ϕ

With this function, we can generate all the coefficients an in an easy way.

For instance, the instructions for generating a particular coefficient, such

as a23, neglecting the terms η8(ϕ) are:

[] : degree = 6[] : CoefA[23,

]

InIn ϕ

Also all coefficients up to any value of n can be generated:

[] : seriesTerm[n_] := Table[CoefA[i, ], {i, 1, } n ]In ϕ

The set of instructions to generate the first eight coefficients of the

development, neglecting ηk(ϕ) if k > 4 is:

[] : degree 4[] : seriesT

erm[8]

InIn

=

How the precision of the development can be evaluated? The followed

procedure has been numerical. The values of the coefficients of the

development have been computed until they are smaller than the

tolerance. To study the influence of the degree and the effect of the

latitude, the following formulae are defined:


78

1 2 12 1

1

22

1

( 1)

( 1)

nh k kn k

kn

h k kn k

k

x a

y a

λ

λ

+ −−

=

=

= − ∆

= − ∆

∑

∑ (3.14)

where h is the degree of the development, n is the order and ∆λ is the

width of the zone. The difference between two developments of different

degrees will be:

,

,

h j h jn n nh j h jn n n

x x x

y y y

∆ = −

∆ = − (3.15)

Once n is fixed, all the differences:

{ }2( 1),2 2( 1),2,h h h hn nx y+ +∆ ∆ (3.16)

with the latitude varying from 0º to 80º will have to be calculated. We are

only interested in those values of h which make the differences bigger

than our tolerance, usually 0.001 m.

III.1.2 The inverse transformation.

To carry out the inverse transformation, i.e to calculate (ϕ, λ) given (x, y),

a similar procedure could be developed. First, the bn coefficients are

computed:

( )( )1

111

1 1 11 !! !

nn

n nn

dbd d q d d db n bn d d n d d n d d

ϕ ϕβ β β ϕ β ϕ

−−

−−

⎛ ⎞= = − =⎜ ⎟

⎝ ⎠ (3.17)

Taking into account the expressions (2.6) and (2.16), for n ≥ 2, the

definition of bn is:

2

1 11 1n nn

db dbbn M d n N d

ηϕ ϕ

− −+= = (3.18)

The initial value, b1, is given by:

11

cosb

N ϕ= (3.19)

The bn coefficients for n = 1,... , 6 will be:


79

( )

( )( )( ) ( )(

( ))( ) ( )(

( ))

1

2

23

2 24 2

22

5 3

4

22 2

6 4

4

cossin

2cos 16sin 1 1 4241

cos 5cos 12sin tan ...120

... 4 cos 6sin tan

sec tan 12cos 33 57 cos 2 ...

1440... 12 23cos 2 1

b N

b

bN

bN

bN

bN

ϕϕ

ϕ η

ϕ η η

ηϕ η ϕ ϕ ϕ

η ϕ ϕ ϕ

ϕ ϕ ηϕ η ϕ

η ϕ

=

= −

= − +

= − + +

+= − + − +

+ −

+= − + + +

+ −

(3.20)

where in the developments of b5 and b6 the terms of degree greater than

η4 have been neglected.

Later on a set of differences similar to the one made in the previous

paragraph should be made. However a look into the structure of the bn

coefficients shows that they are significantly more complex than the an

ones, so the process will be more complicated. But if we think that we

actually are looking for the solution of a numerical problem, given (x, y) to

compute (ϕ, λ), there is no necessity to obtain an analytical expression.

That is the reason for we look for a numerical solution using the an

coefficients that can be obtained with arbitrary precision instead of a

analytical one, and this will be the third goal of this thesis:

To establish the equations of the inverse transformation and the rest of the elements of the projection in terms of the an

coefficients.

Instead of developing these formula, an iterative method based on the TM

projection for the sphere is suggested. The formulas for this projection are

given in tabla 4. The algorithm used is shown in tabla 5 and illustrated in

figura 15.


80

Direct Transformation Inverse Transformation

( , ) cos sin ;

1 ( , )( , ) log2 1 ( , )

tan( , ) arctancos

f

R fxf

y R

ϕ λ ϕ λ

ϕ λϕ λϕ λ

ϕϕ λλ

=

⎡ ⎤+= ⎢ ⎥−⎣ ⎦

=

( )( )( )( )

sin /( , ) arcsin

cosh /

sinh /( , ) arctan

cos /

y Rx y

x R

x Rx y

y R

ϕ

λ

⎡ ⎤= ⎢ ⎥

⎣ ⎦⎡ ⎤

= ⎢ ⎥⎣ ⎦

Tabla 4: Direct and inverse formulas for the TM projection (Snyder 1984)

Figura 15: Conversion of ∆x, ∆y into ∆E, ∆N


81

COMENTARIOS

INPUT (xs, ys), TOL Coordinates and tolerance.

STEP 1: n = 0

STEP 2: ( )( )( )( )

sin /( , ) arcsin

cosh /

sinh /( , ) arctan

cos /

y Rx y

x R

x Rx y

y R

ϕ

λ

⎡ ⎤= ⎢ ⎥

⎣ ⎦⎡ ⎤

= ⎢ ⎥⎣ ⎦

With (xs, ys), a first point, (ϕ0, λ0), is determined using the TM projection for a sphere of radius R a b= (see tabla 4)

STEP 3:

( ) ( )

( ) ( )

2 2

, ,

, ,

( ) ( )

1

/tan/

n n

n n

n n n

n

n

R M N

x ymr

yx

ϕ λ ϕ λ

ϕ λ ϕ λ

ϕ ϕ

λ λ

λγλ

=

=

=

∂ ∂⎛ ⎞ ⎛ ⎞= +⎜ ⎟ ⎜ ⎟∂ ∂⎝ ⎠ ⎝ ⎠

∂ ∂= −

∂ ∂

The mean radius, the scale factor and the convergence of the meridian are calculated for the GK projection

STEP 4: 3 5,1 ,3 ,5

2 4,2 ,4

...

...n n n n n n n

n n n n n n

x a a a

y a a

λ λ λ

β λ λ

= − + −

= − + −

The pair (xn, yn)is computed for (ϕn, λn)

STEP 5: s n

n

s n

n

x xxm

y yym

−∆ =

−∆ =

The differences, corrected by the scale factor at the point, between real and calculated coordinates are determined

STEP 6: cos sinsin cos

n n

n n

E x yN x y

γ γγ γ

∆ = ∆ + ∆∆ = −∆ + ∆

The differences are converted into increments of Northings (∆N) and Eastings (∆E) (see figura 15)

STEP 7: If ∆N < TOL AND ∆E < TOL then OUTPUT else continue

Test of tolerance.

STEP 8:

11

1

1

( ) cos

n nn

n nn n

n nN

RE

N

δϕ ϕ

δλ λϕ ϕ

−−

−

= +

= +

= +

The differences of Northings (∆N) and Eastings (∆E) are converted into increments of latitude and longitude and added to previous latitude and longitude.

STEP 9: GOTO STEP 3

OUTPUT (ϕn, λn)

Tabla 5: Algorithm used to determine the latitude and the longitude from x and y.


82

III.1.3 Convergence of the method.

The iterative formula which describes the inverse transformation is:

1

1

1 ( ) cos

n nn

n nn n

NR

EN

ϕ ϕ

λ λϕ ϕ

−−

−

∆= +

∆= +

(3.21)

1

11

cos sin( ) cos

sin cos

n nn n

n n

n nn n

n

x yNx y

R

γ γλ λϕ ϕ

γ γϕ ϕ

−

−−

∆ + ∆= +

−∆ + ∆= +

(3.22)

( ) ( )

( ) ( )

1

11

cos sin1( ) cos

sin cos1

s n n s n nn n

n n n

s n n s n nn n

n n

x x y ym N

x x y ym R

γ γλ λ

ϕ ϕγ γ

ϕ ϕ

−

−−

− + −= +

− − + −= +

(3.23)

( ) ( ) ( )( )

( ) ( ) ( )( )

1

2

1, cos sincos

1, sin cos

s s

s s

g x x y ym N

g x x y ym R

ϕ λ λ γ γϕ

ϕ λ ϕ γ γ

= + − + −

= + − − + − (3.24)

where:

1 2 12 1

0

1 2( 1)2( 1)

0

( 1) ( )

( 1) ( )

Ki i

n i ni

Ki i

n i ni

x a

y a

ϕ λ

β ϕ λ

+ ++

=

+ ++

=

= −

= + −

∑

∑ (3.25)

and the an coefficients are defined as:

( )2 1

cos 11 1 cos 1n n

N na da n

n d

ϕ

η ϕϕ

−

=⎧⎪= ⎨ + >⎪⎩

(3.5)


83

III.1.3.1 Partial Derivatives

( ) ( ) ( )( )

( ) ( ) ( )( )

1

2

1, cos sincos

1, sin cos

s s

s s

g x x y ym N

g x x y ym R

ϕ λ λ γ γϕ

ϕ λ ϕ γ γ

= + − + −

= + − − + − (3.26)

To check the convergence, we should study the value of i jg x∂ ∂ where

i = 1, 2 and xj = λ, ϕ in the point (ϕs, λs). We begin computing 1g λ∂ ∂

( ) ( )( )

( )( )

( )( )

1 11 cos sincos

1 cos cos ...cos

... sin sin

s s

s

s

g x x y ym N

xx xm N

yy y

γ γλ λ ϕ

γ γϕ λ λ

γ γλ λ

⎛ ⎞∂ ∂= + − + −⎜ ⎟∂ ∂ ⎝ ⎠

∂ ∂⎡+ − − +⎢∂ ∂⎣∂ ∂ ⎤+ − − ⎥∂ ∂ ⎦

(3.27)

This expression can be written as:

( ) ( )

1 11 cos sincos

cos sincos coss s

g x ym N

x x y ym N m N

γ γλ ϕ λ λ

γ γλ ϕ λ ϕ

∂ ∂ ∂⎡ ⎤= − +⎢ ⎥∂ ∂ ∂⎣ ⎦

⎡ ⎤ ⎡ ⎤∂ ∂+ − + −⎢ ⎥ ⎢ ⎥∂ ∂⎣ ⎦ ⎣ ⎦

(3.28)

Taking the first part of the previous expression:

( ) 1, 1 cos sincos

x yAm N

ϕ λ γ γϕ λ λ

∂ ∂⎡ ⎤= − +⎢ ⎥∂ ∂⎣ ⎦ (3.29)

Replacing in it the definition m:

2 21

cosx ym

N ϕ λ λ∂ ∂⎛ ⎞ ⎛ ⎞= +⎜ ⎟ ⎜ ⎟∂ ∂⎝ ⎠ ⎝ ⎠

(3.30)

We have:

( )( ) ( )2 2

1, 1 cos sinx yAx y

ϕ λ γ γλ λλ λ

∂ ∂⎡ ⎤= − +⎢ ⎥∂ ∂⎣ ⎦∂ ∂ + ∂ ∂ (3.31)

Dividing numerator and denominator by x λ∂ ∂


84

( )2

1, 1 cos sin

1

yAxy

x

λϕ λ γ γλλ

λ

⎡ ⎤∂ ∂= − +⎢ ⎥∂ ∂⎣ ⎦⎛ ⎞∂ ∂

+ ⎜ ⎟∂ ∂⎝ ⎠

(3.32)

Applying the definition of tan γ:

tan yx

λγλ

∂ ∂=

∂ ∂ (3.33)

We have:

( ) [ ]

2

2

1, 1 cos tan sin1 tan1 11

cos 1 tan

A ϕ λ γ γ γγ

γ γ

= − ++

= −+

(3.34)

and according with:

21 1 tancos

γγ

= + (3.35)

We conclude that:

( ), 0A ϕ λ = (3.36)

So, the expression of the derivative (3.28) is:

( ) ( )1 cos sincos coss s

g x x y ym N m N

γ γλ λ ϕ λ ϕ

⎡ ⎤ ⎡ ⎤∂ ∂ ∂= − + −⎢ ⎥ ⎢ ⎥∂ ∂ ∂⎣ ⎦ ⎣ ⎦

(3.37)

Now, we compute 1g ϕ∂ ∂

( ) ( )( )

( ) ( )

( ) ( )

1 1cos sincos

1 cos coscos

sin sin

s s

s

s

g x x y ym N

x x xm N

y y y

γ γϕ ϕ ϕ

γ γϕ ϕ ϕ

γ γϕ ϕ

⎛ ⎞∂ ∂= − + − ⎜ ⎟∂ ∂ ⎝ ⎠

⎡ ∂ ∂+ − + −⎢ ∂ ∂⎣

⎤∂ ∂− + − ⎥∂ ∂ ⎦

(3.38)


85

This expression can be written as

( ) ( )

1 1 cos sincos

cos sincos coss s

g x ym N

x x y ym N m N

γ γϕ ϕ ϕ ϕ

γ γϕ ϕ ϕ ϕ

⎡ ⎤∂ ∂ ∂= − + +⎢ ⎥∂ ∂ ∂⎣ ⎦

⎛ ⎞ ⎛ ⎞∂ ∂− + −⎜ ⎟ ⎜ ⎟∂ ∂⎝ ⎠ ⎝ ⎠

(3.39)

The first part of the expression is:

( ) 1, cos sincos

x yBm N

ϕ λ γ γϕ ϕ ϕ

⎡ ⎤∂ ∂= − +⎢ ⎥∂ ∂⎣ ⎦

(3.40)

Replacing the value of m given by (3.30)

( )( ) ( )2 2

1, cos sinx yBx y

ϕ λ γ γϕ ϕλ λ

⎡ ⎤∂ ∂= − +⎢ ⎥∂ ∂⎣ ⎦∂ ∂ + ∂ ∂

(3.41)

As the projection is conformal, then the Cauchy−Riemann conditions will

be verified

cos

cos

x M yN

y M xN

ϕ ϕ λ

ϕ ϕ λ

∂ ∂= −

∂ ∂∂ ∂

=∂ ∂

(3.42)

( )( ) ( )2 2

1, cos sincosM y xB

Nx yϕ λ γ γ

ϕ λ λλ λ

∂ ∂⎡ ⎤= − − +⎢ ⎥∂ ∂⎣ ⎦∂ ∂ + ∂ ∂ (3.43)

Dividing numerator and denominator by ∂x/∂λ and applying the

definition of tan γ given by (3.33)

( )

[ ]

2

2

1, cos sincos

1

1 tan cos sincos1 tan

0

M yBN xy

x

MN

λϕ λ γ γϕ λλ

λ

γ γ γϕγ

⎡ ⎤∂ ∂= − − +⎢ ⎥∂ ∂⎣ ⎦⎛ ⎞∂ ∂

+ ⎜ ⎟∂ ∂⎝ ⎠

= − − ++

=

(3.44)


86

Then, the derivative of (3.39) is:

( ) ( )1 cos sincos coss s

g x x y ym N m N

γ γϕ ϕ ϕ ϕ ϕ

⎛ ⎞ ⎛ ⎞∂ ∂ ∂= − + −⎜ ⎟ ⎜ ⎟∂ ∂ ∂⎝ ⎠ ⎝ ⎠

(3.45)

Now, we will compute 2g λ∂ ∂

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )

2 1sin cos

1 sin sin

cos cos

s s

s

s

g x x y ym R

xx xm R

yy y

γ γλ λ

γ γλ λ

γ γλ λ

⎛ ⎞∂ ∂= − − + −⎡ ⎤ ⎜ ⎟⎣ ⎦∂ ∂ ⎝ ⎠

∂ ∂⎡+ − − + +⎢ ∂ ∂⎣∂ ∂ ⎤− − ⎥∂ ∂ ⎦

(3.46)

So, as before, we can write:

( ) ( )

2 1 sin cos

sin coss s

g x ym R

x x y ym R m R

γ γλ λ λ

γ γλ λ

∂ ∂ ∂⎛ ⎞= − −⎜ ⎟∂ ∂ ∂⎝ ⎠

⎛ ⎞ ⎛ ⎞∂ ∂− + −⎜ ⎟ ⎜ ⎟∂ ∂⎝ ⎠ ⎝ ⎠

(3.47)

Now we will examine the term:

( ) 1, sin cosx yCm R

ϕ λ γ γλ λ

∂ ∂⎛ ⎞= −⎜ ⎟∂ ∂⎝ ⎠ (3.48)

Dividing by ∂x/∂λ and applying the definition (3.33) of tan γ:

( ) ( )

( ) ( )

, sin cos

sin cos tan

0

x yCm R x

xm R

λ λϕ λ γ γλ

λγ γ γ

∂ ∂ ⎛ ⎞∂ ∂= −⎜ ⎟∂ ∂⎝ ⎠

∂ ∂= −

=

(3.49)

Therefore:

( ) ( )2 sin coss s

g x x y ym R m R

γ γλ λ λ

⎛ ⎞ ⎛ ⎞∂ ∂ ∂= − − + −⎜ ⎟ ⎜ ⎟∂ ∂ ∂⎝ ⎠ ⎝ ⎠

(3.50)

Finally, we will compute 2g ϕ∂ ∂


87

( ) ( )( )

( ) ( )

( ) ( )

2 11 sin cos

1 sin sin

cos cos

s s

s

s

g x x y ym R

xx xm R

yy y

γ γϕ ϕ

γ γϕ ϕ

γ γϕ ϕ

⎛ ⎞∂ ∂= + − − + −⎜ ⎟∂ ∂ ⎝ ⎠

⎡ ∂ ∂+ − − +⎢ ∂ ∂⎣

⎤∂ ∂+ − − ⎥∂ ∂ ⎦

(3.51)

As before, we can write:

( ) ( )

2 11 sin cos

sin coss s

g x ym R

x x y ym R m R

γ γϕ ϕ ϕ

γ γϕ ϕ

⎛ ⎞∂ ∂ ∂= + − +⎜ ⎟∂ ∂ ∂⎝ ⎠

⎛ ⎞ ⎛ ⎞∂ ∂− − + −⎜ ⎟ ⎜ ⎟∂ ∂⎝ ⎠ ⎝ ⎠

(3.52)

Now we will examine the term:

( ) 1, 1 sin cosx yDm R

ϕ λ γ γϕ ϕ

⎛ ⎞∂ ∂= + −⎜ ⎟∂ ∂⎝ ⎠

(3.53)

If we replace the definition of m given by m (3.30) and applying the

Cauchy−Riemman conditions:

( ) ( )( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )

2 2

2 2

2 2

sin coscos, 1

cos1 sin ...cos

... coscos

1 sin cos

x yNDR x y

N M yNR x y

M xN

M y x

R x y

γ ϕ γ ϕϕϕ λλ λ

ϕ γϕ λλ λ

γϕ λ

γ γλ λλ λ

∂ ∂ − ∂ ∂= +

∂ ∂ + ∂ ∂

⎛ ∂= + − +⎜ ∂⎝∂ ∂ + ∂ ∂

⎞∂− ⎟∂ ⎠

∂ ∂⎛ ⎞= + − −⎜ ⎟∂ ∂⎝ ⎠∂ ∂ + ∂ ∂

(3.54)


88

Dividing by x λ∂ ∂ , applying the definition (3.33) of tan γ and using the

trigonometric identity (3.35)

( ) ( )

( )

2

2

2

, 1 sin tan cos1 tan

1 sin tan cos1 tan

11cos1 tan

1 1

MDR

MR

MR

M MR N

ϕ λ γ γ γγ

γ γ γγ

γγ

= + − −+

= − ++

= −+

= − = −

(3.55)

Therefore, the derivative (3.52) can be written as:

( ) ( )2 sin cos1 s sg M x x y y

R m R m Rγ γ

ϕ ϕ ϕ⎛ ⎞ ⎛ ⎞∂ ∂ ∂

= − − − + −⎜ ⎟ ⎜ ⎟∂ ∂ ∂⎝ ⎠ ⎝ ⎠ (3.56)

So, we have

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )

1

1

2

2

cos sincos cos

cos sincos cos

sin cos

sin cos1

s s

s s

s s

s s

g x x y ym N m N

g x x y ym N m N

g x x y ym R m R

g M x x y yR m R m R

γ γλ λ ϕ λ ϕ

γ γϕ ϕ ϕ ϕ ϕ

γ γλ λ λ

γ γϕ ϕ ϕ

⎡ ⎤ ⎡ ⎤∂ ∂ ∂= − + −⎢ ⎥ ⎢ ⎥∂ ∂ ∂⎣ ⎦ ⎣ ⎦

⎛ ⎞ ⎛ ⎞∂ ∂ ∂= − + −⎜ ⎟ ⎜ ⎟∂ ∂ ∂⎝ ⎠ ⎝ ⎠

⎛ ⎞ ⎛ ⎞∂ ∂ ∂= − − + −⎜ ⎟ ⎜ ⎟∂ ∂ ∂⎝ ⎠ ⎝ ⎠

⎛ ⎞ ⎛ ⎞∂ ∂ ∂= − − − + −⎜ ⎟ ⎜∂ ∂ ∂⎝ ⎠ ⎝

⎟⎠

(3.57)

III.1.3.2 Proof of the convergence

The following theorem guarantees the convergence of the method:

If there is a root (ϕs, λs) of the system:

( )( )

1

2

,

,

g

g

λ ϕ λ

ϕ ϕ λ

=

= (3.58)

in the closed interval [ϕ1, λ1] x [ϕ2, λ2] being g1 y g2 of class C1 and

1 1 2 21 1 1 1, , ,2 2 2 2

g g g gλ ϕ λ ϕ∂ ∂ ≤ ∂ ∂ ≤ ∂ ∂ ≤ ∂ ∂ ≤ (3.59)


89

is verified, then exists an ε > 0 such that if the start value (ϕ0, λ0) of

the algorithm described in (3.21) is such that |ϕ0 − ϕs| < ε and |λ0

− λs| < ε, so the succession {ϕn, λn} fulfill:

, ..., 2, , 0,1

lim , limn s n s

n s n sn n

nϕ ϕ ε λ λ εϕ ϕ λ λ

→∞ →∞

− < − < =

→ → (3.60)

That is, (ϕs, λs) will be a fixed point.

With the previous results the local convergence is evident since the

solution verifies:

1 1

22

2 2 2

0, 0,

10, 1 1 12

g g

bg g ea

λ ϕ

λ ϕ

∂ ∂ = ∂ ∂ =

∂ ∂ = ∂ ∂ ≤ − = − − < (3.61)

The last condition of the equation (3.61) will be verify if

2 34

e < (3.62)

Moreover if in the expression (3.21) M is used instead of R M N= also

( )2 ,0

s sg

ϕ λϕ∂ ∂ = will be verified

III.2 Elements of the projection.

III.2.1 Convergence of the meridians.

Like the direct and inverse transformation, the convergence of the

meridian is usually expressed by a truncated series that is accurate

within a longitudinal range of ∆λ < 4º. As was previously stated, it would

be necessary to study if the simplifications made are acceptable for higher

values of ∆λ before applying the series to a large area. This is why an

alternative formulation is used. Since the an coefficients used in the direct

transformation formulas can be calculated for any longitudinal range and

coordinate precision required up to any value, it is easy to obtain the

partial derivative of x and y with respect to λ:


90

2 41 3 5

32 4

3 5 ...

2 4 ...

x a a a

y a a

λ λλ

λ λλ

∂= − + −

∂∂

= − + −∂

(3.63)

and then divide the first equation by the second equation to obtain the

convergence of the meridians according to equation (2.40):

/tan/

yx

λγλ

∂ ∂=

∂ ∂ (3.64)

III.2.2 Local scale factor

From equation (2.40), we can compute both m cos γ and m sin γ. So, it

follows that:

2 21 x ym

r λ λ∂ ∂⎛ ⎞ ⎛ ⎞= +⎜ ⎟ ⎜ ⎟∂ ∂⎝ ⎠ ⎝ ⎠

(3.65)

where the partial derivatives are given by equation (3.63).

III.2.3 Calculus of the curvature

As we saw in the previous chapter, when we have to compute both the

distances correction, equation (2.77), and the arc-to-chord correction,

equation (2.91), the value of the transformed geodesic curvature, Γ, is

used. This value can be computed using the Schols’ formula (Tardi, 1954):

1 ∂Γ =

∂m

m n (3.66)

The quantity ∂∂mn

is the derivative along the normal to the transformed

geodetic line. By definition, its value is:

,m m mn x y

⎛ ⎞∂ ∂ ∂= ⋅⎜ ⎟∂ ∂ ∂⎝ ⎠

n (3.67)

where n is the normal to the chord in the point. From (2.89):


91

21 2 2 1

1 2/3

1 2 2 11

2

22 33 3

4 23 3

3

x S

dy S Sdx S S

δ δ δ δδ

δ δ δ δδ

δ

=

− − ⎛ ⎞= − + + ⎜ ⎟⎝ ⎠

− −= − + +

= −

(3.68)

and

21 2 2 1

1 22 /3

1 2 2 11

1

2 2 22 33 3

8 4 4 43 3

3

x S

dy S Sdx S S

δ δ δ δδ

δ δ δ δδ

δ

=

− − ⎛ ⎞= − + + ⎜ ⎟⎝ ⎠

− −= − + +

=

(3.69)

Assuming than the tangent match up with the arc, the normal to the

curve in the points x = S/3 y x = 2 S/3 will be:

2 21/3

1 12/3

sin , cos3 3

sin , cos3 3

∂ ∂⎛ ⎞= ⎜ ⎟⎝ ⎠

∂ ∂⎛ ⎞= −⎜ ⎟⎝ ⎠

n

n (3.70)

The Gunderman’s theorem (Tardi and Laclavère, 1954) establishes that

the curvature of the transformed plane of a geodesic line varies very

slowly, so the normal to the transformed geodesic can be made locally

equal to the normal to the chord. So, the expression (3.67) can be

evaluated as:

( ) ( )

( ) ( )

3 ,0 3 ,02

3, 3,2

m s h m s hmx h

m s h m s hmy h

+ − −∂=

∂

− −∂=

∂

(3.71)

This makes it possible to evaluate expression (3.67) numerically, taking

two points A and B which are on the normal to the chord and close

enough to the point in which we want to calculate the curvature. The

distance between the points is 2h. This value can be chosen as a fraction

of the Cartesian distance between the starting and the end point.


92

Heuristic evaluation shows that one hundredth of the Cartesian distance

is a good choice. Nevertheless, the influence of h has been found of no

practical importance.

If the equation (3.71) is used it would be necessary to compute the local

scale factor in four points. With a little calculus it can possible to compute

it, using only two points. If we develop equation(3.67):

( )

( ) ( )

2 2

3, 0

2 2

3, 0 3, 0

, sin , cos3 3

sin cos3 3

S

S S

m m mn x y

m mx y

⎛ ⎞ ∂ ∂∂ ∂ ∂ ⎛ ⎞= ⋅ =⎜ ⎟ ⎜ ⎟∂ ∂ ∂ ⎝ ⎠⎝ ⎠

∂ ∂∂ ∂= +

∂ ∂

Multiplying and dividing by 2h each term of the second member of the

equation and adding and subtracting ( )3, 0Sm :

( )( ) ( )

( )2 2

3, 0 3, 03, 0 3, 0

1 2 sin 2 cos2 3 3S S

S S

m m mm h h mn h x y

⎛ ⎞∂ ∂∂ ∂ ∂⎜ ⎟= + + −⎜ ⎟∂ ∂ ∂⎝ ⎠

Rearranging terms:

( )

( ) ( )

( )( ) ( )

2 23, 0

3, 0 3, 0

2 23, 0

3, 0 3, 0

1 sin cos2 3 3

sin cos3 3

SS S

SS S

m m mm h hn h x y

m mm h hx y

⎡⎛ ⎞∂ ∂∂ ∂ ∂⎢⎜ ⎟= + + −⎜ ⎟∂ ∂ ∂⎢⎝ ⎠⎣

⎤⎛ ⎞∂ ∂∂ ∂ ⎥⎜ ⎟− −⎜ ⎟∂ ∂ ⎥⎝ ⎠⎦


93

Each term of the second member represents the linealization of the

calculus of the local scale factor in the points A and B of coordinates (see

figura 16)

2 2

/3

2 2/3

sin cos3 3

sin cos3 3

A s A

B s B

x x h y h

x x h y h

δ δ

δ δ

= + =

= − = − (3.72)

Figura 16: Calculus of the curvature

So

2 2 2 23 sin , cos 3 sin , cos

3 3 3 32

m S h h m S h hmn h

∂ ∂ ∂ ∂⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ − −⎜ ⎟ ⎜ ⎟∂ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠=∂

Assuming that the chord matches up with the geodesic and taking into

account (3.72) we obtain:

2

A Bm mmn h

−∂=

∂ (3.73)

III.2.3.1 Calculus of distances

The distance will be computed correcting the equation (2.75) with the

term (2.77). The formula used to computed the geodesic distance is:

2 31/2

1 124

s d dm

⎛ ⎞= − Γ⎜ ⎟⎝ ⎠

(3.74)

where:


94

1. m can be evaluated, according with the distance, with the

expresions (2.72), (2.73) or (2.74).

2. ( ) ( )2 21 0 1 0d x x y y= − + −

3. Τhe curvature of the transformed geodesic, Γ, is computed from

(3.73):

12

A Bm mm h

−Γ = (3.75)

III.2.4 Calculus of area

The area is computed using equation (2.83):

2 2 20 1/2 1

1 1 4 1 '6GKS S

m m m⎛ ⎞

= + +⎜ ⎟⎝ ⎠

(2.83)

, and the local scale factor computed with equation (3.65):

2 21 x ym

r λ λ∂ ∂⎛ ⎞ ⎛ ⎞= +⎜ ⎟ ⎜ ⎟∂ ∂⎝ ⎠ ⎝ ⎠

(3.65)

III.2.5 Arc−to−chord correction.

To compute the arc-to-chord correction the expression:

1 1/ 32dδ = Γ (3.76)

deduced from equation(2.91), where both d and Γ1/3 are computed as in

the previous paragraph, will be used. So, to compute the value of δ1 it is

necessary to compute previously the value of δ2 given by the equation

(2.92).

22 / 3

2Sδ

Γ =

Therefore the system of two equations:


95

1 1/3

1/31/3

2 2/32/32/3

12 2

12 2

S S mm n

S S mm n

δ

δ

∂= Γ =

∂

∂= Γ =

∂

2 21

1/3 1/3

1 12

2/3 2/3

1 , sin , cos2 3 3

1 , sin , cos2 3 3

S m mm x y

S m mm x y

δ

δ

⎛ ⎞ ∂ ∂∂ ∂ ⎛ ⎞= ⋅⎜ ⎟ ⎜ ⎟∂ ∂ ⎝ ⎠⎝ ⎠

⎛ ⎞ ∂ ∂∂ ∂ ⎛ ⎞= ⋅ −⎜ ⎟ ⎜ ⎟∂ ∂ ⎝ ⎠⎝ ⎠

(3.77)

must be solved. To do so, an iterative method will be used. A first value of

δ2 is computed assuming that δ1 is cero. This value is replaced in (3.77) to

compute δ1 y δ2. Once this new value of δ2 is obtained, a definitive value

for δ1 is obtained. If distances are small, less than 10 km, the processes

can be simplified assuming that the normal to the chord and to the

geodesic matches and then, the coordinates of A and B are:

/3

/3

A s A

B s B

x x y hx x y h

= == = −

(3.78)

III.2.6 Angular distortion in the Gauss–Krüger projection

As we have seen in the previous section the equations of the

Gauss−Krüger projection verifies the Cauchy−Riemann conditions.

However any finite development of the series does not verify the second

condition.

If we consider a finite series of K terms, equations (2.59) become:

( ) ( )

( ) ( )

1 2 12 1

1

22

1

1

1

Kn n

nn

Kn n

nn

x a

y a

λ

β λ

+ −−

=

=

= − ∆

= + − ∆

∑

∑ (3.79)

and equations (3.10), (3.11), (3.12) and (3.13) in:

( ) ( ) ( )

( ) ( )

1 2 122

1

2 12

1

1 cos 1 2

1 2

Kn n

nn

Kn n

nn

x n a

y n a

η ϕ λϕ

λλ

+ −

=

−

=

∂+ = − ∆

∂∂

= − ∆∂

∑

∑ (3.80)


96

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

11 2 12

2 11

1 2 12 1

1

1 cos 1 2 1

1 2 1

Kn n

nn

Kn n

nn

y n a

x n a

η ϕ λϕ

λλ

++ −

−=

+ −−

=

∂+ = − − ∆

∂∂

= − − ∆∂

∑

∑ (3.81)

Unless from (3.80) the first condition is verified; from (3.81) the

difference, in absolute value, between the two terms is:

( ) ( )22 12 1 K

K KK a λ+∆ = + ∆ (3.82)

Furthermore if starting from a certain value of k, the terms ηk are

neglected then the first condition will not be verified. So with the help of

Mathematica® the angular distortion of the UTM projection can be

studied (Enríquez, 1996 and Enríquez, 1999).

To compute the angular distortion, the Tissot's indicatrix will be used

according with the procedure described in the chapter 2. The semiaxis are

the solution of the equation (see tabla 3)

( )

( )

2 22

2 22

1 1 1 1

1 1 1 1

y x x ya bM r M r

y x x ya bM r M r

ϕ λ ϕ λ

ϕ λ ϕ λ

⎛ ⎞ ⎛ ⎞∂ ∂ ∂ ∂+ = + + −⎜ ⎟ ⎜ ⎟∂ ∂ ∂ ∂⎝ ⎠ ⎝ ⎠

⎛ ⎞ ⎛ ⎞∂ ∂ ∂ ∂− = − + +⎜ ⎟ ⎜ ⎟∂ ∂ ∂ ∂⎝ ⎠ ⎝ ⎠

(3.83)

and the maximum angular distortion is given by:

sin a ba b

ω −=

+ (3.84)

The steps to take with the Matematica® (Enríquez, 1999) are:

1. Upload of the coefficients and the functions to be used.

2. Definition of the equation.

3. Calculus of the partial derivatives.

4. Multiply each partial derivative by its corresponding factor.

5. Solve the system of equations (3.83), so the values of a and b are

obtained.

6. Compute ω from equation (3.84).


97


98

The instructions are:

(* Upload a package with all the auxiliary functions… *) In[]: <<:\Mathematica\geodesy.m (* and the coefficients*) In[]: coef << D:\Universidad\Doctorado\Mathematica\coefk30an90; (* The terms of degree > 4 are neglected and the numbers of terms is reduced to 6 *) In[]: SmallTerms ={η[x_]k_ :> 0 /; k > grado}; In[]: grado = 4; In[]: nterms = 6; In[]: coef= coef /. SmallTerms;

Definition of the equations:

(* The equation of the GK projection are defined *)

( ) [ ]( )

[ ] ( ) [ ]( )

/21 2 1

1

/22

1

[] : [ _, _] : 1 2 1 / .

[] : [ _, _] : 1 2 / .

ntermsi i

i

ntermsi i

i

In xGK lat coef i lat

In yGK lat LengthMeridian lat coef i lat

λ ϕ λ

λ ϕ λ

+ −

=

=

⎡ ⎤= − − →⎣ ⎦

⎡ ⎤= + − →⎣ ⎦

∑

∑

(* and so the UTM *) [] : [ _, _] : 500 000 0 [ _, _][] : [ _, _] : 0 [ _, _]

In xUTM lat k xGK latIn yUTM lat k yGK lat

λ λλ λ

= +=

Calculus of the partial derivatives

(* Partials for the x function *) In[]: dxϕ = Collect[D[xUTM[ϕ, λ], ϕ]/Mradius[ϕ], λ, FullSimplify] In[]: dxλ = Collect[D[xUTM[ϕ, λ], λ]/(Nradius[ϕ] Cos[ϕ]), λ, FullSimplify] (* Partials for the y function *) In[]: dyϕ = Collect[D[yUTM[ϕ, λ], ϕ]/Mradius[ϕ], λ, FullSimplify] In[]: dyλ = Collect[D[yUTM[ϕ, λ], λ]/(Nradius[ϕ] Cos[ϕ]), λ, FullSimplify]

The system of equations (3.83) that defines the semiaxis of Tissot’s

indicatrix is:

In[]: aplusbsquared = Simplify[(dyϕ + dxλ)^2 + (dxϕ - dyλ)^2]; In[]: aminusbsquared = Simplify[(dyϕ − dxλ)^2 + (dxϕ + dyλ)^2];

The values of the semiaxis are obtained by solving the system

In[]: asemiaxis = (Sqrt[aplusbsquared] + Sqrt[aminusbsquared])/2; In[]: bsemiaxis = (Sqrt[aplusbsquared] − Sqrt[aminusbsquared])/2;

and then, the angular distortion, ω, can be obtained


99

In[]: ω = 2 ArcSin[(asemiaxis - bsemiaxis)/(asemiaxis + bsemiaxis)]

The solution for latitude of 40º N and with the longitude varying from 0º

to 3º can be seen in the figura 17. The instructions are:

In[]:deformacionlongitud = ω /. {ϕ→40 Degree, λ→λ Degree}; In[]:Plot[%,{λ, 0, 3}, AxesLabel→{"λ","ω"}]

The result is:

Figura 17: Angular distortion in milliseconds of the UTM projection for a constant latitude ϕ = 40º

For a longitude equal to 1º 30’ and the latitude varying from 0ª to 80º, the

solution is given in the figura 18. The instructions are:

In[]:deformacionlongitud = ω /. {ϕ→ ϕ Degree, λ→1.5 Degree}; In[]:Plot[%, {ϕ, 0, 80}, AxesLabel→{"ϕ","ω"}]

The result is:

Figura 18: Angular distortion in milliseconds of the UTM projection for a constant longitude λ = 1º 30’

In both cases, the maximum error is less than 0.001’’.

0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 3.0λ

0.05

0.10

0.15

ω

20 40 60 80j º

0.002

0.004

0.006

0.008

w


100

III.2.7 Tissot’s artifice

If the Tissot’s artifice is applied following the procedure described in the

previous chapter, we will have:

( )0

12

1

ε

ε

⎛ ⎞+⎜ ⎟⎝ ⎠=

+k (3.85)

Tabla 6 shows the results for different wide zones (0 < ∆λ < 60º) and

latitudes (0 < ϕ < 80º). The value used in the UTM projection is written in

red.

ϕ

λ 0 10 20 30 40 50 60 70 80

0 1.000000 1.000000 1.000000 1.000000 1.000000 1.000000 1.000000 1.000000 1.000000

3 0.999310 0.999331 0.999391 0.999484 0.999596 0.999716 0.999828 0.999920 0.999979

6 0.997242 0.997326 0.997568 0.997937 0.998388 0.998867 0.999316 0.999680 0.999918

9 0.993802 0.993992 0.994536 0.995367 0.996383 0.997459 0.998466 0.999283 0.999815

12 0.988999 0.989337 0.990307 0.991787 0.993593 0.995503 0.997287 0.998733 0.999674

15 0.982846 0.983376 0.984898 0.987215 0.990037 0.993014 0.995789 0.998036 0.999495

18 0.975359 0.976127 0.978328 0.981674 0.985737 0.990012 0.993987 0.997198 0.999280

21 0.966558 0.967610 0.970623 0.975191 0.980721 0.986522 0.991897 0.996228 0.999031

24 0.956467 0.957853 0.961814 0.967802 0.975025 0.982570 0.989538 0.995136 0.998751

27 0.945113 0.946884 0.951936 0.959547 0.968686 0.978191 0.986933 0.993933 0.998444

30 0.932527 0.934737 0.941029 0.950472 0.961751 0.973422 0.984107 0.992631 0.998112

33 0.918742 0.921450 0.929141 0.940629 0.954272 0.968304 0.981086 0.991245 0.997759

36 0.903797 0.907065 0.916322 0.930080 0.946306 0.962884 0.977902 0.989789 0.997389

39 0.887736 0.891628 0.902630 0.918891 0.937919 0.957211 0.974586 0.988278 0.997005

42 0.870608 0.875193 0.888127 0.907138 0.929187 0.951342 0.971171 0.986728 0.996613

45 0.852475 0.857816 0.872876 0.894906 0.920191 0.945336 0.967691 0.985156 0.996217

48 0.833408 0.839562 0.856946 0.882284 0.911028 0.939256 0.964183 0.983579 0.995820

51 0.813498 0.820506 0.840403 0.869374 0.901808 0.933174 0.960680 0.982015 0.995427

54 0.792859 0.800733 0.823307 0.856281 0.892659 0.927164 0.957216 0.980479 0.995044

57 0.771634 0.780341 0.805713 0.843116 0.883732 0.921310 0.953820 0.978988 0.994673

60 0.749999 0.759450 0.787663 0.829991 0.875212 0.915704 0.950515 0.977558 0.994321

Tabla 6: Tissot’s artifice values for different latitudes and longitudes.


101


102

Capítulo IV: Results and discussion

In this chapter the formulas are applied to different examples to prove

both their goodness and their limitations. In all the cases the results are

better than the classics ones.

IV.1 Calculus of the coefficients.

IV.1.1 The direct transformation

Once the way to determinate the coefficients an has been established in

the previous chapter, the next step is to determine the precision of the

development.

We will calculate the values of all the coefficients up to a40 ∆λ40, for a

different width zone, (∆λ = 3º, 5º,10º, 15º, 20º, 25º, 30º, 40º, 50º, 60º, 70º),

with different degrees, up to 20, and for latitude varying from 0º to 80º in

a 10º interval. The calculations were made on the WGS84 ellipsoid

(a = 6 378 137 m, e2 = 0. 00669438).

The first step is to calculate the order of magnitude, 10p, of the quantities

involved in the whole the process. Tabla 7 shows the highest of these

values for each coefficient according to the different width zone and for all

the latitudes.


103

an ∆λn ∆λ

3º 5º 10º 15º 20º 25º 30º 40º 50º 60º 70º 1 6 6 6 6 6 6 7 7 7 7 72 4 4 5 5 5 5 6 6 6 6 63 2 3 4 4 5 5 5 6 6 6 64 0 1 3 3 4 4 4 5 5 6 65 –1 0 2 3 3 4 4 5 5 6 66 –3 –1 1 2 2 3 3 4 5 5 67 = –3 0 1 2 2 3 4 4 5 68 = = –2 0 1 2 2 3 4 5 59 = = –2 –1 0 1 2 3 4 5 5

10 = = –3 –2 0 1 1 3 4 4 511 = = = –2 –1 0 1 2 3 4 512 = = = –3 –2 –1 0 2 3 4 513 = = = = –2 –1 0 1 3 4 514 = = = = –3 –2 –1 1 2 4 415 = = = = = –2 –1 1 2 3 416 = = = = = –3 –2 0 2 3 417 = = = = = –3 –2 0 2 3 418 = = = = = = –3 0 1 3 419 = = = = = = –3 –1 1 3 420 = = = = = = = –1 1 2 421 = = = = = = = –1 1 2 422 = = = = = = = –2 0 2 323 = = = = = = = –2 0 2 324 = = = = = = = –3 –1 1 325 = = = = = = = –3 0 1 326 = = = = = = = = –2 1 227 = = = = = = = = –1 1 328 = = = = = = = = –2 0 229 = = = = = = = = –2 1 330 = = = = = = = = –2 0 231 = = = = = = = = –2 0 332 = = = = = = = = –3 0 233 = = = = = = = = –3 0 234 = = = = = = = = –3 0 235 = = = = = = = = –3 0 236 = = = = = = = = –3 –1 237 = = = = = = = = = –1 238 = = = = = = = = = –1 239 = = = = = = = = = –1 240 = = = = = = = = = –1 1

Tabla 7: Order of magnitude (10p) of the an ∆λn terms.

In all the tables, the values that are not influenced by the degree and

those less than one millimeter (p < −3) have been omitted.

Tabla 7 shows that more than 20 terms are necessary to achieve a 10 m

precision for a 50º width zone, so that it will be necessary to take more

terms to achieve a development for wider zones. On the other hand, the

influence of the degree has not been studied yet, and this is an important

issue, because the number of terms of each coefficient, and hence the

computational time to calculate them, increases rapidly. For example, for


104

a degree equal to 2, the numbers of terms in the coefficient a20 is 19, while

for a degree equal to 20, the number of terms is 100. So, to avoid

calculating unnecessary terms, the first approach was to fix a width zone

(∆λ = 10º) and to make all the calculus for different degrees and different

latitudes (ϕ = 0º, 10º, 20º, …, 80º). By way of example, table 2 shows the

values of the coefficients, up to the term n = 20, for a fixed latitude

(ϕ = 10º). In none of the cases a strong dependence upon the degree can be

found, even though it does exist.

an ∆λn ηk

2 4 6 8 10 12 14 16 18 20

1 3289180.922

2 –149529.410

3 –142180.322

4 16657.811 16658.378

5 8760.840 8761.752 8761.754

6 –1788.171 –1788.703 –1788.705

7 –586.202 –586.439 –586.440

8 188.700 188.882 188.884

9 38.490 38.523 38.524

10 –19.589 –19.632 –19.633

11 –2.195 –2.196

12 1.996 2.004

13 0.069 0.069

14 –0.199 –0.200

15 0.007 0.008

16 0.019 0.019

17 –0.002 –0.002

18 –0.002 –0.002

19 0.000 0.000

20 0.000 0.000

X 3440749.031 3440750.214 3440750.217

Y 168185.897 168187.229 168187.234

Tabla 8: Value of the an ∆λn coefficients for a 30º width zone in a 10º latitude and for different values of ηk.

Taking into account the previous facts, up to the 90th term of the

development will be calculated, but limiting the degree up to 30.


105

Now the first results of the thesis are shown. Remember that the first

goal is:

To develop a method which allows to determine the number

of terms necessary to achieve a desired precision in terms of

the width zone, ∆λ, and the latitude.

The results are shown from tabla 9 to tabla 13.

ϕ ∆λ

3 5 10 15 20 25 30 40 50 60 70

0 3 3 5 7 7 9 11 16 21 29 51

10 3 4 5 7 8 10 10 14 20 29 47

20 3 4 6 6 8 9 11 15 20 27 43

30 3 4 5 7 7 9 9 14 19 25 38

40 3 4 5 7 7 9 10 14 16 22 32

50 3 4 5 6 7 8 9 12 15 21 27

60 3 4 5 6 6 8 9 10 13 17 23

70 3 3 4 6 6 7 8 10 12 15 18

80 3 3 4 5 5 6 7 9 10 10 14

Tabla 9: Number of terms (order) necessary to achieve a 10 m precision according with the latitude and the zone width.

ϕ ∆λ

3 5 10 15 20 25 30 40 50 60 70

0 3 5 7 7 9 11 13 17 25 35 61

10 4 5 6 8 10 10 12 18 23 34 57

20 4 5 6 8 9 11 13 17 22 34 53

30 4 4 6 7 9 11 12 16 22 30 45

40 4 5 6 7 9 10 12 16 21 27 39

50 4 5 6 7 8 10 11 14 18 24 33

60 4 5 6 6 8 9 10 13 17 20 27

70 3 4 6 7 7 8 10 11 15 16 20

80 3 4 5 6 7 8 8 10 12 14 15

Tabla 10: Number of terms (order) necessary to achieve a 1 m precision according with the latitude and the zone width.


106

ϕ ∆λ

3 5 10 15 20 25 30 40 50 60 70

0 5 5 7 9 11 13 15 21 27 41 71

10 5 6 7 9 10 12 14 20 27 40 70

20 5 6 6 9 11 13 15 20 27 39 62

30 4 6 7 9 11 12 14 19 25 35 55

40 5 5 7 9 10 12 13 18 24 32 47

50 5 5 7 8 10 11 12 17 21 27 37

60 4 5 6 8 9 10 12 15 19 24 31

70 4 5 6 7 8 10 11 12 16 20 24

80 4 4 5 7 8 9 9 10 14 15 19

Tabla 11: Number of terms (order) necessary to achieve a 0.1 m precision according with the latitude and the zone width.

ϕ ∆λ

3 5 10 15 20 25 30 40 50 60 70

0 5 5 9 11 13 15 17 23 31 47 83

10 5 6 8 10 12 14 16 23 31 46 81

20 5 6 8 10 12 13 16 22 30 44 72

30 5 6 8 9 12 14 16 22 29 40 63

40 5 6 8 10 12 13 16 19 27 36 53

50 5 6 8 9 11 12 15 18 24 31 43

60 5 6 7 9 10 12 13 17 21 27 35

70 5 6 7 8 10 11 12 15 19 23 28

80 4 5 7 8 9 10 10 13 15 18 21



107

ϕ ∆λ

3 5 10 15 20 25 30 40 50 60 70

0 5 7 9 11 13 15 17 25 33 51 89

10 6 7 9 11 12 16 18 23 33 49 85

20 6 6 9 11 13 15 18 24 32 46 77

30 6 7 9 11 12 14 17 22 30 43 66

40 5 7 8 10 12 13 16 21 27 38 56

50 5 6 8 10 12 14 15 20 25 34 46

60 5 6 8 9 10 13 14 17 23 28 38

70 5 6 7 9 10 12 12 16 20 24 29

80 5 5 7 8 9 10 10 14 16 19 21


Figura 19, 20 and 21 show, in graphical form, the same relationship for

low, medium and high latitudes.

Figura 19: Relationship among order, width zone and precision at low latitudes (ϕ = 0º).

1

10

100

0 10 20 30 40 50 60 70

n

λº

10 m

1 m

0.1 m

0.01 m

0.001 m


108



Once n is fixed, all the differences, { }2( 1), 2 2( 1), 2,+ +∆ ∆h h h hn nx y , defined according

equation (3.15), from, h = 1 to 14, since the degree is 30, with the latitude

varying from 0º to 80º will have to be calculated. We are only interested in

those values of h which make the differences bigger than our tolerance,

usually, 0. 001 m. These results are shown with more detail by looking at

the plot of the differences. Figura 22 is the plot for the difference

1

10

100

0 10 20 30 40 50 60 70

n

λº

10 m

1 m

0.1 m

0.01 m

0.001 m

1

10

100

0 10 20 30 40 50 60 70

n

λº

10 m

1 m

0.1 m

0.01 m

0.001 m


109

{ }4,2 4,290 90,∆ ∆x y for a 10º-width zone. The rest of the differences for this width

zone are negligible (less than 0.001 m).

4, 2 4 290 90 90x x x∆ = −

20 40 60 80 ϕ

-0.015

-0.010

-0.005

0.005

0.010

0.015

m

4, 2 4 290 90 90y y y∆ = −

20 40 60 80 ϕ

-0.015

-0.010

-0.005

0.005

0.010

0.015 m

Figura 22: Difference{ }4,2 4,2

90 90,x y∆ ∆ for a 10º−width zone.

The same procedure is repeated for the different width zone, but only the

results for 70º are shown from figura 23 to figura 26.


110

6, 4 6 490 90 90x x x∆ = −

20 40 60 80 ϕ

-150

-100

-50

50

100

150 m

6,4 6 490 90 90y y y∆ = −

20 40 60 80 ϕ

-150

-100

-50

50

100

150 m

Figura 23: Difference { }6,4 6,4

90 90,∆ ∆x y for a 70º−width zone.


111

8,6 8 890 90 90x x x∆ = −

20 40 60 80 ϕ

-10

-7.5

-5

-2.5

2.5

5

7.5

10 m

8,6 8 890 90 90y y y∆ = −

20 40 60 80 ϕ

-10

-7.5

-5

-2.5

2.5

5

7.5

10 m




112

10,8 10 890 90 90x x x∆ = −

20 40 60 80 ϕ

-0.4

-0.2

0.2

0.4

m

10,8 10 890 90 90y y y∆ = −

20 40 60 80 ϕ

-0.4

-0.2

0.2

0.4

m




113

12,10 12 1090 90 90x x x∆ = −

20 40 60 80 ϕ

-0.100

-0.075

-0.050

-0.025

0.025

0.050

0.075

0.100 m

12,10 12 1090 90 90y y y∆ = −

20 40 60 80 ϕ

-0.100

-0.075

-0.500

-0.025

0.050

0.075

0.100 m

0.025

Figura 26: Difference { }12,10 12,1090 90,∆ ∆x y for a 70º−width zone.


114

14,12 14 1290 90 90x x x∆ = −

20 40 60 80 ϕ

-0.0100

-0.0075

-0.0050

-0.0025

0.0025

0.0050

0.0075

0.0100 m

14,12 14 1290 90 90y y y∆ = −

20 40 60 80

-0.0100

-0.0075

-0.0050

-0.0025

0.0025

0.0050

0.0075

0.0100 m

Figura 27: Difference { }14, 10 14,10

90 90,x y∆ ∆ for a 70º−width zone.

Therefore, the first conclusion is: the final result will be a function of the

degree and is dependent upon the width of the zone to be considered.

According to the plots, for a 10 m precision at 70º latitude it is necessary

to take a degree equal to six, but the degree must be 14 if a 0.001 m

precision is required.

In all cases, the greatest differences, contrary to Redfearn’s intuition, are

found at low latitudes and not at higher ones.


115

Tabla 14 shows the relationship among precision, width zone and degree.

precision (m)

∆λ 10 1 0.1 0.01 0.001

3º 2 2 2 2 2

5º 2 2 2 2 2

10º 2 2 2 4 4

15º 2 2 2 4 4

20º 2 2 4 4 4

25º 2 4 4 4 6

30º 2 4 4 4 6

40º 4 4 4 6 6

50º 4 4 6 6 8

60º 4 6 8 8 10

70º 6 8 10 12 14

Tabla 14: Influence of degree ηk

These data are now going to be applied to answer the third question. In

practice, few applications, except those for precision surveying and

geodesy, need a precision of less than 1 m, although it is often used to

prevent computer-rounding error (Clarke, 1995).

The results will be applied to a rectangle of 30º width and the latitude

varying from 30º to 50º. This rectangle, centered in the 100º WG

meridian, would cover the continental USA with the exception of Alaska.

The map scale will be 1 : 200 000, so the required graphical precision is:

0.2 mm x 200 000 = 40.0 m

According to tabla 9 and tabla 14, it would be sufficient to expand the

series up to the term 8 and the degree equal to 2. But, if in the future it is

necessary to map, the same zone at a bigger scale, for example 1 : 50000,

or to zoom in with more detail, the data cannot take ‘as they are’ or else

serious errors will be made in all the calculus. On the other hand, if

attention had been paid to the internal precision and not to the graphical

precision, we would have been more conservative and would have had to

work with a 1 m (order = 13, degree = 4), or even greater, precision, and

this would have allowed to work up to a 1 : 5 000 scale.


116

The full set of instructions to get the development of the series for a

30º−wide zone with an error less than one millimeter is:

2

2

k_

[ ]In[1] : Nradius'[ _] := Tan[ ] Nradius[ ]1 [ ]

In[2] : '[ _] : [ ] Tan[ ]

In[3] : SmallTerms = { [x_] :> 0 /; k > deg}

η ϕϕ ϕ ϕ

+ η ϕη ϕ = −η ϕ ϕ

η

(* Definitionof the derivatives*)

(* Definitionof the simplification*)

(* Definit

2

In[4] : CoefA[1, _] := Nradius[ ] Cos[ ]In[5] : CoefA[n_, _] := Simplify[(1 + [ ] )Cos[ ] D[CoefA[n - 1, ], ] /. SmallTerms]

nIn[6] : seriesTerm[n_] := Table[Coe

ϕ ϕ ϕϕ

η ϕ ϕϕ ϕ

ionof thecoefficients in a recursive form*)

fA[i, ], {i, 1, n}]

In[7] : deg = 6; "In[8] : result = seriesTerm[17];

ϕ(* Generation of a serie up to order 17 and degree 6 *)(* Data from Table 6 and Table 8 *)

(* the ;" avoids theoutput*)

(* Evaluationof the s

2 2

2

2

In[9] : a = 6378137. ; e = 0.00669438;aIn[10] : Nradius[ _] :=

1 e Sin [ ]

eIn[11] : [ _] : Cos[ ]1 e

In[12] : FortranForm[result] *In

ϕ− ϕ

η ϕ = ϕ−

erie*)

(*Values for theWGS84 ellipsoid*)

(* Hereis theexpressionin Fortran Form )[13] : CForm[result] (* Hereis the sameexpressioninC Form*)


117

IV.2 Calculus of the elements of the projection

IV.2.1 Presenting the problem

The previous methods will be applied to a set of points located on two

regular grids. For the first grid (starting points) the latitude of the points

ranges from 0º to 80º. The longitude ranges from 1º to 51º. The difference

in longitude and latitude is 10º. The second grid (end points) is obtained

by adding 3º in latitude and 2º in longitude to the coordinates of the first

grid, so the coordinates of this grid range from 3º to 84º in latitude, and

from 3º to 53º in longitude.

The distance and azimuth between corresponding points in both grids will

be calculated. Because of the symmetry of the ellipsoid both distance and

azimuth will be independent of longitude. For example, the distance and

azimuth between the point {0º, 1º} and its corresponding location on the

second grid {3º, 3º} will be equal to the distance and azimuth for the pairs

{0º, 11º}−{3º, 13º}, {0º, 21º}-{3º, 23º}, …, {0º, 51º}−{3º, 53º}. Differences

among all the values will be a measure of the precision of the calculation

procedure.

The coordinates of the different grid points will be calculated first. The

results are shown in tabla 15 and tabla 16. As we want obtain with

0.001 m precision, according to tabla 13 and tabla 14, the order of the

series expansion will be 51 and the degree will be 10.


118

∆λ ϕ 1º 11º 21º 31º 41º 51º

0º 111325.1810.000

1232158.8430.000

2392267.4470.000

3634163.6490.000

5016287.0300.000

6631288.7310.000

10º 109644.6301106020.998

1213100.5651126263.746

2352716.9781183345.832

3566813.2721286965.782

4905855.2651457761.405

6443943.1251739069.671

20º 104651.1842212678.628

1156599.2952250669.868

2236226.0272357115.006

3370922.6772547673.949

4591894.7402853885.149

5933591.9073335541.797

30º 96488.7483320534.437

1064627.2353371612.115

2048874.1903513347.073

3062915.8643761965.904

4117092.8434147599.641

5211755.5774719791.630

40º 85394.6204430008.068

940320.8024487942.901

1799625.5064646854.658

2664661.3044919106.470

3530661.5575325471.074

4380832.1515894778.764

50º 71695.1265541326.346

787788.8685599105.199

1499058.5115755696.761

2198590.8456017720.443

2874395.9166394946.512

3506470.8226898064.647

60º 55798.5866654494.533

611898.8146705177.220

1158251.8166841032.706

1684566.9087063657.927

2177996.2767374606.369

2622346.6137773776.952

70º 38185.0567769293.869

418070.6817806835.872

788046.5367906587.208

1138745.5418067419.585

1460255.4968287065.881

1742163.4318561571.749

80º 19392.5608885306.537

212097.8998905256.029

398721.1378957964.487

573825.5049042084.135

732168.2749155396.861

868837.1969294793.658

Tabla 15: Gauss–Krüger coordinates of the initial points grid.

∆λ ϕ 3º 13º 23º 33º 43º 53º

3º 333656.530332183.348

1457760.852340496.093

2628529.767360533.028

3890317.199395947.006

5305586.008 454546.905

6975571.838553600.285

13º 325588.9051439629.556

1421367.8711474449.636

2557856.0821558019.260

3772133.1971704413.411

5112464.863 1942672.250

6646632.4332332794.828

23º 307665.9372547686.755

1340829.7902604678.881

2402951.6402740231.791

3517703.2212973382.812

4709837.275 3340663.041

6000540.8003908269.187

33º 280412.1543656748.554

1219132.2963728869.900

2172455.6993898285.469

3149455.2864182673.340

4153555.747 4612785.561

5174373.4715235776.923

43º 244630.8724767089.769

1060616.4034845520.182

1877834.3385027168.970

2693751.6865324101.464

3498864.042 5754957.627

4271263.7946343145.629

53º 201386.3555878832.673

870665.9775954094.264

1531704.6596125971.846

2175372.0356399905.814

2787729.831 6782957.761

3347951.4537281303.086

63º 151977.6446991930.821

655395.4817055036.889

1146559.5637197387.518

1614742.9377419450.282

2047255.644 7720912.341

2429135.2588099318.476

73º 97903.1688106173.047

421384.1938149667.778

734076.0788246871.028

1027503.9278396139.660

1293014.163 8594607.479

1521934.3198837857.270

83º 40816.0709221207.925

175477.7309239993.733

304952.1729281752.107

425375.9259345310.097

533103.469 9428855.083

624813.9689529958.450

Tabla 16: Gauss–Krüger coordinates of the final points grid.


119

IV.2.2 The inverse transformation

To illustrate the performance of the algorithm used for the inverse

transformation, the geographic coordinates of the grid points can be

calculated. By way of an example, tabla 17 shows all intermediate results

for one point and demonstrates the quick convergence of the method.

According to the required precision the tolerance value was set equal to

0.001 m.

n ϕ (dd.mmss) λ (dd.mmss) M γ (dd.mmss) ∆N (m) ∆E (m) δ (m)

1 22.595896 52.595986 1.479022 27.301514 −648.661 7738.087 7765.227

2 22.596000 52.596000 1.477962 27.335604 4.098 32.033 32.294

3 22.596000 53.000000 1.477959 27.335716 8.7 10–5 0.128 0.128

4 22.596000 53.000000 1.477959 27.335716 2.0 10–9 5.1 10–4 5.1 10–4

Tabla 17: Calculus of the geographic coordinates in the GK−projection for a point.

The convergence is reached, independently of the latitude and the wide

zone, in a maximum of four steps.

IV.2.3 Local scale factor.

The next step will be the calculus of the distances between corresponding

points. Tabla 18 shows the distances between points, specified, by the

initial point, with the classic formula, equation (2.75), while tabla 19

shows the distances computed with the formula (3.74).

ϕ λ 0º 10º 20º 30º 40º 50º 60º 70º 80º

1º 399456.088 397148.091 391498.982 383052.262 372666.053 361477.583 350825.883 342110.704 336579.999

11º 399456.337 397148.676 391499.844 383053.241 372666.956 361478.264 350826.289 342110.876 336580.032

21º 399457.156 397151.233 391503.489 383057.006 372670.031 361480.281 350827.318 342111.237 336580.088

31º 399459.085 397158.198 391512.683 383065.354 372675.819 361483.388 350828.536 342111.516 336580.097

41º 399463.474 397175.031 391532.063 383079.730 372683.490 361486.206 350828.978 342111.301 336579.983

51º 399474.413 397215.891 391568.780 383098.882 372689.328 361486.034 350827.423 342110.246 336579.702

Tabla 18: Distances, in meters, between corresponding points using the formula (2.75).


120

ϕ λ 0º 10º 20º 30º 40º 50º 60º 70º 80º

1º 399456.084 397148.084 391498.970 383052.247 372666.038 361477.570 350825.874 342110.700 336579.998

11º 399456.084 397148.084 391498.970 383052.247 372666.038 361477.570 350825.874 342110.700 336579.998

21º 399456.084 397148.085 391498.971 383052.248 372666.039 361477.571 350825.875 342110.700 336579.998

31º 399456.085 397148.087 391498.974 383052.251 372666.040 361477.572 350825.875 342110.700 336579.998

41º 399456.086 397148.091 391498.980 383052.256 372666.043 361477.573 350825.876 342110.700 336579.998

51º 399456.083 397148.100 391498.990 383052.262 372666.045 361477.573 350825.876 342110.701 336579.999

Tabla 19: Distances, in meters, between corresponding points using the formula (3.74).

The errors, in meters, are given in tabla 20 and tabla 21.

ϕ λ 0º 10º 20º 30º 40º 50º 60º 70º 80º

11º 0.249 0.585 0.863 0.979 0.902 0.680 0.406 0.172 0.034 21º 1.068 3.142 4.507 4.744 3.978 2.697 1.434 0.533 0.089 31º 2.997 10.107 13.701 13.091 9.765 5.804 2.652 0.811 0.099 41º 7.386 26.940 33.081 27.467 17.437 8.623 3.095 0.597 –0.016 51º 18.325 67.799 69.798 46.619 23.274 8.450 1.540 –0.458 –0.297

Tabla 20: Errors, in meters, in the distances between corresponding points using the formula (2.75).

ϕ λ 0º 10º 20º 30º 40º 50º 60º 70º 80º

11º 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 –0.000 –0.000 0.000 0.000 21º 0.001 0.001 0.001 0.001 0.001 0.000 0.000 0.000 0.001 31º 0.003 0.004 0.004 0.003 0.002 0.001 0.000 0.000 0.003 41º 0.008 0.010 0.008 0.005 0.003 0.001 0.001 0.001 0.008 51º 0.016 0.021 0.014 0.007 0.003 0.001 0.001 0.001 0.016

Tabla 21: Errors, in meters, in the distances between corresponding points using the formula (3.74).


121

Figura 28 and figura 29 show scale factor for different latitudes (0º, 20º,

40º, 60º) and for a 10º and a 30º wide zone.

Figura 28: Local scale factor, m, for different latitudes as a function of the longitude up to 10º width.

Figura 29: Local scale factor, m, for different latitudes as a function of the longitude up to 30º width.

IV.2.4 Calculus of areas

To evaluate the estimation of area, area calculations were performed for

quadrilaterals defined by the corresponding points on the two grids (3º in

latitude, 2º in longitude). The areas are computed with the formula (2.80)

1,000

1,004

1,008

1,012

1,016

0 10

m

λ°

Local scale factor

ϕ = 0°

ϕ = 20°

ϕ = 40°

ϕ = 60°

ϕ = 80°

1,00

1,04

1,08

1,12

1,16

0 10 20 30

m

λ°

Local scale factor

ϕ = 0°

ϕ = 20°

ϕ = 40°

ϕ = 60°

ϕ = 80°


122

and the results are show in the first column of tabla 22. The rest of the

columns are the areas computed for different ∆λ with the formula (2.83).

The error of the areas, in percentage, is shown in tabla 23. The maximum

error proves to be less than 0.1 %, which should be accurate enough for

most GIS applications.

∆λ ϕ S 1º 11º 21º 31º 41º 51º

0º 73821593493 73812323979 73811010830 73807474271 73800625821 73787813372 73762021018

10º 72402227795 72392270151 72391049232 72387840615 72381950445 72372029042 72356041043

20º 68831442754 68819982654 68819017735 68816650007 68812939523 68808584467 68807014192

30º 63194824510 63181622155 63181094820 63180016875 63179096073 63180189254 63187679338

40º 55633819763 55619377954 55619417148 55619829243 55621522539 55626239205 55636670082

50º 46349308694 46334832018 46335418394 46337108246 46340557990 46346716690 46356465933

60º 35603238532 35590391410 35591310413 35593652401 35597639342 35603452456 35610976648

70º 23716192639 23706721881 23707615360 23709761273 23713074473 23717353699 23722220157

80º 11059397793 11054717023 11055221784 11056397877 11058122753 11060208653 11062415889

Tabla 22: Ellipsoidal trapezium areas (m2).

∆λ

ϕ 1º 11º 21º 31º 41º 51º

0º –0,01 –0,01 –0,02 –0,03 –0,05 –0,08

10º –0,01 –0,02 –0,02 –0,03 –0,04 –0,06

20º –0,02 –0,02 –0,02 –0,03 –0,03 –0,04

30º –0,02 –0,02 –0,02 –0,02 –0,02 –0,01

40º –0,03 –0,03 –0,03 –0,02 –0,01 0,01

50º –0,03 –0,03 –0,03 –0,02 –0,01 0,02

60º –0,04 –0,03 –0,03 –0,02 < 0,01 0,02

70º –0,04 –0,04 –0,03 –0,01 < 0,01 0,03

80º –0,04 –0,04 –0,03 –0,01 0,01 0,03

Tabla 23: Errors, in percentage, of the areas of the ellipsoidal trapezium.

IV.2.5 Calculus of azimuths.

Next, the azimuths α, will be calculated for each pair of points in the two

corresponding grids according to the formula:

tα γ δ= + + (3.86)

The bearing of the chord, T, is:


123

1 0

1 0

arctan x xty y

−=

− (3.87)

The convergence, γ, is calculated with formula (3.64) and the result is

shown in tabla 24.

ϕ λ 0º 10º 20º 30º 40º 50º 60º 70º 80º

1º 0 0.10252 0.20314 0.30001 0.38342 0.45579 0.51578 0.56229 0.59053

11º 0 1.56012 3.48155 5.33070 7.07211 8.28109 9.33203 10.21052 10.50127

21º 0 3.49015 7.29067 10.52138 13.51532 16.23195 18.23226 19.50071 20.42296

31º 0 5.58123 11.38012 16.44303 21.07549 24.43243 27.29366 29.27027 30.36512

41º 0 8.37266 16.36557 23.32331 29.13396 33.40338 36.58441 39.14430 40.33585

51º 0 12.12489 23.02176 31.48025 38.30081 43.26115 46.55506 49.14544 50.34136

Tabla 24: Convergence (dd.mmss) computed with formula (3.64).

Since the arc-to-chord correction can be calculated in two ways we will

obtain two different azimuths, one calculated with the direct formula

(2.95) and the other based on the curvature and given by equation (3.76).

The results are shown in tabla 25 and tabla 26

ϕ λ 0º 10º 20º 30º 40º 50º 60º 70º 80º

1º 33.501742 33.075340 31.355543 29.130491 25.574177 21.484776 16.474531 11.002060 4.382536

11º 33.501744 33.075343 31.355548 29.130497 25.574182 21.484780 16.474534 11.002063 4.382537

21º 33.501830 33.075419 31.355610 29.130543 25.574210 21.484791 16.474533 11.002057 4.382534

31º 33.501548 33.075124 31.355387 29.130423 25.574167 21.484780 16.474524 11.002047 4.382529

41º 33.493734 33.071406 31.352580 29.124782 25.573428 21.484522 16.474446 11.002020 4.382521

51º 33.461995 33.040551 31.331253 29.113645 25.570479 21.483575 16.474204 11.001965 4.382512

Tabla 25: Azimuths computed with the direct formula (dd.mmss).

ϕ λ 0º 10º 20º 30º 40º 50º 60º 70º 80º

1º 33.501740 33.075340 31.355545 29.130495 25.574181 21.484779 16.474533 11.002062 4.382537

11º 33.501744 33.075343 31.355548 29.130497 25.574182 21.484780 16.474534 11.002063 4.382537

21º 33.501857 33.075442 31.355623 29.130544 25.574204 21.484784 16.474528 11.002055 4.382534

31º 33.502199 33.075725 31.355818 29.130647 25.574234 21.484772 16.474504 11.002037 4.382528

41º 33.502876 33.080232 31.360093 29.130719 25.574185 21.484685 16.474432 11.002000 4.382519

51º 33.504144 33.081033 31.360334 29.130590 25.573932 21.484465 16.474299 11.001945 4.382508

Tabla 26: Azimuths calculated with the curvature (dd.mmss).


124

IV.2.6 Analisys of errors

The corresponding errors in azimuth are shown in tabla 27 and tabla 28.

As in the case of distance calculation, an additional correction is needed.

It is clear that the method based on the curvature produces the best

results, the maximum error still reaches 2,5”, unless for some

applications may not to be enough accurate enough. In those cases a more

accurate formula for the arc-to-chord correction should be applied.

ϕ λ 0º 10º 20º 30º 40º 50º 60º 70º 80º

1º –0.03 –0.04 –0.06 –0.06 –0.07 –0.06 –0.05 –0.03 –0.02

11º 0.86 0.76 0.62 0.46 0.28 0.11 –0.01 –0.06 –0.04

21º –1.96 –2.19 –1.61 –0.74 –0.15 0.00 –0.10 –0.16 –0.09

31º –40.10 –39.37 –29.67 –17.15 –7.54 –2.58 –0.88 –0.43 –0.16

41º –237.49 –227.92 –162.95 –88.52 –37.03 –12.05 –3.30 –0.98 –0.25

51º –1056.24 –981.29 –629.97 –300.36 –111.68 –32.96 –7.98 –1.84 –0.35

Tabla 27: Errors in azimuths calculated with the direct formula (seconds).

ϕ λ 0º 10º 20º 30º 40º 50º 60º 70º 80º

1º –0.05 –0.04 –0.04 –0.03 –0.03 –0.02 –0.02 –0.01 –0.01

11º –0.30 –0.31 –0.30 –0.27 –0.23 –0.19 –0.14 –0.09 –0.04

21º –0.58 –0.61 –0.61 –0.56 –0.48 –0.37 –0.26 –0.15 –0.07

31º –0.91 –1.00 –1.02 –0.93 –0.76 –0.56 –0.36 –0.20 –0.08

41º –1.34 –1.56 –1.59 –1.39 –1.05 –0.70 –0.42 –0.21 –0.08

51º –1.97 –2.51 –2.49 –1.92 –1.26 –0.75 –0.41 –0.19 –0.07

Tabla 28: Errors in the azimuths calculated with the curvature (seconds).

IV.3 Numerical application of the Oblique Mercator projection

IV.3.1 Introduction

IV.3.1.1 Definition of the problem.

The work will involve the study of a theoretical route of a high-speed

train railroad from the southwest of the Iberian Peninsula to the border

with France in the northeast. The railroad begins in Faro (Portugal) and

ends in Gerona (Spain). It will cross the cities of Huelva, Seville, Cordoba,


125

Ciudad Real, Toledo, Madrid, Guadalajara, Saragossa, Lerida, and

Barcelona (see figura 30). The geodetic coordinates, referred to WGS84, of

the cities are shown in tabla 29.

Geodetic coordinates

City ϕ λ

Faro 37º01'42.3527'' – 7º55'25.7270''

Huelva 37º10'39.9325'' – 6º57'26.2245''

Seville 37º28'50.4619'' – 6º03'37.3533''

Cordoba 37º51'10.0632'' – 4º53'42.6324''

Ciudad Real 39º06'01.7364'' – 3º54'01.9415''

Toledo 39º53'37.7697'' – 4º01'48.3717''

Madrid 40º26'45.0084'' – 3º42'34.2833''

Guadalajara 40º56'35.0505'' – 3º00'24.8920''

Saragossa 41º36'37.6208'' – 0º57'15.0087''

Lerida 41º45'11.9804'' 1º04'02.1656''

Barcelona 41º25'06.8232'' 1º59'12.7233''

Gerona 42º19'52.4915'' 3º02'12.2496''

Tabla 29: Geodetic coordinates of the cities referred to WGS84

The railroad will be described as a large traverse, in terms of distances

and azimuth.

Figura 30: Route of the railroad


126

IV.3.1.2 Determination of the central line.

To use the HOM projection, first we have to fix the central point and the

azimuth of the central line. To do this, we will follow the following steps:

1. First we calculate the plane coordinates for the gnomic projection

in the sphere.

2. Since in a gnomic projection, the geodesic becomes a straight line,

the latter will be determined by the least squares method.

3. The extremes of the line in the zone to be mapped, will be used to

determine the azimuth of the central line, and the middle of line

will be used a central point.

The equation of the gnomic projection is:

cot sin

cot cosEN

ϕ λϕ λ

== −

(3.88)

The gnomic coordinates of the cities are given in tabla 30

Gnomic coordinates

Cities E N

Faro –0.182753 –1.313018

Huelva –0.159711 –1.308805

Seville –0.137686 –1.296847

Cordoba –0.109802 –1.282049

Ciudad Real –0.083703 –1.227628

Toledo –0.084073 –1.193291

Madrid –0.075897 –1.170636

Guadalajara –0.060466 –1.151093

Saragossa –0.018749 –1.125757

Lerida 0.020867 –1.120080

Barcelona 0.039300 –1.132855

Gerona 0.058156 –1.096241

Tabla 30: Gnomic coordinates of the cities.


127

The linear regression is defined by (see tabla 31):

Constante –1.1372

Y standard error 0.0301

ρ2 0.8742

Num. of observations 12

Degree of freedom 10

X coefficient 0.97227

X standard error. 0.1166

Tabla 31: Linear regression coefficients

From this, we can fix the central point, P0 (39º 49’ 15.78’’ N, 2º 58’ 38.97’’

WG), and the azimuth of the central line, αC = 52º 17’ 31.13’’. The gnomic

projection coordinates of the control points and the linear regression is

show in figura 31. It is clear that neither the central point nor the line

will be in the center of the region to be mapped, but they should be very

close of it.

Figura 31: Gnomic projection coordinates


128

IV.3.2 Determination of the elements

IV.3.2.1 Calculus of the coordinates

Tabla 32 shows HOM coordinates, referred to WGS84, of the control

points:

E N

Faro 4284909.047 3354835.199

Huelva 4371526.224 3367230.900

Seville 4452253.101 3397761.334

Cordoba 4556156.861 3436218.802

Ciudad Real 4645119.561 3573336.550

Toledo 4634942.795 3661535.598

Madrid 4662862.468 3722558.727

Guadalajara 4722493.841 3777523.678

Saragossa 4893646.485 3853560.722

Lerida 5061304.926 3875231.794

Barcelona 5139807.627 3842057.206

Gerona 5220384.717 3948743.814

Tabla 32: HOM coordinates of the cities.

IV.3.2.2 Calculus of distances and azimuths.

Based on these coordinates azimuths and distances can be computed. The

results are shown in tabla 33.

distances (m) α

Faro – Huelva 87499.311 78º 47’ 27.72’’

Huelva – Seville 86306.605 66º 48’ 10.26’’

Seville – Cordoba 110788.657 67º 45’ 26.09’’

Cordoba – Ciudad Real 163445.245 31º 45’ 55.93’’

Ciudad Real – Toledo 88783.075 352º 49’ 47.81’’

Toledo – Madrid 67101.838 23º 54’ 38.06’’

Madrid – Guadalajara 81089.695 46º 51’ 17.87’’

Guadalajara – Saragossa 187268.675 66º 00’ 39.19’’

Saragossa – Lerida 169051.653 83º 55’ 22.03’’

Lerida – Barcelona 85219.388 115º 33’ 42.66’’

Barcelona – Gerona 133683.783 40º 20’ 13.53’’

Tabla 33: Distances and azimuths with the HOM projection


129

IV.3.3 Discussion of the results

IV.3.3.1 Differences in distances and azimuths

The values obtained by the Vicenty method (Vicenty, 1975) will be used as

a controls result.

The formulas used to calculate the UTM coordinates and their elements

can be found in Snyder (1984). They are referred to zone 30. To avoid the

problem of working in different zones, the cities affected by this problem

will be shifted in longitude towards the same zone. This will be the case of

the baselines Seville – Cordoba and Saragossa – Lerida.

Distances computed with the different methods are shown in tabla 34.

The first column is the results of the Vicenty method (control results), the

second the UTM, the third the HOM, and the fourth and fifth the GK

being the central meridian 3º WG and 21º EG.

Tabla 35 shows the errors in millimeters (mm) and tabla 36 the errors in

parts per million (ppm) between the corresponding projection and the

reference values.

For all projections the maximum error is 0.93 pmm, about 17 cm, in the

baseline Guadalajara – Saragossa (HOM projection). The average error

varies from is 57.2 mm for the HOM and 1.1 mm for the wide GK

projection centered in 21º EG (GK21EG)

Vicenty UTM HOM GK 3º WG GK 21º EG

Faro – Huelva 87499.314 87499.338 87499.311 87499.314 87499.314

Huelva – Seville 86306.613 86306.671 86306.605 86306.612 86306.613

Seville – Cordoba 110788.683 110788.707 110788.657 110788.683 110788.683

Cordoba – Ciudad Real 163445.290 163445.317 163445.245 163445.287 163445.288

Ciudad Real – Toledo 88783.076 88783.080 88783.075 88783.073 88783.073

Toledo – Madrid 67101.835 67101.837 67101.838 67101.834 67101.834

Madrid – Guadalajara 81089.680 81089.681 81089.695 81089.679 81089.680

Guadalajara – Saragossa 187268.501 187268.502 187268.675 187268.501 187268.501

Saragossa – Lerida 169051.615 169051.615 169051.653 169051.615 169051.615

Lerida –Barcelona 85219.391 85219.392 85219.388 85219.390 85219.390

Barcelona – Gerona 133683.820 133683.820 133683.783 133683.818 133683.819

Tabla 34: Summary of distance results (datum WGS84) (m).


130

∆UTM ∆HOM ∆GK3WG ∆GK21EG

Faro – Huelva 24.0 –3.0 –0.1 0.0

Huelva – Seville 58.3 –7.7 –0.3 –0.1

Seville – Cordoba 23.6 –26.4 –0.4 –0.1

Cordoba – Ciudad Real 26.9 –45.1 –3.0 –2.2

Ciudad Real – Toledo 4.4 –0.6 –2.3 –2.1

Toledo – Madrid 2.0 3.0 –1.5 –1.1

Madrid – Guadalajara 0.6 14.6 –1.0 –0.6

Guadalajara – Saragossa 0.6 173.6 –0.7 –0.2

Saragossa – Lerida –0.3 37.7 0.0 0.1

Lerida –Barcelona 1.3 –2.7 –0.4 –0.6

Barcelona – Gerona –0.1 –37.1 –2.0 –1.5

Maximum error 58.3 173.6 3.0 2.2

2

inε∑ (mm) 21.9 57.2 1.4 1.1

Tabla 35: Errors in distances (mm).

UTM HOM GK 3ºWG GK 21ºEG

Faro – Huelva 0.27 –0.03 < 0.00 < 0.00 Huelva – Seville 0.68 –0.09 < 0.00 < 0.00 Seville – Cordoba 0.21 –0.24 < 0.00 < 0.00 Cordoba – Ciudad Real 0.16 –0.28 –0.01 –0.01 Ciudad Real – Toledo 0.05 –0.01 –0.02 –0.02 Toledo – Madrid 0.03 0.04 –0.02 –0.02 Madrid – Guadalajara 0.01 0.18 –0.01 –0.01 Guadalajara – Saragossa < 0.00 0.93 < 0.00 < 0.00 Saragossa – Lerida < 0.00 0.22 < 0.00 < 0.00 Lerida –Barcelona 0.02 –0.03 –0.01 –0.01 Barcelona – Gerona < 0.00 –0.28 –0.01 –0.01

Maximum error 0.67 0.93 0.03 0.03

Tabla 36: Errors, in pmm, in each baseline


131

Tabla 37 shows the summary of the azimuths and tabla 38 the angular

errors. As we can see the maximum error goes from 0.04’’, in the baseline

Cordoba – Ciudad Real for the UTM to nearly 0.01’’in GK3WG. For all

projection the average error is less than 0.02’’.

Vicenty UTM HOM GK3WG GK21EG

Faro – Huelva 78.472772 78.472772 78.472770 78.472773 78.472772

Huelva – Seville 66.481026 66.481028 66.481025 66.481026 66.481026

Seville – Cordoba 67.452609 67.452607 67.452607 67.452609 67.452609

Cordoba – Ciudad Real 31.455593 31.455588 31.455592 31.455594 31.455595

Ciudad Real – Toledo 352.494781 352.494779 352.494781 352.494781 352.494781

Toledo – Madrid 23.543806 23.543805 23.543806 23.543806 23.543806

Madrid – Guadalajara 46.511787 46.511787 46.511787 46.511788 46.511787

Guadalajara – Saragossa 66.003919 66.003920 66.003918 66.003919 66.003919

Saragossa – Lerida 83.563189 83.563189 83.563188 83.563189 83.563189

Lerida –Barcelona 115.334266 115.334267 115.334265 115.334266 115.334265

Barcelona – Gerona 40.201353 40.201352 40.201352 40.201422 40.201354

Tabla 37: Summary of azimuth results (dd.mmss).

∆UTM ∆HOM ∆GK3WG ∆GK21EG

Faro – Huelva < 0.00 –0.02 0.01 < 0.00

Huelva – Seville 0.01 –0.02 < 0.00 < 0.00

Seville – Cordoba –0.02 –0.02 < 0.00 < 0.00

Cordoba – Ciudad Real –0.04 –0.01 0.01 0.02

Ciudad Real – Toledo –0.02 < 0.00 < 0.00 0.01

Toledo – Madrid –0.01 < 0.00 < 0.00 < 0.00

Madrid – Guadalajara < 0.00 < 0.00 < 0.00 < 0.00

Guadalajara – Saragossa 0.01 –0.01 < 0.00 < 0.00

Saragossa – Lerida < 0.00 –0.02 –0.01 –0.01

Lerida –Barcelona 0.01 –0.01 < 0.00 –0.01

Barcelona – Gerona –0.01 –0.01 < 0.00 0.01

Maximum error 0.02 0.01 < 0.00 0.01

2

inε∑ 0.02 0.01 < 0.00 0.01

Tabla 38: Errors in azimuths (seconds)

The first question to answer is which projection is the best. If our aim is

to preserve distances, the best projection is the GK3WG but for preserving

angles the choice should be the HOM projection. Nevertheless, there are


132

other points to consider. In all the cases both angular and distances

errors are very small so the GK21EG should not to be eliminated in any

case.

Since the oblique aspect of a map projection can fit any shape, it would

seem reasonable that the Oblique Mercator was widely used, but the

oblique aspect has a great disadvantage: it is only valid for the zone

defined by the central line and the central point, and there is no way to

make calculus between points placed in two zones, even the zones have

common points. Transverse projections are a compromise solution: can

reasonably fit any region, but they are not accurate if the region extends

East to West. To avoid this problem, the world is usually cut into slices a

few degrees wide. If we are considering conformal projection, which are

analytical and hence admits a series expansion, the needed precision can

be obtained taking enough terms of the development, and this is the way

we have taken. The results show that this wide version of the GK can be

as accurate as the Oblique Mercator or even the UTM.

However, there is another point to be considered: the visual distortion of

the map. As we move away from the central meridian, the distortion

becomes greater and the North is not placed at the top of the paper. It

also becomes more difficult to compare the measures made in the map

with the measures made on the ground. Nevertheless, Personal Digital

Assistants (PDA) are increasingly used in field work. Since measures and

calculus can be made directly on the screen, the visual impact and

deformations are less important than on a printed map. So, from a

practical point of view, the fact that a projection deforms distances, or the

aspect, has little importance.


133


134

Capítulo V: Conclusions

The recapitulation of the obtained results is showed as well as a summary

of their possible applications.

At the beginning of this thesis a series of objectives was set out, which

once has been solved, it allows us to assure that the main objective, to

establish the equations of the inverse transformation and the rest of the

elements of the projection in terms of the an coefficients, has been

achieved.

Now we will see each objective and the obtained results.

Objective: To develop a method which allows us to compute the

necessary number of terms of the development we have to take into

account to obtain a desired precision, in terms of the wide zone, ∆λ. Also

we wanted to check which simplifications were really acceptable. Lastly,

we were interested in the possible influence of the latitude.

To solve the problem, these steps will be followed.

1. To develop the series neglecting ek for different values of k and

for different width of the zone.

2. To study the influence of ek for a fixed width ∆λ and different

latitudes.

3. To produce the full development of the series for a 45º-wide zone

with an error less than a millimeter.

The first step is to obtain all the an coefficients in a simple way. To do so,

we use equation (3.3), which allow us, with any symbolic computer

program of general purpose like Maple® or Mathematica®, compute them

in a recursive form.


135

Objective: To determine if ek influences in the value of (x, y). If so, how

does the influence vary according to the zone width, ∆λ, and the latitude?

The instruction:

k_[] : SmallTerms = { [x_] :> 0 /; k > degree}In η

removes those values ek from a certain value of k, which allow us to

determine their influence in the value of (x, y) and to check how they

change in terms of the wide zone, ∆λ, and the latitude.

Also, the number of terms of the development we have to take into

account to obtain a desired precision has been determinated.

So, with this result we have established the direct transformation

formulae for each wide zone.

In short, by expressing the coefficients in a recursive form we can obtain

the terms of the development up to a wanted order thanks to a symbolic

computer program. And this is the key to get our objective. We have

proven how each term influences the final value of the (x, y). For instance,

if we want to get a millimeter precision for a 3º zone it will be enough to

take a 6 terms development and neglect the η6(ϕ) terms, but if the zone is

45º width we have to take not only up to the 30th term, but η6(ϕ) as well.

For an 87º zone the ηk(ϕ) raises up to η12(ϕ).

Objective: To establish the equations of the inverse transformation and

the rest of the elements of the projection in terms of the an coefficients.

The formula of the inverse transformation is established through an

iterative process in which only are involved the values of an and the

equations of the transverse Mercator projection in the sphere.

The calculus of the local scale factor allows computing:

• Distances

• Surfaces

• The arc-to-chord reduction


136

By last the calculus of the meridian convergence allows us to solve the

calculus of azimuths.

It is necessary to remark that in all these calculus, equations (3.64) and

(3.65), are only made with the an coefficients.

Other objectives: To develop educational and research topics connected

in their theoretical aspect with the following subjects:

• Numerical and computational methods applied to the

mathematical cartography.

• Algebraic manipulators

We have seen that a symbolic computational package can be used in

cartography as a tool for:

• The development of complex analytical expressions like the Gauss–

Krüger projection equations.

• Numerical calculus, with the development of a package of functions

which enables us to solve geodetic and cartographic problems.

Briefly, the advantages of this method are:

1. The simplification of the way in which the formulas for the GK

projection are obtained.

2. They are more accurate than classical ones.

3. It is possible to apply the projection to zones arbitrarily wide.

While traditional formulas for the GK projection involve complex

development of series, each with its own group of coefficients, the method

proposed in this thesis only requires the calculation of sufficient

coefficients for the direct transformation series an, which may be easily

obtained. Thus it will be possible to save memory, simplify the code of the

programs and their maintenance.

The number of terms and the degree to which each term needs to be

developed depends on the width of the zone and the coordinate precision


137

that is required. Inverse coordinates, convergence of meridians, local

scale factor, area and azimuths corrections can all be derived from the

formulae used to obtain the direct transformation.

Finally the coordinates of this wide version of the GK can be multiply by

a scale factor, like in the UTM, to reduce the linear deformation.

As has been shown, the correction methods that have been applied in this

paper make it possible to extend the longitudinal width of the mapped

zone at least to 30º, without introducing substantial error in the

calculation of distances, area and directions. Implementing the

corrections in GIS software may avoid the problems of discontinuity

between adjacent zones encountered in most countries when applying the

UTM coordinate system.

From a computational point of view, this method is slower than the direct

formulas, but this need not have much importance if the number of data

to be transformed is low. Moreover the speed of the computers is highly

increased, so in the future this disadvantage will be less important.

A thesis not only must serve to solve problems but to open new research

ways as well:

• A possible development should be the elaboration of an algorithm

which allows to simplify and optimize the calculus time of each an.

If we focus in the UTM projection, we have the following ways of

research:

• Since the coordinates from the H and the H±1 zone can be

computed, to develop formulae which allow computing, in a direct

form, the transformation of coordinates between contiguous zones,

i.e, given the coordinates of the point referred to the extended H

zone, compute the coordinates referred to the H±1 zone.

Two approaches can be considered: one numerical, in which a

polynomical expression relates both coordinates and another based

in the symbolic calculus.


138

• To enlarge the width of the zone from 6º to 12º or even to 18º. This

modification should avoid the problem of the change zones in many

countries.

• To apply and optimize the Tissot constant to different wide zones.

In the same way that the number of terms and the values of ek necessary

to take to achieve the desired precision for the direct transformation have

been determined, a similar study could be made for the local linear scale

and the convergence of meridians and to check their influence in the

convergence of the iterative method.

Also we can look for alternative formulae for the calculus of the local

linear distortion, like:

1 seccos

dxmN d

γϕ λ

=

and check if they are more computationally efficient than the used one.

Computational algebra has proved that is an efficient tool to solve

precision and precision problems in the cartographic data.

However, there is another point to be considered: the visual distortion of

the map. As we move away from the central meridian, the distortion

becomes greater and the North is not placed at the top of the paper. It

also becomes more difficult to compare the measures made in the map

with the measures made on the ground. So, in relation to enlarge the

wide zone of the UTM projection from 6º to 18º one may ask if a 2% linear

distortion or a 6º convergence meridians can be assumed in a printed

map.

The situation is rather different if we are talking of a GIS. In this case it

is possible to zoom in to a square meter or less, or zoom out until the

screen displays the entire map, so the concept of scale is mainly related to

the precision of the coordinate data. Also it is possible to rotate the map

and place at the top of the screen any direction. Moreover since direct

measurements are not made on the screen, distortion caused by map


139

projection is becoming less important as it can be accounted by the GIS

software in the phase of coordinate computation.

Nevertheless, Personal Digital Assistants (PDA) are increasingly used in

field work. Since measures and calculus can be made directly on the

screen, the visual impact and deformations are less important than on a

printed map. So, from a practical point of view, the fact that a projection

deforms distances, or the aspect, has little importance.

Another research topics related with Mathematical Cartography are:

• Since the graphics capabilities of this programs made them

appropriates to represent map projection, we can also explore the

possibility of develop a friendly environment which allows an user

to represent and compute the elements of a projection by given its

equations.

• Optimization of map projections.

• Identification of map projection: Given the reticule of a projection,

determine which projection is.

The plan should be: to obtain the plane coordinates through digitalitation

and using least squares determine the equations of parallels and

meridians. With this data the attributes and the projection should be

determined.


140

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144

ÍNDICE

acimut, 21, 25, 28, 50, 63, 66, 67, 69,

122, 123, 128

álgebra computacional, 1, 7, 10, 12

algoritmo, i, iii, 1

CAD, 5

cartografía, 1, 2, 3, 11, 12, 13, 18, 19

coeficientes

an, 9, 11, 41, 43, 45, 72, 73, 79, 82,

102, 134

condición

de Cauchy Riemann, 33

convergencia

de meridianos, 6, 69

convergencia de meridianos, 11, 20,

33, 38, 49, 50, 89

coordenadas

Gauss–Krüger, 8, 49, 118

geodésicas, 15, 17

HOM, 128

planas, 19

polares, 19

correcciones angulares, 54

curvatura, 18, 54, 55, 56, 57, 61, 63,

90, 93

CUTM, 40

distancia, 2, 6, 11, 27, 32, 41, 51, 52,

53, 61, 69, 128

elipse indicatriz de Tissot, 26, 27

fórmulas

de Gauss–Krüger, 13, 54, 71

grado, 46, 51

Hotine, 7, 12, 37, 38, 42, 51, 58

Mathematica, 9, 76, 134, 141, 142,

143

módulo

de deformación lineal, 11, 25, 31,

38, 50, 51, 52, 69, 119

orden, 38

precisión, 5, 8, 10, 11, 12, 51

proyección

conforme, 7, 8, 13, 20, 22, 30, 35,

37, 38, 39, 52, 56

conforme de Gauss Lambert, 39

de Mercator, 35, 36, 60, 61

Gauss–Boaga, 37

Gauss–Krüger, i, iii, 1, 8, 10, 12,

13, 15, 35, 37, 38, 39, 40, 41,

42, 51, 81

HOM, 13, 60, 63, 64, 65, 66, 127,

128, 129, 130, 131


145

oblicua de Mercator, 38, 60, 66,

67

Transversa de Mercator, 40, 65

UTM, 30, 39, 40, 42, 129, 130,

131

Redfearn, 8, 38

reducción a la cuerda, 6, 11, 38

SIG, 1, 4, 5, 6, 8, 12

Sistemas de Información

Geográficos, 1

superficie, 3, 6, 11, 26, 31, 32, 37, 41,

53, 94, 121

Tissot, 59, 100

transformación, 38

directa, 6, 10, 11, 13, 37, 38, 41,

42, 46, 68

inversa, 11, 47, 49, 78

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