UNIVERSIDAD CENTRAL DEL ECUADOR SEMESTRE MARZO …

UNIVERSIDAD CENTRAL DEL ECUADOR

FACULTAD DE CIENCIAS ADMINISTRATIVAS

MODALIDAD A DISTANCIA

SEMESTRE MARZO 2017 - AGOSTO 2017

UNIDAD DIDACTICA

ESTADISTICA BASICA I

Carrera: Contabilidad y Auditoría

Contabilidad y Auditoria

Administración Pública

Nivel: Cuarto

Número de Créditos: 5

TUTOR:

Ing. Milton Guamán (MBA/Msc)

Quito – Ecuador

ESTADÍSTICA BÁSICA I

Mena, R. Escobar, T. Haro, E. Córdova, M. Merino, V.

Página 1


AUTORES:

Ing. Rómulo Eduardo Mena Campaña, MBA.

Ing. Tania Eslavenska Escobar Erazo, MSc.

Ing. Edwin Ramiro Haro Haro, MBA.

Dra. Mayra Alexandra Córdova Alarcón, Mgst.

Ing. Víctor Marcelo Merino Castillo, Mgst.



Página 2

Rómulo Eduardo Mena Campaña

Tania Eslavenska Escobar Erazo

Edwin Ramiro Haro Haro

Mayra Alexandra Córdova Alarcón

Víctor Marcelo Merino Castillo


ISBN-978-9942-21-953-4



Página 3

INDICE DE CONTENIDOS

1 CAPÍTULO I: LA ESTADÍSTICA Y LA DESCRIPCIÓN DE

DATOS ................................................................................ 10

OBJETIVOS ........................................................................ 10

1.1 CONCEPTOS BÁSICOS. ................................................. 10

1.1.1 ESTADISTICA ..................................................................... 10

1.1.2. IMPORTANCIA Y ÁMBITO ...................................................... 11

1.1.3. DATOS ESTADÍSTICOS ........................................................ 12

1.1.4 MÉTODOS ESTADÍSTICOS .................................................... 15

1.1.4.1 Recolección (medición)______________________________ 15

1.1.4.2 Recuento (cómputo) ________________________________ 16

1.1.4.3 Presentación ______________________________________ 16

1.1.4.4 Síntesis _________________________________________ 16

1.1.4.5 Análisis. _________________________________________ 17

1.2. POBLACIÓN Y MUESTRA ............................................... 17

1.2.1. POBLACIÓN ........................................................................ 17

1.2.2. MUESTRA ........................................................................... 18

1.3. CLASIFICACIÓN ESTADÍSTICA ..................................... 19

1.3.1. ESTADÍSTICA DESCRIPTIVA ................................................. 19

1.3.2. ESTADÍSTICA INFERENCIAL .................................................. 19

1.4 LA INVESTIGACIÓN ESTADÍSTICA ................................ 19

1.4.1 PLANEAMIENTO ................................................................... 20

1.4.1.1 El objeto de la investigación __________________________ 20



Página 4

1.4.1.2 La finalidad. ______________________________________ 20

1.4.1.3 La fuente de información. ____________________________ 21

1.4.1.4 Los procedimientos de investigación. ___________________ 22

1.4.1.5 Sistemas de investigación ___________________________ 22

1.4.1.6 El material estadístico ______________________________ 24

1.4.1.7 El costo y su financiación. ___________________________ 25

1.4.2 RECOLECCIÓN .................................................................... 25

1.4.3 CRÍTICA Y CODIFICACIÓN .................................................... 25

1.4.4 TABULACIÓN Y PROCESAMIENTO .......................................... 26

1.4.5 ANÁLISIS E INTERPRETACIÓN .............................................. 27

1.4.6 PUBLICACIÓN ..................................................................... 27

1.5 TABLAS ESTADÍSTICAS ................................................ 28

1.5.1 PARTES DE UNA TABLA ........................................................ 29

1.5.1.1 Numeración de las tablas ____________________________ 29

1.5.1.2 Títulos de tablas ___________________________________ 30

1.5.1.3 Cuerpo de una tabla: _______________________________ 30

1.5.1.4 Notas de la tabla. __________________________________ 31

1.5.1.5 Tablas de otras fuentes. _____________________________ 31

1.5.2 TIPOS DE TABLAS ............................................................... 31

1.5.2.1 Tablas de una entrada.______________________________ 31

1.5.2.2 Tablas de dos entradas. _____________________________ 32

1.5.2.3 Tablas complejas: _________________________________ 32

1.6 GRÁFICOS ESTADÍSTICOS ............................................ 35

1.6.1 GRÁFICAS LINEALES............................................................ 35

1.6.2 GRÁFICOS DE SUPERFICIE ................................................... 37



Página 5

1.6.3 OTROS ............................................................................... 38

1.6.3.1 Gráficos XY (de dispersión): __________________________ 38

1.6.3.2 Gráficos de área ___________________________________ 39

1.7 DISTRIBUCIONES UNIDIMENSIONALES DE FRECUENCIAS

40

1.7.1 DISTRIBUCIONES DE FRECUENCIAS PARA DATOS

CUANTITATIVOS ....................................................................................... 41

1.7.1.1 Pasos para elaborar una distribución de frecuencias _______ 42

1.8 DIAGRAMAS DE FRECUENCIAS ..................................... 50

1.8.1 DATOS CORRESPONDIENTES A UN CARÁCTER CUALITATIVO .... 50

1.8.1.1 Diagrama de barras. _______________________________ 51

1.8.1.2 Gráficas en forma de pastel. _________________________ 51

1.8.2 DATOS CORRESPONDIENTES A UN CARÁCTER CUANTITATIVO

DISCRETO 52

1.8.2.1 Diagrama de barras ________________________________ 52

1.8.2.2 Diagrama en forma de pastel _________________________ 53

1.8.3 DATOS CORRESPONDIENTES A UN CARÁCTER CUANTITATIVO

CONTINUO 54

1.8.3.1 Histograma _______________________________________ 55

1.8.3.2 Polígono _________________________________________ 56

1.8.3.3 Ojiva ___________________________________________ 56

2 CAPÍTULO II: ANÁLISIS ESTADÍSTICO SIMPLE ....... 58

OBJETIVOS ........................................................................ 58

2.1 INTRODUCCIÓN ........................................................... 58



Página 6

2.2 TIPOS DE ESTADÍGRAFOS ............................................ 58

2.3 ESTADÍGRAFOS DE TENDENCIA CENTRAL ..................... 59

2.3.1 MEDIA ARITMÉTICA ............................................................. 60

2.3.1.1 Media aritmética con datos no agrupados _______________ 60

2.3.1.2 Media aritmética con datos agrupados __________________ 64

2.3.2 MEDIA PONDERADA ............................................................. 68

2.3.3 LA MEDIANA ....................................................................... 69

2.3.3.1 Mediana de datos no agrupados _______________________ 69

2.3.3.2 Mediana de datos agrupados _________________________ 72

2.3.4 MODA ................................................................................ 76

2.3.4.1 Moda de datos no agrupados _________________________ 76

2.3.4.2 Moda de datos agrupados ___________________________ 78

2.3.5 MEDIA GEOMÉTRICA............................................................ 80

2.3.6 MEDIA ARMÓNICA ............................................................... 84

2.4 FORMA DE LA DISTRIBUCIÓN ....................................... 86

2.4.1 RELACIÓN ENTRE MEDIA ARITMÉTICA, MEDIANA Y MODA ........ 86

2.5 CUARTILES, DECILES Y PERCENTILES ........................... 91

2.5.1 Medidas de posición relativa ................................................. 92

2.5.1.1 Los Cuartiles _____________________________________ 92

2.5.1.2 Los Deciles _______________________________________ 92

2.5.1.3 Los Percentiles ____________________________________ 92

2.6 ESTADÍGRAFOS DE DISPERCIÓN ................................ 100

2.6.1 DISPERCIÓN ABSOLUTA ..................................................... 100

2.6.1.1 Rango __________________________________________ 100



Página 7

2.6.1.2 Desviación media _________________________________ 102

2.6.1.3 Varianza ________________________________________ 105

2.6.1.4 Desviación estándar _______________________________ 109

2.6.2 DISPERCIÓN RELATIVA ...................................................... 111

2.6.2.1 Coeficiente de variabilidad __________________________ 111

2.7 MEDIDAS DE ASIMETRÍA ............................................ 114

2.8 MEDIDAS DE APUNTAMIENTO O CURTOSIS ................ 117

3 CAPÍTULO III: NÚMEROS ÍNDICES ........................ 121

OBJETIVOS ...................................................................... 121

3.1 INTRODUCCIÓN ......................................................... 121

3.2 CARACTERÍSTICAS ..................................................... 121

3.3 CLASIFICACIÓN DE LOS NÚMEROS ÍNDICES ............... 121

3.3.1 NÚMEROS ÍNDICES DE PRECIOS ......................................... 121

3.3.2 NÚMEROS ÍNDICES DE CANTIDAD ...................................... 122

3.3.3 NÚMEROS ÍNDICES DE VALOR ............................................ 122

3.4 NÚMEROS ÍNDICES SIMPLES ...................................... 122

3.5 NÚMEROS ÍNDICES NO PONDERADOS ....................... 123

3.5.1 PROMEDIO SIMPLE DE LOS ÍNDICES DE PRECIOS ................. 123

3.5.2 ÍNDICE AGREGADO SIMPLE ................................................ 125

3.6 NÚMEROS ÍNDICES PONDERADOS ............................. 125

3.6.1 ÍNDICE DE LAYSPEYRES ..................................................... 126

3.6.2 ÍNDICE DE PAASCHE ......................................................... 127



Página 8

3.6.3 ÍNDICE DE FISHER ............................................................ 128

3.7 ÍNDICES DE VALOR .................................................... 128

4 CAPÍTULO IV: REGRESIÓN. CORRELACIÓN Y SERIES

DE TIEMPO ....................................................................... 130

OBJETIVOS ...................................................................... 130

4.1 ANÁLISIS DE CORRELACIÓN ...................................... 130

4.1.1 VARIABLE DEPENDIENTE: .................................................. 130

4.1.2 VARIABLE INDEPENDIENTE: ............................................... 130

4.1.3 COEFICIENTE DE CORRELACIÓN ......................................... 130

4.1.4 CÁLCULO DE COEFICIENTE DE DETERMINACIÓN ................... 134

4.2 ANÁLISIS DE REGRESIÓN .......................................... 135

4.2.1 PRINCIPIO DE LOS MÍNIMOS CUADRADOS ........................... 135

4.2.2 TRAZO DE LA LÍNEA DE REGRESIÓN .................................... 138

4.2.3 EL ERROR ESTÁNDAR DE LA ESTIMACIÓN ............................ 139

4.3 FUNDAMENTOS PARA EL ANÁLISIS DE UNA SERIE DE

TIEMPO ................................................................................ 140

4.4 COMPONENTES DE UNA SERIE DE TIEMPOS ................ 140

4.4.1 TENDENCIA SECULAR ........................................................ 140

4.4.2 VARIACIÓN CÍCLICA .......................................................... 142

4.4.3 VARIACIÓN ESTACIONAL ................................................... 143

4.4.4 VARIACIÓN IRREGULAR ..................................................... 144

4.5 MEDICIÓN DE TENDENCIAS........................................ 144

4.5.1 TENDENCIA LINEAL ........................................................... 144



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4.5.1.1 Método de libre ajuste _____________________________ 144

4.5.1.2 Método de mínimos cuadrados _______________________ 146

4.5.2 MÉTODO DEL PROMEDIO MÓVIL ......................................... 148

4.5.3 MÉTODO DEL PROMEDIO MÓVIL PONDERADO ...................... 152



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1 CAPÍTULO I: LA ESTADÍSTICA Y LA

DESCRIPCIÓN DE DATOS

OBJETIVOS

1. Saber qué significa estadística.

2. Exponer el ámbito de aplicación y la importancia de la

estadística.

3. Diferenciar entre una variable cualitativa y una variable cuantitativa.

4. Distinguir entre una variable discreta y una variable continua.

5. Diferenciar entre niveles de medición nominal, ordinal, por

intervalo y de razón. 6. Explicar qué es estadística descriptiva y estadística inferencial.

7. Realizar pequeñas investigaciones estadísticas, aplicando las

etapas del proceso de investigación.

8. Aplicar la metodología en la elaboración de tablas de distribución de frecuencias.

9. Seleccionar y elaborar figuras que visualicen la información de

las tablas.

10. Analizar y obtener conclusiones sobre la información

contenida en las tablas y gráficas.

1.1 CONCEPTOS BÁSICOS.

1.1.1 ESTADISTICA

En esta unidad revisaremos algunos conceptos útiles los cuales

le servirá al estudiante formarse una idea de los términos más

usados en el estudio de la estadística.

Una definición clara y sencilla señala que, la estadística es la

ciencia que recoge, organiza, presenta, analiza e interpreta datos



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con el fin de propiciar una toma de decisiones más eficaz (Lind,

Marchal, & Wathen, 2012).

Ciro Martínez, al presentar el significado de la palabra estadística

señala que, es un sistema o método usado para la recolección,

organización, análisis y descripción numérica de la información.

También se puede decir que la estadística estudia el comportamiento de hechos o fenómenos de grupo (Martínez,

2012).

Otra definición muy sucinta indica que, la estadística es el arte y

la ciencia de recolectar, analizar, presentar e interpretar datos

(Anderson, Sweeney, & Williams, 2008).

El término estadística proviene del latín statisticum collegium

(“consejo de Estado”) y de su derivado italiano statista (“hombre

de Estado o político”). En 1749, el alemán Gottfried Achenwall

comenzó a utilizar la palabra alemana statistik para designar el análisis de datos estatales. Por lo tanto, los orígenes de la

estadística están relacionados con el gobierno y sus cuerpos

administrativos (Definición.de, 2015).

Por lo anterior, teniendo en cuenta las bondades que aportó la estadística a la gestión de los estados; las empresas y personas, la

han aprovechado y en la actualidad no existe campo de estudio en

la que la estadística se encuentre ausente.

1.1.2. IMPORTANCIA Y ÁMBITO

En nuestra vida cuotidiana, cuando revisamos periódicos,

revistas, internet, al mirar los noticieros en televisión, nos

encontramos con tablas, gráficos, medidas, análisis e interpretaciones que nos dan cuenta de lo que pasa en nuestro

contexto y en distintos lugares del planeta. Podemos enterarnos,

que está ocurriendo en el campeonato nacional de futbol, qué

equipos ocupan las primeras posiciones en la tabla, cuáles ocupan

las últimas posiciones; en el ámbito artístico, cuáles son las preferencias musicales de los jóvenes de 10 a 15 años, o de 16 a

25 años, por supuesto, se encontrarán diferencias; en el ámbito

profesional, cuáles son las tendencias de estudios universitarios

más demandadas, cuáles son las profesiones más rentables; en los dispositivos tecnológicos, cuáles son las necesidades actuales de

equipos, las preferencias de un grupos de jóvenes, las necesidades



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de los universitarios, de las amas de casa, de los hombres y

mujeres de negocios, etc.

Pero no solo podemos encontrar necesidades de personas

naturales; las personas jurídicas, esto es negocios y empresas,

pequeñas y grandes, también necesitan información para enrumbar

su actividad a aquello que les permita producir más, cubrir mayores mercados, incrementar su patrimonio, incrementar su utilidad,

cómo se encuentra evolucionando la demanda el mercado de los

bienes que producen, cuál es la evolución de los precios, cuál es la

participación de la empresa o producto en el mercado, si existen

posibilidades de expansión, si las ventas en cantidad y en dólares se encuentran en franco ascenso o descenso, si existirá la

posibilidad de aplicar estrategias que mejoren las ventas, la

apertura para nuevos mercados, para nuevos productos, etc.

Pero la estadística no solo es útil para el desempeño de la vida cuotidiana y de los negocios; sino que ésta va más allá de ellos, las

diferentes ciencias se han desarrollado mediante la utilización de la

estadística como: las médicas, que nos da cuenta de la evolución

de las enfermedades, la eficacia de los medicamentos y tratamientos, el porcentaje de éxito en determinado tipo de

cirugía, la frecuencia de las enfermedades, sus índices de

mortalidad, etc.; las ciencias sociales la cual involucra a los

ámbitos: educativo, que nos permite conocer los índices de estudio

escolarizado, alfabetismo, analfabetismo; la psicología, que contribuye al conocimiento del comportamiento de los individuos y

sus aptitudes, la sociología en la evolución y desarrollo de las

culturas y sociedades, la economía contribuye con estudios tanto

microeconómicos como macroeconómicos; y más ámbitos tales como demografía, administración pública, historia, geografía,

antropología, etc.

Como se habrá dado cuenta, el ámbito de aplicación de la

estadística es extenso, por su muy diverso uso y su necesaria actualización. La toma de decisiones acertadas son realizadas con

información, su validez y confiabilidad se sujetan a los instrumentos

y técnicas estadísticas utilizadas en la investigación de interés.

1.1.3. DATOS ESTADÍSTICOS

Los datos son hechos, informaciones y cifras que se recogen,

analizan y resumen para su presentación e interpretación. A todos



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los datos reunidos para un determinado estudio se les llama

conjunto de datos para el estudio (Anderson, Sweeney, & Williams, 2008).Como por ejemplo si considera:

Variable Conjunto de datos

Edad (en años)

Número de hijos

Estatura (en centímetros)

Estado civil

Grupo sanguíneo

VARIABLE. Una variable es una característica de los elementos que es de interés (Anderson, Sweeney, & Williams, 2008). Las

cifras o información que conforma un conjunto de datos, son

obtenidas cuando se averigua una variable, a los elementos o

individuos sujetos en un estudio de investigación.

Como se observa en los ejemplos de: edad, número de hijos,

estatura, estado civil, grupo sanguíneo; se tienen variables de dos

clases de datos, los cuantitativos y cualitativos.

1. Datos cuantitativos. Son expresados numéricamente y nos dan una idea de cantidad, dimensión, duración, distancia, etc.

2. Datos cualitativos. Son conocidos también como datos de

atributo, agrupan a una población o muestra en características

semejantes, pero no tienen medidas numéricas; se encuentran

comprendidas por etiquetas o nombres que identifican el atributo de cada elemento, Como en el caso de la variable estado civil, el

dato de respuesta podría ser: soltero, casado, viudo, divorciado,

etc.

De acuerdo a la naturaleza de los datos se debe escoger el método apropiado para resumir la información, determinar las

medidas adecuadas y realizar sus correspondientes análisis. Para

ello es necesario clasificar a las variables en dos tipos.

1. Variables cuantitativas. Se encuentran en este grupo aquellas que pueden medirse, cuantificarse, permiten una descripción o

representación numérica. Estas variables atendiendo a los

valores que pueden tomar se clasifican en variables discretas y

continuas.



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a. Variable discreta. Se refiere a aquella que sólo puede tomar

valores enteros, esto es: 1, 2, 3, etc., tal es el caso del número de hijos por familia, número de televisores en un

hogar, etc.

b. Variable continua. Toma todos los valores posibles en un

intervalo, es decir, se admiten valores fraccionarios, como el número de años de una persona: 20 años, tres meses, cinco

días, valor pagado por impuesto a la renta de un profesional o

empresa, etc.

2. Variables cualitativas. Estas variables agrupan cualidades o atributos, en la que los casos de estudio pueden formarse dos

grupos como: hombre – mujer, estudiante – no estudiante, con

empleo – sin empleo, etc. Pero también estas variables pueden

conformar más de dos grupos como; al estudiar el grupo sanguíneo de los individuos se tendrá: A, B, AB y O (cuatro

grupos); el estado civil de las personas se tendrá soltero (a),

casado (a), divorciado (a), viudo (a) y unión de hecho, etc.

Según sea de un tipo u otro, la variable podrá medirse de distinta manera, esto es, tendrán distintas escalas o niveles de

medición.

En las variables cualitativas los datos son de nivel nominal y

ordinal.

a. Datos de nivel nominal. Los datos de los elementos sujetos de análisis se encuentran representados por nombres, admiten una

clasificación, sin que ello signifique un orden lógico. Como

ejemplos serían: Países que integran el pacto andino, género de

los estudiantes de un curso de estadística, marca de automóviles, etc.

b. Datos de nivel ordinal. Los datos de los elementos sujetos de

análisis se disponen de acuerdo a un orden que se encuentra

especificado, razón por lo que los datos se pueden clasificar y ordenar. Como ejemplo, las calificaciones cualitativas asignadas

por el profesor de estadísticas a los trabajos presentados por los

estudiantes serían: excelente, muy bueno, bueno, regular y

malo. Tabla de posiciones de los equipos que intervienen en el campeonato ecuatoriano de futbol de la serie A, se tendría

primero, segundo, tercero, … ,etc.



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En las variables cuantitativas los datos son de nivel de intervalo

y de razón.

a. Datos de nivel de intervalo. Identifica la posición ordinal de cada

elemento sujeto de análisis y las diferencias entre intervalos es

la misma. Ejemplos de datos de intervalo son la temperatura

ambiental observada en la escala de grados centígrados, las tallas de las diferentes prendas de vestir, etc.

b. Datos de nivel de proporción: Identifica la posición ordinal de

cada elemento sujeto de análisis, las distancias de cada intervalo

es la misma, se basa en un sistema numérico en la que el cero

es significativo y las operaciones de multiplicación y división tienen un resultado racional. Ejemplos de esto se tiene a: las

ventas en dólares de un establecimiento comercial, en donde el

cero representa que en ese día no ha existido ventas, costos,

rentabilidad, participación en el mercado, etc.

1.1.4 MÉTODOS ESTADÍSTICOS

El método estadístico según se le atribuye a Jesús Reynaga,

profesor de Salud Pública de la Facultad de Medicina, UNAM, consiste en una serie de procedimientos para el manejo de los

datos cualitativos y cuantitativos de la investigación.

Las características que adoptan los procedimientos propios del

método estadístico dependen del diseño de investigación seleccionado para la comprobación de la consecuencia verificable en

cuestión.

El método estadístico tiene las siguientes etapas:

Recolección (medición) Recuento (cómputo)

Presentación

Descripción

Análisis

Tales etapas siempre se encuentran en el orden descrito y cada

una de ellas consiste de manera resumida en lo siguiente:

1.1.4.1 Recolección (medición)

En esta etapa se recoge la información cualitativa y cuantitativa

señalada en el diseño de la investigación.



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La recolección o medición puede realizarse de diferentes

maneras: a veces ocurre por simple observación y en otras ocasiones requiere de complejos procedimientos de medición

La calidad técnica de esta etapa es fundamental ya que de ella

depende que se disponga de datos exactos y confiables en los

cuales se fundamenten las conclusiones de toda la investigación.

En ocasiones, la recolección de la información debe ocurrir en

grupos tan grandes de individuos que se hace imposible tratar de

abarcar a todos ellos; entonces es cuando se pone en práctica

procedimientos de muestreo.

Tales procedimientos de muestreo están subordinados a la consecuencia verificable que se desea comprobar y al diseño de

investigación seleccionado.

1.1.4.2 Recuento (cómputo)

En ésta etapa del método estadístico, la información recogida es

sometida a revisión clasificación y cómputo numérico.

A veces el recuento puede realizarse de manera muy simple, por

ejemplo con rayas o palillos; sin embargo, puede requerirse el empleo de computadoras y programas especiales para el manejo

de base de datos.

En términos generales puede decirse que el recuento consiste en

la cuantificación de la frecuencia con que aparecen las diferentes características medidas de los elementos en estudio; por ejemplo,

el número de personas de sexo femenino y el de personas de sexo

masculino; o, el número de niños con peso menor de 3 kilos y el

número de niños con peso igual o mayor a dicha cifra.

1.1.4.3 Presentación

En esta etapa del método estadístico, se elaboran las tablas y

figuras, las cuales permiten una inspección precisa y rápida de los

datos. La elaboración de tablas tiene por propósito acomodar los datos de manera que se pueda efectuar una revisión numérica

precisa de los mismos. La elaboración de figuras tiene por propósito

facilitar la inspección visual rápida de la información.

1.1.4.4 Síntesis



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En esta etapa la información, es resumida en forma de medidas

que permiten expresar de manera sintética las principales propiedades numéricas de grandes series o agrupamiento de datos.

Tales medidas de resumen, al ser comunicadas, permiten a los

interlocutores evocar de una misma esencia de los datos; por

ejemplo, cuando alguien informa que el promedio de un grupo de alumnos es de 9.6 puntos en una escala que va del 0 al 10, la

imagen que se transmite es de un grupo con buen aprovechamiento

escolar.

Entre las principales medidas para sintetizar los datos

cuantitativos se encuentra la moda y la amplitud, la mediana y los percentiles y el promedio y la desviación estándar.

1.1.4.5 Análisis.

En esta etapa mediante fórmulas estadísticas apropiadas y el uso de tablas específicamente diseñadas, se efectúa la comparación

de las medidas de resumen previamente calculada. El análisis

estadístico de los datos consiste en la comparación.

Existen procedimientos bien establecidos para la comparación de las medidas de resumen que se hayan calculado en la etapa de

descripción. Tales procedimientos, conocidos como pruebas de

análisis estadísticos cuentan con sus fórmulas y procedimientos

propios.

Cada prueba de análisis estadístico debe utilizarse siempre en

función del tipo de diseño de investigación que se haya

seleccionado para la comprobación de cada consecuencia verificable

o deducible, a partir de la hipótesis general de la investigación.

Por lo anterior, puede considerarse a la estadística como una disciplina que posee su propio método. Tal disciplina emplea

conocimientos de otras ciencias como la lógica y la matemática; y

por eso, se dice que la estadística es una forma razonable de

emplear el sentido común y la parte aritmética la complementa con el manejo de datos de la investigación (Reynaga, 2015).

1.2. POBLACIÓN Y MUESTRA

1.2.1. POBLACIÓN



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Es un conjunto de medidas o recuento de todos los elementos

que presentan una característica común (Martínez, 2012).

Un estudio poblacional equivale a una investigación total,

ejemplo de ello, en el Ecuador se realizó en noviembre del 2010 el

Censo de Población y Vivienda, el cual consistió en un recuento de

la población y las viviendas para generar información estadística confiable, veraz y oportuna acerca de la magnitud, estructura,

crecimiento, distribución de la población y de sus características

económicas, sociales y demográficas, que sirva de base para la

elaboración de planes generales de desarrollo y la formulación de

programas y proyectos a cargo de organismos de los sectores público y privado (Instituto Nacional de Estadísticas y Censos,

2015).

1.2.2. MUESTRA

Es un conjunto de medidas o recuento de una parte de

elementos que pertenecen a la población de interés.

Para que una muestra sea representativa de una población, los

elementos deben ser seleccionados aleatoriamente, esto es, los elementos que se encuentran en la población, todos tienen la

misma oportunidad de ser elegidos en la muestra.

Un estudio muestral se justifica cuando el estudio poblacional se

ve imposibilitado porque:

Las poblaciones son muy grandes o infinitas.

El tiempo requerido es demasiado grande.

Los costos son elevados que imposibilita la ejecución de la

investigación. Existe limitación en la disponibilidad del recurso humano.

Debido a la naturaleza destructiva de los elementos sujetos a

estudio.

La homogeneidad de la característica.

Parámetro. Es una característica medida de una población

completa, por ejemplo: la proporción de alumnos de más de 21

años que ingresan a la universidad. En estadística se asignan

símbolos del alfabeto griego para designar un parámetro (Slideshare, 2015).



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Estimador. Es la medida de una característica relativa a la

muestra, al valor promedio de los datos y la imagen de éstos; la mayoría de los estadísticos muestrales se encuentran por medio de

fórmulas y suelen asignárseles símbolos del alfabeto latino

(Slideshare, 2015).

1.3. CLASIFICACIÓN ESTADÍSTICA

1.3.1. ESTADÍSTICA DESCRIPTIVA

Es el conjunto de técnicas que se encargan de organizar,

resumir, presentar y describir los datos de manera informativa. Los medios útiles para la presentación y descripción de datos son: las

tablas de frecuencia, los gráficos, el cálculo de medidas de

tendencia central, de posición, de variabilidad, etc.

1.3.2. ESTADÍSTICA INFERENCIAL

Es el conjunto de técnicas que se encargan de estimar los

parámetros poblacionales a partir de una muestra. La exactitud de

la estimación depende de las técnicas estadísticas usadas y del cuidado con que se tomó la muestra. La diferencia entre el

estadístico de la muestra y el parámetro de la población se

denomina error muestral.

1.4 LA INVESTIGACIÓN ESTADÍSTICA

En nuestra vida cuotidiana o laboral nos encontramos en la

necesidad de contar con información estadística para una adecuada toma de decisiones. En una variedad de ocasiones podremos

encontrar la información requerida y elaborada usualmente por

instituciones estatales (información secundaria) que para el caso

ecuatoriano lo realiza el Banco Central del Ecuador, Instituto Ecuatoriano de Estadísticas y Censos, Registro Civil, Identificación y

Cedulación, los diversos Ministerios que elaboran estadísticas en su

ámbito de acción (educación, salud, vivienda, trabajo, etc.); así

también, se puede obtener información de entidades privadas como periódicos, revistas y páginas web especializadas (economía,

finanzas, educación, industrial, empresarial, emprendimientos,

etc.).



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En otras ocasiones, habrá la necesidad de realizar una

investigación con el objeto de obtener la información necesaria para el conocimiento y toma de decisiones adecuadas al interés

personal, laboral o empresarial. A la hora de realizar una

investigación, el método estadístico es la herramienta adecuada

para la recolección de la información mediante registros, que se ordenan, clasifican, cuantifican y se muestran mediante tablas y

gráficos, de forma clara, resumida y fácil de interpretar grandes

cantidades de información (Martínez, 2012).

Otras necesidades de información, son aquellas que se obtienen

en orden cronológico, tales como las temperaturas registradas en las diferentes ciudades del Ecuador a una hora determinada de

cada día, número de accidentes de tránsito por provincia y periodo

mensual, precio promedio mensual de la canasta básica para el

consumidor, exportaciones e importaciones en periodos mensuales del Ecuador, ventas diarias registradas en determinado negocio o

empresa, inventarios o utilidades al finalizar el año, etc.

Ciro Martínez, señala que el proceso de investigación estadística

consta de seis fases.

1.4.1 PLANEAMIENTO

Un plan de investigación debe contemplar lo siguiente:

1.4.1.1 El objeto de la investigación

Es el hecho o fenómeno que se va a observar o registrar

numéricamente. Ejemplo. Una investigación sobre los salarios. El

objeto de la investigación responde a la pregunta ¿qué se va a investigar?

1.4.1.2 La finalidad.

Al analizar que se va a investigar se propone definir el objeto de investigación, determinar la naturaleza cuantitativa y cualitativa,

determinar la posibilidad de su investigación y limitar el objeto

investigable, con los que se responde el por qué:

Definir el objeto de la investigación. Es la fijación precisa del concepto de o que se aspira indagar. Decir con claridad y

exactitud lo que la estadística va a recoger. La unidad o



Página 21

elemento de investigación debe ser: clara, adecuada,

mensurable y comparable. Determinar su naturaleza cuantitativa o cualitativa del objeto de

la investigación. Esto es, establecer si la variable investigada es

de naturaleza numérica (cuantitativa) o de atributo (cualitativa).

Determinar la posibilidad de investigación. Es necesario examinar si el objeto de la investigación pueden ser conocidas

con precisión, si se exteriorizan, si pueden contarse si admiten

su existencia y su intensidad.

Limitar el objeto investigable. Por imposibilidad o por ser

innecesaria la observación completa, la estadística reduce sus trabajos a un doble aspecto. El primero limitando el objeto de la

investigación y segundo limitando el campo de la investigación.

La limitación de la investigación puede darse de manera

coordinada en función del tiempo, espacio, número, etc.

1.4.1.3 La fuente de información.

A continuación es necesario identificar en dónde se obtener

información de la investigación y si aquellas fuentes son de naturaleza directa o indirecta.

Las investigaciones directas se recogen los datos de un

acontecimiento de cualquier índole, cuando acudimos a él, lo

observamos y anotamos su presencia o su ausencia y su intensidad mediante números. Por tanto se llamará fuente de información

estadística directa allí donde el hecho sujeto de la investigación se

produce, como por ejemplo, la familia, la empresa, la fábrica, los

costos, los precios, etc.

Las investigaciones indirectas son cuando se recurren a un hecho distinto del que se está interesado, para después deducir de

éste el valor del que en definitiva se desea conocer. Son

inducciones lógicas, cálculos aproximados, estimaciones que

constantemente se realizan en los negocios. Ejemplos de estos pueden ser: la estimación de la cosecha en base a la siembra de un

producto agrícola, el cálculo poblacional en una fecha intermedia se

determina en base a dos censos, las necesidades de llantas se

calculan en base a la cantidad de autos en circulación en un estado o región, etc. Las fuentes de información indirectas son aquellas

donde el hecho investigado se manifiesta indirectamente o donde

se refleja.



Página 22

También pueden clasificarse a las fuentes de información como

primaria, cuando se obtiene directamente de la investigación, realizada usualmente a través de una encuesta, y secundaria,

cuando se trata de información complementaria, publicada por la

misma institución o cualquier otra.

1.4.1.4 Los procedimientos de investigación.

Señala las normas que determinan el cómo debe realizarse la

investigación; estas se resumen en los siguientes puntos.

Claridad y publicidad. Toda investigación debe ser clara y

conocida por observadores y observados. La claridad debe estar

presente en todo el proceso de investigación.

Sencillez. Debe estar presente en: los formularios, las

instrucciones, en el proyecto, en la finalidad, en las tablas, en los gráficos, en los comentarios y análisis, operaciones de cálculo,

etc.

Utilidad. Toda estadística que se inicie debe tener alguna

aplicación práctica de interés.

Las investigaciones pueden ser:

Ocasional. Si se da la recolección de datos en circunstancias

extraordinarias, cuando eventualmente se presenta un problema, o se agita su solución. Por ejemplo cuando se realiza

una investigación del costo de vida o de salarios cuando se

plantea una huelga.

Periódica. Aquellas investigaciones que se repiten de tiempo en

tiempo, en lapsos regulares. Ejemplos de ello se tiene los censos en periodos decenales, las estadísticas de las industrias con

periodicidad anual, los boletines de comercio exterior en forma

mensual, etc.

Continua. Son estadísticas que se produce sin interrupción, ejemplos de ellas se tiene a las demográficas como: la natalidad,

la mortalidad, los matrimonios, tráfico por carreteras, etc.

Registro permanente. Aquellas que se registra a medida que

el hecho tiene lugar. Por ejemplo los accidentes de tránsito, suicidios, etc.

1.4.1.5 Sistemas de investigación



Página 23

Se distinguen varios procedimientos de investigación, entre ellos

se tiene:

Las recopilaciones automáticas de datos por declaración

espontánea del sujeto de la investigación, como inscripciones

obligatorias en los casos de natalidad, matrimonios, mortalidad,

migración, comercio exterior, edificaciones, recaudación de impuestos, etc.

Las recopilaciones intencionales de datos, obtenidas mediante

empleo de un agente que ex profeso vaya a la fuente de

información para registrar los datos, como en los casos de los

censos de población y vivienda, encuestas de hogares sobre ingresos y gastos, sobre las condiciones de una determinada

industria, etc.

Investigaciones completas, son aquellas que recogen todos los

datos, indagan todo el campo de observación, como todos los balances de la banca, la producción de sal, la de cemento, de

transporte aéreo, que tiene lugar en una región o estado.

Investigaciones incompletas, son las que sólo atienden a una

parte de las unidades estadísticas, bien por no ser posible recoger la totalidad de los datos, por no ser necesario para el fin

que se persigue. Si la estadística incompleta no es

representativa del conjunto, no es típica para generalizar los

resultados parciales al conjunto de los casos. En caso contrario,

cuando el círculo estudiado numéricamente puede sustituir al total, la estadística incompleta es de extraordinaria utilidad.

Las recopilaciones voluntarias de datos, frecuentemente se

llevan a cabo por las instituciones privadas y se refieren

comúnmente a las monografías y encuestas científicas. La radio, prensa y las revistas suelen invitar a sus lectores a opinar sobre

algunos problemas candentes o a declarar un dato de su vida o

negocio particular.

Pues bien, de estos sistemas, el proyecto, para el caso

particular, tendrá que decir cuál interesa más y cuál debe

emplearse.

Sobre la recolección de información, puede ser por correo, entrega personal del cuestionario y la entrevista; otros sistemas de

menor importancia corresponden a: internet, teléfono y panel.

Todos estos presentan ventajas y desventajas, por ejemplo la

entrevista resulta más ventajosa por que proporciona un mayor

número de cuestionarios recolectados, mayor número de



Página 24

respuestas, permite aclarar el objetivo de la investigación y las

dudas del informante; entre sus desventajas se tiene mayor costo, más tiempo de recolección, alto número de encuestadores, etc.

1.4.1.6 El material estadístico

Está constituido por los útiles, documentos o instrumentos

necesarios para llevar adelante la investigación. El material puede

dividirse en impreso e instrumental.

Material impreso. Se refiere a los formularios o cuestionarios,

boletines, hojas de inscripción, registros, circulares, pliegos de

instrucciones, etc.

Las normas de diseño y redacción de un formulario que se

someterá a discusión, pruebas y aprobación, son las siguientes.

Debe ser sucinto, limitado a las preguntas esenciales, las

necesarias para los fines de la investigación y que efectivamente

pueda obtenerse de la fuente informativa.

Debe prescindirse de toda pregunta indiscreta que levante suspicacias y temores, o que moleste al investigado.

Debe ser claro, fácilmente comprensible, no ofrecer dudas en la

forma de contestar cada pregunta, que admita una sola

interpretación. Debe evitarse los juicios personales del investigador y del

investigado, como cuando se deje a criterio del calificador juzgar

la importancia o la bondad de un hecho (grande, mediano o

pequeño); (bueno, regular, malo).

También debe tenerse en cuenta, la clase de papel, su tamaño, la distribución de las partes del cuestionario, su impresión,

colores, el tiempo de llenado, etc.

Equipos. La recolección de datos y la elaboración posterior requieren de varios instrumentos, aparatos, máquinas y útiles, que

quien proyecta debe tener en cuenta, en su número y clase. Existen

investigaciones que requieren de instrumentos especiales, sin los

que no se podrían recoger datos. En una investigación de antropometría, requiere de escalas cromáticas de la piel, del pelo,

de los ojos, cinta métrica, balanza, etc. Si se trata de llevar



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estadísticas de una empresa sobre los horarios de entrada y salida

del personal que labora o el de un aparcadero de autos, será necesario contar con un reloj marcador. En un almacén, la

estadística de ventas e ingresos se lleva en una caja registradora.

1.4.1.7 El costo y su financiación.

La estimación previa de gastos y su financiamiento, constituye el

último punto del proyecto de investigación estadística. Estos gastos pueden ser atribuidos a estudios preliminares, asesorías, trabajos

geográficos, formulación del plan, plan de propaganda, impresión

del formulario, selección y adiestramiento del personal,

contratación de servicios auxiliares, materiales y equipos, trabajo

de campo, sistematización de la información y publicación.

Todo proyecto de esta clase debe ser discutido y aprobado por

un grupo de técnicos en estadística y por peritos en la materia que

va a investigarse.

La consecución del financiamiento no debe dejarse para más tarde de la etapa de preparación, su previsión debe abarcar la

cantidad de dinero necesario hasta el final de la investigación.

Aprobado el plan con las modificaciones del grupo de técnicos y

peritos, se continúa con la ejecución del mismo.

1.4.2 RECOLECCIÓN

Preparado el proyecto de investigación es posible comenzar con

la recolección de la información. La etapa de recolección comprende aspectos tales como:

Distribución del material o instrumento de recolección.

La recolección propiamente dicha.

Control del número de formularios recolectados Control sobre la calidad de la información recolectada.

1.4.3 CRÍTICA Y CODIFICACIÓN

Es un conjunto de operaciones de revisión y corrección de la información recolectada, que nos permita agruparla y procesarla,



Página 26

de tal manera que se facilite la elaboración de tablas, gráficos y

análisis, necesarios en su publicación.

El objeto de la crítica, es clasificar el material primario que

precede de la misma investigación, en tres grupos: material bueno,

material incorrecto pero corregible y material incorregible o

desechable.

La necesidad de procesar la información recogida en los

cuestionarios, ha obligado a traducir las respuestas en códigos. Por

ejemplo, el código para la pregunta estado civil, podría establecerse

de la siguiente manera.

Tabla 1.

CÓDIGO DE ESTADO CIVIL DE LOS CIUDADANOS

ESTADO CIVIL CÓDIGO

ESTADO CIVIL CÓDIGO

Soltero 1 Viudo 4 Casado 2 Separado 5 Divorciado 3 Otro 6

Cuando el número de respuestas sobrepasa de 9, es preciso utilizar cifras de dos dígitos, tal como:

Tabla 2. CÓDIGO DE PROFESIONES DE LOS CIUDADANOS

PROFESIONES CÓDIGO

Abogado/a 01

Actor /Actriz 02

Agente de viaje 03

Arquitecto/ a 04

Astrónomo/a 05

Veterinario/a 35

1.4.4 TABULACIÓN Y PROCESAMIENTO

Puede ser manual, mecánica o computarizada y su elección

dependerá:

De la cantidad de formularios que se van a utilizar. Del número de preguntas que tenga el formulario.



Página 27

Del tiempo y los recursos, ya sean financieros o de equipo

disponible.

Cuando la tabulación se acuerda desde el principio como parte

integrante de la planeación general de la investigación, es de

suponer que todo el proceso será totalmente satisfactorio, sin embargo, es necesario que sea revisado a fin de detectar

inconsistencias que se presenten en el presente proceso o en

procesos anteriores. Una vez elaboradas las correcciones, se

procede a elaborar las tablas, gráficos, análisis, conclusiones y

recomendaciones, de ser el caso.

1.4.5 ANÁLISIS E INTERPRETACIÓN

El análisis de los datos tiene que ver con la formulación del objetivo de la investigación y de las hipótesis establecidas; sin

embargo, este proceso de análisis tendrá menos dificultad, si el

investigador tiene pleno conocimiento de los problemas que son

inherentes al planteamiento de la investigación.

En este proceso, se debe considerar la elaboración de distribuciones o tablas de frecuencia obtenidas a través de una

sistematización de la información para poder ser presentada en

forma de tablas y gráficos. Con los resultados anteriores se procede

a realizar un resumen y aplicar las diferentes medidas, a las que se ha denominado estadígrafos cuando son aplicados a las

características de las unidades de la muestra o como parámetros

aplicados a las características de la población, entre los que se

tendrá en cuenta las medidas de dispersión, promedios, porcentajes y proporciones.

Con las cifras resultantes, se pueden hacer comparaciones con

otros estudios o estudios anteriores, para llegar a mejores

conclusiones.

1.4.6 PUBLICACIÓN

La publicación propone llegar a las personas interesadas, el

resultado total del estudio, teniendo en cuenta todos los aspectos considerados en el proceso, de tal forma que los datos sean

comprensibles, con la correspondiente validez que merezcan las

conclusiones.



Página 28

En términos generales se puede decir que un informe deberá

contener:

Planteamiento del problema.

Objetivo de la información.

Hipótesis que se quiere probar.

Breve exposición de la metodología utilizada, diseño y tamaño de la muestra. Proceso de selección de las unidades de

información y recolección.

Se podrá incluir en el informe, copia del formulario utilizado en

la recolección de la información, aún relacionando y justificando,

en forma sucinta, las preguntas que se consideran más importantes dentro de la investigación.

Descripción de resultados en forma de tablas y gráficos,

acompañados del análisis y comparaciones obtenidas a través de

los datos. Conclusiones y recomendaciones. Estas últimas cuando así lo

exija la investigación.

En algunos casos, el informe tiene una parte final, denominada

apéndice, en donde se incluyen tablas más generales, que permiten aclarar o comprobar rápidamente cualquier información

más detallada. también puede incluir información

complementaria al informe.

1.5 TABLAS ESTADÍSTICAS

Al realizar una investigación estadística, lo más probable es que

se cuente con una gran cantidad de datos correspondientes a una variable de interés, por lo que será necesario tabularlos; es decir,

hay que confeccionar con ellos una tabla en la que aparezcan

ordenadamente. Esto es los valores de la variable de interés o

estudio y el número de elementos o individuos de cada valor; es decir, su frecuencia.

En la sección 1.1.3 se realizó la distinción entre variables

cualitativas y cuantitativas. Recordando, la variable cualitativa o

atributo, es de naturaleza no numérica, la cual puede clasificarse en distintas categorías, no hay un orden particular en estas categorías.

Ejemplos de datos cualitativos incluyen la afiliación política a los

distintos partidos existentes en el Ecuador como: Partido Renovador

Institucional Acción Nacional, Partido Avanza, Partido Movimiento Popular Democrático, Partido Sociedad Patriótica, Partido Socialista,

Partido Social Cristiano, etc., el método de pago al comprar en



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Supermercados La Favorita (SUPERMAXI): efectivo, cargo a tarjeta

de débito, crédito, etc. Por otra parte, las variables cuantitativas son de índole numérica. Ejemplos de datos cuantitativos

relacionados con estudiantes universitarios incluyen: el precio de

los libros de texto, edad y horas que pasan estudiando a la semana,

etc.

1.5.1 PARTES DE UNA TABLA

Según el documento Introducción al estilo APA, 6ta. Ed., preparado por el Lic. Manuel De La Vega Miranda, de la Universidad

Nacional abierta y a Distancia, enuncia a continuación los

elementos e instrucciones que se debe tener en cuenta para la

elaboración de tablas estadísticas (De La Vega, 2012).

Las normas APA, generalmente las tablas, exhiben valores

numéricos exactos y los datos están dispuestos de forma

organizada en líneas y columnas, facilitando su comparación.

Las tablas son eficientes para presentar una gran cantidad de

datos en un pequeño espacio. Si la tabla es corta (dos o menos columnas y/o filas) se debe presentar textualmente la información.

De manera general la estructura de una tabla está conformada

por las partes señaladas en la figura 1.

Las tablas para su adecuada construcción debe observase los siguientes puntos.

1.5.1.1 Numeración de las tablas

Las tablas deben ser enumeradas con números arábigos secuencialmente dentro del texto y en su totalidad). Ej.: Tabla 1,

Tabla 2, Tabla 3, etc. No utilice subíndices (3, 3a y 3b). Si la tabla

está dentro de un apéndice, use letras mayúsculas y números

(Tabla B2)



Página 30

Figura 1. Identificación de las partes que conforma una tabla estadística

1.5.1.2 Títulos de tablas

El título de la tabla debe ser breve, claro y explicativo. Debe ser

puesto arriba de la tabla, en el margen superior izquierdo, debajo

de la palabra Tabla (con la inicial en mayúscula) y acompañado del número con que la designa. Si es necesario puede explicarse las

abreviaturas dentro del mismo título [i.e., falsa alarma (FA)]

Relación entre tablas y texto. Las tablas complementan, no duplican

el texto. Se escribe en el texto los elementos destacados de la tabla. Al citar tablas en el cuerpo del texto, se escribe el número

específico de la tabla. (ej.: como se muestra en la Tabla 1, Tabla 2,

Tabla3, etc. (la palabra Tabla inicia con mayúscula). No se escribe,

“la tabla que se muestra arriba o abajo”, tampoco, “la tabla de la página43”.

Relación entre tablas. Evite combinar tablas que repitan datos. Para

facilitar comparaciones, se debe ser consistente en la presentación

de todas las tablas. Se debe usar la misma terminología para todos

los casos.

Encabezado. Establece la lógica para la organización de los datos.

Identifica las columnas de datos debajo de ellos. Debe ser corto, no

más ancho que la columna que abarca.

1.5.1.3 Cuerpo de una tabla:

a. Valores enteros y/o decimales.

b. Celdillas vacías.

Deje en blanco si no hay datos.



Página 31

Inserte una raya (guion) si no se obtuvieron o no se

informaron los datos. c. Concisión.

No incluya columnas de datos que puedan calcularse con

facilidad a partir de otras.

1.5.1.4 Notas de la tabla.

Las tablas presentan tres tipos de notas: generales, específicas y de

probabilidad.

Las notas son útiles para eliminar la repetición en el cuerpo de una tabla. Se ubican en el margen izquierdo (sin sangría) debajo de

la tabla (entre la tabla y la nota se insertan dos espacios). Y deben

ser ordenadas en esta secuencia: nota general, nota específica y

nota de probabilidad, y cada tipo de nota debe ir en una línea

nueva.

Nota general. Explica u ofrece informaciones relacionadas a la

tabla como un todo, explica las abreviaturas, símbolos y afines

Nota específica. Se refieres a una columna, fila o ítem especifico.

Debe ser indicada por letra minúscula sobrescrita (a, b, c).

Nota de probabilidad. Indica los resultados de pruebas

significativos y se indican con asterisco sobrescrito (*). *p < .05,

**p < .01.

1.5.1.5 Tablas de otras fuentes.

Debe obtener la autorización de la fuente que posee la propiedad

literaria (derecho de autor), para reproducir o adaptar una parte o

toda una tabla de otro autor.

Las tablas reproducidas de otra fuente, deben presentar debajo

de la tabla, la referencia del autor original, aunque se trate de una

adaptación.

1.5.2 TIPOS DE TABLAS

1.5.2.1 Tablas de una entrada.

Se denominan de una entrada o de entrada simple, cuando

representan una sola variable o característica de la realidad. En la



Página 32

columna matriz van las clases en que se presenta las variaciones de

la característica en estudio.

Tabla 3. ESTUDIANTES DE LA MODALIDAD A DISTANCIA DE LA FACULTAD DE

CIENCIAS ADMINISTRATIVAS DE LA UCE, SEGÚN EDAD DEL PERIODO ABR – SEP DEL 2015.

EDAD (AÑOS

CUMPLIDOS) NÚMERO

18 – 27 1,146 28 – 37 573 38 – 47 291 48 – 57 113

MAS DE 57 52

TOTAL 2,175

1.5.2.2 Tablas de dos entradas.

Son tablas en las que se presentan dos variables de la realidad,

las clases de una de ellas van en la columna matriz (vertical) y las clases de la segunda en el encabezado (horizontal).

Tabla 4. ESTUDIANTES DE LA MODALIDAD A DISTANCIA DE LA FACULTAD DE

CIENCIAS ADMINISTRATIVAS DE LA UCE, SEGÚN EDAD Y GÉNERO, DEL PERIODO ABR – SEP DEL 2015.

EDAD (AÑOS CUMPLIDOS)

NÚMERO DE ESTUDIANTES TOTAL

Masculino Femenino

18 – 27 478 668 1146 28 – 37 243 330 573 38 – 47 158 133 291 48 – 57 67 46 113

MÁS DE 57 32 20 52

TOTAL 2,175

1.5.2.3 Tablas complejas:

Son tablas que presentan en forma simultánea tres o más

variables o características de la realidad en estudio, una va en la columna matriz y las otras en el encabezado. El uso de estas tablas

debe ser restringido, porque puede ser complicada su interpretación

si representan muchas variables.



Página 33

Tabla 5.

ESTUDIANTES DE LA MODALIDAD A DISTANCIA DE LA FACULTAD DE

CIENCIAS ADMINISTRATIVAS DE LA UCE, SEGÚN EDAD, TIPO DE COLEGIO Y GÉNERO, DEL PERIODO ABR – SEP DEL 2015.


BACHILLERATO EN COLEGIO

TOTAL Fiscal Fisco misional Particular

Masculino Femenino Masculino Femenino Masculino Femenino

18 – 27 259 297 82 112 137 259 1,146

28 – 37 163 154 57 55 23 121 573

38 – 47 87 66 22 22 49 45 291

48 – 57 29 23 14 7 24 16 113

MÁS DE 57 15 12 9 3 8 5 52

TOTAL 553 552 184 199 241 446 2,175

Ejemplo de aplicación 1

En el feriado del 10 de agosto del 2015, se preguntó a un total de 1,000 residentes de la sierra ecuatoriana, ¿qué playa para

vacacionar preferían? Los resultados fueron que a 200 les gustaba

más alguna de las playas de le provincia de Esmeraldas; a 300,

alguna de las playas de la provincia de Manabí; a 400, alguna de las playas de la provincia de del Guayas y a 100, alguna de las

playas de la provincia de El Oro. Elabore una tabla con los puntos

sugeridos.

Solución

Tabla 6

PREFERENCIA DE LOS CIUDADANOS DE LA SIERRA ECUATORIANA, SOBRE LAS PLAYAS POR PROVINCIA EN LAS QUE LES GUSTA VACACIONAR, EN AGOSTO

DEL 2015.

PROVINCIA NÚMERO

Playas de Esmeraldas 200 Playas de Manabí 300 Playas de Guayas 400 Playas de El Oro 100

TOTAL 1,000




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Se preguntó a 500 viajeros (as) de negocios frecuentes que

llegaron a la ciudad Quito, ¿qué hotel era de su preferencia?, los resultados fueron los siguientes: Casa Gangotena, 25; Swissotel,

100; Hilton Colón, 80; Best Western Premier, 120; Casa San

Marcos Hotel, 45; el resto prefería JW Marriott Hotel. El 30% son

mujeres. a. Elabore una tabla de frecuencias la distribución por hotel y

género.

b. Elabore una tabla de frecuencias la distribución por hotel,

género y región de origen (Porcentaje aproximado: costa

45%, sierra 35% y oriente 20%; aproxime al entero más cercano).

Solución

a) La tabla estará dispuesta por la primera columna con los

nombres de los hoteles que frecuentan los viajeros de negocios a la ciudad de Quito; las siguientes dos columnas identificarán el

género de los viajeros; y una última columna por el total.

Tabla 7.

PREFERENCIA DE HOTELES DE VIAJEROS (AS) DE NEGOCIOS QUE LLEGAN A QUITO, SEGÚN GENERO, EN AGOSTO DEL 2015.

HOTEL GÉNERO

TOTAL Femenino Masculino

Casa Gangotena 9 21 30 Swissotel 30 70 100 Hilton Colón 24 56 80 Best Western Premier 36 84 120 Casa San Marcos Hotel 12 28 40 JW Marriott Hotel 39 91 130

TOTAL 150 350 500

b) La tabla estará dispuesta al igual que la tabla 7, y además se

adicionará columnas que identifiquen las regiones del Ecuador

continental.

Tabla 8

PREFERENCIA DE HOTELES DE VIAJEROS (AS) DE NEGOCIOS QUE LLEGAN A QUITO, SEGÚN GENERO Y REGIÓN DE PROCEDENCIA, EN AGOSTO DEL 2015.

HOTEL GÉNERO TOTAL



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Femenino Masculino

Costa Sierra Oriente Costa Sierra Oriente

Casa Gangotena 4 3 2 10 7 4 30 Swissotel 14 11 5 31 25 14 100 Hilton Colón 11 8 5 25 20 11 80 Best Western Premier 16 13 7 38 29 17 120 Casa San Marcos Hotel 5 4 3 13 10 5 40 JW Marriott Hotel 18 14 7 41 32 18 130

TOTAL 68 53 29 158 123 69 500

1.6 GRÁFICOS ESTADÍSTICOS

En las investigaciones estadísticas, comúnmente se tendrá una gran cantidad de datos numéricos, con los que se tendrá elaboradas

tablas que resumen la información recolectada. A más de esto, es

necesario contar con gráficas estadística, las cuales permiten tener

información clara y rápida de lo obtenido en el estudio.

Existen varias gráficas para describir un conjunto de datos;

dependiendo de lo que se requiera representar, cada una de ellas

es adecuada para un estudio determinado, ya que no siempre se

puede utilizar la misma para todos los casos.

1.6.1 GRÁFICAS LINEALES

Se compone de una serie de datos representados por puntos,

unidos por segmentos lineales. Mediante esta gráfica se puede comprobar rápidamente el cambio de tendencia de los datos.

Los diagramas o gráficas lineales son de aplicación en las

denominadas series de tiempo o series cronológicas, donde una de

las variables, por defecto, corresponde al tiempo ( ) (años, meses,

días, etc.) y la segunda es la variable investigada (Y) (Martínez,

2012).

Un ejemplo de gráficas lineales podría obtenerse con los datos de la empresa ABC, en la que se señala los ingresos y costos

anuales, que se muestran a continuación

Tabla 9.

INGRESOS Y COSTOS DE LA EMPRESA ABC EN LOS AÑOS 2004 A 2010.

AÑOS INGRESOS COSTOS EN



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EN MILES MILES

2004 260 110 2005 380 200 2006 300 150 2007 620 420 2008 470 360 2009 720 510 2010 870 620

3,620 2,370

Si solo se quiere observar la evolución de los ingresos de la empresa ABC, en una gráfica lineal, se presentaría de la siguiente

manera.

Figura 2. Evolución de los ingresos de la empresa ABC en los años 2004 a 2010

Si se representa, tanto los ingresos como los costos, en una

gráfica lineal, estos se representan en la misma forma que la

gráfica anterior; además que se observarán las diferencias para cada uno de los años; el espacio entre las líneas de costos e

ingresos, representa la utilidad bruta anual. Observe las diferencias

que existen para los años 2008 y 2010, es claro que en el 2010, la

utilidad es mayor.

0

200

400

600

800

1000

2004 2005 2006 2007 2008 2009

E

N

M

I

L

E

S

$

AÑOS



Página 37

Figura 3. Evolución de los ingresos y costos de la empresa ABC de los años

2004 a 2010.

1.6.2 GRÁFICOS DE SUPERFICIE

Este tipo de gráficos puede comparar varias series de datos,

como novedad respecto al resto de gráficos. En este caso se

emplean distintos colores para diferenciar cada valor que corresponde a una unidad mayor. Si los datos están muy dispersos

el gráfico será muy difícil de interpretar (Recursos para trabajos

administrativos, 2013).

Tabla 10.

INVENTARIO DE ARTÍCULOS PARA LA VENTA DE ALMACENES 1, 2 Y 3.

ALMACÉN 1 ALMACÉN 2 ALMACÉN 3

Tijeras 4 6 8

Bolígrafos 2 4 6

Carpetas 1.4 3 6

Lapiceros 4 6 8

0

100

200

300

400

500

600

700

800

900

1000

2004 2005 2006 2007 2008 2009 2010

E

N

M

I

L

E

S

$

AÑOS

INGRESOS EN MILES

COSTOS EN MILES

UTIL

IDAD



Página 38

Figura 4. Inventario de artículos para la venta de almacenes 1, 2 y 3.

1.6.3 OTROS

1.6.3.1 Gráficos XY (de dispersión):

Presentan la peculiaridad de que los dos ejes muestran valores

(no hay un eje de categorías). Se emplean para reflejar la relación

entre dos variables. Ejemplo: relación entre la Renta y la Inversión, las dos variables están correlacionadas, a mayor renta mayor

inversión (Recursos para trabajos administrativos, 2013).

Tabla 11.

RELACIÓN ENTRE LA RENTA Y LA INVERSIÓN EN MILES DE DÓLARES.

Renta en miles $ Inversión en miles $

1 1.5 2 2.1 3 3.2



Página 39

Figura 5. Relación entre la renta y la inversión en miles de dólares.

1.6.3.2 Gráficos de área

Son como los gráficos de líneas, pero con colores debajo de las líneas

para ayudar a su identificación, ya que apilar las series contribuye a

verlas más claramente (Recursos para trabajos administrativos,

2013).

Tabla 12.

VENTAS ANUALES POR TIPO DE ORDENADORES.

AÑOS SOBREMESA PORTÁTILES

2008 32 12

2009 32 12

2010 28 12

2011 12 21

2012 15 28

0

0.5

1

1.5

2

2.5

3

3.5

0 1 2 3 4

I

N

V

E

R

S

I

Ó

N

E

N

M

I

L

E

S

$

RENTA EN MILES $



Página 40

Figura 6. Ventas anuales por tipo de ordenadores de los años 2008 a 2012.

1.7 DISTRIBUCIONES UNIDIMENSIONALES DE

FRECUENCIAS

La tabla formada por las distintas modalidades (valores o intervalos) del carácter X y por las frecuencias absolutas, absolutas

acumuladas, relativas o relativas acumuladas, recibe el nombre de

distribución de frecuencias: absolutas, absolutas acumuladas,

relativas y relativas acumuladas, respectivamente (García & Japón , 2015).

Por lo anterior, se tiene cuatro distribuciones de frecuencias,

obteniéndose a partir de una cualquiera de ellas, las tres restantes,

supuesto que se conoce la frecuencia total. Las cuatro

distribuciones de frecuencias se expresan en tablas como las que se presentan a continuación.

a. Carácter cualitativo.

n 1

0

10

20

30

40

50

2008 2009 2010 2011 2012

PORTÁTILES

SOBREMESA



Página 41

b. Carácter cuantitativo sin agrupar

n 1

c. Carácter cuantitativo agrupado en intervalos

n 1

Para la preparación de una tabla de distribución de frecuencias

de carácter cuantitativo agrupado en intervalos, tenga en cuenta lo

siguiente.

1.7.1 DISTRIBUCIONES DE FRECUENCIAS PARA

DATOS CUANTITATIVOS

Las variables cuantitativas tales como número de hermanos,

número de goles marcados por un equipo de fútbol, valor de ventas

diarias, producción de un bien en la semana, pago de sueldos mensuales, número de turistas anuales que han ingresado al

Ecuador durante una década, etc. son idóneas para realizar

distribuciones de frecuencias de datos cuantitativos.

Distribución de frecuencias. Agrupación de datos en clases mutuamente excluyentes, que muestra el número de observaciones

que hay en cada clase.



Página 42

1.7.1.1 Pasos para elaborar una distribución de

frecuencias

Los pasos para elaborar una distribución de frecuencias son:

1. Determinar el número de clases que se desea tener.

2. Determinar la amplitud o intervalo de clase. 3. Determinar los límites de cada una de las clases.

4. Distribuir los datos originales en las distintas clases o tabular.

5. Contar el número de elementos en cada clase que corresponde al

valor de la frecuencia.

Paso 1. Determinar el número de clases

Es usar suficientes grupos o clases, que indiquen la forma de la

distribución, por lo que se recomienda un número de clase no

menor a 5 ni mayor a 15. El objetivo es usar un número suficiente de clases que indiquen la forma de la distribución.

Para determinar el número de clases se utiliza la regla “2 k n”,

la misma que sugiere utilizar como número de clases el menor

número (k) tal que 2 k(en palabras 2 elevado a la potencia k) sea

mayor que el número de observaciones (n).

Donde:

Por ejemplo, si se realizaron 30 llamadas telefónicas para la venta de computadores y se desea saber cuántas clases se debe

utilizar;

Utilizando la regla tenemos:



Página 43

Al ser 32 mayor que 30, la regla para calcular el número de

clases, se recomienda que sean 5 clases en la tabla de frecuencias.

Paso 2. Determinar la amplitud o intervalo de clase.

Para determinar la amplitud se resta del límite superior, el

inferior de un conjunto de datos y se divide para el número de clases.

Al conocer el ancho del intervalo o intervalo de clase a utilizar,

se puede aplicar la siguiente fórmula para encontrar el número de

clases a utilizarse; en caso de que se manejen datos agrupados.

Donde:

El primer procedimiento a estudiar para organizar y resumir un conjunto de datos es realizar una tabla de frecuencias.

TABLA DE FRECUENCIAS O FRECUENCIA ABSOLUTA .

Se agrupa datos cualitativos y cuantitativos en clases

mutuamente excluyentes que muestra el número de observaciones

en cada clase. Por ejemplo, en la venta de vehículos marca Toyota

se identifica cinco modelos SUV'S, la identificación por modelo es

una variable cualitativa. Suponga que Toyota Ecuador desea resumir las ventas del año pasado por modelo de vehículo. El

resumen en una tabla de frecuencia se presentaría de la siguiente

manera.



Página 44

Tabla 13.

Tabla de frecuencias absolutas de vehículos Toyota, modelos Suv's vendidos en el ecuador en el año 2014.

Modelos SUV'S Número de vehículos.

4RUNNER 300

FJ CRUISER 200

FORTUNER 400

LAND CRUISER 200

RAV4 500

FRECUENCIA ABSOLUTA ACUMULADA .

Esta frecuencia tiene sentido calcularla para variables

cuantitativas o cualitativas ordenables, en los demás casos no tiene

mucho sentido el cálculo de esta frecuencia. La frecuencia absoluta

acumulada es el número de veces que ha aparecido en la muestra o población un valor menor o igual que el de la variable.

El cálculo de la frecuencia absoluta acumulada está dado por la

fórmula

La frecuencia absoluta acumulada de las operaciones de

microcréditos de la Cooperativa de Ahorro y Crédito La Dura, se

presenta en la tabla 14.

Tabla 14.

Tabla de frecuencias absolutas acumuladas de operaciones de microcrédito de la C.A.C. La Dura, correspondiente al año 2014.

Frecuencia absoluta

acumulada

Microcrédito minorista 300 300

Microcrédito de acumulación simple

200 500

Microcrédito de acumulación ampliada

400 900

TOTAL 900



Página 45

FRECUENCIAS RELATIVAS DE CLASE .

Es la fracción del número total de observaciones en cada clase; esto es, la frecuencia relativa capta la relación entre la totalidad de

elementos de una clase y el número total de observaciones. En el

ejemplo de la venta de vehículos Toyota, busca conocer el

porcentaje de vehículos modelos SUV'S vendidos en el Ecuador en el año 2014.

La fórmula de cálculo para las frecuencias relativas de clase está

dada por

, o

Donde

Tabla 15.

Tabla de frecuencias absolutas y relativas de vehículos Toyota, modelos Suv's vendidos en el ecuador en el año 2014.

Frecuencia relativa .

Frecuencia relativa .

4RUNNER 300 0.19

FJ CRUISER 200 0.12

FORTUNER 400 0.25

LAND CRUISER 200 0.13

RAV4 500 0.31

TOTAL 1.0000

Frecuencia relativa acumulada .

Es el cociente entre la frecuencia acumulada de una clase determinada y el número total de datos.

La fórmula de cálculo de las frecuencias relativas acumuladas se

obtiene al calcular



Página 46

, o

Tabla 16.

Tabla de frecuencias absolutas, absolutas acumuladas, relativas y relativas acumulada de vehículos Toyota, modelos Suv's vendidos en el Ecuador en el año 2014.

. Frecuencia

relativa

acumulada

4RUNNER 300 300 0.188 0.19

FJ CRUISER 200 500 0.125 0.31

FORTUNER 400 900 0.250 0.56

LAND

CRUISER 200 1,100 0.125 0.69

RAV4 500 1,600 0.313 1.00

TOTAL 1,600 1.0000


Se ha investigado el número de hijos correspondientes a 25

familias, los resultados se muestran a continuación.

1 2 2 0 1 3 2 3 4 0 2 1 3

4 1 4 2 2 0 1 3 5 1 2 3

a. Elabore una tabla de frecuencias absolutas.

b. Otra con frecuencias absolutas, absolutas acumuladas, relativas y relativas acumuladas.

Solución

a. Se elabora una tabla resumen, la cual contendrá en el presente caso, en la primera columna, la variable cuantitativa (número de

hijos por familia) y para la segunda columna, el conteo

correspondiente de acuerdo al número de hijos obtenido en los

datos.



Página 47

Tabla 17.

Conteo de número de hijos por familia

NÚMERO DE HIJOS CONTEO

0 III

1 IIIII I

2 IIIII II

3 IIIII

4 III

5 I

TOTAL 25

Una vez elaborado el conteo se procede a llenar la nueva tabla

con números arábigos.

Tabla 18. Distribución de frecuencias absolutas del número de hijos por familia.

NÚMERO DE HIJOS

FRECUENCIA

0 3

1 6

2 7

3 5

4 3

5 1

TOTAL 25

b. La tabla anterior contiene la frecuencia absoluta, por lo que le

llamaríamos distribución de frecuencias absolutas. A partir de

esta tabla se puede construir las demás frecuencias (absolutas

acumuladas, relativas y relativas acumuladas).

Tabla 19.

Distribuciones de frecuencias (absoluta, absoluta acumulada, relativa, relativa acumulada) del número de hijos por familia.

0 3 3 0.12 0.12

1 6 9 0.24 0.36

2 7 16 0.28 0.64

3 5 21 0.20 0.84

4 3 24 0.12 0.96

5 1 25 0.04 1.00

TOTAL 25

1



Página 48


Se ha investigado la estatura de 50 estudiantes de estadística,

los resultados que se muestran han sido previamente ordenados en

forma ascendente.

151 151 152 152 153 154 154 154 155 156

158 158 158 159 161 161 163 164 164 164

166 168 170 170 170 170 170 171 171 172

173 174 174 175 176 177 177 177 177 178

178 180 182 183 184 184 184 185 185 185

a. Elabore una tabla de frecuencias absolutas.

b. Otra con frecuencias absolutas, absolutas acumuladas, relativas

y relativas acumuladas.

Solución

a. Tenga en cuenta los pasos señalados en la preparación de una

tabla de distribución de frecuencias de carácter cuantitativo agrupado en intervalos.

PASO 1. Determinar el número de clases que se desea tener.

Donde ,

Entonces

Por tanto

Si , entonces se tendrá seis intervalos de clase.

PASO 2. Determinar la amplitud o intervalo de clase.

Donde:



Página 49

* El rango del problema es 35, sin embargo, se dispone de 36,

lo que da lugar para mover en una unidad en uno de los extremos, sea este, superior o inferior.

PASO 3. Determinar los límites de cada una de las clases.

150 – 156

156 – 162

162 – 168

168 – 174

174 – 180

180 – 186

PASO 4. Distribuir los datos originales en las distintas clases o

tabular.

150 – 156 IIIII IIIII

156 – 162 IIIII I

162 – 168 IIIII I

168 – 174 IIIII IIIII I

174 – 180 IIIII IIII

180 – 186 IIIII III

TOTAL 50

PASO 5. Contar el número de elementos en cada clase que

corresponde al valor de la frecuencia.



Página 50

Tabla 20.

Frecuencias absolutas de alturas de estudiantes de estadística del periodo 2015 – 2015.

150 – 156 10

156 – 162 6

162 – 168 6

168 – 174 11

174 – 180 9

180 – 186 8

TOTAL 50

b. La tabla anterior contiene la frecuencia absoluta, por lo que le

llamaríamos Distribución de frecuencias absolutas. A partir de esta tabla se puede construir las demás frecuencias (absolutas

acumuladas, relativas y relativas acumuladas).

Tabla 21.

Frecuencias: absolutas, relativas, absolutas acumuladas y relativas acumuladas de alturas de estudiantes de estadística del periodo 2015 – 2015.

150 – 156 10 10 0.20 0.20

156 – 162 6 16 0.12 0.32

162 – 168 6 22 0.12 0.44

168 – 174 11 33 0.22 0.66

174 – 180 9 42 0.18 0.84

180 – 186 8 50 0.16 1.00

50

1.00

1.8 DIAGRAMAS DE FRECUENCIAS

1.8.1 DATOS CORRESPONDIENTES A UN CARÁCTER

CUALITATIVO

Comúnmente las gráficas de datos cualitativos son en forma de barras y de pastel. Sin embargo en situaciones especiales pueden

ser útiles para datos cuantitativos.



Página 51

1.8.1.1 Diagrama de barras.

Se representa en el primer cuadrante de un sistema coordenado rectangular, aquí las clases se representan en el eje horizontal y la

frecuencia de clase en el eje vertical. Las frecuencias de clase son

proporcionales a las alturas de las barras. El eje horizontal muestra

la variable de interés y el eje vertical la cantidad, número o fracción de cada uno de los posibles resultados. Una característica distintiva

de la gráfica de barras es que existe una distancia o espacio entre

las barras.

Figura 7. Gráfica de barras de vehículos Toyota, modelos Suv's vendidos en el ecuador en el año 2014.

1.8.1.2 Gráficas en forma de pastel.

Es una gráfica que muestra la parte o porcentaje que representa

cada clase del total de números de frecuencia. Para elaborar una

gráfica de pastel consiste en registrar los porcentajes 0, 10, 20, … , 100 uniformemente alrededor de la circunferencia (véase la figura

8). Para indicar la parte de 19% destinada a 4RUNNER, trace una

línea del centro del círculo al 0, y otra línea del centro del círculo al

19%. Tome el punto cero del círculo y constitúyalo como punto de partida, girando en sentido a las manecillas del reloj, señale los

valores constantes en las frecuencias relativas acumuladas, en su

orden; ello le permitirá distribuir los porcentajes correspondientes

de cada una de las características de la variable.

0

100

200

300

400

500

300

200

400

200

500

Nú

mero

de v

eh

ícu

los

Modelos SUV'S



Página 52

Figura 8. Gráfica de pastel de vehículos Toyota, modelos Suv's vendidos en el ecuador en el año 2014.


CUANTITATIVO DISCRETO

1.8.2.1 Diagrama de barras

En el ejemplo del número de hijos por familia, la variable

número de hijos, es cuantitativa discreta, por tanto, recordando la

distribución de frecuencias absolutas del número de hijos por

familia de la tabla 15, se tiene

NÚMERO DE HIJOS

FRECUENCIA

0 3

1 6

2 7

3 5

4 3

5 1

TOTAL 25

El diagrama de barras correspondiente, se representa a

continuación.

4RUNNER19%

FJ

CRUISER12%

FORTUNER

25%LAND

CRUISER13%

RAV431%

4RUNNER

FJ CRUISER

FORTUNER

LAND CRUISER

RAV4



Página 53

Figura 9. Diagrama de barras del número de hijos por familia

1.8.2.2 Diagrama en forma de pastel

Recordando la distribución de frecuencias absolutas y relativas del número de hijos por familia de la tabla 16, se tiene

0 3 0.12

1 6 0.24

2 7 0.28

3 5 0.20

4 3 0.12

5 1 0.04

TOTAL 25 1

El diagrama en forma de pastel correspondiente a la frecuencia

absoluta , se representa a continuación.

Figura 10. Frecuencias absolutas del número de hijos por familia.

3

6

7

5

3

1

0

1

2

3

4

5

6

7

8

0 1 2 3 4 5

F

R

E

C

U

E

N

C

I

A

NÚMERO DE HIJOS

3

6

7

5

31

0

1

2

3

4

5



Página 54

El diagrama en forma de pastel correspondiente a la frecuencia

relativa , se representa a continuación.

Figura 11. Frecuencias relativas del número de hijos por familia.


CUANTITATIVO CONTINUO

Son de común aplicación en datos agrupados cuantitativo continuo. El histograma, el polígono y la ojiva, son gráficas

usualmente usadas para datos cuantitativos continuos, en los que,

como se observará a continuación, se representa las frecuencias:

absolutas, absolutas acumuladas, relativas y relativas acumuladas.

Para la representación gráfica, tenga en cuenta la Tabla 18, que

se observa a continuación.

150 – 156 10 10 0.20 0.20

156 – 162 6 16 0.12 0.32

162 – 168 6 22 0.12 0.44

168 – 174 11 33 0.22 0.66

174 – 180 9 42 0.18 0.84

180 – 186 8 50 0.16 1.00

50

1.00

0.12

0.24

0.28

0.20

0.12

0.04

0 1

2 3

4 5



Página 55

1.8.3.1 Histograma

Se representa en el primer cuadrante de un sistema coordenado

rectangular, aquí las clases se representan en el eje horizontal y la

frecuencia de clase en el eje vertical. Las frecuencias de clase son proporcionales a las alturas de las barras. El eje horizontal muestra

la variable de interés y el eje vertical la cantidad, número o fracción

de cada uno de los posibles resultados. Una característica distintiva

de la gráfica de barras es que no existe una distancia o espacio entre las barras.

El histograma es útil para representar las frecuencias absolutas y

relativas de una variable continua.

Figura 12. Histograma de frecuencias absolutas de las alturas de 50 estudiantes de estadística, del periodo 2015 – 2015.

Figura 13. Histograma de frecuencias relativas de las alturas de 50 estudiantes de estadística, del periodo 2015 – 2015.

10

6 6

11

98

0

2

4

6

8

10

12

150 – 156 156 – 162 162 – 168 168 – 174 174 – 180 180 – 186

F

R

E

C

U

E

N

C

I

A

A

B

S

O

L

U

T

A

ESTATURAS

0.2

0.12 0.12

0.22

0.180.16

0

0.05

0.1

0.15

0.2

0.25

150 – 156 156 – 162 162 – 168 168 – 174 174 – 180 180 – 186

F

R

E

C

U

E

N

C

I

A

R

E

L

A

T

I

V

A

ESTATURAS



Página 56

1.8.3.2 Polígono



frecuencia de clase en el eje vertical. Las frecuencias se representan por las alturas correspondientes en los extremos

superiores de cada intervalo. Una característica distintiva del

polígono es que las alturas correspondientes a los extremos

superiores se unen mediante segmentos.

El Polígono es útil para representar las frecuencias absolutas y

relativas de una variable continua.

Figura 14. Polígono de frecuencias absolutas de las alturas de 50 estudiantes de estadística, del periodo 2015 – 2015.

Figura 15. Polígono de frecuencias relativas de las alturas de 50 estudiantes de estadística, del periodo 2015 – 2015.

1.8.3.3 Ojiva



10

6 6

11

98

0

2

4

6

8

10

12

150 – 156 156 – 162 162 – 168 168 – 174 174 – 180 180 – 186

F

R

E

C

U

E

N

C

I

A

A

B

S

O

L

U

T

A

ALTURAS

0.2

0.12 0.12

0.22

0.180.16

0

0.05

0.1

0.15

0.2

0.25

150 – 156 156 – 162 162 – 168 168 – 174 174 – 180 180 – 186

F

R

E

C

U

E

N

C

I

A

R

E

L

A

T

I

V

A

ALTURAS



Página 57

frecuencia de clase en el eje vertical. Las frecuencias acumuladas

se representan por las alturas correspondientes en los extremos superiores de cada intervalo, dando una altura cero al extremo

inferior del primer intervalo y siendo constante a partir del extremo

superior del último. El eje horizontal muestra la variable de interés

y el eje vertical la cantidad, número o fracción de cada uno de los posibles resultados. Una característica distintiva de la ojiva es que

las alturas correspondientes a los extremos superiores se unen

mediante segmentos.

La ojiva es útil para representar las frecuencias absolutas

acumuladas y relativas acumuladas de una variable continua.

Figura 16. Ojiva de frecuencias absolutas acumuladas de las alturas de 50

estudiantes de estadística, del periodo 2015 – 2015.

Figura 17. Ojiva de frecuencias relativas acumuladas de las alturas de 50 estudiantes de estadística, del periodo 2015 – 2015.

0

1016

22

33

4250 50

0

10

20

30

40

50

60

144 –

150

150 –

156

156 –

162

162 –

168

168 –

174

174 –

180

180 –

186

186 –

192

F

R

E

C

U

E

N

C

I

A

A

B

S

O

L

U

T

A

S

A

C

U

M

U

L

A

D

A

S

ALTURAS

0

0.20.32

0.44

0.66

0.84

1 1

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

144 –

150

150 –

156

156 –

162

162 –

168

168 –

174

174 –

180

180 –

186

186 –

192

F

R

E

C

U

E

N

C

I

A

R

E

L

A

T

I

V

A

A

C

U

M

U

L

A

D

A

ALTURAS



Página 58

2 CAPÍTULO II: ANÁLISIS ESTADÍSTICO

SIMPLE

OBJETIVOS

1. Calcular la media aritmética, la media ponderada, la mediana,

la moda y la media geométrica.

2. Conocer las características, uso, ventajas de las Medidas de

Tendencia Central.

3. Identificar la ubicación de las Medidas de Tendencia Central. 4. Calcular la amplitud de variación, desviación media, la

varianza y la desviación estándar de datos originales.

5. Calcular la amplitud de variación, desviación media, la

varianza y la desviación estándar de datos agrupados. 6. Conocer las ventajas y desventajas de las Medidas de

Dispersión.

7. Calcular y analizar los cuartiles, deciles y centiles, la amplitud

cuartílica e intecuartílica. 8. Elaborar el diagrama de caja.

9. Calcular y analizar el coeficiente de variación y asimetría.

2.1 INTRODUCCIÓN

En el capítulo anterior se presentó algunas definiciones útiles

para el estudio de la estadística, la recolección de la información, su

forma de resumir, tanto en tablas como en gráficos para variables cualitativas y cuantitativas. En el presente capítulo se considera

medidas resúmenes, tales como; las medidas de centralización, de

posición, de dispersión, de asimetría y apuntamiento.

Resumir un conjunto de datos es pasar de una visión detallada a una generalización simple e informativa tratando de preservar las

características esenciales. ¿Por qué resumir? Para simplificar la

comprensión y la comunicación de los datos.

2.2 TIPOS DE ESTADÍGRAFOS

Después de haber ordenado y descrito un conjunto de datos, aún el análisis resulta un tanto incompleto; es necesario entonces

resumir la información y facilitar así su análisis e interpretación

utilizando ciertos indicadores. A estos indicadores se les denomina



Página 59

también estadígrafos o medidas de resumen, permiten hallar un

valor numérico, el mismo que representa a toda la población o muestra en el estudio; estas son:

1. Medidas de tendencia central

a. Media aritmética

b. Media ponderada c. Mediana

d. Moda

e. Media geométrica

f. Media armónica

2. Medidas de tendencia no central

a. Deciles

b. Cuartiles

c. Percentiles

3. Medidas de dispersión

a. Rango

b. Desviación media c. Desviación estándar

d. Varianza

e. Coeficiente de variación

4. Medidas de asimetría, y

5. Medidas de apuntamiento o curtosis.

2.3 ESTADÍGRAFOS DE TENDENCIA CENTRAL

Al recolectar y organizar los datos, el objetivo es encontrar un punto central en función de sus frecuencias. En estadística las

medidas de tendencia central, varían de acuerdo con lo que se

desea o que se requiera encontrar del conjunto de datos

recolectados.

Estas medidas serán estudiadas en dos formas:

1. Datos no agrupados, y

2. Datos agrupados en una tabla de frecuencias.

Las fórmulas difieren para calcular en vista de que depende si



Página 60

son datos de población o datos de muestras, pero el procedimiento

es el mismo.

Una medida de tendencia central es un valor único que resume

un conjunto de datos, señalando el centro de los valores.

2.3.1 MEDIA ARITMÉTICA

Es la medida de tendencia central que más se utiliza en

Estadística, se calcula sumando todos los valores de las observaciones y se divide para el total de las mismas.

Características

1. Es una medida totalmente numérica o sea sólo puede calcularse

en datos de características cuantitativas.

2. En su cálculo se toman en cuenta todos los valores de la

variable.

3. Es lógica desde el punto de vista algebraico.

4. La media aritmética es altamente afectada por valores extremos.

5. No puede ser calculada en distribuciones de frecuencia que

tengan clases abiertas.

6. La media aritmética es única, o sea, un conjunto de datos

numéricos tiene una y solo una media aritmética.

7. Esta medida es muy útil para analizar y comparar dos o más poblaciones.

2.3.1.1 Media aritmética con datos no agrupados

La media aritmética poblacional y muestral de datos no agrupados, es la suma de todos los valores de la población o

muestra, dividido para el número total de los datos.

Fórmula poblacional

La fórmula está dada por:

donde:



Página 61

Es la representación de la media de la población, con

letra griega “mu” minúscula.

Indica el número total de elementos de la población.

Es cualquier valor en particular.

La letra griega “sigma” mayúscula, es para sumar los datos.

Indica que es la sumatoria total de los valores de

La característica que mide a la población, está representada por el parámetro. Es una característica de una población.


Las edades de un equipo titular de básquet de la liga ecuatoriana

es: 22, 28, 19, 25 y 26. Calcular la media de edad de los

jugadores.

Solución

El equipo titular de básquet contiene cinco jugadores, en

consecuencia, se trata de la población o equipo titular.

, equipo titular

Interpretación del resultado

El equipo titular de básquet está conformado con una media de

edad de 24 años.



Página 62


El bufete de abogados Emily’s Asociados tiene 10 socios, el día

de hoy estos socios atendieron el siguiente número de clientes.

Bufete de Abogados

No. de clientes

Socio 1 5

Socio 2 10

Socio 3 8

Socio 4 6

Socio 5 7

Socio 6 6

Socio 7 12

Socio 8 11

Socio 9 10

Socio 10 5

a. ¿Esta información es una muestra o una población?

b. ¿Cuál es el número medio de clientes atendidos por los 10

socios del bufete?

Solución

Es una población, puesto que se toma en cuenta a todos los socios del bufete de abogados Emily’s Asociados y para sacar la

media aritmética poblacional, se debe sumar todos los valores y

dividir para el número total de los socios atendidos.


El valor medio de clientes atendidos por socio es 8.



Página 63

Fórmula muestral


donde

Media aritmética de la muestra

Número de elementos de la muestra

Indica que es la sumatoria total de los valores de .


Un equipo de básquet de la liga ecuatoriana está conformado

por 12 jugadores, de los cuales se toma una muestra aleatoria de 5

de ellos, con el propósito de calcular la estatura promedio. Si sus estaturas en centímetros son: 190, 208, 196, 205 y 206. ¿Cuál es

la media en centímetros?

Solución

El equipo completo de básquet contiene 12 jugadores, si se considera a cinco de ellos, tomados de manera aleatoria, entonces

se tiene una muestra, ya que se ha considerado una parte del total.

, muestra aleatoria


La estatura promedio de la muestra de los jugadores de básquet es de 201 centímetros.



Página 64

2.3.1.2 Media aritmética con datos agrupados

En datos agrupados se pueden presentar dos grupos de tablas

de frecuencia.

Cuando una serie simple se le agrupa con frecuencias para obtener la media aritmética, se multiplica la variable por la

frecuencia respectiva , se obtiene la suma de todos estos

productos y luego a este valor se lo divide para el número de

elementos (Suárez, 2015). La fórmula de cálculo está dada por:


Donde que es el número total de elementos de una

población.


En una fiesta infantil se encuentran 20 niños (as) de edades de

4 a 10 años, las edades en años están distribuidas de acuerdo a la

información siguiente.

en años

frecuencia

4 3

5 2

6 3

7 1

8 6

9 1

10 4

Total 20

Se requiere calcular la media aritmética.

Solución

Como



Página 65

Entonces, de acuerdo a la información prevista en la tabla del

problema, se tiene


El promedio de edad de los 20 niños y niñas que se encuentran

en la fiesta infantil es de 7.2 años.

Cuando una serie se la agrupa en intervalos para obtener la media aritmética, se multiplica la marca de clase de intervalo por

la frecuencia respectiva , se obtiene la suma de todos estos

productos y luego a este valor se lo divide para el número de

elementos (Suárez, 2015). La fórmula de cálculo está dada por:

Donde es la marca de clase de los intervalos.

La fórmula para el cálculo de la marca de clase es:

Donde


La edad de los estudiantes de la modalidad a distancia de la

Facultad de Ciencias Administrativas de la UCE, matriculados en el

periodo abr – sep del 2015, arrojaron los resultados siguientes.



Página 66


MARCA DE CLASE

NÚMERO

1,146

573

291

113

MÁS DE 57 52

TOTAL 2,175

AEl símbolo “ ”, significa que incluye el 18; y “ ”, significa

que el 28 no está incluido, pero si incluye los valores cercanos al 28

por la izquierda.

Se requiere calcular la media de edad en años.

Solución

Se ha considerado a todos los estudiantes de la modalidad a distancia de la Facultad de Ciencias Administrativas de la UCE, se

trata de toda la población.

En consecuencia

Entonces, de acuerdo a la información prevista en la tabla del

problema y a la característica cinco de la media aritmética, no es

posible el cálculo de , en razón que el quinto intervalo es

abierto.

Fórmula muestral


Si de los estudiantes de la modalidad a distancia de la Facultad

de Ciencias Administrativas de la UCE, se toma como muestra a 50



Página 67

matriculados de manera aleatoria en el periodo abr – sep del 2015,

para determinar la media de estatura en centímetros. Entonces, de acuerdo a las mediciones correspondientes se tiene.

[150 – 156) 153 10

[156 – 162) 159 6

[162 – 168) 165 6

[168 – 174) 171 11

[174 – 180) 177 9

[180 – 186) 183 8

50

Solución

Como

Entonces, adecuando la tabla de información del problema y obteniendo la marca de clase , se tendría:

[150 – 156) 153 10 1,530

[156 – 162) 159 6 954

[162 – 168) 165 6 990

[168 – 174) 171 11 1,881

[174 – 180) 177 9 1,593

[180 – 186) 183 8 1,464

50 8,412

Reemplazando en la fórmula, queda:



Página 68

2.3.2 MEDIA PONDERADA

En ocasiones es necesaria la obtención de una media aritmética de variables cuyos valores observados tienen distinta importancia y

por tanto se deben ponderar de distinta manera para obtener la

media.

En el caso que la ponderación sea distinta, se habla de una media ponderada y los valores por los cuales se ponderan los distintos valores se llaman pesos o ponderaciones .


A la fórmula se le resume de la siguiente forma:

Siendo:

Que se lee: “X barra subíndice W”


A continuación se muestran las ponderaciones de las evaluaciones en los cursos de estadística y las calificaciones de un

estudiante durante el semestre.

Evaluación Nota Porcentaje

Parcial 1 9 30

Parcial 2 7 30

Examen final 8 20

Tema especial 9 10

Otras evaluaciones 8.4 10

Determine la calificación promedio del estudiante.



Página 69

Solución

Como

Entonces

La calificación promedio del estudiante de los cinco ítems

evaluados es de 8.14 puntos.

2.3.3 LA MEDIANA

La mediana de un conjunto finito de valores, es aquel valor que

divide al conjunto en dos partes iguales, de forma que el número de

valores mayor o igual a la mediana es igual al número de valores menores o igual a estos. Su aplicación se ve limitada ya que solo

considera el orden jerárquico de los datos y no alguna propiedad

propia de los datos, como en el caso de la media.

2.3.3.1 Mediana de datos no agrupados

Los criterios necesarios para calcular la mediana, son los

siguientes:

a. Se requiere es ordenar los datos en forma ascendente o

descendente, cualquiera de las ordenaciones conducen al mismo resultado. Esto es: .

b. Si N es Impar, hay un término central, el término , que será el valor

de la mediana. c. Si N es Par, hay dos términos centrales, y , la mediana será la

media de esos dos valores



Página 70

Características:

Para el cálculo de la mediana interesa que los valores estén ordenados de menor a mayor o viceversa.

La mediana no es afectada por valores extremos.

Puede ser calculada en distribuciones de frecuencia con clases

abiertas.

La notación más usual que se utiliza para representar a la

mediana son

Fórmula para población y muestra impar

Donde y , es la posición que ocupa el valor de la

mediana.


El contenido de cinco botellas de gaseosas denominadas

personal son seleccionadas de forma aleatoria de un lote de

producción en ml, al medir sus contenidos se tiene: 235.4, 236.3,

234.9, 236.4, y 236.0. ¿Cuál es la mediana de las observaciones muestreadas?

Solución

Primero se ordena de mayor a menor, entonces:

234.9, 235.4, 236.0, 236.3, 236.4

Aplicando la regla para el cálculo de la mediana de datos no

agrupados de un conjunto de elementos impar, se tiene:



Página 71

El tres es la posición de la serie de elementos ordenados y

contados de izquierda a derecha, por lo que se tendría que:

234.9, 235.4, 236.0, 236.3, 236.4

Fórmula para población y muestra par

Donde y , es la posición que ocupa el valor de la

mediana.


El contenido de seis botellas de gaseosas denominadas personal

son seleccionadas de forma aleatoria de un lote de producción en

ml, al medir sus contenidos se tiene: 235.4, 236.3, 234.9, 236.4,

237.2 y 236.0. ¿Cuál es la mediana de las observaciones muestreadas?

Solución

Primero se ordena de mayor a menor, entonces:

234.9, 235.4, 236.0, 236.3, 236.4, 237.2

Aplicando la regla para el cálculo de la mediana de datos no

agrupados de un conjunto de elementos impar, se tiene:

El tres punto cinco, es la posición de la serie de elementos

ordenados y contados de izquierda a derecha, por lo que cuando la serie contiene un número de elementos par, se contará con dos

elementos medios y se tendrá:

234.9, 235.4, 236.0, 236.3, 236.4, 237.2



Página 72

2.3.3.2 Mediana de datos agrupados

Cuando los datos se encuentran agrupados en una distribución

de frecuencia, no conocemos los datos originales, por lo tanto es

necesario estimar la mediana mediante los siguientes pasos:

1. Calcular el valor o , según se trate.

2. Localizar el intervalo de clase donde se encuentra la mediana

(intervalo mediano). Esto se hace encontrando el primer

intervalo de clase donde la frecuencia acumulada es igual o mayor que .

3. Aplicar la siguiente fórmula de la mediana para datos agrupados con respecto al intervalo mediano.

Fórmula de la mediana para una población.

Fórmula de la mediana para una muestra.

Donde:

Características:

Existe una mediana para un conjunto de datos.



Página 73

Para el cálculo de la mediana interesa que los valores estén

ordenados de menor a mayor o viceversa.

Al existir valores extremadamente grandes o muy pequeños la

mediana no se ve afectada.

Se calculará la mediana para una distribución de frecuencias

con una clase de extremo abierto. Cuando la mediana no se encuentra en esa clase.


La edad de los estudiantes de la modalidad a distancia de la

Facultad de Ciencias Administrativas de la UCE, matriculados en el



MARCA DE CLASE

NÚMERO

1,146

573

291

113

MÁS DE 57 52

TOTAL 2,175

AEl símbolo “ ”, significa que incluye el 18; y “ ”, significa

que el 28 no está incluido, pero si incluye los valores cercanos al 28

por la izquierda.

Se requiere calcular la mediana de edad en años de los

estudiantes de la modalidad a distancia.

Solución



En consecuencia



Página 74

Donde

Completando la tabla para la aplicación de la fórmula, se tiene:


MARCA DE CLASE

FRECUENCIA

FRECUENCIA ACUMULADA

1,146 1,146

573 1,719

291 2,010

113 2,123

MÁS DE 57 52 2,175

TOTAL 2,175

18

Reemplazando




matriculados de manera aleatoria en el periodo abr – sep. del 2015,

para determinar la mediana de estatura en centímetros. Entonces, de acuerdo a las mediciones correspondientes se tiene.



Página 75

[150 – 156) 153 10

[156 – 162) 159 6

[162 – 168) 165 6

[168 – 174) 171 11

[174 – 180) 177 9

[180 – 186) 183 8

Σ 50

Solución

Se ha considerado a una parte de los estudiantes de la modalidad a distancia de la Facultad de Ciencias Administrativas de

la UCE, se trata de una muestra.

En consecuencia

Donde

168

Completando la tabla para la aplicación de la fórmula, se tiene:

[150 – 156) 153 10 10

[156 – 162) 159 6 16

[162 – 168) 165 6 22

[168 – 174) 171 11 33

[174 – 180) 177 9 42

[180 – 186) 183 8 50

50



Página 76

Reemplazando

2.3.4 MODA

La moda es el valor de la variable que tiene mayor frecuencia

absoluta o la que más se repite.

Características

1. Es la única medida de centralización que tiene sentido estudiar

en una variable cualitativa, pues no precisa la realización de

ningún cálculo.

2. En su determinación no se incluyen todos los valores de la

variable. 3. El valor de la moda puede ser afectado grandemente por el

método de designación de los intervalos de clases.

4. Puede ser calculada en distribuciones de frecuencia que tengan

clases abiertas. 5. No es afectada por valores extremos.

6. Por su propia definición, la moda no es única, pues puede haber

dos o más valores de la variable que tengan la misma

frecuencia, siendo esta máxima; en cuyo caso se tendrá una distribución bimodal o polimodal, según el caso.

2.3.4.1 Moda de datos no agrupados

La moda es una medida que se relaciona con la frecuencia con que se presenta el dato o los datos con mayor incidencia; por lo

que se considera la posibilidad de que exista más de una moda para

un conjunto de datos.

La notación más frecuente es la siguiente: y . Esta medida

es aplicable tanto para datos cualitativos como cuantitativos.



Página 77

Forma de cálculo

máxima, quiere decir que es la de mayor frecuencia absoluta

Tipos de moda

1. Unimodal. La moda es única.

2. Polimodal. Por su propia definición, la moda puede no ser

única, pues puede haber dos o más valores de la variable que

tengan la misma frecuencia, siendo esta máxima; en cuyo caso se tendrá una distribución bimodal o polimodal según el caso

(Universidad Michoacana de San Nicolás de Hidalgo, 2015).


Determinar la moda del siguiente conjunto de datos:

1, 2, 3, 3, 4, 5, 6, 7, 7, 3, 1, 9, 3.

Solución

Para mayor facilidad, si se ordena de manera ascendente se

tiene:

1, 1, 2, 3, 3, 3, 3, 4, 5, 6, 7, 7, 9.

Se identifica el elemento que más se repite, por lo cual

Por tanto, la moda del conjunto de datos es igual a 3 y si

considera unimodal.


Determinar la moda del siguiente conjunto de datos: 1, 2, 3, 4,

4, 5, 2, 1, 3, 4, 2, 3, 4, 6, 3, 3, 4.

Solución

Para mayor facilidad, si se ordena de manera ascendente se

tiene: 1, 1, 2, 2, 2, 3, 3, 3, 3, 3, 4, 4, 4, 4, 4, 5, 6,

Se identifica los elementos que más se repite, por lo cual



Página 78

, y

Las modas de este conjunto de datos son 3 y 4, ya que ambas

tienen la más alta frecuencia y se determina que es bimodal.


Determinar la moda del siguiente conjunto de datos: 1, 2, 3, 4,

5, 6, 7, 8, 9

Solución

La muestra no contiene dato o datos repetidos, por lo que se

considera que la muestra es amodal.

2.3.4.2 Moda de datos agrupados

Para determinar la moda de datos agrupados se debe utilizar

intervalos con igual amplitud.

Fórmula

La fórmula de cálculo para la moda de datos agrupados está

dada por:

Nomenclatura



Página 79


La edad de los estudiantes de la modalidad a distancia de la Facultad de Ciencias Administrativas de la UCE, matriculados en el



FRECUENCIA

1,146

573

291

113

MÁS DE 57 52

TOTAL 2,175

AEl símbolo “ ”, significa que incluye el 18; y “ ”, significa que el 28 no está incluido, pero si incluye los valores cercanos al 28 por la izquierda.

Se requiere calcular la moda de edad en años de los estudiantes

de la modalidad a distancia.

Solución



En consecuencia

Donde



Página 80

18

Reemplazando

2.3.5 MEDIA GEOMÉTRICA

La media geométrica nos permite encontrar el promedio de

porcentajes, razones, índices o tasas de crecimiento, es utilizada ampliamente en los negocios y la economía, ya que frecuentemente

permite determinar el cambio porcentual en ventas, sueldos, o

cifras económicas, como el Producto Interno Bruto.

La media geométrica al ser un conjunto de n números positivos se realiza como la raíz n-enésima del producto de n valores.

Características

1. Se toman en cuenta todos los valores de la variable

2. Se utiliza cuando se quiere dar importancia a valores pequeños de la variable

3. Su valor no es muy influenciable por datos extremos grandes.

4. No puede ser calculada en distribuciones con clase abiertas.

5. Es usada para promediar razones, tasas de cabio, interés

compuesto y números índices. Es recomendada para datos de progresión geométrica

Fórmula de la media geométrica de datos no agrupados.

Está dada por:



Página 81

Nomenclatura

Usando logaritmos la fórmula queda como:


Si los precios por acción de uno de los supermercados de la cuidad en los últimos cuatro meses fueron; 4.75, 5.23, 4.78 y 6.32

dólares por unidad. Calcular el factor de crecimiento promedio y el

crecimiento porcentual promedio.

Solución

Se considera el factor de crecimiento mes a mes, esto es ,

por lo que el primer factor se tendría , el segundo sería , y así

sucesivamente. Para el cálculo de la media geométrica se tienen

dos formas de solución, de acuerdo a las fórmulas dadas.

Primer método.

Aplicando la fórmula radical, se tiene:

El 1.0999 es factor de crecimiento promedio y para obtener el

crecimiento se aplica la siguiente formula:



Página 82

Segundo método.

Aplicando la fórmula logarítmica se tiene:

0.041808

-0.039074

0.121289

0.124023

El 1.0999 es factor de crecimiento promedio y el crecimiento

porcentual promedio es:

Fórmula de la media geométrica de datos agrupados.

Está dada por:



Página 83




matriculados de manera aleatoria en el periodo abr – sep del 2015, para determinar la media geométrica de estatura en centímetros.

Entonces, de acuerdo a las mediciones correspondientes se tiene.

ESTATURA (EN CENTÍMETROS)

MARCA DE

CLASE FRECUENCIA

155

5

165 3 175 2

TOTAL 10

Solución

Se ha considerado a una parte de los estudiantes de la modalidad a distancia de la Facultad de Ciencias Administrativas de

la UCE, se trata de una muestra.

En consecuencia

Adecuando la tabla de datos a para la aplicación de la fórmula de

, se tiene:

ESTATURA (EN CENTÍMETROS)

MARCA DE

CLASE FRECUENCIA

155

5

2.19033 10.95165

165 3 2.21748 6.65244

175 2 2.24303 4.48606

TOTAL 10 22.09015



Página 84

2.3.6 MEDIA ARMÓNICA

La Media Armónica, se representa como y .

Dada una serie de datos , el inverso de la media

armónica de la variable es igual a la media aritmética del inverso

de los valores de la variable (Martínez, 2012).

Características

Es de gran utilidad cuando la variable está dada en forma de

tasa.

La media armónica se basa en todas las observaciones por lo

que está afectada por todos los valores de la variable. Un valor de la variable de cero, invalida su cálculo.

La media armónica está rígidamente definida y su resultado no

puede ser usado en cálculos posteriores.

Fórmula de datos no agrupados

Fórmula de datos agrupados

Se adapta para tasas medias de velocidad, tiempo, rendimiento, precio, etc.

Nomenclatura


Suponga que se tiene seis observaciones con los siguientes valores:

2, 8, 6, 3, 5, 4 y se quiere calcular la media armónica.



Página 85

Solución

Al aplicar la fórmula de datos no agrupados, se tiene


Con los datos de la siguiente tabla de frecuencias, de una distribución continua, calcular la media armónica.

2.1 – 6 4 1 0.25

6.1 - 10 8 3 0.38

10.1 - 14 12 4 0.33

14.1 - 18 16 2 0.13

Σ 10 1.08

Solución

Al aplicar la fórmula de datos no agrupados, se tiene



Página 86

2.4 FORMA DE LA DISTRIBUCIÓN

2.4.1 RELACIÓN ENTRE MEDIA ARITMÉTICA,

MEDIANA Y MODA

En distribuciones totalmente simétricas, la media, la mediana y

la moda coinciden, localizándose en un mismo valor. En cambio, en distribuciones moderadamente asimétricas, la siguiente relación se

mantiene aproximadamente:

Posiciones relativas de la media, la mediana y la moda para

curvas de frecuencias asimétricas a derecha e izquierda respectivamente, para curvas simétricas los tres valores coinciden

(Cabrera, 2015)


Una granja ganadera registro durante febrero el nacimiento de 29 terneros, cuyos pesos al nacer (en kilogramos) fue el siguiente:

22 31 33 34 35 36 37 38 38 39

40 40 40 41 41 42 42 42 42 42

43 43 44 45 46 46 46 46 50

Los datos anteriores al ser dispuestos en una tabla de

distribución de frecuencias se obtuvo la siguiente tabla resultante.



Página 87

Clases

Frecuencia

21.5 – 26.5 1

26.5 – 31.5 1

31.5 – 36.5 4

36.5 – 41.5 9

41.5 – 46.5 13

46.5 – 51.5 1

Total 29

Calcule en las dos variantes (datos no agrupados y datos

agrupados) la media aritmética, la mediana y la moda.

Solución

Datos no agrupados:

Los nacimientos registrados en el mes de febrero es de 29

terneros, razón por la que se trata de un valor poblacional

22 31 33 34 35 36 37 38 38 39

40 40 40 41 41 42 42 42 42 42

43 43 44 45 46 46 46 46 50

Media aritmética.

La fórmula de cálculo es

Reemplazando los datos, se tiene

Mediana




Página 88

Sustituyendo , se tiene

Moda


La frecuencia mayor se encuentra en el número 42, donde

.

Por tanto, se tiene que

Al comparar , se tiene:

Como

Entonces, la distribución es asimétrica hacia la izquierda.



Página 89

Datos agrupados:

Para el cálculo de la media, mediana y moda, es necesario

adecuar la tabla proporcionada, por la siguiente.

Clases

Marca de clase

Frecuencia

Frecuencia acumulada

21.5 – 26.5 24 1 24 1

26.5 – 31.5 29 1 29 2 31.5 – 36.5 34 4 136 6 36.5 – 41.5 39 9 351 15 41.5 – 46.5 44 13 572 28 46.5 – 51.5 49 1 49 29

Σ 29 1,161

Media aritmética.


Reemplazando los datos, se tiene

Mediana


Para la aplicación de la fórmula, es necesario identificar el

renglón de la clase mediana, para lo cual el número de elementos

se divide para dos.



Página 90

Como 14.5 es la mitad del total, buscamos en la columna de

el valor más cercano mayor a 14.5, obteniéndose el renglón

36.5 – 41.5 39 9 351 15

En base a este renglón y sus relacionados en la tabla, se

procede a su reemplazo.

Moda


Para la aplicación de la fórmula, es necesario identificar el

renglón de la clase modal, la cual está dada por el intervalo de clase con mayor frecuencia, esto es

41.5 – 46.5 44 13 572 28

En base a este renglón y sus relacionados en la tabla, se

procede a su reemplazo.

Entonces

Reemplazando en la fórmula, se tiene



Página 91

Al comparar , se tiene:

Como

La gráfica de la distribución, sería aproximadamente así.

2.5 CUARTILES, DECILES Y PERCENTILES

Está claro que para localizar cuál es el valor que se encuentra al centro de un grupo de datos utilizamos la mediana y que ésta es el

valor que divide al grupo de datos en mitades. Pues bien, para

ciertos fines puede ser de mucha utilidad saber qué valor se

encuentra al primer cuarto del grupo de datos, o al tercer cuarto

del grupo de datos.

De esta forma:

Los cuartiles dividen a la distribución en cuartos

Los deciles en décimos, y

Los percentiles en 100 partes

Los cuales se obtienen con fórmulas que modifican la de la

mediana como en los siguientes ejemplos:



Página 92

2.5.1 Medidas de posición relativa

Estas medidas son también llamadas cuantilas, cuantiles o fractiles y cuyo objetivo es describir el comportamiento de una

variable dividiendo la serie de valores en diferente número de

partes porcentualmente iguales, las más usadas son: los cuartiles

(cuartas partes), los deciles (decimas partes) y los centiles o percentiles (centésimas partes).

2.5.1.1 Los Cuartiles

Son aquellos números que dividen a éstas en cuatro partes porcentualmente iguales. Hay tres cuartiles . El primer

cuartil , es el valor en el cual o por debajo del cual queda

aproximadamente un cuarto (25%) de todos los valores de la

sucesión (ordenada); El segundo cuartil es el valor por debajo

del cual queda el 50% de los datos (Mediana), el tercer cuartil

es el valor por debajo del cual quedan las tres cuartas partes (75%)

de los datos.

2.5.1.2 Los Deciles

Son ciertos números que dividen el conjunto de observaciones

(ordenadas) en diez parte porcentualmente iguales. Los deciles se denotan por . El decil 5 corresponde al cuartil 2

(mediana).

2.5.1.3 Los Percentiles

Son ciertos números que dividen el conjunto de datos ordenados

en cien partes porcentualmente iguales. El percentil 50 equivale a la mediana.

Considerando la definición de la mediana, esta será el segundo

cuartil, el quinto decil o el 50avo percentil o centil. En cualquiera de

estas medidas el valor matemático que se obtenga será

representativo del número de datos o menos que corresponde al valor relativo planteado. (Ejemplo: el primer cuartil es un valor

representativo del 25% o menos de los valores de una distribución,

es decir, los valores inferiores de la distribución).

Cuantiles para datos no agrupados

Para ubicar los cuartiles, deciles y percentiles, se aplica la

siguiente fórmula, siendo este valor la posición donde se ubican.



Página 93

Ubicación de un centil:

donde:

Para calcular los cuartiles, deciles y centiles primero se debe ordenar los datos.


Con la información que siguiente:

18 23 38 41 43 45 50 51 52 53 54 54 58

58 58 59 60 62 63 63 66 71 77 83 84 95

Se pide:

a. Calcular el primer y tercer cuartil.

b. Calcular el sexto decil.

c. Calcular el ochenta percentil.

Solución

a. Calcular el primer y tercer cuartil.

Primer cuartil. Donde

Reemplazando los datos del problema en la fórmula general, se

tiene



Página 94

El valor observado indica la posición del primer cuartil.

En el conjunto de datos la posición del primer cuartil, ocupa la

posición 6 y 7, siendo 45 y 50 y se calcula de la siguiente manera:

6 45

7 50

Restamos el valor mayor del menor, es decir,

Se resta la posición del primer cuartil y el inmediato anterior entero.

Se procede a multiplicar

El resultado obtenido de la multiplicación más el valor menor, es

el primer cuartil; es decir,

A los cuartiles se les abrevia con la letra , entonces el , es:

Tercer cuartil. Donde

Reemplazando los datos del problema en la fórmula general, se

tiene

El valor observado indica la posición del tercer cuartil.



Página 95

En el conjunto de datos la posición del tercer cuartil, ocupa la

posición 20 y 21 siendo 63 y 66 y se calcula de la siguiente manera:

20 63

21 66

Restamos el valor mayor del menor, es decir,

Se resta la posición del tercer cuartil y el inmediato anterior

entero.


El resultado obtenido de la multiplicación más el valor menor es el tercer cuartil, es decir,

Por tanto,

b. Calcular el sexto decil.

El sexto decil es igual a 60 percentil, por tanto:

Realizando la interpolación correspondiente, se tiene:

16 59

17 60



Página 96

Restamos el valor mayor del menor, es decir:

Se resta la posición del sexto decil y el inmediato anterior

entero.



el sexto decil, es decir:

Por tanto

c. Calcular el ochenta percentil.

Reemplazando percentil 80, en P, entonces:

Realizando la interpolación correspondiente, se tiene:

21 66

22 71

Restamos el valor mayor del menor, es decir:

Se resta la posición del percentil 80 y el inmediato anterior

entero.



Página 97

Se procede a multiplicar los resultados obtenidos


el percentil 80, es decir:

Por tanto

Cuantiles para datos agrupados

Para calcular los cuartiles , deciles y percentiles , se

aplica las fórmulas que siguen.

donde

donde , … , 9

donde , … , 99

Nomenclatura



Página 98


Para la tabla de salarios de la compañía P&R, encontrar:

a. Los cuartiles

b. Decil .

c. Percentil .

Salarios Frecuencia

Frecuencia acumulada

250.00 - 259.99 8 8

260.00 - 269.99 10 18

270.00 - 279.99 16 34

280.00 - 289.99 14 48

290.00 - 299.99 10 58

300.00 - 309.99 5 63

310.00 - 319.99 2 65

Σ 65

Solución

a. Los cuartiles

Para la aplicación de , tenga en cuenta que , por

consiguiente




Página 99

consiguiente


consiguiente

b. Decil .


consiguiente

c. Percentil .


consiguiente



Página 100

2.6 ESTADÍGRAFOS DE DISPERCIÓN

Los métodos numéricos que describen a los conjuntos de

observaciones tienen como objetivo dar una imagen mental de la distribución de frecuencias. Una vez localizado el centro de la

distribución de un conjunto de datos, lo que procede es buscar una

medida de dispersión de los datos (García Pérez, 2015).

La dispersión o variación es una característica importante de un conjunto de datos porque intenta dar una idea de cuán esparcidos

se encuentran éstos. Se puede diferenciar dos tipos de dispersión,

las absolutas y relativas.

2.6.1 DISPERCIÓN ABSOLUTA

Se toma como punto central de referencia la media aritmética,

aunque puede considerarse además a la mediana. Entre las

medidas de dispersión absoluta se tiene al rango, desviación media, varianza y desviación estándar.

2.6.1.1 Rango

Se obtiene sacando la diferencia entre el valor mayor y el valor meno de un conjunto de datos.

Características

El rango es la medida de dispersión más sencilla de calcular e

interpretar.

Se basa en los valores extremos por lo que puede ser errática El recorrido solo se encuentra influenciado por los valores

extremos y no considera el resto de valores de la variable.

Existe el peligro que el recorrido ofrezca una descripción

distorsionada de la dispersión cuando existe valores muy pequeños o muy grandes.



Página 101

Fórmula

Nomenclatura


El número de pacientes atendidos en emergencias en una clínica

privada de la ciudad, en un periodo de 8 días del mes pasado fue:

3 1 5 8 2 4 8 3

Calcule e interprete el rango.

Solución:

La fórmula del rango es:

Ordenando la serie,

1 2 3 3 4 5 8 8

El número de elementos está dado por

Por tanto

Reemplazando valores en la fórmula, se tiene



Página 102

2.6.1.2 Desviación media

La desviación media es el promedio de los valores absolutos de

las desviaciones en relación de la media aritmética.

Características

Con datos no agrupados, guarda el mismo número de dimensiones y observaciones.

La suma de valores absolutos es relativamente sencilla de

calcular.

Es engorroso trabajar con ella cuando se trata de poblaciones o muestras grandes en datos no agrupados.

Cuanto mayor sea el valor de la desviación media, mayor es la

dispersión de los datos.

La desviación media al tomar los valores absolutos mide una

observación sin mostrar si la misma está por encima o por

debajo de la media aritmética.

Fórmula para datos no agrupados

Nomenclatura




3 1 5 8 2 4 8 3

Calcule e interprete la Desviación Media.



Página 103

Solución.

Para la aplicación de la fórmula de , primero se debe calcular

la media aritmética. Por tanto

Para una mejor comprensión se ha preparado una tabla en la

que se notará las operaciones necesarias y el valor absoluto

correspondiente.

Desviación Absoluta

3 1.25

1 3.25

5 0.75

8 3.75

2 2.25

4 0.25

8 3.75

3 1.25

34 16.5

Con estos datos se calcula la desviación media en base a la

siguiente fórmula:

Reemplazando valores, se tiene:

Se observa que la desviación media es de 2.06 pacientes por día, es decir que el número varía, en promedio, en 2.06

pacientes por día respecto de la media de 4.25 enfermos diarios.



Página 104

Fórmula para datos agrupados.

Se emplea la ecuación:

Nomenclatura


Calcular la desviación media de las calificaciones finales en la

asignatura de matemáticas, de un curso de 40 estudiantes, según datos de la tabla que sigue.

Calificación Cantidad de estudiantes

2 4

8 16 10

Total 40

Solución:

Para calcular la media aritmética se llena la siguiente tabla:


Marca de clase

2 4

1 2 3 12

8 5 40 16 7 112 10 9 90

Σ 40 Σ 256



Página 105

Calculando la media aritmética se obtiene:

Para calcular la desviación media es necesario adecuar la tabla

de la siguiente forma:


Marca de clase

2 4

1 5.4 10.8

3 3.4 13.6

8 5 1.4 11.2

16 7 0.6 9.6

10 9 2.6 26.0

Σ 40 Σ 71.2

2.6.1.3 Varianza

La varianza de un conjunto de datos se define como el cuadrado

de la desviación típica y viene dada en consecuencia por .

Cuando sea necesario distinguir la desviación típica de una

población y de una muestra, se usará o ,

correspondientemente.

La varianza no puede ser negativa.

Características

Para su cálculo se utilizan todos los valores.

No se ve influenciada por valores extremos.



Página 106

La varianza indica el grado en que están dispersos los datos en

una distribución. A mayor medida, mayor dispersión. La varianza es un número muy grande con respecto a las

observaciones, por lo que con frecuencia se vuelve difícil para

trabajar.

Debido a que la varianza siempre se expresa en términos de los datos originales elevados al cuadrado, el resultado tiene

unidades de medida al cuadrado, lo cual no permite una

apreciación lógica.

Para solucionar las complicaciones que se tiene con la varianza,

se halla la raíz cuadrada de la misma, es decir, se calcula la

desviación estándar.

Fórmulas

Para el cálculo de la varianza poblacional y muestral se debe

tener en cuenta si se trata de datos agrupados o no agrupados.

Datos no agrupados

Datos agrupados

Nomenclatura



Página 107




3 1 5 8 2 4 8 3

Calcule e interprete la varianza.

Solución.

Para la aplicación de la fórmula de , primero se debe calcular

la media aritmética. Por tanto

La fórmula de la varianza muestral

Reemplazando los datos en la fórmula, se tiene.



Página 108


Calcular la varianza de las calificaciones finales en la asignatura de matemáticas, de un curso de 40 estudiantes, según datos de la

tabla que sigue.


2 4

8 16 10

Total 40

Solución:

Para calcular la varianza es necesario primero calcular la media

aritmética, la siguiente tabla permite su cálculo.


Marca de clase

2 4

1 2 3 12

8 5 40 16 7 112 10 9 90

Σ 40 Σ 256

La media aritmética es:



Página 109

Para calcular la varianza es necesario adecuar la tabla de la

siguiente forma:


Marca de clase

2 4

1 29.16 58.32

3 11.56 46.24

8 5 1.96 15.68

16 7 0.36 5.76

10 9 6.76 67.6

Σ 40 Σ 193.6

La fórmula para el cálculo de la varianza del problema, es

2.6.1.4 Desviación estándar

Es la medida más frecuentemente usada de variabilidad y se calcula

como la raíz cuadrada de la varianza.

Características

Expresa la cantidad de variabilidad promedio en una distribución.

Permite determinar cómo se distribuyen los valores en relación

con la media

Su fórmula es indistinta para distribuciones de datos originales o agrupados.

Para solucionar las complicaciones que se tiene con la varianza,

se halla la raíz cuadrada de la misma, es decir, se calcula

la desviación estándar es un número pequeño expresado en unidades de los datos originales y que tiene un significado

lógico.

A pesar de lo anterior, es difícil describir exactamente qué es lo

que mide la desviación estándar. Sin embargo, el teorema de



Página 110

Chebyshev establece que para todo conjunto de datos en una

distribución, se cumple lo siguiente.


Fórmula muestral

Nomenclatura


Calcule las desviaciones estándar de los ejemplos de aplicación 26 y 27.

Ejemplos aplicación 26



Página 111

Se tiene que

Aplicando la fórmula de la desviación estándar

Ejemplos de aplicación 27

Se tiene que

Aplicando la fórmula de la desviación estándar

2.6.2 DISPERCIÓN RELATIVA

Cuando el objetivo es realizar comparaciones, no resulta

adecuado comparar magnitudes absolutas, ya que las unidades no son siempre comparables.

Cuando se pretende comparar la dispersión de variables

medidas en distintas unidades o variables con distinto orden de

magnitud, es necesario relativizar.

2.6.2.1 Coeficiente de variabilidad

Una forma de relativizar es considerar la dispersión en relación

al valor absoluto de la media, consiguiendo así el coeficiente de variación, que suele ser interpretado en términos de proporción o

porcentaje:

El coeficiente de variación es la razón (cociente) de la desviación

estándar y la media aritmética expresada con un porcentaje.

Características

Se utiliza cuando no es posible una comparación directa de dos o más medidas de dispersión y muy útil cuando:



Página 112

Los datos están en unidades diferentes (como dólares y días de

inasistencia) Los datos están en las mismas unidades, pero los valores

medios están muy distantes (como sucede con los ingresos de

ejecutivos superiores, y el ingreso de empleados no calificados)

Fórmula

Se calcula con la siguiente fórmula:

Nomenclatura




3 1 5 8 2 4 8 3

Calcule e l coeficiente de variación.

Solución.

La media aritmética es

La varianza es

La desviación estándar es

La fórmula para el cálculo del coeficiente de variación es



Página 113

Reemplazando valores, se tiene


Calcular el coeficiente de variación de las calificaciones finales en

la asignatura de matemáticas, de un curso de 40 estudiantes,

según datos de la tabla que sigue.

Calificación Cantidad de

estudiantes

2

4 8 16 10

Total 40

Solución:


La varianza es


La fórmula para el cálculo del coeficiente de variación es




Página 114

2.7 MEDIDAS DE ASIMETRÍA

Mide la desviación de la simetría, expresada la diferencia entre

la media y la mediana con respecto a la desviación estándar del conjunto de mediciones de la población o muestra.

En un conjunto de datos con asimetría positiva, la parte

alargada de la gráfica está a la derecha y cuando un conjunto de

datos con asimetría negativa, la parte alargada de la gráfica está a la izquierda.

Características

Definiremos asimetría positiva, cuando . Esto

queda reflejado en el diagrama de barras o en un histograma

presentando la distribución de los datos una cola a la derecha.

Definiremos asimetría negativa, cuando . Esto

queda reflejado en el diagrama de barras o en un histograma

presentando la distribución de los datos una cola a la izquierda.

Fórmula



Página 115

Tomando en cuenta esta relación, el coeficiente de asimetría

puede variar desde hasta . Un valor cercano a , como por

ejemplo indica una considerable asimetría negativa; un valor

como indica una asimetría positiva moderada. El valor de

que se presenta cuando la media y la mediana son iguales, señala

que la distribución es simétrica.

Nomenclatura




3 1 5 8 2 4 8 3

Calcule el coeficiente de asimetría.

Solución.

El ejemplo tiene una media aritmética de

Una mediana de

Una desviación estándar de

La fórmula de coeficiente de variación es




Página 116

Definiremos asimetría positiva, cuando . Presenta la

distribución de los datos una cola a la derecha.


Calcular el coeficiente de asimetría de las calificaciones finales en la

asignatura de matemáticas, de un curso de 40 estudiantes, según datos de la tabla que sigue.

Calificación Cantidad

de

estudiantes

2 4

8 16 10

Total 40

Solución:


La mediana es


La fórmula para el cálculo del coeficiente de asimetría es



Página 117

Definiremos asimetría negativa, cuando . Presenta la

distribución de los datos una cola a la izquierda.

2.8 MEDIDAS DE APUNTAMIENTO O CURTOSIS

La curtosis mide el grado de agudeza o achatamiento de una

distribución con relación a la distribución normal, es decir, mide

cuán puntiaguda es una distribución.

Se definen 3 tipos de distribuciones según su grado de curtosis:

1. Distribución mesocúrtica: presenta un grado de concentración medio alrededor de los valores centrales de la variable (el mismo

que presenta una distribución normal).

2. Distribución leptocúrtica: presenta un elevado grado de

concentración alrededor de los valores centrales de la variable. 3. Distribución platicúrtica: presenta un reducido grado de

concentración alrededor de los valores centrales de la variable

(Aula Fácil, 2015).

Características



Página 118

Fórmula

El coeficiente de curtosis viene definido por la siguiente fórmula:



Página 119


Calcular el coeficiente de apuntamiento o curtosis de las calificaciones finales en la asignatura de matemáticas, de un curso

de 40 estudiantes, según datos de la tabla que sigue.

Calificación Cantidad

de

estudiantes

2

4 8 16 10

Total 40

Solución:



La fórmula para el cálculo del coeficiente de apuntamiento es



Página 120

Como

Entonces la distribución es platicúrtica.



Página 121

3 CAPÍTULO III: NÚMEROS ÍNDICES

OBJETIVOS

El estudiante podrá:

1. Expresar las características y definir un número índice.

2. Calcular e interpretar los números índices de precios, cantidad y

valor.

3. Calcular e interpretar los números índices simples, ponderados y

no ponderados.

3.1 INTRODUCCIÓN

Número índice es una medida estadística diseñada para poner

de relieve cambios en una variable o en un grupo de variables relacionadas con respecto al tiempo, situación geográfica, ingresos,

o cualquier otra característica. (Spiegel, 1997)

Número índice es un número que expresa el cambio relativo en

precio, cantidad o valor comparado con un periodo base. (Lind,

Marchal, & Wathen, 2006).

3.2 CARACTERÍSTICAS

Es un porcentaje, pero generalmente se omite el signo

porcentual.

Tiene un período base.

La mayor parte de los índices se aproximan al décimo más

próximo de un porcentaje .

La base de la mayor parte de los índices es 100.

3.3 CLASIFICACIÓN DE LOS NÚMEROS ÍNDICES

3.3.1 NÚMEROS ÍNDICES DE PRECIOS

Es un número que expresa el cambio relativo de precio

comparando con un periodo base. El índice de este tipo más

conocido es Índice de precios al consumidor (IPC), el cual mide el costo de vida en los países.



Página 122

3.3.2 NÚMEROS ÍNDICES DE CANTIDAD

Es un número que expresa el cambio relativo de cantidad de una variable comparando con un periodo base.

3.3.3 NÚMEROS ÍNDICES DE VALOR

Es un número que expresa el cambio relativo de valor

comparando con un periodo base. Es decir mide los cambios en el

valor monetario total. (Levin & Rubin, 2004)

3.4 NÚMEROS ÍNDICES SIMPLES

Son los que se refieren a una sola magnitud, y por lo tanto nos

proporcionan la variación que ha sufrido esa magnitud en dos

periodos distintos.

Se calcula hallando el cociente del valor del año determinado

entre el valor del año base por 100, así:

Donde:


El salario básico unificado en enero del 2012 fue de $292, el

salario básico unificado en enero del 2015 fue de $354. Cuál es el

índice correspondiente para los trabajadores en enero del 2015, con

base en los datos de enero del 2012?

Durante este periodo aumento en el salario

básico unificado.



Página 123


En el 2013 la población de hombres en Ecuador fue de

7,868,368 y el de mujeres fue de 7,869,510 ¿Cuál fue la proporción de la población de hombres comparada con la de mujeres?

El índice de hombres es de 99.98 de la población de mujeres o la

población de hombres es menor que la de

mujeres


Los siguientes datos, se tomaron de los informes anuales de la empresa Johnson & Johnson, de la misma que sus acciones

comunes se enlistan en la Bolsa de Valores con el símbolo de JNJ.

Tomando como base el año 1991, calcular el Índice Simple.

Regla de tres : 5.43 ---- 100 %

6.25 ---- x = 115,10

Años

Ventas

Nacionales (miles de dólares)

Cálculo del Índice Índice

Simple %

1991 5.43 5.43 /5.43 =1 100 1992 6.25 6.25 /5.43 =1.15101289 115.1 1993 6.9 6.90 /5.43 =1.2071823 127.07

1994 7.2 7.20 /5.43 =1.32596685 132.6 1995 7.81 7.81 /5.43 =1.43830571 143.83 1996 9.19 9.19 /5.43 =1.69244936 169.24

3.5 NÚMEROS ÍNDICES NO PONDERADOS

3.5.1 PROMEDIO SIMPLE DE LOS ÍNDICES DE

PRECIOS

Este índice se obtiene sumando los índices simples de cada

producto y dividiendo para el número de productos.



Página 124

Así:


Tomando como base los siguientes datos se calcula el promedio simple de los índices de precios relativos.


Un administrador estudia la evolución de los precios de un

artículo que produce su empresa en los 5 últimos años, los valores

se registran en la siguiente tabla. Calcule el promedio simple de los

índices de precios, tomando como periodo de referencia el año 1.

Años 1 2 3 4 5

Precio del producto 4 5.5 6 5 8

Primero calculo los índices simples

Años Precio del producto

Índice Simple

1 4 100 2 5.5 137.5

3 6 150 4 5 125 5 8 200



Página 125

Esto indica que el precio del producto a incrementado en 42.5%

3.5.2 ÍNDICE AGREGADO SIMPLE

Un índice agregado simple se calcula sumando todos los

elementos de un periodo dado y luego dividiendo este resultado

entre la suma de los mismos elementos durante el periodo base. Así:

Cantidad de elementos del periodo que se desea el índice

: Cantidad de elementos en el año base


Determine el índice agregado simple de precios para el año 2015 y 2012 de tres productos considerados, usando como año base

2012.

Tabla 3: PRODUCTOS DE PRIMERA NECESIDAD

Producto 2012 2015

Leche $/lt 0.84 0,86

Pan $/und 0.14 0.16

Huevos$/doc 1.44 1.50

3.6 NÚMEROS ÍNDICES PONDERADOS

Dos métodos para calcular el índice de precios compuestos o ponderado son el método de Laspeyres y el de Paasche. Difieren

sólo en el periodo para la ponderación. En el método de Laspeyres

se utilizan ponderaciones en el periodo base; es decir, los precios y

las cantidades originales de los artículos comprados se utilizan para



Página 126

encontrar el cambio porcentual durante un periodo, ya sea en el

precio o en la cantidad consumida, según el problema. En el método de Paasche se utilizan ponderaciones en el año en curso.

(Lind, Marchal, & Wathen, 2006)

3.6.1 ÍNDICE DE LAYSPEYRES

Dónde:

(Lind, Marchal, & Wathen, 2006)


Determinar un índice de precios ponderado con el método de

Laysperes, con los precios dados en la siguiente tabla tomando

como referencia Quito.

Producto Cantidad

(Libras) Quito Guayaquil

Arveja tierna 0,55 12,50 20,00

Banano 0,65 7,00 5,00

Limón 0,80 15,00 15,18

Piña 0,05 1,50 1,31

Calculemos el índice simple de cada producto tomando como

referencia Quito, a continuación presentamos los precios de

diferentes productos en Quito y Guayaquil



Página 127

Quito Guayaquil

Producto

Arveja tierna 110 25 55 20 2,200 2,750 1,100 1,375

Banano 65 7 65 5 325 455 325 455

Limón 80 15 95 18 1,440 1,200 1,710 1,425

Piña 5 1.5 65 17 85 7.5 1105 97.5

4,050 4,412.5 4,240 3,352.5

3.6.2 ÍNDICE DE PAASCHE

El cálculo es similar que el índice de Laspeyres, pero en lugar de

emplear cantidades en el periodo base como ponderaciones, se

utilizan cantidades en el período actual.


En el ejercicio de aplicación 7, calculemos el índice de Paasche


Los precios, de cuatro artículos que se indican a continuación,

en los años 2001 y 2003, permitiran calcular el índice de

Paasche.

Artículo po 2001

Qo 2001

Pt 2003

qt 2003

pt*qt po*qt

Pan 0.05 20 0.08 24 1.92 1.20

Huevos 0.06 30 0.09 36 3.24 2.16

Leche 0.35 10 0.48 15 7.20 5.25

Manzana 0.15 15 0.25 20 5.00 3.00

∑ 0.61 75 0.90 95 17.36 11.61



Página 128

Este resultado. indica que el precio de este grupo de alimentos.

aumentó en el 49.52 %. en el período de dos años.

3.6.3 ÍNDICE DE FISHER

Es la media geométrica de los índices de Laspeyres y Paasche.

Parece ser el ideal porque combina las mejores características

del de Laspeyres y del de Paasche.


Al tener ya determinado el índice de Laspeyres y el índice de

Paasche, en el ejemplo de aplicación 9 procedemos a calcular el

índice ideal de Fisher.

3.7 ÍNDICES DE VALOR

Mide cambios tanto en los precios como en las cantidades que

intervienenen. Se usa precios y cantidades del perìodo base y del

perìodo actual.



Página 129

donde:


Los precios de cuatro artículos que se indican a continuación, en los años 2001 y 2003, permitirán calcular el índice de Valor.

Artículo Po 2001

qo 2001

Pt 2003

Qt 2003

ptqt poqo

Pan 0.05 20 0.08 24 1.92 1.00

Huevos 0.06 30 0.09 36 3.24 1.80

Leche 0.35 10 0.48 15 7.20 3.50

Manzana 0.15 15 0.25 20 5.00 2.25

∑ 0.61 75 0.90 95 17.36 8.55

Con este resultado, miramos que el valor de este grupo de

alimentos, aumentó en el 103.04 %, en el período de dos años.



Página 130

4 CAPÍTULO IV: REGRESIÓN. CORRELACIÓN Y SERIES DE TIEMPO

OBJETIVOS

El estudiante podrá:

1. Diferenciar e interpretar los términos variable dependiente e

independiente.

2. Encontrar y analizar los coeficientes de correlación y

determinación y error estándar. 3. Encontrar la ecuación de la recta aplicando el método del libre

ajuste

4. Encontrar la ecuación de la recta aplicando el método de los

mínimos cuadrados.

5. Especificar los componentes de una serie de tiempo. 6. Encontrar un promedio móvil.

7. Calcular la ecuación para una tendencia lineal

4.1 ANÁLISIS DE CORRELACIÓN

Mide la intensidad de la asociación entre dos variables, cuyo principal objetivo es determinar, qué tan intensa es la relación

entre esas dos variables.

4.1.1 VARIABLE DEPENDIENTE:

Es la variable que se predice o se calcula.

4.1.2 VARIABLE INDEPENDIENTE:

Es una variable que proporciona las bases para el cálculo. Es la variable de predicción.

4.1.3 COEFICIENTE DE CORRELACIÓN

Mide la intensidad de la asociación entre dos variables.

Ambas variables deben ser al menos el nivel de intervalo de

medición.

El coeficiente de correlación puede variar desde -1.00 hasta

1.00.



Página 131

Si la correlación entre dos variables es 0, no hay asociación

entre ellas. Un valor de 1.00 indica una correlación positiva perfecta, y una

de -1.00, una correlación negativa perfecta.

Un signo positivo significa que hay una relación directa entre las

variables, y un signo negativo, que hay una relación inversa. Se identifica con la letra .

La fórmula que permite calcular el coeficiente de correlación es la siguiente:

donde:

En la Figura 1 y 2 se resume la intensidad y la dirección del coeficiente de correlación.

Figura 1. Intensidad del coeficiente de correlación



Página 132

Figura 2. Recta con correlación positiva y negativa


Las llamadas mensuales realizadas para la venta de productos

de limpieza y desinfección de la empresa Solquim S.A. de lo cual se toma una muestra de 5 vendedores, se expresa en la siguiente

tabla.

Representantes de ventas

No. de llamadas

No. de productos vendidos

Paquita Trujillo 20 40

Kléver Sosa 40 60

Ximena López 20 40

Andrea Flores 30 60

Marcelo Campaña 10 20

Solución

El primer paso para mostrar la relación entre dos variables es

graficando los datos en un diagrama de dispersión.

En la Figura 3 podemos obsevar que existe relación entre el

número de llamadas y los productos vendidos, puesto que, a mayor

número de llamadas, se realizan mayores ventas de productos.

Para realizar el cálculo del coeficiente de correlación es

importante que identifiquemos las variable dependiente (No. de

productos vendidos) y la independiente (No. de llamadas).



Página 133

Figura 3. Diagrama de dispersión.

A continuación añadimos tres columnas a la tabla para realizar

los cálculos requeridos por la fórmula de coeficiente de correlación.


No. de

llamadas (X)


(Y)

X2 Y2 XY

Paquita Trujillo 20 40 400 1,600 800

Kléver Sosa 40 60 1,600

3,600 2,400

Ximena López 20 40 400 1,600 800

Andrea Flores 30 60 900 3,600 1,800

Marcelo Campaña 10 20 100 400 200

Total 120 220 3,400

10,800 6,000

Reemplazando los datos obtenidos en la fórmula, se tiene.

2222010800512034005

22012060005r



Página 134

48400540001440017000

2640030000r

56002600

3600r

14560000

3600r

76.3815

3600r

El coeficiente de correlación es:

El coeficiente de correlación es positivo, lo cual nos permite ver que existe una relación directa entre el número de llamadas y la

cantidad de productos vendidos.

El valor de 0.94, está bastante cercano a 1.00. Si observamos la

figura 1 podemos concluir que la relación es fuerte.

4.1.4 CÁLCULO DE COEFICIENTE DE

DETERMINACIÓN

Es la porción de la variación total en la variable dependiente Y que se explica por la variación en la variable independiente X.

Varía de 0 a 1.

Es el cuadrado del coeficiente de correlación.

Al elevar el coeficiente de correlación al cuadrado. obtendremos el coeficiente de determinación.

Entonces

Ver figura 3, obtenido a través de excel.



Página 135

4.2 ANÁLISIS DE REGRESIÓN

La intensidad y dirección de la relación que existe entre dos

variables se determina en una ecuación que define la relación lineal

entre dos variables.

4.2.1 PRINCIPIO DE LOS MÍNIMOS CUADRADOS

Es la técnica empleada para obtener la ecuación de regresión,

minimizando la suma de los cuadrados de las distancias verticales entre los valores verdaderos de y los valores pronosticados de .

La forma general de la ecuación de regresión lineal es:

donde:

se lee “Y prima”, es el valor pronosticado de la variable

para un valor seleccionado de .

es la ordenada de la intersecciòn con el eje ; es decir, el

valor estimado de cuando . Dicho de otra forma,

corresponde al valor estimado de , donde la recta de regresiòn

cruza el eje , cuando .

es la pendiente de la recta, o el cambio promedio en Y’ por

unidad de cambio (incremento o decremento) en la variable independiente .

es cualquier valor seleccionado de la variable independiente.

Para poder encontrar ( que es la ordenada) y ( que es la

pendiente) a las que se les denomina coeficientes de regresión estimado, o simplemente coeficiente de regresión, para lo cual se

requiere de las siguientes fórmulas

Pendiente de la línea de regresión

Punto donde se intercepta con el eje



Página 136

o’

donde:

es un valor de la variable independiente

es un valor de la variable dependiente

es el número de elementos en la muestra


Para calcular la ecuación de la recta, utilizando el método de los

mínimos cuadrados, traemos el planteamiento del problema del

ejemplo 1.


No. de llamadas


Paquita Trujillo 20 40 Kléver Sosa 40 60 Ximena López 20 40 Andrea Flores 30 60 Marcelo Campaña 10 20

Las fórmulas a utilizar son las siguientes:

Pendiente de la línea de regresión

Punto donde se intercepta con el eje



Página 137

o’

A la tabla anterior añadimos tres columnas para realizar los

cálculos requeridos por las fórmulas de los mínimos cuadrados.

Identificando primero la variable dependiente (No. de productos

vendidos) Y y la independiente (No. de llamadas) X.


No. de llamadas

(X)

No. de productos

vendidos (Y) X2 Y2 XY

Paquita Trujillo 20 40 400 1,600 800

Kléver Sosa 40 60 1,600 3,600 2,400

Ximena López 20 40 400 1,600 800

Andrea Flores 30 60 900 3,600 1,800

Marcelo Campaña 10 20 100 400 200

Total 120 220 3,400 10,800 6,000

Pendiente de la línea de regresión:

Punto donde se intercepta con el eje :



Página 138

Remplazando en la ecuación , los valores obtenidos se

obtiene Y= 10.88+1.38X

El valor de significa que para cada llamada adicional

que realizan los representantes de ventas pueden esperar aumentar

en casi 1.4 el número de venta de productos de limpieza y

desinfección. El valor a de 10.88 es el punto donde la ecuaciòn cruza el eje , luego si no se hacen llamadas esto es se

venderán productos.

4.2.2 TRAZO DE LA LÍNEA DE REGRESIÓN

Consideraciones Básicas

Para aplicar correctamente la regresión lineal deben satisfacerse

varias suposiciones:

Para cada valor de la variable , hay un cojunto de valores de

. Estos valores de siguen una distribución normal.

Las medias de estas distribuciones normales se encuentran sobre la línea de regresión.

Las desviaciones estándar de todas estas distribuciones

normales, son iguales. La mejor estimación que se tiene de esta

desviación estándar es común, es el error estándar de estimación ( ).

Los valores de son estadísticamente independientes. Lo que

significa que el tomar la muestra en determinado valor de X no

depende de ningún otro valor de X. Esto es importante cuando

se toman datos durante un período. En esos casos los errores de un determinado período suelen estar correlacionados con lo

de otro período.


En el ejemplo 2 se obtuvo la gráfica . El valor de

10.88 representa la intersección con el eje y, para encontrar otro

punto, arbitrariamente damos un punto cualquiera a la variable X, podría ser el 20, remplazando en la ecuación se

obtiene Y = 38.48. Si tenemos dos puntos ya podemos encontrar el

gráfico de la ecuación al unir estos puntos. Tomando en cuenta que se trata de la Ecuación de la recta, como se muestra a

continuación.



Página 139

Figura 4 Gráfica de la ecuación de la recta.

4.2.3 EL ERROR ESTÁNDAR DE LA ESTIMACIÓN

Es la medida de la dispersión de los valores observados. con

respecto a la línea de regresión.

Está en las mismas unidades que la variable dependiente. Se

basa en las desviaciones al cuadrado respecto de la recta de

regresión

Valores pequeños indican que los puntos se agrupan cerca de la recta de regresión

Para su cálculo se utiliza la siguiente fórmula:

2

2

.n

XYbYaYS xy


Al trabajar con los datos del ejercicio del ejemplo 3, tendremos

el siguiente error estándar de estimación.

Para su cálculo se utiliza la siguiente fórmula:

2

2

.n

XYbYaYS xy

25

000,638.122088.10800,10.xyS



Página 140

3

280,86.393,2800,10.xyS

3

4.126.xyS

13.42.xyS

49.6.xyS

El error estándar de estimación. mide la variación alrededor de

la línea de regresión.

4.3 FUNDAMENTOS PARA EL ANÁLISIS DE UNA

SERIE DE TIEMPO

Una serie de tiempo es una oportunidad, de poder mejorar las

decisiones que toma la gerencia ya que se puede realizar una predicción a largo plazo. Ya que una serie de tiempo al registrar los

datos puede hacer uso de ellos para realizar proyecciones, ya que

los patrones del pasado pueden repetirse y ser de gran utilidad. En

una empresa si disponemos de la información en que los periodos

de ventas en que la demanda es alta pueden ayudar a predecir, planificar y programar la producción en un período posterior,

incluso puede ayudar a tomar decisiones a largo plazo.

4.4 COMPONENTES DE UNA SERIE DE TIEMPOS

Tendencia Secular

Variación cíclica Variación estacional

Variación irregular.

4.4.1 TENDENCIA SECULAR

La serie de tiempo con tendencia secular sigue una dirección

uniforme en el tiempo. A pesar de que pueda haber variaciones, es

importante notar a largo plazo la tendencia que sigue.



Página 141


En el siguiente ejemplo se muestra una empresa se sabe que en función del tiempo, sus clientes han incrementado en cientos,

figuran en la tabla siguiente: se puede observar que el incremento

es proporcional en el tiempo y sigue una tendencia definida.

Figura 5. Ventas del 2009 al 2014

El micro mercado Cotocollao revisa el historial de sus ventas y

encuentra que las ventas se han incrementado con el tiempo, a pesar de tener una acentuada disminución en las ventas en el año

2001 comparado con las ventas en el 2000, luego se observa una

recuperación en los años siguientes.

Figura 6. Venta del micro mercado Cotocollao



Página 142

Si consideramos el número personas que salieron a España a buscar trabajo de un determinado sector del país en el transcurso del 2000 al 2010, encontramos que en el 2000 salieron 1,000

personas, mientras que en el 2002 fueron 1,300, luego

encontramos una clara disminución para el año 2010 ya tenemos

70 personas que abandonaron el país, la tendencia a largo plazo

está bastante clara.

Figura 7. Emigrantes a España (datos supustos)

4.4.2 VARIACIÓN CÍCLICA

Se da un aumento y una disminución en períodos mayores a un

año, manteniendo la tendencia en el trascurso del tiempo.


En la parte productiva es normal que existan variaciones en las ventas o ingresos en el trascurso de períodos de tiempo, esto se

puede dar por reactivación de la economía por nuevos ingresos

petroleros o disminución de los mismos. Nuevas obras de inversión

en el país como es el caso de las hidroeléctricas, finalización de estas obras, incluso cambios de gobierno, entre otros factores que

determina e influyen sobre la producción.

El ejemplo expuesto a continuación muestra la variación de los

ingreso de Sinec Constructores en miles de dólares entre 1998 y el

2015.



Página 143

Figura 8. Ingresos en miles de dólares Sinec Constructores

4.4.3 VARIACIÓN ESTACIONAL

Sigue patrones de cambio durante un año, y se repiten en los

años posteriores.


En la mayoría de negocios suele suceder que se repiten los patrones de venta de un año a otro, pueden ser por situaciones como las de fin de

año en la que la mayoría realiza compras y regalos por motivos religiosos

o de comportamiento, que en nuestro país viene acompañado del sueldo adicional que se recibe en diciembre, lo mismo sucede con el inicio de

clases y todos los requerimientos, que pueden ser lista de útiles, ropa de

uniformes, zapatos. Negocios que se ven estimulados en sus ingresos en

estas fechas. Este comportamiento suele repetirse cada año, para ello se

muestra un ejemplo de la ventas en miles de dólares.

Figura 9. Ventas en miles de dólares

0

200

400

600

800

1998

1999

2000

2001

2002

2003

2004

2005

2006

2007

2008

2009

2010

2011

2012

2013

2014

2015

In

greso

s e

n m

iles d

e

dó

lares

Año

Ingresos en miles de dolares



Página 144

4.4.4 VARIACIÓN IRREGULAR

Es aquella cuya variación es difícil predecir y pueden se

variaciones episódicas y residuales.


Las variaciones episódicas pueden originarse por eventos como una guerra, una huelga, un golpe de estado, una catástrofe natural

y la residual por los demás factores que originan la variación. Como

se indica son impredecibles.

4.5 MEDICIÓN DE TENDENCIAS

4.5.1 TENDENCIA LINEAL

Se da un aumento y una disminución de los ingresos, ventas,

gastos u otra variable, manteniendo la tendencia en el trascurso del tiempo.

Del ejemplo 6 anterior la variación de los ingreso de Sinec

Constructores en miles de dólares entre 1998 y el 2015. Podemos

ver que la tendencia que sigue a pesa de la variación en el

transcurso del tiempo el lineal.

4.5.1.1 Método de libre ajuste

Es un método aproximado y rápido para obtener la ecuación de

la recta.


En la tabla 4, se muestra los ingreso en miles de dólares en

función del tiempo.

Solución

Graficamos como se muestra en la figura 10 los puntos de los

años y los ingresos, numerados el primero como el año uno



Página 145

, como se indica en la tabla 4 para los siguientes años

tomando la misma consideración.

Trace una recta entre los puntos, la recta indica la tendencia.

Tabla 4 CÁLCULO POR EL MÉTODO DEL LIBRE AJUSTE

Años (X) Años (X) Ingresos

en miles de dólares (Y)

Años (X) Años (X) Ingresos

en miles de dólares (Y)

1998 1 200 2007 10 450

1999 2 300 2008 11 470

2000 3 350 2009 12 490

2001 4 250 2010 13 600

2002 5 270 2011 14 700

2003 6 290 2012 15 750

2004 7 400 2013 16 650

2005 8 500 2014 17 670

2006 9 550 2015 18 690

Extendemos la recta para obtener el punto donde interseca con

el eje .

Encontramos dos puntos de esta recta estimando los valores que serán aproximados, el primero puede ser y el oro el final

.

Encuentre el valor de la pendiente con los puntos anteriores

El valor de recuerde que es la intersección con el eje el cual

es

La ecuación de la recta es

Remplazando los valores encontrados

Al realizar una comparación de la ecuación de la recta

encontrada en Excel es bastante aproximada a la encontrada.



Página 146

Figura 10. Ingreso en miles de dólares

4.5.1.2 Método de mínimos cuadrados

Para encontrar la tendencia aplicando el método de los mínimos

cuadrado realizamos las siguientes consideraciones.

Grafique los puntos de los años numerados el primero como el año uno los siguiente tomando la misma consideración

como en el caso anterior o simplemente con los años reales y los ingresos.

La ecuación de la recta es

Donde


Realice una tabla y encuentre los valores requeridos, al final

podemos ver los valores encontrados.



Página 147

Tabla 5. CÁLCULO DE LOS MÍNIMOS CUADRADOS

Número de años

Años (X) Ingresos en

miles de dólares (Y)

X*Y

1 1998 200 3,992,004 399,600

2 1999 300 3,996,001 599,700

3 2000 350 4,000,000 700,000

4 2001 250 4,004,001 500,250

5 2002 270 4,008,004 540,540

6 2003 290 4,012,009 580,870

7 2004 400 4,016,016 801,600

8 2005 500 4,020,025 1,002,500

9 2006 550 4,024,036 1,103,300

10 2007 450 4,028,049 903,150

11 2008 470 4,032,064 943,760

12 2009 490 4,036,081 984,410

13 2010 600 4,040,100 1,206,000

14 2011 700 4,044,121 1,407,700

15 2012 750 4,048,144 1,509,000

16 2013 650 4,052,169 1,308,450

17 2014 670 4,056,196 1,349,380

18 2015 690 4,060,225 1,390,350

18

36117

8,580

72,469,245

17,230,560

Remplace los valores encontrados en las fórmulas.



Página 148

Remplazando los valores encontrados

Al realizar una comparación de la ecuación de la recta

encontrada en Excel es igual al calculado.

Figura 11. Ingreso en miles de dólares

4.5.2 MÉTODO DEL PROMEDIO MÓVIL

El promedio móvil es óptimo para patrones de demanda aleatoria o nivelada donde se pretende eliminar el impacto de los

elementos irregulares históricos mediante un enfoque en períodos

de demanda reciente.

El promedio móvil podemos observar la tendencia que indica la

proyección de la serie, la variación cíclica en este caso el ciclo se repite cada 7 años

Finalmente se promedia la variación cíclica y la variación

irregular y como resultado obtenemos la tendencia, que esta

expresada por una recta que es una forma suavizada de representar el promedio móvil, recta viene dada de la forma

, donde es la pendiente de la recta y representa la

intersección con el eje .

y = 30,526x + 186,67R² = 0,8713

0

200

400

600

800

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18In

greso

en

miles d

e

dó

lares

Años

Ingresos en miles de

dolares (Y)



Página 149


Tabla 6 CÁLCULO DEL PROMEDIO MOVIL PARA 7 AÑOS

Año Ventas

Promedio móvil de 7

años

1990 4

1991 5

1992 6

1993 7

6.14

1994 8

6.29

1995 7

6.43

1996 6

6.57

1997 5

6.71

1998 6

6.86

1999 7

7.00

2000 8

7.14

2001 9

7.29

2002 8

7.43

2003 7

7.57

2004 6

7.71

2005 7

7.86

2006 8

8.00

2007 9

8.14

2008 10

8.29

2009 9

8.43

2010 8

8.57

2011 7

8.71

2012 8

2013 9

2014 10

La primera columna indica el año, la segunda la ventas anuales en miles de dólares y la tercera el promedio móvil el mismo que se

calcula sumando los primeros 7 años de ventas que es donde se

repite completamente el ciclo (color azul) y dividimos para en número de años que viene a ser el

promedio móvil, el siguiente de color naranja

y de esta manera continuamos con los siguientes

valores. Si graficamos los años con las ventas observamos diferentes rectas cada una con una tendencia propia, en este caso

al graficar el tiempo con el promedio móvil, la gráfica se suaviza y



Página 150

se convierte en la tendencia de las ventas, si tomamos dos puntos cualquiera de los años y el valor de promedio móvil y

, calculamos la pendiente

,

la proyección de la recta sobre el eje “y” es . De ésta manera

obtenemos la ecuación que representa el

promedio móvil; excel es una gran herramienta que permite

encontrar la variación y la tendencia con la respectiva ecuación, la

gráfica muestra lo expuesto.

Figura 12. Ventas entre 1900 y 2014

En la mayoría de los casos es difícil obtener una tendencia lineal, por lo general sea las ventas, los ingreso, la producción u otra

variable en función del tiempo presentan una variación irregular,

razón por la que la tendencia del promedio móvil no representa una

línea recta como se muestra en el ejemplo a continuación. Además se debe considerar la naturaleza de los datos que pueden ser

mensuales en este caso el promedio móvil se sugiere que se lo

tome para los doce meses, o incluso la información la podemos

tener diaria, que la relacionaríamos con el número de días de la

semana. En la tabla expuesta a continuación los ingresos por

y = 0.142x + 5.571

0

2

4

6

8

10

12

1990

1991

1992

1993

1994

1995

1996

1997

1998

1999

2000

2001

2002

2003

2004

2005

2006

2007

2008

2009

2010

2011

2012

2013

2014

Ven

tas

Años

Ventas

Ventas

Promedio Movil

Lineal (Promedio Movil)



Página 151

ventas son anuales y está calculado el promedio móvil para tres y

cinco años. Para calcular el primer valor del promedio móvil para tres años (azul), sume las tres primero datos y divida para tres

y el promedio móvil para cinco años (amarillo)

. El promedio móvil para cuatro años se

debe encontrar un doble promedio (violeta) y colocar en la ubicación mitad del número de años más uno. ;

encuentre el promedio los cuatro primeros datos de los Ingresos por Ventas ; luego parta del segundo valor

y calculo el promedio de los siguientes cuatro datos

; finalmente calcule el promedio de los dos promedios

. Continúe con el procedimiento como se

indica en la tabla.

Tabla 7

CÁLCULO DEL PROMEDIO MÓVIL DE 3, 5 Y 4 AÑOS

Luego de calcular los datos lo ideal es representarlos en una gráfica. Al observar el promedio móvil de los ingresos agrupados en

tres años, cuatro y el de cinco años, este último tiene una

tendencia más suave, por lo que se observa que mientras mayores



Página 152

sea la cantidad de datos que agrupemos para el promedio móvil la

tendencia está mejor representada.

Figura 13 Ingreso por ventas

4.5.3 MÉTODO DEL PROMEDIO MÓVIL PONDERADO

El pronóstico de promedio móvil es óptimo para patrones de demanda

aleatoria o nivelada donde se pretende eliminar el impacto de los elementos irregulares históricos mediante un enfoque en períodos de

demanda reciente.


En el promedio móvil las ponderaciones son las mismas para

todos los datos si ponderamos para tres años sumamos los tres

valores y dividimos para tres cada valor tiene una ponderación de

1/3, mientras que en el promedio ponderado cada valor tiene una

ponderación según la necesidad, la consideración que podría tomarse en cuenta es la necesidad de que al calcular el promedio

móvil éste se encuentra entre los valores tomados. Si bien la

tendencia se ha suavizado, existe la necesidad de que el promedio

se aproxime al valor del período final.

El promedio móvil obtenemos al sumar los clientes de los tres primeros años y dividirlo para tres

Las ponderaciones para este ejemplo son de 0.1; 0.2; 0.7, que suma 1; para cada uno de los períodos la ponderación es diferente

tomando en cuenta que la ponderación del último año es mayor.



Página 153

El promedio móvil ponderado obtenemos al sumar los clientes de

los tres primero años multiplicados por la ponderación y dividirlo para tres

En la tabla siguiente del ejemplo se observa en 1999 existieron

10,200 clientes y el promedio móvil fue de 8,776.33, mientras que el promedio ponderado de 9,278 que se aproxima más a los

clientes en ese año. La grafica muestra como el promedio móvil

ponderado se aproxima más al número de clientes.

Figura 14. Promedio móvil ponderado para diferentes periodos.



Página 154

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UNIVERSIDAD CENTRAL DEL ECUADOR SEMESTRE MARZO …

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