Unidad Simplex

INVESTIGACION OPERATIVA

Programación Lineal. Método Simplex

Unidad Nº 2, 3, 4

METODO SIMPLEX: Bases matemáticas

Teníamos en nuestro problema original las siguientes ecuaciones:

Mezclado: x1+ 2.x2≤ 720 (R1)

Cocción: 5.x1+4.x2≤ 1800 (R2)

Envasado 3.x1+ .x2≤ 900 (R3)

La función objetivo Z = 40.x1+50.x2 sujeta a las siguientes restricciones:

Siendo a su vez x1 y x2 ≥ 0 (condición de no negatividad)

Transformamos las inecuaciones en ecuaciones agregando una variable slack o de holgura, que

en nuestro caso particular representa la cantidad de recurso sobrante, las representaremos con

correspondientes a los recursos 1 , 2 y 3 respectivamente : Como las mismas

representan justamente recursos sobrantes participan en el funcional con coeficiente cero , por

lo que el funcional se transforma en : Z = 40.x1+ 50.x2 +0.S1+0.S2+0.S3

( 1 ) x1+2.x2 + S1= 720

( 2 ) 5.x1+4.x2 + S2= 1800

( 3 ) 3.x1+ x2 + S3 = 900

En la primera solución habíamos visto en el método gráfico que nos encontrábamos en el

centro de coordenadas y por lo tanto no producimos nada , esto implica que nos sobran los tres

recursos.

Matemáticamente lo anterior se indica :

Variables no básicas x1 = 0 x2 = 0 Variables básicas

Ing. Fernando Martin Método Simplex1

S1= 720S2= 1800S3 = 900Z = 40. 0 + 50. 0 = 0

El método simplex consiste en incrementar el valor de las variables no básicas y estudiar como

varía el funcional Z con dicho incremento

Segunda solución: Incrementaremos por ahora x2 por el simple hecho de poseer mayor

coeficiente de funcional ( posteriormente daremos otros criterios a los efectos de determinar

cual es la variable que ingresa).

Al incrementar x2 se produce una modificación en las otras variables .

Nuestra tarea será incrementar x2 ; nos interesaría en principio que la misma aumente el

máximo posible pero nos encontramos con algunas limitaciones que ahora apreciaremos con

más detalle:

Despejamos de las respectivas ecuaciones y las colocamos en función de x2 ,

posteriormente veremos cual es el valor de x2 que anula a

S1= 720 -2.x2- x1

S2= 1800 - 4.x2 - 5.x1

S3 = 900 - x2 - 3.x1

Ahora si x1 = 0 el sistema anterior nos queda

S1= 720 -2.x2 valor de x 2 que anula a S1

S2= 1800 - 4.x2 valor de x 2 que anula a S2

S3 = 900 - x2 valor de x 2 que anula a S3

De los tres valores de x2 elijo el menor es decir x2 = 360 ya que si observamos el sistema de

ecuaciones reciente un valor mayor a 360 en el mismo nos haría negativos a

respectivamente en cada una de ellas. Al menor valor de x 2 que anula algunas del as variables

S, lo denominaremos genéricamente con la letra θ


Sintetizando la nueva solución nos queda

Variables no básicas x1 = 0 S1 = 0 Variables básicas x2= 360S2= 360S3 = 540Z = 50 . 360 = $ 18000

Tercera solución :

Volviendo al sistema original

( 1 ) x1+2.x2 + S1= 720

( 2 ) 5.x1+4.x2 + S2= 1800

( 3 ) 3.x1+ x2 + S3 = 900

Incrementaremos x1 con un criterio similar es decir colocaremos x1 en función de x2 , S2 y S3 y

veremos cual es el valor de x1 que las anula.

si S1 = 0 en la ecuación ( 1 ) x1+2.x2 = 720 siendo x1 = 720 el valor

que anula a x2 .

En la ecuación ( 2 ) debo hacer desaparecer a x2 para apreciar como se modifica S2 en la medida

que crece x1 ; para ello en el sistema original divido a la ecuación ( 1 ) por el coeficiente que

acompaña a x2 en la misma , en este caso el coeficiente es 2 .

( 4 )

Ahora hacemos ( 2 ) – ( 4 ) . 4 siendo este último 4 el coeficiente que acompaña a x 2 en la

ecuación ( 2 )

( 5 ) si S1 = 0 la ecuación ( 5 ) nos queda :

siendo x1 = 120 el valor que anula a S2


Por último realizamos un procedimiento similar con la ecuación ( 3 ) a los efectos de visualizar

cual es el valor de x1 que anula a S3

Para ello hacemos ( 3 ) – ( 4 ) . 1 siendo 1 el coeficiente que acompaña a x2 en la ecuación ( 3 )

Operando:

( 6 )

si S1 = 0 la ecuación ( 6 ) nos queda :

Siendo x1 = 216 el valor que anula a S3 en ésta

última ecuación.

Tenemos tres valores posibles de x1 : 720, 120 y 216 , de los cuales por los mismos motivos

que los vistos precedentemente elegimos el menor a los efectos de no violar el principio de no

negatividad

Por lo tanto al optar por el menor nos queda x1 = 120 el que hacer reemplazado en las otras

ecuaciones nos indica que x2 = 300 y S3 = 240.

Resumiendo la tercera solución

Variables no básicas S1 = 0 S2 = 0 Variables básicas x1= 120x2= 300S3 = 240Z = 40 . 120 + 50 . 300 = $ 19800

Generalización

Ahora procedemos con variables genéricas en base a lo visto en el ejemplo anterior hallar un

método que nos permita optimizar nuestro funcional .

El procedimiento es en esencia similar , pero ahora veremos que criterio utilizamos para

ingresar una variable , cual será para determinar cual es la que sale de la solución básica y en

definitiva también saber con certeza cuando nos encontramos con la solución óptima


Z = C1.x1+C2.x2 +0.x3+0.x4+0.x5

Teníamos la función objetivo Z = C1.x1+C2.x2 sujeta a las siguientes restricciones :

a11.x1+a12.x2≤ b1

a21.x1+a22.x2≤ b2

a31.x1+a32.x2≤ b3 x1 y x2 ≥ 0

Transformamos las inecuaciones en ecuaciones agregando las variables slack :

a11.x1+a12.x2 + S1= b1

a21.x1+a22.x2 + S2= b2

a31.x1+a32.x2 + S3 = b3

Z = C1.x1+C2.x2 +0.S1+0.S2+0.S3

Primera solución :

S1= b1 x1 = 0

S2= b2 x2 = 0

S3 = b3 no fabrico nada por lo que la disponibilidad es igual al sobrante

Cj C1 C2 C3 C4 C5

Ck xk B A1 A2 A3 A4 A5

C3 S1 b1 a11 a12 1 0 0

C4 S2 b2 a21 a22 0 1 0

C5 S3 b3 a31 a32 0 0 1

Zj Z(1) Z1 Z2 Z3 Z4 Z5

dónde : Z(1) = C3.S1+C4.S2+C5.S3

Z1=C3.a11+C4.a21+C5.a31 Z2=C3.a12+C4.a22+C5.a32 etc.

Segunda solución : debo incorporar una variable por lo que debo realizar el análisis previo para

determinar el criterio para determinar cual es la que debe ingresar de manera tal que el


funcional se incremente de una iteración a la otra. Desarrollaremos paralelamente que ocurre si

se incrementa x1 y x2 .

si se incrementa x1 si se incrementa x2

a11.x’1 + S’1= b1 = S1 a12.x2 + S’1= b1 = S1

a21.x1 + S’2 = b2 = S2 a22.x2 + S’2= b2 = S2

a31.x1 + S’3 = b3 = S3 a32.x2 + S’3 = b3 = S3

Si incrementamos x1

siendo la cantidad que puedo producir de la variable que entra si se deja de producir la

variable correspondiente a la fila .

Por lo que vimos de las tres será el menor positivo

El funcional en ésta segunda iteración será :

Z( 2 ) = C1 . + C2 . x2 + C3 . S’1 + C4 . S’2 + C5 . S’3

Z( 2 ) = C1 . + 0 + C3 . S1 – C3 . a11 + C4 . S2 – C4 .a21 + C5 . S3 – C5 a31 .

Z( 2 ) = C1 . – ( C3 . a11 +C4 .a21 + C5 a31 ) + C3 . S1 +C4 . S2 + C5 . S3

Z( 2 ) = ( C1 .– Z1 ) + Z( 1 )

Z( 2 ) es el funcional de la segunda solución cuando incremento x1 .

Si incrementamos x2


Por lo que vimos de las tres será el menor positivo

El funcional en ésta segunda iteración será :

Z( 2 ) = C1 . x1 + C2 . + C3 . S’1 + C4 . S’2 + C5 . S’3

Z( 2 ) = C1 . 0+ C2 . + C3 . S1 – C3 . a12 + C4 . S2 – C4 .a22 + C5 . S3 – C5 a32 .

Z( 2 ) = C2 . – ( C3 . a12 +C4 .a22 + C5 a32 ) + C3 . S1 +C4 . S2 + C5 . S3

Z( 2 ) = ( C2 .– Z2 ) + Z( 1 )

Z( 2 ) es el funcional de la segunda solución cuando incremento x2 .

Generalizando para cada columna:

Z( f ) = Z( i ) + ( Cj .– Zj )

Por lo tanto tendremos que realizar en la tabla anterior las diferencias entre los coeficientes de

funcional Cj y los coeficientes Zj obtenidos.

Para saber que vector o variable debe ingresar en cada iteración observemos la siguiente regla

Si maximizamos debo buscar que Z( f ) Z( i ) por lo tanto ( Cj .– Zj ) debe ser positivo y

dado que es siempre positivo deberemos realizar todas las diferencias ( C j .– Zj ) y elegir las

más positiva con lo cual llegaremos al óptimo más rápidamente realizando el menor número de

iteraciones posibles.

Si por el contrario queremos minimizar debo intentar que el Z ( f ) sea cada vez más pequeño es

decir que Z( f ) Z( i ) para ello elegimos el ( C j .– Z j ) más negativo .

La segunda iteración la podemos sintetizar en el siguiente cuadro:


Cj C1 C2 C3 C4 C5

Ck xk B A1 A2 A3 A4 A5

C2 x2 1 0 0

C4 S2 0 1 0

C5 S3 0 0 1

Zj Z(1) Z1 Z2 Z3 Z4 Z5


Veamos a continuación el método simplex aplicado al ejemplo de los caramelos

C j 40 50 0 0 0

C k x k B A1 A 2 A 3 A 4 A 5 θ

0 S 1 720 1 2 1 0 0 360

0 S 2 1800 5 4 0 1 0 4500 S 3 900 3 1 0 0 1 900

0 0 0 0 0 0

40 50 0 0 0

50 x 2 360 1/ 2 1 1/ 2 0 0 720

0 S 2 360 3 0 - 4 / 2 1 0 1200 S 3 540 5 / 2 0 - 1/ 2 0 1 216

18000 25 50 25 0 0

15 0 -25 0 0

50 x 2 300 0 1 5 / 6 - 1 / 6 0

40 x 1 120 1 0 - 2 / 3 1 / 3 00 S 3 240 0 0 7 / 6 - 5 / 6 1

19800 40 50 15 5 0

0 0 -15 -5 0

Z j C j - Z j

Z j C j - Z j

Z j C j - Z j

Se lee: x 1 = 120 cajas de caramelo A x 2 = 300 cajas de caramelo BS 3 = 240 es decir sobran 240 minutos de recurso tres, en nuestro caso de envasadoZ = 19800 $ En la tabla no aparecen ni S 1 ni S 2 , ya que como vimos anteriormente S 1 = 0S 2 = 0 Posteriormente interpretaremos el significado de los otros coeficientes:

Resumen

1) Elijo C j – Z j más positivo y el θ mínimo que determinan el elemento pivote.2) Se elabora la nueva tabla con la regla del paralelogramo.3) En la segunda iteración del simples se observa en la tabla que 1 / 2 (figura con el

círculo) representa que por cada unidad de x 1 que se comienza a producir, dejo de producir 1 / 2 de x 2 .

4) 25 es lo que se deja de ganar por dejar de producir 1 / 2 unidad de x 2 y se lo denomina costo de oportunidad.

5) 15 representa lo que se gana por dejar de producir 1 / 2 unidad de x 2 y comenzar a producir x 1

6) Recordando que debemos calcular para cada columna las diferencias C j – Zj , a los efectos de verificar Z( f ) = Z( i ) + ( Cj .– Zj ). Para saber que vector o variable debe ingresar en cada iteración, observemos la siguiente regla Si maximizamos debo buscar que Z( f ) Z( i ) por lo tanto ( Cj .– Zj ) debe ser positivo y dado que es siempre positivo deberemos realizar todas las diferencias ( C j .– Zj ) y elegir las más positiva con lo cual llegaremos al óptimo más rápidamente realizando el menor número de iteraciones posibles.

7) Cuando todas las diferencias C j – Zj sean negativas o nulas, no podemos seguir realizando iteraciones, ya que una nueva iteración implicaría que Z( f ) < Z( i ) , en caso de maximización es obviamente contraproducente.

8) El proceso de maximización, finaliza cuando en todas las columnas se verifica que C j – Zj ≤ 0


9) Si Cj – Zj = 0 en una variable no básica , implica que estamos en una solución alternativa, por cuanto ingresar un vector en dicha columna nos asegura Z ( f ) = Z( i ) ya que como mencionamos Cj – Zj = 0

Veamos ahora otras curiosidades del simplex:Retornando al sistema de ecuaciones original:

( 1 ) x1+2.x2 + S1= 720

( 2 ) 5.x1+4.x2 + S2= 1800

( 3 ) 3.x1+ x2 + S3 = 900

Con los resultados del simplex, nos quedaría

( 1 ) x1+2.x2 = 720

( 2 ) 5.x1+4.x2 = 1800

( 3 ) 3.x1+ x2 + S3 = 900

Incrementamos una unidad de un recurso saturado, por ejemplo un minuto del recurso de mezclado ( 1 ), el sistema nos queda:

( 1` ) x1` + 2.x2 ` = 721

( 2` ) 5.x1`+4.x2 ` = 1800

( 3` ) 3.x1`+ x2 `+ S3` = 900

Z` = 40 x1` + 50.x2`

Haciendo las diferencias ( 1`) – ( 1 ) , ( 2` ) – ( 2 ), ( 3` ) – ( 3 ) y denominando a R = x1` -.x1 , L = x2` - x2 , T = S3`- S3 Nos queda un nuevo sistema de ecuaciones

R + 2 L + 0 = 1

5 R + 4 L + 0 = 0

3 R + L + T = 0

Resolviendo el sistema de tres ecuaciones con tres incógnitas nos queda:

Además

Intente ahora el lector identificar dichos valores en la última tabla del Simplex, e intente interpretar el significado


Programación Lineal

Trabajo Práctico nº 1

El siguiente trabajo práctico, pretende que Ud. incorpore y signifique, los conceptos vertidos en la teoría, al final de cada problema se le indicará la actividad que debe desarrollar para cumplir con el objetivo propuesto.

1. Plantear las restricciones , la ecuación del funcional , y Graficar para los siguientes tablas :

a)

ITEM Producto 1 Producto 2 Disponibilidad $

Materia prima 2 $ / unid. 3 $/ unid 60

Mano de obra 3 $ / unid 1 $ / unid. 90

Energía 5 $ / unid. 2 $ / unid. 100

Beneficio 3 $ / unid. 3 $ / unid.

Los recursos se indican en pesos

b)

ITEM Producto 1 Producto 2 Disponibilidad Kg

Materia prima 1 3 kg / unid. 2 kg / unid 300

Materia prima 2 2 kg / unid 4 kg / unid 400

Materia prima 3 4 kg / unid 2 kg / unid 280

N bBeneficio 4 $ / unid. 7 $ / unid.

c)

ITEM Producto 1 Producto 2 Disponibilidad

Materia prima 3 kg / unid. 4 kg / unid. 1200 kg

Mano de obra 5 hs / unid. 4 hs / unid 2000 hs

Equipos 6 h máq / unid 4 h máq / unid 2400 h máq.

Beneficio 2 $ / unid. 1 $ / unid.

2. Minimizar: Z = 2 X1 + 5 X2

Sujeto a: 5 X1 + 4 X2 20

2 X1 + 3 X2 6

6 X1 + 2 X2 12

Resolver por el método gráfico.

3 Un individuo ha cobrado $ 10000 y quiere invertir el dinero para maximizar el rendimiento

sobre la inversión. Se decide a invertir tanto en acciones como en bonos. Para estar

seguros , se piensa que las acciones deben ser no más del 25 % del total y deben ser , por lo


menos el 10 % . Existe un bono que resulta particularmente interesante y se quiere invertir

en el por lo menos $ 4000. Se estima que la tasa anual de rendimientos en bonos es el 8 %

y en acciones el 10 %. ¿Cuánto debe invertirse en acciones y cuánto en bonos? Plantear las

ecuaciones y resolver por el método gráfico.

4 Un fabricante de bombones entrega sus productos en cajas de 1 Kg. compuestas de dos

maneras diferentes: la caja tipo A contiene 300 gramos de bombones de licor, 500 gramos

de bombones de nuez, y 200 gramos de bombones de fruta; la caja B contiene

respectivamente, 400 gramos, 200 gramos y 400 gramos.

Cada caja tipo A deja un beneficio neto de 12 $ / caja, mientras la tipo B 9 $ / caja.

Tiene disponible 100 Kg. de licor, 120 kg. de bombones de nuez y 100 Kg. de bombones

de fruta.

¿Cuántas cajas deberá armar de cada tipo, para obtener el beneficio máximo?

Plantear las ecuaciones y resolver por el método gráfico.

Resolver planteando las ecuaciones según la metodología utilizada en la teoría

Resolver por el método Simplex

Aplicar el teorema del dual

Posoptimización

5 Optativo: En un taller se fabrican dos tipos de piezas A y B , que deben seguir los

siguientes procesos : estampado ,soldado y pintado . La operación de estampado consiste en

preparar las partes idénticas que luego serán soldadas de a pares formando la pieza A , el

mismo proceso se realiza para la pieza B .Los insumos de tiempo de equipo son los

siguientes para la realización de cada una de las operaciones

OPERACIONES A ( seg / pieza ) B ( seg / pieza ) Tiempo disponibleEstampado de c/ parte 3 8 48000

soldado 12 6 42000pintado 9 9 36000

El beneficio es de 4 $ / pieza A y 3 $ / pieza B, se desea establecer un plan de producción

semanal que maximice la utilidad.



Aplicar el teorema del dual

Posoptimización

6 Optativo: Una fábrica de productos del hogar manufactura 2 productos A y B .Ambas

sufren 3 procesos en el mismo orden que son maquinado, armado y montaje. Las

disponibilidades de tiempo diarios de cada proceso son: 480 min., 600 min. y 540 min.


respectivamente. Para la operación de maquinado tarda 4 min. por artefacto A y 8 min. por

artefacto B. Para el proceso de armado tarda 2min por artefacto A y 5 min. por artefacto B,

Para el proceso de montaje toma 12 min. por arte. A y 8 min. por arte. B.

El artefacto A deja un beneficio de 100 $ / unid. y el B de 120 $ / unid. Hallar el plan de

producción diario de manera que el beneficio sea máximo.

7 Un agricultor quiere cultivar maíz y trigo en un campo de 70 hectáreas. Sabe que una

hectárea puede rendir 100 quintales de maíz y 60 quintales de trigo. Cada hectárea requiere

una inversión de 110 $ para cultivar maíz y 95 $ para trigo. El capital disponible es de $

7500 . Las necesidades de agua de riego son 900 m3 por hectárea de maíz y 650 m3 por

hectárea de trigo ; estos requerimientos son para el mes de Octubre y 1200 m3 por ha. de

maíz y 850 m3 por ha. de trigo para Noviembre . La disponibilidad de agua en Octubre es

de 57900 m3 y en Noviembre 115200 m3 . Si los precios de maíz y trigo son de 105.41 u$s

la tonelada y119.60 u$s por tonelada respectivamente . Determinar la cantidad de maíz y

trigo que deben producirse para obtener un ingreso total máximo.



8 Una empresa de transporte se ha comprometido a proporcionar por lo menos 12 ómnibus

para transportar 400 personas. La empresa dispone de ómnibus de 20 y 40 asientos.

Dispone también de 22 conductores, de los que solo 11 pueden conducir los ómnibus de 40

asientos, pero cualquiera de ellos puede conducir los de 20 asientos. El gasto por Km. con

ómnibus de 20 asientos es de 16 $ y con el de 40 es de 24 $. Determinar el número de cada

tipo de ómnibus que hace que el gasto sea mínimo



9 Se reciben en una planta tres petróleos crudos de diferentes procedencias, se desea obtener

nafta, kerosene, fuel oil y gas oil. Cada uno tiene un rendimiento dado con respecto al

producto que se desea obtener :

CRUDO A CRUDO B CRUDO C

NAFTA 0.4 0.3 0.1

KEROSENE 0.3 0.1 0.2

GAS OIL 0.2 0.2 0.4


FUEL OIL 0.1 0.4 0.3

BENEFICIO $ / m3 1200 700 900

La capacidad de almacenamiento de la planta es como máximo de 100000 m3. Por otro

lado debe haber una producción mínima de nafta de 20000 m3 y limitaciones en el stock

hacen que la cantidad de nafta no sea mayor que 30000 m3 . El querosene obtenido debe

superar los 10000 m3 El gas oil debe cubrir una necesidad mínima de 25000 m3 y el fuel

oil de 20000 m3. Se desea saber cuál es la mezcla de crudos que maximice el beneficio

indicando si se da la posibilidad que algún crudo no debe ser procesado.

Plantear las ecuaciones, resolver con algún paquete informático

10 Problema de la "dieta ": Un productor ganadero necesita establecer la cantidad de alimento

debe consumir diariamente el ganado a los efectos de satisfacer un límite mínimo de

proteínas , materias grasas etc. El ganado requiere de cuatro componentes nutritivos CN1 ,

CN2, CN3 y CN4 . Tiene disponibles dos tipos de alimentos I y II los que poseen los

componentes nutritivos en la proporción que indica la siguiente tabla :

ALIMENTOS

Comp. Nutritivos. I II Cantidad mínima

CN1 0,1 0 0,40

CN2 0 0,1 0,60

CN3 0,1 0,2 2,00

CN4 0,2 0,1 1,70

COSTO ( $ / kg.) 10 4

Por ejemplo: el alimento I tiene 0,1 gramo ( CN1) / kg de alimento y la cantidad mínima

que un animal debe consumir por ida es por lo menos 0,4 g de CN1.

¿Qué cantidad de alimento I y II se deben utilizar diariamente por animal par obtener la

alimentación más económica?



11 Con los datos del ejercicio anterior considere la situación de un competidor del proveedor

de alimentos que venda los componentes nutritivos en forma separada, desea saber a que

precio debe vender cada uno de los componentes nutritivos de manera tal que la ganancia

sea máxima, pero sin que la suma de los precios de los componentes supere a la de los


alimentos.

Plantear las ecuaciones.

Resolver por el método Simplex comparar los resultados con el problema anterior.

12 Un banco tiene disponible $ 1000000 disponibles para préstamos. Puede prestar dinero a

empresas, proporcionar hipotecas o conceder créditos personales. Las políticas del banco

limitan los préstamos personales a un máximo de 25 % de todos los préstamos, mientras

que los préstamos a empresas no pueden exceder la cantidad de hipotecas. También el

banco quiere que los préstamos a empresas sean por lo menos 10 % más que los créditos

personales. Los intereses promedio son 12 % en préstamos personales, 10 % en préstamos a

empresas y 8 % sobre hipotecas. Los fondos que no se han prestado se invierten en valores

de corto plazo. El banco quiere un programa para maximizar el interés.

Plantear las ecuaciones y resolver con algún paquete informático.

13 Un pequeño distribuidor está planteando una campaña de publicidad de cuatro semanas

para anunciar una inauguración, quiere lograr la mayor audiencia posible y está dispuesto a

gastar hasta $ 5000 en la campaña. Después de revisar los medios de publicidad

disponibles, el distribuidor ha reducido las posibilidades a cinco:

a) anuncios diarios en periódicos locales.

b) comerciales matutinos en la televisión local.

c) comerciales vespertinos en la televisión local.

d) Patrocinio local de programas semanales de televisión

e) Un anuncio en la edición mensual de una revista regional.

Para cada una de estas posibilidades se obtuvo la siguiente información:


Televisión

Periódico Matutino Vespertino Programa Revista

Costo por unidad $ 400 $ 100 $ 1000 $ 1000 $ 400

Unidades disponibles 4 4 4 4 1

Audiencia total 16000 4000 40000 35000 15000

Hombres edad 21-35 4000 500 12000 1000 8000

Mujeres 6000 2000 12000 5000 2000

El distribuidor quiere lograr una asistencia de por lo menos 20000 miembros de cada sexo.

Desea maximizar la audiencia total. ( x se refieren al número de unidades de publicidad de cada

medio ) .

Plantear las ecuaciones y resolver con algún paquete informático


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