JUAN DIEGO RODRIGUEZ HERRERA

INSTITUTO TECNOLOGICO SUPERIOR DE TIERRA BLANCA

ESTUDIO DEL TRABAJO II

VERONICA SANCHEZ FLORES

TRABAJO DE INVESTIGACION

INGENIERIA INDUSTRIAL

404-E

TIERRA BLANCA, VER. A 18 DE ABRIL 2015

INDICE

APORTACION DEL METODO SIMPLEX.........3

PASOS DE METODO SIMPLEX.5

TIPOS DE SOLUCIONES DEL METODO SIMPLEX (NO ACOTADA, SIN SOLUCION, MULTIPLE, DEGENARDA, ETC).7

PASOS DEL METODO DE DOBLE FASE..13

TIPOS DE SOLUCIONES DEL METODO DE DOBLE FASE (NO ACOTADA, SIN SOLUCION, MULTIPLE, DEGENARDA, ETC)..14

IMPORTANCIA Y APLICACIONES DEL METODO SIMPLEX16

BIBLIOGRAFIA.17

APORTACION DEL METODO SIMPLEX Y SUS PASOS

ElMtodo Simplexes un mtodo analtico de solucin de problemas deprogramacin linealcapaz de resolver modelos ms complejos que los resueltos mediante elmtodo grficosin restriccin en el nmero de variables.ElMtodo Simplexes un mtodo iterativo que permite ir mejorando la solucin en cada paso. La razn matemtica de esta mejora radica en que el mtodo consiste en caminar del vrtice de un poliedro a un vrtice vecino de manera que aumente o disminuya (segn el contexto de la funcin objetivo, sea maximizar o minimizar), dado que el nmero de vrtices que presenta un poliedro solucin es finito siempre se hallar solucin.Este famossimo mtodo fue creado en el ao de 1947 por el estadounidense George Bernard Dantzig y el ruso Leonid Vitalievich Kantorovich, con el nimo de crear un algoritmo capaz de solucionar problemas demrestricciones ynvariables.George Bernard Dantzig (1914-2005)

Fue un matemtico reconocido por desarrollar el mtodo simplex y es considerado como el "padre de la programacin lineal". Naci el 8 de Noviembre de 1914 en Portland, Oregon, EEUU. Su padre era profesor de Matemticas, se retir dejando su puesto de Jefe del Departamento de Matemticas en la Universidad de Maryland poco despus de la Segunda Guerra Mundial. Su madre era una lingista especializada en idiomas eslavos.Dantzig se gradu de matemticas en 1936 en la Universidad de Maryland donde enseaba su padre. Obtuvo el Master en Ciencias en 1937 en la Universidad de Michigan. ste no disfrutaba con las matemticas puras, pues sealaba frecuentemente que slo disfrut de los cursos relacionados con estadsticas. Dantzig fue a Washington a trabajar como Junior Statiscian en el Bureau of Labor Statistics, labor que llev a cabo desde 1937 hasta 1939. Comenz a interesarse en los estudios de matemticas al leer trabajos de uno de los fundadores de la teora estadstica, el polaco radicado en los Estados Unidos, Jerzy Neyman. En 1939 comenz a trabajar como su asistente en los cursos que dictaba en Berkeley, mientras trabajaba en su doctorado.Durante la II Guerra Mundial Dantzig dej los estudios y pas a trabajar de 1941 a 1946 en la llamada Combat Analysis Branch, de la Fuerza rea de los Estados Unidos, donde obtuvo reconocimientos por su labor. Su trabajo era coleccionar y analizar datos sobre misiones areas, efectividad de los bombardeos y prdidas de aviones. Esta actividad era caracterizada por el desarrollo de planes minuciosos llamados programas.Al final de la guerra George pas a la Universidad de California en Berkeley, pero el Pentgono le hizo una oferta mejor pagada, as que se dedic a la labor de mecanizar el proceso de planeamiento siendo Asesor Matemtico en el Departamento de Defensa.Es en 1947 que Dantzig hace su ms famosa contribucin: el Mtodo Simplex de Optimizacin. ste fue el resultado de una labor que buscaba simplificar los usuales mtodos de planeamiento que utilizaban calculadoras de mesa. Le llam programacin por el trmino usado en el argot militar. Dantzig realiz la mecanizacin bajo el supuesto de que el programa posea una estructura relativamente simple, desde el punto de vista matemtico, llamado Modelo Lineal. Con su uso se lograba hacer los cmputos con mayor rapidez y exactitud.El mtodo desarrollado por Dantzig es catalogado como uno de los ms importantes en toda la historia de las matemticas aplicadas, pues por el uso del Simplex es posible tomar decisiones ptimas en muchas clases de problemas prcticos de gran complejidad.Otro de sus grandes logros es la teora de la dualidad, ideado conjuntamente con Fulkerson y Johnson en 1954 para resolver el paradigmtico problema del Agente Viajero (resolviendo entonces problemas con 49 ciudades cuando, hoy da, mediante modernas implementaciones del mtodo, se resuelven problemas con varios miles de ciudades y hasta un milln de nodos) es el precursor de los hoy utilsimos mtodos de Branch-and Cut (Bifurcacin y corte) tan utilizados en programacin entera para resolver problemas de grandes dimensiones.El 13 de Mayo de 2005, George Bernard Dantzig, muri a la edad de 90 aos en su casa de Stanford debido a complicaciones con la diabetes y problemas cardiovasculares.

PASOS DEL METODO SIMPLEX

El mtodo del simplex es un procedimiento iterativo que permite ir mejorando la solucin a cada paso. El proceso concluye cuando no es posible seguir mejorando ms dicha solucin. El mtodo est diseado de manera que la funcin objetivo no disminuya (o aumente) en un modelo de maximizacin (o minimizacin) y generalmente aumentar (o disminuir) en cada iteracin.Pasos para el desarrollo del mtodo simplex:1. Hallar una solucin bsica factible inicial.a. Convertir las desigualdades en igualdades.b. Igualar la Funcin Objetivo a cero.c. Escribir la tabla inicial simplex. (en las columnas aparecern todas las variables del problema y, en las filas, los coeficientes de las igualdades obtenidas, una fila para cada restriccin y la primera fila con los coeficientes de la funcin objetivo.2. Prueba de optimidad: determinar si la solucin bsica factible inicial es ptima, esto ocurre si todos los coeficientes de la ecuacin son no negativos (= 0), para el caso de maximizacin. Si es as, el proceso termina; de otra manera se lleva a cabo otra iteracin para obtener la nueva solucin bsica factible inicial.3. Para escoger la variable de decisin que entra en la base, nos fijamos en la primera fila, la de los coeficientes de la funcin objetivo y escogemos la variable con el coeficiente negativo mayora. Si existiesen dos o ms coeficientes iguales que cumplan la condicin anterior, entonces se elige uno cualquiera de ellos.b. Si en la primera fila no existiese ningn coeficiente negativo, significa que se ha alcanzado la solucin ptima. Por tanto, lo que va a determinar el final del proceso de aplicacin del mtodo del simplex, es que en la primera fila no haya elementos negativos (para el caso de maximizacin).c. La columna de la variable que entra en la base se llama columna pivote4. Para todos los problemas de maximizacin y minimizacin, la variable que sale es la variable bsica que tiene la razn ms pequea (positiva). Una coincidencia se anula arbitrariamente.a. Para determinar la razn de cada rengln, se divide cada trmino de la ltima columna (valores solucin) por el trmino correspondiente de la columna pivote, siempre que estos ltimos sean mayores que cero.b. Si hubiese algn elemento menor o igual que cero no se hace dicho cociente. En el caso de que todos los elementos fuesen menores o iguales a cero, entonces tendramos una solucin no acotada y no se puede seguir. c. El trmino de la columna pivote que en la divisin anterior d lugar al menor cociente positivo, indica la fila de la variable de holgura que sale de la base. Esta fila se llama fila pivote5. En la interseccin de la fila pivote y columna pivote se encuentra el elemento pivote.6. Se determina la nueva solucin bsica factible construyendo una nueva tabla en la forma apropiada de eliminacin de Gauss, abajo de la que se tiene. Para cambiar el coeficiente de la nueva variable bsica en el rengln pivote a 1, se divide todo el rengln entre el nmero pivote, entonces Nueva fila del pivote = rengln o fila pivote antigua / nmero pivote7. Para el resto de las filas: Nueva fila= (Vieja fila) - (Coeficiente de la vieja fila en la columna de la variable entrante) X (Nueva fila del pivote)ORengln nuevo = rengln antiguo - (coeficiente de la columna pivote X rengln pivote nuevo)8. Si en los elementos de la primera fila hay un coeficiente negativo, significa que no hemos llegado todava a la solucin ptima. Entonces se repite el proceso. 9. Si todos los coeficientes de la fila de la funcin objetivo son positivos, hemos llegado a la solucin ptima. La solucin ptima viene dada por el valor de Z en la columna de los valores solucin. En la misma columna se puede observar el vrtice donde se alcanza, observando las filas correspondientes a las variables de decisin que han entrado en la base.

TIPOS DE SOLUCIONES DEL METODO SIMPLEX (NO ACOTADA, SIN SOLUCION, MULTIPLE, DEGENARDA, ETC)

Casos especiales en la aplicacin del mtodo simplex: Consideraremos casos especiales que pueden presentarse en la aplicacin del mtodo simplex, entre los que se encuentran:1. Degeneracin.2. Opciones ptimas.3. Soluciones no acotadas.4. Soluciones inexistentes (o infactibles).DEGENERACIONEn la aplicacin de la condicin de factibilidad, una coincidencia de la razn mnima se debe descomponer en forma arbitraria para los fines de determinar la variable que sale. Cuando suceda esto una o ms veces de las variablesbsicas, ser necesariamente igual a cero en la siguiente iteracin. En este caso, decimos que la nueva solucin es degenerada.Ejemplo (Solucin ptima degenerada)Maximizar z = 3x1+9x2Sujeto ax1+ 4x28x1+ 2x24x1,x20Tabla 3-2

Tres rectas cruzan el optimo. Como ste es un problema bidimensional, se dice que el punto esta ms quedeterminado(osobredeterminado), ya que solo necesitamos dos rectas para identificarlo. Por este motivo, concluimos que una de las restricciones es redundante. Desafortunadamente no existen tcnicas confiables para identificar restricciones redundantes directamente a partir de la tabla.

Desde el punto de vista terico, la degeneracin tiene dos implicaciones. La primera tiene que ver con el fenmeno delciclajeo reciclaje. Si se observan las iteraciones 1 y 2 de la tabla 3-2, se ver que el valor de la funcin objetivo no ha mejorado (z=18). Por lo tanto, es posible, en trminos generales, que el procedimiento simplex repetira lamisma sucesinde iteraciones, sin mejorar nunca el valor de la funcin objetivo ni poner fin a los clculos.El segundo punto terico se presenta en el examen de las iteraciones 1 y 2. Ambas iteraciones, pese a diferir en la clasificacin de las variables como bsicas y no bsicas, producen valores idnticos de todas las variables y el valor de la funcin objetivo, es decir,x1= 0, x2= 2, x3= 0, x4= 0, z = 18Por lo tanto, se genera un argumento relacionado con la posibilidad de suspender los clculos en la iteracin 1 (cuando aparece la degeneracin), aunque no es ptima. Este argumento no es vlido porque, en general, una solucin puede sertemporalmente degenerada.OPCIONES PTIMAS:Cuando la funcin objetivo es paralela a una restriccin de enlace (o sea, una restriccin que se satisface en el sentido de la igualdad a travs de la solucin ptima), la funcin objetivo tomara elmismo valor optimoen ms de un punto de solucin. Por esta razn reciben el nombre deopciones optimas.Ejemplo (Infinidad de soluciones)Maximizar z = 2x1 + 4x2Sujeto ax1+ x25x1+ x24x1, x20En trminos algebraicos sabemos que el mtodo simplex es capaz de encontrar soluciones en puntos extremos exclusivamente.

Como es de esperarse, el mtodo simplex slo determina los puntos extremos B y C. Matemticamente podemos determinar todos los puntos (x1, x2), del segmento de recta BC, como un promedio ponderado no negativo de los puntos B y C. Esto es, dada la relacin 01 yB: x1=0, x2=5/2C: X1=3, x2=1

Tabla 3-3

SOLUCION NO ACOTADA:En algunos modelos de programacin lineal los valores de las variables se pueden aumentar en forma indefinida sin violar ninguna de las restricciones, lo que significa que el espacio de soluciones es no acotado cuando menos en una direccin. Como resultado, el valor de la funcin objetivo puede crecer (caso de maximizacin) o de crecer (caso de minimizacin) en forma indefinida. En este caso decimos que el espacio de soluciones y el valor "ptimo" de la funcin objetivo son no acotados.La falta de explicacin en un modelo puede sealar solo una cosa: el modelo est mal construido. Evidentemente resulta irracional hacer que un modelo produzca una ganancia " infinita". Las irregularidades ms probables en estos modelos son: 1) No se toman en cuenta una ms restricciones redundantes, y 2) No se determinan correctamente los parmetros (constantes) de algunas restricciones. La regla general para reconocer la falta de acotacin es la siguiente. Si en cualquier iteracin los coeficientes de las restricciones de una variable no bsica son no positivos, entonces el espacio de soluciones no est acotado en esa direccin. Adems, si el coeficiente de la funcin objetivo de esa variable en el caso de la maximizacin o positivo en el caso de la minimizacin, entonces el valor de la funcin objetivo tampoco esta acotado.Ejemplo (Funcin objetivo no acotada)Maximizar z = 2x1 +x2Sujeto ax1- x2102x140x1,x20Iteracin inicial

En la tabla inicial x1y x2son los candidatos para entrar en la solucin. Como x1 tiene el coeficiente ms negativo. Normalmente se selecciona como la variable que entra. Sin embargo, ntese quetodoslos coeficientes de lasrestriccionespor debajo de x2sonnegativosocero, esto significa que x2se puede hacer crecer en forma indefinida sin que se infrinja ninguna de las restricciones. Como cada incremento de una unidad en x2, aumentar z en 1, un incremento infinito en x2tambin dar lugar a un incremento infinito en z. Por lo tanto, concluimos que el problema no tiene solucin acotada. Este resultado se puede apreciar en la figura 3-6. El espacio de soluciones no est acotado en la direccin de x2y el valor de z puede crecer en forma indefinida.

La regla general para reconocer la falta de acotacin es la siguiente. Si en cualquier iteracin los coeficientes de las restricciones de una variableno bsicason no positivos, entonces elespacio de solucionesno est acotado en esa direccin. Adems, si el coeficiente de la funcin objetivo de esa variable es negativo en el caso de la maximizacin o positivo en el caso de la minimizacin, entonces elvalor de la funcin objetivoest acotado.SOLUCION INFACTIBLE:Si las restricciones no se pueden satisfacer en forma simultnea, se dice que el modelo no tiene solucin factible. Esta situacin nunca puede ocurrir si todas las restricciones son del tipo (suponiendo constantes no negativas en el segundo miembro) ya que la variable de holgura produce siempre alguna solucin factible. Sin embargo, cuando empleamos los otros tipos de restricciones, recurrimos al uso de variables artificiales que, por su mismo diseo, no ofrecen una solucin factible al modelo original. Aunque se toman medidas (a travs del uso de la penalizacin) para hacer que las variables artificiales sean cero en el nivel ptimo, esto slo puede ocurrir si el modelo tiene un espacio factible. Si no lo tiene, cuando menos una variable artificial serpositivaen la iteracin ptima. Esta es nuestra indicacin que el problema no tiene solucin factible. Desde el punto de vista prctico un espacio infactible apunta a la posibilidad de que el modelo no se haya formulado correctamente en virtud de que las restricciones estn en conflicto. Tambin es posible que las restricciones no estn destinadas a cumplirse en forma simultnea, en este caso, quina se necesite una estructura del modelo totalmente deferente que no admita todas las restricciones al mismo tiempo.Tabla 3-4

Ejemplo de espacio de solucin infactibleMaximizar z = 3x1 +2x2Sujeto a2x1+ x223x1+ 4x212x1,x20Las iteraciones simplex de la tabla 3-4 muestran que la variable artificial R es positiva (= 4) en la solucin ptima. Esta es una indicacin de que el espacio de soluciones es infactible. La figura 3-7 muestra el espacio de soluciones infactible. El mtodo simplex, haciendo posible que la variable artificial sea positiva, ha invertido en esencia la direccin de la desigualdad de 3x1+ 4x212 a 3x1+ 4x212. El resultado lo podemos llamar la solucin pseudoptima, como se muestra en la figura 3-7.

PASOS DEL METODO DE DOBLE FASE

Mtodo Simplex de 2 FasesEsta estrategia algortmica se aplica cuando luego de llevar un modelo de programacin lineal a su forma estndar no se dispone de una solucin bsica factible inicial.Fase 1: Consideramos un problema auxiliar que resulta de agregar tantas variables auxiliares a las restricciones del problema, de modo de obtener una solucin bsica factible. Luego se debe resolver utilizando el Mtodo Simplex un nuevo problema que considera como funcin objetivo la suma de las variables auxiliares. Si el valor ptimo alcanzado al finalizar la Fase 1 es cero ir a la Fase 2. En caso contrario, no existe solucin factible.Fase 2: Resolver a travs del Mtodo Simplex el problema original a partir de la solucin bsica factible inicial hallada en la Fase1.Ejemplo Simplex de 2 FasesConsidere el siguiente modelo de Programacin Lineal:

FASE 1:Al agregar S1 como variable de exceso en la restriccin 1 resulta evidente que no se dispone de una solucin bsica factible inicial, por tanto utilizaremos una variable auxiliar "y" que incluiremos en el lado izquierdo de la restriccin y que servir como variable bsica inicial. Esto define el problema inicial de la Fase 1 junto a su tabla.

Luego la variable X2 entra a la base (costo reducido negativo) y claramente "y" deja la base. Se actualiza la tabla utilizando el mtodo simplex:

Con esta tabla finaliza la Fase 1. Notar que el valor de la funcin objetivo al finalizar la Fase 1 es cero, por tanto podemos continuar la Fase 2.FASE 2:Se elimina la columna asociada a la variable artificial "y" y se actualiza el vector de costos reducidos considerando la funcin objetivo original. De esta forma se obtiene la tabla inicial de la Fase 2.

Dado que X2 es variable bsica al finalizar la Fase 1 buscamos dejar esta misma variable como bsica al iniciar la Fase 2. Para ello multiplicamos por -3 la fila 1 y luego la sumamos a la fila 2.

En este sencillo ejemplo se llega inmediatamente a la tabla final de la Fase 2, con solucin ptima X1=0 y X2=10. El valor ptimo V (P)=-30.

TIPOS DE SOLUCIONES DEL METODO DE DOBLE FASE (NO ACOTADA, SIN SOLUCION, MULTIPLE, DEGENARDA, ETC)

Solucin ptima:cuando se cumple la condicin de parada y no hay variables artificiales en la base con valor positivo (los valores se indican en la columna P0), se ha conseguido la optimizacin. El valor Z0actual es la solucin ptima del problema, cumplindose para las variables que se encuentran en la base. Si se trata de un problema de minimizacin, el valor ptimo obtenido se multiplicar por "-1".Infinitas soluciones:cumplida la condicin de parada, si alguna variable de decisin no bsica tiene un valor 0 en la fila Z, significa que existe otra solucin que aporta el mismo valor ptimo para la funcin objetivo. Es este caso el problema admite infinitas soluciones, estando todas ellas comprendidas dentro del segmento (o porcin del plano, regin del espacio, etc. dependiendo del nmero de variables del problema) definido por AX1+ BX2= Z0. Mediante una nueva iteracin y haciendo que la variable de decisin que tiene el 0 en la fila Z entre en la base se obtendr otra solucin diferente para el mismo valor ptimo.Solucin ilimitada (no acotada):si toda la columna de la variable que entra a la base tiene todos sus elementos negativos o nulos se trata de problema no acotado, es decir, que tiene solucin ilimitada. No hay valor ptimo concreto para la funcin objetivo sino que a medida que se aumenta el valor de las variables tambin se incrementa el valor Z sin violar ninguna restriccin.No existe solucin:cuando ningn punto satisface todas las restricciones del problema se produce la infactibilidad no existiendo ninguna solucin posible para l. En este caso, una vez terminadas todas las iteraciones del algoritmo, existen en la base variables artificiales cuyo valor es superior a cero.Empate de variable entrante:cuando se produce un empate en la condicin de decisin de la variable entrante se puede optar por cualquiera de ellas sin que esto afecte a la solucin final. Por contra si influye en el nmero de iteraciones necesarias para obtener dicha solucin. Se aconseja optar a favor de las variables bsicas ya que ellas son las que formarn parte de la solucin ptima.Empate de variable saliente:se puede nuevamente optar por cualquiera de ellas. Sin embargo, a fin de no alargar el problema y evitar la entrada en un bucle infinito (caso degenerado), se discrimina a favor de las variables de decisin haciendo que permanezcan en la base. En el caso de estar en la primera fase del mtodo de las Dos Fases, se optar por sacar de la base las variables artificiales.Curiosidad en la Fase 1:al finalizar la fase 1, si el problema original tiene solucin, todas las variables artificiales en la fila indicadora deben tener el valor "1".El elemento pivote puede ser nulo?:No, el elemento pivote siempre ser estrictamente positivo ya que nicamente se realizan los cocientes entre valores no negativos y mayores que cero (ante un problema de maximizacin).

IMPORTANCIA Y APLICACIONES DEL METODO SIMPLEX

Existen muchos problemas tanto en la ciencia, la tecnologa as como la economa, donde se usa la programacin lineal la cual busca hallar una solucin que permita formular y resolver diversos problemas orientados a la toma de decisiones. En problemas de optimizacin es indispensable el conocimiento de determinados mtodos que permitan la solucin de dichos problemas. La resolucin de problemas de grandes dimensiones lo permite muy eficazmente el Mtodo Simplex, siendo este un algoritmo el cual sirve para determinar con eficiencia cuando una solucin existe, mostrando eficacia este mtodo en la formulacin y solucin de diversos problemas de optimizacin y dems. Este mtodo permite ver las aplicaciones a las ramas de las ciencias ingeniera.

Este mtodo o procedimiento cuenta con un sin nmero de aplicaciones en programacin lineal, pero tambin usos en matemtica y geometra.

De entre las aplicaciones ms comunes del mtodo simplex destacan: - Es una tcnica utilizada para dar soluciones numricas a problemas de programacin lineal ya que es comnmente aplicado para encontrar una solucin ptima en problemas de maximizacin y minimizacin. - Es til para resolver problemas de gran tamao y complejos. -A partir del mtodo simplex se han desarrollado variantes comnmente utilizadas en programacin lineal. - Este mtodo ha sido de suma utilidad para el desarrollo de software que facilitan el proceso de clculos un ejemplo de ello es el TORA. - Este modelo sirve para la correcta interpretacin de modelos de decisin basados en descripciones matemticas con la finalidad de ayudar en la toma de decisiones en situaciones de incertidumbre.

La importancia de este mtodo radica en que gracias a su existencia se pueden resolver problemas complejos. Este mtodo conforma la base de la programacin lineal y es debido a que facilita la toma de decisiones en casos complejos ya que permite solucionar sistemas donde en nmero de variables supera el nmero de ecuaciones, ha resultado ser muy eficiente en la prctica. Una gran parte de software para clculos estn estrictamente basados en el mtodo simplex, facilitndonos la interpretacin. Es muy importante en el rea empresarial ya que lo utilizan para obtener solucin a los problemas de las empresas en cuanto a inventario, ganancias y prdidas.Este mtodo permite visualizar cuanto se debe vender, cuanto se debe producir o cuanto se debe comprar segn sea el caso para que la empresa obtenga las ganancias optimas y suficientes para competir en el mercado. En Base a esta importancia el mtodo simplex ha tenido diversas aplicaciones en las industrias especialmente en el rea de transporte, en la parte de inventarios y en lo empresarial en general. El mtodo simplex implica clculos tediosos y voluminosos, lo que hace que la computadora sea una herramienta esencial para resolver los problemas de programacin lineal. Por consiguiente, las reglas computacionales del mtodo simplex se adaptan para facilitar el clculo automtico.

BIBLIOGRAFIA

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"Biografa De George Bernard Dantzig." PHPSimplex. Web. 19 Feb. 2012. http://www.phpsimplex.com/biografia_Dantzig.htm>.

http://www.ingenieriaindustrialonline.com/herramientas-para-el-ingeniero-industrial/investigaci%C3%B3n-de-operaciones/m%C3%A9todo-simplex/http://optimixacion.blogspot.mx/2012/02/george-bernard-dantzig-1914-2005.htmlhttp://www.phpsimplex.com/ejemplo_metodo_simplex.htmhttp://www.investigaciondeoperaciones.net/metodo_simplex_2_fases.html

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