INSTITUTO TECNOLOGICO DE

AGUASCALIENTES

INGENERIA INDUSTRIAL

INVESTIGACION DE OPERACIONES

UNIDAD II

EL MÉTODO SIMPLEX

Profesor (a):

Galindo Carreón Samuel

Alumnos:

Jorge Juan Zamora Ávila Luis Antonio Silva Moreno

Christian Lenin Hernández Calvillo

Grupo:

Industrial I

Aguascalientes, Ags. 19 de Septiembre del 2013

TEMAS

2.1 Teoría del método Simplex.

2.2 Forma tabular del método Simplex.

2.3 El método de las dos fases.

2.4 Casos especiales.

2.5 Uso de software.

INTRODUCCIÓN

El Método Simplex es un método analítico de solución de problemas de programación lineal capaz de resolver modelos más complejos que los resueltos mediante el método gráfico sin restricción en el número de variables.

El método Simplex es un procedimiento iterativo que permite ir mejorando la solución a cada paso. El proceso concluye cuando no es posible seguir mejorando más dicha solución.

Partiendo del valor de la función objetivo en un vértice cualquiera, el método consiste en buscar sucesivamente otro vértice que mejore al anterior. La búsqueda se hace siempre a través de los lados del polígono (o de las aristas del poliedro, si el número de variables es mayor). Cómo el número de vértices (y de aristas) es finito, siempre se podrá encontrar la solución. (Véase método Gráfico)

El método Simplex se basa en la siguiente propiedad: si la función objetivo, f, no toma su valor máximo en el vértice A, entonces hay una arista que parte de A, a lo largo de la cual f aumenta.

Deberá tenerse en cuenta que este método sólo trabaja para restricciones que tengan un tipo de desigualdad "≤" y coeficientes independientes mayores o iguales a 0, y habrá que estandarizar las mismas para el algoritmo. En caso de que después de éste proceso, aparezcan (o no varíen) restricciones del tipo "≥" o "=" habrá que emplear otros métodos, siendo el más común el método de las Dos Fases.

2.1 Teoría del método Simplex.

Es un procedimiento iterativo que permite ir mejorando la solución a cada paso. El proceso concluye cuando no es posible seguir mejorando más dicha solución.

Partiendo del valor de la función objetivo en un vértice cualquiera, el método consiste en buscar sucesivamente otro vértice que mejore al anterior. La búsqueda se hace siempre a través de los lados del polígono (o de las aristas del poliedro, si el número de variables es mayor). Cómo el número de vértices (y de aristas) es finito, siempre se podrá encontrar la solución.

El método del simplex se basa en la siguiente propiedad: si la función objetivo, f, no toma su valor máximo en el vértice A, entonces hay una arista que parte de A, a lo largo de la cual  f aumenta.

El método del simplex fue creado en 1947 por el matemático George Dantzig .

El método del simplex se utiliza, sobre todo,

para resolver problemas de

programación lineal en los que intervienen

tres o más variables.

El álgebra matricial y el proceso de

eliminación de Gauss-Jordan para resolver

un sistema de ecuaciones lineales constituyen la base del método simplex.

El método simplex para solución de problemas de programación lineales un procedimiento iterativo que permite ir mejorando la solución a cada

paso. el proceso concluye cuando no es posible seguir mejorando más dicha solución. Partiendo del valor de la función objetivo en un vértice cualquiera, el método consiste en buscar sucesivamente otro vértice que mejore al anterior. la búsqueda se hace siempre a través de los lados del polígono(o de las aristas del poliedro, si el número de variables es mayor). Cómo el número de vértices (y de aristas) es finito, siempre se podrá encontrar la solución. El método del simplex se basa en la siguiente propiedad: si la función objetivo, f, no toma su valor máximo en el vértice a, entonces hay una arista que parte de a, a lo largo de la cual f  aumenta. El método del simplex fue creado en 1947 por el matemático George dantzig 

El método del simplex se utiliza, sobre todo, para resolver problemas de programación lineal en los que intervienen tres o más variables. El álgebra matricial y el proceso de eliminación de Gauss-Jordán para resolver un sistema de ecuaciones lineales constituyen la base del método simplex. Con miras a conocer la metodología que se aplica en el Método SIMPLEX, vamos a resolver el siguiente problema: Maximizar Z= f(x,y)= 3x + 2y sujeto a: 2x + y 182x + 3y 423x + y 24x0 , y 0Se consideran las siguientes fases:1. Convertir las desigualdades en igualdades Se introduce una variable de holgura por cada una de las restricciones, para convertirlas en igualdades, resultando el sistema de ecuaciones lineales:2x + y + h = 18 2x + 3y + s = 42 3x +y + d = 242. Igualar la función objetivo a cero- 3x - 2y + Z = 03. Escribir la tabla inicial simplex En las columnas aparecerán todas las variables del problema y, en las filas, los coeficientes delas igualdades obtenidas, una fila para cada restricción y la última fila con los coeficientes de la función objetivo: Tabla I . Iteración nº 1 Base Variable de decisión Variable de holgura Valores solución y h s dh 2 1 1 0 0 18 s 2 3 0 1 0 42 d 3 1 0 0 1 24 Z −3 −2 0 0 0 04. Encontrar la variable de decisión que entra en la base y la variable de holgura que sale de lavase Para escoger la variable de decisión que entra en la base, nos fijamos en la última fila, la de los coeficientes de la función objetivo y escogemos la variable con el coeficiente negativo mayor (en valor absoluto). En nuestro caso, la variable x de coeficiente - 3. Si existiesen dos o masco eficientes iguales que cumplan la condición anterior, entonces se elige uno cualquiera de ellos. Si en la última fila no existiese ningún coeficiente negativo, significa que se ha alcanzado la solución óptima. Por tanto, lo que va a determinar el final del proceso de aplicación del método del simplex, es que en la última fila no haya elementos negativos. La columna de la variable que entra en la base se llama columna pivote (En color azulado)

2.2 Forma tabular del método Simplex.

2.3 El método de las dos fases.MÉTODO DE LAS DOS FASES

Un segundo método para solucionar problemas con variables artificiales es el método de las dos fases; tal como su nombre lo dice, resolverá el problema en dos etapas:

Una para minimizar el valor de las variables artificiales y dar una solución inicial básica factible.

La segunda, si es que se logra obtener una solución básica factible, para optimizar el problema original.

FASE I.

Se realiza la minimización de una función que está compuesta por la suma de los valores de las variables artificiales; para el sistema aumentado del problema original. (Independientemente de qué función objetivo tenga el problema original).

Si en la solución óptima de la FASE I, el valor de las variables artificiales es de cero, se procede con la

FASE II tomando la solución básica factible resultante.

Si alguna de las variables artificiales tiene un valor distinto a cero, el problema original es infectable.

FASE II.

Utilizando la solución básica factible final de la FASE I, se resuelve el problema original, esto es, se resuelve para la función objetivo del problema original; si se desea, se pueden eliminar las columnas artificiales.

Nótese que primeramente debe actualizarse correctamente el renglón cero para el conjunto de variables básicas que definió la FASE I.

Con la tabla en forma correcta se procede a optimizar de forma habitual siguiendo el algoritmo Simplex.

2.4 Casos especiales.El Método simplex es un procedimiento iterativo que permite ir mejorando la solución a cada paso . E l p roceso conc luye cuando no es pos ib le segu i r me jo rando más d icha so luc ión o cuando esta es óptima. Este método, permite analizar cada variable del problema planteado, sus variaciones, para determinar cuál es la decisión más acertada a tomar en cualquiera que  sea el área de la empresa sobre la cual se presente la incertidumbre. Existen casos especiales de solución de problemas por medio del simplex, tales como:

• Soluciones Múltiples

• Solución Degenerada

• Solución Infactible

• Sin Solución

A continuación se presenta un análisis detallado de cada caso especial de solución con un ejemplo práctico.

CASO DE SOLUCIONES MÚLTIPLES

Cuando la función objetivo es paralela a una restricción que se satisface en el sentido de la igualdad a través de la solución óptima, la función objetivo tomará el mismo valor óptimo en más de un punto de la solución. Por esta razón reciben el nombre de Múltiples alternativas óptimas.

CASO DE SOLUCIÓN DE GENERADA

La degeneración ocurre cuando en alguna iteración del método simplex existe un empate en la selección de la variable que sale. Este empate se rompe arbitrariamente. En este caso decimos que la nueva solución es degenerada. Sin embargo, cuando suceda esto una o más veces delas variables básicas, será necesariamente igual a cero en la siguiente iteración. En el método simplex, la presencia de una variable básica igual a cero, no requiere ninguna acción especial;en   todo  caso ,  es  necesar io  no  descu idar   las  cond ic iones  de  degenerac ión .  En   té rminosg e o m é t r i c o s ,   l a   d e g e n e r a c i ó n   oc u r r e   c u a n d o   u n   v é r t i c e   e s t á   d e f i n i d o   p o r   d e m a s i a d a s restricciones.

CASO DE SOLUCIÓN INFACTIBLE

En un modelo de Programación Lineal, cuando las restricciones no se pueden satisfacer en fo rma s imu l tánea , se d ice que es te no t iene so luc ión fac t ib le . Es ta s i tuac ión nunca puede ocurrir si todas las restricciones son del tipo MENOR O IGUAL ( ), esto, suponiendo valores pos i t i vos en e l segundo miembro , ya que las var iab les de ho lgura p roducen s iempre una solución factible. Sin embargo, cuando empleamos los otros tipos de restricciones, recurrimos al uso de variables artificiales, que por su mismo diseño no ofrecen una solución factible al modelo original. Aunque se hacen provisiones (a través del uso de penalizaciones) para hacer que estas variables artificiales sean cero en el nivel óptimo, esto sólo puede ocurrir si el modelo tiene una espacio factible. Si no lo tiene, cuando menos una variable artificial será positiva en la iteración óptima. Desde el punto de vista práctico, un espacio infectable, apunta a la posibilidad de que el modelo no se haya formulado correctamente, en virtud de que las restricciones estén en conflicto. También es posible que las restricciones no estén destinadas a cumplirse en forma simultánea. En este caso, quizás se necesite una

estructura del modelo totalmente diferente que no admita todas las restricciones al mismo tiempo

CASO DE NO SOLUCIÓN

En algunos modelos de Programación Lineal, los valores de las variables, se pueden aumentar en forma indefinida sin violar ninguna de las restricciones, lo que significa que el espacio es sin solución cuando menos en una dirección. Como resultado, el valor de la función objetivo puede crecer (Maximización) o decrecer (Minimización) en forma indefinida. En este caso, decimos que el espacio en el cual se espera sea resuelto el modelo, y el valor óptimo de la función objetivo no tiene solución. La falta de explicación de un modelo puede señalar solo una cosa, que este se encuentra mal construido. Evidentemente resulta irracional hacer que un modelo produzca una ganancia infinita. Las irregularidades más probables en este modelo son: 1. No se toman en cuenta una o más restricciones redundantes

2. No se determinan adecuadamente los parámetros (constantes) de alguna restricción.

2.5 Uso de software.En lo que sigue se relata la experiencia adquirida al utilizar software en el curso de Investigación de Operaciones (IO) y sus Aplicaciones en la Universidad Nacional de Costa Rica. Se trata de un primer curso de IO en el que se estudian los temas Programación Lineal, Teoría de Inventarios, Teoría de Colas y Simulación. El proceso ha sido rico en experiencias. Estamos todavía en un período de pruebas. Ha sido necesario preparar mucho material para este proyecto y lo más estimulante es que cada esfuerzo que se hace enriquece el producto que se les ofrece a los estudiantes. Sin embargo hay tantas cosas por hacer que el proyecto es verdaderamente absorbente. Es necesario aclarar que en un principio no se contaba con ninguna guía sobre la forma de apoyar el curso con software y la manera de realizar las evaluaciones. Lo cierto es que es necesario establecer una estrategia o metodología sobre los pasos o procesos que deben contemplarse a la hora de introducir el computador en el aula. Por supuesto que no se pretende postular la experiencia obtenida con el curso de IO como una metodología de inserción de software en un curso, sin embargo es un tema interesante, para una tesis de grado, elaborar a partir de este trabajo y otros similares una estrategia o metodología que busque reducir los tropiezos normales que se topa a la hora de emprender este periplo. Antes de exponer la forma en que se abordó mediante software el curso de IO es necesario aclarar que este trabajo no ha terminado aún, que los resultados están todavía lejos de las expectativas, que estos procesos se

convierten en una caja de Pandora en la que aparecen nuevas posibilidades, nuevos retos, que es demanda muchísimo tiempo y que el docente se garantiza de que por mucho tiempo no se aburrirá de “hacer siempre lo mismo”.

Además aunque se adopte un orden para sugerir la forma de proceder, este orden no corresponde necesariamente al vivido en este proyecto.

CONCLUSIÓN

Nuestra conclusión se basa en darnos cuenta que la investigación de operaciones es un análisis para poder solucionar problemas en este caso como lo es mediante le método simplex en los cuales queremos aumentar alguna ganancia La Investigación de Operaciones aspira determinar la mejor solución (optima) para un problema de decisión con la restricción de recursos limitados.En la Investigación de Operaciones utilizaremos herramientas que nos permiten tomar una decisión a la hora de resolver un problema tal es el caso de los modelos e Investigación de Operaciones que se emplean según sea la necesidad.

La investigación de operaciones es la aplicación, por grupos interdisciplinarios, del método científico a problemas relacionados con el control de las organizaciones o sistemas, a fin de que se produzcan soluciones que mejor sirvan a los objetivos de la organización.

La Investigación de Operaciones ha desarrollado modelos específicos para solucionar problemas generales clasificados como de inventario, líneas de espera, reemplazo, mantenimiento, asignación de recursos.