Ejemplos simplex

INGENIERIA EN SISTEMAS

Unidad: Modelamiento Matemático

Tema: "Plantear, Interpretar y convertir diferentes problemas reales en modelos

matemáticos; y resolverlos aplicando el método simplex”

Estudiante: Catalina Malacatus

LOJA -ECUADOR

2010 - 2011

UNIVERSIDAD NACIONAL DE LOJA AREA DE LA ENERGÍA LAS INDUSTRIAS Y LOS RECURSOS

NATURALES NO RENOVABLES

Por: Catalina Malacatus Página 1

Ejemplo 1:

Un taller de mantenimiento fabrica dos tipos de piezas para la reparación

de equipos fundamentales del proceso productivo. Estas piezas requieren un

cierto tiempo de trabajo en cada una de las tres máquinas que las procesan.

Este tiempo, así como la capacidad disponible (h) y la ganancia por cada

pieza se muestran en el cuadro siguiente:

Máquina Tiempo por Pieza Fondo de

Tiempo(h)

A B

I 2 2 160

II 1 2 120

III 4 2 280

Ganancia

($/Pieza)

6 4

Se logra vender todo lo producido y se desea determinar la cantidad de

piezas a fabricar que optimice la ganancia.

VARIABLES DE DECISIÓN

x1: Número de piezas del tipo A.

x2: Número de piezas del tipo B.

FUNCIÓN OBJETIVO

Max Z = 6X1 + 4X2

RESTRICCIONES

2X1 + 2X2 <= 160

X1 + 2X2 <= 120

4X1 + 2X2 <= 280

X1, X2 >= 0




Convertir las desigualdades en igualdades:

2X1 + 2X2 + h1 + 0h2 + 0h3 =160

X1 + 2X2 + 0h1 + h2 + 0h3 = 120

4X1 + 2X2 + 0h1 + 0h2 + h3 = 280

Igualar la función objetivo a cero:

Z - 6X1 - 4X2 + 0h1 + 0h2 + 0h3 = 0

Tablas simplex:

Iteración #1 (tabla inicial)

Base X1 X2 h1 h2 h3 V. S.

h1

h2

h3

Z

2 2 1 0 0

1 2 0 1 0

4 2 0 0 1

-6 -4 0 0 0

160

120

280

0

80

120

70

Iteración # 2


h1

h2

x1

Z

0 1 1 0 -0.5

0 1.5 0 1 -0.25

1 0.5 0 0 0.25

0 -1 0 0 1.5

20

50

70

420

20

33.33

140

Iteración # 3


X2

h2

x1

Z

0 1 1 0 -0.5

0 0 -1.5 1 0.5

1 0 -0.5 0 0.5

0 0 1 0 1

20

20

60

440

Z = 440; x1 = 60, x2 = 20.

Solución:

La cantidad de piezas a fabricar es 60 piezas del tipo A y 20 piezas del tipo

B, y se obtendrá una ganancia de $440.




Ejemplo 2:

Una compañía de Pintura produce pinturas tanto para interiores como para

exteriores, a partir de dos materias primas, M1 y M2. Por cada tonelada de

pintura para interiores se requiere 4 toneladas de M1 y 2 toneladas de M2 y

para cada tonelada de pintura para exteriores se requiere de 6 toneladas de

M1 y una de M2. Se dispone de 24 toneladas de M1 y 6 de M2 diariamente. La

utilidad que arroja una tonelada de pintura para exteriores es de 5000

dólares y de una tonelada de pintura para interiores es de 4000 dólares.

La demanda máxima diaria de pintura para interiores es de 2 toneladas.

Además la demanda diaria de pintura para interiores no puede exceder a

la de pintura para exteriores por más de una tonelada. La compañía quiere

determinar la mezcla de producción óptima de pinturas para interiores y

exteriores que maximice las utilidades diarias y satisfaga las limitaciones.

VARIABLES DE DECISIÓN:

x1: Número de toneladas diarias producidas de pintura para exteriores.

x2: Número de toneladas diarias producidas de pintura para interiores.

FUNCIÓN OBJETIVO:

Max Z = 5000x1+ 4000x2

RESTRICCIONES:

6x1 + 4x2 <=24

x1+ 2x2 <= 6

x2 - x1<= 1

x2 <=2

x1, x2 >= 0





6x1+ 4x2 + h1+ 0h2+0h3 + 0h4 =24

x1+ 2x2 + 0h1 + h2 + 0h3 + 0h4 = 6

- x1 + x2 + 0h1 + 0h2 + h3 + 0h4 = 1

0x1 + x2+ 0h1 + 0h2 + 0h3 + h4 =2


Z - 5000x1 - 4000x2 + 0h1 + 0h2 + 0h3 + 0h4 = 0

Tablas simplex:


Base X1 X2 h1 h2 h3 h4 V. S.

h1

h2

h3

h4

Z

6 4 1 0 0 0

1 2 0 1 0 0

-1 1 0 0 1 0

0 1 0 0 0 1

-5000 -4000 0 0 0 0

24

6

1

2

0

Iteración # 2


x1

h2

h3

h4

Z

1 0.67 0.167 0 0 0

0 1.33 -0.167 1 0 0

0 1.67 0.167 0 1 0

0 1 0 0 0 1

0 -666.67 833.33 0 0 0

4

2

5

2

20000

Iteración # 3


x1

x2

h3

h4

Z

1 0 0.25 -0.5 0 0

0 1 -0.125 0.75 0 0

0 0 0.375 -1.25 1 0

0 0 0.125 -0.75 0 1

0 0 750 500 0 0

3

1.5

2.5

0.5

21000

Z = 21000; x1 = 3, x2 = 1.5

Solución:

Se debe producir 3 toneladas diarias de pintura para exteriores y 1.5

toneladas diarias de pintura para interiores; para obtener una utilidad de

21 000 dólares




Ejemplo 3:

HiDec produce dos modelos de artículos electrónicos, donde se usan resistores,

capacitores y chips. La tabla siguiente es un resumen de los datos en este

caso:

Recurso

Requerimientos del recurso por

unidad

Disponibilidad máxima

(unidades)

Modelo 1

(unidades)

Modelo 2

(unidades)

Resistor 2 3 1200

Capacitor 2 1 1000

Chips 0 4 800

Utilidad ($) 3 4

La empresa pretende decidir qué cantidad de cada modelo debe producir

para maximizar el beneficio.

VARIABLES DE DECISIONES:

x1: cantidad de unidades a producir del modelo 1

x2: cantidad de unidades a producir del modelo 2.

FUNCIÓN OBJETIVO:

Max Z = 3x1+ 4x2

RESTRICCIONES:

2 x1 + 3 x2 <= 1200

2 x1 + 1 x2 <= 1000

0 x1 + 4 x2 <= 800

x1, x2 >= 0





2 x1 + 3 x2 + 0h1 + h2 + 0h3 = 1200

2 x1 + 1 x2 + 0h1 + 0h2 + h3 = 1000

0 x1 + 4 x2 + 0h1 + 0h2 + 0h3 = 800


Z - 3x1 - 4x2 + 0h1 + 0h2 + 0h3 = 0

Tablas simplex:



h1

h2

h3

Z

2 3 1 0 0

2 1 0 1 0

0 4 0 0 1

-3 -4 0 0 0

1200

1000

800

0

Iteración #2 Base X1 X2 h1 h2 h3 V. S.

h1

h2

x2

Z

2 0 1 0 -0.75

2 0 0 1 -0.25

0 1 0 0 0.25

-3 0 0 0 1

600

800

200

800


x1

h2

x2

Z

1 0 0.5 0 -0.375

0 0 -1 1 0.5

0 1 0 0 0.25

0 0 1.5 0 -0.125

300

200

200

1700


x1

h3

x2

Z

1 0 -0.25 0.75 0

0 0 -2 2 1

0 1 0.5 -0.5 0

0 0 1.25 0.25 0

450

400

100

1750

Z = 1750; x1 = 450, x2 = 100

Solución:

La empresa debe producir 450 unidades del modelo 1 y 100 unidades del

modelo 2; para obtener un beneficio de $ 1750




Ejemplo 4:

Una campaña para promocionar una marca de productos lácteos se basa en

el reparto gratuito de yogures con sabor a limón o a fresa. Se decide repartir

al menos 30.000 yogures.

Cada yogurt de limón cuesta 0.15 dolares y se necesita para su elaboración

0,5 gr. de un producto de fermentación; cada yogurt de fresa necesita 0,2 gr.

de ese mismo producto. Se dispone de 9 Kg. de ese producto para

fermentación.

El coste de producción de un yogurt de fresa es doble que el de un yogurt de

limón. ¿Cuántos yogures de cada tipo se deben producir para que el costo de

la campaña sea mínimo?


x1: número de yogures de limón producidos.

x2: número de yogures de fresa producidos.

FUNCIÓN OBJETIVO:

Z = 0.15x1 + 2(0.15) x2

Min Z = 0.15x1 + 0.30 x2

RESTRICCIONES:

0.5x1 + 0.2x2 <= 9000

x1 + x2 >= 30000

x1, x2 >= 0





0.5x1 + 0.2x2 + h2- 0e1 = 9000

x1 + x2 + 0h2- e1 = 30000


0.15x1 + 0.30 x2 + 0h2- 0e1 - Z = 0

Tablas simplex:


Base X1 X2 h1 e1 V. S.

h1

e1

Z

0.5 0.2 1 0

1 1 0 -1

0.15 0.3 0 0

9000

30000

0

Iteración # 2

Iteración # 3


x1

x2

Z

1 0 3.33 0.67

0 1 -3.33 -1.67

0 0 0.5 0.4

10000

20000

-7500

(-1)


x1

x2

Z

1 0 3.33 0.67

0 1 -3.33 -1.67

0 0 -0.5 -0.4

10000

20000

7500

Z = 7500; x1 = 10000, x2 = 20000

Solución:

Se deben producir 10000 yogures de limón y 20000 yogures de fresa, para que

el costo de la campaña sea de 7500 dólares mínimo.


x1

e1

Z

1 0.4 2 0

0 0.6 -2 -1

0 0.24 -0.3 0

18000

12000

-2700




Ejemplo 5:

Una refinería de petróleo tiene dos fuentes de petróleo crudo: crudo ligero,

que cuesta 35 dólares por barril y crudo pesado a 30 dólares el barril.

Con cada barril de crudo ligero, la refinería produce 0,3 barriles de

gasolina (G), 0,2 barriles de combustible para calefacción (C) y 0,3 barriles

de combustible para turbinas (T), mientras que con cada barril de crudo

pesado produce 0,3 barriles de G, 0,4 barriles de C y 0,2 barriles de T.

La refinería ha contratado el suministro de 900000 barriles de G, 800000

barriles de C y 500000 barriles de T. Hallar las cantidades de crudo ligero y

pesado que debe comprar para poder cubrir sus necesidades al costo mínimo.


x1: número de barriles comprados de crudo ligero.

x2: número de barriles comprados de crudo pesado.

FUNCIÓN OBJETIVO:

Min Z = 35x1 + 30x2

RESTRICCIONES:

0.3x1 + 0.3x2 >= 900000

0.2x1 + 0.4x2 >= 800000

0.3x1 + 0.2x2 >= 500000

x1, x2 >= 0





0.3x1 + 0.3x2 – e1 - 0e2 – 0e3= 900000

0.2x1 + 0.4x2 – 0e1 - e2 – 0e3>= 800000

0.3x1 + 0.2x2 – 0e1 - 0e2 – e3>= 500000


35x1 + 30x2 – 0e1 - 0e2 – 0e3 – Z = 0

Tablas simplex:


Base X1 X2 e1 e2 e3 V. S.

e1

e2

e3

Z

0.3 0.3 -1 0 0

0.2 0.4 0 -1 0

0.3 0.2 0 0 -1

35 30 0 0 0

900000

800000

500000

0

Iteración # 2


e1

e2

x1

Z

0 0.1 -1 0 1

0 0.267 0 -1 0.67

1 0.67 0 0 -3.33

0 6.67 0 0 116.67

400000

466667

1666670 -58333300

Iteración # 3


e3

e2

x1

Z

0 0.1 -1 0 1

0 0.2 0.67 -1 0

1 1 -3.33 0 0

0 -5 116.67 0 0

400000

200000

3000000

-105000000




Iteración # 4


e3

e1

x1

Z

0 0.4 0 -1.5 1

0 0.3 1 -1.5 0

1 2 0 -5 0

0 -40 0 175 0

700000

300000

4000000

-140000000

Iteración # 5


e3

x2

x1

Z

0 0 -1.33 0.5 1

0 1 3.33 -5 0

1 0 -6.67 5 0

0 0 133.33 -25 0

300000

1000000

2000000

-100000000

Iteración # 6


e3

x2

e2

Z

-0.1 0 -0.67 0 1

1 1 -3.33 0 0

0.2 0 -1.33 1 0

5 0 100 0 0

100000

3000000

400000

-90000000

(-1)


e3

x2

e2

Z

-0.1 0 -0.67 0 1

1 1 -3.33 0 0

0.2 0 -1.33 1 0

5 0 100 0 0

100000

3000000

400000

90000000

Z = 90000000; x1 = 0, x2 = 3000000

Solución:

Se debe comprar 3 000 000 de barriles de crudo ligero y ninguno de crudo

pesado para obtener un coste de 90 000 000 dólares.

NOTA: EN LOS TRES PRIMEROS EJEMPLOS SE APLICA LA MAXIMIZACIÓN DE

RECURSOS Y EN LOS DOS ÚLTIMOS EJEMPLOS LA MINIMIZACIÓN .

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