Guia Unidad 3 Pl Simplex y Dualidad

GUIA DE

INVESTIGACION OPERATIVA

SIMPLEX Y DUALIDAD

CIENCIAS EXACTAS

2015

UNIVERSIDAD TECNOLOGICA EQUINOCCIAL

DEPARTAMENTO ACADEMICO DE CIENCIAS EXACTAS

ING. JORGE GALIANO 2


Unidad 3.- METODO SIMPLEX Y DUALIDAD

3.1 El mtodo simplex, revisin de matrices, solucin de ecuaciones 3.2 Revisin del programa informtico 3.3 Aplicacin de las tablas del SIMPLEX con un programa informtico. 3.4 Maximizacin: mtodo de solucin matricial 3.5 Minimizacin: mtodo de solucin matricial 3.6 Uso de un programa informtico para el simplex y en casos especiales 3.7 Anlisis de recursos y sensibilidad 3.8 Tasas de sustitucin y precios sombra 3.9 Problema dual, transformaciones, resolucin, interpretaciones min.- mx. y mx. min. 3.10 Aplicaciones de programacin lineal, mtodo simplex, casos especiales

ALGEBRA

MATRICIAL

METODO

SIMPLEX

PROBLEMA

DUAL

MINIMIZACIONMAXIMIZACION

ANALISIS

DE RECURSOS

ANALISIS DE

SENSIBILIDAD

ESTANDARIZACION

OPERACIN DE MATRICES

METODO DE REDUCCION

SISTEMAS DE ECUACIONES

MATRIZ AMPLIADA

PRIMALDUAL

VARIABLES

-HOLGURA

- ARTIFICIALES

METODO

-M-DOS FASES

ALGEBRA

MATRICIAL

METODO

SIMPLEX

PROBLEMA

DUAL

MINIMIZACIONMAXIMIZACION

ANALISIS

DE RECURSOS

ANALISIS DE

SENSIBILIDAD

ESTANDARIZACION

OPERACIN DE MATRICES

METODO DE REDUCCION

SISTEMAS DE ECUACIONES

MATRIZ AMPLIADA

PRIMALDUAL

VARIABLES

-HOLGURA

- ARTIFICIALES

METODO

-M-DOS FASES




METODO SIMPLEX

El mtodo Simplex es un algoritmo de solucin muy utilizado para resolver problemas de programacin lineal. Un algoritmo es una serie de pasos para cumplir con una tarea determinada.

El mtodo simplex es un mtodo general de solucin del problema de Programacin lineal (PL) con cualquier nmero de variables de decisin, y consiste en partir de una Solucin Bsica Factible (SBF), para acercarse paso a paso a una mejor solucin, hasta alcanzar la Solucin ptima Factible (SOF).

Modelo General

Funcin Objetivo nnXCXCXCZ ...2211 Mx. o Min.

Limitaciones 11212111 ... bxaxaxa nn

22222121 ... bxaxaxa nn

333232131 ... bxaxaxa n

: : : :

mnmnmm bxaxaxa ...2211

En donde nxxx ,...,, 21 y mbbb ,...,, 21 son no negativas

Variables de holgura mnn XX 1 son las que se aaden a una inecuacin para que se transforme en una ecuacin. Estandarizacin.

111212111 ... bxxaxaxa nnn


3333232131 ... bxxaxaxa nn

: : : :

mmnnmnmm bxxaxaxa ...2211

m Ecuaciones mn Variables

Maximizacin

Modelo General

Funcin Objetivo nnXCXCXCZ ...2211 Mx. o Min.

Limitaciones 11212111 ... bxaxaxa nn

22222121 ... bxaxaxa nn

333232131 ... bxaxaxa n

: : : :





En donde nxxx ,...,, 21 y mbbb ,...,, 21 son no negativas

Variables de holgura mnn XX 1 son las que se aaden a una inecuacin para que se

transforme en una ecuacin.

Estandarizacin.



3333232131 ... bxxaxaxa nn

: : : : :

mmnnmnmm bxxaxaxa ...2211

m Ecuaciones

mn Variables

Ejemplo: resolver el modelo utilizando el mtodo simplex para maximizacin

Funcin Objetivo Mx. 4321 9677 xxxxz

Restricciones 20000335.12

300005354

4321

4321

xxxx

xxxx

Estandarizacin:

Mx. Z = 7x1+7x2+6x3+9x4+0x5+0x6

20000335.12

300005354

64321

54321

xxxxx

xxxxx

Primera Iteracin

Cj 7 7 6 9 0 0

X B X1 X2 X3 X4 X5 X6Relacion

minima Menor valor

0 X5 30000 4 5 3 5 1 0 6000 sale

0 X6 20000 2 1,5 3 3 0 1 6666,67

Zj 0 0 0 0 0 0 0

-7 -7 -6 -9 0 0 Fila criterio(indicador)

ingresa

Zj - Cj




Clculos:

Zj: 0 * 30000 + 0 * 20000 = 0

0 * 4 + 0 * 2 = 0

0 * 5 + 0 * 1,5 = 0

0 * 3 + 0 * 3 = 0

0 * 5 + 0 * 3 = 0

0 * 1 + 0 * 0 = 0

0 * 0 + 0 * 1 = 0

Solucin bsica factible:

20000

30000

0

6

5

4321

X

X

XXXX

Para maximizacin la fila indica si se lleg a un ptimo, cuando todos los valores de la son positivos o cero

Variable entrante

9

4X

El valor ms negativo de la fila criterio

Variable saliente 60005X Menor valor positivo de la relacin mnima

En la fila criterio elegimos el valor ms negativo, en caso de que los valores sean ceros o positivos se ha llegado a un ptimo.

La posicin para la nueva iteracin donde est ubicado el eje el valor debe ser 1, por lo cual la fila del eje le dividimos para cinco cada uno de sus elementos.

3000/5 = 6000; 4/5; 5/5 = 1; 3/5; 5/5 = 1; 1/5; 0/5 = 0

5Valor del

EJE5

Valor del

EJE3 Valor del

SEMI EJE3 Valor del

SEMI EJE




Otras variables: el elemento de la anterior etapa menos el producto del semieje por el valor de la nueva variable.

Zj: 9 * 6000 + 0 * 2000 = 54000

9 * 4/5 + 0 * (-2/5) = 36/5

9 * 1 + 0 * (-3/2) = 9

9 * 3/5 + 0 * (6/5) = 27/5

9 * 1 + 0 * 0 = 9

9 * 1/5 + 0 * (-3/5) = 9/5

9 * 0 + 0 * 1 = 0

El cuadro de la iteracin seria:

Cj 7 7 6 9 0 0

X B X1 X2 X3 X4 X5 X6 RM

9 X4 6000 4/5 1 3/5 1 1/5 0 10000

0 X6 2000 -2/5 -3/2 6/5 0 -3/5 1 5000/3 sale

Zj 54000 36/5 9 27/5 9 9/5 0

1/5 2 -3/5 0 9/5 0

ingresa

Zj - Cj

Valores

Fila semi nueva

X6 eje fila

20000 - 3 * 6000 = 2000

2 - 3 * (4/5) = -2/5

1,5 - 3 * 1 = -1,5

3 - 3 * (3/5) = 6/5

3 - 3 * 1 = 0

0 - 3 * (1/5) = -3/5

1 - 3 * 0 = 1

Valores

Fila semi nueva

X4 eje fila

6000 - 3/5 * 1666,67 = 5000

4/5 - 3/5 * (-1/3) = 1

1 - 3/5 * (-5/4) = 7/4

3/5 - 3/5 * 1 = 0

1 - 3/5 * 0 = 1

1/5 - 3/5 * (-1/2) =

0 - 3/5 * (5/6) = -

2000 * 5/6 = 1666,7

-2/5 * 5/6 = -1/3

-1/5 * 5/6 = -5/4

6/5 * 5/6 = 1

0 * 5/6 = 0

-1/5 * 5/6 = -

1 * 5/6 = 5/6




Zj: 9 * 5000 + 6 * 1666.67 = 55000 Mejora el valor

9 * 1 + 6 * (-1/3) = 7

9 * 7/4 + 6 * (-5/4) = 33/4

9 * 0 + 6 * 1 = 6

9 * 1 + 6 * 0 = 9

9 * 1/2 + 6 * (-1/2) = 3/2

9 * (-1/2) + 6 * 5/6 = 1/2

Entonces, la siguiente iteracin ser:

Como, Zj Cj solamente tiene valores positivos y/o ceros, entonces tenemos un ptimo y la solucin ser:

Zj = 55000; X1= 0; X2= 0; X3=1666.67; X4=5000; X5=0; X6=0

En la ltima tabla se tiene cada uno de los diferentes coeficientes que tienen un significado econmico y se denominan tasas de sustitucin, ver solamente los valores de las variables de holgura correspondiente a su columna.

Anlisis de sensibilidad y tasas de sustitucin y precios sombra

Ejercicio: Un fabricante de muebles elabora anaqueles y escritorios en su empresa, que tiene dos departamentos, en los cuales los requerimientos en horas hombre por departamento y en unidad se indican a continuacin:

a) Establecer un programa de produccin que permita a la empresa maximizar las utilidades sin que la compaa forme inventario.

b) Esta compaa tiene la posibilidad de ocupar la seccin de preparacin de piezas para otro artculo y le interesa conocer si con el programa de produccin ptimo actual le queda tiempo libre en el departamento.

Cj 7 7 6 9 0 0

X B X1 X2 X3 X4 X5 X6 RM

9 X4 5000 1 7/4 0 1 -

6 X6 1666,67 -1/3 -5/4 1 0 - 5/6

Zj 55000 7 33/4 6 9 3/2

0 5/4 0 0 3/2 Zj - Cj

Anaqueles Escritorios Disponibilidad

Dpto. I Preparacin de piezas 3 5 240 h H/u

Dpto. II Ensamblaje y terminado 4 2 128 h H/u

Costos por unidad 2000 2800 $/u

Precio de venta 3500 4600 $/u

Utilidad por unidad 1500 1800 $/u




c) Suponiendo que la competencia vende escritorios similares a $300 la unidad que poltica deber adoptar el gerente si se llega a una competencia muy marcada.

Desarrollo: I.- Datos, la tabla resume toda la informacin II.- Variables:

X: nmero de anaqueles a producir por semana

Y: nmero de escritorios a producir por semana S1: Tiempo NO usado en el departamento I, preparacin S2: Tiempo NO usado en el departamento II, terminado III.- Funcin Objetivo Mx. U = 1500 X + 1800 Y + 0 S1 + 0 S2 IV.- Limitaciones

12824

24063

yx

yx

Estandarizacin:

F.O. Mx. 21 0018001500 SSyxU

Dpto. I 24063 1 Syx

Dpto. II 12824 2 Syx

Cj 1500 1800 0 0

X B x y S1 S2 RM

0 S1 240 3 6 1 0 40 Sale

0 S2 128 4 2 0 1 64

Zj 0 0 0 0 0

-1500 -1800 0 0

Ingresa

Zj - Cj

Cj 1500 1800 0 0

X B x y S1 S2 RM

1800 y 40 1 1/6 0 80

0 S2 48 3 0 -1/3 1 16 Sale

Zj 72000 900 1800 300 0

-600 0 300 0

Ingresa

Zj - Cj

128 - 2 * 40 = 48

4 - 2 * = 3

2 - 2 * 1 = 0

0 - 2 * 1/6 = 1/3

1 - 2 * 0 = 1




Solucin: X = 16 (anaqueles/semana) Y = 32 (escritorios/semana) S1 = 0 indica que se usa todo el tiempo disponible en el Dpto. I S2 = 0 indica que se usa todo el tiempo disponible en el Dpto. II U = 81600 ($/semana)

Toda tasa de sustitucin significa que para producir una unidad de la variable correspondiente a la columna se debe sacrificar la tasa de sustitucin indicada por la variable correspondiente a la fila.

Para alcanzar una unidad S1 (1 h-H) de tiempo disponible en el departamento I, necesitamos sacrificar (usar o gastar) -1/9 anaqueles.

Demostracin: 1 h-H en el departamento I (preparacin de piezas) La nueva produccin ser: X = 16 (-1/9) = 145/9 = 16.11 anaqueles Y = 32 (2/9) = 286/9 = 31.77 escritorios

Dpto. I 239)9

286(6)

9

145(363 yx h-H/semana

Esto quiere decir, que el departamento I no completara la disponibilidad de las 240 h-H que tiene en la semana, sobrando 1 hora para la nueva produccin. Nueva utilidad

67.81366

)9

286(1800)

9

145(1500

18001500

n

n

n

U

U

yxU

40 - * 16 = 32

- * 1 = 0

1 - * 0 = 1

1/6 - * -1/9 = 2/9

0 - * 1/3 = -1/6

Cj 1500 1800 0 0

X B x y S1 S2

1800 y 32 0 1 2/9 -1/6 Tasas de

1500 x 16 1 0 -1/9* 1/3 sustitucin

Zj 81600 1500 1800 700/3 200

0 0 700/3 200 OPTIMOZj - Cj

S1

x -1/9*




Entonces, 3

70033.23367.8136681600 nMAX UUU

Este valor de 9

210033.233

3

700 se encuentra directamente en la fila criterio de la ltima

iteracin.

Para alcanzar 1 unidad S2 (1 h-H) de tiempo disponible en el departamento II, necesitamos sacrificar (usar o gastar) -1/6 de escritorios.

Demostracin: 1 h-H en el departamento II (ensamblaje y terminado) La nueva produccin ser: X = 16 (1/3) = 47/3 = 15.67 anaqueles Y = 32 (-1/6) = 193/6 = 32.16 escritorios

Dpto. II 127)6

193(2)

3

47(424 yx h-H/semana

Esto quiere decir, que el departamento II no completara la disponibilidad original de las 128 h-H que tiene en la semana, sobrando 1 hora para la nueva produccin, en caso de modificarle con las tasas de sustitucin o tambin conocido como precios sombra.

Nueva utilidad

81400

)6

193(1800)

3

47(1500

18001500

n

n

n

U

U

yxU

Entonces, 2008140081600 nMAX UUU

Este valor de 200 se encuentra directamente en la fila criterio de la ltima iteracin. En el anlisis de sensibilidad tratamos de determinar la variacin de los coeficientes de la funcin objetivo. En general Max. Z = C1 x + C2 y Para el anlisis de sensibilidad: en la tabla siguiente se debe busca un nmero que haga cero en Zj ajustada (Zj aj.), usar la frmula:

Zj. Valor de la ltima iteracin, valor original Zj* valor calculado

S2

y -1/6




Para X: Para departamento I, columna S1 para el cuadro Entonces,

Para C1 = 1500 2100

3600; si, C1 > 3600 S1 ingresa

Con el otro departamento, columna S2 para el cuadro

Entonces,

Valor final a buscar 1500 1800 0 0

x y S1 S2

x 16 1 0 -1/9 1/3

Zj* Usar la formula

Zj 81600 1500 1800 2100/9 200

Zj aj. 0

Valor inicial

1500 1800 0 0

x y S1 S2

2100 x 16 1 0 -1/9 1/3

Zj* 2100 -2100/9

Zj 81600 1500 1800 2100/9 200

Zj aj. 3600 0

Lmite superior


x y S1 S2

x 16 1 0 -1/9 1/3

Zj* Usar la frmula

Zj 81600 1500 1800 2100/9 200

Zj aj. 0

Valor inicial

1500 1800 0 0

x y S1 S2

-600 x 16 1 0 -1/9 1/3

Zj* -600 -200

Zj 81600 1500 1800 2100/9 200

Zj aj. 900 0

Lmite inferior

1500 1800 0 0

x y S1 S2

-600 x 16 1 0 -1/9 1/3

Zj* -600 -200

Zj 81600 1500 1800 2100/9 200

Zj aj. 900 0

Lmite inferior




Para C1 = 1500 600

900; si, C1 < 900 S1 ingresa

En resumen,

Para Y:

Para departamento II, columna S2 para el cuadro

Para C2 = 1800 1200

3000; si, C2 > 3000 S2 ingresa

Para departamento I, columna S1 para el cuadro

Para C2 = 1800 1050

750; si, C2 < 750 S2 ingresa

En resumen:

Por lo tanto, el anlisis de sensibilidad para los coeficientes de la funcin objetivo pueden tener las siguientes variaciones:


x y S1 S2

-1050 y 32 0 1 2/9 -1/6

Zj* -1050 -2100/9 Usar la frmula

Zj 81600 1500 1800 2100/9 200

Zj aj. 750 0

Lmite inferior Valor inicial

Coeficiente Minimo Original Maximo

C1 900 1500 3600

600 2100

Coeficiente Minimo Original Maximo

C2 750 1800 3000

-1050 1200

Coeficiente Mnimo Original Mximo

C1 900 1500 3600

C2 750 1800 3000

1500 1800 0 0

x y S1 S2

1200 y 32 0 1 2/9 -1/6

Zj* 1200 -200 usar la frmula

Zj 81600 1500 1800 2100/9 200

Zj aj 3000 0

Lmite superior Valor inicial




Casos especiales del mtodo simplex 1. Degeneracin.- Una o ms soluciones de las variables de decisin son cero, el modelo tiene por

lo menos una restriccin redundante 2. Soluciones no acotadas.- Las variables pueden tomar valores que se incrementan

indefinidamente cumpliendo con las restricciones. El espacio solucin es no acotado en una direccin.

3. ptimos alternativos.- Si una funcin objetivo es paralela a una de las restricciones no acotadas,

la F.O. asume el punto ptimo en ms de un punto de la solucin, infinidad de soluciones.

4. Solucin no factible.- Esto sucede cuando existen restricciones combinadas de mayor igual y menor igual en algunas ocasiones. En la tabla del simplex se encuentra cuando debiendo salir la variable artificial sale la variable de holgura.

Ejercicios de investigacin

Como identificar en una tabla del simplex si un problema corresponde a un caso especial y a cual caso

especial corresponde, usar un ejemplo para cada caso, resolverlo y concluir con un comentario

sealando el procedimiento. Entregar su resolucin




PROBLEMA DUAL El principio llamado dualidad, permite resolver un problema de maximizacin resolviendo el problema de minimizacin relacionado con l. Problema Primal (Dual) Maximizar

nnxcxcxcZ ...2211 Sujeto a,

22222121

11212111

...

...

bxaxaxa

bxaxaxa

nn

nn


0,...., 21 nxxx Dual (Primal) Minimizar

mmybybybW ...2211 Sujeto a,

22222112

11221111

...

...

cyayaya

cyayaya

mm

mm

nmnmnn cyayaya ...2211

0,....,, 21 myyy La solucin del modelo primal es igual a la del modelo dual en cuanto a su funcin objetivo.

Ejemplo Modelo Primal Funcin Objetivo

Restricciones Modelo Dual

n variables

m limitaciones

m variables

n limitaciones

PRIMAL DUAL

n variables

m limitaciones

m variables

n limitaciones

PRIMAL DUAL




Funcin Objetivo Min. D = 240 X1 + 128 X2 Restricciones 3 Y1 + 4 Y2 1500 6 Y1 + 2 Y2 1800 Ejercicio 1.- Resolver por el simplex el primal, plantear el dual e indicar la solucin con la ltima tabla del simplex del primal, indicar las tasas de sustitucin y los precios sombra, realizar el anlisis de sensibilidad.

PRIMERA ITERACION

SEGUNDA ITERACION

300 - 1 * 200 = 100

2 - 1 * 1/4 = 1,75

1 - 1 * 1 = 0

1 - 1 * 0 = 1

0 - 1 * 1/4 = -0,25

0 - 1 * 0 = 0

500 - 2 * 200 = 100

1 - 2 * 1/4 = 0,5

2 - 2 * 1 = 0

0 - 2 * 0 = 0

0 - 2 * 1/4 = -0,5

1 - 2 * 0 = 1

3 5 0 0 0

X B x y S1 S2 S3 RM

0 S1 100 1,75 0 1 -0,25 0 57,1428571 SALE

5 Y 200 0,25 1 0 0,25 0 800

0 S3 100 0,5 0 0 -0,5 1 200

Zj 1000 1,25 5 0 1,25 0

Zj - Cj -1,75 0 0 1,25 0

INGRESA

200 - 0,25 * 57,14 = 185,7143

0,25 - 0,25 * 1 = 0,00

1 - 0,25 * 0 = 1

0 - 0,25 * 0,571 = -0,14286

0,25 - 0,25 * -0,14 = 0,285714

0 - 0,25 * 0 = 0

100 - 0,5 * 57,14 = 71,42857

0,5 - 0,5 * 1 = 0

0 - 0,5 * 0 = 0

0 - 0,5 * 0,571 = -0,28571

-0,5 - 0,5 * -0,14 = -0,42857

1 - 0,5 * 0 = 1




TERCERA ITERACION

La ltima tabla de la iteracin del Simplex, considerando fracciones en la respuesta es:

Solucin:

TASAS DE

SUSTITUCIN

PRECIOS SOMBRA

3 5 0 0 0

X B x y S1 S2 S3 RM

3 X 57,1428571 1 0 0,57142857 -0,14285714 0

5 Y 185,714286 0 1 -0,14285714 0,28571429 0

0 S3 71,4285714 0 0 -0,28571429 -0,42857143 1

Zj 1100 3 5 1 1 0

0 0 1 1 0 OPTIMO

H1 H2 X1 X2 X3

Zj - Cj

3 5 0 0 0

X B x y S1 S2 S3

3 X 400/7 1 0 4/7 -1/7 0

5 Y 1300/7 0 1 -1/7 2/7 0

0 S3 500/7 0 0 -2/7 -3/7 1

Zj 1100 3 5 1 1 0

0 0 1 1 0Zj - Cj

3 5 0 0 0

X B x y S1 S2 S3

3 X 57,1428571 1 0 0,57142857 -0,14285714 0 TASAS DE SUSTITUCION

5 Y 185,714286 0 1 -0,14285714 0,28571429 0

0 S3 71,4285714 0 0 -0,28571429 -0,42857143 1

3 5 0 0 0

X B x y S1 S2 S3

3 X 57,1428571 1 0 0,57142857 -0,14285714 0

5 Y 185,714286 0 1 -0,14285714 0,28571429 0

0 S3 71,4285714 0 0 -0,28571429 -0,42857143 1

Zj 1100 3 5 1 1 0

Zj - Cj 0 0 1 1 0

PRECIOS SOMBRA

X 400/7 57,1428571

Y 1300/7 185,714286

S3 500/7 71,4285714

S2 0

S1 0

Z 1100

PRIMAL DUAL SOLUCION X1 1

maxZ=3x+5y MIN D = 300X1 + 800X2 + 500X3 DUAL X2 1

2x+y= 3 X3 0

x+4y= 5 H1 0

x+2y




ANALISIS DE SENSIBILIDAD

USANDO EL WINQSB

INGRESO DE DATOS

PRIMERA ITERACION

MINIMO ORIGINAL MAXIMO

C1 1,25 3 10

C2 1 5 12

x S1 y S1

-1,75 X 1 0,57142857 7 y 1 -0,14285714

Zj* -1,75 -1 Zj* 7 -1

Zj original 3 1 Zj original 5 1

Zj ajustada 1,25 0 Zj ajustada 12 0

x S2 y S2

7 X 1 -0,14285714 -3,5 y 1 0,28571429

Zj* 7 -1 Zj* -3,5 -1


Zj ajustada 10 0 Zj ajustada 1,5 0

x S3 y S3

0 X 1 0 0 y 1 0

Zj* 0 0 Zj* 0 0


Zj ajustada 3 0 Zj ajustada 5 0




SEGUNDA ITERACION

TERCERA ITERACION

SOLUCION GENERAL





2.- RESOLVER POR EL SIMPLEX UTILIZANDO EL DUAL

DUAL

PRIMERA ITERACION

SEGUNDA ITERACION

5000 16000 87500 0 0

X B x1 x2 x3 S1 S1 RM

0 S1 50 1 4 50 1 1 1 SALE

0 S2 60 3 8 25 0 0 2,4

Zj 0 0 0 0 0 0

-5000 -16000 -87500 0 0

INGRESA

Zj - Cj

60 - 25 * 1 = 35

3 - 25 * 0,02 = 2,5

8 - 25 * 0,08 = 6

25 - 25 * 1 = 0

0 - 25 * 0,02 = -0,5

1 - 25 * 0 = 1

5000 16000 87500 0 0


87500 X3 1 0,02 0,08 1 0,02 0 12,5

0 S2 35 2,5 6 0 -0,5 1 5,83333333 SALE

Zj 87500 1750 7000 87500 1750 0

-3250 -9000 0 1750 0

INGRESA

Zj - Cj

1 - 0,08 * 5,833333 = 0,533

0,02 - 0,08 * 0,416667 = -0,01

0,08 - 0,08 * 1 = 0

1 - 0,08 * 0 = 1

0,02 - 0,08 * -0,08333 = 0,027

0 - 0,08 * 0,166667 = -0,01

PRIMAL Min Z=50x+60y

x+3y>=5000 4x+8y>=16000 50x+25y>=87500




TERCERA ITERACIN

SOLUCION

3.- Resolver por el simplex el primal, plantear el dual e indicar la solucin con la ltima tabla

del simplex del primal, indicar las tasas de sustitucin y los precios sombra, realizar el anlisis

de sensibilidad.

5000 16000 87500 0 0


87500 X3 0,53333333 -0,01333333 0 1 0,02666667 -0,01333333

16000 X2 5,83333333 0,41666667 1 0 -0,08333333 0,16666667

Zj 140000 5500 16000 87500 1000 1500

500 0 0 1000 1500

H1 H2 H3 X Y OPTIMO

Zj - Cj

PRIMAL DUAL

SOLUCION X 1000 SOLUCION X1 0 0

Y 1500 X2 5,83333333 35/6

H1 500 X3 0,53333333 8/15

H2 0 S1 0 0

H3 0 S2 0 0

Z 140000 D 140000

5 8 0 0 0

X B X1 X2 S1 S2 S3 RM

0 S1 1000 1 1 1 0 0 1000

0 S2 5000 3 6 0 1 0 833,333333 SALE

0 S3 2500 3 2 0 0 1 1250

Zj 0 0 0 0 0 0

-5 -8 0 0 0

INGRESA

Zj - Cj

1000 - 1 * 833,333 = 166,667

1 - 1 * 1/2 = 0,5

1 - 1 * 1 = 0

1 - 1 * 0 = 1

0 - 1 * 1/6 = -0,1667

0 - 1 * 0 = 0

2500 - 2 * 833,333 = 833,333

3 - 2 * 1/2 = 2

2 - 2 * 1 = 0

0 - 2 * 0 = 0

0 - 2 * 1/6 = -0,3333

1 - 2 * 0 = 1




5 8 0 0 0


0 S1 166,666667 0,50 0 1 -0,16666667 0 333,333333 SALE

8 X2 833,333333 0,5 1 0 0,16666667 0 1666,66667

0 S3 833,333333 2,00 0 0 -0,33333333 1 416,666667

Zj 6666,66667 4 8 0 1,33333333 0

-1 0 0 1,33333333 0

INGRESA

Zj - Cj

5 8 0 0 0


5 X1 333,333333 1,00 0 2 -0,33333333 0

8 X2 666,666667 0 1 -1 0,33333333 0

0 S3 166,666667 0,00 0 -4 0,33333333 1

Zj 7000 5 8 2 1 0

Zj - Cj 0 0 2 1 0 OPTIMO

5 8 0 0 0

X B X1 X2 S1 S2 S3

5 X1 1000/3 1,00 0 2 -1/3 0

8 X2 2000/3 0 1 -1 1/3 0

0 S3 1000/3 0,00 0 -4 1/3 1

Zj 7000 5 8 2 1 0

Zj - Cj 0 0 2 1 0 OPTIMO

H1 H2 Y1 Y2 Y3

833,333 - 0,5 * 333,333 = 666,667

0,5 - 0,5 * 1 = 0

1 - 0,5 * 0 = 1

0 - 0,5 * 2 = -1

0,1667 - 0,5 * - 1/3 = 0,33333

0 - 0,5 * 0 = 0

833,333 - 2 * 333,333 = 166,667

2 - 2 * 1 = 0

0 - 2 * 0 = 0

0 - 2 * 2 = -4

-0,3333 - 2 * - 1/3 = 0,33333

1 - 2 * 0 = 1

SOLUCION X1 1000/3

X2 2000/3

S1 0

S2 0

S3 1000/3

Z 7000




TASAS DE SUSTITUCION

PRECIOS SOMBRA

PRIMAL DUAL SOLUCION DUAL

Max. Z = 5 X1 + 8 X2 Min. D = 1000 Y1 + 5000 Y2 + 2500 Y3 Y1 2

X1 + X2 = 5 Y2 1

3 X1 + 6 X2 = 8 Y3 0

3 X1 + 2 X2 >= 2500 H1 0

H2 0

D 7000

5 8 0 0 0

X B X1 X2 S1 S2 S3

5 X1 1000/3 1,00 0 2 -1/3 0 TASAS

8 X2 2000/3 0 1 -1 1/3 0 DE

0 S3 1000/3 0,00 0 -4 1/3 1 SUSTITUCION

Zj 7000 5 8 2 1 0

Zj - Cj 0 0 2 1 0

5 8 0 0 0

X B X1 X2 S1 S2 S3

5 X1 1000/3 1,00 0 2 -1/3 0

8 X2 2000/3 0 1 -1 1/3 0

0 S3 1000/3 0,00 0 -4 1/3 1

Zj 7000 5 8 2 1 0

Zj - Cj 0 0 2 1 0

PRECIOS

SOMBRA


X1 S1 X2 S1

-1 X1 1 2 2 X2 1 -4

Zj* -1 -2 Zj* 2 -2



X1 S2 X2 S2

3 X1 1 - 1/3 -3 X2 1 1/3

Zj* 3 -1 Zj* -3 -1



X1 S3 X2 S3

0 X1 1 0 0 X2 1 1

Zj* 0 0 Zj* 0 0






UTILIZANDO EL WINQSB

INGRESO DE DATOS

SOLUCION GENERAL

MINIMO ORIGINAL MAXIMO

C1 4 5 8

C2 5 8 10




PRIMERA ITERACION

SEGUNDA ITERACION

TERCERA ITERACION





Ejercicios

1.-

{

2.- {

3.-.- {

4.- {

Problemas para su resolucin:

1.- Una compaa de cemento produce 2500000 barriles de cemento por ao. Los hornos emiten 2 libras

de polvo por cada barril producido. Una agencia gubernamental para proteccin del ambiente requiere

que la planta reduzca sus emisiones de polvo a no ms de 800000 libras anuales. Existen dos

dispositivos de control de emisiones disponibles, A y B. El dispositivo A reduce las emisiones a 0,5 libras

por barril y su costo es de $0,20 por barril de cemento producido. Para el dispositivo B, las emisiones son

reducidas a 0,2 libras por barril y el costo es de $0,25 por barril de cemento producido. Determine el plan

de accin ms econmico que la planta debe tomar de modo que cumpla con el requerimiento de la

agencia gubernamental y tambin mantenga su produccin anual de 2500000 barriles de cemento.

2.- Una compaa petrolera, que tiene dos refineras necesita de al menos 800, 1400 y 500 barriles de

petrleo de grado bajo, medio y alto, respectivamente. Cada da, la refinera I produce 200 barriles de

grado bajo, 300 de medio y 100 de grado alto, mientras que la refinera II produce 100 barriles de grado

alto, 100 de bajo y 200 de grado medio. Si los costos diarios son de $2500 para operar la refinera I y de

$2000 para la refinera II, Cuntos das debe ser operada cada refinera para satisfacer los

requerimientos de produccin a un costo mnimo?Cual es el costo mnimo? Cul es la variacin de los

mrgenes de contribucin?cul es el anlisis de recursos y sensibilidad, con su interpretacin?

3.- Un agricultor compra fertilizantes que contienen tres nutrientes A, B y C. las necesidades mnimas son

160 unidades de A, 200 de B y 80 de C. En el mercado existen dos marcas populares de fertilizan5tes.

Rpido Crecimiento RC, con un costo de $4 por bolsa con tres unidades de A, 5 de B y 1 unidad de C.

Fcil Crecimiento FC, con un costo de $3 por bolsa con 2 unidades de cada nutriente. Si el agricultor

desea minimizar el costo mientras se mantenga el requerimiento de nutrientes, Cuntas bolsas de cada

marca debe comprar?

4.- Para satisfacer las necesidades de vitaminas B1, B2 y B3 un hombre debe comprar 100 pldoras que

contengan al menos 750 unidades de B1, 600 unidades de B2 y 280 unidades de B3. Cuestan $0,50 las

pldoras de la clase I que contiene 10 unidades de B1, 5 unidades de B2 y 3 de B3; mientras que cuestan

$0,60 las pldoras de la clase II que contienen 12 unidades de B1, 2 de B2 y 11 de B3 y por ltimo, a

$0,40 consigue las pldoras de la clase III que contienen 6 unidades de B1, 7 de B2 y 2 de B3. Cuntas

pldoras de cada clase debe consumir para satisfacer sus necesidades vitamnicas a un mnimo costo?

Guia Unidad 3 Pl Simplex y Dualidad

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