Unidad III. Capacitancia y Condensadores (Iuteb)

Maríarenas

UNIDAD III

CAPACITANCIA Y CONDENSADORES

Introducción

En esta unidad se tratarán las propiedades de los condensadores o capacitores que son

dispositivos cuya función principal es la de almacenar energía. Básicamente un

condensador está constituido por dos conductores que poseen cargas iguales en

magnitud pero de signos opuestos (Figura 3.1). La capacitancia de estos dispositivos

depende de su geometría y del material que separa a los conductores (material

dieléctrico o aislante)

Definición de Capacitancia

La capacitancia C de un condensador se define como la razón de la magnitud de la carga

en cualquiera de los dos conductores y la diferencia de potencial entre ellos.

Esto, mediante una expresión matemática sería:

C=QV

Ecuación 3.1. Capacitancia

Donde C = Capacitancia

Q = Magnitud de la carga de uno de los conductores

V = Diferencia de Potencial entre los conductores

Por definición la capacitancia siempre es una cantidad positiva debido a la propiedad

matemática de “magnitud”. La capacidad de un dispositivo es la medida de su capacidad

de almacenar carga y energía potencial eléctrica.

MARÍARENAS Página 1

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Figura 3.1. Condensador de placas paralelas

Unidad de Capacidad

Si de la Ecuación 3.1 expresamos Q en coulomb y la diferencia de potencial V en

voltios tendríamos que:

Capacidad=CoulombVoltio

=Faradio(F )

El faradio es la unidad de capacidad según el Sistema Internacional de medidas, esta

unidad es muy grande para las capacidades reales de un condensador, debido a esto se

hace el uso de los submúltiplos, donde los más comunes son el microfaradio (1µF =

1*10-6 F), el nanofaradio (1ηF = 1*10-9 F) y el picofaradio (1pF = 1*10-12 F)

Cálculo de la Capacitancia

En definiciones anteriores se mencionó que la capacitancia depende de la forma

geométrica de los conductores, para demostrar esto tomaremos en cuenta tres ejemplos

utilizando conductores planos paralelos, un capacitor esférico y un capacitor cilíndrico.

Para estos ejemplos se considerará el vacío como dieléctrico.

Capacitor plano o de placas paralelas

Un condensador de placas paralelas o plano es un dispositivo que está constituido por

dos láminas paralelas de área finita separadas por una distancia despreciable en

comparación con sus dimensiones. (Figura 3.2)


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Figura 3.2. Condensador de Placas Paralelas

De las unidades anteriores conocemos que el campo eléctrico viene expresado por:

E= Qε0∗A

Ecuación 3.2. Campo Eléctrico

Y la diferencia de potencial por:

V=E∗d

Ecuación 3.3. Potencial Eléctrico

Al sustituir la Ecuación 3.2 en la Ecuación 3.3 se tendría que:

V= Q∗dε0∗A

Ecuación 3.4. Ecuación de Potencial Eléctrico en función de la carga Q y la superficie A

Sustituyendo la Ecuación 3.4 en la Ecuación 3.1 correspondiente a la capacitancia:

C= QQ∗dε0∗A

C=ε0∗A

dEcuación 3.5. Ecuación de la Capacitancia en función del Área y la distancia entre las placas sin

dieléctrico


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Donde C = Capacitancia

ε0 = Constante de permitividad

A = Área de las placas

d = Distancia entre las placas

La ecuación anterior nos dice que la capacitancia de un condensador es directamente

proporcional al área de las placas e inversamente proporcional a la distancia que las

separa.

Un razonamiento de esto es que para alcanzar una gran capacidad el área de las placas

debe ser tan grande como sea posible y la separación entre ellas debe ser mínima.

Otra observación acerca de las líneas de las líneas de campo de los condensadores de

placas paralelas es que éste es uniforme en la región central que se encuentra entre las

placas, sin embargo, no es uniforme en las orillas de las mismas. Figura 3.3

Figura 3.3. Líneas de Campo Eléctrico entre las placas de un condensador plano

Si entre las placas se coloca un material dieléctrico, entonces habrá una variación en la

capacidad del condensador, la cual será mayor, cuanto mayor sea el valor del

dieléctrico. Por lo tanto podemos decir que afecta de manera proporcional. La ecuación

con dieléctrico podemos escribirla así:

C=Ke∗ε 0∗A

dEcuación 3.6. Capacitancia con dieléctrico

Donde Ke se denomina constante dieléctrica, la cual depende de la sustancia entre las

placas.


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Tabla 3.1. Constantes Dieléctricas

Material o Sustancia Ke

Vacío 1Aire 1,00054Agua 78

Baquelita 4,8Papel 3,7Teflón 2,1Caucho 2 – 3,5Silicio 12

Germanio 16Porcelana 6,4

*Estos valores son a temperatura ambiente y para campos eléctricos fijos

Capacitor cilíndrico

El condensador cilíndrico es el dispositivo de longitud “l” formado por un cilindro de

radio “a” y carga Q+ concéntrico en un cascarón cilíndrico de radio “b” y carga Q-

como se muestra en la Figura 3.4.

Figura 3.4. Capacitor cilíndrico

La capacitancia para esta configuración se deduce de la siguiente manera:

En los condensadores cilíndricos se inicia con el cálculo del potencial de los cilindros de

radio a y b, esa diferencia de potencial depende del campo eléctrico uniforme que se

genera entre el cilindro concéntrico de radio a y de carga positiva y el cascarón

cilíndrico de radio b. La expresión matemática para este análisis viene dado por la

Ecuación 3.7.


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V=−2∗k∗λ∗ln( ba )

Ecuación 3.7. Potencial Eléctrico para un condensador cilíndrico

Al sustituir la expresión anterior en la Ecuación 3.1 y utilizando el hecho de que λ = Q/l

de capacitancia para un capacitor cilíndrico quedaría expresado de la siguiente manera:

C= l

2∗k∗ln( ba )

Ecuación 3.8. Capacitancia para un capacitor cilíndrico

Capacitor esférico

Un capacitor esférico consta de una esfera interior de radio a rodeada por un cascarón

concéntrico de radio b. El cascarón concéntrico posee una carga Q- y la esfera interna se

encuentra cargada positivamente Q+. En la unidad correspondiente al campo eléctrico

se demuestra que el campo eléctrico en el exterior de una carga simétricamente esférica

es radial y la deducción del potencial para este tipo de capacitor es el presentado

mediante la Ecuación 3.9.

V=k∗Q∗(b−a )

a∗bEcuación 3.9. Potencial eléctrico para un condensador esférico

Sustituyendo en la Ecuación 3.1 de capacitancia:

C= a∗bk∗(b−a)

Ecuación 3.10. Capacitancia para un condensador esférico

Figura 3.5. Capacitor Esférico


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Combinación o Asociación de Capacitores

Con frecuencia se combinan dos o más capacitores en un circuito, dichos capacitores

son asociados con la finalidad de formar uno de capacidad equivalente. Se denomina

capacidad equivalente a la capacidad total de una asociación de condensadores.

Antes de explicar los métodos para calcular la capacitancia equivalente de ciertas

combinaciones se necesita conocer los símbolos de estos dispositivos en un circuito

eléctrico Figura 3.6.

Figura 3.6. Símbolos para los Capacitores (C) y las fuentes de Voltaje o Tensión (V)

Según la forma en que se dispongan las conexiones entre capacitores los podemos

encontrar en dos tipos de asociaciones en paralelo y en serie.

Combinación en Paralelo

Una configuración en paralelo de capacitores se puede ver en la Figura 3.7, y tiene las

siguientes características:

1. Todas las armaduras de un lado del capacitor se encuentran conectadas al lado

positivo de la batería.

2. Todas las armaduras del otro lado del capacitor se encuentran conectadas al lado

negativo de la batería.

3. Todos y cada uno de los condensadores poseen igual potencial V que es

suministrada por los polos de la batería.

V=V 1=V 2

Ecuación 3.11. Potencial, Voltaje o Tensión en condensadores en paralelo

4. La carga total del sistema cuando se encuentran en paralelo es igual a la suma de

las cargas de todos y cada uno de los condensadores que lo forman.


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Q=Q1+Q2

Ecuación 3.12. Carga total de condensadores en paralelo

5. La capacidad equivalente o capacidad total de varios condensadores asociados

en paralelo es igual a la suma de las capacidades de los condensadores que

constituyen la agrupación.

C=C 1+C2

Ecuación 3.13. Capacitancia equivalente de condensadores en paralelo

Figura 3.7. Configuración de Capacitores en Paralelo

6. La carga que adquiere cada uno de los capacitores es:

Q1=C1∗V yQ 2=C2∗V

Ecuación 3.14. Cargas para cada uno de los condensadores

7. La capacidad equivalente de una combinación de condensadores en paralelo es

mayor que cualquiera de las capacidades individuales.


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Combinación en serie

La asociación de capacitores en una configuración en serie viene representada por la

Figura 3.8 y tiene las siguientes características:

1. Los condensadores están conectados de tal forma que uno de los terminales o

extremos de un condensador se encuentra conectado al extremo o terminal de

otro.

2. En la conexión en serie el potencial que existe en los extremos del sistema es

igual a la suma de los potenciales de cada uno de los capacitores.

V=V 1+V 2

Ecuación 3.15. Potencial para capacitores en serie

3. La carga total del circuito es igual a la carga de cada uno de los condensadores.

Q=Q1+Q2

Ecuación 3.16. Carga para condensadores en serie

4. En la configuración en serie el inverso de la capacidad equivalente es igual a la

suma de los inversos de las capacidades parciales.

1C

= 1C1

+ 1C2

Ecuación 3.17. Capacitor equivalente para la configuración en serie

Figura 3.8. Combinación en serie de Capacitores

5. La capacidad equivalente o capacidad total de varios condensadores conectados

en serie es menor que la de cualquiera de las capacidades individuales en la

asociación.


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EJERCICIOS RESUELTOS

1. Un condensador de placas paralelas tiene un área A=2*10-4 m2 y una

separación entre las placas de d=1*10-3 m. Calcular la capacitancia de dicho

condensador.

Solución.

Usando la Ecuación 5 se tiene que:

C=ε0∗A

d=

(8,85∗10−12 C 2

N∗m2 )∗(2∗10−4 m2 )

1∗10−3 m

C=1,77∗10−12 F=1,77 pF

2. Un conductor cilíndrico de radio a= 3*10-4 m está concéntrico en un cascarón

cilíndrico de radio b= 6*10-4 m. Encuentre la capacitancia del condensador

cilíndrico si su longitud es de l= 0,01 m.

Solución.

Utilizando la ecuación para calcular la capacitancia de un condensador cilíndrico

(Ecuación 3.8)

C= l

2∗k∗ln ( ba )

= 0,01 m

2∗(9∗109 N ¿m2

C2 )∗ln ( 6∗10−4 m3∗10−4 m )

=¿

C=0,8∗10−12 F=0,8 pF

3. Un condensador esférico consta de un cascarón de radio b= 6*10-4 m que está

concéntrico con una esfera conductora más pequeña de radio a= 3*10-4 m.

Determine su capacitancia.


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Solución.

En este caso se habla de un condensador esférico por lo tanto se ubica y utiliza la

expresión para el cálculo de la capacitancia de un capacitor de esta característica. En

este material corresponde a la Ecuación 3.10.

C= a∗bk∗(b−a)

=( 3∗10−4 m )∗(6∗10−4 m)

(9∗109 N∗m2

C2 )∗(6∗10−4 m−3∗10−4 m)=¿

C=0,06∗10−12 F=0,06 pF

4. Se tiene un condensador plano con armaduras de 0,08 m2 de área y están

separadas por una lámina de ebonita de 4*10-3 m de espesor de constante

dieléctrica 2,8. Calcular la capacitancia.

Solución.

Este ejercicio se diferencia del primero debido a que en este caso el capacitor tiene un

dieléctrico entre sus placas (ebonita), cuya constante dieléctrica es de 2,8. Por lo tanto,

se utiliza la expresión para calcular la capacitancia de un condensador de placas

paralelas donde se considere la constante dieléctrica Ke (Ecuación 3.6)

C=K e∗ε 0∗A

d=

2,8∗(8,85∗10−12 C2

N∗m2 )∗(0,08 m2 )

4∗10−3 m=¿

C=4,956∗10−10 F=495,6 pF

5. Calcular el capacitor equivalente para el circuito presentado en la Figura 3.9,

la carga y el potencial de cada uno de los condensadores del circuito.


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Figura 3.9

Solución.

La Figura 3.9 muestra una configuración de capacitores en paralelo, para poder

reconocerlo solo se tiene que observar que todos los terminales de arriba de cada uno de

los capacitores están conectados al positivo de la batería y todos los terminales de

debajo de los mismos se encuentran conectados al negativo de la batería. Por efectos

didácticos en la figura se puede ver el banderín rojo que indica el positivo de la batería.

Para ejercicios posteriores esto no ocurre, el estudiante mediante la práctica aprenderá a

diferenciar y reconocer las diferentes configuraciones para aplicar las expresiones

matemáticas correspondientes.

Para poder calcular el capacitor equivalente cuando la configuración es paralela, basta

con sumar algebraicamente cada una de las capacidades.

CT=¿C1+C2+C3+C4¿

CT=2 μF+6μF+4 μF+8 μF=20 μF

Como los capacitores están en paralelos los potenciales son iguales en cada uno de ellos

con el valor que suministra la batería en este caso de 9 voltios.

V=V 1=V 2=V 3=V 4=9V

Para las cargas de cada uno de los capacitores:

Q1=C1∗V =2 μF∗9 V =(2∗10−6 F )∗9 V=18∗10−6 Coulomb(C)

Q2=C2∗V =4 μF∗9V =(4∗10−6 F )∗9V=36∗10−6Coulomb(C)

Q3=C3∗V =6 μF∗9 V=( 6∗10−6 F )∗9 V=54∗10−6Coulomb(C)


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Q4=C4∗V =8 μF∗9 V=( 8∗10−6 F )∗9 V=72∗10−6 Coulomb(C)

La carga total del sistema es la suma de cada una de las cargas contenida en los

capacitores.

QT=Q1+Q2+Q 3+Q4=¿

18∗10−6 C+36∗10−6C+54∗10−6 C+72∗10−6 C

QT=180∗10−6C

6. En la Figura 3.10 se muestra un circuito de capacitores. Calcular la

capacitancia equivalente, el potencial de cada capacitor y la carga del sistema.

Figura 3.10

Solución.

Según las características de esta configuración el estudiante podrá diferenciar que se

encuentra en serie ya que solo el terminal izquierdo del primer condensador y el derecho

del último tienen contacto con la batería. En este caso se hace el uso de las ecuaciones

características para esta asociación de capacitores.

Para calcular la capacitancia equivalente:

1C

= 1C1

+ 1C2

+ 1C3

+ 1C4

= 110 μF

+ 12μF

+ 16 μF

+ 12 μF

1C

=1,267

Despejando C se tiene que:

C= 11,267

=0,789 μF


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La carga del sistema es la misma carga que se encuentra en cada uno de los capacitores

por lo tanto:

QT=Q1=Q2=Q3=Q4=CT∗V=0,789 μF∗12V

QT=0,789∗10−6 F∗12V =9,468∗10−6 C

Basta con calcular la carga del sistema pues, automáticamente se tienen las cargas de

cada uno de los condensadores por estar en serie.

En el cálculo de los potenciales:

V 1=QC1

=9,468∗10−6 C10∗10−6 F

=0,9 V

Es análogo para los otros potenciales:

V 2=QC2

=9,468∗10−6 C2∗10−6 F

=4,734 V

V 3=QC3

=9,468∗10−6 C6∗10−6 F

=1,578V

V 4=QC4

=9,468∗10−6 C2∗10−6 F

=4,734 V

Observe que la suma de los resultados de potenciales obtenidos es igual al voltaje o

potencial suministrado por la batería (11,946 V ≈ 12 V). Esto quiere decir que cuando

los capacitores se encuentran en serie el potencial de la fuente se divide entre ellos

según la capacidad de cada uno. Mientras menor es el valor de la capacitancia mayor es

el potencial.

7. Calcular el capacitor equivalente y la carga total del sistema para el circuito

que se presenta en la figura siguiente.


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Figura 3.11

Solución.

Hasta ahora las configuraciones presentadas han sido evidentes de tal manera que para

el estudiante ha sido fácil reconocerlas y hacer uso de las expresiones matemáticas

correspondientes para determinar el capacitor equivalente y otros parámetros como la

tensión y la carga.

Este ejercicio en particular posee características mixtas entre las asociaciones en serie y

en paralelo, pero no es para preocuparse, pues, el estudiante debe suponer que con el

conocimiento básico y un poco de lógica se podrían resolver problemas más complejos.

Acá el detalle está en determinar en qué parte del sistema o circuito los condensadores

se encuentran en serie o en paralelo para así aplicar los principios básicos que se han

estado estudiando.

Una recomendación para resolver circuitos con capacitores y resistores, que se tratarán

en la siguiente unidad, es analizarlos desde los componentes más lejanos a la fuente o

batería hasta acercar se a ella. Pero hay configuraciones donde es evidente que primero

se tendrían que resolver ciertos circuitos internos para después hallar la solución final y

este es uno de esos casos.


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Figura 3.12

Si para este ejercicio en particular se considerara la recomendación anterior, se estaría

pensando en qué hacer con el capacitor de 6 µF por ser el más alejado a la batería, pero

esto conlleva a una confusión, pues no es claro determinar cómo se encuentra este

condensador con respecto a los otros restantes. Pero hay ciertas partes del circuito que si

son fáciles de reconocer y que permitirían el inicio de una solución del circuito. Un

ejemplo de esto son los capacitores que se encuentran enmarcados en recuadros de

líneas entrecortadas.

Se puede observar que los capacitores de 2 y 10 µF (recuadro rojo) se encuentran en

paralelo y de la combinación de ellos resultaría uno equivalente, que cumpliría la misma

función.

C210=C2+C10=2μF+10μF=12 μF

De manera análoga se resuelven los capacitores de 3 y 5 µF (recuadro azul), ya que

estos también se encuentran en paralelo. Y en la parte inferior del circuito los

capacitores de 4, 1 y 1 µF (recuadro verde). Queda como resultado el circuito de la

Figura 3.13.

C35=C3+C5=3 μF+5 μF=8 μF

C411=C4+C1+C1=4 μF+1μF+1 μF=6 μF


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Figura 3.13

En este punto es más fácil visualizar la asociación de los capacitores resultantes. El

circuito ha quedado completamente en serie. No queda más que resolver esta

disposición del circuito para encontrar el capacitor total o equivalente del todo el

sistema, es decir, el condensador que cumple la misma función que el circuito

presentado al inicio del ejercicio.

1CT

= 1C12

+ 1C8

+ 1C6

+ 1C6

= 112 μF

+ 18 μF

+ 16 μF

+ 16 μF

1CT

=0,5416

Despejando CT

CT=1

0,5416=1,846 μF

Figura 3.14. Circuito equivalente final

La carga total del sistema o circuito final se determina de la siguiente manera:

QT=CT∗V =1,846 μF∗9 V=(1,846∗10−6 F )∗9V

QT=1,66∗10−5C


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EJERCICIOS PROPUESTOS

P1. Un condensador de placas paralelas se encuentra lleno de aire tiene una

capacitancia de 2 F. Si la distancia entre las placas es de 2 mm. Calcule el área de las

placas del condensador.

P2. Se tiene un condensador plano, el cual está constituido por armaduras de 0,6 m 2

cada una y separadas por una distancia de 0,00003 m. Calcular: a) La capacidad del

condensador considerando que está lleno de aire; b) La capacidad si el dieléctrico

entre las placas tiene una constante de 4,5.

P3. Las placas de un condensador de placas paralelas están separadas 0,5 mm. Si el

espacio entre ellas es aire, calcular el área que se requiere para producir 6 pF.

P4. Un condensador cilíndrico lleno de aire tiene una longitud de 2 cm. Si el radio del

cascarón cilíndrico es de 1,5 cm y el del cilindro interno de 1 cm. Calcule la capacidad

de dicho condensador.

P5. Un cable coaxial de 20 cm de longitud tiene un conductor interno de 2 mm de

diámetro y un conductor externo de 6 mm de diámetro. Calcule la capacidad del cable

coaxial.

P6. ¿Qué longitud debe tener un capacitor cilíndrico cuyos radios son 0,0003 m y

0,0008 m respectivamente para poder producir una capacidad de 22 µF?

P7. Un condensador esférico se construye con cascarones esféricos de radios 6 cm y 18

cm respectivamente. Calcule la capacidad de dicho condensador.

P8. Un conductor esférico relleno de aire tiene un conductor esférico externo de radio

0,25 cm. Si la capacidad del dispositivo es de 1 µF, determine el valor del radio

requerido para el conductor interno.

P9. Un conductor esférico tiene un conductor interno de 0,003 m de diámetro. Si la

capacidad del dispositivo es de 9 µF. Calcular el diámetro del conductor externo.


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P10. En los siguientes circuitos calcule el capacitor equivalente y la carga total del

sistema.

a)

Figura 3.15

b)

Figura 3.16

c)

Figura 3.17

d)


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Figura 3.18

e)

Figura 3.19


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