CAP 24

Capacitores y Capacitancia

Un capacitor está formado por dos conductores separados por un aislador o vacío. Cargar un capacitor consiste en transferir electrones de un conductor al otro, cuando inicialmente el capacitor tenía carga neta cero, de tal manera que los conductores tienen cargas de igual magnitud y signo opuesto, haciendo que la carga neta del capacitor siga siendo cero.

Un capacitor se representa:

Se puede cargar un capacitor conectando cada conductor a un borne de una batería, para así tener una diferencia de potencial fija entre los conductores (Vab) que es exactamente igual al voltaje de la batería.

Tanto Vab, como el campo eléctrico (E) en cualquier punto de la región entre los conductores es proporcional a la carga de cada conductor (Q). De aquí surge el significado de capacitancia:

La capacitancia es una medida del alcance de un capacitor para almacenar energía.

Cálculo de capacitancia: capacitores en vacío

Suponiendo que el capacitor está formado por dos placas conductoras paralelas que están separados por un espacio vacío, cada una con área A, separadas por una distancia d. El campo eléctrico está localizado casi por completo en la región entre las placas y es esencialmente uniforme, y las cargas en las placas se distribuyen de manera uniforme en sus superficies opuestas.

Como , donde es la magnitud de la densidad superficial de carga en cada placa, la carga total Q en cada placa dividida entre el área A de la placa , entonces:

Como el campo es uniforme, y la distancia es d, el voltaje entre las dos placas es:

Por lo que la capacitancia de un capacitor de placas paralelas separadas por un vacío es:

Capacitor Cilíndrico

Si un conductor cilíndrico largo tiene un radio ra y densidad lineal de carga . Está rodeado por una coraza conductora cilíndrica coaxial con radio interior rb y densidad lineal de carga . Y suponiendo que hay vacío en el espacio entre los cilindros:

Como el potencial debido al cilindro es:

Esta diferencia de potencial es positiva porque el cilindro interior está a un potencial más elevado que el del exterior. La carga total Q en una longitud L es , por lo que, la capacitancia C es:

La capacitancia por unidad de longitud es

Si se sustituye se obtiene:

Capacitores en serie y en paralelo

Capacitores en serie

Se conectan en serie dos capacitores mediante alambres conductores entre dos puntos, a y b. En un comienzo, ambos capacitores están sin carga, luego se aplica una diferencia de potencial Vab

positiva y constante entre los puntos haciendo que los capacitores se carguen. La carga en todas las placas conductoras tiene la misma magnitud.

La placa superior de C1 adquiere una carga positiva Q haciendo que el campo eléctrico de esta carga positiva atraiga carga negativa hacia la placa inferior de C1 hasta que todas las líneas de campo que comienzan en la placa superior terminan en la placa inferior, que posee una carga de 2Q. Estas cargas negativas tuvieron que venir de la placa superior de C2, la cual se carga positivamente con carga 1Q. Luego, esta carga positiva atrae la carga negativa 2Q a la placa inferior de ésta. Entonces, en una conexión en serie, la magnitud de la carga en todas las placas es la misma.

Por lo que

La capacitancia equivalente Ceq de la combinación en serie es la capacitancia de un solo capacitor para el que la carga Q es la misma que para la combinación, cuando la diferencia de potencial es la misma.

Capacitores en paralelo

Dos capacitores están conectados en paralelo entre dos puntos, a y b. Las placas superiores e inferiores de los dos capacitores están conectadas mediante alambres conductores formando superficies equipotenciales. Entonces, la diferencia de potencial para todos los capacitores individuales es la misma ( Vab= V).

Las cargas Q1 y Q2 no son necesariamente iguales, por lo que:

La carga total Q es entonces:

Por lo que:

Es equivalente a un solo capacitor con la misma carga total. Entonces:

La capacitancia equivalente de una combinación en paralelo es igual a la suma de las capacitancias individuales.

Almacenamiento de energía en capacitores y energía de campo eléctrico

La energía potencial eléctrica almacenada en un capacitor cargado es exactamente igual a la cantidad de trabajo (W) requerido para cargarlo y Cuando el capacitor se descarga, esta energía almacenada se recupera en forma de trabajo realizado por las fuerzas eléctricas.

El trabajo total W necesario para incrementar la carga q del capacitor, de cero a un valor final Q, es:

Y como y W es igual a la energía potencial U :

La densidad de energía es la energía potencial por unidad de volumen en el espacio entre las placas paralelas de un capacitor con área A y separación d:

Y en vacío:

CAP 25

Corriente eléctrica

Una corriente eléctrica es todo movimiento de carga de una región a otra. En conductores, el campo eléctrico dentro es igual a cero, y no hay corriente. Pero no quiere decir que todas las cargas dentro de éste están en reposo, sino que se mueven aleatoriamente dentro del material sin un flujo neto en ninguna dirección, y por lo tanto no hay corriente.Si colocamos un campo eléctrico E constante dentro del conductor, se establece una fuerza F=qE en las partículas con carga, que comienzan a colisionar cambiando su dirección de movimiento. Además del movimiento aleatorio de las partículas, hay un movimiento neto muy lento que es la velocidad de deriva vd, por lo que hay corriente dentro del conductor. Si las cargas en movimiento son positivas, la fuerza eléctrica ocurre en la misma dirección que y la velocidad de deriva es de izquierda a derecha. Si las cargas son negativas, la fuerza eléctrica es opuesta a y la velocidad de deriva es de derecha a izquierda. La corriente I, va en la dirección en la que hay un flujo de carga positiva. Definimos la corriente a través del área de sección transversal A como la carga neta que fluye a través del área por unidad de tiempo:

Corriente, velocidad de deriva y densidad de corriente

Teniendo n partículas con carga en movimiento que se mueven con la misma velocidad de deriva con magnitud vd, en un intervalo de tiempo dt, la longitud del cilindro será vd dt y su volumen A vd dt. Si cada partícula tiene una carga q, la carga dQ que fluye hacia fuera por el extremo del cilindro durante el tiempo dt es:

y la corriente es

La corriente por unidad de área de la sección transversal se denomina densidad de corriente J:

ResistividadLa resistividad de un material es la razón de las magnitudes del campo eléctrico y la densidad de corriente:

La resistividad es propia de cada material, y su recíproco es la conductividad.

Resistividad y temperatura

La resistividad de un conductor metálico se incrementa al aumentar la temperatura, resistividad de un metal queda representada en forma adecuada por la ecuación:

donde es la resistividad de una temperatura de referencia T0

y es la resistividad a la temperatura T, y es el coeficiente de temperatura de la resistividad.

Resistencia

Si la densidad de corriente J y el campo eléctrico E, son uniformes a través del conductor, la corriente total I está

dada por , y la diferencia de potencial V entre los

extremos es . Cuando se despejan J y E, y se sustituyen:

Se llama resistencia, R:

Y se relaciona con la resistividad r del material:

Si es constante, entonces también lo es R:

Como la resistividad de un material varía con la temperatura, la resistencia de un conductor

específico también cambia con la temperatura. Entonces: El dispositivo de un circuito hecho para tener un valor específico de resistencia entre sus extremos se llama resistor.

Fuerza electromotriz y circuitosPara que un conductor tenga una corriente constante, debe ser parte de una trayectoria que forme una espira cerrada o circuito completo.La influencia que hace que la corriente fluya del potencial menor al mayor se llama fuerza electromotriz. La dirección de la corriente en ese dispositivo es del potencial más bajo al más alto, exactamente lo opuesto de lo que ocurre en un conductor ordinario. Todo circuito completo con corriente constante debe incluir algún dispositivo que provea una fem. Tal dispositivo recibe el nombre de fuente de fem. Una fuente ideal de fem mantiene una diferencia de potencial constante entre sus terminales, independiente de la corriente que pasa a través de ella.

Cuando una carga positiva q fluye alrededor del circuito, el aumento de potencial a medida que pasa a través de la fuente ideal es numéricamente igual a la caída de potencial Vab = IR conforme pasa por el resto del circuito.

La carga en movimiento a través del material de cualquier fuente real encuentra una resistencia, que es la resistencia interna de la fuente (r). Al avanzar la corriente a través de r, se produce una caída de potencial que es igual a Ir. La diferencia de potencia entre los bornes a y b:

Para una fuente real de fem, el voltaje entre los bornes es igual a la fem sólo si no hay corriente que fluya a través de la fuente.

Energía y potencia en circuitos eléctricos

La relación de transferencia de energía por unidad de tiempo es la potencia:

Que es la rapidez con la que se entrega energía a un elemento de circuito o se extrae de éste.

Potencia en una resistencia puraSi el elemento de circuito es un resistor, la diferencia de potencial es Vab = IR y la potencia eléctrica entregada al resistor por el circuito es:

Se disipa energía en el resistor a razón de I2 R.

Potencia de salida de una fuenteComo

Entonces:

Donde es la intensidad a la que se se realiza el trabajo sobre las cargas por el medio que genera la fuerza no electroestática (rapidéz a la que se convierte energía dentro de la fuente).

El término es la proporción a la que se disipa energía en la resistencia interna de la fuente.

Potencia de entrada a una fuenteLa corriente I en el circuito es opuesta a la de la potencia de salida de una fuente, por lo que se tiene

CAP 26

Resistores en serie y en paralelo

Cuando existen combinaciones de resistores, se puede hallar un solo resistor que pueda tomar el lugar de la combinación y dar por resultado la misma corriente y diferencia de potencial totales. La resistencia de éste único resistor se llama resistencia equivalente:

Resistores en serieLa corriente I es la misma en todos los resistores, pero el voltaje V, no necesariamente es el mismo a menos que las resistencias sean iguales, por lo que:

La diferencia de potencial Vab a través de toda la combinación es la suma de estas diferencias de potencial individuales:

Por lo que

La resistencia equivalente en serie:

Resistores en paraleloLa corriente I no necesariamente es la misma, pero la diferencia de potencial V es la misma e igual a Vab:

Como la carga no se acumula o escapa del punto a, la corriente total I debe ser la suma de las tres corrientes en los resistores:

luego

por definición:

Reglas de KirchhoffUn nodo es un punto donde se encuentran tres o más conductores. Y una espira es cualquier camino conductor cerrado. Las reglas son dos enunciados:Regla de Kirchhoff para las uniones: La suma algebraica de las corrientes en cualquier unión es cero.

Regla de Kirchhoff de las espiras: la suma algebraica de las diferencias de potencial en cualquier espira debe ser igual a cero.

Para aplicar las reglas es necesario suponer un sentido de la corriente en cada ramal del circuito y se recorre el circuito sumando fem y términos IR según la convención de signo que elijamos.

Instrumentos de medición eléctricaExisten dispositivos eléctricos que miden la diferencia de potencial, corriente o resistencia mediante un galvanómetro de d’Arsonval. En el

campo magnético de un imán permanente se coloca una bobina de pivote de alambre delgado y unido a la bobina está un resorte. Cuando no hay corriente en la bobina, la aguja está en el cero. Al aplicar corriente la bobina gira, el resorte creando una desviación angular de la bobina.

AmperímetrosEs un instrumento que mide la corriente que pasa a través de él. Un amperímetro ideal tendría una resistencia igual a cero, por lo que no influye en la corriente del circuito.

Un medidor puede adaptarse para medir corrientes mayores que su lectura de escala completa si se conecta a él un resistor en paralelo (resistor de derivación, Rsh ) que desvíe parte de la corriente de la bobina del medidor. Para convertir un medidor con corriente de escala completa Ifs y resistencia de bobina Rc en un amperímetro con lectura de escala completa Ia. Para determinar la resistencia de derivación Rsh que se necesita, con la desviación de escala

completa, la corriente total a través de la combinación en paralelo es Ia, la corriente a través de la bobina del medidor es Ifs, y la corriente que pasa a través de la derivación es la diferencia Ia - Ifs. La diferencia de potencial Vab es la misma para ambas trayectorias, entonces:

VoltímetrosEs un instrumento que mide la diferencia de potencial entre dos puntos. Un voltímetro ideal tendría resistencia infinita, para que al conectarlo entre dos puntos de un circuito no altere las corrientes. La escala se puede extender si se conecta un resistor Rs en serie con la bobina. De

esta manera, una parte de la diferencia de potencial total cruza la bobina, y el resto atraviesa Rs. Para un voltímetro con lectura de escala completa VV se necesita un resistor en serie Rs, de manera que:

Amperímetros y voltímetros en combinaciónSe pueden utilizar un amperímetro y un voltímetro juntos para medir resistencia y potencia. La resistencia R de un resistor es igual a la diferencia de potencial Vab entre sus bornes dividida por la corriente I.

La potencia P es:

La manera de medir resistencia y potencia más directa, es medir I y Vab a la vez.

Circuitos R-CCuando las corrientes, los voltajes y las potencias cambian con el tiempo, como cuando se carga o descarga un capacitor. Un circuito con un resistor y un capacitor en serie es un circuito R-C, donde se idealiza la fuente para que tenga fem constante y resistencia interna igual a cero.

Constante de tiempoEl término RC recibe el nombre de constante de tiempo, o tiempo de relajación, del circuito, y se denota por

Cuando la constante es pequeña, el capacitor se carga con rapidez; cuando es grande, el proceso de carga toma más tiempo. Si la resistencia es pequeña, es fácil que fluya la corriente y el capacitor se carga rápido.