1

Unidad 7 – Aplicaciones de las derivadas

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SOLUCIONES

1. En cada caso:

a) A las 2 había una temperatura de º6C− .

b) La temperatura máxima fue de º44C y se produjo en las 12 horas.

c) Hubo º0C a las 1 horas y a las 8 horas.

d) Bajo desde º8C a las 0 horas hasta º25,12 C− a las 4, 5 horas hasta º44C a las 12

horas.

e)

2

2. Llamando x, y a las longitudes de la base y de la altura del rectángulo obtenemos:

210)10(

102022

xxxxyxA

yxyx

−=−=⋅=

=+⇒=+

El área es máxima para 5=x unidades.

3. La gráfica queda:

3

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SOLUCIONES

1. La solución queda:

2. Comenzando el juego desde el final, observamos que la 1ª jugadora (G) ganara siempre y cuando deje a la 2ª jugadora (P) con 89 en la penúltima jugada. Para ello, simulamos una partida.

Como comenzamos con dos vasos llenos el uno de té y el otro de leche, al final la leche que hay en el té es la misma cantidad que el té que hay en la leche; como se puede ver en el siguiente dibujo.

4

Así sucesivamente G siempre tiene que decir el número necesario para sumar un múltiplo de 11 más 1: 12; 23; 34; 45; 56; 67; 78; 89.

Por lo tanto, la estrategia ganadora para el primer jugador es en la 1ª jugada decir cualquier número del 1 al 10 y en la siguiente jugada, a la vista de la suma que haya obtenido el 2º

jugador, el er1 jugador debe decir un numero de modo que deje la suma en un múltiplo de 11

más 1, y así sucesivamente en las siguientes jugadas, hasta que en la penúltima deje al 2º jugador como resultado de la suma 89, de esta forma gana la partida.

La estrategia ganadora para el 2º jugador es la misma: ir diciendo números del 1 al 10 que

dejen como resultado de la suma al er1 jugador un número que sea múltiplo de 11 más 1, así en

todas las jugadas; en la penúltima debe dejar al er1 jugador como resultado de la suma 89 y de

esta forma ganara la partida.

3. En el siguiente diagrama vemos la genealogía de las abejas. Designamos con Z a los zánganos y con O a las obreras.

Obtenemos la sucesión: 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21,… que es la sucesión de Fibonacci.

• En la décima generación anterior a él un zángano tiene 89 antecesores, de los cuales 34 son machos y 5 son hembras.

Continuando las sucesiones, obtenemos:

• En la vigésima generación anterior a él tiene 10 946 antecesores, de los cuales 4 181 son machos y 6 765 son hembras.

En la vigésima primera generación anterior a él tiene 17 711 antecesores.

5

PÁGINA 182

6

SOLUCIONES

1. La solución queda:

Hallamos la primera derivada, estudiamos su signo y obtenemos:

a) La función es monótona creciente en ( −∞ , 2) y monótona decreciente en (2, +∞ ).

b) La función es monótona decreciente para cualquier número real.

c) La función es monótona decreciente para cualquier número real.

d) La función es monótona creciente para cualquier número real.

e) La función es monótona creciente en ( −∞ , 0) U (2, +∞ ) y monótona decreciente en (0, 2).

f) La función es monótona creciente para cualquier número real.

g) La función es monótona decreciente en (0, 1/e) y monótona creciente en (1/e, +∞ ).

h) La función es monótona decreciente en ( −∞ , - 3) y monótona creciente en (3, +∞ ).

2. La solución queda:

a) )(xf es estrictamente decreciente en )3,2()0,( ∪∞−

)(xf es estrictamente creciente en ),3()2,1()1,0( ∞+∪∪

b) )(xg es estrictamente creciente en ),1()0,1( ∞+∪−

)(xg es estrictamente decreciente en )1,0()1,( ∪−∞−

3. La solución es:

a) Tomando 1980 como año 0 es decir ⇒=0x el número de socios fundadores fue de 100.

b) Aumenta el número de socios fundadores entre 1980 y a partir de 1983.

4. Estudiamos la primera y segunda derivada, obtenemos:

a) En el punto (3, 3) la función tiene un máximo relativo.

b) En el punto (1/e, - 1/e) la función tiene un mínimo relativo.

c) En el punto (2, 16) tiene un máximo relativo y en el punto (3, 15) un mínimo relativo.

d) En el punto (1, 1/e) la función tiene un máximo relativo.

e) En el punto (0, 2) la función tiene un máximo relativo.

f) En el punto (- 1, - 2) tiene un máximo relativo y en el punto (1, 2) un mínimo relativo.

7

5. Queda:

62)(6)( 2−=′⇒+−= xxfaxxxf e imponiendo la condición 3062 =⇒=− xx

También debe ocurrir: 0)3(2)( >′⇒=′ fxf

La función tiene un mínimo relativo en el punto )1,3(− , luego, este punto debe verificar la

función: 81891 =⇒+−=− aa

6. Queda:

Como la función tiene un máximo relativo en (0, 4) se cumple: cf =⇒= 44)0(

Entonces: 00)0(2)(0)0( =⇒==′⇒+−=′⇒= bbfbxxff , luego 40 == cyb

7. La solución es:

12)( ++=′ bxx

axf

Si tiene extremos en 1=x y en 2=x se cumple:

La función tiene un máximo relativo en 2=x y tiene un mínimo relativo en 1=x .

8. La solución es:

9. La solución es:

Sea la función

++=

xxxC

1449100100)( y su derivada

−=

=⇒=

−=′

4

40

1449100)(

2 x

x

xxC

La segunda queda:

⋅=′′

3

288100)(

xxC .

Para 0)(4 >′⇒= xCx mínimo

El coste es mínimo para 4 toneladas de material y asciende este coste mínimo a 172 dólares.

Obtiene el beneficio máximo en el punto (5, 4). Es decir cada caja la venderá a 5 euros y obtendrá unas ganancias de 400 euros/día. La botella la vende a 0, 5 €.

8

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9

SOLUCIONES

10. Sean x y 48 – x los numero que hemos de buscar. La función a optimizar es

8241357611)()48(65)( 222+−=⇒−+= xxxSxxxS

La función S(x) presenta un mínimo.

Los números buscados son: 11

288y

11

240.

11. La función a optimizar es:

La función s(x) presenta un mínimo en x= 2

El numero buscado es x = 2.

12. Llamando x al lado del cuadrado, la base de la caja es un rectángulo de las dimensiones siguientes: )250()280( xyx −−

La función a optimizar es: 3 2( ) (80 2 )(50 2 ) ( ) 4 260 4000V x x x x V x x x x= − − ⇒ = − +

La derivada queda:

=

=

=+−=′

3

100

10

0000452012)( 2

x

x

xxxV

¨( ) 24 520V x x= −

100¨ 0

3V

>

Mínimo

¨(10) 0V < Máximo.

Por tanto, para 10=x cm, el volumen es máximo.

10

13. La función a optimizar es: 2

2 44

xyyx =⇒=⋅

Área x

xxx16

4 22+=+=

2016

22

=⇒=−=′ xx

xA

0)2(;32

23

>′′+=′′ Ax

A

Para que la cantidad de material sea mínima, la caja debe medir 2 cm en el lado de la base y 1 m de altura.

14. El área es:

Sean x, y las dimensiones de los lados del rectángulo: xyyx −=⇒=+ 10020022

xxyxD 200000102 222−+=+=

500200000102

1002

2000001022

2004

22=⇒=

−+

−=

−+

−=′ x

xx

x

xx

xD

0)50( >′′D Luego el rectángulo de diagonal mínima mide 50 cm de base y 50 cm de altura, es

decir, es un cuadrado de 50 cm de lado.

15. Sean x, y las medidas del rectángulo.

El perímetro es: xyyx −=⇒=+ 51022

Área 25)5( xxxxyx −=−=⋅=

Las derivadas son: 5,2025 =⇒=−=′ xxA y 0)5,2(2 <′⇒−=′′ AA

El área es máxima si el rectángulo es un cuadrado de 2, 5 m de lado.

16. La solución es:

a)

=

−=⇒=−+=′

21

10)363()1()(

x

xxxxQ

Si 606)( +−=′′ xxQ , entonces 0)1( >−′′Q Mínimo; 0)1( <−′′Q Máximo.

La temperatura optima se obtiene a º21C .

b) La producción de hortaliza para esta temperatura es de: 3245)21( =Q kg.

11

17. Llamado x, y al lado de la base y a la altura de la piscina respectivamente obtenemos:

2

2 3232

xyyx =⇒=⋅

xxxyxA

1284 22

+=+=

40128

22

=⇒=−=′ xx

xA

0)4(256

23

>′′⇒+=′′ Ax

A

La piscina tendrá 4 m de lado de la base y 2 m de altura.

18. Llamando x e y a las dimensiones del ventanal, tenemos que la función a optimizar es: yxA ⋅=

Veamos la relación entre x e y: xyyx −=⇒=+ 3622

23)3()( xxxxxA −=−=

2

3023)( =⇒=−=′ xxxA m

0)5,1(2)( <′′⇒−=′′ AxA Máximo

Por tanto, la máxima luminosidad se consigue con una ventana cuadrada de 1, 5 m de lado.

19. La solución es:

a) 23 92)( xxxf −=

1812)(186)( 2−=′′⇒−=′ xxfxxxf

2

301812)(

2

301812)(

<⇒<−=′′

>⇒>−=′′

xxxf

xxxf

f es cóncava hacia las y positivas en

∞+,

2

3y cóncava hacia las y negativas en

∞− ,

2

3,

En 3=x presenta un punto de inflexión en

−=

2

27,

2

3

2

3,

2

3f

b) x

xf2

)( =

32

4)(

2)(

xxf

xxf =′′⇒−=′

si fxfx ⇒>′′⇒> 0)(0 es cóncava hacia las y positivas en ( )∞+,0

si fxfx ⇒<′′⇒< 0)(0 es cóncava hacia las y negativas en ( )0,∞−

No existe punto de inflexión.

12

c) 8124)( 24+−= xxxf

2412)(244)( 23−=′′⇒−=′ xxfxxxf

Estudiamos el signo de 8124)( 24+−= xxxf

F es cóncava hacia las y positivas en ( ) ( )∞++∪−∞− ,22, y cóncava hacia las y

negativas en ( )2,2−

Esta función tiene dos puntos de inflexión en )1212,2( −− .

d) 4)( 2+= xxf

322 )4()(

4)(

+

=′′⇒+

=′

x

xxf

x

xxf

F es cóncava hacia las y positivas en toda la recta real, pues xxf ∀>′′ 0)(

No existen puntos de inflexión.

e) xexxf 2)( −⋅=

)44()(44)(2)( 22222−=′′⇒+−=′′⇒⋅−=′ −−−−− xexfexexfexexf xxxxx

F es cóncava hacia las y positivas en ),1( ∞++ y cóncava hacia las y negativas en 1,( ∞− ),

f tiene un punto de inflexión en ),1( 2−e .

f) )4(ln)( += xxf

2)4(

1)(

4

1)(

+

−=′′⇒

+=′

xxf

xxf

F es cóncava hacia las y negativas en toda la recta real, pues xxf ∀>′′ 0)(

No existen puntos de inflexión.

g) 212)(;24)(;)( 2324−=′−=′−= xxfxxxfxxxf

F es cóncava hacia las y positivas en

∞+∪

−∞− ,

6

1

6

1, y cóncava hacia las y

negativas en

−

6

1,

6

1.

13

h) )1()(;)(;)1()( xexfexxfexxf xxx+=′′⋅=′−=

F es cóncava hacia las y positivas en ),1( ∞+− y hacia las negativas en )1,( −∞− .

i) 2)4(

1)(;

4

1)(;)4(ln)(

+

−=′′

+=′+=

xxf

xxfxxf

F es cóncava hacia las y negativas en ),4( ∞+− .

20. Hallemos el punto de inflexión de la curva.

0)2(;20126

6;126

16123

11166

2

23

≠′′′=⇒=−

=′′′−=′′

+−=′

−+−=

yxx

yxy

xxy

xxxy

Luego el punto de inflexión es (2, 5)

La recta tangente en (2, 5) es: 034)2(45)2()2(5 =−−⇒−=−⇒−⋅′=− yxxyxyy

21. La solución queda:

22. La solución es:

axf

axxf

baxxf

cbxaxxf

6)(

6)(

3)(

)(

2

3

=′′′

=′′

+=′

++=

Queremos:

• )(xf tiene un máximo relativo en 1=x si 030)1( =+⇒=′ baf

• )(xf tiene un punto de inflexión en (0, 0) si (0) 0 0 y además (0) 0 0 0f c f ′= ⇒ = = ⇒ =

Luego 0=c y 03 =+ ba y para que tenga un máximo en afx ⇒<′′⇒= 0)1(1 debe ser negativo.

14

23. La solución es:

a) 3)1()( −= xxxf

=

=⇒=−−=′

4/1

10)14()1()( 2

x

xxxxf

04

1

)612()1()( 2

>

′′

−−=′′

f

xxxf

)(xf tiene un mínimo en

−

256

27,

4

1 y punto de inflexión en

−

16

1,

2

1.

b) f(x) = 2

2( )

1

xf x

x

−=

+

f ´(x) =

( )

21

22

2

12 2´( ) 0

11

xxf x

xx

= −−= = ⇒

=+

Esta función tiene: Mínimo (1, -1) y Máximo (-1,1)

c) f(x) = 13

132

+

−

x

x

15

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16

SOLUCIONES

24. En cada caso queda:

a)

044)(

2)(

2=+−≡′

+−=≡′

yxxxg

xyxf

b) A partir de la grafica de )(xf ′ observamos que )(xf es creciente de )2,( ∞− y decreciente

),2( ∞+ . Del mismo modo )(xg es creciente en (0, 4) y decreciente en ),4()0,( ∞+∪∞− .

25. Queda:

Esta función es decreciente en todo su dominio de definición.

{ }2,1Dom f = − −� , en este caso es decreciente x Dom f∀ ∈

26. La solución es:

a) 20050

400)(

3

2

±=⇒=−

=′ xx

xxf

0)20(16

)(3

>′′=′′ fx

xf Mínimo

El coste mínimo se produce con 20 actores secundarios.

b) El coste mínimo es de: 4,1)20( =C millones de euros.

17

27. Llamando x, y, z a los números buscados, tenemos que la función a optimizar es: zyxp ⋅⋅=

Imponiendo las condiciones del problema, tenemos:

=

−=⇒

=++

=++

zx

zy

zyx

zyx 260

12032

60

Por tanto:

Por tanto, el producto máximo para .20;20;20 === zyx

28. El problema se explica:

1500 5

5 5 3 3 3000 10 6 30003

xx x y y x y y

−+ + + = ⇒ + = ⇒ =

La función a optimizar es yxA ⋅= , es decir, 3

55001

3

55001 2xxxxA

−=

−⋅=

15003

105001=⇒=

−=′ x

xA m

0)150(3/10 <′′⇒−=′′ AA Máxima

La nave de área máxima tiene de dimensiones 150 m por 250 m.

18

29. La solución queda:

a) La función beneficio viene dada por:

75000002416)()()( 2=⇒=+−=−= xxxGxIxB

b) 0)750(32)( <′′⇒−=′′ BxB Máximo

El beneficio máximo se produce cuando se venden 750 unidades y este beneficio es el siguiente: 0003008)750( =B euros.

30. La solución es:

El coste medio es mínimo para 20=x unidades.