Document Distribuciones Muestrales UNIDAD VDistribuciones Muestrales UNIDAD 5 BASE CONCEPTUAL Hoy la estadstica est considerada como la teora de la informacin, no solo como funcin descriptiva, si o con el objeto bsico de hacer estimaciones acerca de los valores estadsticos Ude Ula Upoblacin Uo Uen Ula comprobacin Ude Uhiptesis Ude Uaquellas caractersticas que han sido investigadas Martnez (2008). De acuerdo con esto la estadstica se divide en dos grandes grupos complementarios: La festadstica Udescriptiva, fque fcomprende tres faspectos undamentales: fprimero, fla recoleccin, fclasificacin fy fpresentacin fde datos fen orma fde fcuadros fo fgrficas; segundo, fla faplicacin fde fmedidas fcomo promedios, fdesviaciones, fetc.; ftercero, fla interpretacin fy fanlisis fde fdatos fa fin fde obtener conclusiones. Se realiza un proceso deductivo de lo general a lo particular. La festadstica Uinferencial, fel fcual fmediante investigacin por muestreo, se logra obtener resultados como estimadores de los valores estadsticos, correspondientes a las caractersticas de las unidades que conforman fla fpoblacin. fPor flo ftanto, flo importante es realizar inferencias acerca de una poblacin objetivo, con base a resultados de una muestra. Poblacin: La poblacin es el conjunto de individuos o elementos que se va a describir a partir del anlisis de una caracterstica que puede User Ucuantitativa Uo Ucualitativa. fLa poblacin debe ser definida de tal forma que, para un nuevo individuo, se pueda decidir con algn criterio si pertenece o no a ella. Elemento. Puede ser una persona, familia, empresa, zona, animal, u objeto, etc. Datos: Son medidas, valores o caractersticas susceptibles de ser observadas y contadas. Variables: fna variable es una caracterstica que puede tener diferentes valores en los distintos Uelementos Uo Uindividuos Ude Uun conjunto. Por ejemplo, el color avorito para prendas de vestir, nmero de vasos de leche consumidos por semana. Las variables estadsticas se dividen en dos: cualitativas y cuantitativas. Variables Cualitativas: Cuando la variable corresponde a una caracterstica, cualidad, gusto, preferencia, opiniones, etc. Variables Cuantitativas: Una variable es de tipo cuantitativa cuando la variable se mide en una escala numrica. Las variables cuantitativas son de dos tipos: discretas o continuas. Variables discretas: fna variable es discreta cuando slo puede tomar valores enteros o exactos, (pertenecen a los naturales). Por ejemplo, fnmero fde fnias fpor amilia, nmeros de pargos rojos pescados por da. Variables Continuas: na Uvariable Ues continua cuando puede tomar cualquier valor de todos los valores, tericamente posibles, entre Udos Uvalores Udados U(pertenecen Ual conjunto de los reales). Por ejemplo, la estatura de los nios del colegio, gramos de carnes fconsumidos fpor amilia fen funa semana. Muestra: Cuando se adelanta un festudio estadstico fy la fpoblacin fes fmuy fgrande fo cuando tomar la informacin de la poblacin es costosa en tiempo y dinero, entonces los estudios estadsticos se hacen sobre la base de una muestra. Estadstica inferencial 35 La Umuestra Ues Uun Usubconjunto Ude Ula poblacin; Usobre Uella Use Uobtiene Ula informacin Unecesaria Upara Udescribir Uel comportamiento de toda la poblacin con respecto a una variable. Para que esta se representativa, fse frequiere fque ftodas fla unidades fde fla fpoblacin ftengan fla fmisma probabilidad fde fser fseleccionadas, fes fdecir deben ser aleatoria, al azar o probabilstica. Marco Muestral: Es la lista de elementos de la poblacin, en la cual se incluyen los individuos sobre los cuales se puede obtener informacin. Puede ser un mapa o croquis con flas funidades fde fseleccin fplenamente identificadas. Encuesta Piloto: Antes de iniciar la investigacin, fse frecomienda frealizar funa pequea fencuesta fpreliminar fcon fel fin fde probar fel fcuestionario, fconocer fmejor fla poblacin, fentrenar fal fentrevistador, fe fel tiempo fque frequiere fla fentrevista fy fen especial tener un mayor conocimiento acerca de algunos parmetros. Muestreo Aleatorio: realizado bajo ciertas condiciones y sometidos a ciertos requisitos, se constituye en un procedimiento prctico, econmico y rpido para generalizar conclusiones fobtenidas fa ftravs fde funa muestra, aplicable a toda la poblacin de la que forma parte, dentro de ciertos lmites de confiabilidad, establecidos fde fantemano. Se pueden aplicar lo siguientes mtodos: -Muestreo aleatorio simple: en el cual se da igual oportunidad de seleccin a cada elemento fo fa fla fmuestra fdentro fde fla poblacin. -Muestreo aleatorio estratificado: garantiza la representatividad, reduciendo el error de la muestra al forma grupos o subpoblaciones ms o menos homogneas, en cuento a su composicin interna y heterogneas cuando se comparan los estrato entre s. -Muestreo por conglomerados: cuando la unidad fbsica de fmuestreo fse fencuentra en la poblacin en grupos o conglomerados y la seleccin de la unidad permite fla fobservacin fdel ftotal fde elementos de cada conglomerado elegido. -Muestreo sistemtico: la seleccin de la unidad se hace intervalos regulares, en un orden sistemtico. El Error de Estimacin: es la dierencia que puede haber entre la estimacin puntual y el parmetro. Cuando la estimacin no representa fbien fal fparmetro, fa fpesar fde estar perfectamente diseada, nos referimos a ferrores fmuestrales. f fLos ferrores fno muestrales fse fdeben fal fmal fdiseo fdel ormulario, a errores cometidos en el proceso de frecoleccin, fprocesamiento fy fanlisis fde os datos. Parmetro: fson flas fmedidas fdescriptivas numricas faplicadas fa flas fcaractersticas fen las unidades de la poblacin. Tambin se les denominas fcomo fvalores festadsticos fde fla poblacin Estimador Puntual: son las medidas descriptivas numricas aplicadas a las caractersticas en las unidades de la muestra. Se fpodra fdecir fque fel festimador fes funa norma o mtodo para estimar una constante perteneciente a una poblacin. La estimacin hace referencia a los valores numricos de los parmetros poblacionales desconocidos, a los cuales se llega mediante una muestra. La Estimacin por Intervalo: es una regla que nos indica como calcular dos puntos o valores a travs de una muestra. La estimacin por intervalos fes fla festimacin fdel fparmetro mediante la especificacin de un intervalo de valores, determinado por un lmite inferior y 36 http://ingcarlosmerlano.wordpress.com Distribuciones muestrales otro superior (lmite de confianza) dentro del cual estar comprendido el valor verdadero o parmetro poblacional. Se dice que un estimador debe ser: Insesgado es decir no tenga sesgo, cuando el valor del estimado es igual al parmetro. En caso contario la estimacin ser sesgada. Consistente Ues Uaquel Uestimador Uque, Ual aumentar el tamao de la muestra, converge en probabilidad al parmetro que estima. Eficiente es el estimador que tiene la menor varianza entre todos los estimadores posibles. Suficiente cuando incluye toda la informacin que la muestra puede proporcionar acerca del parmetro. Intervalo de Confianza: corresponde a un intervalo de valores, dentro de los cuales se espera fque fest fel fparmetro fcon fcierto grado fde fconfianza fo friesgo fde ferror conocido; para ello es necesario determinar la estimacin puntual. Coeficiente de Confianza: es la probabilidad que fun fintervalo fde fconfianza ftenga fel parmetro que se estima. DISTRIBUCIONES MUESTRALES Corresponde a una distribucin de todas las muestras que pueden ser escogidas conforme a un esquema de muestreo especificado, que implique seleccin al azar y a una funcin de nmeros de variables aleatorias independientes. De funa fpoblacin fa festudiar, fse fselecciona una fsola fmuestra fde ftodas flas fmuestras posibles fde figual ftamao, fcon fel in fde obtener conclusiones sobre la poblacin, no sobre la muestra. La fseleccin fde flas funidades fque fvan fa conformar la muestra debe hacerse al azar, mediante un generador de nmeros aleatorios, usando cualquier mtodo, para un estudiantes, flo fms fprctico fes futilizar fla calculadora o Excel. Distribucin e dMedias dMuestrales: dla notacin utilizada es: Medidas Poblacin Muestra Media aritmtica _ _ Varianza __ __ Desviacin tpica _ _ Tamao _ Teorema: si n variables aleatorias independientes tienen varianza finitas, su suma, Ucuando Use Ule Uexpresa Uen Umedia estndar, Utienden Ua Uestar Unormalmente distribuidas cuando n tiende al infinito. Se debe observar que ningunas de las varianzas sea mayor comparada con el total. De facuerdo fcon fel fteorema fanterior, fla variante festadstica fpara fdistribuciones fde media muestrales ser: __ _ __ Por lo cual consideramos que se aproxima a una distribucin normal. _ _ _ _ Estadstica inferencial 37 EJEMPLOS 1.fLa faltura fmedia fde f400 falumnos fde fun plantel de secundaria es de 1,50 m y su desviacin tpica es de 0,25 m. Determinar la probabilidad de que en una muestra de 36 alumnos, la media sea superior a 1,60m Solucin _ _ 400 _ _ 1,50 _ _ 0,25 _ 36 _ _ 1,60 _____.__ _ ? __ _ ___1.60 _ 1.500.2536_ 2.40 _ 2.40 #_0.9918 ver tabla anexa _____.__ _ 1 _ 0.9918 _ 0,0082 _ 0,82% Por lo tanto, la probabilidad de que en una muestra fde f36 falumnos, fde fese fplantel fde secundaria, la media sea superior a 1,60 m es de 0,82% 2.fSe ftiene fpara fla fventa fun flote fde f1000 pollos, con un peso promedio de 3,50 kg y una desviacin estndar de 0,18 kg. Cul es fla fprobabilidad fde fque funa fmuestra aleatoria, f100 fpollo fde festa fpoblacin, pesen entre 3,53 y 3,56 kg? Solucin _ _ 1000 _ _ 3,50 _ _ 0,18 _ 100 _ _ 3,53 _ _ 3,56__ __',(')_)',(_ _ ? ___ _ ____3,53 _ 3,500.18100_ 1,66 _ 1.66 #_0.9515_ ___ _ ____3,56 _ 3,500.18100_ 3,33 _ 3,33 #_0.9996_ __',(')_)',(_ _ 0,9996 _ 0,9515 _ 0,0481 __',(')_)',(_ _ 4,81% Por lo tanto, la probabilidad de que en una muestra de 100 pollos, de ese lote, el peso est entre 5,53 y 3,56 kg es de 4,81% 3.fUn fabricante fde fcierto fchamp fpara fel cabello fdistribuye fel ftamao fprofesional de su producto en 100 salones de belleza de fCaracas. fSe fha fdeterminado fque fel consumo promedio de su producto es de 2800 fcojines. fSi fse ftoma funa fmuestra 1,60 1,50 0.9918 _ 2,40 0 _ 3,56 3,53 3,50 3,33 1,66 0 38 http://ingcarlosmerlano.wordpress.com Distribuciones muestrales probabilstica fde f36 fsalones fCul fes fla probabilidad de que el consumo promedio en un mes sea inferior a 2700? Solucin _ _ 100 _ _ 2800 _ _ 280 _ 36 _ _ 2700 ___)_+__ _ ? __ _ ___2700 _ 280028036_ _2,14 _ 2,14 #_0.9838 fSe fbusca fel fvalor positivo en la tabla Como fZ fes fnegativo fentonces fy fel fvalor buscado es a la izquierda: ___)_+__ _ 1 _ 0,9838 _ 0,0162 ___)_+__ _ 1,62% Por flo ftanto, fla fprobabilidad fde fque fel consumo promedio de champ en un mes es de 1,62% Factor de correccin: En aquellos casos de poblaciones finitas, es fdecir, cuando se da informacin fsobre fel ftamao fpoblacional fy cuando el tamao de la muestra es mayor del 5% de la poblacin, se puede aplicar un factor de correccin f, conocido como fraccin de muestreo. , __ Por flo ftanto, fen fla fdistribucin fde fmedias muestrales, la estandarizacin de Z, incluyendo el factor de correccin ser: __ _ __-1 _ , 4.fSi en el ejemplo (1) consideramos que en dicho plantel se puede aplicar el factor de correccin Solucin _ _ 400 _ _ 1,50 _ _ 0,25 _ 36 _ _ 1,60 _____.__ _ ? , _ __36400_ 0,09 _./01231 45 5% __ _ __-1 _ , _1,60 _ 1,500,2536-1 _ 0,09 _ 2,51 _ 2,51 #_0.9940 _____.__ _ 1 _ 0.9940 _ 0,006 _ 0,6% _ 2700 2800 _2,14 0 1,60 1,50 0.9940 _ 2,51 0 Estadstica inferencial 39 Por lo tanto, la probabilidad de que en una muestra fde f36 falumnos, fde fese fplantel fde secundaria, la media sea superior a 1,60 m es de 0,6% Distribucin Muestral de una proporcin: en el anlisis de una caracterstica cualitativa o atributo, se emplea la proporcin de xitos. Si P es la proporcin de xitos de la poblacin, Q f(6_ 1 _ _) frepresenta fla fproporcin fde no xitos de la poblacin: Medidas Poblacin Muestra Proporcin _ _ _7 / _ / Varianza _ _ _67_ _ _ /98_ Desviacin tpica _ _ _67- _ _ /98- Tamao _ _ _ _ _ #/_7; fDonde fA frepresenta ftodos los elementos de la caracterstica investigada. _/ _ _;_6 EJEMPLOS 5.fSe tiene que el 4% de las piezas producidas por cierta mquina son defectuosas, cul es la probabilidad de que un grupo de 200 piezas, el 3% o ms sean defectuosas? Solucin _ _ 0,04 6 _ 1 _ 0,04 _ 0,96 _ 200 / _ 0,03 __8__,_' _ ? _/ _ _;_6_0,03 _ 0,04;_0,04 _0,96200_ _0,71 _ 0,71 #_0.7611 __8__,_' _ 0,7611 _ 76,11% Por flo ftanto, fla fprobabilidad fde fque fen fun grupo fde f200 fpiezas, fel f3% fo fms fsean defectuosas es de 76,11% 6.fSe fdesea festudiar funa fmuestra fde f49 personas para saber la proporcin de las mayores fde f40 faos; fsabiendo fque fla proporcin en la poblacin es de 0,4. Cul es la probabilidad de que la proporcin en la muestra sea menor de 0,5? Solucin _ _ 0,4 6 _ 0,6 _ 49 / _ 0,5 __8)_,( _ ? _ _ _ / 0.7611 / 0,03 0,04 _0,71 0 40 http://ingcarlosmerlano.wordpress.com Distribuciones muestrales _/ _ _;_6_0,5 _ 0,4;_0,4 _0,649_ 1,43 _ 1,43 #_0.9236 __8)_,( _ 0,9236 _ 92,36% Por flo ftanto, fla fprobabilidad fde fque fen fla muestra la proporcin de mayores de 40 aos sea menor al 0,5 (50%), es de 92,36% 7.fCuarenta y seis por ciento de los sindicatos del pas estn en contra de comercializar con China Continental. Cul es la probabilidad de fque funa encuesta a 100 sindicatos fmuestre fque fms fdel f52% tengan la misma posicin? Solucin _ _ 0,46 6 _ 0,54 _ 100 / _ 0,52 __8__,(_ _ ? _/ _ _;_6_0,52 _ 0,46;_0,46 _0,54100_ 1,21 _ 1,21 #_0.8869 __8)_,( _ 1 _ 0,8869 _ 11,31% Por lo tanto, la probabilidad de que ms del 52% de los sindicatos del pas estn en contra de comerciar con China es del 11,31% / 0,5 0,4 1,43 0 / 0,52 0,46 1,21 0 Estadstica inferencial 41 PROBLEMAS 5 1.En una poblacin normal, con media 72,1 y desviacin festndar fde f3,1 fencuentre fla probabilidad de que en una muestra de 90 observaciones, fla fmedia fsea fmenor fque 71,7 2.fEn el banco de ahorro No Rinde Nada, la cuenta media es de $659.320, con desviacin de $18.000 Cul es la probabilidad de que en un grupo de 400 cuentas, elegidas al azar, tenga un depsito medio de $660.000? 3.fSi en el Cerrejn los salarios diarios de los mineros fde fcarbn festn fdistribuidos normalmente con funa fmedia f$864.500 y una desviacin estndar de $15.000 Cul es fla fprobabilidad fde fque funa fmuestra representativa fde f25 fmineros, ftenga fun promedio diario inferior a $857.500? 4.fLas festaturas fde fcierto fgrupo fde fadultos tienen funa fmedia fde f167,42 fy funa desviacin festndar fde f2,58 fcm. fSi flas estaturas estn normalmente distribuidas y se eligen aleatoriamente 25 personas del grupo, cul es la probabilidad de que su media sea 168 centmetros o ms? 5.fSupongamos fque fse ftienen, fen funa furna 500 fichas enumeradas 1, 2, 3, , 499, 500. Despus de mezclarlas completamente, se sacan 16 fichas aleatoriamente Cul es la probabilidad de que la suma sea mayor de 3.000? 6.fLa festatura fde flos festudiantes fde fla Universidad fse fdistribuye fnormalmente con media de 170 cm y desviacin tpica de 18 centmetros. Si se toma una muestra de 81 estudiantes. cul es la probabilidad de que tenga una estatura superior a 175 cm? 7.fLa siderrgica fHierro UOxidado est produciendo actualmente cables para suspensin fde fpuentes. fLa fcaracterstica ms fimportante fde feste fproducto fes fsu resistencia, fel fpeso fque fpuede fsoportar antes de que se reviente. Por experiencia pasadas fse fsabe fque fel fpromedio fde fla resistencia es de 6 toneladas con desviacin de toneladas. Para efectos de control fse fselecciona funa fmuestra fde f9 cables y se adopta la siguiente regla de de decisin: Si la resistencia promedio est por encima de 6,5 toneladas o por debajo de 5,5 se suspende el proceso. Si est entre 5,5 y 6,5 se deja tal como est: a.fCul es la probabilidad de detener el proceso si la media de produccin es de 6 toneladas? b.fCul es la probabilidad de detener el proceso es de 6,18 toneladas? c.fCul es la probabilidad de continuar el proceso de continuar el proceso, si el promedio es en realidad 6,4? d.fSi es de 5,8? 8.fSuponga que una mquina produce tornillo fcuyos fdimetros fse fdistribuyen normalmente fcon funa fmedia f f= f pulgadas y una desviacin tpica = 0,01 pulgadas. Cul es la probabilidad de que el fdimetro fmedio fest fcomprendido entre 0,49 y 0,51 para una muestra de 4 tornillos? 9.La compaa productora de maz hbrido La UGorgogiada, Uairman que sus productos darn, por trmino medio, 120 bultos por hectrea. Veinticinco hectreas producen, en promedio, 115 bultos. Si se supone que la desviacin tpica es de 10 bultos por hectrea, Cul es la 42 http://ingcarlosmerlano.wordpress.com Distribuciones muestrales probabilidad de obtener una media muestral de 115 o menos? 10.Se fha fdeterminado fque fel f65% fde flos estudiantes funiversitarios fde fRiohacha prefieren los cuadernos marca OSEA. Cul es la probabilidad de que en una muestra de 100 universitarios encontremos? a.fComo mximo el 68% sean usuarios de este tipo de cuadernos? b.fExactamente 66% sean usuarios (utilizar medio fpunto fde fporcentaje fpara flos lmites) 11.El abricante fdel fdesodorante fALICAIDA recibe fcada fsemana flotes fde f10.000 vlvulas fpara flos ftarros frociadores. fPara aceptar o rechazar dichos lotes, selecciona al azar 400 vlvulas de cada lote; si el 2% o ms fresultan fdefectuosos, fse frechaza fel lote, en caso contrario se acepta el lote. Cul fes fla fprobabilidad fde frechazar fun lote fque fcontenga fel f1% fde flas fvlvulas defectuosas? 12.Se fha fencontrado fque f4% fde flas fpiezas producidas por cierta mquina son defectuosas fCul fes fla fprobabilidad, fal seleccionar 400 piezas, que el 5% o ms sean defectuosas? 13.En fla acultad f1/6 fde flos falumnos fson mujeres. Si se extrae una muestra aleatoria de 200 estudiantes de la facultad Cul es la probabilidad de que el 20% o ms sean mujeres? 14.Un fnuevo ftratamiento fcon frayos flaser asegura su eficacia en el 90% de los casos. Si fse fselecciona funa fmuestra fde f40 enfermos, qu fprobabilidad fhay fde que se presente una diferencia mayor del 8% en cuanto a su eficacia? 15.Segn fdatos fanteriores, fse fsabe fque fla efectividad fde funa fvacuna fes fdel f90%. cul es la probabilidad de que al vacunar a 64 personas la proporcin sea mayor del 95%? 16.Se fha fdemostrado, fpor freclamos fque fse han hechos, que el 20% de las encomiendas fllegan faveriadas, fal futilizar una compaa de transporte intermunicipal. Cul es la probabilidad, al enviar f100 fencomiendas, fde fque fla proporcin sea menor del 25%? reas bajo la curva normal estndar. Los valores de la tabla que no se muestran en negrita representan la probabilidad de observar un valor menor o igual a z. La cifra entera y el primer decimal de z se buscan en la primera columna, y el segundo decimal en la cabecera de la tabla. z 0.00 .01 .02 .03 .04 .05 .06 .07 .08 .09 0.0 .5000 .5040 .5080 .5120 .5160 .5199 .5239 .5279 .5319 .5359 0.1 .5398 .5438 .5478 .5517 .5557 .5596 .5636 .5675 .5714 .5753 0.2 .5793 .5832 .5871 .5910 .5948 .5987 .6026 .6064 .6103 .6141 0.3 .6179 .6217 .6255 .6293 .6331 .6368 .6406 .6443 .6480 .6517 0.4 .6554 .6591 .6628 .6664 .6700 .6736 .6772 .6808 .6844 .6879 0.5 .6915 .6950 .6985 .7019 .7054 .7088 .7123 .7157 .7190 .7224 0.6 .7257 .7291 .7324 .7357 .7389 .7422 .7454 .7486 .7517 .7549 0.7 .7580 .7611 .7642 .7673 .7704 .7734 .7764 .7794 .7823 .7852 0.8 .7881 .7910 .7939 .7967 .7995 .8023 .8051 .8078 .8106 .8133 0.9 .8159 .8186 .8212 .8238 .8264 .8289 .8315 .8340 .8365 .8389 1.0 .8413 .8438 .8461 .8485 .8508 .8531 .8554 .8577 .8599 .8621 1.1 .8643 .8665 .8686 .8708 .8729 .8749 .8770 .8790 .8810 .8830 1.2 .8849 .8869 .8888 .8907 .8925 .8944 .8962 .8980 .8997 .9015 1.3 .9032 .9049 .9066 .9082 .9099 .9115 .9131 .9147 .9162 .9177 1.4 .9192 .9207 .9222 .9236 .9251 .9265 .9279 .9292 .9306 .9319 1.5 .9332 .9345 .9357 .9370 .9382 .9394 .9406 .9418 .9429 .9441 1.6 .9452 .9463 .9474 .9484 .9495 .9505 .9515 .9525 .9535 .9545 1.7 .9554 .9564 .9573 .9582 .9591 .9599 .9608 .9616 .9625 .9633 1.8 .9641 .9649 .9656 .9664 .9671 .9678 .9686 .9693 .9699 .9706 1.9 .9713 .9719 .9726 .9732 .9738 .9744 .9750 .9756 .9761 .9767 2.0 .9772 .9778 .9783 .9788 .9793 .9798 .9803 .9808 .9812 .9817 2.1 .9821 .9826 .9830 .9834 .9838 .9842 .9846 .9850 .9854 .9857 2.2 .9861 .9864 .9868 .9871 .9875 .4878 .9881 .9884 .9887 .9890 2.3 .9893 .9896 .9898 .9901 .9904 .9906 .9909 .9911 .9913 .9916 2.4 .9918 .9920 .9922 .9925 .9927 .9929 .9931 .9932 .9934 .9936 2.5 .9938 .9940 .9941 .9943 .9945 .9946 .9948 .9949 .9951 .9952 2.6 .9953 .9955 .9956 .9957 .9959 .9960 .9961 .9962 .9963 .9964 2.7 .9965 .9966 .9967 .9968 .9969 .9970 .9971 .9972 .9973 .9974 2.8 .9974 .9975 .9976 .9977 .9977 .9978 .9979 .9979 .9980 .9981 2.9 .9981 .9982 .9982 .9983 .9984 .9984 .9985 .9985 .9986 .9986 3.0 .9987 .9987 .9987 .9988 .9988 .9989 .9989 .9989 .9990 .9990 3.1 .9990 .9991 .9991 .9991 .9992 .9992 .9992 .9992 .9993 .9993 3.2 .9993 .9993 .9994 .9994 .9994 .9994 .9994 .9995 .9995 .9995 3.3 .9995 .9995 .9995 .9996 .9996 .9996 .9996 .9996 .9996 .9997 3.4 .9997 .9997 .9997 .9997 .9997 .9997 .9997 .9997 .9997 .9998