1

1.4.Distribuciones muestrales. Conceptos. Distribuciones de

algunos estadísticos muestrales

2

ESTADÍSTICA III

DISTRIBUCIÓN MUESTRAL DE ESTADÍSTICOS

ESTADÍSTICOS V.A. DISTRIBUCIÓN DE PROBABILIDAD

La distribución muestral de un estadístico puede ser obtenida tomando todas las posibles muestras de un tamaño fijo n, calculando el valor del estadístico para cada muestra y construyendo la distribución de estos valores.

Por ejemplo:

XX

Estadístico muestralTomando todas las muestras posibles de tamaño n y calculando para cada una de ellas la

distribución muestral de la media muestral

S2 distribución muestral de la varianza muestral

X

3

ESTADÍSTICA III

X ni

X= nº de horas de apertura de tiempo9

10

12

14

1

2

1

1

5

1

9 1 10 2 12 1 14 111

5i

i

x x x xxx N

Por término medio están abiertas 11 horas

2 2 2 2 22 2( ) (9 11) (10 11) 2 (12 11) (14 11) 16

3.25 5

i xx

x x

N

4

¿ Si tomamos muestras de tamaño n=3?

Y calculamos la

Distribución muestral de la media

ESTADÍSTICA III

x

5

ESTADÍSTICA III

muestras

x

123

141012

ix

12,10,14

12,10,9

12,10,10

12,14,9

12,14,10

12,9,10

10,14,9

10,14,10

10,9,10

14,9,10

10.3

10.6

11.6

12

10.3

11

11.3

9.6

11

Distribución muestral de

x ni XX i

9.6

10.3

10.6

11

11.3

11.6

12

1

2

1

2

1

1

2

0.1

0.2

0.1

0.2

0.1

0.1

0.2

Toda distribución muestral tiene unas características, p.e. la media o la varianza

E ( ) Media de la distribución muestral de la media

Var ( ) Varianza de la distribución muestral de la media

xx

10

6

ESTADÍSTICA III

X= Nº de días que han faltado al trabajo 50 trabajadores

X n P(x)

1 25 25/50=0.5

2 20 20/50=0.4

3 5 5/50=0.1

Obtener:

-La media poblacional

-La varianza poblacional

-La distribución muestral de la media n=2

-La media de la distribución muestral de la media

-La varianza de la distribución muestral de la madia

2)(Var x

x

x

x

Ejercicio

7

ESTADÍSTICA III

44.0

50

5*)6.13(20*)6.12(25*6.11

tambienó

44.01.0*6.134.0*6.125.0*6.11

lpoblaciona varianza

6.150

5*320*225*1

6.11.0*34.0*25.0*1

lpoblaciona media

2222

2222

x

x

x

x

X P(x)

1 0.5

2 0.4

3 0.1

8

ESTADÍSTICA III

Distribución muestral de la media n=2

Muestras Xi X P(X=Xi)

1 , 1 1 1 0.25

1 , 2 1.5

1 , 3 2 1.5 0.4

2 , 1 1.5

2 , 2 2 2 0.26

2 , 3 2.5

3 ,1 2 2.5 0.08

3 , 2 2.5

3 , 3 3 3 0.01

1 2 1 2

1 2 1 2

1 2 1 2 1 2

1 2

( 1) ( 1, 1) ( 1)* ( 1) 0.5*0.5 0.25

( 1.5) ( 1, 2) ( 2, 1) 0.5*0.4 0.4*0.5 0.4

( 2) ( 1, 3) ( 2, 2) ( 3, 1) 0.5*0.1 0.4*0.4 0.1*0.4 0.26

( 2.5) ( 2, 3) (

P X P X X P X P X

p X P X X P X X

P X P X X P X X P X X

P X P X X P

1 2

1 2

3, 2) 0.4*0.1 0.1*0.4 0.08

( 3) ( 3, 3) 0.1*0.1 0.01

X X

P X P X X

9

ESTADÍSTICA III

)(xX )( xXP

1 0.25

1.5 0.4

2 0.26

2.5 0.08

3 0.01

DISTRIBUCIÓN MUESTRAL DE LA MEDIA

MEDIA DE LA DISTRIBUCIÓN MUESTRAL DE LA MEDIA

( ) 1*0.25 1.5*0.4 2*0.26 2.5*0.08 3*0.01 1.6

( ) 1.6 ( ) 1.6

"LA MEDIA DE LA DISTRIBUCIÓN MUESTRAL DE LA MEDIA

ES IGUAL A LA MEDIA POBLACIONAL"

X

X X

X

X X

10

ESTADÍSTICA III

VARIANZA DE LA DISTRIBUCIÓN MUESTRAL DE LA MEDIA

1 0.25

0.1 0.4

2 0.26

2.5 0.08

3 0.01

)xXP( X2 2 2 2 2 2

2 2

22x

Var (x) (1-1.6) *0.25 (1.5 1.6) *0.4 (2 1.6) *0.26 (2.5 1.6) *0.08 (3 1.6) *0.01 0.22

( ) 0.44 ( ) 0.22

( ) 0.44( )

2

x

x x

x

Var x Var X

Var xVar X

n n

LA VARIANZA DE LA DISTRIBUCIÓN MUESTRAL DE LA MEDIA ES IGUAL A

LA VARIANZA POBLACIONAL ENTRE EL TAMAÑO DE LA MUESTR

22x

x

n

11

ESTADÍSTICA III

2

2

ˆDISTRIBUCIÓN MUESTRAL DE LA CUASIVARIANZA S

X Smuestras

(1,1) 1

(1,2) 1.5

(1,3) 2

(2,1) 1.5 0.5(2,2) 2 0(2,3) 2.5 0.5(3,1) 2 2(3,2) 2.5 0.5(3,3) 3 0

212

)23()21(

5.012

)5.12()5.11(

012

)11()11(

22

22

22

12

ESTADÍSTICA III

DISTRIBUCIÓN MUESTRAL DE LA VARIANZA

0 0.42

0.5 0.48

2 0.10

)Var(S y varianza )(S mediacon

Varianza la de muestralón Distribuci22

10.05.0*1.01.0*5.0

)1,3( )3,1()2P(S

0.480.4*0.10.1*0.40.5*0.40.4*0.5

)2,3( )3,2( )1,2( )2,1()5.0(

42.01.0*1.04.0*4.05.0*5.0

)3,3( )2,2( )1,1()0(

)(

2

2

2

22

PP

PPPPSP

PPPSP

sSP

)P(S 222 sS

13

ESTADÍSTICA III

Obtener la MEDIA de la Distribución Muestral de la Varianza

0 0.42

0.5 0.48

2 0.10

)P(S 222 sS

44.0)(

44.0)(

44.010.0*248.0*5.042.0*0

)(

2

2

2

2

2

s

x

s

SE

xVar

S

“La media de la distribución muestral de la varianza es igual a la varianza poblacional”

OBTENER LA VARIANZA DE LA DISTRIBUCIÓN MUESTRAL DE LA VARIANZA

2

2 2 2 2 2

2 44

( ) (0 0.44) *0.42 (0.5 0.44) *0.48 (2 0.44) *0.10 0.32

3( )

( 1)

SVar S

nVar S

n n n

14

ESTADÍSTICA III

POB DIST. MUESTRAL DIST. MUESTRAL

X XS2

s

2

2x x s

2 2 2x x 2

( ) 1.6 ( ) 1.6 ( ) 0.44

( ) 0.44 ( ) 0.22 ( ) 0.32s

Media x E x E s

Varianza Var x Var x Var s

RELACIONES

2

x

2 22x

2 2 2

2 4

1. E(X) E(X)

VAR(X)2. VAR(X)

n

3. E(S ) ( )

4 34. VAR(S )

1

x x

x x

x xS

n n

VAR X

n

n n

2

2

s ..........

15

ESTADÍSTICA III

1

.............1

)(.........)()(1

................1

)............

()(

)(.........)()(E(x)

:que cuentaen teniendo

21

21

n21

21

nnn

xExExEn

xxxEn

n

xxxEXE

XExExE

n

n

n

DEMOSTRACIÓN RELACIONES

XXE )(

16

ESTADÍSTICA III

21 2

1 2

1 22

1 22

2 2 22

22

Teniendo en cuenta que:

VAR(x ) ( ) ............... ( )

..........( )

1..........

1( ) ( ) ...... ( )

1..........

1

x

n

n

n

x x x

x

VAR x VAR x

x x xVAR X VAR

n

VAR x x xn

VAR x VAR x VAR xn

n

nn

2

x

n

nXVAR

2

)(

17

ESTADÍSTICA III

n, X

100

110

6,100

n

N

25

25

6,100

n

N

100 X

nNX

6,100

18

ESTADÍSTICA III

Cuanto mayor sea el tamaño muestral “n” menor sera la VAR(X), menor será la dispersión de x en torno a la media poblacional μ

n

n

precisión?n

1.20 1.26 1.43 1.55 1.69 1.89 2.19 2.68 3.79 5.38 n

90 80 70 60 50 40 30 20 10 5 n

19

DISTRIBUCIÓN MUESTRAL DE LA VARIANZA

– Si (X1,X2,……,Xn) es una muestra aleatoria de tamaño n,procedente de una población X, con VAR(X)= σ2 entonces:

• La varianza de la distribución muestral de la varianza S2 es igual a la varianza poblacional σ2 y la varianza de la distribución muestral de la varianza es función del momento central de orden cuatro:

ESTADÍSTICA III

2 2

2 44

2

( )

3( )

( 1)

( )

E S

nVar S

n n n

Var S

20

2 2

2 2 2

1 1

2

1

2 2

1

2 2

1 1

2 2

1

2 2

( )

1 1ˆ ( ) ( )1 1

1

1

12

1

12

1

12

1

12

1

x

n n

i ii i

n

ii

n

i ii

n n

i ii i

n

ii

i

E S

S x x x xn n

x xn

x x x xn

x n x x xn

x n x x nx nn

x n x n xn

2

1

22

1

22 2

1

2 2

1( )

1

1 S

1 1

E(S )

n

i

n

ii

n

ii

x n xn

nx x

n n

.ii

xx x x n

n

21

ESTADÍSTICA III

22

222

22

22

2

1

2

1

222

22

1

2

)(

)(1

1

1111

1

11

1

11

1

11

1

SE

SEn

n

nn

n

nn

nn

n

xEn

nx

n

xn

nx

nESE

xn

nx

nS

n

ii

n

ii

n

ii

VAR(X) VAR(x)

22

ESTADÍSTICA III

22 S

n N

x

nXVAR

XE

2)(

)(

P.I.

....,........ˆ,ˆ

......,.......ˆ

n,NX

..)N(....,...X ˆ

,,........,

),(

21

2x

1

xx

P

Nxx

NX

n

23

ESTADÍSTICA III

)1,0(,NX Si

30n ,, X

,NX),N(X

N

n

xZ

n

nNXSi

nSi

Ejemplo gráfico de distribución poblacional y

Evolución de la distribución muestral de

X

x

24

ESTADÍSTICA III

5n para X de muestralón Distribuci 2.

X

15n para X de muestralón Distribuci.3 X

x

1. Distribución poblacional (no es normal)

25

ESTADÍSTICA III

normalmenteAproximada

03n para X de muestralón Distribuci 4.

X

normalmenteAproximada

07n para X de muestralón Distribuci 5.

X